Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Optique géométrique : miroir plan

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Optique géométrique : miroir plan
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Chapitre no 12
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Optique géométrique : réflexion, réfraction, lois de Descartes
Chap. suiv. :Optique géométrique : conditions de Gauss
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Sommaire

Notion de stigmatisme rigoureux[modifier | modifier le wikicode]

......L'introduction du stigmatisme n'ayant pas encore été introduite en cours, l'est dans ce chapitre mais, ce n'est pas une notion spécifique au miroir plan, elle concerne tous les systèmes optiques qu'ils soient composés de dioptres ou de miroirs quelle que soit leur forme.

Notion de système optique[modifier | modifier le wikicode]

......Un système optique est l'espace optique entre deux surfaces, il est destiné à permettre la transmission de la lumière, la surface sur laquelle arrive la lumière incidente est appelée «~face d'entrée~» et celle à partir de laquelle émerge la lumière «~face de sortie~» ;

......il peut être composé d'une «~succession de dioptres~», dans ce cas le système est dit «~dioptrique~» [1] ou
......il peut être composé d'une «~succession de dioptres et d'un miroir~», dans ce cas le système est dit «~catadioptrique~» [2].

Notion de point objet, espaces objets, nature réelle ou virtuelle[modifier | modifier le wikicode]

......Un objet (lumineux) est une source lumineuse ou un objet sans émission interne de lumière mais éclairé par une source lumineuse [3] ; il est qualifié de ponctuel s'il est «~de dimension mésoscopique~» [4], il peut être situé
............en-deçà de la face d'entrée du système optique étudié, il «~émet~» alors un faisceau «~divergent~» en direction de la face d'entrée et ayant une existence réelle il est qualifié d'«~objet réel~» ou
............au-delà de la face d'entrée du système optique étudié, il résulte alors de la convergence d'un faisceau lumineux en un point dont l'existence serait réelle si la face d'entrée n'était pas située en-deçà de ce point, il est alors qualifié d'«~objet virtuel~» ;

......on définit alors deux «~espaces optiques de positionnement des objets~» [5] :

  • un «~espace objet réel~» situé en-deçà de la face d'entrée et
  • un «~espace objet virtuel~» situé au-delà de la face d'entrée.

Notion d'axe optique principal (associé à un point objet), plans transverses[modifier | modifier le wikicode]

......On appelle «~axe optique principal (associé à un point objet)~» [6] la succession du «~rayon incident passant par le point objet et normal à la face d'entrée~» [7] et des «~rayons correspondants se propageant dans les espaces optiques successifs~» [8] ;

......les plans perpendiculaires à l'axe optique principal sont qualifiés de «~plans transverses~».

Voir «~schémas~» [9] au centre et à droite ci-dessous.

......Remarques : La succession d'un «~rayon incident passant par le point objet mais non normal à la face d'entrée~» et des «~rayons correspondants se propageant dans les espaces optiques successifs~» définit un axe optique secondaire ; pour un point objet il n'y a qu'un axe optique principal mais une infinité d'axes optiques secondaires.

......Remarques : La définition «~la plus générale~» [10] d'un «~axe optique~» [11] d’un système optique est la «~trajectoire moyenne~» des rayons lumineux d’un pinceau arrivant sur le système optique lors de la propagation de ces derniers à travers le système (voir partie droite du schéma de droite de la galerie ci-dessus).

Notion d'image d'un point objet par un système optique[modifier | modifier le wikicode]

......Un faisceau issu d'un point objet étant constitué de rayons incidents indépendants les uns des autres, on détermine le trajet des rayons intermédiaires et émergents correspondant aux rayons incidents du faisceau et deux cas se présentent :

  • tous les rayons émergents sont concourants, le système optique donne alors du faisceau incident issu de un faisceau convergent en un point , définit alors l'«~image de par le système optique~» et cette image est «~ponctuelle~» [12],
  • tous les rayons émergents ne sont pas concourants mais leur ensemble possède une zone de resserrement à éclairement maximal qui peut être considérée comme l'image «~non ponctuelle~» [13] de par le système optique.

Stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point objet[modifier | modifier le wikicode]

......Si le point objet admet un point image par le système optique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident issu de , on dit qu'il y a «~stigmatisme rigoureux du système optique pour le point objet Ao~» ;

......si la propriété est vraie pour tous les points objets possibles, on dit que «~le système optique est stigmatique rigoureux~» [14].

Conjugaison rigoureuse d'un couple de points par un système optique[modifier | modifier le wikicode]

......S'il y a stigmatisme rigoureux d'un système optique pour le point objet , le point image étant noté , on dit encore que «~le couple de points~(Ao ; Ai)~est conjugué rigoureux par le système optique~».

Espaces images, nature réelle ou virtuelle[modifier | modifier le wikicode]

......S'il y a stigmatisme rigoureux du système optique, tout point objet admet un point image unique par le système optique ; peut être situé

............au-delà de la face de sortie du système optique étudié, correspondant au point de «~convergence du faisceau émergent~», et ayant une existence réelle il est qualifié d'«~image réelle~» ou

............en-deçà de la face de sortie du système optique étudié, il résulte alors de la «~divergence du faisceau émergent~» à partir d'un point sans existence réelle, il est alors qualifié d'«~image virtuelle~» ;

......on définit alors deux «~espaces optiques de positionnement des images~» [15] :

  • un «~espace image réelle~» situé au-delà de la face de sortie et
  • un «~espace image virtuelle~» situé en-deçà de la face de sortie.

Construction de l'« image » d'un objet ponctuel par un miroir plan, stigmatisme rigoureux d'un miroir plan[modifier | modifier le wikicode]

Construction fondamentale d'un émergent correspondant à un incident donné[modifier | modifier le wikicode]

Construction d'un émergent par un miroir plan correspondant à un incident donné

......Méthode de construction du réfléchi de l'incident AI :

............ étant un point quelconque de l’incident, construire symétrique de par rapport au miroir, est alors le prolongement virtuel du rayon réfléchi .

......Justification de la construction ci-contre :

............Soit le rayon incident ci-contre qui se réfléchit sur le miroir plan en (point d’incidence), d'angle d'incidence avec un point quelconque de la partie réelle du rayon incident, le plan d’incidence (c'est-à-dire le plan contenant et étant le plan de l'écran ;

............de la 1ère loi de Snell - Descartes de la réflexion, on déduit que le rayon réfléchi est dans le plan de l'écran ;

............de 2e loi de Snell - Descartes de la réflexion, on déduit l'angle de réflexion , c'est-à-dire l'opposé de l'angle d'incidence, d'où le prolongement « virtuel » du réfléchi est symétrique de l'incident par rapport au miroir ; on en déduit que (symétrique de par rapport au miroir) appartient à ce prolongement virtuel (C.Q.F.D.).

Stigmatisme rigoureux d'un miroir plan[modifier | modifier le wikicode]

Justification du stigmatisme rigoureux d'un miroir plan pour un point objet réel

......Soit un point objet réel (point source d’un faisceau incident dont on a représenté deux rayons incidents sur la figure ci-contre [16]) ;

......chaque rayon incident issu de admet un réfléchi dont le prolongement virtuel passe par le symétrique de par rapport au miroir et par suite tous les rayons réfléchis étant issus de , appartiennent à un même faisceau de sommet  ;

......, le symétrique de par rapport au miroir, est donc le point image conjuguée du point objet (la conjugaison entre et est rigoureuse car il n’y a aucune restriction sur le rayon incident issu de d'où le « stigmatisme rigoureux du miroir plan pour tous les points objets réels ».

Justification du stigmatisme rigoureux d'un miroir plan pour un point objet virtuel

......Soit un point objet virtuel (c'est-à-dire le point de convergence d'un faisceau incident situé au-delà du miroir plan) [17] (voir figure ci-contre [16]) ;

......chaque rayon incident dont le prolongement aboutit à admet un réfléchi passant par le symétrique de par rapport au miroir et par suite tous les rayons réfléchis aboutissant à , appartiennent à un même faisceau de sommet  ;

......, le symétrique de par rapport au miroir, est donc le point image conjuguée du point objet (la conjugaison entre et est rigoureuse car il n’y a aucune restriction sur le rayon incident aboutissant à d'où le « stigmatisme rigoureux du miroir plan pour tous les points objets virtuels ».

......Finalement, ayant démontré le stigmatisme rigoureux du miroir plan pour tous les points objets réels ou virtuels, on peut affirmer

« le stigmatisme rigoureux des miroirs plans » ;
de plus l'image et l'objet sont toujours de nature différente, l'image d'un objet réel étant virtuel et l'image d'un objet virtuel, réelle.

Points doubles d'un miroir plan et la nature afocale de ce dernier[modifier | modifier le wikicode]

......On appelle « point double » d'un système optique stigmatique rigoureux, « un point objet qui est son propre conjugué rigoureux par le système optique » [18] ;

......considérant un miroir plan et les objets ponctuels situés sur un même axe optique principal, on peut définir sur cet axe deux points doubles :

Justification de la propriété de point double pour les points d'un miroir plan
  • le « sommet du miroir » c'est-à-dire « l'intersection du miroir et de l'axe optique principal », voir vérification sur figure ci-contre,
    ...un faisceau convergeant en se réfléchit en faisceau divergeant à partir de d'où « le sommet du miroir plan est un point double de ce dernier pour l'axe optique principal considéré » [19],
Justification de la propriété de point double pour les points à l'infini d'un miroir plan
  • le « point à l'infini de l'axe optique principal » voir vérification sur figure ci-contre,
    ...un « faisceau de direction normale au miroir » se réfléchit sur lui-même [20] d'où « le point à l'infini est un point double du miroir pour l'axe optique principal considéré » [21] ;
    ...de cette propriété on en déduit que le miroir plan est un système « afocal » (voir définition ci-dessous).


............Définition de système focal, de système afocal :

..................Un système optique est dit « focal » si « le point à l'infini de l'axe optique principal est le conjugué d'un point à distance finie »,

................Un système optiqueil est dit « afocal » si « le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double ».

Notion d'aplanétisme rigoureux[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'un objet linéique transverse[modifier | modifier le wikicode]

......Un « objet étendu » peut être considéré comme une « juxtaposition de points objets indépendants », nous ne considérerons par la suite que des « objets étendus à une dimension » [22] ;

......un objet étendu à une dimension est dit « linéique » si les points objets le constituant sont « alignés »,

......un objet linéique est dit « transverse » si les points objets alignés le constituant sont « dans un même plan transverse ».

Conséquence du caractère "stigmatisme rigoureux" d'un système optique sur un objet linéique transverse[modifier | modifier le wikicode]

......Le système optique étant « stigmatique rigoureux », tous les points objets constituant l'objet linéique transverse admettent un point image unique et par suite le système optique donne de l'objet linéique transverse une image unique [23] ; mais a priori les points images composant ne sont pas nécessairement alignés (l'image n'est donc pas nécessairement linéique) et s'ils le sont ils ne se situent pas nécessairement dans un même plan transverse (si l'image est linéique, elle n'est pas nécessairement transverse).

Définition de l'aplanétisme rigoureux d'un système optique stigmatique rigoureux[modifier | modifier le wikicode]

......On dit qu'un système optique stigmatique rigoureux est « aplanétique rigoureux » si « l'image d'un objet linéique transverse est elle-même linéique transverse quelles que soient la position et la dimension de l'objet » [24].

Construction de l'image d'un objet linéique transverse par un miroir plan, aplanétisme rigoureux d'un miroir plan[modifier | modifier le wikicode]

Construction de l'image d'un objet linéique transverse par un miroir plan[modifier | modifier le wikicode]

Justification de l'aplanétisme rigoureux d'un miroir plan pour un objet linéique transverse réel

......Soit l'objet linéique transverse réel de point objet générique (voir figure ci-contre [25]) dont on cherche l'image de point image générique par le miroir plan ; chaque point objet a pour image , le symétrique de par rapport au miroir plan d'où

l'image est symétrique de l'objet , l'image de l'objet réel étant virtuelle ;

......on pourrait faire la construction à partir d'un objet linéique transverse virtuel de point objet générique , on trouverait que l'image est symétrique de l'objet , l'image de l'objet virtuel étant réelle.

Aplanétisme rigoureux d'un miroir plan[modifier | modifier le wikicode]

......Reprenons la figure ci-contre, restant à distance constante du miroir (caractère linéique transverse de l'objet), il en est de même de d'où le « caractère linéique transverse » de l'image quelles que soient la position et la dimension de l'objet réel (ou virtuel)  ; on en déduit l'aplanétisme rigoureux du miroir plan étant donné que la propriété est vraie pour tous les objets réels (ou virtuels).

Natures différentes de l'objet et de son image par un miroir plan[modifier | modifier le wikicode]

......D'après ce qui précède, « un miroir plan donne d'un objet réel une image virtuelle » et « d'un objet virtuel, une image réelle » ; « un objet et son image conjuguée par miroir plan » sont donc de « natures différentes » [26].

Algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel), algébrisation associée des plans transverses, orientation dissociée des plans d'incidence ou d'émergence[modifier | modifier le wikicode]

......L'algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel) n'ayant pas encore été introduite en cours, l'est dans ce chapitre mais, ce n'est pas une notion spécifique au miroir plan, elle concerne tous les systèmes optiques qu'ils soient composés de dioptres ou de miroirs quelle que soit leur forme ; il en est de même des notions qui en découlent à savoir l'algébrisation associée des plans transverses et l'orientation dissociée des plans d'incidence ou d'émergence.

Algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)[modifier | modifier le wikicode]

......On oriente l’axe optique principal «~dans le sens de propagation de la lumière~» ce qui donne, suivant la nature du système optique, les sens suivants :

Algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'un système dioptrique unidirectionnel
  • dans un système dioptrique «~unidirectionnel~» [27], l'axe optique principal est constitué de rayons incident, intermédiaires et émergent de même direction où les sens incident et émergent sont les mêmes [28], il n'y a donc qu'«~un seul sens +~» [29] (voir schémas ci-contre),
Algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'un miroir
  • dans un système catadioptrique «~unidirectionnel~» [27], l'axe optique principal est là encore constitué de rayons incident et émergent de même direction [30] mais où les sens incident et émergent sont contraires [31], il y a donc «~deux sens +~», «~le sens incident~» et «~le sens émergent~» [32] (voir schémas ci-contre).
Algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'un fibre optique courbée

......Pour terminer un exemple où l'axe optique principal associé à un point objet n'est pas une succession de rayons incident, intermédiaires et émergent car la partie intermédiaire n'est pas constituée de rayons, c'est l'exemple déjà cité de «~fibre optique courbée~», voir ci-contre, dans ce cas «~il n'y a qu'un seul sens +~».

Repérage d'un point objet ou d'un point image sur l'axe optique principal[modifier | modifier le wikicode]

......La position d’un point objet ou celle d'un point image de l'axe optique principal « d'un dioptre ou d'un miroir » [33] est repérée par rapport à une « origine liée à la surface dioptrique ou réfléchissante » [34] sur laquelle tous les rayons incidents issus du point objet arrivent et de laquelle tous les rayons émergents repartent en direction du point image [35], le point commun du rayon incident et du rayon émergent correspondant étant le point d'incidence situé sur la surface dioptrique ou réfléchissante, voir schémas ci-dessous,

  • « surface dioptrique » à gauche et
  • « surface réfléchissante » [36] au centre ;

......dans un système « dioptrique à plus d'un dioptre » ou « catadioptrique à un miroir et plusieurs dioptres » [37] ou « catadioptrique à plus d'un miroir ou surface réfléchissante » [38] ou encore, dans un système à axe optique principal possédant une portion courbée [39], que le système soit unidirectionnel ou polydirectionnel [40], la position d’un point objet ou d'un point image [35] de l'axe optique principal est repérée par rapport à une « origine liée à la face d'entrée ou la face de sortie » [41] en utilisant le « sens + incident » ou le « sens + émergent » [42], voir ci-dessus à droite sur l'exemple du prisme à réflexion totale.

Précautions à prendre lors de l'utilisation de l'algébrisation physique de l'axe optique principal d'un système pour lequel il y a plusieurs sens + définis sur l'axe optique principal[modifier | modifier le wikicode]

......Dans le cas d'un miroir, une même position géométrique ayant une abscisse différente, suivant qu’elle est occupée par un point objet ou un point image, il faut préciser nettement s'il s’agit d'un point du rayon incident ou d'un point du rayon réfléchi et pour cela une façon consiste à rappeler « le sens d’orientation de la partie incidente ou réfléchie de l’axe optique principal » [43] en indice de la mesure algébrique considérée.

Orientation des espaces objets et images[modifier | modifier le wikicode]

......Orientant les « espaces objets » (réel et virtuel) par un « trièdre direct », l'orientation des espaces images (réelle et virtuelle) dépend du système optique considéré :

  • si le système optique est « dioptrique », les « espaces images » (réelle et virtuelle) sont orientés par un « trièdre direct »,
  • si le système optique est « catadioptrique » [44], les « espaces images » (réelle et virtuelle) sont orientés par un « trièdre indirect » [45].

......Remarque : Si le système optique est catadioptrique avec plusieurs miroirs (ou surfaces réfléchissantes [38]), l'orientation des espaces images (réelle et virtuelle) dépend du nombre de miroirs (ou de surfaces réfléchissantes [38]) ;

  • après un nombre pair de réflexions, les « espaces images » (réelle et virtuelle) sont orientés par un « trièdre direct »,
  • après un nombre impair de réflexions, les « espaces images » (réelle et virtuelle) sont orientés par un « trièdre indirect ».

Algébrisation associée des plans transverses[modifier | modifier le wikicode]

......L'axe optique principal du système optique étant algébrisé physiquement, le(s) vecteur(s) unitaire(s) associé(s) à cette algébrisation défini(ssen)t le 1er vecteur de base orientant l'espace objet (ou image), les 2e et 3e vecteurs de base orthonormée orientant cet espace objet (ou image) définissant l'algébrisation des plans transverses de l'espace considéré, plus précisément :

  • si le système optique est « dioptrique unidirectionnel », l'axe optique principal n'ayant qu'une seule orientation, le vecteur unitaire associé est noté , les espaces objet et image étant tous deux orientés par une base orthonormée directe nous la choisissons commune et la notons , ceci entraînant une algébrisation identique des plans transverses des espaces objet ou image [46] par  ;
Algébrisation identique des plans transverses des espaces objets et images d'un miroir plan
  • si le système optique est « catadioptrique unidirectionnel », l'axe optique principal a une orientation différente suivant qu'il s'agit d'un point objet ou d'un point image,
    ......le vecteur unitaire associé de la partie incidente de l'axe optique principal étant noté , les espaces objets (réel ou virtuel) sont orientés par une base orthonormée directe notée , ceci entraînant l'algébrisation des plans transverses des espaces objets (réel ou virtuel) par et
    ......le vecteur unitaire associé de la partie émergente de l'axe optique principal étant noté , les espaces images (réelle ou virtuelle) sont orientés par la base orthonormée indirecte [47], ceci entraînant la même algébrisation des plans transverses des espaces images (réelle ou virtuelle) par que celle des plans transverses des espaces objets (réel ou virtuel) [46] [voir schéma ci-contre dans l'exemple d'un miroir plan où est noté , noté et notés .

......Remarque : On rappelle que pour un système catadioptrique avec plusieurs miroirs (ou surfaces réfléchissantes [38]), l'orientation des espaces images (réelle et virtuelle) dépend du nombre de miroirs (ou de surfaces réfléchissantes [38]) ;

  • après un nombre pair de réflexions, les « espaces images » (réelle et virtuelle) sont orientés par un « trièdre direct »,
  • après un nombre impair de réflexions, les « espaces images » (réelle et virtuelle) sont orientés par un « trièdre indirect »,

mais, dans les deux cas, les plans transverses des espaces objets ou images sont algébrisés selon la règle citée en introduction de ce paragraphe respectant l'orientation de l'espace auquel appartient le plan transverse considéré [48].

Orientation « dissociée » des plans d'incidence et d'émergence[modifier | modifier le wikicode]

« Dissociée » au sens où leur orientation ne suit pas nécessairement la règle indiquée au paragraphe ci-dessous.

Orientation des angles d'un plan d'un espace à trois dimensions[modifier | modifier le wikicode]

......L'espace étant orienté par une base orthonormée directe (ou indirecte), les angles d'un plan sont orientés par un vecteur unitaire normal selon la règle suivante :

...... et étant deux vecteurs du plan orienté par , le sens + des angles de ce plan sera de vers si le trièdre  est

  • direct si la base orientant l'espace est directe et
  • indirect si la base orientant l'espace est indirecte.

Orientation des plans d'incidence et d'émergence[modifier | modifier le wikicode]

......Si le système optique est « unidirectionnel », les plans d'incidence et d'émergence sont confondus et il est souhaitable comme cela a été fait pour la réfraction et la réflexion de définir un « même sens + d'orientation des angles » ;

  • si le système est « dioptrique unidirectionnel », l'axe optique principal n'a qu'une seule orientation de vecteur unitaire noté , les espaces objet et image sont tous deux orientés par la base directe commune et si le plan d'incidence est le plan , le plan d'émergence est aussi , tous les deux étant perpendiculaires à , leur orientation commune définie par et sera positive de vers [49] car l'ordre des vecteurs pour que la base soit directe est [50] ;
  • si le système est « catadioptrique unidirectionnel », la partie incidente de l'axe optique principal est orientée par le vecteur de base 1er vecteur de la base directe orientant les espaces objets et sa partie émergente par le vecteur de base 1er vecteur de la base indirecte orientant les espaces images ;
    ...si le plan d'incidence est le plan , le plan d'émergence est le plan , tous deux étant perpendiculaires à , leur orientation commune définie par sera positive dans le plan d'incidence de vers [l'ordre des vecteurs pour que la base soit directe étant et dans le plan d'émergence dans le même sens [51] c'est-à-dire de vers  [la base étant indirecte par permutation circulaire, la règle d'orientation des angles du plan d'émergence obéit à directe [52]] ;
    ...en conséquence l'orientation des plans d'incidence ou d'émergence dans un système « catadioptrique unidirectionnel » par définit toujours le sens + d'un 1er vecteur vers un 2e vecteur de l'espace objet ou image tel que soit direct.

Relation de conjugaison de position de Descartes d'un miroir plan[modifier | modifier le wikicode]

Repérage « physique » de Descartes[modifier | modifier le wikicode]

......On choisit comme origine des parties incidente et réfléchie de l'axe optique principal

« le sommet du miroir plan (associé à cet axe optique principal) » ;

......on notera l'abscisse « physique » de Descartes [53] du point objet par

[54]

......on noteet l'abscisse « physique » de Descartes du point image par

[54].

Relation de conjugaison de position (ou première relation de conjugaison) de Descartes d'un miroir plan[modifier | modifier le wikicode]

Bien qu'il s'agisse d'une conjugaison rigoureuse, il n'est pas d'usage de le rappeler dans le nom de la relation.

......On utilise le fait que les points conjugués par un miroir plan sont symétriques par rapport à ce dernier ce qui entraîne qu'ils ont des abscisses « physiques » de Descartes de même valeur absolue c'est-à-dire  ;

  • si le point objet est réel, est situé avant le sommet et le point image , symétrique de par rapport au miroir plan, est virtuelle, étant alors situé avant le sommet sur le rayon réfléchi d'où l'égalité des abscisses « physiques » de Descartes,
  • si le point objet est virtuel, est situé après le sommet et le point image , symétrique de par rapport au miroir plan, est réelle, étant alors situé après le sommet sur le rayon réfléchi d'où l'égalité des abscisses « physiques » de Descartes ;

......finalement la relation de conjugaison de position (ou première relation de conjugaison) de Descartes d'un miroir plan est

ou [55].

Grandissement transverse d'un objet linéique transverse, relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes d'un miroir plan[modifier | modifier le wikicode]

Définition du grandissement transverse d'un objet linéique transverse dans le cas d'un système optique « unidirectionnel » aplanétique[modifier | modifier le wikicode]

Le contenu de ce paragraphe s'applique à tout système dioptrique ou catadioptrique « unidirectionnel » aplanétique,
il n'est pas spécifique à un miroir plan.

......Pour un système optique « unidirectionnel », les plans transverses de l'espace image sont à ceux de l'espace objet et, dans le cas d'aplanétisme (rigoureux) l'image d'un objet linéique transverse [56] étant à ce dernier, on définit le grandissement transverse de cet objet linéique transverse par

(nombre sans dimension),
et étant les longueurs algébrisées respectivement de l'objet et de l'image
selon le vecteur de base commun ou [57] des plans transverses ;

......suivant le signe du grandissement transverse, on déduit le sens de l'image relativement à l'objet :

  • si est , l'image est dans le même sens que l'objet, on parle alors d'image « droite »,
  • si est , l'image est dans le sens contraire de l'objet, on parle alors d'image « inverse » [58].

Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou deuxième relation de conjugaison) de Descartes d'un miroir plan[modifier | modifier le wikicode]

Bien qu'il s'agisse d'une conjugaison rigoureuse, il n'est pas d'usage de le rappeler dans le nom de la relation.

......L'image étant symétrique de l'objet par rapport au miroir plan avec « objet et image » tous deux au miroir, l'image est dans le même sens que l'objet et de même dimension ;

......de cette dernière affirmation on tire que le grandissement transverse est de valeur absolue égale à 1 et

......de la 1ère affirmation que le grandissement transverse est positif (les plans transverses étant orientés par les mêmes vecteurs de base) d'où :

......finalement la relation de conjugaison de grandissement transverse (ou deuxième relation de conjugaison) de Descartes d'un miroir plan est

ou [59], [60].

Grandissement angulaire d'un pinceau lumineux, relation de Lagrange-Helmholtz[modifier | modifier le wikicode]

Les deux premiers paragraphes ci-dessous s'appliquent à tout système dioptrique ou catadioptrique « unidirectionnel » aplanétique,
ils ne sont pas spécifiques à un miroir plan..

Repérage d'un pinceau incident ou émergent[modifier | modifier le wikicode]

......Un pinceau étant la matérialisation pratique d'un rayon, on le repère par l'angle orienté que fait sa direction de propagation avec celle de même nature sur l'axe optique principal, ainsi :

  • dans un système dioptrique « unidirectionnel », un pinceau incident de direction de propagation est repéré par l'angle du plan d'incidence orienté de vers [61], étant le vecteur unitaire orientant l'axe optique principal, et algébrisant les plans transverses et la base directe orientant les espaces objets et images ;
    ...dans un système dioptrique « unidirectionnel » un pinceau émergent de direction de propagation est repéré par l'angle du plan d'émergence orienté de vers  ;
Exemple de système catadioptrique unidirectionnel : le miroir plan ; repérage d'un pinceau incident et du pinceau émergent correspondant
  • dans un système catadioptrique « unidirectionnel », un pinceau incident de direction de propagation est repéré par l'angle du plan d'incidence orienté de vers [61], étant le vecteur unitaire orientant la partie incidente de l'axe optique principal, et algébrisant les plans transverses et la base directe orientant les espaces objets ;
    ...dans un système catadioptrique « unidirectionnel » un pinceau émergent de direction de propagation est repéré par l'angle du plan d'émergence orienté de vers [62], étant le vecteur unitaire orientant la partie émergente de l'axe optique principal, et algébrisant les plans transverses et la base indirecte orientant les espaces images (voir ci-contre).

Définition du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet[modifier | modifier le wikicode]

......Ayant défini, dans un système dioptrique ou catadioptrique unidirectionnel, l'angle d'inclinaison de la direction du pinceau incident issu du point objet ainsi que l'angle d'inclinaison de la direction du pinceau émergent du point image , tous deux comptés positivement selon le « même sens + », on appelle « grandissement angulaire du pinceau lumineux issu du point objet Ao » le rapport

(nombre sans dimension).
Schéma de définition du grandissement angulaire, par un miroir plan, d'un pinceau lumineux issu d'un point objet

Valeur du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet par un miroir plan[modifier | modifier le wikicode]

......Le point image du point objet par un miroir plan étant le symétrique de par rapport au miroir plan, on vérifie aisément que les angles et ont même valeur absolue (en effet les triangles et , étant le point d'incidence du pinceau incident et réfléchi sur le miroir, sont égaux) et comme ils sont de signe contraire on en déduit le grandissement angulaire cherché soit

[63].

Lien entre le grandissement transverse d'un objet linéique transverse et le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu du point objet pied de l'objet linéique transverse par un miroir plan, relation de Lagrange-Helmholtz[modifier | modifier le wikicode]

......Ayant établi que le grandissement transverse par un miroir plan d'un objet linéique transverse de pied est et que le grandissement angulaire par le même miroir plan d'un pinceau lumineux issu de est on en déduit une relation liant les grandissements transverse et angulaire relatifs à un même point objet indépendamment de ce dernier, relation appelée « relation de Lagrange – Helmholtz » [64], cette relation s'écrivant pour un miroir plan

[65].

Sensibilisation de l'utilisation de la relation de Lagrange-Helmholtz (L-H) à un système catadioptrique, exemple d'un miroir sphérique concave[modifier | modifier le wikicode]

Il ne s'agit pas d'étudier dans les détails toutes les propriétés des miroirs sphériques [66], mais uniquement d'utiliser les lois de Snell – Descartes de la réflexion appliquées à un miroir sphérique (concave) pour souligner l'intérêt de la relation de Lagrange - Helmholtz.

......Comme nous l'avons évoqué en note de bas de page au paragraphe précédent la relation de L - H n'a aucun intérêt pour un miroir plan, par contre elle en acquiert un pour un miroir sphérique.

......Quelques données relatives au miroir sphérique : le centre de courbure est sa propre image par le miroir sphérique quelle que soit l'ouverture du faisceau issu de , il y a donc
............d'une part « stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour son centre de courbure C » [67] et
............d'autre part « le centre de courbure C du miroir sphérique est un point double » [68] ;
......pour tous les autres point objets (à l'exception de S), il n'y a pas stigmatisme rigoureux du miroir sphérique mais,
............si on limite les angles intervenant dans la réflexion c'est-à-dire si on se place dans les conditions de Gauss de stigmatisme (voir chapitre suivant) il y a stigmatisme approché du miroir sphérique ;
......si l'objet de pied autre que C ou S est « vu du miroir » sous un grand angle, il n'y a pas aplanétisme rigoureux du miroir sphérique, mais
............s'il est « vu du miroir » sous un petit angle c'est-à-dire si on se place dans les conditions de Gauss d'aplanétisme (voir chapitre suivant) il y a aplanétisme approché du miroir sphérique ;
......on peut donc, dans les conditions de Gauss, évaluer les grandissements angulaire d'un pinceau passant par le point objet et transverse d'un objet linéique transverse de pied , ce qui permet de vérifier la relation de L-H, par construction effectuée sur un schéma ;

Sensibilisation de la relation de Lagrange - Helmholtz sur un miroir sphérique concave

......Construction utilisant un miroir sphérique concave  : voir ci-contre ;

......On construit le rayon réfléchi du rayon incident incliné de par utilisation de la 1ère et 2e loi de Snell – Descartes de la réflexion, le point image étant l'intersection du rayon réfléchi et de l'axe optique principal ;

......on construit image de en utilisant le rayon incident issu de et passant par le centre de courbure , rayon qui se réfléchit sur lui-même, ayant pour pied d'image compte-tenu de l'aplanétisme approché ;

......on observe que le grandissement transverse est compris entre et 0 d'une part
......on observe que le grandissement angulaire est supérieur à d'autre part,
......ces résultats étant conformes à la relation de L – H …

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Dans un système «~dioptrique~» à direction de propagation «~unidirectionnelle~», la lumière émergente est dans le «~même sens~» que la lumière incidente.
  2. Dans un système «~catadioptrique~» à direction de propagation «~unidirectionnelle~», la lumière émergente est dans le «~sens contraire~» de la lumière incidente ;
    ... on prolonge la définition des systèmes «~catadioptriques~» en permettant qu'ils contiennent plus d'un miroir ;
    ...dans le cas où la propagation est «~unidirectionnelle~» (par abus on parle encore de système «~catadioptrique unidirectionnel~»),
    • si le nombre de miroirs est pair, le système catadioptrique est équivalent à un système dioptrique car le sens émergent est identique au sens incident et
    • si le nombre de miroirs est impair, le système catadioptrique est équivalent à un miroir, le sens émergent étant opposé au sens incident.
  3. Dans ce cas l'objet peut «~absorber puis réémettre~» ou «~réfléchir~» la lumière reçue, pour éviter les complications on dira que l'objet «~émet la lumière (qu'il a reçu)~».
  4. On parle alors de «~point objet~».
  5. Voir la galerie ci-après : partie gauche du schéma de gauche.
  6. Ce n'est pas la définition la plus générale qui est énoncée ci-après mais celle qui est donnée est applicable à tous les systèmes à l'exception d'une fibre optique courbée.
  7. Ce rayon ainsi que son prolongement «~virtuel~» au-delà de la face d'entrée définit la partie incidente de l'axe optique principal.
  8. Le rayon émergent ainsi que son prolongement «~virtuel~» en-deçà de la face de sortie définit la partie émergente de l'axe optique principal.
  9. On a supposé que le faisceau incident issu du point objet donnait un faisceau convergent en un point , ceci n'est vrai que pour le miroir plan, pour les autres la convergence n'est pas ponctuelle pour une ouverture non petite …
  10. Cette définition englobe la définition précédente et n'est vraiment utile que pour une fibre optique courbée pour laquelle la définition précédente ne s'applique pas.
  11. Principal ou secondaire (associé à un point objet).
  12. On parle alors de «~point image~».
  13. Et par conséquent apparaissant «~floue~».
  14. Le stigmatisme rigoureux d'un système optique pour tous les points objets est très rare ; comme nous le verrons, le miroir plan en est un exemple mais c'est en fait le seul.
  15. Voir la galerie ci-avant : partie droite du schéma de gauche.
  16. 16,0 et 16,1 Sur cette figure a été indiquée l'algébrisation physique de l'axe optique principal qui sera définie ultérieurement.
  17. Pour créer un point objet virtuel relativement au miroir plan, on crée un point image réelle par un premier système optique d'une source ponctuelle (on crée donc un point de convergence réelle par ce premier système optique d'un faisceau provenant d'une source ponctuelle , mais on empêche la convergence réelle en en interposant le miroir plan avant , le faisceau rencontrant maintenant la face d'entrée du miroir avant son point de convergence , ce dernier devient virtuel.
  18. On peut dire aussi qu'un point double est un point objet qui est sa propre image par le système optique.
  19. Le miroir plan étant la « face d'entrée » du système optique, si on définit l'espace objet réel comme l'espace strictement situé en-deçà du miroir plan dans le sens incident et l'espace objet virtuel comme l'espace strictement situé au-delà du miroir plan dans le sens incident, les deux espaces objets n'ayant pas d'intersection, un objet est donc soit réel, soit virtuel ;
    ...de même le miroir plan étant la « face de sortie » du système optique, si on définit l'espace image réelle comme l'espace strictement situé en-deçà du miroir plan dans le sens réfléchi et l'espace image virtuelle comme l'espace strictement situé au-delà du miroir plan dans le sens réfléchi, les deux espaces images n'ayant pas d'intersection, une image est donc soit réelle, soit virtuelle ;
    ...avec cette définition, le point objet situé au sommet du miroir n'a ni caractère réel, ni caractère virtuel et il en est de même du point image positionné au sommet du miroir, ce qui, mettant le sommet à part relativement aux autres objets ou aux autres images, n'est pas satisfaisant ;
    ...en fait il est impossible de mettre une source ponctuelle exactement sur le miroir, le plus simple pour essayer de réaliser l'expérience (avec un point objet sur le miroir plan) est de créer, par un autre système optique, une image ponctuelle qui servira d'objet pour le miroir et de positionner ce dernier sur mais dans la pratique le miroir sera très légèrement au-delà de dans le sens incident rendant réel ou très légèrement en-deçà de dans le sens incident rendant virtuel, aussi est-il possible de considérer qu'en théorie sur le miroir est réel à et virtuel à ainsi que son image par le miroir confondue avec est à la fois virtuelle à et réelle à [si en pratique le miroir est très légèrement au-delà de dans le sens incident rendant réel, l'image de ce dernier par le miroir sera très légèrement en-deçà du miroir dans le sens réfléchi rendant l'image virtuelle et si en pratique le miroir est au contraire très légèrement en-deçà de dans le sens incident rendant virtuel, l'image de ce dernier par le miroir sera très légèrement au-delà du miroir dans le sens réfléchi rendant l'image réelle] d'où l'intérêt de donner une autre définition des espaces objets réel et virtuel ainsi que des espaces images réelle et virtuelle d'un miroir plan permettant de ne plus particulariser le sommet du miroir sur un axe optique principal quelconque ;
    ...pour cela il suffit de considérer que la « face d'entrée » appartient à la fois aux espaces objet réel et objet virtuel et que la « face de sortie » appartient à la fois aux espaces image réelle et image virtuelle, dans ces conditions le point double « sommet du miroir plan pour l'axe optique principal considéré » situé sur le miroir dans l'intersection des espaces objet réel et image virtuelle ou des espaces objet virtuel et image réelle est bien tel que l'objet et l'image par le miroir plan sont confondues en étant de nature différente.
  20. Sur la figure considérée, les rayons réfléchis de point d'incidence respectif et ont été décalé relativement aux rayons incidents pour une question de lisibilité du schéma.
  21. Pour que le point à l'infini sur l'axe optique principal soit un point double, il faut admettre qu'il est à la fois réel et virtuel (les points conjugués par un miroir plan étant de nature différente) c'est-à-dire considérer que l'espace objet réel (c'est-à-dire l'espace à gauche du miroir) et à l'espace image virtuelle (c'est-à-dire l'espace à droite du miroir) se rejoignent à l'infini ou que l'espace objet virtuel (c'est-à-dire l'espace à droite du miroir) et à l'espace image réelle (c'est-à-dire l'espace à gauche du miroir) se rejoignent à l'infini ou encore, considérer qu'une droite (limite d'un cercle dont le centre est situé perpendiculairement à la droite à une distance tendant vers l'infini, le rayon du cercle tendant également vers l'infini) est une courbe qui se ferme à l'infini (le cercle dont la droite est la limite étant une courbe fermée).
  22. Un « objet étendu à deux dimensions » étant une « juxtaposition d'objets étendus à une dimension indépendants » et un « objet étendu à trois dimensions », une « juxtaposition d'objets étendus à deux dimensions indépendants ».
  23. L'image étant composée d'images ponctuelles est donc « nette ».
  24. L'aplanétisme rigoureux d'un système optique stigmatique rigoureux est donc la conservation du caractère « linéique transverse » lors de la conjugaison rigoureuse du système optique quel que soit l'objet.
  25. Sur cette figure sont indiquées l'algébrisation physique de l'axe optique principal ainsi que l'orientation des espaces objet et image qui seront définies ultérieurement.
  26. On rappelle qu'en englobant dans l'espace objet réel et l'espace objet virtuel, la face d'entrée du miroir, de même qu'en englobant dans l'espace image réelle et l'espace image virtuelle, la face de sortie du miroir, le point double « sommet du miroir sur l'axe optique principal considéré » peut être considéré comme un objet réel, son image confondue avec lui étant alors virtuelle ou considéré comme un objet virtuel, son image confondue avec lui étant alors réelle ; de même le point double « point à l'infini sur l'axe optique principal considéré » (le point à l'infini d'une droite pouvant être considéré comme le point de fermeture de la droite, limite d'un cercle dont le centre est situé perpendiculairement à la droite à une distance tendant vers l'infini, le rayon du cercle tendant également vers l'infini) peut être considéré comme un objet réel, son image confondue avec lui étant alors virtuelle ou considéré comme un objet virtuel, son image confondue avec lui étant alors réelle.
  27. 27,0 et 27,1 Le qualificatif «~unidirectionnel~» appliqué à un système dioptrique ou catadioptrique signifiant que ce système dioptrique ou catadioptrique est à «~axe optique principal unidirectionnel~» ;
    ... avec la définition pratique de l'axe optique principal (applicable à pratiquement tous les systèmes à l'exception des fibres optiques courbées), l'axe optique principal est constitué de rayons ayant tous même support.
  28. L'application de cette propriété se prolonge aux systèmes catadioptriques unidirectionnels à nombre pair de miroirs.
  29. Dans un système catadioptrique polydirectionnel comme celui du système optique formant un périscope (le système est qualifié de catadioptrique car on observe des réflexions totales), l'axe optique principal est constitué
    Algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'un périscope
    • de rayon incident perpendiculaire à la face d'entrée, de rayon intermédiaire de même direction et de même sens que le rayon incident avant la première réflexion totale,
    • de rayons intermédiaires de direction perpendiculaire au rayon incident après la première réflexion,
    • de rayon intermédiaire de même direction et de même sens que le rayon incident après la deuxième réflexion totale, de rayon émergent de même direction et de même sens que le rayon incident,

    ...on dénombre donc «~deux sens +~»,
    ...... le sens + incident ou émergent (ainsi qu'intermédiaire juste avant le première réflexion totale ou juste après la deuxième) et
    ...... le sens + pour les rayons intermédiaires correspondant à une rotation de en valeur absolue relativement au sens + commun précédent.

  30. Si le système catadioptrique contient des dioptres intermédiaires (les faces d'entrée et de sortie étant les faces d'un miroir, les dioptres séparant des espaces optiques intermédiaires), en plus des rayons incident et émergent il y a des rayons intermédiaires mais pour un système «~unidirectionnel~» les rayons intermédiaires sont de même direction que les rayons incident et émergent ;
    ...si au contraire le miroir est intermédiaire il y a également en plus des rayons incident et émergent aboutissant ou issu des dioptres extrêmes, des rayons intermédiaires dont ceux aboutissant et issu du miroir, tous ces rayons ayant même direction.
  31. Si le système catadioptrique «~unidirectionnel~» contient des dioptres intermédiaires, il y a des rayons intermédiaires de même direction que les rayons incident et émergent ; le sens des rayons intermédiaires est alors identique au sens incident ;
    ...si au contraire le miroir est intermédiaire il y a donc des rayons intermédiaires de même direction que les rayons incident et émergent, le sens des rayons intermédiaires avant le miroir étant identique au sens incident et celui des rayons intermédiaires après le miroir identique au sens émergent.
  32. Algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'une équerre optique
    Dans un système catadioptrique polydirectionnel comme dans le cas d'un prisme à réflexion totale formant une équerre optique (le système est qualifié de catadioptrique car on observe des réflexions totales, dans le cas d'une équerre optique on n'en observe qu'une), «~il y a deux sens +~»,
    • le sens + incident et
    • le sens + émergent,
      ...le sens du rayon intermédiaire avant réflexion étant identique au sens incident et celui du rayon intermédiaire après réflexion identique au sens émergent ;
      Algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'un prisme à réflexion totale
      un autre exemple de système catadioptrique polydirectionnel est le cas du prisme à réflexion totale dans lequel on observe deux réflexions totales, il y a alors «~trois sens +~»,
    • le sens + incident pour les rayons incident et intermédiaire avant la première réflexion totale,
    • le sens + intermédiaire correspondant à une rotation de en valeur absolue relativement au sens + incident pour le rayon intermédiaire après la première réflexion totale et avant la deuxième,
    • le sens + émergent opposé au sens + incident pour les rayons émergent et intermédiaire après la deuxième réflexion totale.
  33. Avec un dioptre ou un miroir, l'axe optique principal associé à un point objet est constitué
    • du rayon incident issu du point objet perpendiculaire à la surface dioptrique ou réfléchissante et
    • du rayon émergent de même direction et de même sens que le rayon incident pour un dioptre ou de sens contraire pour un miroir.
  34. Le plus souvent on choisit le sommet de la surface dioptrique ou réfléchissante, c'est-à-dire l'intersection de cette dernière avec l'axe optique principal.
  35. 35,0 et 35,1 Pour définir un couple de points conjugués, il faut bien sûr que le système optique soit stigmatique rigoureux pour le point objet.
  36. Seul le cas d'un objet réel et d'une image virtuelle a été représenté (l'image n'étant a priori pas celle de l'objet positionné) ;
    ...si l'objet était virtuel il serait au-delà du miroir sur la partie incidente de l'axe optique principal (donc à droite) et si l'image envisagée était réelle elle serait au-delà du miroir sur la partie réfléchie de l'axe optique principal (donc à gauche).
  37. Dans ce cas le miroir ne pouvant constituer la face d'entrée (sinon les dioptres ne seraient pas utilisés), le système optique comprend au moins deux dioptres, celui dont la surface dioptrique sert de face d'entrée aboutissant directement (ou par l'intermédiaire d'autres dioptres) au miroir lequel, par retour inverse de la lumière, renvoie directement (ou par l'intermédiaire des dioptres inverses) vers le dioptre inverse de celui d'entrée, la surface dioptrique de ce dioptre inverse servant de face de sortie.
  38. 38,0 38,1 38,2 38,3 et 38,4 Une surface réfléchissante qui n'est pas un miroir étant par exemple une surface dioptrique sur laquelle on observe une réflexion totale.
  39. Comme une fibre optique courbée.
  40. C.-à-d. que l'axe optique principal soit constitué de rayons de même direction ou de directions différentes.
  41. Le plus souvent on choisit le sommet de la face d'entrée, c'est-à-dire l'intersection de cette dernière avec l'axe optique principal pour repérer un point objet et le sommet de la face de sortie, c'est-à-dire l'intersection de cette dernière avec l'axe optique principal pour repérer un point image.
  42. Le sens + incident servant à repérer le point objet et le sens + émergent à repérer le point image.
  43. Dans le cas où le miroir est vertical avec l'espace objet réel sur sa gauche, le sens incident est et le sens réfléchi  ; si le miroir est retourné, l'espace objet réel étant maintenant sur sa droite, le sens incident devient et le sens réfléchi  ; si le miroir est horizontal avec l'espace objet réel au-dessus, le sens incident est et le sens réfléchi etc …
  44. Au sens premier du terme, c'est-à-dire contenant un miroir et éventuellement des dioptres.
  45. La raison étant que l'image d'une main droite dans un miroir est une main gauche et par suite l'image d'une base directe est une base indirecte.
  46. 46,0 et 46,1 On peut faire la comparaison de l'algébrisation des plans transverses des espaces objets et celle des plans transverses des espaces images car ces derniers sont parallèles dans un système optique unidirectionnel.
  47. Le vecteur unitaire étant égal à , les bases et ont des orientations opposées, la 1ère étant directe, la 2e est donc indirecte.
  48. Néanmoins l'algébrisation des plans transverses des espaces objets (réel ou virtuel) et celle des plans transverses des espaces images (réelle ou virtuelle) ne peuvent être comparées que si les plans transverses sont parallèles.
  49. Dans le cas d'un système « dioptrique unidirectionnel » l'orientation des plans d'incidence et d'émergence suit donc la règle énoncée au paragraphe précédent.
  50. Toute permutation circulaire sur une base conservant son caractère direct ou indirect.
  51. Le but étant de choisir une orientation commune des plans d'incidence et d'émergence.
  52. Ainsi dans le cas d'un système « catadioptrique unidirectionnel » l'orientation du plan d'incidence suit donc la règle donnée au paragraphe précédent, mais pas celle du plan d'émergence, les espaces images étant orientés par la base indirecte le sens + du plan d'émergence pour suivre la règle du paragraphe précédent devrait être de vers et non de vers , le choix d'orientation du plan d'émergence par correspond donc à directe, conséquence de indirecte.
  53. René Descartes (1596 - 1650) mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la philosophie moderne, en physique a contribué à l'optique géométrique et en mathématiques est à l'origine de la géométrie analytique.
  54. 54,0 et 54,1 Dans la mesure où le miroir est vertical avec l'espace objet réel à gauche du miroir plan, le sens incident est et le sens réfléchi  ;
    ...bien entendu les indices doivent être adaptées à la situation du miroir plan par exemple : si le miroir est horizontal avec l'espace objet réel au-dessus du miroir plan, le sens incident est et le sens réfléchi
  55. On peut utiliser cette relation pour déterminer la position du point image connaissant celle du point objet ou vice versa ;
    ...toutefois, en ce qui concerne le miroir plan, les positions respectives d'un objet et de son image sont suffisamment simples à déterminer géométriquement (les deux étant symétriques l'un de l'autre par rapport au miroir plan) pour qu'on n'utilise pas, dans la pratique, la relation de conjugaison de position de Descartes pour le faire.
  56. étant sur l'axe optique principal définissant le sommet du miroir plan servant d'origine du repérage « physique » de Descartes, étant en dehors, la conjugaison donne sur l'axe optique principal et en dehors ; les points et sont encore appelés respectivement « pied » de l'objet linéique transverse et « pied » de l'image linéique transverse .
  57. Ou une combinaison linéaire des deux.
  58. Ou d'image « inversée ».
  59. Le grandissement transverse est donc indépendant de la position de l'objet par rapport au miroir ainsi que de sa taille.
  60. On peut utiliser cette relation pour déterminer la taille de l'image linéique transverse connaissant celle de l'objet linéique transverse ou vice versa ;
    ...toutefois, en ce qui concerne le miroir plan, les grandeurs respectives d'un objet et de son image sont suffisamment simples à déterminer géométriquement (les deux étant de même taille) pour qu'on n'utilise pas, dans la pratique, la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour le faire.
  61. 61,0 et 61,1 Le vecteur orientant le plan d'incidence est donc  selon la règle d'orientation des angles d'un plan d'un espace à trois dimensions rappelée précédemment dans ce chapitre.
  62. Le vecteur orientant le plan d'émergence est donc et la règle utilisée correspond à « directe » de façon à ce que le plan d'émergence soit orienté dans le même sens que le plan d'incidence.
  63. Le grandissement angulaire est donc indépendant de la position de l'objet par rapport au miroir ainsi que de l'inclinaison du pinceau incident issu du point objet.
  64. Joseph-Louis Lagrange (1736 - 1813) mathématicien, mécanicien et astronome italien, a acquis la nationalité française vers la fin du XVIIIe siècle ; on lui doit, entre autres, d'avoir jeté en mathématiques les bases du calcul variationnel, calcul qu'il appliqua en mécanique pour résoudre quelques problèmes [propagation du son, corde vibrante, librations de la Lune (c'est-à-dire petites variations de son orbite)] ; en 1788, alors installé à Paris, il publia son livre de mécanique analytique dont le formalisme a permis, un siècle et demi plus tard, l'ébauche de la mécanique quantique, il est aussi l'un des pères du système métrique et de la division décimale des unités.
    ...Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (1821 - 1894) physiologiste et physicien allemand, à qui on doit d'importantes contributions dans la perception des sons et des couleurs ainsi que surtout dans le domaine de la thermodynamique.
    ...On remarquera que le domaine de l'optique n'est ni pour Lagrange ni pour Helmholtz un domaine privilégié !
  65. Cette relation est applicable à tout système catadioptrique dont le miroir plan n'est qu'un exemple très particulier ;
    ...appliquée à un miroir plan la relation de Lagrange - Helmholtz n'a aucun intérêt car elle donne moins d'information que n'en donnent les deux valeurs des grandissements transverse et angulaire prises indépendamment l'une de l'autre ;
    ...la relation acquiert de l'intérêt pour des systèmes catadioptriques pour lesquels les grandissements transverses et angulaires dépendent de la position de relativement à la surface réfléchissante, comme l'exemple des miroirs sphériques : la relation nous informe alors que
    • d'une part les grandissements sont toujours de signe contraire et
    • d'autre part plus le grandissement transverse est grand en valeur absolue (plus l'image est de grande dimension par rapport à l'objet), plus le grandissement angulaire est petit en valeur absolue (plus les faisceaux sont resserrés relativement aux faisceaux incidents).
  66. Ces derniers ne figurant pas au programme de P.C.S.I..
  67. Il y a stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour un autre point « le sommet S du miroir ».
  68. Il y a aussi un autre point double du miroir sphérique « son sommet S ».