Signaux physiques (PCSI)/Optique géométrique : miroir plan

**Optique géométrique : miroir plan**
Leçon : Signaux physiques (PCSI)

Chapitre n^o 12
Chap. préc. :	Optique géométrique : réflexion, réfraction, lois de Descartes
Chap. suiv. :	Optique géométrique : conditions de Gauss

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Signaux physiques (PCSI) : Optique géométrique : miroir plan
Signaux physiques (PCSI)/Optique géométrique : miroir plan », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Notion de stigmatisme rigoureux

L'introduction du stigmatisme n'ayant pas encore été introduite en cours, l'est dans ce chapitre mais, ce n'est pas une notion spécifique au miroir plan, elle concerne tous les systèmes optiques qu'ils soient composés de dioptres ou de miroirs quelle que soit leur forme.

Notion de système optique

Un système optique est l'espace optique entre deux surfaces, il est destiné à permettre la transmission de la lumière, la surface sur laquelle arrive la lumière incidente est appelée « face d'entrée » et celle à partir de laquelle émerge la lumière « face de sortie » ;

il peut être composé d'une « succession de dioptres », dans ce cas le système est dit « dioptrique » ^[1] ou
il peut être composé d'une « succession de dioptres et d'un miroir », dans ce cas le système est dit « catadioptrique » ^[2].

Notion de point objet, espaces objets, nature réelle ou virtuelle

     Un objet $\;{\big (}$ lumineux ${\big )}\;$ est une « source lumineuse » ou un « objet sans émission interne de lumière mais éclairé par une source lumineuse » ^[3] ; il est qualifié de ponctuel s'il est « de dimension mésoscopique » ^[4], il peut être situé
          en-deçà de la face d'entrée du système optique étudié, il « émet » alors un faisceau « divergent » en direction de la face d'entrée et ayant une existence réelle il est qualifié d'« objet réel » ou
          au-delà de la face d'entrée du système optique étudié, il résulte alors de la convergence d'un faisceau lumineux en un point dont l'existence serait réelle si la face d'entrée n'était pas située en-deçà de ce point, il est alors qualifié d'« objet virtuel » ;

on définit alors deux « espaces optiques de positionnement des objets » ^[5] :

un « espace objet réel » situé en-deçà de la face d'entrée et
un « espace objet virtuel » situé au-delà de la face d'entrée.

Positionnement des espaces objets réel et virtuel à gauche, des espaces images réelle et virtuelle à droite ^[6]

Notion d'axe optique principal (associé à un point objet), plans transverses

On appelle « axe optique principal $\;{\big (}$ associé à un point objet ${\big )}\;$ » ^[7] la succession du « rayon incident passant par le point objet et normal à la face d'entrée » ^[8] et des « rayons correspondants se propageant dans les espaces optiques successifs » ^[9] ;

les plans ${\underline {\;\perp \;}}$ à l'axe optique principal sont qualifiés de « plans transverses ».

Exemples d'axe optique principal d'un dioptre ou d'un miroir ^[10]

Exemples d'axe optique principal d'un prisme à réflexion totale ^[10] ou d'un fibre optique courbée ^[11]

Remarques : La succession d'un « rayon incident passant par le point objet mais non normal à la face d'entrée » et des « rayons correspondants se propageant dans les espaces optiques successifs » définit un axe optique secondaire ; pour un point objet il n'y a qu'un axe optique principal mais une infinité d'axes optiques secondaires.

Remarques : La définition « la plus générale » ^[12] d'un « axe optique » ^[13] d’un système optique est la « trajectoire moyenne » des rayons lumineux d’un pinceau arrivant sur le système optique lors de la propagation de ces derniers à travers le système $\;{\big (}$ voir la partie droite du schéma immédiatement au-dessus ${\big )}$ .

Notion d'image d'un point objet par un système optique

Un faisceau issu d'un point objet $\;A_{o}\;$ étant constitué de rayons incidents indépendants les uns des autres, on détermine le trajet des rayons intermédiaires et émergents correspondant aux rayons incidents du faisceau et deux cas se présentent :

tous les rayons émergents sont concourants, le système optique donne alors du faisceau incident issu de $\;A_{o}\;$ un faisceau convergent en un point $\;A_{i}$ , $\;A_{i}\;$ définit alors l'« image de $\;A_{o}\;$ par le système optique » et cette image est « ponctuelle » ^[14],
tous les rayons émergents ne sont pas concourants mais leur ensemble possède une zone de resserrement à éclairement maximal qui peut être considérée comme l'image « non ponctuelle » ^[15] de $\;A_{o}\;$ par le système optique.

Stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point objet

Si le point objet $\;A_{o}\;$ admet un point image $\;A_{i}\;$ par le système optique quelle que soit l'ouverture du faisceau incident issu de $\;A_{o}$ , on dit qu'il y a « stigmatisme rigoureux du système optique pour le point objet $\;A_{o}\;$ » ;

si la propriété est vraie pour tous les points objets possibles, on dit que « le système optique est stigmatique rigoureux » ^[16].

Conjugaison rigoureuse d'un couple de points par un système optique

S'il y a stigmatisme rigoureux d'un système optique pour le point objet $\;A_{o}$ , le point image étant noté $\;A_{i}\;$ , on dit encore que « le couple de points $\;\left(A_{o}\,,\,A_{i}\right)\;$ est conjugué rigoureux par le système optique ».

Espaces images, nature réelle ou virtuelle

S'il y a stigmatisme rigoureux du système optique, tout point objet $\;A_{o}\;$ admet un point image $\;A_{i}\;$ unique par le système optique ; $\;A_{i}\;$ peut être situé

$\succ \;$ au-delà de la face de sortie du système optique étudié, correspondant au point de « convergence du faisceau émergent », et ayant une existence réelle il est qualifié d'« image réelle » ou

$\succ \;$ en-deçà de la face de sortie du système optique étudié, il résulte alors de la « divergence du faisceau émergent » à partir d'un point sans existence réelle, il est alors qualifié d'« image virtuelle » ;

on définit alors deux « espaces optiques de positionnement des images » ^[17] :

un « espace image réelle » situé au-delà de la face de sortie et
un « espace image virtuelle » situé en-deçà de la face de sortie.

Construction de l'« image » d'un objet ponctuel par un miroir plan, stigmatisme rigoureux d'un miroir plan

Construction fondamentale d'un émergent correspondant à un incident donné

Construction d'un émergent par un miroir plan correspondant à un incident donné

Méthode de construction du réfléchi de l'incident AI :

\;A\;

étant un point quelconque de l’incident, construire

\;A'\;

symétrique de

\;A\;

par rapport au miroir,

\;A'I\;

est alors le prolongement virtuel du rayon réfléchi

\;IR

.

Justification de la construction ci-contre :

Soit le rayon incident ci-contre qui se réfléchit sur le miroir plan en

\;I\;

{\big (}

point d’incidence

{\big )}

, d'angle d'incidence «

\;{\widehat {({\vec {N}}\,{\text{;}}\,{\overrightarrow {AI}})}}=i_{1}\;

» avec

\;A\;

un point quelconque de la partie réelle du rayon incident, le plan d’incidence

\;{\big (}

c.-à-d. le plan contenant

\;{\vec {N}}\;

et

\;{\overrightarrow {AI}}{\big )}\;

étant le plan de l'écran ;

de la 1^ère loi de Snell-Descartes ^[18]^, ^[19] de la réflexion ^[20], on déduit que le rayon réfléchi

\;IR\;

est dans le plan de l'écran ;

de 2^ème loi de Snell-Descartes ^[18]^, ^[19] de la réflexion ^[21], on déduit l'angle de réflexion «

\;i_{2}={\widehat {({\vec {N}}'\,{\text{;}}\,{\overrightarrow {IR}})}}=-i_{1}\;

», c.-à-d. l'opposé de l'angle d'incidence, d'où le prolongement « virtuel » du réfléchi est symétrique de l'incident par rapport au miroir ; on en déduit que

\;A'\;

{\big (}

symétrique de

\;A\;

par rapport au miroir

{\big )}\;

appartient à ce prolongement virtuel

\;{\big (}

C.Q.F.D. ^[22]

{\big )}

.

Stigmatisme rigoureux d'un miroir plan

Soit $\;A_{o}\;$ un point objet réel $\;{\big (}$ point source d’un faisceau incident dont on a représenté deux rayons incidents sur la figure ci-contre ^[23] à droite ${\big )}$ ;

chaque rayon incident issu de $\;A_{o}\;$ admet un réfléchi dont le prolongement virtuel passe par le symétrique $\;A_{i}\;$ de $\;A_{o}\;$ par rapport au miroir et par suite tous les rayons réfléchis étant issus de $\;A_{i}$ , appartiennent à un même faisceau de sommet $\;A_{i}$ ;

$\;A_{i}$ , le symétrique de $\;A_{o}\;$ par rapport au miroir, est donc le point image conjuguée du point objet $\;A_{o}\;$ ${\big (}$ la conjugaison entre $\;A_{o}\;$ et $\;A_{i}\;$ est rigoureuse car il n’y a aucune restriction sur le rayon incident issu de $\;A_{o}{\big )}\;$ d'où le « stigmatisme rigoureux du miroir plan pour tous les points objets réels ».

Soit $\;A_{o}\;$ un point objet virtuel $\;{\big (}$ c.-à-d. le point de convergence d'un faisceau incident situé au-delà du miroir plan ${\big )}\;$ ^[24] $\;{\big (}$ voir la figure ci-contre ^[23] à gauche ${\big )}$ ;

chaque rayon incident dont le prolongement aboutit à $\;A_{o}\;$ admet un réfléchi passant par le symétrique $\;A_{i}\;$ de $\;A_{o}\;$ par rapport au miroir et par suite tous les rayons réfléchis aboutissant à $\;A_{i}$ , appartiennent à un même faisceau de sommet $\;A_{i}$ ;

$\;A_{i}$ , le symétrique de $\;A_{o}\;$ par rapport au miroir, est donc le point image conjuguée du point objet $\;A_{o}\;$ ${\big (}$ la conjugaison entre $\;A_{o}\;$ et $\;A_{i}\;$ est rigoureuse car il n’y a aucune restriction sur le rayon incident aboutissant à $\;A_{o}{\big )}\;$ d'où le « stigmatisme rigoureux du miroir plan pour tous les points objets virtuels ».

Finalement, ayant démontré le stigmatisme rigoureux du miroir plan pour tous les points objets réels ou virtuels, on peut affirmer

« le stigmatisme rigoureux des miroirs plans » ;
de plus l'image et l'objet sont toujours de nature différente, l'image d'un objet réel étant virtuel et l'image d'un objet virtuel, réelle.

Points doubles d'un miroir plan et la nature afocale de ce dernier

On appelle « point double » d'un système optique stigmatique rigoureux, « un point objet qui est son propre conjugué rigoureux par le système optique » ^[25] ;

considérant un miroir plan et les objets ponctuels situés sur un même axe optique principal, on peut définir sur cet axe deux points doubles :

Justification de la propriété de point double pour les points d'un miroir plan
Justification de la propriété de point double pour les points à l'infini d'un miroir plan

le « sommet $\;S\;$ du miroir » c.-à-d. « l'intersection du miroir et de l'axe optique principal », voir vérification sur figure ci-dessus à gauche,
un faisceau convergeant en $\;S\;$ se réfléchit en faisceau divergeant à partir de $\;S\;$ d'où « le sommet $\;S\;$ du miroir plan est un point double de ce dernier pour l'axe optique principal considéré » ^[26],
le « point à l'infini de l'axe optique principal » voir vérification sur figure ci-dessus à droite,
un « faisceau $\;\parallel \;$ de direction $\;\Delta \;$ normale au miroir » se réfléchit sur lui-même ^[27] d'où « le point à l'infini est un point double du miroir pour l'axe optique principal considéré » ^[28] ;
de cette propriété on en déduit que le miroir plan est un système « afocal » $\;{\big (}$ voir définition ci-dessous ${\big )}$ .

Définition de système focal, de système afocal :

Un système optique est dit « focal » si « le point à l'infini de l'axe optique principal est le conjugué d'un point à distance finie »,

Un système optiqueil est dit « afocal » si « le point à l'infini de l'axe optique principal est un point double ».

Notion d'aplanétisme rigoureux

Définition d'un objet linéique transverse

Un « objet étendu » peut être considéré comme une « juxtaposition de points objets indépendants », nous ne considérerons par la suite que des « objets étendus à une dimension » ^[29] ;

un objet étendu à une dimension est dit « linéique » si les points objets le constituant sont « alignés »,

un objet linéique est dit « transverse » si les points objets alignés le constituant sont « dans un même plan transverse ».

Conséquence du caractère "stigmatisme rigoureux" d'un système optique sur un objet linéique transverse

     Le système optique étant « stigmatique rigoureux », tous les points objets $\;M_{o}\;$ constituant l'objet linéique transverse « $\;A_{o}B_{o}\;$ » admettent un point image unique $\;M_{i}\;$ et par suite
     Le système optique étant « stigmatique rigoureux », « le système optique donne de l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ une image unique $\;A_{i}B_{i}\;$ » ^[30] ; mais a priori
     Le système optique étant « stigmatique rigoureux », les points images composant $\;A_{i}B_{i}\;$ ne sont pas nécessairement alignés $\;{\big (}$ l'image n'est donc pas nécessairement linéique ${\big )}\;$ et s'ils le sont
     Le système optique étant « stigmatique rigoureux », ils ne se situent pas nécessairement dans un même plan transverse $\;{\big (}$ si l'image est linéique, elle n'est pas nécessairement transverse ${\big )}$ .

Définition de l'aplanétisme rigoureux d'un système optique stigmatique rigoureux

Un système optique stigmatique rigoureux est « aplanétique rigoureux » si « l'image d'un objet linéique transverse est elle-même linéique transverse quelles que soient la position et la dimension de l'objet » ;
l'« aplanétisme rigoureux d'un système optique stigmatique rigoureux » est donc la conservation du caractère « linéique transverse » lors de la conjugaison rigoureuse du système optique quel que soit l'objet.

Construction de l'image d'un objet linéique transverse par un miroir plan, aplanétisme rigoureux d'un miroir plan

Construction de l'image d'un objet linéique transverse par un miroir plan

Soit l'objet linéique transverse réel $\;A_{o}B_{o}\;$ de point objet générique $\;M_{o}\;$ ${\big (}$ voir figure ci-contre ^[31] ${\big )}\;$ dont on cherche l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ de point image générique $\;M_{i}\;$ par le miroir plan ;

chaque point objet $\;M_{o}\;$ ayant pour image $\;M_{i}$ , le symétrique de $\;M_{o}\;$ par rapport au miroir plan nous en déduisons que
« l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ est symétrique de l'objet $\;A_{o}B_{o}\;$ », l'image de l'objet réel étant virtuelle ;

on pourrait faire la construction à partir d'un objet linéique transverse virtuel $\;A_{o}B_{o}\;$ de point objet générique $\;M_{o}$ , on trouverait que
« l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ est symétrique de l'objet $\;A_{o}B_{o}\;$ », l'image de l'objet virtuel étant réelle.

Aplanétisme rigoureux d'un miroir plan

Reprenons la figure ci-contre, $\;M_{o}\;$ restant à distance constante du miroir $\;{\big (}$ caractère linéique transverse de l'objet ${\big )}$ , il en est de même de $\;M_{i}\;$ d'où
le « caractère linéique transverse » de l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ quelles que soient la position et la dimension de l'objet réel $\;{\big (}$ ou virtuel ${\big )}$ $\;A_{o}B_{o}\;$ ;

on en déduit l'« aplanétisme rigoureux du miroir plan » étant donné que la propriété est vraie pour tous les objets réels $\;{\big (}$ ou virtuels ${\big )}$ .

Natures différentes de l'objet et de son image par un miroir plan

D'après ce qui précède, « un miroir plan donne d'un objet réel une image virtuelle » et
D'après ce qui précède, « un miroir plan donne« d'un objet virtuel, une image réelle » ;

« un objet et son image conjuguée par miroir plan » sont donc de « natures différentes » ^[32].

Algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel), algébrisation associée des plans transverses, orientation dissociée des plans d'incidence ou d'émergence

L'algébrisation physique de l'axe optique principal $\;{\big (}$ associé à un objet ponctuel ${\big )}\;$ n'ayant pas encore été introduite en cours, l'est dans ce chapitre mais, ce n'est pas une notion spécifique au miroir plan, elle concerne tous les systèmes optiques qu'ils soient composés de dioptres ou de miroirs quelle que soit leur forme ; il en est de même des notions qui en découlent à savoir l'algébrisation associée des plans transverses et l'orientation dissociée des plans d'incidence ou d'émergence.

Algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)

On oriente l'axe optique principal « dans le sens de propagation de la lumière » ce qui donne, suivant la nature du système optique, les sens suivants :

Algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'un système dioptrique unidirectionnel

dans un système dioptrique « unidirectionnel » ^[33], l'axe optique principal est constitué de rayons incident, intermédiaires et émergent de même direction où les sens incident et émergent sont les mêmes ^[34],
il n'y a donc qu'« un seul sens ${\underline {\;+\;}}$ » ^[35] $\;{\big (}$ voir schémas ci-contre à droite ${\big )}$ ,

Algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'un miroir

dans un système catadioptrique « unidirectionnel » ^[33], l'axe optique principal est là encore constitué de rayons incident et émergent de même direction ^[36] mais où les sens incident et émergent sont contraires ^[37],
il y a donc « deux sens ${\underline {\;+\;}}$ »,
$\;\succ \;$ « le sens incident » et
$\;\succ \;$ « le sens émergent »
$\;{\big (}$ voir schémas ci-contre à gauche ^[38] ${\big )}$ .

Algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'un fibre optique courbée

Pour terminer un exemple où l'axe optique principal associé à un point objet n'est pas une succession de rayons incident, intermédiaires et émergent car la partie intermédiaire n'est pas constituée de rayons $\;\ldots$

c'est l'exemple déjà cité de « fibre optique courbée » $\;{\big (}$ voir ci-contre ${\big )}$ ,

c'est l'exemple déjà cité de « fibre optique courbée » dans ce cas « il n'y a qu'un seul sens $\;+\;$ ».

Repérage d'un point objet ou d'un point image sur l'axe optique principal

La position d’un point objet ou celle d'un point image de l'axe optique principal « d'un dioptre ou d'un miroir » ^[39] est repérée par rapport à une « origine liée à la surface dioptrique ou réfléchissante » ^[40] sur laquelle tous les rayons incidents issus du point objet arrivent et de laquelle tous les rayons émergents repartent en direction du point image ^[41], le point commun du rayon incident et du rayon émergent correspondant étant le point d'incidence situé sur la surface dioptrique ou réfléchissante, voir schémas ci-dessous,

« surface dioptrique » à gauche et
« surface réfléchissante » ^[42] au centre ;

Repérage d'un point objet ou image sur l'axe optique principal d'un dioptre, lien entre la réalité ou la virtualité du point et le signe de son abscisse
Repérage d'un point objet ou image sur l'axe optique principal d'un miroir, lien entre la réalité ou la virtualité du point et le signe de son abscisse
Repérage d'un point objet ou image sur l'axe optique principal d'un prisme à réflexion totale, lien entre réalité ou virtualité du point et signe de son abscisse

dans un système « dioptrique à plus d'un dioptre » ou « catadioptrique à un miroir et plusieurs dioptres » ^[43] ou « catadioptrique à plus d'un miroir ou surface réfléchissante » ^[44] ou encore, dans un système à axe optique principal possédant une portion courbée ^[45], que le système soit unidirectionnel ou polydirectionnel ^[46], la position d’un point objet ou d'un point image ^[41] de l'axe optique principal est repérée par rapport à une « origine liée à la face d'entrée ou la face de sortie » ^[47] en utilisant le « sens $\;+\;$ incident » ou le « sens $\;+\;$ émergent » ^[48], voir ci-dessus à droite sur l'exemple du prisme à réflexion totale.

Précautions à prendre lors de l'utilisation de l'algébrisation physique de l'axe optique principal d'un système pour lequel il y a plusieurs sens + définis sur l'axe optique principal

Dans le cas d'un miroir, une même position géométrique ayant une abscisse différente, suivant qu’elle est occupée par un point objet ou un point image, il faut préciser nettement s'il s’agit d'un point du rayon incident ou d'un point du rayon réfléchi et pour cela une façon consiste à rappeler « le sens d’orientation de la partie incidente ou réfléchie de l’axe optique principal » ^[49] en indice de la mesure algébrique considérée.

Orientation des espaces objets et images

Orientant les « espaces objets » $\;{\big (}$ réels et virtuels ${\big )}\;$ « à droite » ^[50] et y choisissant une « base directe » ^[51] $\;{\big (}$ c.-à-d. déterminée par la « règle de la main droite » ^[52] ${\big )}$ , l'orientation des espaces images $\;{\big (}$ réelles et virtuelles ${\big )}\;$ dépend du système optique considéré :

si le système optique est « dioptrique », les « espaces images » $\;{\big (}$ réelles et virtuelles ${\big )}\;$ sont « orientés à droite » ^[50] avec choix d'une « base directe » ^[51] $\;{\big (}$ c.-à-d. déterminé par la « règle de la main droite » ^[52] ${\big )}$ $\;{\big \{}$ image de la base directe des espaces objets $\;{\big (}$ réels et virtuels ${\big )}\;$ par le système dioptrique ${\big \}}$ ,
si le système optique est « catadioptrique » ^[53], les « espaces images » $\;{\big (}$ réelles et virtuelles ${\big )}\;$ sont « orientés à gauche » ^[50] avec choix d'une « base indirecte $\;{\big (}$ au sens de la physique ${\big )}\;$ » ^[54] $\;{\big (}$ c.-à-d. déterminée par la « règle de la main gauche » ^[55] ${\big )}$ $\;{\big \{}$ la base indirecte $\;{\big (}$ au sens de la physique ${\big )}\;$ ^[54] des espaces images $\;{\big (}$ réelles et virtuelles ${\big )}\;$ est l'image de la base directe ^[51] des espaces objets $\;{\big (}$ réels et virtuels ${\big )}\;$ par le système catadioptrique ^[53] ${\big \}}$ .

Remarque : Si le système optique est catadioptrique avec plusieurs miroirs $\;{\big (}$ ou surfaces réfléchissantes ^[44] ${\big )}$ , l'orientation des espaces images $\;{\big (}$ réelles et virtuelles ${\big )}\;$ dépend du nombre de miroirs $\;{\big (}$ ou de surfaces réfléchissantes ^[44] ${\big )}$ ;

après un nombre pair de réflexions, les « espaces images » $\;{\big (}$ réelles et virtuelles ${\big )}\;$ sont « orientés à droite » ^[50] avec choix d'une « base directe » ^[51] $\;{\big (}$ c.-à-d. déterminée par la « règle de la main droite » ^[52] ${\big )}$ $\;{\big \{}$ la base directe ^[51] des espaces images $\;{\big (}$ réelles et virtuelles ${\big )}\;$ est l'image de la base directe ^[51] des espaces objets $\;{\big (}$ réels et virtuels ${\big )}\;$ par le système catadioptrique à nombre pair de réflexions ${\big \}}$ ,
après un nombre impair de réflexions, les « espaces images » $\;{\big (}$ réelles et virtuelles ${\big )}\;$ sont « orientés à gauche » ^[50] avec choix d'une « base indirecte $\;{\big (}$ au sens de la physique ${\big )}\;$ » ^[54] $\;{\big (}$ c.-à-d. déterminée par la « règle de la main gauche » ^[55] ${\big )}$ $\;{\big \{}$ la base indirecte $\;{\big (}$ au sens de la physique ${\big )}\;$ ^[54] des espaces images $\;{\big (}$ réelles et virtuelles ${\big )}\;$ est l'image de la base directe ^[51] des espaces objets $\;{\big (}$ réels et virtuels ${\big )}\;$ par le système catadioptrique à nombre impair de réflexions ${\big \}}$ .

Algébrisation associée des plans transverses

L'axe optique principal du système optique étant algébrisé physiquement, le(s) vecteur(s) unitaire(s) associé(s) à cette algébrisation défini(ssen)t le 1^er vecteur de base orientant l'espace objet $\;{\big (}$ ou image ${\big )}$ , les 2^ème et 3^ème vecteurs de base orthonormée orientant cet espace objet $\;{\big (}$ ou image ${\big )}\;$ définissant l'algébrisation des plans transverses de l'espace considéré, plus précisément :

si le système optique est « dioptrique unidirectionnel », l'axe optique principal n'ayant qu'une seule orientation, le vecteur unitaire associé est noté $\;{\vec {u}}_{1}$ , les espaces objet et image étant tous deux « orientés à droite » ^[50] avec choix d'une « base orthonormée directe » ^[51] $\;{\big (}$ c.-à-d. déterminée par la « règle de la main droite » ^[52] ${\big )}$ , nous la choisissons commune et la notons $\;({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})$ , ceci entraînant une algébrisation identique des plans transverses des espaces objet ou image ^[56] par $\;({\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})$ ;

Algébrisation identique des plans transverses des espaces objets et images d'un miroir plan

si le système optique est « catadioptrique unidirectionnel », l'axe optique principal a une orientation différente suivant qu'il s'agit d'un point objet ou d'un point image,
$\;\succ \;$ le vecteur unitaire associé de la partie incidente de l'axe optique principal étant noté $\;{\vec {u}}_{1}$ , les espaces objets $\;{\big (}$ réel ou virtuel ${\big )}\;$ sont « orientés à droite » ^[50] avec choix d'une « base orthonormée directe » ^[51] notée $\;({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})$ , ceci entraînant l'algébrisation des plans transverses des espaces objets $\;{\big (}$ réel ou virtuel ${\big )}\;$ par $\;({\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})\;$ et
$\;\succ \;$ le vecteur unitaire associé de la partie émergente de l'axe optique principal étant noté $\;{{\vec {u}}'}_{1}=-{\vec {u}}_{1}$ , les espaces images $\;{\big (}$ réelles ou virtuelles ${\big )}\;$ sont « orientés à gauche » ^[50] avec choix d'une « base orthonormée indirecte $\;{\big (}$ au sens de la physique ${\big )}\;$ » ^[54] $\;{\big (}$ c.-à-d. déterminée par la « règle de la main gauche » ^[55] ${\big )}$ , notée $\;({{\vec {u}}'}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})\;$ ^[57], ceci entraînant la même algébrisation des plans transverses des espaces images $\;{\big (}$ réelles ou virtuelles ${\big )}\;$ par $\;({\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})$ que celle des plans transverses des espaces objets $\;{\big (}$ réels ou virtuels ${\big )}\;$ ^[56] $\;{\big [}$ voir schéma ci-contre dans l'exemple d'un miroir plan où $\;{\vec {u}}_{1}\;$ est noté $\;{\vec {u}}_{x}$ , $\;{{\vec {u}}'}_{1}\;$ noté $\;{{\vec {u}}'}_{x}\;$ et $\;({\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})\;$ notés $\;({\vec {u}}_{y},\,{\vec {u}}_{z}){\big ]}$ .

     Remarque : On rappelle que pour un système catadioptrique avec plusieurs miroirs $\;{\big (}$ ou surfaces réfléchissantes ^[44] ${\big )}$ , l'orientation des espaces images $\;{\big (}$ réelles ou virtuelles ${\big )}\;$ dépend du nombre de miroirs $\;{\big (}$ ou de surfaces réfléchissantes ^[44] ${\big )}$ ;
     Remarque : $\bullet \;$ après un nombre pair de réflexions, les « espaces images » $\;{\big (}$ réelles ou virtuelles ${\big )}\;$ sont « orientés à droite » ^[50] avec choix d'une « base orthonormée directe » ^[51],
     Remarque : $\bullet \;$ après un nombre impair de réflexions, les « espaces images » $\;{\big (}$ réelles ou virtuelles ${\big )}\;$ sont « orientés à gauche » ^[50] avec choix d'une « base orthonormée indirecte $\;{\big (}$ au sens de la physique ${\big )}\;$ » ^[54] ;

Remarque : toutefois, dans les deux cas, les plans transverses des espaces objets ou images sont algébrisés selon la règle citée en introduction de ce paragraphe respectant l'orientation de l'espace auquel appartient le plan transverse considéré ^[58].

Orientation des plans d'incidence et d'émergence

Rappel de l'orientation des angles d'un plan d'un espace à trois dimensions

L'espace étant « orienté à droite » ^[50] avec choix d'une base orthonormée « directe » ^[51] $\;{\big (}$ c.-à-d. déterminée par la « règle de la main droite » ^[52] ${\big )}\;$ ou

L'espace étant « orienté à gauche » ^[50] avec choix d'une base orthonormée « indirecte $\;{\big (}$ au sens de la physique ${\big )}\;$ » ^[54] $\;{\big (}$ c.-à-d. déterminée par la « règle de la main gauche » ^[55] ${\big )}\;$ ,

les angles d'un plan quelconque de cet espace sont orientés par un vecteur unitaire normal $\;{\vec {n}}\;$ et

$\;{\vec {e}}_{1}\;$ et $\;{\vec {e}}_{2}\;$ étant deux vecteurs non colinéaires quelconques du plan dont les angles sont orientés par $\;{\vec {n}}$ , le signe de l'angle algébrisé $\;{\widehat {({\vec {e}}_{1}\,,\,{\vec {e}}_{2})}}\;$ se détermine par la règle suivante :

si « le trièdre $\;({\vec {n}},\,{\vec {e}}_{1},\,{\vec {e}}_{2})\;$ est direct » $\;{\big (}$ c.-à-d. suivant la « règle de la main droite » ^[52] ${\big )}\;$ dans un espace « orienté à droite » ^[50] $\Rightarrow$ $\;{\widehat {({\vec {e}}_{1}\,,\,{\vec {e}}_{2})}}>0$ ,
si « le trièdre $\;({\vec {n}},\,{\vec {e}}_{1},\,{\vec {e}}_{2})\;$ est indirect » $\;{\big (}$ c.-à-d. suivant la « règle de la main gauche » ^[55] ${\big )}\;$ dans un espace « orienté à droite » ^[50] $\Rightarrow$ $\;{\widehat {({\vec {e}}_{1}\,,\,{\vec {e}}_{2})}}<0$ ,
si « le trièdre $\;({\vec {n}},\,{\vec {e}}_{1},\,{\vec {e}}_{2})\;$ est indirect $\;{\big (}$ au sens de la physique ${\big )}\;$ » $\;{\big (}$ c.-à-d. suivant la « règle de la main gauche » ^[55] ${\big )}\;$ dans un espace « orienté à gauche » ^[50] $\Rightarrow$ $\;{\widehat {({\vec {e}}_{1}\,,\,{\vec {e}}_{2})}}>0$ ,
si « le trièdre $\;({\vec {n}},\,{\vec {e}}_{1},\,{\vec {e}}_{2})\;$ est direct $\;{\big (}$ au sens de la physique ${\big )}\;$ » $\;{\big (}$ c.-à-d. suivant la « règle de la main droite » ^[52] ${\big )}\;$ dans un espace « orienté à gauche » ^[50] $\Rightarrow$ $\;{\widehat {({\vec {e}}_{1}\,,\,{\vec {e}}_{2})}}<0$ .

Orientation des plans d'incidence et d'émergence

Si le système optique est « unidirectionnel », les plans d'incidence et d'émergence sont confondus et il est souhaitable $-$ comme cela a été fait pour la réfraction et la réflexion $-$ de définir un « même sens $\;+\;$ d'orientation des angles » ;

si le système est « dioptrique unidirectionnel », l'axe optique principal n'a qu'« une seule orientation de vecteur unitaire noté $\;{\vec {u}}_{1}\;$ », les espaces objet et image sont tous deux « orientés à droite » ^[50] avec choix d'une base « directe commune » ^[51] $\;{\big (}$ c.-à-d. déterminée par la « règle de la main droite » ^[52] ${\big )}\;$ « $\;({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})\;$ » et
si le système est « dioptrique unidirectionnel », si le plan d'incidence est le plan $\;({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2})$ , le plan d'émergence est aussi $\;({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2})$ , tous les deux étant $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{3}$ , le choix d'orienter les angles de ce plan par $\;{\vec {u}}_{3}\;$ $\Rightarrow$ « le sens $\;+\;$ des angles de ce plan est de $\;{\vec {u}}_{1}\;$ vers $\;{\vec {u}}_{2}\;$ » car « $\;({\vec {u}}_{3},\,{\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2})\;$ est direct » ^[59] ;
si le système est « catadioptrique unidirectionnel », la partie incidente de l'axe optique principal est orientée par le vecteur de base $\;{\vec {u}}_{1}\;$ 1^er vecteur de la base des espaces objets « orientés à droite » ^[50], base choisie « directe $\;({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})\;$ » ^[51] $\;{\big (}$ c.-à-d. déterminée par la « règle de la main droite » ^[52] ${\big )}\;$ alors que
si le système est « catadioptrique unidirectionnel », sa partie émergente par le vecteur de base $\;{{\vec {u}}'}_{1}=-{\vec {u}}_{1}\;$ 1^er vecteur de la base des espaces images « orientés à gauche » ^[50], base choisie « indirecte $\;{\big (}$ au sens de la physique ${\big )}$ $\;({{\vec {u}}'}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})\;$ » ^[54] $\;{\big (}$ c.-à-d. déterminée par la « règle de la main gauche » ^[55] ${\big )}\;$ et
si le système est « catadioptrique unidirectionnel », si le plan d'incidence est le plan $\;({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2})$ , le plan d'émergence est le plan $\;({{\vec {u}}'}_{1},\,{\vec {u}}_{2})$ , tous deux étant $\;\perp \;$ à $\;{\vec {u}}_{3}$ , le choix d'orienter les angles de ce plan commun par $\;{\vec {u}}_{3}\;$ aurait pour conséquences :
si le système est « catadioptrique unidirectionnel », « le sens $\;+\;$ des angles du plan d'incidence est de $\;{\vec {u}}_{1}\;$ vers $\;{\vec {u}}_{2}\;$ » car « $\;({\vec {u}}_{3},\,{\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2})\;$ est direct » ^[59] $\;{\big (}$ suivant la « règle de la main droite » ^[52] ${\big )}\;$ dans un espace « orienté à droite » ^[50] mais
si le système est « catadioptrique unidirectionnel », « le sens $\;+\;$ des angles du plan d'émergence étant, avec le choix d'orientation par $\;{\vec {u}}_{3}$ , de $\;{{\vec {u}}'}_{\!1}\;$ vers $\;{\vec {u}}_{2}\;$ » car « $\;({\vec {u}}_{3},\,{{\vec {u}}'}_{\!1},\,{\vec {u}}_{2})\;$ est indirect $\;{\big (}$ au sens de la physique ${\big )}\;$ » ^[59] $\;{\big (}$ suivant la « règle de la main gauche » ^[55] ${\big )}\;$ dans un espace « orienté à gauche » ^[50], ce sens $\;+\;$ des angles du plan d'émergence serait le sens $\;-\;$ des angles du plan d'incidence, ce qui n'est pas ce que nous souhaitions, aussi
si le système est « catadioptrique unidirectionnel », « les angles du plan d'incidence étant orientés par $\;{\vec {u}}_{3}\;$ » c.-à-d. « de $\;{\vec {u}}_{1}\;$ vers $\;{\vec {u}}_{2}\;$ »,
si le système est « catadioptrique unidirectionnel », « les angles du plan d'émergence doivent être orientés par $\;-{\vec {u}}_{3}\;$ » c.-à-d. « de $\;{\vec {u}}_{2}\;$ vers $\;{{\vec {u}}'}_{\!1}\;$ » $\;{\big (}$ même orientation que « de $\;{\vec {u}}_{1}\;$ vers $\;{\vec {u}}_{2}\;$ » ^[60] ${\big )}\;$ ceci étant en accord avec « $\;(-{\vec {u}}_{3},\,{\vec {u}}_{2},\,{{\vec {u}}'}_{\!1})\;$ indirect $\;{\big (}$ au sens de la physique ${\big )}\;$ » ^[61] $\;{\big (}$ suivant la « règle de la main gauche » ^[55] ${\big )}\;$ dans un espace « orienté à gauche » ^[50].

Relation de conjugaison de position de Descartes d'un miroir plan

Repérage « physique » de Descartes

     On choisit comme « origine des parties incidente et réfléchie de l'axe optique principal » « le sommet $\;S\;$ du miroir plan $\;{\big (}$ associé à cet axe optique principal ${\big )}\;$ » et,
     pour rappeler que les sens $\;+\;$ des parties incidente et réfléchie de l'axe optique principal sont différents dans l'algébrisation de l'axe optique principal,
     on notera l'abscisse « physique » de Descartes ^[19] du point objet $\;A_{o}\;$ par « $\;p_{o}={\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }\;$ » ^[62] ainsi que
     on notera l'abscisse « physique » de Descartes ^[19] du point image $\;A_{i}\;$ par « $\;p_{i}={\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }\;$ » ^[62].

Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes d'un miroir plan

Bien qu'il s'agisse d'une conjugaison rigoureuse, il n'est pas d'usage de le rappeler dans le nom de la relation.

On utilise le fait que « les points conjugués par un miroir plan sont symétriques par rapport à ce dernier » ce qui entraîne qu'ils ont des abscisses « physiques » de Descartes ^[19] de même valeur absolue c.-à-d. « $\;\vert p_{i}\vert =\vert p_{o}\vert \;$ » ;

si « le point objet $\;A_{o}\;$ est réel », $\;A_{o}\;$ est situé avant le sommet $\;S\;$ $\Rightarrow$ « $\;p_{0}<0\;$ » et « le point image $\;A_{i}$ , symétrique de $\;A_{o}\;$ par rapport au miroir plan, est virtuel », $\;A_{i}\;$ étant alors situé avant le sommet $\;S\;$ sur le rayon réfléchi $\Rightarrow$ « $\;p_{i}<0\;$ » d'où l'égalité des abscisses « physiques » de Descartes ^[19],
si « le point objet $\;A_{o}\;$ est virtuel », $\;A_{o}\;$ est situé après le sommet $\;S\;$ $\Rightarrow$ « $\;p_{0}>0\;$ » et « le point image $\;A_{i}$ , symétrique de $\;A_{o}\;$ par rapport au miroir plan, est réel », $\;A_{i}\;$ étant alors situé après le sommet $\;S\;$ sur le rayon réfléchi $\Rightarrow$ « $\;p_{i}>0\;$ » d'où l'égalité des abscisses « physiques » de Descartes ^[19] ;

finalement la relation de conjugaison de position $\;{\big (}$ ou 1^ère relation de conjugaison ${\big )}\;$ de Descartes ^[19] d'un miroir plan est

«

\;p_{i}=p_{o}\;

» ou «

\;{\overline {SA_{i}}}_{\leftarrow }={\overline {SA_{o}}}_{\rightarrow }\;

» ^[63].

Grandissement transverse d'un objet linéique transverse, relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes d'un miroir plan

Définition du grandissement transverse d'un objet linéique transverse dans le cas d'un système optique « unidirectionnel » aplanétique

Le contenu de ce paragraphe s'applique à tout système dioptrique ou catadioptrique « unidirectionnel » aplanétique,
il n'est pas spécifique à un miroir plan.

Pour un système optique « unidirectionnel », les plans transverses de l'espace image sont $\;\parallel \;$ à ceux de l'espace objet et, dans le cas d'aplanétisme $\;{\big (}$ rigoureux ${\big )}\;$ « l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ d'un objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ ^[64] étant $\;\parallel \;$ à ce dernier » ^[65] on définit le grandissement transverse de cet objet linéique transverse par

«

\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}\;

»

\;{\big (}

nombre sans dimension

{\big )}

,
«

\;{\overline {A_{o}B_{o}}}\;

» et «

\;{\overline {A_{i}B_{i}}}\;

» étant les longueurs algébrisées respectivement de l'objet et de l'image
selon le vecteur de base commun

\;{\vec {u}}_{2}\;

ou

\;{\vec {u}}_{3}\;

^[66] des plans transverses ;

suivant le signe du grandissement transverse, on déduit le sens de l'image relativement à l'objet :

«si $\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}\;$ est $\;>0\;$ », « l'image est dans le même sens que l'objet », on parle alors d'image « droite »,
«si $\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}\;$ est $\;<0\;$ », « l'image est dans le sens contraire de l'objet », on parle alors d'image « inverse » ^[67].

Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes d'un miroir plan

Bien qu'il s'agisse d'une conjugaison rigoureuse, il n'est pas d'usage de le rappeler dans le nom de la relation.

« L'image étant symétrique de l'objet par rapport au miroir plan » avec « objet et image » tous deux $\;\parallel \;$ au miroir, « l'image est dans le même sens que l'objet et de même dimension » ;

de cette dernière affirmation « l'image de même dimension que l'objet » on tire que « le grandissement transverse est de valeur absolue égale à $\;1\;$ » et

de la première affirmation « l'image de même sens que l'objet » on tire que « le grandissement transverse est positif » $\;{\big (}$ les plans transverses objets et images étant orientés par les mêmes vecteurs de base ${\big )}\;$ d'où :

l'expression de la relation de conjugaison de grandissement transverse $\;{\big (}$ ou 2^ème relation de conjugaison ${\big )}\;$ de Descartes ^[19] d'un miroir plan

«

\;G_{t}(A_{o})=+1\;

» ou «

\;{\overline {A_{i}B_{i}}}={\overline {A_{o}B_{o}}}\;

» ^[68]^, ^[69].

Grandissement angulaire d'un pinceau lumineux, relation de Lagrange-Helmholtz

Les deux 1^ers paragraphes ci-dessous s'appliquent à tout système dioptrique ou catadioptrique « unidirectionnel » aplanétique,
ils ne sont pas spécifiques à un miroir plan.

Repérage d'un pinceau incident ou émergent

Un pinceau étant la matérialisation pratique d'un rayon, on le repère par l'angle orienté que fait sa direction de propagation avec celle de même nature sur l'axe optique principal ^[70], ainsi :

dans un système dioptrique « unidirectionnel », un pinceau incident de direction de propagation $\;{\vec {e}}_{o}\;$ est repéré par l'angle « $\;\theta _{o}={\widehat {({\vec {u}}_{1}\,{\text{;}}\,{\vec {e}}_{o})}}\;$ » du plan d'incidence « orienté de $\;{\vec {u}}_{1}\;$ vers $\;{\vec {u}}_{2}\;$ » ^[71], « $\;{\vec {u}}_{1}\;$ étant le vecteur unitaire orientant l'axe optique principal », « $\;{\vec {u}}_{2}\;$ et $\;{\vec {u}}_{3}\;$ algébrisant les plans transverses » et « $\;({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})\;$ la base directe » commune choisie dans les espaces objets et images tous deux « orientés à droite » ^[50]^, ^[51] $\;{\big (}$ la base étant déterminée par la « règle de la main droite » ^[52] ${\big )}$ ;
dans un système dioptrique « unidirectionnel » un pinceau émergent de direction de propagation $\;{\vec {e}}_{i}\;$ est repéré par l'angle « $\;\theta _{i}={\widehat {({\vec {u}}_{1}\,{\text{;}}\,{\vec {e}}_{i})}}\;$ » du plan d'émergence « orienté de $\;{\vec {u}}_{1}\;$ vers $\;{\vec {u}}_{2}\;$ » ^[71] ;
dans un système catadioptrique « unidirectionnel » $\;{\big (}$ voir un exemple ci-dessous à droite, le miroir plan ; repérage d'un pinceau incident et du pinceau émergent correspondant ${\big )}$ ,

dans un système catadioptrique « unidirectionnel » un pinceau incident de direction de propagation $\;{\vec {e}}_{o}\;$ est repéré par l'angle « $\;\theta _{o}=$ ${\widehat {({\vec {u}}_{1}\,{\text{;}}\,{\vec {e}}_{o})}}\;$ » du plan d'incidence orienté de « $\;{\vec {u}}_{1}\;$ vers $\;{\vec {u}}_{2}\;$ » ^[72], « $\;{\vec {u}}_{1}\;$ étant le vecteur unitaire orientant la partie incidente de l'axe optique principal », « $\;{\vec {u}}_{2}\;$ et $\;{\vec {u}}_{3}\;$ algébrisant les plans transverses » et « $\;({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})\;$ la base directe » choisie dans les espaces objets « orientés à droite » ^[50]^, ^[51] $\;{\big (}$ la base étant déterminée par la « règle de la main droite » ^[52] ${\big )}$ ;
dans un système catadioptrique « unidirectionnel » un pinceau émergent de direction de propagation $\;{\vec {e}}_{i}\;$ est repéré par l'angle « $\;\theta _{i}={\widehat {({{\vec {u}}'}_{1}\,{\text{;}}\,{\vec {e}}_{i})}}\;$ » du plan d'émergence orienté de « $\;{\vec {u}}_{2}\;$ vers $\;{{\vec {u}}'}_{1}\;$ » ^[73], « $\;{{\vec {u}}'}_{1}\;$ étant le vecteur unitaire orientant la partie émergente de l'axe optique principal », « $\;{\vec {u}}_{2}\;$ et $\;{\vec {u}}_{3}\;$ algébrisant les plans transverses » et « $\;({{\vec {u}}'}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})\;$ la base indirecte $\;{\big (}$ au sens de la physique ${\big )}\;$ choisie dans les espaces images orientés à gauche » ^[50]^, ^[54] $\;{\big (}$ la base étant déterminée par la « règle de la main gauche » ^[55] ${\big )}$ .

Définition du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet

Ayant défini, dans un « système dioptrique ou catadioptrique unidirectionnel » $\;{\big (}$ voir le schéma ci-contre pour un système catadioptrique unidirectionnel ${\big )}$ ,

l'angle $\;\theta _{o}\;$ d'inclinaison de la direction du pinceau incident issu du point objet $\;A_{o}\;$ ainsi que
l'angle $\;\theta _{i}\;$ d'inclinaison de la direction du pinceau émergent du point image $\;A_{i}$ ,

tous deux comptés positivement selon le « même sens $\;+\;$ », on appelle

« grandissement angulaire du pinceau lumineux issu du point objet

\;A_{o}\;

, noté

\;G_{a}(A_{0})\;

»
le rapport algébrique «

\;G_{a}(A_{o})={\dfrac {\theta _{i}}{\theta _{o}}}\;

»

\;{\big (}

nombre sans dimension

{\big )}

.

Valeur du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet par un miroir plan

     « Le point image $\;A_{i}\;$ du point objet $\;A_{o}\;$ par un miroir plan étant le symétrique de $\;A_{o}\;$ par rapport au miroir plan », on vérifie aisément
          que les « angles $\;\theta _{i}\;$ et $\;\theta _{o}\;$ ont même valeur absolue » $\;{\big (}$ en effet les triangles $\;A_{o}SI\;$ et $\;A_{i}SI$ , $\;I\;$ étant le point d'incidence du pinceau incident et réfléchi sur le miroir, sont égaux ${\big )}\;$ et
          qu'ils sont de signe contraire $\;{\big (}$ en effet $\;\theta _{i}\;$ étant égal à l'angle de réflexion du rayon médian du pinceau émergent et $\;\theta _{o}\;$ à l'angle d'incidence du rayon médian du pinceau incident, ces deux angles obéissant à la 2^ème loi de Snell-Descartes ^[18]^, ^[19] de la réflexion ^[21] ${\big )}$ ,
     on en déduit le grandissement angulaire cherché soit

«

\;G_{a}(A_{o})=-1\;

» ^[74].

Lien entre le grandissement transverse d'un objet linéique transverse et le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu du point objet pied de l'objet linéique transverse par un miroir plan, relation de Lagrange-Helmholtz

     Ayant établi que le grandissement transverse par un miroir plan d'un objet linéique transverse de pied $\;A_{o}\;$ est « $\;G_{t}(A_{o})=+1\;$ » et
     Ayant établi que le grandissement angulaire par le même miroir plan d'un pinceau lumineux issu de $\;A_{o}\;$ est « $\;G_{a}(A_{o})=-1\;$ »,
     on en déduit une « relation liant les grandissements transverse et angulaire relatifs à un même point objet $\;A_{o}\;$ » ne dépendant pas de ce dernier,
     on en déduit une « relation appelée « relation de Lagrange – Helmholtz » ^[75]^, ^[76], cette relation s'écrivant pour un miroir plan $\;{\big (}$ et pour tout système catadioptrique unidirectionnel ${\big )}\;$

«

\;G_{t}(A_{o})\;G_{a}(A_{o})=-1\;

» ^[77].

Sensibilisation de l'utilisation de la relation de Lagrange-Helmholtz à un système catadioptrique, exemple d'un miroir sphérique concave

Il ne s'agit pas d'étudier dans les détails toutes les propriétés des « miroirs sphériques » ^[78], mais uniquement
d'« utiliser les lois de Snell–Descartes de la réflexion » ^[20]^, ^[21] appliquées à un « miroir sphérique

\;{\big (}

concave

{\big )}\;

» pour
souligner l'intérêt de la « relation de Lagrange-Helmholtz » ^[75]^, ^[76].

Comme nous l'avons évoqué en note « ⁷⁷ » plus haut dans ce chapitre, la « relation de Lagrange-Helmholtz » ^[75]^, ^[76] n'a aucun intérêt pour un miroir plan, par contre
Comme nous l'avons évoqué en note « 77 » plus haut dans ce chapitre, la « relation de Lagrange-Helmholtz » elle en acquiert un pour un « miroir sphérique ».

     Quelques données relatives au miroir sphérique : $\succ \;$ le centre de courbure $\;C\;$ est sa propre image par le miroir sphérique quelle que soit l'ouverture du faisceau issu de $\;C$ , il y a donc
          Quelques données relatives au miroir sphérique : d'une part « stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour son centre de courbure ${\underline {\;C\;}}$ » ^[79] et
          Quelques données relatives au miroir sphérique : d'autre part « le centre de courbure ${\underline {\;C\;}}$ du miroir sphérique est un point double » ^[80] ;
     Quelques données relatives au miroir sphérique : $\succ \;$ pour tous les autres point objets $\;{\big (}$ à l'exception du sommet $\;S{\big )}$ , il n'y a pas stigmatisme rigoureux du miroir sphérique mais,
          Quelques données relatives au miroir sphérique : si on limite les angles intervenant dans la réflexion $-$ c.-à-d. si on se place dans les « conditions de Gauss de stigmatisme approché d'un système optique centré » ^[81] du chap. $13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $-$ il y a stigmatisme approché du miroir sphérique ;
     Quelques données relatives au miroir sphérique : $\succ \;$ pour tous les objets linéiques transverses $\;{\big (}$ de pied autre que $\;C\;$ ou $\;S{\big )}\;$ vu du miroir sous un angle non petit ^[82], il n'y a pas aplanétisme rigoureux du miroir sphérique, mais
          Quelques données relatives au miroir sphérique : si l'objet linéique transverse est « vu du miroir » sous un petit angle $-$ c.-à-d. si on se place dans les « conditions supplémentaires de Gauss d'aplanétisme approché d'un système optique centré » ^[81] du chap. $13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » $-$ il y a aplanétisme approché du miroir sphérique ;
     Quelques données relatives au miroir sphérique : $\succ \;$ on peut donc, dans les « conditions de Gauss » ^[81] du chap. $13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) », évaluer les grandissements
               Quelques données relatives au miroir sphérique : angulaire d'un pinceau passant par le point objet $\;A_{o}\;$ et
               Quelques données relatives au miroir sphérique : transverse d'un objet linéique transverse de pied $\;A_{o}$ ,
          Quelques données relatives au miroir sphérique : ce qui permet de vérifier la « relation de Lagrange-Helmholtz » ^[75]^, ^[76] par construction effectuée sur un schéma :

Construction utilisant un miroir sphérique concave : voir schéma d'analyse ci-contre $\;{\big (}$ les angles représentés sont supposés petits de façon à ce que les « conditions de Gauss de stigmatisme approché ^[81] et celles supplémentaires d'aplanétisme approché » introduites au chap. $13$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » soient réalisées ${\big )}$ ;

     On construit le rayon réfléchi sur le miroir sphérique du rayon incident issu du point objet réel $\;A_{o}\;$ de l'axe optique principal, rayon incident incliné de $\;\theta _{o}>0\;$ relativement à la partie incidente de l'axe optique principal
     On construit par utilisation de la 1^ère et 2^ème loi de Snell–Descartes ^[18]^, ^[19] de la réflexion ^[20]^, ^[21],
     On construit l'intersection de l'axe optique principal et du rayon réfléchi incliné de $\;\theta _{i}>0\;$ relativement à la partie réfléchie de l'axe optique principal définit le point image $\;A_{i}\;$ réel ;

     on construit le point image $\;B_{i}\;$ du point objet réel $\;B_{o}$ , extrémité située hors axe optique principal de l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}$ ,
     on construit en utilisant le rayon incident issu de $\;B_{o}\;$ et passant par le centre de courbure $\;C$ , rayon qui se réfléchit sur lui-même, et,
     on construit compte-tenu de l'aplanétisme approché, le point image $\;B_{i}\;$ ayant pour pied sur l'axe optique principal le point image $\;A_{i}\;$ est le point réel du rayon réfléchi se projetant orthogonalement sur l'axe optique principal en $\;A_{i}$ ;

     on observe que l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ est inversée par rapport à l'objet $\;A_{o}B_{o}\;$ et que la taille de la 1^ère est inférieure à celle du 2^ème d'où
     on observe que « le grandissement transverse $\;G_{t}(A_{o})={\dfrac {\overline {A_{i}B_{i}}}{\overline {A_{o}B_{o}}}}\;\in \,\left]-1\,,\,0\right[\;$ » d'une part
     on observe que les angles $\;\theta _{i}\;$ et $\;\theta _{o}\;$ de même signe sont tels $\;\theta _{i}\;$ est supérieur à $\;\theta _{o}\;$ d'où
     on observe que « le grandissement angulaire $\;G_{a}(A_{o})={\dfrac {\theta _{i}}{\theta _{o}}}\;\in \,\left]+1\,,\,+\infty \right[\;$ » d'autre part,
     l'observation graphique de ces résultats est donc conforme à la « relation de Lagrange-Helmholtz » ^[75]^, ^[76] laquelle, bien sûr, nécessiterait d'être démontrée $\;\ldots$

Notes et références

↑ Dans un système « dioptrique » à direction de propagation « unidirectionnelle », la lumière émergente est dans le « même sens » que la lumière incidente.
↑
Dans un système « catadioptrique » à direction de propagation « unidirectionnelle », la lumière émergente est dans le « sens contraire » de la lumière incidente ;
on prolonge la définition des systèmes « catadioptriques » en permettant qu'ils contiennent plus d'un miroir ;
dans le cas où la propagation est « unidirectionnelle » $\;{\big (}$ $\;{\big (}$ par abus on parle encore de système « catadioptrique unidirectionnel » ${\big )}$ ${\big )}$ ,
- si le nombre de miroirs est pair, le système catadioptrique est équivalent à un système dioptrique car le sens émergent est identique au sens incident et
- si le nombre de miroirs est impair, le système catadioptrique est équivalent à un miroir, le sens émergent étant opposé au sens incident.
↑ Dans ce cas l'objet peut « absorber puis réémettre » ou « réfléchir » la lumière reçue, pour éviter les complications on dira que l'objet « émet la lumière $\;{\big (}$ qu'il a reçu ${\big )}\;$ ».
↑ On parle alors de « point objet ».
↑ Voir la partie gauche du schéma ci-dessous.
↑ Voir le paragraphe « espaces images, nature réelle ou virtuelle » plus bas dans ce chapitre.
↑ Ce n'est pas la définition la plus générale qui est énoncée ci-après mais celle qui est donnée est applicable à tous les systèmes à l'exception d'une fibre optique courbée.
↑ Ce rayon $-$ ainsi que son prolongement « virtuel » au-delà de la face d'entrée $-$ définit la partie incidente de l'axe optique principal.
↑ Le rayon émergent $-$ ainsi que son prolongement « virtuel » en-deçà de la face de sortie $-$ définit la partie émergente de l'axe optique principal.
↑ ^10,0 et ^10,1 On a supposé que le faisceau incident issu du point objet $\;A_{o}\;$ donnait un faisceau convergent en un point $\;A_{i}$ , ceci n'est vrai que pour le miroir plan, pour les autres la convergence n'est pas ponctuelle pour une ouverture non petite $\;\ldots$
↑ Pour une fibre optique courbée la définition d'un axe optique principal associé à un point objet doit être celle qui est donnée en remarque ci-dessous.
↑ Cette définition englobe la définition précédente et n'est vraiment utile que pour une fibre optique courbée pour laquelle la définition précédente ne s'applique pas.
↑ Principal ou secondaire $\;{\big (}$ associé à un point objet ${\big )}$ .
↑ On parle alors de « point image ».
↑ Et par conséquent apparaissant « floue ».
↑ Le stigmatisme rigoureux d'un système optique pour tous les points objets est très rare ; comme nous le verrons, le miroir plan en est un exemple mais c'est en fait le seul.
↑ Voir la partie droite du schéma du paragraphe « notion de point objet, espaces objets, nature réelle ou virtuelle » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^18,0 ^18,1 ^18,2 et ^18,3 Willebrord Snell Van Royen ou Snellius (1580 - 1626) humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes $\;{\big (}$ sans que ce soit assuré ${\big )}$ $\;\ldots$
↑ ^19,00 ^19,01 ^19,02 ^19,03 ^19,04 ^19,05 ^19,06 ^19,07 ^19,08 ^19,09 et ^19,10 René Descartes (1596 - 1650) mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la philosophie moderne, en physique a contribué à l'optique géométrique et en mathématiques est à l'origine de la géométrie analytique.
↑ ^20,0 ^20,1 et ^20,2 Voir le paragraphe « 1^ère loi de Snell-Descartes de la réflexion » du chap. $11$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ ^21,0 ^21,1 ^21,2 et ^21,3 Voir le paragraphe « 2^ème loi de Snell-Descartes de la réflexion » du chap. $11$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ Ce Qu'il Fallait Démontrer.
↑ ^23,0 et ^23,1 Sur cette figure a été indiquée l'algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel) définie au paragraphe précité plus loin dans ce chapitre.
↑ Pour créer un point objet virtuel $\;A_{o}\;$ relativement au miroir plan, on crée un point image réelle $\;A_{o}\;$ par un 1^er système optique d'une source ponctuelle $\;{A'}_{\!o}\;$ ${\big (}$ on crée donc un point de convergence réelle $\;A_{o}\;$ par ce 1^er système optique d'un faisceau provenant d'une source ponctuelle $\;{A'}_{\!o}{\big )}$ , mais on empêche la convergence réelle en $\;A_{o}\;$ en interposant le miroir plan avant $\;A_{o}$ , le faisceau rencontrant maintenant la face d'entrée du miroir avant son point de convergence $\;A_{o}$ , ce dernier devient virtuel.
↑ On peut dire aussi qu'un point double est un point objet qui est sa propre image par le système optique.
↑ Le miroir plan étant la « face d'entrée » du système optique, si on définit l'espace objet réel comme l'espace strictement situé en-deçà du miroir plan dans le sens incident et l'espace objet virtuel comme l'espace strictement situé au-delà du miroir plan dans le sens incident, les deux espaces objets n'ayant pas d'intersection, un objet est donc soit réel, soit virtuel ;
   de même le miroir plan étant la « face de sortie » du système optique, si on définit l'espace image réelle comme l'espace strictement situé en-deçà du miroir plan dans le sens réfléchi et l'espace image virtuelle comme l'espace strictement situé au-delà du miroir plan dans le sens réfléchi, les deux espaces images n'ayant pas d'intersection, une image est donc soit réelle, soit virtuelle ;
   avec cette définition, le point objet situé au sommet du miroir n'a ni caractère réel, ni caractère virtuel et il en est de même du point image positionné au sommet du miroir, ce qui, mettant le sommet à part relativement aux autres objets ou aux autres images, n'est pas satisfaisant ;
   en fait il est impossible de mettre une source ponctuelle exactement sur le miroir, le plus simple pour essayer de réaliser l'expérience $\;{\big (}$ avec un point objet sur le miroir plan ${\big )}\;$ est de créer, par un autre système optique, une image ponctuelle $\;A_{o}\;$ qui servira d'objet pour le miroir et de positionner ce dernier sur $\;A_{o}\;$ mais dans la pratique le miroir sera très légèrement au-delà de $\;A_{o}\;$ dans le sens incident rendant $\;A_{o}\;$ réel ou très légèrement en-deçà de $\;A_{o}\;$ dans le sens incident rendant $\;A_{o}\;$ virtuel, aussi est-il possible de considérer qu'en théorie $\;A_{o}\;$ sur le miroir est réel à $\;50\,\%\;$ et virtuel à $\;50\,\%\;$ ainsi que son image par le miroir confondue avec $\;A_{o}\;$ est à la fois virtuelle à $\;50\,\%\;$ et réelle à $\;50\,\%\;$ ${\big [}$ si en pratique le miroir est très légèrement au-delà de $\;A_{o}\;$ dans le sens incident rendant $\;A_{o}\;$ réel, l'image de ce dernier par le miroir sera très légèrement en-deçà du miroir dans le sens réfléchi rendant l'image virtuelle et si en pratique le miroir est au contraire très légèrement en-deçà de $\;A_{o}\;$ dans le sens incident rendant $\;A_{o}\;$ virtuel, l'image de ce dernier par le miroir sera très légèrement au-delà du miroir dans le sens réfléchi rendant l'image réelle ${\big ]}\;$ d'où l'intérêt de donner une autre définition des espaces objets réel et virtuel ainsi que des espaces images réelle et virtuelle d'un miroir plan permettant de ne plus particulariser le sommet du miroir sur un axe optique principal quelconque ;
   pour cela il suffit de considérer que la « face d'entrée » appartient à la fois aux espaces objet réel et objet virtuel et que la « face de sortie » appartient à la fois aux espaces image réelle et image virtuelle, dans ces conditions le point double « sommet $\;S\;$ du miroir plan pour l'axe optique principal considéré » situé sur le miroir dans l'intersection des espaces objet réel et image virtuelle ou des espaces objet virtuel et image réelle est bien tel que l'objet et l'image par le miroir plan sont confondues en étant de nature différente.
↑ Sur la figure considérée, les rayons réfléchis de point d'incidence respectif $\;S_{A}\;$ et $\;S_{B}\;$ ont été décalé relativement aux rayons incidents pour une question de lisibilité du schéma.
↑ Pour que le point à l'infini sur l'axe optique principal soit un point double, il faut admettre qu'il est à la fois réel et virtuel $\;{\big (}$ les points conjugués par un miroir plan étant de nature différente ${\big )}\;$ c.-à-d. considérer
que l'espace objet réel $\;{\big (}$ c.-à-d. l'espace objet situé en-deçà de la face d'entrée du miroir dans le sens incident ${\big )}\;$ et à l'espace image virtuelle $\;{\big (}$ c.-à-d. l'espace image situé en-deçà de la face de sortie du miroir dans le sens émergent ${\big )}\;$ se rejoignent à l'infini ou que l'espace objet virtuel $\;{\big (}$ c.-à-d. l'espace objet situé au-delà de la face d'entrée du miroir dans le sens incident ${\big )}\;$ et à l'espace image réelle $\;{\big (}$ c.-à-d. l'espace image situé au-delà de la face de sortie du miroir dans le sens émergent ${\big )}\;$ se rejoignent aussi à l'infini ou encore,
qu'une droite en tant que « limite d'un cercle dont le centre est situé perpendiculairement à la droite à une distance tendant vers l'infini, le rayon du cercle tendant également vers l'infini » est une courbe qui se ferme à l'infini $\;{\big (}$ le cercle dont la droite est la limite étant une courbe fermée ${\big )}$ .
↑ Un « objet étendu à deux dimensions » étant une « juxtaposition continue d'objets étendus à une dimension indépendants » et un « objet étendu à trois dimensions », une « juxtaposition continue d'objets étendus à deux dimensions indépendants ».
↑ L'image « $\;A_{i}B_{i}\;$ » étant composée d'images ponctuelles est donc « nette ».
↑ Sur cette figure sont indiquées l'algébrisation physique de l'axe optique principal ainsi que l'orientation des espaces objet et image qui seront définies aux paragraphes « algébrisation physique de l'axe optique principale (associé à un objet ponctuel) » et « orientation des espaces objets et images » plus loin dans ce chapitre.
↑ On rappelle qu'en englobant dans l'espace objet réel et l'espace objet virtuel, la face d'entrée du miroir, de même
   On rappelle qu'en englobant dans l'espace image réelle et l'espace image virtuelle, la face de sortie du miroir,
   le point double « sommet du miroir sur l'axe optique principal considéré » peut être considéré comme un objet réel, son image confondue avec lui étant alors virtuelle ou
   le point double « sommet du miroir sur l'axe optique principal considéré » peut être considéré comme un objet virtuel, son image confondue avec lui étant alors réelle ; de même
   le point double « point à l'infini sur l'axe optique principal associé » $\;{\big (}$ le point à l'infini d'une droite étant considéré comme le point de fermeture de la droite, limite d'un cercle dont le centre est situé perpendiculairement à la droite à une distance tendant vers l'infini, le rayon du cercle tendant également vers l'infini ${\big )}\;$
   le point double « point à l'infini sur l'axe optique principal associé » peut être considéré comme un objet réel, son image confondue avec lui étant alors virtuelle ou
   le point double « point à l'infini sur l'axe optique principal associé » peut être considéré comme un objet virtuel, son image confondue avec lui étant alors réelle.
↑ ^33,0 et ^33,1 Le qualificatif « unidirectionnel » appliqué à un système dioptrique ou catadioptrique signifiant que ce système dioptrique ou catadioptrique est à « axe optique principal unidirectionnel » ;
avec la définition pratique de l'axe optique principal $\;{\big (}$ applicable à pratiquement tous les systèmes à l'exception des fibres optiques courbées ${\big )}$ , l'axe optique principal est constitué de rayons ayant tous même support.
↑ L'application de cette propriété se prolonge aux systèmes catadioptriques unidirectionnels à nombre pair de miroirs.
↑
Algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'un périscope
Dans un système catadioptrique polydirectionnel comme celui du système optique formant un périscope $\;{\big (}$ $\;{\big (}$ le système est qualifié de catadioptrique car on observe des réflexions totales ${\big )}$ ${\big )}$ , l'axe optique principal est constitué
- de rayon incident $\;\perp \;$ à la face d'entrée, de rayon intermédiaire de même direction et de même sens que le rayon incident avant la 1^ère réflexion totale,
- de rayons intermédiaires de direction $\;\perp \;$ au rayon incident après la 1^ère réflexion,
- de rayon intermédiaire de même direction et de même sens que le rayon incident après la 2^ème réflexion totale, de rayon émergent de même direction et de même sens que le rayon incident,
   on dénombre donc « deux sens $\;+\;$ »,
    $\;\succ \;$ le sens $\;+\;$ incident ou émergent $\;{\big (}$ ainsi qu'intermédiaire juste avant le 1^ère réflexion totale ou juste après la 2^ème ${\big )}\;$ et
    $\;\succ \;$ le sens $\;+\;$ pour les rayons intermédiaires correspondant à une rotation de $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ en valeur absolue relativement au sens $\;+\;$ commun précédent.
↑ Si le système catadioptrique contient des dioptres intermédiaires $\;{\big (}$ les faces d'entrée et de sortie étant les faces d'un miroir, les dioptres séparant des espaces optiques intermédiaires ${\big )}$ , en plus des rayons incident et émergent il y a des rayons intermédiaires mais pour un système « unidirectionnel » les rayons intermédiaires sont de même direction que les rayons incident et émergent ;
si au contraire le miroir est intermédiaire il y a également en plus des rayons incident et émergent aboutissant ou issu des dioptres extrêmes, des rayons intermédiaires dont ceux aboutissant et issu du miroir, tous ces rayons ayant même direction.
↑ Si le système catadioptrique « unidirectionnel » contient des dioptres intermédiaires, il y a des rayons intermédiaires de même direction que les rayons incident et émergent ; le sens des rayons intermédiaires est alors identique au sens incident ;
si au contraire le miroir est intermédiaire il y a donc des rayons intermédiaires de même direction que les rayons incident et émergent, le sens des rayons intermédiaires avant le miroir étant identique au sens incident et celui des rayons intermédiaires après le miroir identique au sens émergent.
↑
Algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'une équerre optique
Dans un système catadioptrique polydirectionnel comme dans le cas d'un prisme à réflexion totale formant une équerre optique $\;{\big (}$ $\;{\big (}$ voir schéma ci-contre à droite ${\big )}$ ${\big )}$ $\;{\big [}$ le système est qualifié de catadioptrique car on observe des réflexions totales, dans le cas d'une équerre optique on n'en observe qu'une ${\big ]}$ ${\big ]}$ ,
   Dans un système catadioptrique polydirectionnel comme dans le cas d'un prisme à réflexion totale formant une équerre optique « il y a deux sens $\;+\;$ $\;+\;$ »,
   Dans un système catadioptrique polydirectionnel comme dans le cas d'un prisme à réflexion totale formant une équerre optique $\bullet \;$ $\bullet \;$ le sens $\;+\;$ $\;+\;$ incident et
   Dans un système catadioptrique polydirectionnel comme dans le cas d'un prisme à réflexion totale formant une équerre optique $\bullet \;$ $\bullet \;$ le sens $\;+\;$ $\;+\;$ émergent,
   Dans un système catadioptrique polydirectionnel comme dans le cas d'un prisme à réflexion totale formant une équerre optique le sens du rayon intermédiaire avant réflexion étant identique au sens incident et celui du rayon intermédiaire après réflexion identique au sens émergent ;
Algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'un prisme à réflexion totale
un autre exemple de système catadioptrique polydirectionnel est le cas du prisme à réflexion totale dans lequel on observe deux réflexions totales $\;{\big (}$ $\;{\big (}$ voir schéma ci-contre à gauche exposant l'algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'un prisme à réflexion totale ${\big )}$ ${\big )}$ , il y a alors « trois sens $\;+\;$ $\;+\;$ »,
- le sens $\;+\;$ incident pour les rayons incident et intermédiaire avant la 1^ère réflexion totale,
- le sens $\;+\;$ intermédiaire correspondant à une rotation de $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ en valeur absolue relativement au sens $\;+\;$ incident pour le rayon intermédiaire après la 1^ère réflexion totale et avant la 2^ème,
- le sens $\;+\;$ émergent opposé au sens $\;+\;$ incident pour les rayons émergent et intermédiaire après la 2^ème réflexion totale.
↑
Avec un dioptre ou un miroir, l'axe optique principal associé à un point objet est constitué
- du rayon incident issu du point objet $\;\perp \;$ à la surface dioptrique ou réfléchissante et
- du rayon émergent de même direction et de même sens que le rayon incident pour un dioptre ou de sens contraire pour un miroir.
↑ Le plus souvent on choisit le sommet $\;S\;$ de la surface dioptrique ou réfléchissante, c.-à-d. l'intersection de cette dernière avec l'axe optique principal.
↑ ^41,0 et ^41,1 Pour définir un couple de points conjugués, il faut bien sûr que le système optique soit stigmatique rigoureux pour le point objet.
↑ Seul le cas d'un objet réel et d'une image virtuelle a été représenté $\;{\big (}$ l'image n'étant a priori pas celle de l'objet positionné ${\big )}$ ;
si l'objet était virtuel il serait au-delà du miroir sur la partie incidente de l'axe optique principal $\;{\big (}$ donc à droite ${\big )}\;$ et si l'image envisagée était réelle elle serait au-delà du miroir sur la partie réfléchie de l'axe optique principal $\;{\big (}$ donc à gauche ${\big )}$ .
↑ Dans ce cas le miroir ne pouvant constituer la face d'entrée $\;{\big (}$ sinon les dioptres ne seraient pas utilisés ${\big )}$ , le système optique comprend au moins deux dioptres, celui dont la surface dioptrique sert de face d'entrée aboutissant directement $\;{\big (}$ ou par l'intermédiaire d'autres dioptres ${\big )}\;$ au miroir lequel, par retour inverse de la lumière, renvoie directement $\;{\big (}$ ou par l'intermédiaire des dioptres inverses ${\big )}\;$ vers le dioptre inverse de celui d'entrée, la surface dioptrique de ce dioptre inverse servant de face de sortie.
↑ ^44,0 ^44,1 ^44,2 ^44,3 et ^44,4 Une surface réfléchissante qui n'est pas un miroir étant par exemple une surface dioptrique sur laquelle on observe une réflexion totale.
↑ Comme une fibre optique courbée.
↑ C.-à-d. que l'axe optique principal soit constitué de rayons de même direction ou de directions différentes.
↑ Le plus souvent on choisit le sommet $\;S_{e}\;$ de la face d'entrée, c.-à-d. l'intersection de cette dernière avec l'axe optique principal pour repérer un point objet et
Le plus souvent on choisit le sommet $\;S_{s}\;$ de la face de sortie, c.-à-d. l'intersection de cette dernière avec l'axe optique principal pour repérer un point image.
↑ Le sens $\;+\;$ incident servant à repérer le point objet et le sens $\;+\;$ émergent à repérer le point image.
↑ Dans le cas où le miroir est vertical avec l'espace objet réel sur sa gauche, le sens incident est $\;\rightarrow \;$ et le sens réfléchi $\;\leftarrow$ ;
Dans le cas où si le miroir est retourné, l'espace objet réel étant maintenant sur sa droite, le sens incident devient $\;\leftarrow \;$ et le sens réfléchi $\;\rightarrow$ ;
Dans le cas si le miroir est horizontal avec l'espace objet réel au-dessus, le sens incident est $\;\downarrow \;$ et le sens réfléchi $\;\uparrow \;$ etc $\;\ldots$
↑ ^50,00 ^50,01 ^50,02 ^50,03 ^50,04 ^50,05 ^50,06 ^50,07 ^50,08 ^50,09 ^50,10 ^50,11 ^50,12 ^50,13 ^50,14 ^50,15 ^50,16 ^50,17 ^50,18 ^50,19 ^50,20 ^50,21 ^50,22 ^50,23 et ^50,24 Orientation de l'espace définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell $\;{\big [}$ voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteur » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ ;
James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.
↑ ^51,00 ^51,01 ^51,02 ^51,03 ^51,04 ^51,05 ^51,06 ^51,07 ^51,08 ^51,09 ^51,10 ^51,11 ^51,12 ^51,13 et ^51,14 Voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^52,00 ^52,01 ^52,02 ^52,03 ^52,04 ^52,05 ^52,06 ^52,07 ^52,08 ^52,09 ^52,10 et ^52,11 Levant le pouce de la main droite dans le sens du 1^er vecteur, l'index pointant dans le sens du 2^ème vecteur, « le sens du 3^ème vecteur est donné par le majeur courbé vers la paume de la main droite » $\;{\big (}$ ceux qui se souviennent de leur enfance pourraient encore appeler cette règle « la règle de l'apprenti cow-boy droitier » ${\big )}$ ; il existe d'autres règles équivalentes :
   « règle de l'auto-stoppeur (droitier) » : l'avant bras $\;{\big (}$ droit ${\big )}\;$ étant dans le sens du 1^er vecteur, la poigne de la main $\;{\big (}$ droite ${\big )}\;$ courbée dans le sens du 2^ème vecteur, le pouce est alors levé dans le sens du 3^ème vecteur,
   « règle du tire-bouchon de Maxwell » : le tire-bouchon tournant du 1^er vecteur vers du 2^ème, il s'enfonce dans le bouchon fixe dans le sens de du 3^ème vecteur,
   « règle du bonhomme d'Ampère » : le bonhomme d'Ampère se couchant sur la direction du 1^er vecteur, ce vecteur lui entrant par les pieds et lui sortant par la tête, regardant droit devant dans le sens du 2^ème vecteur, il tend le bras gauche perpendiculairement à son corps dans le sens du 3^ème vecteur,
   et bien d'autres règles que vous pouvez vous-même inventer.
   James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.
   André-Marie Ampère (1775 - 1836), mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'électronique de la matière ; c'est lui qui inventa le bonhomme fictif portant son nom et permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs.
↑ ^53,0 et ^53,1 Au sens premier du terme, c.-à-d. contenant un miroir et éventuellement des dioptres.
↑ ^54,0 ^54,1 ^54,2 ^54,3 ^54,4 ^54,5 ^54,6 ^54,7 et ^54,8 Voir le paragraphe « base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ ^55,00 ^55,01 ^55,02 ^55,03 ^55,04 ^55,05 ^55,06 ^55,07 ^55,08 et ^55,09 Levant le pouce de la main gauche dans le sens du 1^er vecteur, l'index pointant dans le sens du 2^ème vecteur, « le sens du 3^ème vecteur est donné par le majeur courbé vers la paume de la main gauche » $\;{\big (}$ pourraient encore être appelée « la règle de l'auto-stoppeur gaucher » ${\big )}$ .
↑ ^56,0 et ^56,1 On peut faire la comparaison de l'algébrisation des plans transverses des espaces objets et celle des plans transverses des espaces images car ces derniers sont parallèles dans un système optique unidirectionnel.
↑ Le vecteur unitaire $\;{{\vec {u}}'}_{1}\;$ étant égal à $\;-{\vec {u}}_{1}$ , les bases $\;({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})\;$ et $\;({{\vec {u}}'}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})\;$ ont des orientations opposées, la 1^ère étant directe, la 2^ème est donc indirecte $\;{\big (}$ au sens de la physique ${\big )}$ .
↑ Néanmoins l'algébrisation des plans transverses des espaces objets $\;{\big (}$ réels ou virtuels ${\big )}\;$ et celle des plans transverses des espaces images $\;{\big (}$ réelles ou virtuelles ${\big )}\;$ ne peuvent être comparées que si les plans transverses sont $\;\parallel$ .
↑ ^59,0 ^59,1 et ^59,2 Toute permutation circulaire sur une base conservant son caractère direct ou indirect.
↑ En effet un sens $\;+\;$ de $\;{\vec {u}}_{1}\;$ vers $\;{\vec {u}}_{2}\;$ est aussi le sens $\;+\;$ de $\;{\vec {u}}_{2}\;$ vers $\;-{\vec {u}}_{1}={{\vec {u}}'}_{\!1}$ .
↑ En effet le trièdre « $\;({{\vec {u}}'}_{\!1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})\;$ » étant indirect, une permutation circulaire conduit à « $\;({\vec {u}}_{3},\,{{\vec {u}}'}_{\!1},\,{\vec {u}}_{2})\;$ » indirect puis une permutation entre le 2^ème et le 3^ème vecteur à un trièdre direct et enfin le remplacement du 1^er vecteur par son opposé le retour à un trièdre indirect.
↑ ^62,0 et ^62,1 Dans la mesure où le miroir est vertical avec l'espace objet réel à gauche du miroir plan, le sens incident est $\;\rightarrow \;$ et le sens réfléchi $\;\leftarrow$ ;
bien entendu les indices doivent être adaptées à la situation du miroir plan par exemple :
Dans la mesure si le miroir est horizontal avec l'espace objet réel au-dessus du miroir plan, le sens incident est $\;\downarrow \;$ et le sens réfléchi $\;\uparrow$ $\;\ldots$
↑ On peut utiliser cette relation pour déterminer la position du point image connaissant celle du point objet ou vice versa ;
toutefois, en ce qui concerne le miroir plan, les positions respectives d'un objet et de son image sont suffisamment simples à déterminer géométriquement $\;{\big (}$ les deux étant symétriques l'un de l'autre par rapport au miroir plan ${\big )}\;$ pour qu'on n'utilise pas, dans la pratique, la relation de conjugaison de position de Descartes pour le faire.
↑ $\;A_{o}\;$ étant sur l'axe optique principal définissant le sommet $\;S\;$ du miroir plan servant d'origine du repérage « physique » de Descartes, $\;B_{o}\;$ étant en dehors, la conjugaison donne $\;A_{i}\;$ sur l'axe optique principal et $\;B_{i}\;$ en dehors ; les points $\;A_{o}\;$ et $\;A_{i}\;$ sont encore appelés respectivement « pied » de l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ et « pied » de l'image linéique transverse $\;A_{i}B_{i}$ .
↑ L'aplanétisme $\;{\big (}$ rigoureux ${\big )}\;$ pour un couple de points conjugués $\;(A_{o}\,,\,A_{i})\;$ signifie simplement que l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ de l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ est linéique transverse, mais a priori l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ pourrait ne pas être dans le plan contenant l'objet $\;A_{o}B_{o}\;$ et l'axe optique principal ;
la raison pour laquelle l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ est $\;\parallel \;$ à l'objet $\;A_{o}B_{o}\;$ est que tout plan d'émergence est géométriquement confondu avec le plan d'incidence correspondant, ceci étant une conséquence de la « 1^ère loi de Snell-Descartes de la réflexion » ou de la « 1^ère loi de Snell-Descartes de la réfraction » $\;{\big [}$ du chap. $11$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big ]}\;$ $\Rightarrow$ l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ est dans le plan contenant l'objet $\;A_{o}B_{o}\;$ et l'axe optique principal.
↑ Ou une combinaison linéaire des deux.
↑ Ou d'image « inversée ».
↑ Le grandissement transverse est donc indépendant de la position de l'objet par rapport au miroir ainsi que de sa taille.
↑ On peut utiliser cette relation pour déterminer la taille de l'image linéique transverse connaissant celle de l'objet linéique transverse ou vice versa ;
toutefois, en ce qui concerne le miroir plan, les grandeurs respectives d'un objet et de son image sont suffisamment simples à déterminer géométriquement $\;{\big (}$ les deux étant de même taille ${\big )}\;$ pour qu'on n'utilise pas, dans la pratique, la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour le faire.
↑ C.-à-d. qu'un pinceau incident sera repéré par rapport à la partie incidente de l'axe optique principal et
C.-à-d. qu'un pinceau émergent sera repéré par rapport à la partie émergente de l'axe optique principal.
↑ ^71,0 et ^71,1 Le vecteur orientant le plan d'incidence est donc $\;{\vec {u}}_{3}\;$ selon la règle d'« orientation des angles d'un plan d'un espace à trois dimensions » rappelée plus haut dans ce chapitre.
↑ Voir le paragraphe « orientation des plans d'incidence et d'émergence (si le système est catadioptrique unidirectionnel) » plus haut dans ce chapitre.
↑ Le vecteur orientant les angle du plan d'émergence étant $\;-{\vec {u}}_{3}\;$ en accord avec $\;(-{\vec {u}}_{3},\,{\vec {u}}_{2},\,{{\vec {u}}'}_{1})\;$ « indirecte $\;{\big (}$ au sens de la physique ${\big )}\;$ » des espaces images orientés à gauche, ceci ayant pour conséquence que le plan d'émergence est orienté dans le même sens que le plan d'incidence ;
on rappelle, d'une part, que le caractère « indirect $\;{\big (}$ au sens de la physique ${\big )}\;$ » de la base d'un espace orienté à gauche suit la règle de la main gauche et,
on rappelle, d'autre part, que le lien entre le vecteur normal orientant le plan et le sens $\;+\;$ des angles du plan dans un espace orienté à gauche suit la règle du tire-bouchon des farces et attrapes $\;{\big (}$ ou du tire-bouchon pour gaucher ${\big )}$ .
↑ Le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet par un miroir plan est donc indépendant de la position de l'objet par rapport au miroir ainsi que de l'inclinaison du pinceau incident issu du point objet.
↑ ^75,0 ^75,1 ^75,2 ^75,3 et ^75,4 Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) mathématicien, mécanicien et astronome italien, naturalisé français vers la fin du XVIII^ème siècle $\;{\big (}$ son nom italien était Giuseppe Luigi Lagrangia ${\big )}$ ;
   on lui doit, entre autres, d'avoir jeté en mathématiques les bases du calcul variationnel, calcul qu'il appliqua en mécanique pour résoudre quelques problèmes $\;{\big [}$ propagation du son, corde vibrante, librations de la Lune $\;{\big (}$ c.-à-d. petites variations de son orbite ${\big )}{\big ]}$ ;
   en $\;1788$ , alors installé à Paris, il publia son livre de mécanique analytique dont le formalisme a permis, un siècle et demi plus tard, l'ébauche de la mécanique quantique, il est aussi l'un des pères du système métrique et de la division décimale des unités ;
   on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour Lagrange un domaine privilégié $\;{\big (}$ ni pour Helmholtz non plus ${\big )}$ !
↑ ^76,0 ^76,1 ^76,2 ^76,3 et ^76,4 Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (1821 - 1894) physiologiste et physicien allemand, à qui on doit d'importantes contributions dans la perception des sons et des couleurs ainsi que surtout dans le domaine de la thermodynamique ;
on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour Helmholtz un domaine privilégié $\;{\big (}$ ni pour Lagrange non plus ${\big )}$ !
↑
On admet que cette relation est applicable à tout système catadioptrique unidirectionnel dont le miroir plan n'est qu'un exemple très particulier ;
appliquée à un miroir plan la relation de Lagrange - Helmholtz n'a aucun intérêt car elle donne moins d'informations que n'en donnent les deux valeurs des grandissements transverse et angulaire prises indépendamment l'une de l'autre ;
la relation acquiert de l'intérêt pour des systèmes catadioptriques unidirectionnels pour lesquels les grandissements transverses et angulaires dépendent de la position de $\;A_{o}\;$ $\;A_{o}\;$ relativement à la surface réfléchissante, comme l'exemple des miroirs sphériques : la relation nous informe alors que
- d'une part les grandissements sont toujours de signe contraire et
- d'autre part plus le grandissement transverse est grand en valeur absolue $\;{\big (}$ plus l'image est de grande dimension par rapport à celle de l'objet ${\big )}$ , plus le grandissement angulaire est petit en valeur absolue $\;{\big (}$ plus les faisceaux émergents sont resserrés relativement aux faisceaux incidents ${\big )}$ .
↑ Ces derniers ne figurant pas au programme de physique de P.C.S.I..
↑ Il y a stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour un autre point « le sommet $\;S\;$ du miroir ».
↑ Il y a aussi un autre point double du miroir sphérique « son sommet $\;S\;$ ».
↑ ^81,0 ^81,1 ^81,2 et ^81,3 Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), mathématicien, astronome et physicien allemand, est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps $\;{\big (}$ il fut surnommé « le prince des mathématiciens » ${\big )}$ , on lui doit d'importantes contributions dans les trois domaines.
   En $\;1796$ , à l'âge de dix-neuf ans, Gauss caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un heptadécagone $\;{\big (}$ polygone régulier de $\;17\;$ côtés ${\big )}\;$ soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en $\;1801\;$ la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par Euler en $\;1772$ $\;{\big [}$ un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple $\;11\equiv 3^{2}\!\!{\pmod {2}}\;$ ou $\;19\equiv 4^{2}\!\!{\pmod {3}}\;$ ou encore $\;41\equiv 6^{2}\!\!{\pmod {5}}\;$ de même que $\;43\equiv 6^{2}\!\!{\pmod {7}}\;\ldots {\big ]}$ ;
   dans le domaine de l'astronomie il publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la méthode des moindres carrés ; auparavant, en $\;1801$ , il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver Cérès $\;{\big (}$ une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter ${\big )}$ ;
   dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de Maxwell gérant l'électromagnétisme ;
   certaines de ses contributions n'ont été mises à jour qu'à titre posthume, à la fin du XIX^ème siècle, Gauss n'ayant publié qu'une partie de ses découvertes.
     Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.
     James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.
↑ Cette notion d'angle non petit étant bien sûr à préciser $\;\ldots$

Signaux physiques (PCSI)

Optique géométrique : réflexion, réfraction, lois de Descartes

Optique géométrique : conditions de Gauss

[1] Dans un système « dioptrique » à direction de propagation « unidirectionnelle », la lumière émergente est dans le « même sens » que la lumière incidente.

[2] Dans un système « catadioptrique » à direction de propagation « unidirectionnelle », la lumière émergente est dans le « sens contraire » de la lumière incidente ;
on prolonge la définition des systèmes « catadioptriques » en permettant qu'ils contiennent plus d'un miroir ;
dans le cas où la propagation est « unidirectionnelle » $\;{\big (}$ par abus on parle encore de système « catadioptrique unidirectionnel » ${\big )}$ ,
si le nombre de miroirs est pair, le système catadioptrique est équivalent à un système dioptrique car le sens émergent est identique au sens incident et

si le nombre de miroirs est impair, le système catadioptrique est équivalent à un miroir, le sens émergent étant opposé au sens incident.

[3] si le nombre de miroirs est pair, le système catadioptrique est équivalent à un système dioptrique car le sens émergent est identique au sens incident et

[4] si le nombre de miroirs est impair, le système catadioptrique est équivalent à un miroir, le sens émergent étant opposé au sens incident.

[3] Dans ce cas l'objet peut « absorber puis réémettre » ou « réfléchir » la lumière reçue, pour éviter les complications on dira que l'objet « émet la lumière $\;{\big (}$ qu'il a reçu ${\big )}\;$ ».

[4] On parle alors de « point objet ».

[5] Voir la partie gauche du schéma ci-dessous.

[espaces_images-6] Voir le paragraphe « espaces images, nature réelle ou virtuelle » plus bas dans ce chapitre.

[7] Ce n'est pas la définition la plus générale qui est énoncée ci-après mais celle qui est donnée est applicable à tous les systèmes à l'exception d'une fibre optique courbée.

[8] Ce rayon $-$ ainsi que son prolongement « virtuel » au-delà de la face d'entrée $-$ définit la partie incidente de l'axe optique principal.

[9] Le rayon émergent $-$ ainsi que son prolongement « virtuel » en-deçà de la face de sortie $-$ définit la partie émergente de l'axe optique principal.

[Ao_supposé_avoir_une_image_Ai-10] 10,0 et ^10,1 On a supposé que le faisceau incident issu du point objet $\;A_{o}\;$ donnait un faisceau convergent en un point $\;A_{i}$ , ceci n'est vrai que pour le miroir plan, pour les autres la convergence n'est pas ponctuelle pour une ouverture non petite $\;\ldots$

[11] Pour une fibre optique courbée la définition d'un axe optique principal associé à un point objet doit être celle qui est donnée en remarque ci-dessous.

[12] Cette définition englobe la définition précédente et n'est vraiment utile que pour une fibre optique courbée pour laquelle la définition précédente ne s'applique pas.

[13] Principal ou secondaire $\;{\big (}$ associé à un point objet ${\big )}$ .

[14] On parle alors de « point image ».

[15] Et par conséquent apparaissant « floue ».

[16] Le stigmatisme rigoureux d'un système optique pour tous les points objets est très rare ; comme nous le verrons, le miroir plan en est un exemple mais c'est en fait le seul.

[17] Voir la partie droite du schéma du paragraphe « notion de point objet, espaces objets, nature réelle ou virtuelle » plus haut dans ce chapitre.

[Snell-18] 18,0 ^18,1 ^18,2 et ^18,3 Willebrord Snell Van Royen ou Snellius (1580 - 1626) humaniste, mathématicien et physicien néerlandais, semble avoir découvert les lois portant son nom avant Descartes $\;{\big (}$ sans que ce soit assuré ${\big )}$ $\;\ldots$

[Descartes-19] 19,00 ^19,01 ^19,02 ^19,03 ^19,04 ^19,05 ^19,06 ^19,07 ^19,08 ^19,09 et ^19,10 René Descartes (1596 - 1650) mathématicien, physicien et philosophe français, considéré comme l'un des fondateurs de la philosophie moderne, en physique a contribué à l'optique géométrique et en mathématiques est à l'origine de la géométrie analytique.

[1ère_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion-20] 20,0 ^20,1 et ^20,2 Voir le paragraphe « 1^ère loi de Snell-Descartes de la réflexion » du chap. $11$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[2ème_loi_de_Snell-Descartes_de_la_réflexion-21] 21,0 ^21,1 ^21,2 et ^21,3 Voir le paragraphe « 2^ème loi de Snell-Descartes de la réflexion » du chap. $11$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[C.Q.F.D.-22] Ce Qu'il Fallait Démontrer.

[algébrisation_physique-23] 23,0 et ^23,1 Sur cette figure a été indiquée l'algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel) définie au paragraphe précité plus loin dans ce chapitre.

[24] Pour créer un point objet virtuel $\;A_{o}\;$ relativement au miroir plan, on crée un point image réelle $\;A_{o}\;$ par un 1^er système optique d'une source ponctuelle $\;{A'}_{\!o}\;$ ${\big (}$ on crée donc un point de convergence réelle $\;A_{o}\;$ par ce 1^er système optique d'un faisceau provenant d'une source ponctuelle $\;{A'}_{\!o}{\big )}$ , mais on empêche la convergence réelle en $\;A_{o}\;$ en interposant le miroir plan avant $\;A_{o}$ , le faisceau rencontrant maintenant la face d'entrée du miroir avant son point de convergence $\;A_{o}$ , ce dernier devient virtuel.

[25] On peut dire aussi qu'un point double est un point objet qui est sa propre image par le système optique.

[26] Le miroir plan étant la « face d'entrée » du système optique, si on définit l'espace objet réel comme l'espace strictement situé en-deçà du miroir plan dans le sens incident et l'espace objet virtuel comme l'espace strictement situé au-delà du miroir plan dans le sens incident, les deux espaces objets n'ayant pas d'intersection, un objet est donc soit réel, soit virtuel ;
de même le miroir plan étant la « face de sortie » du système optique, si on définit l'espace image réelle comme l'espace strictement situé en-deçà du miroir plan dans le sens réfléchi et l'espace image virtuelle comme l'espace strictement situé au-delà du miroir plan dans le sens réfléchi, les deux espaces images n'ayant pas d'intersection, une image est donc soit réelle, soit virtuelle ;
avec cette définition, le point objet situé au sommet du miroir n'a ni caractère réel, ni caractère virtuel et il en est de même du point image positionné au sommet du miroir, ce qui, mettant le sommet à part relativement aux autres objets ou aux autres images, n'est pas satisfaisant ;
en fait il est impossible de mettre une source ponctuelle exactement sur le miroir, le plus simple pour essayer de réaliser l'expérience $\;{\big (}$ avec un point objet sur le miroir plan ${\big )}\;$ est de créer, par un autre système optique, une image ponctuelle $\;A_{o}\;$ qui servira d'objet pour le miroir et de positionner ce dernier sur $\;A_{o}\;$ mais dans la pratique le miroir sera très légèrement au-delà de $\;A_{o}\;$ dans le sens incident rendant $\;A_{o}\;$ réel ou très légèrement en-deçà de $\;A_{o}\;$ dans le sens incident rendant $\;A_{o}\;$ virtuel, aussi est-il possible de considérer qu'en théorie $\;A_{o}\;$ sur le miroir est réel à $\;50\,\%\;$ et virtuel à $\;50\,\%\;$ ainsi que son image par le miroir confondue avec $\;A_{o}\;$ est à la fois virtuelle à $\;50\,\%\;$ et réelle à $\;50\,\%\;$ ${\big [}$ si en pratique le miroir est très légèrement au-delà de $\;A_{o}\;$ dans le sens incident rendant $\;A_{o}\;$ réel, l'image de ce dernier par le miroir sera très légèrement en-deçà du miroir dans le sens réfléchi rendant l'image virtuelle et si en pratique le miroir est au contraire très légèrement en-deçà de $\;A_{o}\;$ dans le sens incident rendant $\;A_{o}\;$ virtuel, l'image de ce dernier par le miroir sera très légèrement au-delà du miroir dans le sens réfléchi rendant l'image réelle ${\big ]}\;$ d'où l'intérêt de donner une autre définition des espaces objets réel et virtuel ainsi que des espaces images réelle et virtuelle d'un miroir plan permettant de ne plus particulariser le sommet du miroir sur un axe optique principal quelconque ;
pour cela il suffit de considérer que la « face d'entrée » appartient à la fois aux espaces objet réel et objet virtuel et que la « face de sortie » appartient à la fois aux espaces image réelle et image virtuelle, dans ces conditions le point double « sommet $\;S\;$ du miroir plan pour l'axe optique principal considéré » situé sur le miroir dans l'intersection des espaces objet réel et image virtuelle ou des espaces objet virtuel et image réelle est bien tel que l'objet et l'image par le miroir plan sont confondues en étant de nature différente.

[27] Sur la figure considérée, les rayons réfléchis de point d'incidence respectif $\;S_{A}\;$ et $\;S_{B}\;$ ont été décalé relativement aux rayons incidents pour une question de lisibilité du schéma.

[28] Pour que le point à l'infini sur l'axe optique principal soit un point double, il faut admettre qu'il est à la fois réel et virtuel $\;{\big (}$ les points conjugués par un miroir plan étant de nature différente ${\big )}\;$ c.-à-d. considérer
que l'espace objet réel $\;{\big (}$ c.-à-d. l'espace objet situé en-deçà de la face d'entrée du miroir dans le sens incident ${\big )}\;$ et à l'espace image virtuelle $\;{\big (}$ c.-à-d. l'espace image situé en-deçà de la face de sortie du miroir dans le sens émergent ${\big )}\;$ se rejoignent à l'infini ou que l'espace objet virtuel $\;{\big (}$ c.-à-d. l'espace objet situé au-delà de la face d'entrée du miroir dans le sens incident ${\big )}\;$ et à l'espace image réelle $\;{\big (}$ c.-à-d. l'espace image situé au-delà de la face de sortie du miroir dans le sens émergent ${\big )}\;$ se rejoignent aussi à l'infini ou encore,
qu'une droite en tant que « limite d'un cercle dont le centre est situé perpendiculairement à la droite à une distance tendant vers l'infini, le rayon du cercle tendant également vers l'infini » est une courbe qui se ferme à l'infini $\;{\big (}$ le cercle dont la droite est la limite étant une courbe fermée ${\big )}$ .

[29] Un « objet étendu à deux dimensions » étant une « juxtaposition continue d'objets étendus à une dimension indépendants » et un « objet étendu à trois dimensions », une « juxtaposition continue d'objets étendus à deux dimensions indépendants ».

[30] L'image « $\;A_{i}B_{i}\;$ » étant composée d'images ponctuelles est donc « nette ».

[31] Sur cette figure sont indiquées l'algébrisation physique de l'axe optique principal ainsi que l'orientation des espaces objet et image qui seront définies aux paragraphes « algébrisation physique de l'axe optique principale (associé à un objet ponctuel) » et « orientation des espaces objets et images » plus loin dans ce chapitre.

[32] On rappelle qu'en englobant dans l'espace objet réel et l'espace objet virtuel, la face d'entrée du miroir, de même
On rappelle qu'en englobant dans l'espace image réelle et l'espace image virtuelle, la face de sortie du miroir,
le point double « sommet du miroir sur l'axe optique principal considéré » peut être considéré comme un objet réel, son image confondue avec lui étant alors virtuelle ou
le point double « sommet du miroir sur l'axe optique principal considéré » peut être considéré comme un objet virtuel, son image confondue avec lui étant alors réelle ; de même
le point double « point à l'infini sur l'axe optique principal associé » $\;{\big (}$ le point à l'infini d'une droite étant considéré comme le point de fermeture de la droite, limite d'un cercle dont le centre est situé perpendiculairement à la droite à une distance tendant vers l'infini, le rayon du cercle tendant également vers l'infini ${\big )}\;$
le point double « point à l'infini sur l'axe optique principal associé » peut être considéré comme un objet réel, son image confondue avec lui étant alors virtuelle ou
le point double « point à l'infini sur l'axe optique principal associé » peut être considéré comme un objet virtuel, son image confondue avec lui étant alors réelle.

[unidirectionnel-33] 33,0 et ^33,1 Le qualificatif « unidirectionnel » appliqué à un système dioptrique ou catadioptrique signifiant que ce système dioptrique ou catadioptrique est à « axe optique principal unidirectionnel » ;
avec la définition pratique de l'axe optique principal $\;{\big (}$ applicable à pratiquement tous les systèmes à l'exception des fibres optiques courbées ${\big )}$ , l'axe optique principal est constitué de rayons ayant tous même support.

[34] L'application de cette propriété se prolonge aux systèmes catadioptriques unidirectionnels à nombre pair de miroirs.

[35] 
Algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'un périscope
Dans un système catadioptrique polydirectionnel comme celui du système optique formant un périscope $\;{\big (}$ le système est qualifié de catadioptrique car on observe des réflexions totales ${\big )}$ , l'axe optique principal est constitué
de rayon incident $\;\perp \;$ à la face d'entrée, de rayon intermédiaire de même direction et de même sens que le rayon incident avant la 1^ère réflexion totale,

de rayons intermédiaires de direction $\;\perp \;$ au rayon incident après la 1^ère réflexion,

de rayon intermédiaire de même direction et de même sens que le rayon incident après la 2^ème réflexion totale, de rayon émergent de même direction et de même sens que le rayon incident,

on dénombre donc « deux sens $\;+\;$ »,
$\;\succ \;$ le sens $\;+\;$ incident ou émergent $\;{\big (}$ ainsi qu'intermédiaire juste avant le 1^ère réflexion totale ou juste après la 2^ème ${\big )}\;$ et
$\;\succ \;$ le sens $\;+\;$ pour les rayons intermédiaires correspondant à une rotation de $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ en valeur absolue relativement au sens $\;+\;$ commun précédent.

[38] rayon incident $\;\perp \;$ à la face d'entrée, de rayon intermédiaire de même direction et de même sens que le rayon incident avant la 1^ère réflexion totale,

[39] rayons intermédiaires de direction $\;\perp \;$ au rayon incident après la 1^ère réflexion,

[40] rayon intermédiaire de même direction et de même sens que le rayon incident après la 2^ème réflexion totale, de rayon émergent de même direction et de même sens que le rayon incident,

[36] Si le système catadioptrique contient des dioptres intermédiaires $\;{\big (}$ les faces d'entrée et de sortie étant les faces d'un miroir, les dioptres séparant des espaces optiques intermédiaires ${\big )}$ , en plus des rayons incident et émergent il y a des rayons intermédiaires mais pour un système « unidirectionnel » les rayons intermédiaires sont de même direction que les rayons incident et émergent ;
si au contraire le miroir est intermédiaire il y a également en plus des rayons incident et émergent aboutissant ou issu des dioptres extrêmes, des rayons intermédiaires dont ceux aboutissant et issu du miroir, tous ces rayons ayant même direction.

[37] Si le système catadioptrique « unidirectionnel » contient des dioptres intermédiaires, il y a des rayons intermédiaires de même direction que les rayons incident et émergent ; le sens des rayons intermédiaires est alors identique au sens incident ;
si au contraire le miroir est intermédiaire il y a donc des rayons intermédiaires de même direction que les rayons incident et émergent, le sens des rayons intermédiaires avant le miroir étant identique au sens incident et celui des rayons intermédiaires après le miroir identique au sens émergent.

[38] 
Algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'une équerre optique
Dans un système catadioptrique polydirectionnel comme dans le cas d'un prisme à réflexion totale formant une équerre optique $\;{\big (}$ voir schéma ci-contre à droite ${\big )}$ $\;{\big [}$ le système est qualifié de catadioptrique car on observe des réflexions totales, dans le cas d'une équerre optique on n'en observe qu'une ${\big ]}$ ,
Dans un système catadioptrique polydirectionnel comme dans le cas d'un prisme à réflexion totale formant une équerre optique « il y a deux sens $\;+\;$ »,
Dans un système catadioptrique polydirectionnel comme dans le cas d'un prisme à réflexion totale formant une équerre optique $\bullet \;$ le sens $\;+\;$ incident et
Dans un système catadioptrique polydirectionnel comme dans le cas d'un prisme à réflexion totale formant une équerre optique $\bullet \;$ le sens $\;+\;$ émergent,
Dans un système catadioptrique polydirectionnel comme dans le cas d'un prisme à réflexion totale formant une équerre optique le sens du rayon intermédiaire avant réflexion étant identique au sens incident et celui du rayon intermédiaire après réflexion identique au sens émergent ;
Algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'un prisme à réflexion totale
un autre exemple de système catadioptrique polydirectionnel est le cas du prisme à réflexion totale dans lequel on observe deux réflexions totales $\;{\big (}$ voir schéma ci-contre à gauche exposant l'algébrisation physique de l'axe optique principal dans le cas d'un prisme à réflexion totale ${\big )}$ , il y a alors « trois sens $\;+\;$ »,
le sens $\;+\;$ incident pour les rayons incident et intermédiaire avant la 1^ère réflexion totale,

le sens $\;+\;$ intermédiaire correspondant à une rotation de $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ en valeur absolue relativement au sens $\;+\;$ incident pour le rayon intermédiaire après la 1^ère réflexion totale et avant la 2^ème,

le sens $\;+\;$ émergent opposé au sens $\;+\;$ incident pour les rayons émergent et intermédiaire après la 2^ème réflexion totale.

[44] sens $\;+\;$ incident pour les rayons incident et intermédiaire avant la 1^ère réflexion totale,

[45] sens $\;+\;$ intermédiaire correspondant à une rotation de $\;{\dfrac {\pi }{2}}\;$ en valeur absolue relativement au sens $\;+\;$ incident pour le rayon intermédiaire après la 1^ère réflexion totale et avant la 2^ème,

[46] sens $\;+\;$ émergent opposé au sens $\;+\;$ incident pour les rayons émergent et intermédiaire après la 2^ème réflexion totale.

[39] Avec un dioptre ou un miroir, l'axe optique principal associé à un point objet est constitué
du rayon incident issu du point objet $\;\perp \;$ à la surface dioptrique ou réfléchissante et

du rayon émergent de même direction et de même sens que le rayon incident pour un dioptre ou de sens contraire pour un miroir.

[48] u rayon incident issu du point objet $\;\perp \;$ à la surface dioptrique ou réfléchissante et

[49] u rayon émergent de même direction et de même sens que le rayon incident pour un dioptre ou de sens contraire pour un miroir.

[40] Le plus souvent on choisit le sommet $\;S\;$ de la surface dioptrique ou réfléchissante, c.-à-d. l'intersection de cette dernière avec l'axe optique principal.

[point_image-41] 41,0 et ^41,1 Pour définir un couple de points conjugués, il faut bien sûr que le système optique soit stigmatique rigoureux pour le point objet.

[42] Seul le cas d'un objet réel et d'une image virtuelle a été représenté $\;{\big (}$ l'image n'étant a priori pas celle de l'objet positionné ${\big )}$ ;
si l'objet était virtuel il serait au-delà du miroir sur la partie incidente de l'axe optique principal $\;{\big (}$ donc à droite ${\big )}\;$ et si l'image envisagée était réelle elle serait au-delà du miroir sur la partie réfléchie de l'axe optique principal $\;{\big (}$ donc à gauche ${\big )}$ .

[43] Dans ce cas le miroir ne pouvant constituer la face d'entrée $\;{\big (}$ sinon les dioptres ne seraient pas utilisés ${\big )}$ , le système optique comprend au moins deux dioptres, celui dont la surface dioptrique sert de face d'entrée aboutissant directement $\;{\big (}$ ou par l'intermédiaire d'autres dioptres ${\big )}\;$ au miroir lequel, par retour inverse de la lumière, renvoie directement $\;{\big (}$ ou par l'intermédiaire des dioptres inverses ${\big )}\;$ vers le dioptre inverse de celui d'entrée, la surface dioptrique de ce dioptre inverse servant de face de sortie.

[surface_réfléchissante-44] 44,0 ^44,1 ^44,2 ^44,3 et ^44,4 Une surface réfléchissante qui n'est pas un miroir étant par exemple une surface dioptrique sur laquelle on observe une réflexion totale.

[45] Comme une fibre optique courbée.

[46] C.-à-d. que l'axe optique principal soit constitué de rayons de même direction ou de directions différentes.

[47] Le plus souvent on choisit le sommet $\;S_{e}\;$ de la face d'entrée, c.-à-d. l'intersection de cette dernière avec l'axe optique principal pour repérer un point objet et
Le plus souvent on choisit le sommet $\;S_{s}\;$ de la face de sortie, c.-à-d. l'intersection de cette dernière avec l'axe optique principal pour repérer un point image.

[48] Le sens $\;+\;$ incident servant à repérer le point objet et le sens $\;+\;$ émergent à repérer le point image.

[49] Dans le cas où le miroir est vertical avec l'espace objet réel sur sa gauche, le sens incident est $\;\rightarrow \;$ et le sens réfléchi $\;\leftarrow$ ;
Dans le cas où si le miroir est retourné, l'espace objet réel étant maintenant sur sa droite, le sens incident devient $\;\leftarrow \;$ et le sens réfléchi $\;\rightarrow$ ;
Dans le cas si le miroir est horizontal avec l'espace objet réel au-dessus, le sens incident est $\;\downarrow \;$ et le sens réfléchi $\;\uparrow \;$ etc $\;\ldots$

[orienté_à_droite_ou_à_gauche-50] 50,00 ^50,01 ^50,02 ^50,03 ^50,04 ^50,05 ^50,06 ^50,07 ^50,08 ^50,09 ^50,10 ^50,11 ^50,12 ^50,13 ^50,14 ^50,15 ^50,16 ^50,17 ^50,18 ^50,19 ^50,20 ^50,21 ^50,22 ^50,23 et ^50,24 Orientation de l'espace définie par le mouvement de rotation et translation associées d'un tire-bouchon de Maxwell $\;{\big [}$ voir l'« introduction du paragraphe produit vectoriel de deux vecteur » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ ;
James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif portant son nom a été baptisé ainsi en son honneur.

[base_directe_d'un_espace_orienté_à_droite-51] 51,00 ^51,01 ^51,02 ^51,03 ^51,04 ^51,05 ^51,06 ^51,07 ^51,08 ^51,09 ^51,10 ^51,11 ^51,12 ^51,13 et ^51,14 Voir le paragraphe « base directe d'un espace orienté à droite » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[règle_de_la_main_droite-52] 52,00 ^52,01 ^52,02 ^52,03 ^52,04 ^52,05 ^52,06 ^52,07 ^52,08 ^52,09 ^52,10 et ^52,11 Levant le pouce de la main droite dans le sens du 1^er vecteur, l'index pointant dans le sens du 2^ème vecteur, « le sens du 3^ème vecteur est donné par le majeur courbé vers la paume de la main droite » $\;{\big (}$ ceux qui se souviennent de leur enfance pourraient encore appeler cette règle « la règle de l'apprenti cow-boy droitier » ${\big )}$ ; il existe d'autres règles équivalentes :
« règle de l'auto-stoppeur (droitier) » : l'avant bras $\;{\big (}$ droit ${\big )}\;$ étant dans le sens du 1^er vecteur, la poigne de la main $\;{\big (}$ droite ${\big )}\;$ courbée dans le sens du 2^ème vecteur, le pouce est alors levé dans le sens du 3^ème vecteur,
« règle du tire-bouchon de Maxwell » : le tire-bouchon tournant du 1^er vecteur vers du 2^ème, il s'enfonce dans le bouchon fixe dans le sens de du 3^ème vecteur,
« règle du bonhomme d'Ampère » : le bonhomme d'Ampère se couchant sur la direction du 1^er vecteur, ce vecteur lui entrant par les pieds et lui sortant par la tête, regardant droit devant dans le sens du 2^ème vecteur, il tend le bras gauche perpendiculairement à son corps dans le sens du 3^ème vecteur,
et bien d'autres règles que vous pouvez vous-même inventer.
James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.
André-Marie Ampère (1775 - 1836), mathématicien, physicien, chimiste et philosophe français, peut être considéré comme l'un des premiers artisans de la mathématisation de la physique, il a édifié les fondements théoriques de l'électromagnétisme et a découvert les bases de l'électronique de la matière ; c'est lui qui inventa le bonhomme fictif portant son nom et permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs.

[sens_premier_de_catadioptrique-53] 53,0 et ^53,1 Au sens premier du terme, c.-à-d. contenant un miroir et éventuellement des dioptres.

[base_directe_d'un_espace_orienté_à_gauche-54] 54,0 ^54,1 ^54,2 ^54,3 ^54,4 ^54,5 ^54,6 ^54,7 et ^54,8 Voir le paragraphe « base directe (au sens de la physique) d'un espace orienté à gauche » du chap. $7$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[règle_de_la_main_gauche-55] 55,00 ^55,01 ^55,02 ^55,03 ^55,04 ^55,05 ^55,06 ^55,07 ^55,08 et ^55,09 Levant le pouce de la main gauche dans le sens du 1^er vecteur, l'index pointant dans le sens du 2^ème vecteur, « le sens du 3^ème vecteur est donné par le majeur courbé vers la paume de la main gauche » $\;{\big (}$ pourraient encore être appelée « la règle de l'auto-stoppeur gaucher » ${\big )}$ .

[algébrisation_comparée-56] 56,0 et ^56,1 On peut faire la comparaison de l'algébrisation des plans transverses des espaces objets et celle des plans transverses des espaces images car ces derniers sont parallèles dans un système optique unidirectionnel.

[57] Le vecteur unitaire $\;{{\vec {u}}'}_{1}\;$ étant égal à $\;-{\vec {u}}_{1}$ , les bases $\;({\vec {u}}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})\;$ et $\;({{\vec {u}}'}_{1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})\;$ ont des orientations opposées, la 1^ère étant directe, la 2^ème est donc indirecte $\;{\big (}$ au sens de la physique ${\big )}$ .

[58] Néanmoins l'algébrisation des plans transverses des espaces objets $\;{\big (}$ réels ou virtuels ${\big )}\;$ et celle des plans transverses des espaces images $\;{\big (}$ réelles ou virtuelles ${\big )}\;$ ne peuvent être comparées que si les plans transverses sont $\;\parallel$ .

[influence_d'une_permutation_circulaire_sur_le_caractère_direct_ou_indirect_d'une_base-59] 59,0 ^59,1 et ^59,2 Toute permutation circulaire sur une base conservant son caractère direct ou indirect.

[60] En effet un sens $\;+\;$ de $\;{\vec {u}}_{1}\;$ vers $\;{\vec {u}}_{2}\;$ est aussi le sens $\;+\;$ de $\;{\vec {u}}_{2}\;$ vers $\;-{\vec {u}}_{1}={{\vec {u}}'}_{\!1}$ .

[61] En effet le trièdre « $\;({{\vec {u}}'}_{\!1},\,{\vec {u}}_{2},\,{\vec {u}}_{3})\;$ » étant indirect, une permutation circulaire conduit à « $\;({\vec {u}}_{3},\,{{\vec {u}}'}_{\!1},\,{\vec {u}}_{2})\;$ » indirect puis une permutation entre le 2^ème et le 3^ème vecteur à un trièdre direct et enfin le remplacement du 1^er vecteur par son opposé le retour à un trièdre indirect.

[indices_abscisses-62] 62,0 et ^62,1 Dans la mesure où le miroir est vertical avec l'espace objet réel à gauche du miroir plan, le sens incident est $\;\rightarrow \;$ et le sens réfléchi $\;\leftarrow$ ;
bien entendu les indices doivent être adaptées à la situation du miroir plan par exemple :
Dans la mesure si le miroir est horizontal avec l'espace objet réel au-dessus du miroir plan, le sens incident est $\;\downarrow \;$ et le sens réfléchi $\;\uparrow$ $\;\ldots$

[63] On peut utiliser cette relation pour déterminer la position du point image connaissant celle du point objet ou vice versa ;
toutefois, en ce qui concerne le miroir plan, les positions respectives d'un objet et de son image sont suffisamment simples à déterminer géométriquement $\;{\big (}$ les deux étant symétriques l'un de l'autre par rapport au miroir plan ${\big )}\;$ pour qu'on n'utilise pas, dans la pratique, la relation de conjugaison de position de Descartes pour le faire.

[64] $\;A_{o}\;$ étant sur l'axe optique principal définissant le sommet $\;S\;$ du miroir plan servant d'origine du repérage « physique » de Descartes, $\;B_{o}\;$ étant en dehors, la conjugaison donne $\;A_{i}\;$ sur l'axe optique principal et $\;B_{i}\;$ en dehors ; les points $\;A_{o}\;$ et $\;A_{i}\;$ sont encore appelés respectivement « pied » de l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ et « pied » de l'image linéique transverse $\;A_{i}B_{i}$ .

[65] L'aplanétisme $\;{\big (}$ rigoureux ${\big )}\;$ pour un couple de points conjugués $\;(A_{o}\,,\,A_{i})\;$ signifie simplement que l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ de l'objet linéique transverse $\;A_{o}B_{o}\;$ est linéique transverse, mais a priori l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ pourrait ne pas être dans le plan contenant l'objet $\;A_{o}B_{o}\;$ et l'axe optique principal ;
la raison pour laquelle l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ est $\;\parallel \;$ à l'objet $\;A_{o}B_{o}\;$ est que tout plan d'émergence est géométriquement confondu avec le plan d'incidence correspondant, ceci étant une conséquence de la « 1^ère loi de Snell-Descartes de la réflexion » ou de la « 1^ère loi de Snell-Descartes de la réfraction » $\;{\big [}$ du chap. $11$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big ]}\;$ $\Rightarrow$ l'image $\;A_{i}B_{i}\;$ est dans le plan contenant l'objet $\;A_{o}B_{o}\;$ et l'axe optique principal.

[66] Ou une combinaison linéaire des deux.

[67] Ou d'image « inversée ».

[68] Le grandissement transverse est donc indépendant de la position de l'objet par rapport au miroir ainsi que de sa taille.

[69] On peut utiliser cette relation pour déterminer la taille de l'image linéique transverse connaissant celle de l'objet linéique transverse ou vice versa ;
toutefois, en ce qui concerne le miroir plan, les grandeurs respectives d'un objet et de son image sont suffisamment simples à déterminer géométriquement $\;{\big (}$ les deux étant de même taille ${\big )}\;$ pour qu'on n'utilise pas, dans la pratique, la relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes pour le faire.

[70] C.-à-d. qu'un pinceau incident sera repéré par rapport à la partie incidente de l'axe optique principal et
C.-à-d. qu'un pinceau émergent sera repéré par rapport à la partie émergente de l'axe optique principal.

[orientation_plan_d'incidence_et_d'émergence_d'un_système_dioptrique_unidirectionnel-71] 71,0 et ^71,1 Le vecteur orientant le plan d'incidence est donc $\;{\vec {u}}_{3}\;$ selon la règle d'« orientation des angles d'un plan d'un espace à trois dimensions » rappelée plus haut dans ce chapitre.

[orientation_plan_d'incidence_et_d'émergence_d'un_système_catadioptrique_unidirectionnel-72] Voir le paragraphe « orientation des plans d'incidence et d'émergence (si le système est catadioptrique unidirectionnel) » plus haut dans ce chapitre.

[73] Le vecteur orientant les angle du plan d'émergence étant $\;-{\vec {u}}_{3}\;$ en accord avec $\;(-{\vec {u}}_{3},\,{\vec {u}}_{2},\,{{\vec {u}}'}_{1})\;$ « indirecte $\;{\big (}$ au sens de la physique ${\big )}\;$ » des espaces images orientés à gauche, ceci ayant pour conséquence que le plan d'émergence est orienté dans le même sens que le plan d'incidence ;
on rappelle, d'une part, que le caractère « indirect $\;{\big (}$ au sens de la physique ${\big )}\;$ » de la base d'un espace orienté à gauche suit la règle de la main gauche et,
on rappelle, d'autre part, que le lien entre le vecteur normal orientant le plan et le sens $\;+\;$ des angles du plan dans un espace orienté à gauche suit la règle du tire-bouchon des farces et attrapes $\;{\big (}$ ou du tire-bouchon pour gaucher ${\big )}$ .

[74] Le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet par un miroir plan est donc indépendant de la position de l'objet par rapport au miroir ainsi que de l'inclinaison du pinceau incident issu du point objet.

[Lagrange-75] 75,0 ^75,1 ^75,2 ^75,3 et ^75,4 Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) mathématicien, mécanicien et astronome italien, naturalisé français vers la fin du XVIII^ème siècle $\;{\big (}$ son nom italien était Giuseppe Luigi Lagrangia ${\big )}$ ;
on lui doit, entre autres, d'avoir jeté en mathématiques les bases du calcul variationnel, calcul qu'il appliqua en mécanique pour résoudre quelques problèmes $\;{\big [}$ propagation du son, corde vibrante, librations de la Lune $\;{\big (}$ c.-à-d. petites variations de son orbite ${\big )}{\big ]}$ ;
en $\;1788$ , alors installé à Paris, il publia son livre de mécanique analytique dont le formalisme a permis, un siècle et demi plus tard, l'ébauche de la mécanique quantique, il est aussi l'un des pères du système métrique et de la division décimale des unités ;
on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour Lagrange un domaine privilégié $\;{\big (}$ ni pour Helmholtz non plus ${\big )}$ !

[Helmholtz-76] 76,0 ^76,1 ^76,2 ^76,3 et ^76,4 Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (1821 - 1894) physiologiste et physicien allemand, à qui on doit d'importantes contributions dans la perception des sons et des couleurs ainsi que surtout dans le domaine de la thermodynamique ;
on remarquera que le domaine de l'optique n'est pas pour Helmholtz un domaine privilégié $\;{\big (}$ ni pour Lagrange non plus ${\big )}$ !

[77] On admet que cette relation est applicable à tout système catadioptrique unidirectionnel dont le miroir plan n'est qu'un exemple très particulier ;
appliquée à un miroir plan la relation de Lagrange - Helmholtz n'a aucun intérêt car elle donne moins d'informations que n'en donnent les deux valeurs des grandissements transverse et angulaire prises indépendamment l'une de l'autre ;
la relation acquiert de l'intérêt pour des systèmes catadioptriques unidirectionnels pour lesquels les grandissements transverses et angulaires dépendent de la position de $\;A_{o}\;$ relativement à la surface réfléchissante, comme l'exemple des miroirs sphériques : la relation nous informe alors que
d'une part les grandissements sont toujours de signe contraire et

d'autre part plus le grandissement transverse est grand en valeur absolue $\;{\big (}$ plus l'image est de grande dimension par rapport à celle de l'objet ${\big )}$ , plus le grandissement angulaire est petit en valeur absolue $\;{\big (}$ plus les faisceaux émergents sont resserrés relativement aux faisceaux incidents ${\big )}$ .

[88] 'une part les grandissements sont toujours de signe contraire et

[89] 'autre part plus le grandissement transverse est grand en valeur absolue $\;{\big (}$ plus l'image est de grande dimension par rapport à celle de l'objet ${\big )}$ , plus le grandissement angulaire est petit en valeur absolue $\;{\big (}$ plus les faisceaux émergents sont resserrés relativement aux faisceaux incidents ${\big )}$ .

[78] Ces derniers ne figurant pas au programme de physique de P.C.S.I..

[79] Il y a stigmatisme rigoureux du miroir sphérique pour un autre point « le sommet $\;S\;$ du miroir ».

[80] Il y a aussi un autre point double du miroir sphérique « son sommet $\;S\;$ ».

[Gauss-81] 81,0 ^81,1 ^81,2 et ^81,3 Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), mathématicien, astronome et physicien allemand, est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps $\;{\big (}$ il fut surnommé « le prince des mathématiciens » ${\big )}$ , on lui doit d'importantes contributions dans les trois domaines.
En $\;1796$ , à l'âge de dix-neuf ans, Gauss caractérisa presque complètement tous les polygones réguliers constructibles à la règle et au compas et il demanda par la suite qu'un heptadécagone $\;{\big (}$ polygone régulier de $\;17\;$ côtés ${\big )}\;$ soit gravé sur son tombeau ; bien d'autres découvertes de mathématiques lui sont dues dont, en particulier, en $\;1801\;$ la 1^ère démonstration de la loi de réciprocité quadratique conjecturée par Euler en $\;1772$ $\;{\big [}$ un nombre premier est congru à un carré de nombre entier modulo un autre nombre premier, par exemple $\;11\equiv 3^{2}\!\!{\pmod {2}}\;$ ou $\;19\equiv 4^{2}\!\!{\pmod {3}}\;$ ou encore $\;41\equiv 6^{2}\!\!{\pmod {5}}\;$ de même que $\;43\equiv 6^{2}\!\!{\pmod {7}}\;\ldots {\big ]}$ ;
dans le domaine de l'astronomie il publia un travail très important sur le mouvement des corps célestes contenant le développement de la méthode des moindres carrés ; auparavant, en $\;1801$ , il développa une nouvelle méthode de calcul lui permettant de prédire où doit se trouver Cérès $\;{\big (}$ une planète naine de la ceinture des astéroïdes entre Mars et Jupiter ${\big )}$ ;
dans le domaine de la physique il est l'auteur de deux des quatre équations de Maxwell gérant l'électromagnétisme ;
certaines de ses contributions n'ont été mises à jour qu'à titre posthume, à la fin du XIX^ème siècle, Gauss n'ayant publié qu'une partie de ses découvertes.
Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.
James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer l'orientation à droite d'un espace tridimensionnel ou le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.

[82] Cette notion d'angle non petit étant bien sûr à préciser $\;\ldots$

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Notion de stigmatisme rigoureux

Notion de système optique

Notion de point objet, espaces objets, nature réelle ou virtuelle

Notion d'axe optique principal (associé à un point objet), plans transverses

Notion d'image d'un point objet par un système optique

Stigmatisme rigoureux d'un système optique pour un point objet

Conjugaison rigoureuse d'un couple de points par un système optique

Espaces images, nature réelle ou virtuelle

Construction de l'« image » d'un objet ponctuel par un miroir plan, stigmatisme rigoureux d'un miroir plan

Construction fondamentale d'un émergent correspondant à un incident donné

Stigmatisme rigoureux d'un miroir plan

Points doubles d'un miroir plan et la nature afocale de ce dernier

Notion d'aplanétisme rigoureux

Définition d'un objet linéique transverse

Conséquence du caractère "stigmatisme rigoureux" d'un système optique sur un objet linéique transverse

Définition de l'aplanétisme rigoureux d'un système optique stigmatique rigoureux

Construction de l'image d'un objet linéique transverse par un miroir plan, aplanétisme rigoureux d'un miroir plan

Construction de l'image d'un objet linéique transverse par un miroir plan

Aplanétisme rigoureux d'un miroir plan

Natures différentes de l'objet et de son image par un miroir plan

Algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel), algébrisation associée des plans transverses, orientation dissociée des plans d'incidence ou d'émergence

Algébrisation physique de l'axe optique principal (associé à un objet ponctuel)

Repérage d'un point objet ou d'un point image sur l'axe optique principal

Précautions à prendre lors de l'utilisation de l'algébrisation physique de l'axe optique principal d'un système pour lequel il y a plusieurs sens + définis sur l'axe optique principal

Orientation des espaces objets et images

Algébrisation associée des plans transverses

Orientation des plans d'incidence et d'émergence

Rappel de l'orientation des angles d'un plan d'un espace à trois dimensions

Orientation des plans d'incidence et d'émergence

Relation de conjugaison de position de Descartes d'un miroir plan

Repérage « physique » de Descartes

Relation de conjugaison de position (ou 1ère relation de conjugaison) de Descartes d'un miroir plan

Grandissement transverse d'un objet linéique transverse, relation de conjugaison de grandissement transverse de Descartes d'un miroir plan

Définition du grandissement transverse d'un objet linéique transverse dans le cas d'un système optique « unidirectionnel » aplanétique

Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2ème relation de conjugaison) de Descartes d'un miroir plan

Grandissement angulaire d'un pinceau lumineux, relation de Lagrange-Helmholtz

Repérage d'un pinceau incident ou émergent

Définition du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet

Valeur du grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu d'un point objet par un miroir plan

Lien entre le grandissement transverse d'un objet linéique transverse et le grandissement angulaire d'un pinceau lumineux issu du point objet pied de l'objet linéique transverse par un miroir plan, relation de Lagrange-Helmholtz

Sensibilisation de l'utilisation de la relation de Lagrange-Helmholtz à un système catadioptrique, exemple d'un miroir sphérique concave

Notes et références

Relation de conjugaison de position (ou 1^ère relation de conjugaison) de Descartes d'un miroir plan

Relation de conjugaison de grandissement transverse (ou 2^ème relation de conjugaison) de Descartes d'un miroir plan