Discussion:Matrice/Inverse

Bonjour, je cherche à démontrer la propriété $\{A\times B\}^{-1}={B}^{-1}\times {A}^{-1}$ dans le cas de matrices (A et B) inversibles et de même dimension. Merci d'avance— Le message qui précède, non signé^?, a été déposé par 85.68.49.47 (d · c · b · s).

L'existence est assurée par le fait que les matrices A et B représentent deux endomorphismes u et v dans une base donnée. Si A et B sont inversibles, cela signifie que u et v sont des endomorphismes bijectifs, donc la composée $u\circ v$ est une bijection, représentée par la matrice AB qui est donc inversible.

Comme on connaît l’existence d'un inverse unique, il suffit de l'exhiber et de prouver que le produit vaut I_n comme suit (on utilisera l'associativité de la multiplication des matrices) :

$(B^{-1}A^{-1})\cdot AB=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}I_{n}B=B^{-1}B=I_{n}$

On a donc prouvé que $(B^{-1}A^{-1})\cdot AB=I_{n}$, donc l'inverse de AB est $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

Xzapro4 _discuter 25 février 2009 à 17:35 (UTC)