Leçons de niveau 14

Mécanique 2 (PCSI)/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités

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Mécanique 2 (PCSI)/Mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : Généralités
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Ce chapitre est traité dans le cadre de la cinétique et de la dynamique newtoniennes.

Sommaire

Définition du mouvement d'un point à force centrale, exemples[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'une force centrale[modifier | modifier le wikicode]

Définition du mouvement d'un point à force centrale[modifier | modifier le wikicode]

Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Liste non exhaustive.

Point matériel M qui n'est soumis qu'à une force de rappel linéaire relativement à un point fixe O[modifier | modifier le wikicode]

     1er exemple de « point matériel ayant un mouvement à force centrale » : si n'est soumis qu'à la force « avec » [3], le signe «» assurant le caractère « attractif » de la force relativement au centre d'action [4] en effet le reste de la composante radiale de la force [5], à savoir «», étant toujours « pour » la force [5] est « centripète » relativement au point , conférant à ce dernier une action attractive sur le point matériel .

            Exemple de matérialisation : Un point matériel soumis à la force créé par un ressort de raideur «» et de longueur à vide « nulle » [6] dont une extrémité est reliée à , l'autre extrémité étant fixe, les éventuelles autres forces appliquées à se compensant à tout instant ;

            Exemple de matérialisation : la coordonnée radiale de à savoir «» est égale à « la longueur du ressort » et, dans la mesure où sa longueur à vide est « nulle » [6], «» s'identifie aussi à « l'allongement du ressort » [7] et par suite, l'expression de la force suit la loi de Hooke [8].

            Le point matériel dans un « champ de force de ce type » c.-à-d. avec » [9] sans autres forces [10] définit un « oscillateur harmonique spatial » [11].

Point matériel dans un champ newtonien et qui n'est soumis à aucune autre force[modifier | modifier le wikicode]

     Deux principaux champs de forces newtoniennes sont connus :

  • celui que crée un astre de forme sphérique avec une répartition de masse à symétrie sphérique [12] sur un point matériel situé à l'extérieur de l'astre la force exercée étant la force d'attraction gravitationnelle de Newton [13], [14] et
  • celui que crée un point matériel chargé, fixe dans le référentiel d'étude , sur un point matériel également chargé, l'espace séparant les deux charges étant le vide la force exercée étant la force d'action électrostatique de Coulomb [15], [16] ;

     si le point matériel « n'est soumis qu'à cette force newtonienne » ou s'il est soumis à cette force newtonienne avec d'autres forces se compensant, « le mouvement de est à force centrale ».

     2ème exemple de « point matériel ayant un mouvement à force centrale », mouvement de la Terre dans le champ gravitationnel du Soleil [17] étudié dans le référentiel de Copernic [18], [19] : en 1ère approximation la Terre « ♁ » assimilée à un point matériel de masse n'est soumis qu'à la force gravitationnelle créée par le Soleil « ☉ » assimilée à un point matériel de masse « dans laquelle est la coordonnée radiale de dans le repérage sphérique de pôle , étant le 1er vecteur de base sphérique lié à et la constante de gravitation universelle valant », le signe «» assurant le caractère « attractif » de la force relativement au centre d'action en effet le reste de la composante radiale de la force, à savoir «», étant toujours «, la force est « centripète » relativement au point , conférant à ce dernier une action attractive sur .

            Exemples analogues : l'une des sept autres planètes ou une comète dans le champ gravitationnel du Soleil étudié dans le référentiel de Copernic [18], [19],

            Exemples analogues : satellite artificiel dans le champ gravitationnel de la Terre étudié dans le référentiel géocentrique [20] ou

                  Exemples analogues : satellite artificiel dans celui champ gravitation d’une autre planète étudié dans le référentiel « planétocentrique » [21].

     3ème exemple de « point matériel ayant un mouvement à force centrale », mouvement d'un ion M dans le champ électrostatique d'un autre ion O étudié dans le référentiel lié à l'ion source  : un ion assimilée à un point matériel de charge n'est soumis qu'à la force électrostatique créée par un autre ion assimilée à un point matériel de charge « dans laquelle est la coordonnée radiale de dans le repérage sphérique de pôle , étant le 1er vecteur de base sphérique lié à et la permittivité diélectrique du vide [22] telle que », le signe «» assurant le caractère « répulsif » de la force relativement au centre d'action dans le cas où les charges et sont de même signe la force étant alors « centrifuge » et le caractère « attractif » de cette force relativement au centre d'action dans le cas où les charges et sont de signe contraire la force étant alors « centripète »

1ère intégrale 1ère du mouvement d’un point à force centrale : conservation de son moment cinétique vectoriel par rapport au centre de force[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de description d'un mouvement à force centrale

     Le point matériel repéré, à l'instant , dans le référentiel d'étude galiléen, par ses coordonnées sphériques , acquiert, relativement à , un « mouvement à force centrale » dans la mesure où n'est soumis qu'à l'action d'« une seule force centrale » le centre d'action de la force, fixe dans , étant noté et choisi comme pôle du repérage sphérique de «» ;

     appliquant le théorème du moment cinétique vectoriel à par rapport au point fixe dans le référentiel d'étude galiléen, on obtient « » avec «» d'où «» et par suite, en intégrant relativement au temps, «» avec « déterminé par C.I. [23] » soit «» c.-à-d. la « conservation du moment cinétique vectoriel de par rapport au centre de force » pour la suite nous noterons « pour » et « pour ».

1ère conséquence de la conservation du moment cinétique vectoriel du point par rapport au centre de force : « nature plane (ou rectiligne) du mouvement »[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de description d'un mouvement à force centrale dans le cas où les vecteurs position et vitesse initiales sont colinéaires

Cas où les vecteurs position et vitesse initiales du point sont colinéaires[modifier | modifier le wikicode]

     Si « est à » le vecteur moment cinétique vectoriel initial du point matériel par rapport au centre de force étant nul c.-à-d. «», de la conservation du moment cinétique vectoriel de par rapport à on en déduit la nullité de ce dernier pour tout instant c.-à-d. «» ou encore, après simplification par ,

«» ;

                                                                                                       « et étant colinéaires pour tout », on déduit que le mouvement du point est rectiligne selon voir ci-contre pour le justifier on peut procéder par récurrence [25].

Schéma de description d'un mouvement à force centrale dans le cas où les vecteurs position et vitesse initiales ne sont pas colinéaires

Cas où les vecteurs position et vitesse initiales du point ne sont pas colinéaires[modifier | modifier le wikicode]

     Si « est à » le vecteur moment cinétique vectoriel initial du point matériel par rapport au centre de force étant non nul c.-à-d. «», de la conservation du moment cinétique vectoriel de par rapport à c.-à-d. de

«», on en déduit

     la non nullité de «» ainsi que la conservation de sa direction pour tout instant c.-à-d. « de direction constante » [26] voir ci-contre ou encore, après simplification par ,

« de direction constante » [26] ;

                                                                                                       en utilisant la définition du produit vectoriel [27], on en déduit que « et sont toujours à cette direction fixe » et par suite « le mouvement du point se fait dans le plan passant par et à » c.-à-d. « le plan contenant , et ».

2ème conséquence de la conservation du moment cinétique vectoriel du point par rapport au centre de force : applicabilité de la « loi des aires »[modifier | modifier le wikicode]

L'applicabilité de la « loi des aires » pour le « mouvement d'un point matériel à force centrale » doit être connue sans hésitation ainsi que sa justification.

Choix du repère cartésien lié au référentiel d’étude dans lequel O est fixe[modifier | modifier le wikicode]

     Si « est à », le mouvement étant rectiligne suivant , on choisit pour « axe » la « droite passant par contenant et orienté de vers » ; le mouvement de se fait alors le long de .

     Si « est à », le mouvement étant plan à , on choisit pour « axe » la « droite passant par contenant et orienté de vers » et pour « axe » un « axe à tel que soit contenu dans le plan », l'« axe » étant « aux deux autres axes tel que « soit direct » ; le vecteur moment cinétique initial de par rapport au centre de force «» est alors colinéaire à et le mouvement de se faisant dans le plan passant par et à , se fait alors dans le plan .

Définition de la constante des aires « C »[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le cas où « est à », le vecteur moment cinétique initial de par rapport au centre de force «» étant colinéaire à , il en est de même de «».

     Remarque : dans le cas où « est à », on a alors «» «» ;

Schémas de description d'un mouvement à force centrale dans le cas où les vecteurs position et vitesse initiales sont colinéaires schéma de gauche ou non colinéaires schéma de droite

     Remarque : seul l'axe ayant été défini car les deux autres axes et ne jouent aucun rôle, on choisit alors ces derniers quelconques dans le plan passant par et à voir schéma de gauche ci-contre et on peut encore définir la constante des aires par «».

     Détermination de la constante des aires dans le cas où elle n'est pas nulle c.-à-d. dans le cas où « est à » voir schéma de droite ci-contre : avec «, étant » et « , étant égal à et algébrisé par égal à » on en déduit «» soit finalement

«» [29] sur le schéma de droite ci-dessus, est «» ;

               autre façon pour déterminer «» dans le cas où « est à » voir schéma de droite ci-dessus :

               chercher le signe de en regardant dans quel sens le mouvement de commence initialement, « ici est disposé de tel façon que le mouvement de commence initialement dans le sens » [30] d’où «» puis

               chercher sa valeur absolue selon «» où « est le bras de levier de » c.-à-d. la distance orthogonale séparant du support de [31] soit «» dont on déduit «» et enfin

               on en tire la valeur algébrique de en rassemblant les deux informations soit

«» [29].

Établissement de la « loi des aires »[modifier | modifier le wikicode]

     Supposant « plan » le mouvement à force centrale du point matériel et repérant ce dernier dans le plan de son mouvement par ses coordonnées polaires de pôle « le centre de force » soit «», la base polaire liée à étant «» d’où, à l'instant , «» et «» dont on déduit, au même instant , « » ;

     de la conservation du moment cinétique vectoriel de relativement à , «», ou de la relation de conservation obtenue en divisant par la masse de , «» ou encore «» [32], on en déduit soit «».

Début d’un théorème
Fin du théorème

     Remarques : Dans le cas où « est à », nous avons établi, par récurrence, la nature « rectiligne » du mouvement de le long de [35] et introduit la notion de constante des aires dans le paragraphe « définition de la constante des aires “ C ” (remarque) » plus haut dans ce chapitre, obtenant ainsi «» mais, pour que cette introduction ait un sens, il reste à établir la « validité de la loi des aires dans le cas où » plus précisément nous allons établir la validité de la loi des aires dans le cas où sans tenir compte du caractère rectiligne du mouvement de , ce qui permettra de démontrer d'une autre façon la nature rectiligne de son mouvement ;

           Remarques : choisissant de repérer le point par ses coordonnées sphériques de pôle à savoir , la base sphérique liée à étant d'où, à l'instant , « » et «» « » au même instant  ;

           Remarques : de la conservation du moment cinétique vectoriel de relativement à , «», on en déduit «» soit «» d'une part et «» d'autre part ;

           Remarques : de «» on tire «» qui s'intègre par rapport à en «» et, en choisissant de repérer l'angle par rapport à la direction d'où «» c.-à-d. la nature rectiligne du mouvement de le long de de «» on déduit que la 2ème équation «» étant automatiquement réalisée n'a aucun intérêt ;

           Remarques : en conclusion si, dans le cas où « est à », on choisit l'axe porté par , et orthogonaux entre eux, étant choisis dans le plan passant par et à , et si on définit la constante des aires par «», on vérifie que « la loi des aires est applicable quand » sous la forme «».

     Remarques : De l'expression du rapport du moment cinétique scalaire du point relativement à l'axe divisé par la masse du point, rapport exprimé en repérage polaire «», on en déduit une 3ème façon de déterminer la constante des aires selon «» consistant à « multiplier la distance séparant de par la vitesse orthoradiale initiale ».

Quelques conséquences de la loi des aires[modifier | modifier le wikicode]

Utilisation dans le cas où « C = 0 »[modifier | modifier le wikicode]

     Ayant établi « l'applicabilité de la loi des aires pour un point matériel ayant un mouvement à force centrale quelles que soient les C.I. [23] », que « soit ou à », on peut l'utiliser pour établir que « le mouvement de est rectiligne le long de dans le cas où la constante des aires est nulle » en effet de «» avec non identiquement nul on tire «» qui s'intègre en «» soit «» par choix de l'axe polaire passant par d'où la nature rectiligne du mouvement de le long de [36].

Mouvement s’effectuant toujours dans le même sens dans le cas où « C ≠ 0 »[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le cas où « est à » «» le mouvement de se fait toujours dans le même sens dans le plan , en effet, la loi des aires s’écrivant «» avec «» on en déduit que « et » sont toujours de même signe,

  • le mouvement se faisant dans le sens «» si « est » et
  • le mouvement se faisant dans le sens «» si « est » ;

     parallèlement «» ne s’annule jamais.

Commentaire sur la forme « semi-intégrée » de l’accélération orthoradiale[modifier | modifier le wikicode]

     Nous avons établi au paragraphe « composantes cylindro-polaires (ou cylindriques) du vecteur accélération du point repéré dans le référentiel d'étude (autre forme de l'accélération orthoradiale “ forme semi-intégrée ”) » du chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) » la forme semi-intégrée de l'accélération orthoradiale « si » [37] dans laquelle nous remarquons que la quantité à dériver temporellement est la grandeur conservée dans la loi des aires, cela ne doit pas nous étonner car,

     dans le cas d’un mouvement à force centrale, la composante orthoradiale de la force étant nulle, l’accélération orthoradiale doit aussi l’être comme conséquence de la r.f.d.n. [38] et effectivement,

« avec avec » [39]

Aspect « vitesse aréolaire constante » de la loi des aires[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de description de «» l'aire balayée par le rayon vecteur du point matériel c.-à-d. par son vecteur position lorsque se déplace dans le plan à partir de l'instant sur une durée élémentaire

     Soit «» l'aire élémentaire balayée par le « rayon vecteur du point matériel » lorsque ce dernier se déplace dans le plan à partir de l'instant sur une durée élémentaire voir schéma descriptif ci-contre ;

     l'aire est algébrisée, elle est si tourne dans le sens cas de la figure et

     l'aire est algébrisée, elle est si tourne dans le sens cas de figure non représenté ;

     sachant que l'aire non algébrisée d'un triangle est égale à la moitié du produit d'une de ses bases par la hauteur correspondante la base considérée étant coordonnée radiale du point et la hauteur correspondante c.-à-d. la valeur absolue du projeté du vecteur déplacement élémentaire sur le vecteur unitaire orthoradial de la base polaire liée au point dans le plan soit étant l'abscisse angulaire du point on en tire «» et,

     comme «» est si tourne dans le sens et si tourne dans le sens c.-à-d. du signe de , on en déduit

«» ;

     la vitesse aréolaire du mouvement du point dans le plan étant définie, à l'instant , par «» est encore égale à

«» [40]

     soit, quand le point matériel décrit un mouvement à force centrale, lequel suit « la loi des aires avec , la constante des aires » restant valable pour , l'expression de « la vitesse aréolaire du mouvement à force centrale du point dans le plan »

« avec , la constante des aires » restant valable pour [41] ;

« En complément » : variables et formules de Binet d’un mouvement à force centrale et leur intérêt[modifier | modifier le wikicode]

Introduction[modifier | modifier le wikicode]

     Tout d'abord le mouvement d'un point matériel à force centrale est « rectiligne ou plan », conséquence de la « conservation du moment cinétique vectoriel par rapport au centre de force » ;

     dans les deux cas, la loi des aires est applicable au mouvement du point sous la forme « avec constante des aires », autre conséquence de la « conservation du moment cinétique vectoriel par rapport au centre de force » et on a la propriété suivante :

  • « mouvement rectiligne » et
  • « mouvement plan ».

     Les variables et formules de Binet [43] peuvent s’employer dès lors que la loi des aires sous la forme « avec constante des aires » s’applique c.-à-d. pour tous les mouvements à force centrale toutefois leur utilisation n'est intéressante que dans le cas «», elle permet alors d’exprimer la vitesse angulaire «» en fonction de la coordonnée radiale «» par «».

Définition des variables de Binet[modifier | modifier le wikicode]

     Le principe soutendant l'utilisation des variables de Binet [43] est de supprimer la dépendance directe au temps des variables radiale ou d'une fonction à définir de la variable radiale et angulaire , la dépendance au temps restant localisée uniquement dans la constante des aires , laquelle s'exprime en [44].

     Ainsi on définit d’abord la 1ère variable de Binet [43] «» considérée comme « fonction de », s’exprimant en «»,

     Ainsi on définit d’abord la 2nde variable de Binet [43] étant la dérivée de par rapport à soit «» également « fonction de », s’exprimant en «» et

     Ainsi on définit d’abord la 3ème variable de Binet [43] étant la dérivée seconde de par rapport à soit «» également « fonction de », s’exprimant en «».

Préliminaire : « expressions de Binet » des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse du point M[modifier | modifier le wikicode]

     Le nom des expressions, en fonction des variables de Binet [43] et de la constante des aires, des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse du point matériel dont le mouvement est à force centrale, n'est pas codifié, l'appellation « expressions de Binet » [43] est donc personnelle ;

     ces expressions sont utiles pour démontrer les « formules de Binet » [43] voir les paragraphes « 1ère formule de Binet (ou formule de Binet relative au carré de la vitesse) » et « 2ème formule de Binet (ou formule de Binet relative à l'accélération radiale) » plus bas dans le chapitre attention l'appellation « formules de Binet » [43] devant être réservée à ces deux formules,
                       elles peuvent aussi être utilisées pour déterminer les constantes d’intégration par conditions initiales.

Expression de Binet de la composante radiale du vecteur vitesse de M[modifier | modifier le wikicode]

     La composante radiale de , le vecteur vitesse du point matériel quand ce dernier décrit un mouvement à force radiale de centre de force , de constante des aires , dans le plan s'exprimant selon «» avec le vecteur unitaire radial de la base polaire lié à du plan , étant la loi horaire scalaire du mouvement radial de dans , nous transformons cette expression par utilisation de la formule de dérivation de fonction composée «» dans laquelle étant la vitesse angulaire du point peut s'exprimer en fonction de sa coordonnée radiale ainsi que de la constante des aires par utilisation de la loi des aires selon «» d'où la réécriture de la composante radiale de  : «» [45] ou, en reconnaissant dans le facteur entre crochets « l'opposé de la dérivée de par rapport à selon c.-à-d. l'opposé de , la 2ème variable de Binet [43] soit finalement » et par suite «».

Expression de Binet de la composante orthoradiale du vecteur vitesse de M[modifier | modifier le wikicode]

     La composante orthoradiale de , le vecteur vitesse du point matériel quand ce dernier décrit un mouvement à force radiale de centre de force , de constante des aires , dans le plan s'exprimant selon «» avec le vecteur unitaire orthoradial de la base polaire lié à du plan , étant la loi horaire scalaire du mouvement radial de dans et la loi horaire scalaire de variation de l'abscisse angulaire de dans ce même plan, nous transformons cette expression par utilisation de la loi des aires selon «» d'où la réécriture de la composante orthoradiale de  : «» [45] ou, en reconnaissant dans le facteur entre crochets, la 1ère variable de Binet [43] c.-à-d. «», nous en déduisons «».

1ère formule de Binet (ou formule de Binet relative au carré de la vitesse)[modifier | modifier le wikicode]

     Pour établir la 1ère formule de Binet [43] celle relative au carré de la vitesse du mouvement d'un point matériel quand ce dernier décrit un mouvement à force radiale de centre de force , de constante des aires , dans le plan , il suffit d’évaluer «» dans lequel , étant le vecteur vitesse du point , c.-à-d. «» avec base polaire lié au point à l'instant , par «» en y injectant les 1ère et 2ème expressions de Binet [43] des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse voir les paragraphes « expression des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse de M » plus haut dans le chapitre à savoir « et toutes deux fonction de » «», cette dernière expression constituant la 1ère formule de Binet [43] ou formule de Binet [43] relative au carré de la vitesse.

     Remarque : On peut se servir de l’homogénéité pour retenir la 1ère formule de Binet [43] celle relative au carré de la vitesse d'un mouvement à force centrale : en effet « s'exprimant en » et « la dépendance relativement au temps se trouvant, dans les expressions ou formules de Binet [43], exclusivement dans la constante des aires laquelle s'exprime en » il est donc nécessaire que cette dernière apparaisse au carré dans un 1er facteur correspondant à « en », le 2ème facteur devant s'exprimer en pouvant être, par exemple, représenté par un carré ou une somme de carré de variables de Binet [43] c'est en fait «»

2ème formule de Binet (ou formule de Binet relative à l’accélération radiale)[modifier | modifier le wikicode]

     Pour établir la 2ème formule de Binet [43] celle relative à l'accélération radiale du mouvement d'un point matériel quand ce dernier décrit un mouvement à force radiale de centre de force , de constante des aires , dans le plan , il suffit d’évaluer «» dans lequel est le vecteur accélération du point , encore égal à «» avec base polaire lié au point à l'instant , par «» [47] dans laquelle il faut expliciter les deux termes «» et «» à l'aide des variables de Binet [43] ainsi que de la constante des aires en utilisant éventuellement les 1ère et 2ème expressions de Binet [43] des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse voir les paragraphes « expression des composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse de M » plus haut dans le chapitre à savoir « et toutes deux fonction de » :

  • «» dans laquelle on remplace par son expression tirée de la loi des aires , vitesse angulaire qui s'exprime ainsi en fonction de la constante des aires et de la 1ère variable de Binet selon « considérée comme fonction de » soit finalement « fonction de » puis
  • «» dans laquelle on remplace par son expression tirée de la loi des aires