Équations et fonctions du second degré/Équations du second degré

Leçons de niveau 12
Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre.
Début de la boite de navigation du chapitre
Équations du second degré
Icône de la faculté
Chapitre no 2
Leçon : Équations et fonctions du second degré
Chap. préc. :Fonctions polynômes du second degré (ou trinômes)
Chap. suiv. :Inéquations du second degré
fin de la boite de navigation du chapitre
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Équations et fonctions du second degré : Équations du second degré
Équations et fonctions du second degré/Équations du second degré
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Définitions[modifier | modifier le wikicode]



Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Discriminant et racines[modifier | modifier le wikicode]

On a déjà vu au chapitre précédent que la forme canonique d'une fonction trinôme fournit deux valeurs importantes dans son tableau de variations (les coordonnées du sommet de la parabole).


On peut d'ailleurs la retrouver en commençant par faire apparaître le début d'un carré parfait :

descriptif indisponible
Wikipedia-logo-v2.svg
Wikipédia possède un article à propos de « Complétion du carré ».

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Cette forme canonique permet en outre de trouver facilement les racines de , c'est-à-dire résoudre l'équation d'inconnue .

En effet,
donc (comme )
.

Sous cette forme, il est bien plus simple de résoudre l'équation en distinguant différents cas :

  • si  ;
  • si  ;
  • si , il ne peut pas y avoir de racine réelle, puisqu’un carré ne peut pas être strictement négatif.

Finalement, voici ce qu’il faut absolument retenir :

Début d’un théorème
Fin du théorème


On remarque que dans le cas , . On dit que la racine est double.

Méthode du Produit-Somme[modifier | modifier le wikicode]

En plus de la forme canonique, la forme factorisée peut également permettre de facilement résoudre l'équation d'inconnue .

descriptif indisponible
Wikipedia-logo-v2.svg
Wikipédia possède un article à propos de « Méthode du produit-somme ».

La méthode consiste à former dans la fonction trinôme à partir de la somme de et , entiers dont le produit est égal à .

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Conséquences graphiques[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un principe
Fin du principe


  • Si alors il n'y a pas d'intersection entre et l’axe des abscisses.
  • Si alors et l’axe des abscisses admettent un point d'intersection, de coordonnées
  • Si alors et l’axe des abscisses admettent deux points d'intersection, de coordonnées et


Les 6 cas qui peuvent se présenter
Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0
a > 0 Deux racines Une racine Pas de racines
a < 0 Deux racines Une racine Pas de racines


Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Fin de l'exemple