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Équations et fonctions du second degré/Équations du second degré

Leçons de niveau 12
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Équations du second degré
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Chapitre no 2
Leçon : Équations et fonctions du second degré
Chap. préc. :Fonctions polynômes du second degré (ou trinômes)
Chap. suiv. :Inéquations du second degré
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Équations et fonctions du second degré/Équations du second degré
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Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Discriminant et racines

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On a déjà vu au chapitre précédent que la forme canonique d'une fonction trinôme fournit deux valeurs importantes dans son tableau de variations (les coordonnées du sommet de la parabole).


On peut d'ailleurs la retrouver en commençant par faire apparaître le début d'un carré parfait :

descriptif indisponible
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Wikipédia possède un article à propos de « Complétion du carré ».

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Cette forme canonique permet en outre de trouver facilement les racines de , c'est-à-dire résoudre l'équation d'inconnue .

En effet,
donc (comme )
.

Sous cette forme, il est bien plus simple de résoudre l'équation en distinguant différents cas :

  • si  ;
  • si  ;
  • si , il ne peut pas y avoir de racine réelle, puisqu’un carré ne peut pas être strictement négatif.

Finalement, voici ce qu’il faut absolument retenir :

Début d’un théorème
Fin du théorème


On remarque que dans le cas , . On dit que la racine est double.

Méthode du Produit-Somme

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En plus de la forme canonique, la forme factorisée peut également permettre de facilement résoudre l'équation d'inconnue .

descriptif indisponible
Wikipedia-logo-v2.svg
Wikipédia possède un article à propos de « Méthode du produit-somme ».

La méthode consiste à former dans la fonction trinôme à partir de la somme de et , entiers dont le produit est égal à .

Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Conséquences graphiques

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Début d’un principe
Fin du principe


  • Si alors il n'y a pas d'intersection entre et l’axe des abscisses.
  • Si alors et l’axe des abscisses admettent un point d'intersection, de coordonnées
  • Si alors et l’axe des abscisses admettent deux points d'intersection, de coordonnées et


Les 6 cas qui peuvent se présenter
Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0
a > 0 Deux racines Une racine Pas de racines
a < 0 Deux racines Une racine Pas de racines


Début de l'exemple
Fin de l'exemple
Début de l'exemple
Fin de l'exemple