Leçons de niveau 12

Équations et fonctions du second degré/Équations du second degré

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Équations du second degré
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Chapitre no 2
Leçon : Équations et fonctions du second degré
Chap. préc. :Fonctions polynômes du second degré (ou trinômes)
Chap. suiv. :Inéquations du second degré
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Équations et fonctions du second degré/Équations du second degré
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Définitions[modifier | modifier le wikicode]





Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Discriminant et racines[modifier | modifier le wikicode]

On a déjà vu au chapitre précédent que la forme canonique d'une fonction trinôme trinôme fournit deux valeurs importantes dans son tableau de variations (les coordonnées du sommet de la parabole).



On peut d'ailleurs la retrouver en commençant par faire apparaître le début d'un carré parfait :

Wikipédia possède un article à propos de « Complétion du carré ».

Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Cette forme canonique permet en outre de trouver facilement les racines de , c'est-à-dire résoudre l'équation d'inconnue .

En effet,
donc (comme )
.

Sous cette forme, il est bien plus simple de résoudre l'équation en distinguant différents cas :

  • si  ;
  • si  ;
  • si , il ne peut pas y avoir de racine réelle, puisqu’un carré ne peut pas être strictement négatif.

Finalement, voici ce qu’il faut absolument retenir :

Début d’un théorème


Fin du théorème


On remarque que dans le cas , . On dit que la racine est double.

Conséquences graphiques[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un principe


Fin du principe


  • Si alors il n'y a pas d'intersection entre et l’axe des abscisses.
  • Si alors et l’axe des abscisses admettent un point d'intersection, de coordonnées
  • Si alors et l’axe des abscisses admettent deux points d'intersection, de coordonnées et


Les 6 cas qui peuvent se présenter
Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0
a > 0 Deux racines Parabolic graph convex 2roots.PNG Une racine Parabolic graph convex 1root.PNG Pas de racines Parabolic graph convex no roots.PNG
a < 0 Deux racines Parabolic graph concav 2roots.PNG Une racine Parabolic graph concav 1root.PNG Pas de racines Parabolic graph concav no roots.PNG


Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Début de l'exemple


Fin de l'exemple
Début de l'exemple


Fin de l'exemple