Leçons de niveau 15

Espaces vectoriels normés/Compacité

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Compacité
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Chapitre no 3
Leçon : Espaces vectoriels normés
Chap. préc. :Limites et continuité
Chap. suiv. :Connexité
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Espaces vectoriels normés/Compacité
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Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte de manière similaire à un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera bornée et atteindra ses bornes.

Dans toute la suite, est un -espace vectoriel normé.

Compacité[modifier | modifier le wikicode]

Définitions[modifier | modifier le wikicode]

Remarque 
On définit de même des recouvrements fermés, bornés, etc.



Valeurs d'adhérence[modifier | modifier le wikicode]

Un critère plus pratique :

Exemple d'application :


Compacité et applications continues[modifier | modifier le wikicode]

Parties bornées[modifier | modifier le wikicode]

Diamètre d'une partie[modifier | modifier le wikicode]

Parties bornées et compacité[modifier | modifier le wikicode]