Leçons de niveau 15

Espaces vectoriels normés/Compacité

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Compacité
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Chapitre no 3
Leçon : Espaces vectoriels normés
Chap. préc. :Limites et continuité
Chap. suiv. :Connexité
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Espaces vectoriels normés/Compacité
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Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte de manière similaire à un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera bornée et atteindra ses bornes.

Dans toute la suite, E est un ℝ-espace vectoriel normé.

Définitions[modifier | modifier le wikicode]

Remarque 
On définit de même des recouvrements fermés, bornés, etc.


Premières propriétés[modifier | modifier le wikicode]

Valeurs d'adhérence[modifier | modifier le wikicode]


Dans un e.v.n. ou plus généralement dans un espace métrique, on a :


Rappelons que si une suite converge vers alors toutes ses sous-suites convergent vers . Par conséquent (d'après la proposition ci-dessus), est alors son unique valeur d'adhérence.

Dans un e.v.n. ou plus généralement dans un espace métrique, on a en outre une caractérisation séquentielle de la compacité :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Exemples d'applications :


Compacité et applications continues[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème