Espaces vectoriels normés/Compacité

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Dans ce chapitre, nous allons étudier une nouvelle notion topologique : la compacité. Intuitivement, un espace sera dit compact s'il se comporte de manière similaire à un ensemble fini, notamment dans le comportement des fonctions définies sur cet espace. Par exemple, une fonction continue sur un compact sera bornée et atteindra ses bornes.

Dans toute la suite, E est un ℝ-espace vectoriel normé.

Définitions

Définition : recouvrement ouvert, sous-recouvrement

Soient $A$ une partie de $E$ et $(O_{i})_{i\in I}$ une famille de parties de $E$.

On dit que $(O_{i})_{i\in I}$ est un recouvrement de $A$ si $A\subset \cup _{i\in I}O_{i}$.

Il est dit ouvert si tous les $O_{i}$ sont ouverts.

Un sous-recouvrement de $(O_{i})_{i\in I}$ est une sous-famille $(O_{i})_{i\in J}$ ($J\subset I$) qui est encore un recouvrement de $A$.

Il est dit fini si $J$ est fini.

Remarque

On définit de même des recouvrements fermés, bornés, etc.

Définition : partie compacte

On dit qu'une partie A de E est compacte si pour tout recouvrement ouvert de A, il existe un sous-recouvrement fini.

Premières propriétés

Proposition

• Toute partie compacte de E est fermée et bornée.
• Soit A une partie compacte de E. Toute partie fermée de A est compacte.
• Toute union finie de parties compactes de E est compacte.
• Toute intersection d'une famille non vide de parties compactes de E est compacte.

Démonstration

Voir Topologie générale/Compacité#Espaces métriques compacts (remarque suivant le lemme 1), Topologie générale/Compacité#Premières propriétés et Topologie générale/Exercices/Compacité#Exercice 1.

 

Valeurs d'adhérence

Définition : valeur d'adhérence

Soit $(u_{n})$ une suite de E.

On dit qu'un élément $a\in E$ est une valeur d'adhérence de $(u_{n})$ si tout voisinage $V$ de $a$ contient une infinité de termes de la suite, autrement dit : $\forall N\in \mathbb {N} \quad \exists n\geq N\quad x_{n}\in V$.

Dans un e.v.n. ou plus généralement dans un espace métrique, on a :

Proposition : lien entre valeurs d'adhérence et sous-suites

Soit $(u_{n})$ une suite de E.

Un élément $a\in E$ est une valeur d'adhérence de $(u_{n})$ si et seulement s'il existe une suite extraite $(u_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }$ qui converge vers $a$.

Rappelons que si une suite converge vers $a$ alors toutes ses sous-suites convergent vers $a$. Par conséquent (d'après la proposition ci-dessus), $a$ est alors son unique valeur d'adhérence.

Dans un e.v.n. ou plus généralement dans un espace métrique, on a en outre une caractérisation séquentielle de la compacité :

Début d’un théorème

Théorème de Bolzano-Weierstrass

Une partie A de E est compacte si et seulement si toute suite de A admet une valeur d'adhérence dans A.

Fin du théorème

Exemples d'applications :

Proposition

Soient E et F deux e.v.n. et A (resp. B) une partie compacte de E (resp. F). Alors :

• l'espace métrique A est complet ;
• A×B est une partie compacte de E×F.

Compacité et applications continues

Début d’un théorème

Théorème

Soient E et F deux e.v.n., A une partie compacte de E, et f : A → F une application continue.

Alors, f(A) est une partie compacte de F.

Fin du théorème