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Exercice : ContinuitéFonctions d'une variable réelle/Exercices/Continuité », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soient
−
∞
≤
a
<
b
≤
+
∞
{\displaystyle -\infty \leq a<b\leq +\infty }
et
f
:
]
a
,
b
[
→
R
{\displaystyle f:\left]a,b\right[\to \mathbb {R} }
une application continue.
On suppose que
f
{\displaystyle f}
admet des limites (finies ou infinies) en
a
{\displaystyle a}
et
b
{\displaystyle b}
:
l
:=
lim
a
f
et
L
:=
lim
b
f
{\displaystyle l:=\lim _{a}f\quad {\text{et}}\quad L:=\lim _{b}f}
.
Montrer que
f
{\displaystyle f}
atteint toutes les valeurs strictement comprises entre
l
{\displaystyle l}
et
L
{\displaystyle L}
.
Montrer que si
l
{\displaystyle l}
et
L
{\displaystyle L}
sont finies, alors
f
{\displaystyle f}
est bornée.
Solution
Soit un réel
M
1
>
max
(
|
l
|
,
|
L
|
)
{\displaystyle M_{1}>\max(|l|,|L|)}
. Il existe alors deux réels
A
{\displaystyle A}
et
B
{\displaystyle B}
tels que
a
<
A
≤
B
<
b
et
∀
x
∈
]
a
,
A
[
∪
]
B
,
b
[
|
f
(
x
)
|
<
M
1
{\displaystyle a<A\leq B<b\quad {\text{et}}\quad \forall x\in \left]a,A\right[\cup \left]B,b\right[\quad |f(x)|<M_{1}}
.
Posons
M
2
=
sup
|
f
|
(
[
A
,
B
]
)
{\displaystyle M_{2}=\sup |f|\left(\left[A,B\right]\right)}
(fini, d'après le théorème des bornes).
∀
x
∈
]
a
,
b
[
|
f
(
x
)
|
≤
max
(
M
1
,
M
2
)
{\displaystyle \forall x\in \left]a,b\right[\quad |f(x)|\leq \max(M_{1},M_{2})}
.
On suppose que
l
=
L
{\displaystyle l=L}
(finie ou infinie).
1) Montrer que si
f
{\displaystyle f}
prend au moins une valeur strictement inférieure à cette limite (par exemple si
L
=
+
∞
{\displaystyle L=+\infty }
), alors
f
{\displaystyle f}
admet un minimum.
Conseil : Rien ne vaut un bon schéma. Il faut alors utiliser la définition de la limite et…
2) En déduire que (sans cette dernière hypothèse)
f
{\displaystyle f}
admet un extremum.
Solution
1) Soit
c
∈
]
a
,
b
[
{\displaystyle c\in \left]a,b\right[}
tel que
f
(
c
)
<
L
{\displaystyle f(c)<L}
. Il existe alors deux réels
A
{\displaystyle A}
et
B
{\displaystyle B}
tels que
∀
x
∈
]
a
,
A
[
∪
]
B
,
b
[
f
(
x
)
>
f
(
c
)
{\displaystyle \forall x\in \left]a,A\right[\cup \left]B,b\right[\quad f(x)>f(c)}
, ce qui implique
A
≤
c
≤
B
{\displaystyle A\leq c\leq B}
.
D'après le théorème des bornes, la restriction de
f
{\displaystyle f}
à
[
A
,
B
]
{\displaystyle \left[A,B\right]}
atteint son minimum en un certain point
d
{\displaystyle d}
, en particulier :
f
(
d
)
≤
f
(
c
)
{\displaystyle f(d)\leq f(c)}
.
∀
x
∈
]
a
,
b
[
f
(
x
)
≥
f
(
d
)
{\displaystyle \forall x\in \left]a,b\right[\quad f(x)\geq f(d)}
.
2) Si
f
{\displaystyle f}
est constante, le résultat est immédiat.
Supposons maintenant que
f
{\displaystyle f}
prend au contraire, en au moins un point
c
∈
]
a
,
b
[
{\displaystyle c\in \left]a,b\right[}
, une valeur différente de
L
{\displaystyle L}
.
Si
f
(
c
)
<
L
{\displaystyle f(c)<L}
alors
f
{\displaystyle f}
a un minimum d'après la question précédente. Si
f
(
c
)
>
L
{\displaystyle f(c)>L}
alors
f
{\displaystyle f}
a un maximum, d'après la question précédente appliquée à
−
f
{\displaystyle -f}
.
Pour une généralisation des exercices 2 et 3, voir Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie#Exercice 2-5 : extrema d'une fonction continue (niveau 15).
On pose :
arctan
(
−
∞
)
=
−
π
/
2
,
arctan
(
+
∞
)
=
π
/
2
,
a
′
=
arctan
(
a
)
,
b
′
=
arctan
(
b
)
{\displaystyle \arctan(-\infty )=-\pi /2,~\arctan(+\infty )=\pi /2,~a'=\arctan(a),~b'=\arctan(b)}
.
1) Redémontrer le résultat de l'exercice 2 en prolongeant par continuité la fonction
f
∘
tan
:
]
a
′
,
b
′
[
→
R
{\displaystyle f\circ \tan :\left]a',b'\right[\to \mathbb {R} }
.
2) Redémontrer le résultat de l'exercice 1 en prolongeant par continuité la fonction
arctan
∘
f
∘
tan
:
]
a
′
,
b
′
[
→
R
{\displaystyle \arctan \circ f\circ \tan :\left]a',b'\right[\to \mathbb {R} }
.
3) Redémontrer les résultats de l'exercice 3 à l'aide du même prolongement de
arctan
∘
f
∘
tan
{\displaystyle \arctan \circ f\circ \tan }
.
Solution
1) Si
l
{\displaystyle l}
et
L
{\displaystyle L}
sont finies,
f
∘
tan
{\displaystyle f\circ \tan }
s'étend en une fonction continue
g
:
[
a
′
,
b
′
]
→
R
{\displaystyle g:\left[a',b'\right]\to \mathbb {R} }
en posant
g
(
a
′
)
=
l
{\displaystyle g(a')=l}
et
g
(
b
′
)
=
L
{\displaystyle g(b')=L}
. D'après le théorème des bornes,
g
{\displaystyle g}
est bornée, donc l'ensemble
f
(
]
a
,
b
[
)
=
g
(
]
a
′
,
b
′
[
)
{\displaystyle f\left(\left]a,b\right[\right)=g\left(\left]a',b'\right[\right)}
est borné.
2) Même si
l
{\displaystyle l}
ou
L
{\displaystyle L}
est infinie,
arctan
∘
f
∘
tan
{\displaystyle \arctan \circ f\circ \tan }
s'étend en une fonction
h
{\displaystyle h}
continue sur
[
a
′
,
b
′
]
{\displaystyle \left[a',b'\right]}
et si
y
{\displaystyle y}
est strictement compris entre
l
{\displaystyle l}
et
L
{\displaystyle L}
alors
arctan
y
{\displaystyle \arctan y}
est strictement compris entre
arctan
l
=
h
(
a
′
)
{\displaystyle \arctan l=h(a')}
et
arctan
L
=
h
(
b
′
)
{\displaystyle \arctan L=h(b')}
. On peut donc lui appliquer le théorème des valeurs intermédiaires usuel :
∃
c
′
∈
]
a
′
,
b
′
[
arctan
y
=
h
(
c
′
)
{\displaystyle \exists c'\in \left]a',b'\right[\quad \arctan y=h(c')}
d'où, en posant
c
=
tan
(
c
′
)
{\displaystyle c=\tan(c')}
:
c
∈
]
a
,
b
[
et
y
=
f
(
c
)
{\displaystyle c\in \left]a,b\right[{\text{ et }}y=f(c)}
.
3) La fonction
h
{\displaystyle h}
atteint ses bornes et, puisqu'on suppose ici
l
=
L
{\displaystyle l=L}
, vérifie :
h
(
a
′
)
=
h
(
b
′
)
{\displaystyle h(a')=h(b')}
. Si de plus
inf
f
<
l
=
L
{\displaystyle \inf f<l=L}
, c'est-à-dire
min
h
<
h
(
a
′
)
=
h
(
b
′
)
{\displaystyle \min h<h(a')=h(b')}
, alors
h
{\displaystyle h}
atteint son minimum en un point
c
′
∈
]
a
′
,
b
′
[
{\displaystyle c'\in \left]a',b'\right[}
, et
f
{\displaystyle f}
atteint son minimum en
c
:=
tan
c
′
{\displaystyle c:=\tan c'}
. De même, si
sup
f
>
l
=
L
{\displaystyle \sup f>l=L}
alors
h
{\displaystyle h}
atteint son maximum en un point
c
′
∈
]
a
′
,
b
′
[
{\displaystyle c'\in \left]a',b'\right[}
, et
f
{\displaystyle f}
atteint son maximum en
c
:=
tan
c
′
{\displaystyle c:=\tan c'}
. Dans le cas restant,
h
{\displaystyle h}
est constante donc
f
{\displaystyle f}
aussi.
Les exercices 1, 2 et 3 sont partiellement inspirés de l'exercice 12.6 p. 327 de Sylvain Gugger, Maths PTSI , Dunod, coll. « J'assure aux concours », 2016 et de son corrigé p. 335-336, ainsi que de la page 324.