Leçons de niveau 14

Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Continuité

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Continuité
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Exercices no1
Leçon : Fonctions d'une variable réelle
Chapitre du cours : Continuité

Exercices de niveau 14.

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Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Continuité
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Soient et une application continue.

On suppose que admet des limites (finies ou infinies) en et  :

.

Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que atteint toutes les valeurs strictement comprises entre et .

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que si et sont finies, alors est bornée.

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

On suppose que (finie ou infinie).

1) Montrer que si prend au moins une valeur strictement inférieure à cette limite (par exemple si ), alors admet un minimum.

Conseil : Rien ne vaut un bon schéma. Il faut alors utiliser la définition de la limite et…

2) En déduire que (sans cette dernière hypothèse) admet un extremum.

Pour une généralisation des exercices 2 et 3, voir Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie#Exercice 3-3 : extrema d'une fonction continue (niveau 15).

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

On pose :

.

1) Redémontrer le résultat de l'exercice 2 en prolongeant par continuité la fonction .

2) Redémontrer le résultat de l'exercice 1 en prolongeant par continuité la fonction .

3) Redémontrer les résultats de l'exercice 3 à l'aide du même prolongement de .

Exercice 5[modifier | modifier le wikicode]

Sur , soit une fonction croissante telle que soit décroissante.

  1. Montrer que est continue.
  2. Montrer que si n'est pas identiquement nulle alors elle est strictement positive.
  3. Donner un exemple de telle fonction.

Exercice 6[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Branche parabolique ».

Montrer que équivaut à : .

Référence et liens externes[modifier | modifier le wikicode]