Leçons de niveau 14

Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Continuité

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Continuité
Image logo représentative de la faculté
Exercices no1
Leçon : Fonctions d'une variable réelle
Chapitre du cours : Continuité

Ces exercices sont de niveau 14.

Exo préc. :Sommaire
Exo suiv. :Inégalités
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Continuité
Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Continuité
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Soient et une application continue.

On suppose que admet des limites (finies ou infinies) en et  :

.

Exercice 1[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que atteint toutes les valeurs strictement comprises entre et .

Exercice 2[modifier | modifier le wikicode]

Montrer que si et sont finies, alors est bornée.

Exercice 3[modifier | modifier le wikicode]

On suppose que (finie ou infinie).

1) Montrer que si prend au moins une valeur strictement inférieure à cette limite (par exemple si ), alors admet un minimum.

Conseil : Rien ne vaut un bon schéma. Il faut alors utiliser la définition de la limite et…

2) En déduire que (sans cette dernière hypothèse) admet un extremum.

Pour une généralisation des exercices 2 et 3, voir Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie#Exercice 2-5 : extrema d'une fonction continue (niveau 15).

Exercice 4[modifier | modifier le wikicode]

On pose :

.

1) Redémontrer le résultat de l'exercice 2 en prolongeant par continuité la fonction .

2) Redémontrer le résultat de l'exercice 1 en prolongeant par continuité la fonction .

3) Redémontrer les résultats de l'exercice 3 à l'aide du même prolongement de .

Référence[modifier | modifier le wikicode]

Les exercices 1, 2 et 3 sont partiellement inspirés de l'exercice 12.6 p. 327 de Sylvain Gugger, Maths PTSI, Dunod, coll. « J'assure aux concours », 2016 et de son corrigé p. 335-336, ainsi que de la page 324.