Leçons de niveau 15

Espaces vectoriels normés/Connexité

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Connexité
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Chapitre no 4
Leçon : Espaces vectoriels normés
Chap. préc. :Compacité
Chap. suiv. :Espaces de Banach - Complétude
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Espaces vectoriels normés/Connexité
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Dans ce chapitre nous allons voir une notion centrale de la topologie : la connexité. Nous aborderons un cas partculier dans les e.v.n. : la convexité.
Dans toute la suite, désigne un e.v.n. et est une partie de

Connexité[modifier | modifier le wikicode]

Dans un premier temps, nous allons étudier la notion de connexité. De manière intuitive, sera une partie connexe si elle est en un seul morceau. Nous n'allons pas rentrer trop loin dans cette notion, qui est délicate à manipuler au premier abord, l'objectif étant d'introduire la notion et de donner une démonstration plus conceptuelle du théorème des valeurs intermédiaires, ainsi qu'une généralisation.

Définition[modifier | modifier le wikicode]

Voyons tout d'abord la défnition d'une partie connexe :


Remarque 
  • On rappelle que disjoint signifie d'intersection vide.
  • On voit, à travers cette définition, que si est composée de "plusieurs morceaux" alors on va pouvoir trouver un recouvrement de en deux ouverts disjoints.
Exemples 
  • Nous allons voir, à la fin de ce chapitre, un exemple fondamental : tout e.v.n. est connexe. La preuve utilise la notion de convexité et est donc reportée à la fin du chapitre.
  • Nous allons voir que pour les parties connexes sont exactement les intervalles. Cela nécessite quelques propositions intermédiaires avant de pouvoir être démontré proprement.

Voyons tout d'abord d'autres caractérisations de la continuité. Le lecteur ne doit pas hésiter à relire la partie introduction à la topologie pour aborder la démonstration ainsi que les suivantes.

Remarque 
  • On utilise souvent le point 3. de cette propriété de la façon suuivante : pour montrer qu'une propriété est vraie sur une partie connexe, on montre que l'ensemble des points tels que la propriété est vraie est une partie non vide, ouverte et fermée. Ceci implique alors que la propriété est vraie sur l'ensemble de la partie.

Remarquons que l'union de deux parties connexes n'est pas forcément connexe, prendre par exemple alors l'union des deux n'est pas connexe, car les connexes de sont les intervalles (ce qui reste encore à démontrer). La proposition suivante nous donne une condition pour que cela soit le cas :

Avant de caractériser les connexes de , nous énonçons le résultat suivant qui peut paraître technique mais dont nous avons besoin pour la démonstration, et qui est souvent utile en pratique.


Remarque 
  • Si est connexe alors son adhérence l'est aussi.
  • Si contient une partie dense connexe alors est connexe.

Venons-en maintenant à la propriété plusieurs fois annoncée :

Début d’un théorème
Fin du théorème


Remarque 
  • Pour montrer qu'une partie est un intervalle il est possible de montrer qu'elle est connexe. Même si cela n'est pas forcément le plus courant, cela peut s'avérer utile.
  • A l'aide de la notion de connexité par arcs, on peut donner une démonstration plus simple de ce résultat, mais moins fondamentale.

Continuité et connexité[modifier | modifier le wikicode]

Commençons cette partie par une nouvelle caractérisation de la connexité à l'aide des fonctions continues.

Remarque 
  • On voit encore apparaître le fait que si est composée d'une union disjointe d'ouverts, on va pouvoir définir des fonctions dans qui prennent des valeurs différentes sur chaque ouvert, et qui seront continue.


Etudions maintenant la propriété fondamentale reliant la connexité et la continuité. Le théorème suivant est l'un des premiers résultats montrant l'intérêt de la connexité : il nous dit que l'image d'une partie connexe par une application continue est connexe. Ceci permet de montrer assez facilement que certaines parties sont connexes. Il va également nous permettre d'obtenir sans efforts le théorème des valeurs intermédiaire.

Début d’un théorème
Fin du théorème

Pour insister sur le fait qu'il s'agit d'un résultat de topologie utilisant la connexité rappelons le théorème des valeurs intermédiaire. La preuve est immédiate à partir du théorème précédent si l'on se souvient que les connexes de sont les intervalles.


Connexité par arcs[modifier | modifier le wikicode]

Nous allons maintenant nous intéresser à une notion un peu plus forte : la connexité par arcs. On introduit pour cela la notion d'arc qui est une courbe reliant deux points pour faire simple. Une partie est alors connexe par arcs si, étant donné deux points dans cette partie, on peut trouver une courbe reliant ces deux points sans sortir de cette partie. Cette propriété est souvent plus simple à démontrer que la connexité, mais la connexité par arcs d'une partie implique sa connexité, la réciproque étant fausse mais les contre-exemples sont assez délicats à manipuler au premier abord. Intuitivement, si l'on peut toujours joindre deux points par une courbe alors la partie considérée ne peut pas être en plusieurs morceaux.


Remarque 
  • Concernant les arcs, il est important de distinguer d'une part l'arc qui est une application, et d'autre part son image qui est une partie de l'espace. De nombreux auteurs font l'abus de notation de noter encore l'image de l'arc, en particulier lorsque l'on aborde l'analyse complexe.


Voyons maintenant la propriété fondamentale des espaces connexes par arcs qui fait leur intérêt dans ce cours.

Remarque 

Nous insistons sur ce point mais la réciproque de cette propriété est fausse : il existe des espaces connexes non connexes par arcs, nous en verrons un exemple en exercice. Ceci étant dit, la grande majorité des exemples de parties connexes que nous aurons à traiter seront connexes par arcs, mais cela ne doit pas faire oublier la différence entre les deux notions.

Convexité[modifier | modifier le wikicode]

Les notions de connexité et de connexité par arcs dépassent largement le cadre des e.v.n., cependant la structure algébrique d'espace vectoriel va nous permettre d'introduire une autre notion peut-être plus simple pour le lecteur débutant : la convexité. Géométriquement, est convexe si tous les segments que l'on peut constituer à partir de point de sont inclus dans . Les intérets des parties convexes sont multiples que ce soit en géométrie ou en optimisation par exemple, mais dans notre cadre elle nous servirons à démontrer que des parties sont connexes/connexes par arcs.
Concrètement l'idée ci-dessus se traduit dans la définition suivante :


Remarque 
  • Dans , le lecteur peut vérifier que la définition donnée pour les segments correspond à un paramétrisation du segment naturelle.
  • Tout e.v.n. est convexe.

La propriété suivante nous fournit d'autres exemples de parties convexes :

La proposition suivante est quasimment immédiate à partir de la définition, la démonstration ne figurant qu'à titre d'exemple. Cependant, le résultat est très important pour démontrer qu'un espace est connexe par arcs, en effet la convexité est souvent plus facile à démontrer et à visualiser géométriquement quand on a l'habitude de ces notions. ELle constitue également notre principale application de la connexité ici.

Ce résultat nous permet de démontrer ainsi que tout e.v.n. est connexe, ce qui justifie la première remarque de ce chapitre.