Leçons de niveau 16

Espaces de Banach/Exercices/Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé

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Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé
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Exercices no6
Leçon : Espaces de Banach

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Théorème de Banach-Steinhaus
Exo suiv. :Espaces de Hilbert
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Espaces de Banach/Exercices/Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé
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Exercice 6-1[modifier | modifier le wikicode]

Soient

  • (l'indicatrice de ),
  • (sa transformée de Fourier) et
  • .

Montrer que :

  1. est intégrable ;
  2. la suite est bornée dans (muni de la norme sup) ;
  3. la suite n'est pas bornée dans (par changement de variable + lemme de Fatou) ;
  4. la transformation de Fourier, de dans , est injective ;
  5. elle n'est pas surjective ;
  6. de même, l'injection n'est pas surjective.

Exercice 6-2[modifier | modifier le wikicode]

Existe-t-il des exemples de bijections linéaires continues entre deux e.v.n. avec non continue et :

  1. et non complets ?
  2. complet et non complet ?
  3. complet et non complet ?

Exercice 6-3[modifier | modifier le wikicode]

Dans un espace vectoriel normé E, deux sous-espaces vectoriels supplémentaires (algébriques) M et N sont dits supplémentaires topologiques s'ils sont fermés et si l'une des deux projections (de E sur M et N) est continue (donc les deux, puisque leur somme idE l'est). Montrer que :

  1. dans un espace de Banach, deux supplémentaires algébriques fermés sont toujours supplémentaires topologiques ;
  2. dans un espace de Hilbert, tout sous-espace fermé possède un supplémentaire topologique ;
  3. une surjection linéaire continue entre deux espaces de Banach possède une section linéaire continue ( telle que ) si et seulement si possède un supplémentaire topologique ;
  4. dans tout e.v.n., les sous-espaces de dimension finie et les sous-espaces fermés de codimension finie possèdent des supplémentaires topologiques.

Exercice 6-4[modifier | modifier le wikicode]

Soient et deux applications entre espaces de Hilbert, telles que

.

Montrer que et sont linéaires et continues.

Exercice 6-5[modifier | modifier le wikicode]

Soient trois espaces de Banach, un ensemble d'applications linéaires continues de dans « total » (c.-à-d. séparant les points de ) et une application linéaire de dans . Montrer que si est continue, alors est continue.

Exercice 6-6[modifier | modifier le wikicode]

Soit un sous-espace vectoriel fermé de , constitué de fonctions continues. Montrer que :

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4. est de dimension finie, inférieure ou égale à .

Exercice 6-7[modifier | modifier le wikicode]

Soit une mesure positive (sur un espace mesurable) et tels que .

  1. Montrer que cette inclusion est continue (rappel : toute suite qui converge dans possède une sous-suite qui converge -p.p.).
  2. Si , en déduire l'existence d'un tel que pour toute partie mesurable de mesure non nulle, .
  3. Si au contraire et si est σ-finie, en déduire que est finie.

Exercice 6-8[modifier | modifier le wikicode]

Soit un endomorphisme de . On suppose que est continu de dans . Montrer que est continu de dans .