En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Exercice : Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé Espaces de Banach/Exercices/Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Si Fourier était bijective, la bijection réciproque serait continue (théorème de l'isomorphisme de Banach) donc il existerait une constante telle que , ce qui est exclu par les questions 2 et 3.
Si tel était le cas, il existerait (d'après le théorème de l'isomorphisme de Banach) une constante telle que, pour toute fonction , . En appliquant une telle inégalité à la suite des noyaux de Dirichlet , on arrive à une contradiction. En effet, (cf. ex. 5-3) alors que les sont bornés par : si et 0 sinon.
Existe-t-il des exemples de bijections linéaires continues entre deux e.v.n. avec non continue et :
et non complets ?
complet et non complet ?
complet et non complet ?
Solution
Il s'agit de trouver, sur un même e.v. , deux normes comparables () mais non équivalentes.
Prendre de dimension dénombrable. Par exemple, pour suite indexée par et à support fini, et (ou les mêmes normes que dans la question suivante).
est décroissante. Par ex. . , , .
Choisir pour un Banach de dim infinie et sur lui, une forme linéaire non continue. Prendre pour le même espace mais muni de la norme . Elle n'est pas équivalente, sinon serait continue.
dans un espace de Banach, deux supplémentaires algébriques fermés sont toujours supplémentaires topologiques ;
dans un espace de Hilbert, tout sous-espace fermé possède un supplémentaire topologique ;
une surjection linéaire continue entre deux espaces de Banach possède une section linéaire continue ( telle que ) si et seulement si possède un supplémentaire topologique ;
dans tout e.v.n., les sous-espaces de dimension finie et les sous-espaces fermés de codimension finie possèdent des supplémentaires topologiques.
Si M est fermé et de codimension finie, soit N un supplémentaire algébrique. Alors, l'isomorphisme naturel de E/M dans Nest continu donc par composition, la projection sur N de noyau M l'est aussi.
Remarque : dans ℓ∞ = (ℓ1)', le sous-espace des suites de limite nulle est fermé mais n'a pas de supplémentaire topologique. Idem pour le sous-espace de des fonctions prolongeables en fonctions holomorphes sur le disque ouvert.
La linéarité est une conséquence directe des propriétés de bilinéarité et de non-dégénérescence du produit scalaire. On utilise que :
.
On en déduit :
.
Cette égalité est vraie pour toutes les valeurs de x, ce qui montre que le terme de droite du produit scalaire est nul. Cette nullité démontre le caractère linéaire de S.
Pour montrer la continuité de S, il suffit, grâce au théorème du graphe fermé, de vérifier que si yn tend vers y et si S(yn) tend vers z alors S(y) = z. Or ces deux hypothèses impliquent (en utilisant l'équation « d'adjonction » de l'énoncé) que pour tout x, ⟨x,S(yn)⟩ tend à la fois vers ⟨x,S(y)⟩ et vers ⟨x,z⟩ , donc que S(y) – z est nul (car orthogonal à tout x).
Soient trois espaces de Banach, un ensemble d'applications linéaires continues de dans « total » (c'est-à-dire séparant les points de ) et une application linéaire de dans . Montrer que si est continue, alors est continue.
Si , en déduire l'existence d'un tel que pour toute partie mesurable de mesure non nulle, .
Si au contraire et si est σ-finie, en déduire que est finie.
Solution
Si dans et dans alors, en appliquant deux fois le rappel, il existe une sous-suite de qui tend -p.p. à la fois vers et vers , donc (-p.p.). D'après le théorème du graphe fermé, ceci prouve la continuité de l'inclusion.
Il existe donc une constante telle que . En particulier, pour toute partie mesurable de mesure (finie et) non nulle, , autrement dit (si ) : .
Si et σ-finie (exemple : muni des tribu et mesure de Lebesgue), est une union croissante de avec, par un calcul analogue : , donc .