Leçons de niveau 16

Théorie de la mesure/Tribus

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Tribus
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Chapitre no 2
Leçon : Théorie de la mesure
Chap. préc. :Introduction: Mesure sur un ensemble fini
Chap. suiv. :Mesures
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Théorie de la mesure/Tribus
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Plusieurs notions mathématiques requièrent implicitement l’existence d'une « structure » sur l'espace sous-jacent. Ainsi, la notion de fonction continue requiert l’existence préalable d'une topologie, la notion de complétude d'un ensemble (ou de suite de Cauchy), dépend d'une métrique, la notion de stationnarité ou d'ergodicité en géométrie dépend d'un groupe de transformations.

Pour ce qui est des mesures, la structure sous-jacente est celle de « tribu », ou « σ-algèbre ». C'est un ensemble de parties de . Un ensemble muni d'une tribu est appelé « espace mesurable », et il est nécessaire de munir un ensemble d'une tribu pour pouvoir définir une mesure, autrement on peut arriver à des contradictions. Comme pour les topologies, il peut y avoir plusieurs tribus sur un ensemble, avec des relations d'inclusion.

On définira au chapitre suivant la notion de mesure sur un espace mesurable.

Algèbres[modifier | modifier le wikicode]

Partons de la fin pour définir une tribu, en partant du concept même de mesure. La propriété fondamentale d'une mesure est l'additivité, qui stipule que pour deux ensembles disjoints et , . De plus, si est un sous-ensemble de et que ces deux ensembles sont mesurables et de mesure finie, on veut définir .




Avec quelques petites manipulations, ces deux propriétés impliquent que et que est également stable par intersection finie, par complémentation au sein d'un sous-ensemble, etc. De ce fait, on peut donner plusieurs définitions équivalentes d'une algèbre, ce qui peut faire l’objet d'exercices.

Cela dit, ces propriétés ne suffisent pas pour définir une tribu, mais arrêtons-nous un instant pour comprendre plus « intuitivement » ce qu'est une algèbre. Une algèbre sur est tout simplement un ensemble non vide de parties de où, si je prends un nombre fini de ces parties dans , et que je fais un nombre fini d'opérations sur ces ensembles : unions, intersections, passages au complémentaire, l’ensemble qui en résulte est toujours dans .

Début de l'exemple


Fin de l'exemple


Tribus[modifier | modifier le wikicode]

Une dernière propriété, qui peut s’interpréter comme une stabilité par passage à la limite, est nécessaire pour parler de tribu :





De même que toute algèbre est stable par intersection finie, toute tribu est stable par intersection dénombrable :


Une tribu sur est donc un ensemble non vide de parties de sur lesquels on peut faire une infinité dénombrable d'opérations, tout en restant dans la (mais pas une infinité non dénombrable). La liberté dans une tribu est presque totale : on peut partir d'un ensemble dans , lui adjoindre un ensemble , lui retrancher un autre ensemble , passer au complémentaire… faire une infinité dénombrable d'opérations, l’ensemble résultant sera toujours dans .

Début de l'exemple


Fin de l'exemple



Opérations sur les tribus[modifier | modifier le wikicode]







Début de l'exemple


Fin de l'exemple





Si , en appliquant la propriété ci-dessus (image réciproque d'une tribu) à l'injection canonique , on obtient :