Leçons de niveau 16

Espaces de Banach/Exercices/Espaces de Hilbert

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Espaces de Hilbert
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Exercices no7
Leçon : Espaces de Banach

Exercices de niveau 16.

Exo préc. :Théorèmes de Banach-Schauder et du graphe fermé
Exo suiv. :Sommaire
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Espaces de Banach/Exercices/Espaces de Hilbert
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Wikipédia possède un article à propos de « Espace de Hilbert ».

Exercice 7-1[modifier | modifier le wikicode]

Soient un espace de Hilbert et un opérateur normal sur , c.-à-d. .

  1. Montrer que .
  2. En déduire que est inversible si et seulement s'il existe une constante telle que : pour tout .

Exercice 7-2[modifier | modifier le wikicode]

Soient un espace de Hilbert et un opérateur positif, c.-à-d.[1] : pour tout , .

  1. Montrer, pour tous , et , que . En déduire que .
  2. En considérant , montrer que .
  3. En utilisant le théorème de Lax-Milgram, montrer que est bijectif pour tout .
  1. Ce qu'on appelle d'ordinaire opérateur positif, sur un Hilbert, est un opérateur qui, en plus de vérifier , est autoadjoint. Mais avec cette hypothèse supplémentaire, les questions 1 et 2 de l'exercice n'auraient plus d'intérêt (la question 1 de l'exercice 7-1 suffirait). Sur un Hilbert complexe, cette hypothèse supplémentaire est en fait redondante car un opérateur est autoadjoint si et seulement si . Mais sur , vérifie et n'est pas autoadjoint ni même normal.

Exercice 7-3[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Espace de Sobolev ».

Notons l'ouvert (donc ). On définit son espace de Sobolev comme étant l'espace de Hilbert

(où est la dérivée de au sens des distributions), muni du produit scalaire

.
  1. Montrer que :
    •  ;
    • (« formule d'intégration par parties »).
  2. Montrer que par ailleurs, le sous-espace (espace des fonctions C à support compact) est dense dans .

Exercice 7-4[modifier | modifier le wikicode]

On reprend les notations de l'exercice précédent, et les résultats de la question 1.

  1. Montrer qu'il existe un opérateur sur tel que pour tous , .
  2. Montrer que est autoadjoint et de rang 1.
  3. Soit . On considère le problème suivant : trouver tel que
    En intégrant contre une fonction test , mettre le problème sous la forme variationnelle suivante :
    .
  4. En utilisant l'alternative de Fredholm, montrer qu'il admet une unique solution dans si et seulement si .

Exercice 7-5[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Théorème ergodique de von Neumann ».

Soient un espace de Hilbert et un opérateur sur de norme ≤ 1. Pour , on note

.
  1. Soit tel que . Montrer que .
  2. Montrer que .
  3. En déduire que .
  4. Montrer que pour tout , puis pour tout .
  5. Soit la projection orthogonale sur . Montrer que pour tout , .
  6. Application. Soient et .
    Montrer que pour tout , dans , où est la fonction constante égale à .

Exercice 7-6[modifier | modifier le wikicode]

Soit un espace de Hilbert. Montrer qu'une suite converge dans si et seulement si existe.