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Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence linéaire d'ordre 2

Leçons de niveau 14
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Approfondissement sur les suites numériques/Exercices/Récurrence linéaire d'ordre 2
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Soient et les deux suites définies par :

 ;
.

On note l'ensemble des réels de la forme avec , et pour un tel nombre , on note .

  1. Vérifier que
    .
  2. Montrer qu'il existe trois nombres tels que
    .
  3. Calculer et .
  4. Vérifier que
    .
  5. En déduire que
    .

Suite de Fibonacci

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descriptif indisponible
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Wikipédia possède un article à propos de « Suite de Fibonacci ».

La suite de Fibonacci est une célèbre suite de nombres entiers, liés par la récurrence : avec pour premiers termes .

  1. Calculer les 10 premiers termes de cette suite.
  2. Proposer un algorithme qui calcule le n-ième terme de la suite. Évaluer son temps d'exécution.
  3. Calculer les racines du polynôme caractéristique associé : la plus grande est appelée nombre d'or et notée . L'autre est notée .
  4. Donner l’expression de en fonction de n et des deux racines (cette formule est appelée formule de Binet).
  5. Quelle est la limite du rapport  ? Ce résultat est dû à Kepler.

Identités remarquables

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Référence : Robert C. Johnson, « Fibonacci numbers and matrices », sur Université de Durham, , p. 40 (A.10).

Soient et deux éléments d'un corps commutatif K, avec .

Montrer que si une suite (à valeurs dans K) vérifie

alors, elle peut être étendue aux indices négatifs et reliée aux puissances d'une certaine matrice inversible par :

et que pour égale à ou à toute autre suite vérifiant la même relation de récurrence et pour tous entiers et  :

.
Remarques
En particulier, si alors
  •  ;
  • en particulier, .
Ceci s'applique par exemple à la suite de Fibonacci (voir supra), qui vérifie donc :
  •  ;
  • en particulier, .

Points communs

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Quelles sont les valeurs communes aux deux suites et définies par :

  •  ;
  •  ?