Relation (mathématiques)/Relation d'ordre

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Définition

• Une relation d'ordre (ou une relation d'ordre partiel, ou simplement un ordre) est une relation réflexive, transitive et antisymétrique.
• Si $\leq$ est une relation d'ordre sur $E$, deux éléments $x$ et $y$ de $E$ sont dits comparables si $x\leq y$ ou $y\leq x$.
• On dit qu'une relation d'ordre $\leq$ sur $E$ est un ordre total si deux éléments quelconques de $E$ sont comparables ($\forall x,y\in E^{2}\quad x\leq y{\text{ ou }}y\leq x$). Dans le cas contraire, on parle d'ordre partiel.
• Si $\leq$ est une relation d'ordre sur $E$, on appelle « ordre strict associé à $\leq$ » la relation $<$ sur $E$ définie par : $x<y\Leftrightarrow x\leq y{\text{ et }}x\neq y$.
• Réciproquement, si $<$ est un « ordre strict » sur $E$, c'est-à-dire une relation antiréflexive et transitive, on appelle « relation d'ordre associée à $<$ » la relation $\leq$ sur $E$ définie par : $x\leq y\Leftrightarrow x<y{\text{ ou }}x=y$.

Exemples

• L'ordre usuel $\leq$ sur $\mathbb {R}$ est une relation d'ordre, d'ordre strict associé l'ordre strict usuel $<$.
• La restriction de toute relation d'ordre sur $E$ à une partie $A$ de $E$ est une relation d'ordre sur $A$.
• Si $X$ est un ensemble, la relation $\subset$ (inclusion) définie sur $P(X)$ (l'ensemble des parties de $X$) est une relation d'ordre.

Préordre

Un préordre est une relation réflexive et transitive.

Propriété

Sur un ensemble préordonné $(E,{\mathcal {R}})$, la relation $\sim$ définie par $x\sim y\Leftrightarrow \left(x{\mathcal {R}}y{\text{ et }}y{\mathcal {R}}x\right)$ est une relation d'équivalence, et la relation $\leq$ sur l'ensemble quotient $E/\sim$, bien définie par ${\overline {x}}\leq {\overline {y}}\Leftrightarrow x{\mathcal {R}}y$, est une relation d'ordre.