Anneau (mathématiques)/Morphismes d'anneaux
Apparence
Définitions
[modifier | modifier le wikicode]Définition
et deux anneaux ; on appelle :
Soient - morphisme (ou homomorphisme) [d'anneaux] de dans toute application de dans qui est à la fois un morphisme de magmas (donc de groupes) de dans et un morphisme de magmas unifères (donc de monoïdes) de dans ;
- isomorphisme tout morphisme bijectif et tel que soit aussi un morphisme ;
- endomorphisme de tout morphisme de dans lui-même ;
- automorphisme de tout isomorphisme de dans lui-même.
Propriétés
[modifier | modifier le wikicode]Soit un morphisme d'anneaux.
Propriétés immédiates
- ;
- ;
- est injectif si et seulement si son noyau — l'ensemble — est réduit à ;
- si est aussi un morphisme d'anneaux alors est un morphisme d'anneaux, de noyau ;
- si un élément est inversible dans alors est inversible dans et son inverse est .
Images directes et réciproques
- L'image directe par de tout sous-anneau de est un sous-anneau de .
- L'image réciproque par de tout sous-anneau de est un sous-anneau de .
- Le noyau de (et plus généralement : l'image réciproque par de tout idéal bilatère de ) est un idéal bilatère de
Démonstration
1. et 2. sont des conséquences immédiates des propriétés correspondantes pour les morphismes de magmas (et les morphismes de monoïdes).
3. Si est un idéal bilatère de alors est un sous-groupe de (comme image réciproque d'un sous-groupe par un morphisme de groupes). Il est de plus trivialement stable par produit à gauche ou à droite par les éléments de .
Les idéaux bilatères sont aux anneaux ce que les sous-groupes distingués sont aux groupes, et vérifient les mêmes théorèmes de factorisation (voir le chapitre correspondant du cours sur les groupes) :
Théorème de factorisation
Soient un idéal bilatère de inclus dans et le morphisme canonique vers l'anneau quotient. Alors, il existe un unique morphisme tel que .
et .