Anneau (mathématiques)/Exercices/Étude de l'anneau Z8

Prérequis : Arithmétique/Divisibilité et congruences dans Z (niveau 13)

Définition

Toutes les congruences ci-dessous seront modulo 8. Le signe = désignera la congruence modulo 8, ainsi au lieu de 10 ≡ 18 (mod 8), on notera 10 = 18 (ce qui peut surprendre le lecteur non averti !)

L'anneau ℤ/8ℤ est l'ensemble des 8 classes de congruences modulo 8, noté ici simplement {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, muni de l'addition et de la multiplication induites par les opérations dans ℤ.

Exemple d'addition : 3 + 7 = 10 = 2

Exemple de multiplication : 3 × 7 = 21 = 5

Tables

Dresser les tables d'addition et de multiplication dans ℤ/8ℤ

Solution

+	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	1	2	3	4	5	6	7
1	1	2	3	4	5	6	7	0
2	2	3	4	5	6	7	0	1
3	3	4	5	6	7	0	1	2
4	4	5	6	7	0	1	2	3
5	5	6	7	0	1	2	3	4
6	6	7	0	1	2	3	4	5
7	7	0	1	2	3	4	5	6

x	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7
2	0	2	4	6	0	2	4	6
3	0	3	6	1	4	7	2	5
4	0	4	0	4	0	4	0	4
5	0	5	2	7	4	1	6	3
6	0	6	4	2	0	6	4	2
7	0	7	6	5	4	3	2	1

 

Structure de l'anneau

1. L'anneau ℤ/8ℤ est-il intègre ?

Solution

Non, car il y a des diviseurs de 0, c'est-à-dire 2, 4 et 6.

 

2. Donner les idéaux de l'anneau ℤ/8ℤ. L'anneau ℤ/8ℤ est-il principal ?

Solution

On peut commencer par écrire les idéaux engendrés par un seul élément, par exemple :

<4> = {0,4}

<2> = <6> = {0,2,4,6}

<1> = <3> = <5> = <7> = l'anneau ℤ/8ℤ tout entier.

On peut ensuite se demander s'il existe des idéaux différents engendrés par plusieurs éléments

mais on se rend compte rapidement que ce n’est pas le cas. Par conséquent on a un anneau principal ℤ/8ℤ.

 

3. Pouvait-on le savoir directement sachant que l'anneau des entiers relatifs est principal ?

Solution

Oui si l'on savait aussi que tout anneau quotient d'un anneau principal est principal, ou en le démontrant dans ce cas particulier : soit $\pi :\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /8\mathbb {Z}$ le morphisme canonique. Si $I$ est un idéal de ℤ/8ℤ alors $\pi ^{-1}(I)$ est un idéal de ℤ donc de la forme dℤ pour un certain entier d et $I$ est alors engendré par $\pi (d)$ donc principal.

 

4. Quels sont les éléments inversibles de l'anneau ℤ/8ℤ ? Quelle est la structure du groupe des éléments inversibles de l'anneau ℤ/8ℤ ?

Solution

Ce sont 1, 3, 5 et 7. Il est remarquable que chacun est propre inverse.

Le groupe multiplicatif a pour table :

x	1	3	5	7
1	1	3	5	7
3	3	1	7	5
5	5	7	1	3
7	7	5	3	1

C'est donc un groupe à 4 éléments, isomorphe au groupe additif (ℤ/2ℤ)² .