Leçons de niveau 14

Polynôme/Arithmétique des polynômes

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Arithmétique des polynômes
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Chapitre no 2
Leçon : Polynôme
Chap. préc. :Définitions
Chap. suiv. :Dérivation formelle
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Polynôme/Arithmétique des polynômes
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désigne toujours un corps commutatif et l'anneau des polynômes à coefficients dans ce corps.

Division euclidienne et divisibilité dans K[X][modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème


Fin du théorème


Exemple : Division de par

  • Étape 1 : division de par (quotient , reste )
x4 - x 3 + x2 - x + 8 x2 + 3x + 1
x4 + 3x3 + x2 x2
- 4x3
  • Étape 2 : division de -4x3 - x par x2 + 3x + 1 (quotient -4x, reste 12x2 + 3x)
x4 - x 3 + x2 - x + 8 x2 + 3x + 1
x4 -3x3 + x2 x2 - 4x
- 4x3 - x
-4x3 - 12x2 -4x
+ 12x2 + 3x
  • Étape 3 : division de 12x2 - 3x + 8 par x2 + 3x + 1 (quotient 12, reste -33x - 4)
x4 - x 3 + x2 - x + 8 x2 + 3x + 1
x4 + 3x3 + x2 x2 - 4x + 12
- 4x3 - x
-4x3 - 12x2 -4x
+ 12x2 + 3x + 8
12x2 + 36x +12
- 33x - 4
  • Conclusion : x4 - x 3 + x2 - x + 8 = (x2 + 3x + 1)(x2 - 4x + 12) - 33x - 4





Les démonstrations se font comme dans (voir le cours d'arithmétique).

PGCD et PPCM[modifier | modifier le wikicode]

Définitions[modifier | modifier le wikicode]



Remarques :

  • .
  • On démontre facilement que deux PGCD ou PPCM d'un même couple de polynômes sont associés (c'est-à-dire égaux à une constante multiplicative près).
  • Comme dans , deux polynômes sont dits premiers entre eux si, et seulement si, leur PGCD vaut 1 (en fait, cela équivaut à dire que leur PGCD est un polynôme constant).

Algorithme d'Euclide[modifier | modifier le wikicode]

Il est le même que dans . On établit le lemme d'Euclide :

Début d'un lemme


Fin du lemme


On en déduit l'algorithme d'Euclide :

Soient tels que .

Opération Reste Commentaires
on divise par
si , on divise par
si , on divise par

Théorèmes d'arithmétique[modifier | modifier le wikicode]

Ces théorèmes se démontrent comme dans .

Début d’un théorème


Fin du théorème


Début d’un théorème


Fin du théorème


Polynômes premiers et irréductibles[modifier | modifier le wikicode]



Début d’un théorème


Fin du théorème


On se permet ainsi de confondre les deux notions. La démonstration se fait comme dans .

On démontre aussi :

Début d’un théorème


Fin du théorème


Idéaux de K[X][modifier | modifier le wikicode]

La définition d'un idéal est donnée dans le cours sur les anneaux.

Début d’un théorème


Fin du théorème