Polynôme/Arithmétique des polynômes

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$K$ désigne toujours un corps commutatif et $K[X]$ l'anneau des polynômes à coefficients dans ce corps.

Division euclidienne et divisibilité dans K[X]

Début d’un théorème

Théorème et définition : Division euclidienne dans K[X]

Il existe une unique division euclidienne dans $K[X]$, c'est-à-dire :

$\forall A,B\in K[X]\times (K[X]\setminus \{0\})\quad \exists !(Q,R)\in (K[X])^{2}\quad A=BQ+R\mathrm {\;et\;} \deg R<\deg B$.

$Q$ est appelée quotient de $A$ par $B$ et $R$ reste.

Fin du théorème

Démonstration

La démonstration est généralement faite en deux temps. L'unicité est plutôt plus facile. Avec les notations du théorème :

• Le couple (Q, R), s'il existe, est unique :

La démonstration se fonde sur une propriété du degré d'un polynôme ; le degré du produit de deux polynômes M et N est égal à la somme des degrés de chaque polynôme :

${\text{deg }}(MN)={\text{deg }}M+{\text{deg }}N$

On suppose l'existence de deux couples (Q₁, R₁), (Q₂, R₂) résultats de la division euclidienne de A par B, on va montrer qu'ils sont égaux. On dispose des égalités :

$A=BQ_{1}+R_{1},\quad A=BQ_{2}+R_{2}\quad {\text{donc}}\quad (1)\quad B(Q_{1}-Q_{2})=R_{2}-R_{1}.$

Le polynôme B(Q₁ – Q₂) est donc de degré strictement inférieur à celui de B, ce qui n'est possible que si Q₁ – Q₂ est nul. L'égalité (1) montre alors que R₁ – R₂ est aussi nul.

• Il existe un couple (Q, R) satisfaisant l'identité de la division euclidienne :

Soient m et n les degrés de A et B. Si m < n (y compris si m = –∞, c'est-à-dire si A = 0), il suffit de prendre Q égal au polynôme constant 0 et R égal à A pour établir l'existence. Raisonnons par récurrence pour établir les autres cas. Soit p ≥ n ; supposons la propriété démontrée pour toute valeur de m strictement inférieure à p et montrons-la pour m = p. Pour cela, notons

$A=a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_{0}\quad {\text{et}}\quad B=b_{n}X^{n}+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b_{0}\quad {\text{avec}}\quad b_{n}\neq 0$

et posons

$(2)\quad A_{1}=A-{\frac {a_{m}}{b_{n}}}X^{m-n}B.$

Ce polynôme est de degré inférieur à m, strictement (car les monômes de degré m des deux membres de cette différence sont égaux donc s'éliminent). On peut donc lui appliquer l'hypothèse de récurrence : il existe deux polynômes Q₁ et R₁ tels que :

$(3)\quad A_{1}=Q_{1}B+R_{1}\quad {\text{avec}}\quad \deg R_{1}<\deg B.$

En combinant (2) et (3), on obtient :

$A=\left({\frac {a_{m}}{b_{n}}}X^{m-n}+Q_{1}\right)B+R_{1}\quad {\text{avec}}\quad \deg R_{1}<\deg B,$

ce qui établit la proposition.

 

Exemple : Division de x⁴-x³+x²-x+8 par x²+3x+1

• Étape 1 : division de x⁴-x³+x² par x²+3x+1 (quotient x², reste -4x³)

x4	- x 3	+ x2	- x	+ 8	x2 + 3x + 1
x4	+ 3x3	+ x2			x2
	- 4x3

• Étape 2 : division de -4x³ - x par x² + 3x + 1 (quotient -4x, reste 12x² + 3x)

x4	- x 3	+ x2	- x	+ 8	x2 + 3x + 1
x4	-3x3	+ x2			x2 - 4x
	- 4x3		- x
	-4x3	- 12x2	-4x
		+ 12x2	+ 3x

• Étape 3 : division de 12x² - 3x + 8 par x² + 3x + 1 (quotient 12, reste -33x - 4)

x4	- x 3	+ x2	- x	+ 8	x2 + 3x + 1
x4	+ 3x3	+ x2			x2 - 4x + 12
	- 4x3		- x
	-4x3	- 12x2	-4x
		+ 12x2	+ 3x	+ 8
		12x2	+ 36x	+12
			- 33x	- 4

• Conclusion : x⁴ - x ³ + x² - x + 8 = (x² + 3x + 1)(x² - 4x + 12) - 33x - 4

Définition : Divisiblité

Soient $A$ et $B$ deux polynômes.

On dit que $B$ divise $A$ (ce qu'on note $B\mid A$) s'il existe $P\in K[X]$ tel que $A=PB$ :

$B\mid A\iff \exists P\in K[X]\quad A=PB$.

Propriétés

Soient $A,B,C\in K[X]$ et $\lambda \in K^{*}$.

1. $A\mid \lambda \iff A{\text{ constant.}}$
2. $A\mid B{\text{ et }}B\mid C\Rightarrow A\mid C$ (transitivité).
3. $A\mid B{\text{ et }}A\mid C\Rightarrow A\mid BU+CV\quad \forall U,V\in K[X]$.
4. $\left(A\mid B{\text{ et }}B\mid A\right)\iff \left(\exists \mu \in K^{*}\quad A=\mu B\right)$.

Les démonstrations se font comme dans $\mathbb {Z}$ (voir le cours d'arithmétique).

PGCD et PPCM

Définitions

Définitions : PGCD et PPCM de deux polynômes

Soient $A,B\in K[X]$.

• Un PGCD (Plus Grand Diviseur Commun) de $A$ et $B$ est un polynôme $D$ qui divise $A$ et $B$ et tel que tout diviseur commun à $A$ et $B$ divise $D$ (c'est donc le "plus grand" au sens de la relation d'ordre "divise") .
• Un PPCM (Plus Petit Commun Multiple) de $A$ et $B$ est un polynôme $M$ qui est divisible par $A$ et $B$ et tel que tout multiple commun à $A$ et $B$ soit divisible par $M$ (c'est donc le "plus petit" au sens de la relation d'ordre "divise") .

Remarques :

• $P\mid Q\iff \operatorname {pgcd} (P,Q)=P\iff \operatorname {ppcm} (P,Q)=Q$.
• Deux PGCD ou PPCM d'un même couple de polynômes sont associés (c'est-à-dire égaux à une constante multiplicative près).
• Comme dans $\mathbb {Z}$, deux polynômes sont dits premiers entre eux si, et seulement si, leur PGCD vaut 1 (en fait, cela équivaut à dire que leur PGCD est un polynôme constant).

Algorithme d'Euclide

Il est le même que dans $\mathbb {Z}$. On établit le lemme d'Euclide :

Début d'un lemme

Lemme d'Euclide

Soient $A,B\in K[X]$. Alors $\forall Q,R\in K[X]$, si $A=BQ+R$ on a :

$\operatorname {pgcd} (A,B)=\operatorname {pgcd} (B,R)$.

Fin du lemme

Démonstration

Il faut montrer que l’ensemble ${\mathcal {D}}(A,B)$ des diviseurs communs à $A$ et $B$ est égal à ${\mathcal {D}}(B,R)$.

Soit $C$ un diviseur de $B$. ALors, $C\mid A\Rightarrow C\mid A-BQ=R$ et réciproquement, $C\mid R\Rightarrow C\mid BQ+R=A$.

On a bien l'égalité ${\mathcal {D}}(A;B)={\mathcal {D}}(B;Q)$ : si ces ensembles sont égaux, alors leurs plus grands éléments aussi, d'où le résultat.

 

On en déduit l'algorithme d'Euclide :

Soient $A,B\in K[X]$ tels que $\deg A>\deg B$.

Opération	Reste $R$	Commentaires
on divise $A$ par $B$	$R_{0}$	$\deg 0\leq \deg R_{0}<\deg B{\mbox{ et }}pgcd(A,B)=pgcd(B,R_{0})$
si $R_{0}\neq 0$, on divise $B$ par $R_{0}$	$R_{1}$	$\deg 0\leq \deg R_{1}<\deg R_{0}{\mbox{ et }}pgcd(B,R_{0})=pgcd(R_{0},R_{1})$
…	…	…
si $R_{n}\neq 0$, on divise $R_{n-1}$ par $R_{n}$	$0$	$pgcd(R_{n-1},R_{n})=R_{n}$

Théorèmes d'arithmétique

Ces théorèmes se démontrent comme dans $\mathbb {Z}$.

Début d’un théorème

Théorème de Bézout

• $\forall A,B\in K[X]\quad \exists U,V\in K[X]\quad AU+BV=\operatorname {pgcd} (A,B)$.
• $\operatorname {pgcd} (A;B)=1\iff \left(\exists U,V\in K[X]\quad AU+BV=1\right)$.

Fin du théorème

Début d’un théorème

Théorème de Gauss

Soient $A,B,C\in K[X]$.

Si $A\mid BC$ et $\operatorname {pgcd} (A,B)=1$, alors $A\mid C$.

Fin du théorème

Idéaux de K[X]

Début d’un théorème

Théorème

K[X] est un anneau principal, ce qui signifie que tout idéal de K[X] est principal : plus précisément, si $I$ est un idéal de K[X], alors :

$\exists P\in K[X]\quad I=(P)=\{PQ\mid Q\in K[X]\}$.

Fin du théorème

Démonstration

L'idéal $\{0\}$ est engendré par le polynôme nul.

Soit maintenant $I$ un idéal non nul de $K[X]$. Soit, parmi les éléments non nuls de $I$, un polynôme $B$ de degré minimum.

Comme $B\in I$, par définition d'un idéal, $(B)\subset I$.

Réciproquement, soit $A\in I$. Par division euclidienne de $A$ par $B$, il existe $Q,R\in K[X]$ tels que $A=BQ+R$ et $\deg(R)<\deg(B)$.

Le polynôme $R=A-BQ$ appartient à $I$, comme somme de deux éléments de ce même idéal. Par choix de $B$, la condition $\deg(R)<\deg(B)$ implique $R=0$ donc $A=BQ\in (B)$.

Ceci prouve que $I\subset (B)$ donc finalement, $I=(B)$.

 

Polynômes premiers et irréductibles

Définition : Polynômes premiers et irréductibles

Soit $P\in K[X]$ non constant.

• Le polynôme $P$ est dit irréductible si ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et ceux de la forme $\lambda P\;(\mathrm {avec\;} \lambda \in K)$.
• Le polynôme $P$ est dit premier si :

  $\forall A,B\in K[X]\quad P\mid AB\Rightarrow \left(P\mid A{\text{ ou }}P\mid B\right)$.

Comme dans tout anneau vérifiant le théorème de Gauss, on a :

Corollaire

Un polynôme est premier si (et seulement si) il est irréductible.

Mieux : on a vu que $K[X]$ est principal ; on en déduit :

Corollaire

L'anneau $K[X]$ est factoriel ; cela signifie que tout polynôme non constant admet une décomposition en produit de facteurs irréductibles, unique à l’ordre des facteurs près et à association près.