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Polynôme/Arithmétique des polynômes

Leçons de niveau 14
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Arithmétique des polynômes
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Chapitre no 2
Leçon : Polynôme
Chap. préc. :Définitions
Chap. suiv. :Dérivation formelle

Exercices :

Arithmétique des polynômes
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Polynôme/Arithmétique des polynômes
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désigne toujours un corps commutatif et l'anneau des polynômes à coefficients dans ce corps.

Division euclidienne et divisibilité dans K[X]

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Début d’un théorème
Fin du théorème


Exemple : Division de x4-x3+x2-x+8 par x2+3x+1

  • Étape 1 : division de x4-x3+x2 par x2+3x+1 (quotient x2, reste -4x3)
x4 - x 3 + x2 - x + 8 x2 + 3x + 1
x4 + 3x3 + x2 x2
- 4x3
  • Étape 2 : division de -4x3 - x par x2 + 3x + 1 (quotient -4x, reste 12x2 + 3x)
x4 - x 3 + x2 - x + 8 x2 + 3x + 1
x4 -3x3 + x2 x2 - 4x
- 4x3 - x
-4x3 - 12x2 -4x
+ 12x2 + 3x
  • Étape 3 : division de 12x2 - 3x + 8 par x2 + 3x + 1 (quotient 12, reste -33x - 4)
x4 - x 3 + x2 - x + 8 x2 + 3x + 1
x4 + 3x3 + x2 x2 - 4x + 12
- 4x3 - x
-4x3 - 12x2 -4x
+ 12x2 + 3x + 8
12x2 + 36x +12
- 33x - 4
  • Conclusion : x4 - x 3 + x2 - x + 8 = (x2 + 3x + 1)(x2 - 4x + 12) - 33x - 4



Les démonstrations se font comme dans (voir le cours d'arithmétique).


Remarques :

  • .
  • Deux PGCD ou PPCM d'un même couple de polynômes sont associés (c'est-à-dire égaux à une constante multiplicative près).
  • Comme dans , deux polynômes sont dits premiers entre eux si, et seulement si, leur PGCD vaut 1 (en fait, cela équivaut à dire que leur PGCD est un polynôme constant).

Il est le même que dans . On établit le lemme d'Euclide :

Début d'un lemme
Fin du lemme


On en déduit l'algorithme d'Euclide :

Soient tels que .

Opération Reste Commentaires
on divise par
si , on divise par
si , on divise par

Théorèmes d'arithmétique

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Ces théorèmes se démontrent comme dans .

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème


Idéaux de K[X]

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Début d’un théorème
Fin du théorème


Polynômes premiers et irréductibles

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Comme dans tout anneau vérifiant le théorème de Gauss, on a :


Mieux : on a vu que est principal ; on en déduit :