Monoïde/Exercices/Lois de composition internes, monoïdes

Problème 1

Soit $\ \star$ une loi de composition interne dans un ensemble E. On appelle neutre à gauche pour cette loi un élément e de E tel que, pour tout élément x de E, $e\star x=x.$ On appelle neutre à droite pour cette loi un élément e de E tel que, pour tout élément x de E, $x\star e=x.$

a) Prouver que si la loi $\ \star$ admet un neutre à gauche et un neutre à droite, elle admet un élément neutre et que cet élément neutre est l'unique neutre à gauche et l'unique neutre à droite.

Solution

Soient e₁ un neutre à gauche et e₂ un neutre à droite. Prouvons que e₁ = e₂. Puisque e₁ est neutre à gauche, le composé $e_{1}\star e_{2}$ est égal à e₂. Puisque e₂ est neutre à droite, le même composé est égal à e₁. Il en résulte que e₁ et e₂ sont égaux. Donc, si nous posons e = e₁ = e₂, e est un élément neutre. Le premier raisonnement tenu dans la démonstration prouve que tout neutre à gauche est égal à e₂ = e, donc e est le seul neutre à gauche. De même, il est le seul neutre à droite.

 

b) Donner un exemple de loi de composition interne associative qui admet plusieurs neutres à gauche et n'admet aucun neutre à droite.

Solution

Soit E un ensemble d'au moins deux éléments. Définissons sur E une loi de composition interne $\ \star$ par

$\ a\star b=b$ pour tous éléments a, b de E.

Cette loi est associative car pour tous éléments x, y et z de E, $(x\star y)\star z$ et $x\star (y\star z)$ sont tous deux égaux à z. Il est clair que tout élément de E est neutre à gauche. Comme E est supposé avoir au moins deux éléments, il admet donc au moins deux neutres à gauche. D'après le point a), il n'admet donc pas de neutre à droite, ce qu'on peut évidemment montrer plus directement.

 

Problème 2

Soient M un monoïde, noté multiplicativement, et x un élément de M. On dit qu'un élément x' de M est un symétrique à gauche de x si x' x = 1. (Définition analogue pour un symétrique à droite.)

1. Prouver que si tout élément de M admet un symétrique à gauche, tout élément de M admet un symétrique (ce qui fait de M un groupe). Indication : pour un élément donné x de M, considérer un symétrique à gauche d'un symétrique à gauche de x.
2. Donner un exemple de monoïde dans lequel certains éléments ont plusieurs symétriques à gauche (donc aucun à droite) et certains éléments ont plusieurs symétriques à droite (donc aucun à gauche).
3. Donner un exemple de monoïde dans lequel certains éléments ont un unique symétrique à gauche mais aucun symétrique à droite.

Solution

1. Soit x un élément de M. Il s'agit de prouver que x admet un symétrique. Par hypothèse, il admet un symétrique à gauche, donc il existe un élément x' de M tel que

(1) x' x = 1.

Par hypothèse, x' admet lui aussi un symétrique à gauche, donc il existe un élément x'' de M tel que

(2) x'' x' = 1.

En vertu de l'associativité, nous avons

(3) (x'' x') x = x'' (x' x).

Puisque x'' x' = x' x = 1, la relation (3) peut s'écrire x = x''. Nous pouvons donc remplacer x'' par x dans (2). Nous obtenons ainsi x x' = 1, ce qui, joint à (1), montre que x' est symétrique de x, d'où notre thèse.

2. L'ensemble des applications de ℕ dans ℕ (les suites d'entiers naturels), muni de la loi de composition, est un monoïde. Son élément neutre est l'application identité de ℕ. Un élément de ce monoïde est inversible à gauche si et seulement s'il est injectif, et inversible à droite si et seulement s'il est surjectif.

Une injection non surjective f : ℕ → ℕ a plusieurs symétriques à gauche : toutes les applications g : ℕ → ℕ telles que (pour tout entier naturel y) g(y) = l'unique antécédent de y par f si y appartient à l'image de f et g(y) = n'importe quel entier naturel si y n'appartient pas à cette image.

Une surjection non injective f : ℕ → ℕ a plusieurs symétriques à droite : toutes les applications g : ℕ → ℕ telles que (pour tout entier naturel y) g(y) = l'un des antécédents de y par f.

3. Dans le demi-groupe bicyclique, monoïde engendré par deux éléments p et q liés par la seule relation pq = 1, l'élément q et ses puissances conviennent (et de même, p et ses puissances ont un unique symétrique à droite mais aucun symétrique à gauche).

 

Problème 3 (généralisation du problème 2)

Soit $M$ un magma associatif dont la loi est notée multiplicativement. On suppose que $M$ admet un élément $e$ neutre à gauche.

a) Montrer que si tout élément $x$ de $M$ admet un symétrique à gauche :

$\forall x\in M\quad \exists y\in M\quad yx=e$,

alors $e$ est élément neutre de $M$ et tout élément de $M$ admet un symétrique.

Remarques

• Ceci implique que le magma $M$ est un groupe.
• Idem en supposant « $e$ neutre à droite et $\forall x\in M\quad \exists y\in M\quad xy=e$ ».

Solution

1) Montrons que : $\forall a\in M,\ aa=a\implies a=e$.

Soit $a$ dans $M$ tel que $aa=a$. Comme $e$ est neutre à gauche, on a $a=ea$. Par hypothèse, il existe $a'$ dans $M$ tel que $a'a=e$, d'où $a=ea=(a'a)a=a'(aa)=a'a=e$.

2) Montrons que pour tout $x$ dans $M$, il existe $y$ dans $M$ tel que $yx=xy=e$.

Soit $x$ dans $M$. Par hypothèse, il existe $y$ dans $M$ tel que $yx=e$. On a donc :

$(xy)(xy)=x(yx)y=xey=x(ey)=xy$.

D'après 1), il en résulte que $xy=e$, d'où $yx=xy=e$

Remarque : nous ne disons pas que $x$ est symétrisable, car pour l'instant on n'a pas prouvé que $e$ est élément neutre de $M$ ; on sait juste qu'il est neutre à gauche.

3) Montrons que $e$ est élément neutre de $M$.

$e$ étant neutre à gauche par hypothèse, il suffit de montrer qu'il est aussi neutre à droite.

Soit $x$ dans $M$. D'après 2), il existe $y$ dans $M$ tel que $yx=xy=e$. On a alors $xe=x(yx)=(xy)x=ex=x$, la dernière égalité résultant du fait que $e$ est neutre à gauche. Ainsi, pour tout $x$ dans $M$, $xe=ex=x$, autrement dit $e$ est élément neutre de $M$. Avec 2), on en déduit que tout élément de $M$ admet un symétrique.

Finalement, $M$ est un magma associatif, admettant un élément neutre, et dont tout élément est symétrisable : c'est un groupe.

 

b) A-t-on la même conclusion si ($e$ est neutre à gauche et) tout élément de $M$ admet un symétrique à droite ?

Solution

Non : par exemple, soit G un ensemble muni de la loi (évidemment associative) $xy:=y$. Soit $x\in G$ arbitraire, $e:=x$ est neutre à gauche et pour ce neutre, l'inverse à droite de tout élément est $x$. Or s'il a plus d'un élément, G est loin d'être un groupe !