En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Dimension finie
Espaces vectoriels normés/Exercices/Dimension finie », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soit
. Montrer que son exponentielle est un polynôme en
ou plus généralement, que
pour toute fonction
d'une variable complexe développable en série entière en
, avec un rayon de convergence strictement supérieur à la norme subordonnée de
(pour une norme arbitraire fixée sur
).
Soit
ou
. Démontrer que dans
(muni d'une norme arbitraire), le sous-ensemble
des matrices inversibles est dense.
Soit
une application continue, admettant à l'infini une limite
(finie ou infinie) :
.
On pose
et
(donc
).
- Montrer que si
, alors la valeur
est atteinte (autrement dit : c'est un minimum).
- En déduire que (sans cette hypothèse)
admet un extremum.
- En déduire également que si
est finie, alors
est bornée.
(Ceci généralise les exercices 3 et (en partie) 2 de Fonctions d'une variable réelle/Exercices/Continuité.)
Solution
- Soit
strictement compris entre
et
. Puisque
, on a
pour tout
de norme suffisamment grande, disons supérieure à un certain réel
. Puisque
,
est aussi la borne inférieure de
restreinte à la boule fermée
. Puisque cette boule est compacte et que
est continue, cette borne inférieure est atteinte.
- Si
alors
a un minimum. De même, si
alors
a un maximum (en raisonnant sur
). Enfin, si
alors
est constante.
- D'après la question 1, si
alors
. Si
(supposée finie), on a aussi
. Donc
est minorée. On démontre de même (ou on le déduit en remplaçant
par
) que
est majorée.
L'objet de cet exercice est de redémontrer le résultat suivant du cours, sans faire appel à la notion de compacité :
- Sur un e.v. réel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes et l'espace est complet pour ces normes.
- Soit
un e.v.n. réel,
un vecteur non nul de
et
un hyperplan supplémentaire de
. On munit
de la norme
restriction de
,
de la norme
et
de la norme produit, que nous noterons
, et l'on considère la bijection (clairement linéaire et continue)
.
Montrer que si
est fermé dans
alors
est également continue.
- En déduire par récurrence la proposition suivante :
- Pour tout
, toutes les normes sur un e.v. réel de dimension
sont équivalentes et l'espace est complet pour ces normes.
Solution
où
est une forme linéaire de noyau
donc continue (Exercice 1-2). Par conséquent,
est continue.
- Pour
, la proposition est triviale. Supposons-la vérifiée à l'ordre
et montrons qu'alors, elle l'est encore à l'ordre
. Soit donc
un e.v.n. réel de dimension
,
une base de
, et
l'hyperplan de base
, complet par hypothèse de récurrence donc fermé dans
, ce qui permet d'appliquer la question précédente : les bijections linéaires
et
sont continues. Par conséquent :
- L'e.v.n.
est complet car
l'est, puisque
l'est (par hypothèse de récurrence) et
aussi ;
- La norme
est équivalente à la norme
,
elle-même équivalente (par hypothèse de récurrence) à la norme
.
Soit
une application continue. Montrer que les trois conditions suivantes sont équivalentes :
;
- Pour toute partie bornée
de
,
est une partie bornée de
;
- Pour toute partie compacte
de
,
est une partie compacte de
.
Montrer que l'ensemble
est une partie compacte de
.
Solution
est fermé dans
, comme image réciproque du fermé
de
par l'application continue
.
Il est de plus borné car
.
Il est donc compact.