Fonction dérivée/Dérivées usuelles

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Prérequis

Définition de la dérivée

Revoir (chapitres précédents) les définitions d'un nombre dérivé et d'une fonction dérivable et sa fonction dérivée.

Tableau récapitulatif : dérivée et opérations

Admis pour l'instant. Voir : Dérivée d'un produit et Dérivée d'un quotient.

Opération	Dérivée	Précision
$au+bv$	$au'+bv'$	$a,b\in \mathbb {R}$
$u\times v$	$u'v+uv'$
${\frac {1}{u}}$	${\frac {-u'}{u^{2}}}$	$u\neq 0$
${\frac {u}{v}}$	${\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}$	$v\neq 0$

Dérivées des fonctions usuelles

Fonctions x ↦ xⁿ avec n ∈ Z

Le cas n = 0 se règle directement : x ↦ x⁰ est la fonction constante 1 (même au point x = 0, par convention) donc sa dérivée sur $\mathbb {R}$ est la fonction nulle.

Début d’un théorème

Théorème

Soit $n\in \mathbb {Z} ^{*}$.

La fonction $f:x\mapsto x^{n}$ est dérivable sur $\mathbb {R} ^{*}$ et pour tout $x\in \mathbb {R} ^{*}$, $f'(x)=n\,x^{n-1}$.

De plus, si $n\geq 0$, $f'(0)=0$.

Fin du théorème

Début de l'exemple

Exemple de quelques dérivées de fonctions de la forme x ↦ xⁿ

• Sur $\mathbb {R}$ :
  • $f(x)=x=x^{1}\Rightarrow f'(x)=1x^{0}=1$,
  • $f(x)=x^{2}\Rightarrow f'(x)=2x^{1}=2x$,
  • $f(x)=x^{3}\Rightarrow f'(x)=3x^{2}$,
  • $f(x)=x^{5}\Rightarrow f'(x)=5x^{4}$ ;
• Sur $\mathbb {R} ^{*}$ :
  • $f(x)={\frac {1}{x}}=x^{-1}\Rightarrow f'(x)=-1x^{-2}=-{\frac {1}{x^{2}}}$,
  • $f(x)={\frac {1}{x^{2}}}=x^{-2}\Rightarrow f'(x)=-2x^{-3}={\frac {-2}{x^{3}}}$.

Fin de l'exemple

Démonstration pour n positif, à l'aide de la formule du binôme

Soit $(x,n)\in \mathbb {R} \times \mathbb {N} ^{*}$.

${\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=\left(\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}h^{k-1}x^{n-k}\right)-x^{n}h^{-1}=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}h^{k-1}x^{n-k}$.

Or :

• pour $k=1$, ${\binom {n}{k}}h^{k-1}x^{n-k}={\binom {n}{1}}h^{0}x^{n-1}=nx^{n-1}$ ;
• pour $k\geq 2$, $\lim _{h\to 0}h^{k-1}=0$.

Donc $\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=nx^{n-1}$.

 

Démonstration pour n positif par récurrence, à l'aide de la dérivée d'un produit

Soit la propriété ${\mathcal {H}}_{n}:{\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,x^{n}=nx^{n-1}$ (sur $\mathbb {R}$), à démontrer pour tout $n\in \mathbb {N}$.

Initialisation : Pour $n=0$,

${\begin{aligned}{\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}x^{0}={\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(1)&=0\\&=0\times x^{0-1}=0\end{aligned}}$

donc ${\mathcal {H}}_{0}$ est vraie.

Hérédité : Supposons ${\mathcal {H}}_{n}$ vraie.

${\begin{aligned}{\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}x^{n+1}&={\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{n}\times x)\\&=nx^{n-1}\times x+x^{n}\times 1\;\;\;\mathrm {par} \;{\mathcal {H}}_{n}\\&=nx^{n}+x^{n}\\&=(n+1)x^{n}\end{aligned}}$

donc ${\mathcal {H}}_{n+1}$ est vraie.

Conclusion : la propriété ${\mathcal {H}}_{n}$ est vraie pour $n=0$ et est héréditaire.

Le principe de récurrence permet de conclure qu'elle est vraie pour tout $n\in \mathbb {N}$.

 

On trouvera encore une autre démonstration (pour n positif) à la fin du § « Dérivée des fonctions usuelles » d'un chapitre de la leçon « Fonctions d'une variable réelle ».

Démonstration pour n négatif à partir du cas positif, à l'aide de la dérivée de l'inverse d'une fonction

Soient $n$ un entier négatif et $m$ l'entier opposé (positif). Alors, sur $\mathbb {R} ^{*}$, $x^{n}=x^{-m}={\dfrac {1}{x^{m}}}$ et ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x^{m}\right)=mx^{m-1}$ donc

${\begin{aligned}{\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x^{n}\right)&={\dfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {1}{x^{m}}}\right)\\&=-{\dfrac {mx^{m-1}}{(x^{m})^{2}}}\\&=-mx^{m-1-2m}\\&=-mx^{-m-1}\\&=nx^{n-1}\end{aligned}}$

 

Fonction racine carrée

La fonction dérivée de la fonction racine carrée est donnée par : ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\sqrt {x}}:\left]0,+\infty \right[\to \mathbb {R} ,\;x\mapsto {1 \over 2{\sqrt {x}}}$.

Cette propriété est démontrée dans la leçon « Fonction racine carrée ».

Remarque

Ce résultat s'écrit aussi ${\frac {\mathrm {d} x^{\frac {1}{2}}}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}$, ce qui prolonge la règle ${\frac {\mathrm {d} x^{n}}{\mathrm {d} x}}=nx^{n-1}$ vue précédemment pour $n$ entier.

Tableau récapitulatif des dérivées usuelles

Soient $n\in \mathbb {Z} ^{*}$, $a\in \mathbb {R}$ et $b\in \mathbb {R}$.

$f(x)$	$f'(x)$	Intervalle(s) de dérivabilité
$ax+b$	$a$	$\mathbb {R}$
$x^{n}$	$n\,x^{n-1}$	si $n>0:\mathbb {R}$ si $n<0:\mathbb {R} _{-}^{*}$ et $\mathbb {R} _{+}^{*}$
${\frac {1}{x}}$	$-{\frac {1}{x^{2}}}$	$\mathbb {R} _{-}^{*}$ et $\mathbb {R} _{+}^{*}$
${\sqrt {x}}$	${\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$	$\mathbb {R} _{+}^{*}$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$	$\mathbb {R}$
$\sin(x)$	$\cos(x)$	$\mathbb {R}$
$\exp(x)$	$\exp(x)$	$\mathbb {R}$
$\ln(x)$	${\frac {1}{x}}$	$\mathbb {R} _{+}^{*}$