Fonction dérivée/Exercices/Dériver un polynôme

Dérivée d'un monôme

• $f:x\mapsto x^2$
  • Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=\cdots$
  • $f^{\prime }(1)=\cdots$

Solution

• Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=2x$
• $f^{\prime }(1)=2$

 

• $f:x\mapsto x^3$
  • Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=\cdots$
  • $f^{\prime }(1)=\cdots$

Solution

• Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=3x^2$
• $f^{\prime }(1)=3$

 

• $f:x\mapsto x$
  • Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=\cdots$
  • $f^{\prime }(2)=\cdots$

Solution

• Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=1$
• $f^{\prime }(2)=1$

 

• $f:x\mapsto x^4$
  • Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=\cdots$
  • $f^{\prime }(3)=\cdots$

Solution

• Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=4x^3$
• $f^{\prime }(3)=108$

 

• $f:x\mapsto 1$
  • Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=\cdots$
  • $f^{\prime }(-2)=\cdots$

Solution

• Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=0$
• $f^{\prime }(-2)=0$

 

Constantes multiplicatives

Propriété

Si k est un réel et u une fonction dérivable sur I,

alors la fonction $k\times u$ est dérivable sur I et : $(k\times u{)}^{\prime }=k\times u^{\prime }$

Grâce à cette formule, les constantes multiplicatives sont "transparentes" à la dérivation.

• $f:x\mapsto 5x^2$
  • Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=\cdots$
  • $f^{\prime }(3)=\cdots$

Solution

• Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=5\times 2x=10x$
• $f^{\prime }(3)=30$

 

• $f:x\mapsto -6x$
  • Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=\cdots$
  • $f^{\prime }(2)=\cdots$

Solution

• Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=-6\times 1=-6$
• $f^{\prime }(2)=-6$

 

• $f:x\mapsto -7x^3$
  • Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=\cdots$
  • $f^{\prime }\left(\frac{1}{3}\right)=\cdots$

Solution

• Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=-7\times 3x^2=-21x^2$
• $f^{\prime }\left(\frac{1}{3}\right)=-\frac{7}{3}$

 

Dérivée d'une somme

Propriété

Si les fonctions u et v sont dérivables sur I,

alors la fonction $u+v$ l'est aussi et : $(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime }$.

Grâce à cette formule, pour dériver une somme, on dérive chaque terme séparément.

1. $f:x\mapsto 2x^2-3x$.
   • Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=\cdots$
   • $f^{\prime }(1)=\cdots$
2. $f:x\mapsto 2x^2-3x+4$.
   • Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=\cdots$
   • $f^{\prime }(3)=\cdots$
3. $f:x\mapsto \frac{1}{3}{x}^2-6x+3$.
   • Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=\cdots$
   • $f^{\prime }\left(\frac{2}{5}\right)=\cdots$
4. $f:x\mapsto \frac{x^2}{3}+\frac{5}{7}x-12$.
   • Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=\cdots$
   • $f^{\prime }(2)=\cdots$
5. $f:x\mapsto 7x^3-\frac{2}{3}{x}^2+x-7$.
   • Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=\cdots$
   • $f^{\prime }(-2)=\cdots$
6. $f:x\mapsto 7\frac{x^3}{5}-5x^2+x-\frac{7}{8}$.
   • Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=\cdots$
   • $f^{\prime }(2)=\cdots$
7. $f:x\mapsto -2x^2+3x-7$.
   • Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=\cdots$
   • $f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=\cdots$
8. $f:x\mapsto -2x^3+3x^2-7x+2$.
   • Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=\cdots$
   • $f^{\prime }\left(\frac{2}{3}\right)=\cdots$
9. $f:x\mapsto -x^3-3x$.
   • Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=\cdots$
   • $f^{\prime }\left(\frac{2}{7}\right)=\cdots$
10. $f:x\mapsto 13x^2-2-7x-7$
    • Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=\cdots$
    • $f^{\prime }(-\frac{1}{6})=\cdots$

Solution

1. • Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=2\times 2x-3\times 1=4x-3$.
   • $f^{\prime }(1)=1$.
2. • Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=2\times 2x-3\times 1+0=4x-3$.
   • $f^{\prime }(3)=9$.
3. • Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}\times 2x-6\times 1+0=\frac{2}{3}x-6$.
   • $f^{\prime }\left(\frac{2}{5}\right)=-\frac{86}{15}$.
4. • Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}\times 2x+\frac{5}{7}\times 1-0=\frac{2}{3}x+\frac{5}{7}$.
   • $f^{\prime }(2)=\frac{4}{3}+\frac{5}{7}=\frac{43}{21}$.
5. • Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=7\times 3x^2-\frac{2}{3}\times 2x+1+0=21x^2-\frac{4}{3}x+1$.
   • $f^{\prime }(-2)=\frac{115}{3}$.
6. • Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=\frac{7}{5}\times 3x^2-5\times 2x+1=\frac{21}{5}{x}^2-10x+1$.
   • $f^{\prime }(2)=-\frac{11}{5}$
7. • Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=-4x+3$.
   • $f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=1$.
8. • Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=-6x^2+6x-7$.
   • $f^{\prime }\left(\frac{2}{3}\right)=-\frac{17}{3}$.
9. • Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=-3x^2-3$.
   • $f^{\prime }\left(\frac{2}{7}\right)=-\frac{159}{49}$.
10. • Pour tout $x\in ℝ,f^{\prime }(x)=26x-7$.
    • $f^{\prime }(-\frac{1}{6})=-\frac{34}{3}$.

 

Avec des racines carrées

• $f:x\mapsto \sqrt{x}$
  • Pour tout $x\in ]0,+\mathrm{\infty }[,f^{\prime }(x)=\cdots$
  • $f^{\prime }(6)=\cdots$

Solution

• Pour tout $x\in ]0,+\mathrm{\infty }[,f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $f^{\prime }(6)=\frac{1}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{12}$

 

• $f:x\mapsto 5\sqrt{x}$
  • Pour tout $x\in ]0,+\mathrm{\infty }[,f^{\prime }(x)=\cdots$
  • $f^{\prime }(3)=\cdots$

Solution

• Pour tout $x\in ]0,+\mathrm{\infty }[,f^{\prime }(x)=\frac{5}{2\sqrt{x}}$
• $f^{\prime }(3)=\frac{5\sqrt{3}}{6}$

 

• $f:x\mapsto \frac{3}{2}\sqrt{x}+2x-2$
  • Pour tout $x\in ]0,+\mathrm{\infty }[,f^{\prime }(x)=\cdots$
  • $f^{\prime }(4)=\cdots$

Solution

• Pour tout $x\in ]0,+\mathrm{\infty }[,f^{\prime }(x)=\frac{3}{2}\frac{1}{2\sqrt{x}}+2=\frac{3}{4\sqrt{x}}+2$
• $f^{\prime }(4)=\frac{19}{8}$.