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Exercice : Dériver un polynômeFonction dérivée/Exercices/Dériver un polynôme », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
f
:
x
↦
x
2
{\displaystyle f:x\mapsto x^{2}}
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots }
f
′
(
1
)
=
⋯
{\displaystyle f'(1)=\cdots }
Solution
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=2x}
f
′
(
1
)
=
2
{\displaystyle f'(1)=2}
f
:
x
↦
x
3
{\displaystyle f:x\mapsto x^{3}}
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots }
f
′
(
1
)
=
⋯
{\displaystyle f'(1)=\cdots }
Solution
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
3
x
2
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=3x^{2}}
f
′
(
1
)
=
3
{\displaystyle f'(1)=3}
f
:
x
↦
x
{\displaystyle f:x\mapsto x}
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots }
f
′
(
2
)
=
⋯
{\displaystyle f'(2)=\cdots }
Solution
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
1
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=1}
f
′
(
2
)
=
1
{\displaystyle f'(2)=1}
f
:
x
↦
x
4
{\displaystyle f:x\mapsto x^{4}}
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots }
f
′
(
3
)
=
⋯
{\displaystyle f'(3)=\cdots }
Solution
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
4
x
3
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=4x^{3}}
f
′
(
3
)
=
108
{\displaystyle f'(3)=108}
f
:
x
↦
1
{\displaystyle f:x\mapsto 1}
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots }
f
′
(
−
2
)
=
⋯
{\displaystyle f'(-2)=\cdots }
Solution
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=0}
f
′
(
−
2
)
=
0
{\displaystyle f'(-2)=0}
Propriété
Si k est un réel et u une fonction dérivable sur I ,
alors la fonction
k
×
u
{\displaystyle k\times u}
I et :
(
k
×
u
)
′
=
k
×
u
′
{\displaystyle (k\times u)'=k\times u'}
Grâce à cette formule, les constantes multiplicatives sont "transparentes" à la dérivation.
f
:
x
↦
5
x
2
{\displaystyle f:x\mapsto 5x^{2}}
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots }
f
′
(
3
)
=
⋯
{\displaystyle f'(3)=\cdots }
Solution
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
5
×
2
x
=
10
x
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=5\times 2x=10x}
f
′
(
3
)
=
30
{\displaystyle f'(3)=30}
f
:
x
↦
−
6
x
{\displaystyle f:x\mapsto -6x}
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots }
f
′
(
2
)
=
⋯
{\displaystyle f'(2)=\cdots }
Solution
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
−
6
×
1
=
−
6
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=-6\times 1=-6}
f
′
(
2
)
=
−
6
{\displaystyle f'(2)=-6}
f
:
x
↦
−
7
x
3
{\displaystyle f:x\mapsto -7x^{3}}
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots }
f
′
(
1
3
)
=
⋯
{\displaystyle f'\left({\frac {1}{3}}\right)=\cdots }
Solution
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
−
7
×
3
x
2
=
−
21
x
2
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=-7\times 3x^{2}=-21x^{2}}
f
′
(
1
3
)
=
−
7
3
{\displaystyle f'\left({\frac {1}{3}}\right)=-{\frac {7}{3}}}
Propriété
Si les fonctions u et v sont dérivables sur I ,
alors la fonction
u
+
v
{\displaystyle u+v}
(
u
+
v
)
′
=
u
′
+
v
′
{\displaystyle (u+v)'=u'+v'}
Grâce à cette formule, pour dériver une somme, on dérive chaque terme séparément.
f
:
x
↦
2
x
2
−
3
x
{\displaystyle f:x\mapsto 2x^{2}-3x}
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots }
f
′
(
1
)
=
⋯
{\displaystyle f'(1)=\cdots }
f
:
x
↦
2
x
2
−
3
x
+
4
{\displaystyle f:x\mapsto 2x^{2}-3x+4}
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots }
f
′
(
3
)
=
⋯
{\displaystyle f'(3)=\cdots }
f
:
x
↦
1
3
x
2
−
6
x
+
3
{\displaystyle f:x\mapsto {\frac {1}{3}}x^{2}-6x+3}
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots }
f
′
(
2
5
)
=
⋯
{\displaystyle f'\left({\frac {2}{5}}\right)=\cdots }
f
:
x
↦
x
2
3
+
5
7
x
−
12
{\displaystyle f:x\mapsto {\frac {x^{2}}{3}}+{\frac {5}{7}}x-12}
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots }
f
′
(
2
)
=
⋯
{\displaystyle f'(2)=\cdots }
f
:
x
↦
7
x
3
−
2
3
x
2
+
x
−
7
{\displaystyle f:x\mapsto 7x^{3}-{\frac {2}{3}}x^{2}+x-7}
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots }
f
′
(
−
2
)
=
⋯
{\displaystyle f'(-2)=\cdots }
f
:
x
↦
7
x
3
5
−
5
x
2
+
x
−
7
8
{\displaystyle f:x\mapsto 7{\frac {x^{3}}{5}}-5x^{2}+x-{\frac {7}{8}}}
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots }
f
′
(
2
)
=
⋯
{\displaystyle f'(2)=\cdots }
f
:
x
↦
−
2
x
2
+
3
x
−
7
{\displaystyle f:x\mapsto -2x^{2}+3x-7}
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots }
f
′
(
1
2
)
=
⋯
{\displaystyle f'\left({\frac {1}{2}}\right)=\cdots }
f
:
x
↦
−
2
x
3
+
3
x
2
−
7
x
+
2
{\displaystyle f:x\mapsto -2x^{3}+3x^{2}-7x+2}
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots }
f
′
(
2
3
)
=
⋯
{\displaystyle f'\left({\frac {2}{3}}\right)=\cdots }
f
:
x
↦
−
x
3
−
3
x
{\displaystyle f:x\mapsto -x^{3}-3x}
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots }
f
′
(
2
7
)
=
⋯
{\displaystyle f'\left({\frac {2}{7}}\right)=\cdots }
f
:
x
↦
13
x
2
−
2
−
7
x
−
7
{\displaystyle f:x\mapsto 13x^{2}-2-7x-7}
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=\cdots }
f
′
(
−
1
6
)
=
⋯
{\displaystyle f'\left(-{\frac {1}{6}}\right)=\cdots }
Solution
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
2
×
2
x
−
3
×
1
=
4
x
−
3
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=2\times 2x-3\times 1=4x-3}
f
′
(
1
)
=
1
{\displaystyle f'(1)=1}
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
2
×
2
x
−
3
×
1
+
0
=
4
x
−
3
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=2\times 2x-3\times 1+0=4x-3}
f
′
(
3
)
=
9
{\displaystyle f'(3)=9}
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
1
3
×
2
x
−
6
×
1
+
0
=
2
3
x
−
6
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)={\frac {1}{3}}\times 2x-6\times 1+0={\frac {2}{3}}x-6}
f
′
(
2
5
)
=
−
86
15
{\displaystyle f'\left({\frac {2}{5}}\right)=-{\frac {86}{15}}}
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
1
3
×
2
x
+
5
7
×
1
−
0
=
2
3
x
+
5
7
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)={\frac {1}{3}}\times 2x+{\frac {5}{7}}\times 1-0={\frac {2}{3}}x+{\frac {5}{7}}}
f
′
(
2
)
=
4
3
+
5
7
=
43
21
{\displaystyle f'(2)={\frac {4}{3}}+{\frac {5}{7}}={\frac {43}{21}}}
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
7
×
3
x
2
−
2
3
×
2
x
+
1
+
0
=
21
x
2
−
4
3
x
+
1
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=7\times 3x^{2}-{\frac {2}{3}}\times 2x+1+0=21x^{2}-{\frac {4}{3}}x+1}
f
′
(
−
2
)
=
115
3
{\displaystyle f'(-2)={\frac {115}{3}}}
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
7
5
×
3
x
2
−
5
×
2
x
+
1
=
21
5
x
2
−
10
x
+
1
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)={\frac {7}{5}}\times 3x^{2}-5\times 2x+1={\frac {21}{5}}x^{2}-10x+1}
f
′
(
2
)
=
−
11
5
{\displaystyle f'(2)=-{\frac {11}{5}}}
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
−
4
x
+
3
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=-4x+3}
f
′
(
1
2
)
=
1
{\displaystyle f'\left({\frac {1}{2}}\right)=1}
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
−
6
x
2
+
6
x
−
7
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=-6x^{2}+6x-7}
f
′
(
2
3
)
=
−
17
3
{\displaystyle f'\left({\frac {2}{3}}\right)=-{\frac {17}{3}}}
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
−
3
x
2
−
3
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=-3x^{2}-3}
f
′
(
2
7
)
=
−
159
49
{\displaystyle f'\left({\frac {2}{7}}\right)=-{\frac {159}{49}}}
Pour tout
x
∈
R
,
f
′
(
x
)
=
26
x
−
7
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ,~f'(x)=26x-7}
f
′
(
−
1
6
)
=
−
34
3
{\displaystyle f'\left(-{\frac {1}{6}}\right)=-{\frac {34}{3}}}
f
:
x
↦
x
{\displaystyle f:x\mapsto {\sqrt {x}}}
Pour tout
x
∈
]
0
,
+
∞
[
,
f
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \left]0,+\infty \right[,~f'(x)=\cdots }
f
′
(
6
)
=
⋯
{\displaystyle f'(6)=\cdots }
Solution
Pour tout
x
∈
]
0
,
+
∞
[
,
f
′
(
x
)
=
1
2
x
{\displaystyle x\in \left]0,+\infty \right[,~f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}
f
′
(
6
)
=
1
2
6
=
6
12
{\displaystyle f'(6)={\frac {1}{2{\sqrt {6}}}}={\frac {\sqrt {6}}{12}}}
f
:
x
↦
5
x
{\displaystyle f:x\mapsto 5{\sqrt {x}}}
Pour tout
x
∈
]
0
,
+
∞
[
,
f
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \left]0,+\infty \right[,~f'(x)=\cdots }
f
′
(
3
)
=
⋯
{\displaystyle f'(3)=\cdots }
Solution
Pour tout
x
∈
]
0
,
+
∞
[
,
f
′
(
x
)
=
5
2
x
{\displaystyle x\in \left]0,+\infty \right[,~f'(x)={\frac {5}{2{\sqrt {x}}}}}
f
′
(
3
)
=
5
3
6
{\displaystyle f'(3)={\frac {5{\sqrt {3}}}{6}}}
f
:
x
↦
3
2
x
+
2
x
−
2
{\displaystyle f:x\mapsto {\frac {3}{2}}{\sqrt {x}}+2x-2}
Pour tout
x
∈
]
0
,
+
∞
[
,
f
′
(
x
)
=
⋯
{\displaystyle x\in \left]0,+\infty \right[,~f'(x)=\cdots }
f
′
(
4
)
=
⋯
{\displaystyle f'(4)=\cdots }
Solution
Pour tout
x
∈
]
0
,
+
∞
[
,
f
′
(
x
)
=
3
2
1
2
x
+
2
=
3
4
x
+
2
{\displaystyle x\in \left]0,+\infty \right[,~f'(x)={\frac {3}{2}}{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}+2={\frac {3}{4{\sqrt {x}}}}+2}
f
′
(
4
)
=
19
8
{\displaystyle f'(4)={\frac {19}{8}}}
![{\displaystyle x\in \left]0,+\infty \right[,~f'(x)=\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f30b8467296be9a8b5a1929e16ee3e319cd2419)
![{\displaystyle x\in \left]0,+\infty \right[,~f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45ad7cea7e804d6113d1548f5cc3a0f9c9f96377)
![{\displaystyle x\in \left]0,+\infty \right[,~f'(x)={\frac {5}{2{\sqrt {x}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4df8f2327be6bc1a442590e9b73e67cd20579c3c)
![{\displaystyle x\in \left]0,+\infty \right[,~f'(x)={\frac {3}{2}}{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}+2={\frac {3}{4{\sqrt {x}}}}+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be0e7c8bc4a934abee0b671d77d8e0a75894098e)
