Application linéaire/Propriétés générales

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Soient E, F et G trois K-espaces vectoriels.

Injectivité, surjectivité

Puisqu'une application linéaire de E dans F est un cas particulier de morphisme de groupes de (E, +) dans (F, +), on a la caractérisation ci-dessous de son injectivité (quant à la caractérisation de la surjectivité, elle est tautologique).

Début d’un théorème

Théorème

Soit $u\in \operatorname {L} (E,F)$.

• u est injective si et seulement si Ker(u) = {0}.
• u est surjective si et seulement si Im(u) = F.

Fin du théorème

Image d'une base

Une base $(e_{i})_{i\in I}$ de $E$ étant fixée, une application $u\in \operatorname {L} (E,F)$ est entièrement déterminée par la famille $\left(u(e_{i})\right)_{i\in I}$ de vecteurs de $F$. Plus précisément :

Début d’un théorème

Théorème

Pour toute base $(e_{i})_{i\in I}$ de $E$, l'application

$\operatorname {L} (E,F)\to F^{I},\quad u\mapsto \left(u(e_{i})\right)_{i\in I}$

est bijective.

Fin du théorème

Démonstration

Il s'agit de démontrer que cette application (linéaire) de $\operatorname {L} (E,F)$ dans $F^{I}$ est bijective, c'est-à-dire que pour toute famille $(f_{i})_{i\in I}$ de vecteurs de $F$, il existe une unique application linéaire $u:E\to F$ telle que $\forall i\in I\quad u(e_{i})=f_{i}$.

• Unicité. Soit $u$ une telle application. Pour tout vecteur $x$ de $E$, si $(x_{i})_{i\in I}$ désigne la famille presque nulle de ses coordonnées dans la base $(e_{i})_{i\in I}$, on a (par linéarité de $u$) :
  $u(x)=u\left(\sum _{i\in I}x_{i}e_{i}\right)=\sum _{i\in I}x_{i}u(e_{i})=\sum _{i\in I}x_{i}f_{i}$,
  ce qui détermine complètement $u$.
• Existence. Soit $u:E\to F$ définie en chaque vecteur $x$ de $E$ par la formule ci-dessus. Pour tout indice $i$, en appliquant cette formule à $x=e_{i}$, on trouve bien $u(e_{i})=f_{i}$. D'autre part, $u$ est bien linéaire car pour tous vecteurs $x,y$ de $E$, de coordonnées $(x_{i})_{i\in I},(y_{i})_{i\in I}$ dans $(e_{i})_{i\in I}$, et pour tout scalaire $\lambda$, la définition de $u$ donne :
  $u(\lambda x+y)=u\left(\lambda \sum _{i\in I}x_{i}e_{i}+\sum _{i\in I}y_{i}e_{i}\right)=u\left(\sum _{i\in I}(\lambda x_{i}+y_{i})e_{i}\right)$

  $=\sum _{i\in I}(\lambda x_{i}+y_{i})f_{i}=\lambda \left(\sum _{i\in I}x_{i}f_{i}\right)+\sum _{i\in I}y_{i}f_{i}=\lambda u(x)+u(y)$.

 

Par conséquent, toutes les propriétés de $u$ doivent pouvoir « se lire sur » l'image d'une base par $u$. Pour l'injectivité ou la surjectivité, cette « lecture » est simple :

Début d’un théorème

Théorème

Soit $u\in \operatorname {L} (E,F)$.

• $u$ est surjective si et seulement si l'image par $u$ d'au moins une famille génératrice de $E$ est génératrice de $F$ (de plus, l'image par $u$ de toute famille qui engendre $E$ est alors génératrice de $F$) ;
• $u$ est injective si et seulement si l'image par $u$ d'au moins une base de $E$ est libre (de plus, l'image par $u$ de toute famille libre est alors libre) ;
• $u$ est un isomorphisme si et seulement si l'image par $u$ d'au moins une base (ou de toute base) de $E$ est une base de $F$.

Fin du théorème

Démonstration

• Les assertions concernant la surjectivité viennent simplement du fait que pour toute famille $(e_{j})_{j\in J}$ qui engendre $E$, $\operatorname {Vect} \left(u(e_{j})\right)_{j\in J}=u\left(\operatorname {Vect} \left(e_{j}\right)_{j\in J}\right)=u(E)=\operatorname {Im} u$.
• Supposons $u$ injective et $(e_{j})_{j\in J}$ libre. Alors, pour toute famille presque nulle $(\lambda _{j})_{j\in J}$ de scalaires, $\sum _{j}\lambda _{j}u(e_{j})=0\Rightarrow u\left(\sum _{j}\lambda _{j}e_{j}\right)=0\Rightarrow \sum _{j}\lambda _{j}e_{j}=0\Rightarrow \forall j\in J\quad \lambda _{j}=0$, ce qui prouve que $\left(u(e_{j})\right)_{j\in J}$ est libre.
• Supposons maintenant qu'il existe une base $(e_{i})_{i\in I}$ de $E$ dont l'image par $u$ est libre. Alors, pour tout $x\in E$, de coordonnées $(x_{i})_{i\in I}$ dans cette base, $x\in \operatorname {Ker} u\Rightarrow u\left(\sum _{i}x_{i}e_{i}\right)=0\Rightarrow \sum _{i}x_{i}u(e_{i})=0\Rightarrow \forall i\in I\quad x_{i}=0\Rightarrow x=0$, donc $\operatorname {Ker} u=\{0\}$, ce qui prouve que $u$ est injective.

 

Propriétés de L(E, F)

À partir d'ici, le corps K des scalaires est supposé commutatif.

Structure d'espace vectoriel

Début d’un théorème

Théorème

$\operatorname {L} (E,F)$ est un K-espace vectoriel.

Fin du théorème

Démonstration

Montrons que $\operatorname {L} (E,F)$ est un sous-espace vectoriel de F^E.

• $\operatorname {L} (E,F)\subset F^{E}$
• L'application nulle appartient à $\operatorname {L} (E,F)$
• Soit $(\lambda ,u,v)\in K\times \operatorname {L} (E,F)^{2}$

${\begin{aligned}\forall (\mu ,x,y)\in K\times E^{2}\quad (\lambda u+v)(\mu x+y)&=\lambda u(\mu x+y)+v(\mu x+y)\\&=\lambda \mu u(x)+\lambda u(y)+\mu v(x)+v(y)\\&=\mu (\lambda u(x)+v(x))+\lambda u(y)+v(y)\\&=\mu (\lambda u+v)(x)+(\lambda u+v)(y)\end{aligned}}$

Donc $\lambda u+v\in \operatorname {L} (E,F)$.

Finalement, $\operatorname {L} (E,F)$ est un sous-espace vectoriel de F^E, donc est un K-espace vectoriel.

 

Début d’un théorème

Théorème

Si $E$ est de dimension finie alors

$\dim \left(\operatorname {L} (E,F)\right)=\dim(E)\times \dim(F).$.

Fin du théorème

En particulier, si F est aussi de dimension finie alors L(E, F) l'est également.

Démonstration

Soit $n=\dim(E)$. On utilise la bijection de $\operatorname {L} (E,F)$ sur $F^{n}$ fournie par le choix d'une base de $E$ (voir supra). Puisque K est supposé commutatif, $\operatorname {L} (E,F)$ est un K-espace vectoriel et cette bijection est linéaire donc est un isomorphisme. On en déduit :

$\dim({\rm {L}}(E,F))=\dim(F^{n})=n\times \dim(F)$.

 

Début d’un théorème

Théorème

Si $u\in \operatorname {L} (E,F)$ et $v\in \operatorname {L} (F,G)$, alors $v\circ u\in \operatorname {L} (E,G)$.

Fin du théorème

Démonstration

Soit $(\lambda ,x,y)\in K\times E^{2}$.

${\begin{aligned}(v\circ u)(\lambda x+y)&=v(u(\lambda x+y))\\&=v(\lambda u(x)+u(y)){\text{ car }}u\in \operatorname {L} (E,F)\\&=\lambda v(u(x))+v(u(y)){\text{ car }}v\in \operatorname {L} (F,G)\\&=\lambda (v\circ u)(x)+(v\circ u)(y).\end{aligned}}$

Donc $v\circ u\in \operatorname {L} (E,G)$.

 

Composition

Début d’un théorème

Théorème

L'application

${\begin{array}{ccccc}\operatorname {L} (E,F)\times \operatorname {L} (F,G)&\to &\operatorname {L} (E,G)\\(u,v)&\mapsto &v\circ u\end{array}}$

est bilinéaire.

Fin du théorème

Démonstration

La linéarité par rapport à v est tautologique, et celle par rapport à u est due à la linéarité de v.

 

Linéarité des inverses

Début d’un théorème

Théorème

La réciproque d'une bijection linéaire est linéaire.

Fin du théorème

Démonstration

Soit $u:E\to F$ une bijection linéaire. Soient $x,y\in F$ et $\lambda \in K$. Par linéarité de $u$, on a

$u\left(\lambda u^{-1}(x)+u^{-1}(y)\right)=\lambda x+y$,

ce qui prouve que $u^{-1}(\lambda x+y)=\lambda u^{-1}(x)+u^{-1}(y)$ donc $u^{-1}$ est linéaire.

 

Structure d'algèbre

Début d’un théorème

Théorème

$(\operatorname {L} (E),+,\cdot ,\circ )$ est une $K$-algèbre associative unifère (non commutative si $\dim(E)\geq 2$).

Fin du théorème

Démonstration

$(\operatorname {L} (E),+,\cdot )$ est un $K$-espace vectoriel et $\circ :\operatorname {L} (E)\times \operatorname {L} (E)\to \operatorname {L} (E)$ est bilinéaire (et bien sûr associative), donc $(\operatorname {L} (E),+,\cdot ,\circ )$ est une $K$-algèbre associative. De plus, $\operatorname {Id} _{E}$ est neutre pour $\circ$.

 

En particulier, $(\operatorname {L} (E),+,\circ )$ est un anneau unifère.