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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Logique des propositions : Validité Logique des propositions/Validité », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Proposition valide ou tautologique
Une proposition est dite valide ou tautologique si et seulement si elle est vraie en toutes circonstances.
Début de l'exemple
Exemple
a
∨
¬
a
{\displaystyle a\lor \lnot a}
a
↔
¬
¬
a
{\displaystyle a\leftrightarrow \lnot \lnot a}
a
→
a
{\displaystyle a\to a}
Fin de l'exemple
Pour vérifier qu'une proposition est valide,
on effectue une analyse sémantique (arbre de vérité, arbre de Quine)
si l’on obtient :
que des V à la fin du processus, la formule est valide; c’est une tautologie .
un F (au moins), la formule n’est pas valide; ce n’est pas une tautologie.
Proposition antinomique
Une proposition est dite antinomique si et seulement si elle est fausse en toutes circonstances.
C'est le cas lorsque l’on obtient que des F sur un arbre de vérité
Une antinomie est la négation d'une tautologie , et réciproquement.
Début de l'exemple
Exemple
a
∧
¬
a
{\displaystyle a\land \lnot a}
Fin de l'exemple
Propositions contingentes
Les propositions qui sont parfois vraies, parfois fausses sont appelées propositions contingentes
C'est le cas pour la plupart des propositions logiques.
Définition
La valeur de vérité d'une formule valide ou antinomique ne dépend pas de la valeur de vérité des atomes qui les constituent.
Propriété 1
Une antinomie implique n’importe quelle autre propriété
Début de l'exemple
Exemple
Soit A une antinomie, B une proposition quelconque, on peut dire que
A
→
B
{\displaystyle A\to B}
est valide : Son antécédent est toujours faux.
Donc on peut aussi dire qu'A implique B. (voir chapitre sur l’Implication )
Fin de l'exemple
Propriété 2
Une antinomie n'est impliquée que par des antinomies
Propriété 3
Une tautologie n'implique que des tautologies
Propriété 4
Une tautologie est impliquée par n’importe quelle proposition
a
∨
¬
a
{\displaystyle a\lor \lnot a}
⇒ (principe du tiers-exclu)
¬
(
a
∧
¬
a
)
{\displaystyle \lnot (a\land \lnot a)}
⇒ (principe de non-contradiction)
(
¬
a
∧
(
a
∨
b
)
)
→
b
{\displaystyle (\lnot a\land (a\lor b))\to b}
⇒ (modus tollens)
(
a
∧
(
a
→
b
)
)
→
b
{\displaystyle (a\land (a\to b))\to b}
⇒ (modus ponens)
(
a
→
(
b
→
c
)
)
↔
(
(
a
∧
b
)
→
c
)
{\displaystyle (a\to (b\to c))\leftrightarrow ((a\land b)\to c)}
⇒ (principe de détachement)
(
(
a
→
b
)
∧
(
b
→
c
)
)
→
(
a
→
c
)
{\displaystyle ((a\to b)\land (b\to c))\to (a\to c)}
⇒ (transitivité de la conditionnalité)
¬
(
a
∨
b
)
↔
(
¬
a
∧
¬
b
)
{\displaystyle \lnot (a\lor b)\leftrightarrow (\lnot a\land \lnot b)}
⇒ (Lois de De Morgan 1)
¬
(
a
∧
b
)
↔
(
¬
a
∨
¬
b
)
{\displaystyle \lnot (a\land b)\leftrightarrow (\lnot a\lor \lnot b)}
⇒ (Lois de De Morgan 2)
(
a
→
b
)
↔
(
¬
b
→
¬
a
)
{\displaystyle (a\to b)\leftrightarrow (\lnot b\to \lnot a)}
⇒ (Loi de contraposition)
(
a
→
b
)
↔
(
¬
a
∨
b
)
{\displaystyle (a\to b)\leftrightarrow (\lnot a\lor b)}
(
a
→
b
)
∨
(
b
→
a
)
{\displaystyle (a\to b)\lor (b\to a)}
(
a
↔
b
)
↔
(
(
a
→
b
)
∧
(
b
→
a
)
)
{\displaystyle (a\leftrightarrow b)\leftrightarrow ((a\to b)\land (b\to a))}
(
a
↔
b
)
↔
(
(
a
∧
b
)
∨
(
¬
a
∧
¬
b
)
)
{\displaystyle (a\leftrightarrow b)\leftrightarrow ((a\land b)\lor (\lnot a\land \lnot b))}