Théorie des groupes/Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z
Rappels de terminologie
[modifier | modifier le wikicode]Rappelons que si a et b sont des nombres naturels, on dit que a divise b, ou encore que a est (un) diviseur de b, ou encore que b est divisible par a, ou encore que b est (un) multiple de a, s'il existe un nombre naturel c tel que b = ac. On écrit souvent pour exprimer que a divise b. La relation «divise» est une relation d'ordre dans N. Si un nombre naturel a divise un nombre naturel b et que b n’est pas nul, alors pour la relation d'ordre usuelle dans N.
Si a et b sont maintenant des entiers rationnels, nous dirons de même que a divise b, ou encore que a est (un) diviseur de b, ou encore que b est divisible par a, ou encore que b est (un) multiple de a, s'il existe un entier rationnel c tel que b = ac. On vérifie facilement que si a et b sont naturels, a divise b selon la seconde définition si et seulement s'il le divise suivant la première. La relation «divise» est une relation de préordre dans Z. (Elle est réflexive et transitive, mais non antisymétrique, deux éléments de Z se divisant l'un l'autre si et seulement s'ils sont égaux ou opposés.)
Sous-groupes de Z
[modifier | modifier le wikicode]Rappelons qu'un groupe est dit monogène s'il est engendré par un seul élément. Nous avons vu que le sous-groupe (monogène) d'un groupe G engendré par un élément a de G est l’ensemble des éléments de G de la forme , n parcourant .
Soit a un entier relatif. Le sous-groupe de engendré par a est l’ensemble des éléments de de la forme na avec . Puisque la multiplication dans est commutative, c’est aussi l’ensemble des éléments de de la forme an avec . Nous noterons le sous-groupe de engendré par . Pour exprimer que deux éléments x, y de sont congrus modulo le sous-groupe a de , ce qui revient à dire que la différence de x et y est divisible par a, nous écrirons . Il est clair que si a = 1, alors a = 1 = , donc est monogène, avec l'élément 1 pour générateur. Nous allons montrer que tous les sous-groupes de sont du type a, autrement dit sont monogènes.
Pour une démonstration, voir par exemple « Division euclidienne », dans la leçon « Arithmétique ».
Prouvons d’abord l’existence de a. Si H est nul, notre thèse est vraie avec a = 0. Nous pouvons donc supposer H non nul. Alors H comprend un élément n tel que n < 0 ou n > 0. Si n < 0, alors -n, qui appartient lui aussi à H, est > 0. Donc H comprend au moins un élément > 0. Soit a le plus petit entier naturel > 0 appartenant à H; prouvons que H = a. Puisque a appartient à H, a est contenu dans H (minimalité du sous-groupe engendré). Prouvons l'inclusion réciproque . Soit b un élément de H; il s'agit de prouver que b appartient à a. Nous avons vu que b (comme tout élément de ) est congru modulo a à un nombre r parmi . Nous avons alors r = b - na, avec . Puisque b appartient à H par hypothèse et que, comme nous l'avons vu, est contenu dans H, r appartient à H. Si r n'était pas nul, la minimalité de a serait contredite (puisque ), donc r est nul, donc l'égalité r = b - na donne b = na, donc b appartient à a comme annoncé.
Nous avons donc prouvé l’existence d'un a tel que dans l'énoncé. Prouvons son unicité. Soit un nombre naturel tel que ; il s'agit de prouver que . On peut dire par exemple que et sont deux entiers naturels multiples l'un de l'autre dans et que, comme on le montre facilement, deux entiers naturels ne sont multiples l'un de l'autre dans que s'ils sont égaux. On peut aussi régler à part le cas où H est nul et noter que si H n’est pas nul, alors, d’après un corollaire ci-dessus, a est l'indice de H dans , d'où l'unicité de a.
Théorèmes de divisibilité dans N et dans Z
[modifier | modifier le wikicode]Plus grand commun diviseur
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Ce théorème repose uniquement sur la caractérisation ci-dessus des sous-groupes de (Z, +). C'est donc un cas particulier de la caractérisation du plus grand commun diviseur dans un anneau principal (voir « PGCD, PPCM », dans la leçon « Anneau »).
Remarque. Si d n’est pas nul, c'est-à-dire si les ne sont pas tous nuls, d est aussi le plus grand des diviseurs naturels communs des pour la relation d'ordre usuelle dans .
C'est à nouveau un cas particulier des propriétés du pgcd dans un anneau principal (voir « Identité de Bézout », dans la leçon « Anneau »).
Si b = 0 alors d = a, donc x = 1 convient (avec y arbitraire). Si b ≠ 0 , appliquons le théorème de Bachet-Bézout : il existe des entiers rationnels u et v tels que au – d = bv. Pour tout entier n, en posant x = u + nb et y = v + na, on obtient ax – d = au – d + nab = bv + nab = by. De plus, puisque a et b sont supérieurs ou égaux à 1, x et y sont positifs si l'on choisit n ≥ max(|u|, |v|).
Cela revient évidemment à dire que a et b n'ont pas d’autre diviseur commun dans que 1 et –1. Il est clair que cela revient aussi à dire que le pgcd de a et b est égal à 1.
- premiers entre eux dans leur ensemble si le seul nombre naturel qui les divise tous est 1 ;
- premiers entre eux deux à deux si pour tous indices et distincts, et sont premiers entre eux.
Si a et b sont tous deux nuls alors d = 0 ; on peut faire a' = b' = 1 et l'énoncé est vrai dans ce cas.
Sinon, voir Arithmétique/PGCD#Nombres premiers entre eux.
On le déduit facilement du théorème de Bachet-Bézout (voir « Théorème de Gauss » dans la leçon « Arithmétique »).
Cf. « Corollaire », dans la leçon « Anneau ».
Plus petit commun multiple
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De même que précédemment pour le pgcd, c'est ici un cas particulier de la caractérisation du plus petit commun multiple dans un anneau principal (voir « PGCD, PPCM », dans la leçon « Anneau »).
Remarque. Le produit d'une famille finie (a1, ... , an) étant un multiple commun de a1, ... , an, il est multiple de leur ppcm.
Les et les ont mêmes multiples communs.
Voir Arithmétique/Exercices/Divers#Exercice 11-8.
Voir Anneau (mathématiques)/Exercices/Exercices#Exercice 4.
Voir Arithmétique/PPCM.
Nombres premiers
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Soit d le pgcd de a et p. C'est un diviseur de p donc il est égal à soit à 1, soit à p.
Si p divise a alors d = p donc d ≠ 1 (autrement dit : a n'est pas premier avec p).
Réciproquement, si d ≠ 1 alors d = p, or d divise a, donc p divise a.
On le déduit du lemme de Gauss ci-dessus, via le corollaire qui le suit : cf. « Lemme d'Euclide », dans la leçon « Anneau ».
Cf. « Décomposition en facteurs premiers », dans la leçon « Arithmétique ».
L'anneau Z/nZ
[modifier | modifier le wikicode]Dans cette section, on supposera connus les premiers éléments de la théorie des anneaux, y compris les notions d'idéal, d'anneau quotient et de corps.
On a vu au chapitre Groupes, premières notions que l'addition et la multiplication usuelles dans Z font de Z un anneau commutatif (non nul) admettant 1 pour unité et que, plus précisément, cet anneau est intègre. Puisque tout sous-groupe du groupe additif Z est de la forme nZ pour un certain élément n de Z, tout sous-groupe du groupe additif Z est un idéal de l'anneau Z. Donc les idéaux de l'anneau Z sont exactement les sous-groupes du groupe additif Z. Comme tout quotient d'un anneau commutatif par un idéal, le quotient Z/nZ se munit d'une structure d'anneau, l'addition étant la loi du groupe quotient (que nous avons déjà rencontrée) et la multiplication (notée par juxtaposition) pouvant se caractériser par la relation
Il nous arrivera de noter [x] la classe d'un entier rationnel modulo n (n étant sous-entendu dans la notation [x]). La relation ci-dessus peut alors s'écrire
Si r et a sont des entiers rationnels, on a
Soit n un nombre naturel; il est clair que l'anneau Z/nZ admet pour unité l'élément 1 + nZ et est nul si et seulement n = 1.
1° tout élément de X est premier avec n.
2° X comprend un entier rationnel premier avec n;
3° X est un élément inversible de l'anneau Z/nZ.
Démonstration. Il est banal que 1° entraîne 2°. Supposons 2° vraie et prouvons 3° Puisque 2° est vraie, X est de la forme x + nZ, où x est premier avec n. D'après le théorème de Bézout, il existe des entiers rationnels a et b tels que ax + bn = 1. En passant aux classes modulo n, nous trouvons [x] [a] = [1]. Puisque [x] est égal à X, il en résulte que X est inversible, ce qui prouve 3°. Enfin, supposons 3° et prouvons 1°. Soit x un élément de X, il s'agit de prouver que x est premier avec n. Nous avons X = [x]. Puisque 3° est satisfaite, X admet un inverse, que nous pouvons noter [a] pour un certain entier rationnel a. Alors [x] [a] = [1], donc xa - 1 est divisible par n. Soit xa - 1 = yn, avec y entier. Tout diviseur commun à x et à n divise xa - yn, autrement dit divise 1, donc x est premier avec n, ce qui prouve 1°. Ainsi, les conditions 1° à 3° sont équivalentes. La dernière assertion de l'énoncé s'en déduit facilement.
Démonstration. Si n est premier, tout entier rationnel non divisible par n est premier avec n, ce qui, d’après le théorème précédent, revient à dire que tout élément non nul de l'anneau Z/nZ est inversible, donc cet anneau (non nul, puisque n > 1) est un corps. Réciproquement, supposons que l'anneau Z/nZ soit un corps et prouvons que n est un nombre premier. Puisqu'un corps a toujours au moins deux éléments, n est distinct de 1. D'autre part, Z/0Z est isomorphe à Z, qui n’est pas un corps, donc n est distinct de 0. Ainsi, n > 1. Puisque l'anneau Z/nZ est un corps, tout élément non nul de cet anneau est inversible, donc tout nombre naturel non divisible par n est premier avec n. Supposons que, par absurde, n ne soit pas un nombre premier. On a donc n = ab, où a et b sont des nombres naturels tous deux > 1. Alors a n’est pas divisible par n et n’est pas premier avec n, ce qui amène une contradiction.
Si p est un nombre premier, le corps est souvent noté . On prouve facilement qu'entre deux corps à p éléments, il existe un et un seul isomorphisme. Pour cette raison, on dit volontiers « le corps à p éléments ».