Leçons de niveau 13

Arithmétique/Exercices/Divers

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Divers
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Exercices no11
Leçon : Arithmétique

Exercices de niveau 13.

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Exercice 11-1[modifier | modifier le wikicode]

  1. Trouver tous les entiers strictement positifs , , , tels que .
  2. Calculez et lorsque , , .

Exercice 11-2[modifier | modifier le wikicode]

  1. Vérifier que pour tout réel , .
  2. Trouvez quatre entiers consécutifs dont le produit est .

Exercice 11-3[modifier | modifier le wikicode]

Un nombre qui, dans le système décimal, s'écrit avec quatre chiffres identiques, peut-il être un carré parfait ?

Exercice 11-4[modifier | modifier le wikicode]

Trouvez un nombre de quatre chiffres qui est un carré parfait et qui est tel que, lorsqu'on augmente chacun de ses chiffres d'une unité, on obtient encore un carré parfait.

Exercice 11-5[modifier | modifier le wikicode]

a et b sont deux entiers tels que a2 + 2b est un carré parfait.

  1. Démontrer que 2b est le produit de deux nombres pairs.
  2. Démontrer que a2 + b est une somme de deux carrés entiers.

Exercice 11-6[modifier | modifier le wikicode]

  1. Démontrer que pour tout entier n, le nombre 4n est somme de trois carrés (d'entiers) (si et) seulement si n l'est.
  2. Démontrer qu'un entier congru à 7 modulo 8 ne peut pas être somme de trois carrés .
  3. En déduire qu'aucun entier de la forme 4j × (8k – 1) (avec j et k entiers) n'est somme de trois carrés.

Exercice 11-7[modifier | modifier le wikicode]

Trouvez, s'ils existent, les chiffres et tels que le nombre qui s'écrit dans le système décimal est un carré parfait.

Exercice 11-8[modifier | modifier le wikicode]

Démontrer que si un entier est divisible par n entiers premiers entre eux deux à deux, alors il est divisible par leur produit.

Exercice 11-9[modifier | modifier le wikicode]

Wikipédia possède un article à propos de « Théorème des trois carrés ».

1.

  1. Démontrer qu'un entier congru à 3 modulo 4 ne peut pas être somme de deux carrés.
  2. Démontrer qu'un entier congru à 6 modulo 8 ne peut pas être somme de deux carrés.
  3. En admettant que tout entier positif qui n'est ni de la forme 8k + 7, ni multiple de 4, est somme de 3 carrés, déduire des deux questions précédentes que les nombres de la forme 8k + 3, 8k + 6, 32k + 12 ou 32k + 24 (avec ) sont sommes de trois carrés non nuls.
  4. En ajoutant un « petit » carré non nul aux nombres de la question précédente, en déduire que tout entier positif non divisible par 8 est somme de quatre carrés non nuls, sauf les onze entiers 1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 14, 17, 29 et 41.

2. Démontrer que pour tout entier n, le nombre 8n est somme de quatre carrés non nuls (si et) seulement si 2n l'est.

3. Déduire de ce qui précède que les entiers strictement positifs qui ne sont pas sommes de quatre carrés non nuls sont :

1, 3, 5, 9, 11, 17, 29, 41 et les nombres , et pour tout .