Leçons de niveau 14

Théorie des groupes/Holomorphe d'un groupe

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Holomorphe d'un groupe
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Chapitre no 26
Leçon : Théorie des groupes
Chap. préc. :Groupes diédraux
Chap. suiv. :Groupes dicycliques

Exercices :

Holomorphe d'un groupe
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Théorie des groupes/Holomorphe d'un groupe
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Rappels[modifier | modifier le wikicode]

Rappelons quelques faits déjà exposés dans le chapitre Action de groupe.

Soit G un groupe. Nous désignerons par le groupe symétrique de l’ensemble sous-jacent à G. Rappelons que, pour un ensemble X, nous avons défini le groupe symétrique SX de X comme l’ensemble des permutations de X, muni de la loi de groupe (f, g) ↦ f ∘ g : x ↦ f(g(x)).

Pour tout élément g de G, x ↦ gx définit une permutation de G, qu'on appellera la translation gauche de G par g. Les translations gauches de G forment un sous-groupe de SG, qu'on appellera le groupe des translations gauches de G. L'application de G dans le groupe des translations gauches de G qui pour tout élément g de G envoie g sur la translation gauche de G par g est un isomorphisme de G sur le groupe des translations gauches de G. Nous noterons cet isomorphisme l (de left, gauche en anglais) et l'écrirons en exposant.

De même, pour tout élément g de G, x ↦ xg définit une permutation de G, qu'on appellera la translation droite de G par g. Les translations droites de G forment un sous-groupe de SG, qu'on appellera le groupe des translations droites de G. L'application de G dans le groupe des translations gauches de G qui pour tout élément g de G envoie g sur la translation droite de G par g–1 (noter l'inversion de G) est un isomorphisme de G sur le groupe des translations droites de G. Nous noterons cet isomorphisme r (de right, droit en anglais) et l'écrirons en exposant.

Notons que si une translation (gauche ou droite) de G a un point fixe, cette translation est la permutation identique de G. En effet, si par exemple la translation gauche gl fixe un point x, alors gx = x, donc g = 1, donc gl est la permutation identique de G.

Définition de l'holomorphe d'un groupe[modifier | modifier le wikicode]

Pour un groupe G, on désignera par Aut(G), ou encore Aut G, le groupe des automorphismes de G (sous-groupe de SG).

Début d'un lemme
Fin du lemme



Popriétés[modifier | modifier le wikicode]

Début d’un théorème
Fin du théorème


Début de l'exemple
Fin de l'exemple


Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème


Début d’un théorème
Fin du théorème


Remarque. Puisque Gl est isomorphe à G, le théorème qui précède montre que tout groupe G peut être plongé dans un groupe H tel que tout automorphisme de G soit la birestriction à G d'un automorphisme intérieur de H.

Début d’un théorème
Fin du théorème