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Théorie des groupes/Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient

Leçons de niveau 13
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Sous-groupe distingué et groupe quotient
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Exercices no4
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Sous-groupe distingué et groupe quotient

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Classes modulo un sous-groupe
Exo suiv. :Sous-groupes de Z, divisibilité dans N et dans Z
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Théorie des groupes/Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient
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Prouver que tout sous-groupe d'indice 2 est normal.

Désignons par S le groupe des permutations de l’ensemble E = {1, 2, 3}, la loi de groupe étant la composition (f, g) ↦ f ∘ g. Désignons par id la permutation identique de E. Si a et b sont deux différents éléments de E, désignons par (a b) la permutation de E qui applique a sur b, b sur a et laisse donc fixe l'élément de E distinct de a et de b. Il est clair que {id, (1 2)} est un sous-groupe de S. Prouver que ce n’est pas un sous-groupe normal de S.

Soient G un groupe et une famille de sous-groupes de G. On désigne par H le sous-groupe de G engendré par les Hi. Prouver que

et que l'inclusion réciproque n’est pas forcément vraie.

Soient G1 et G2 deux groupes, f un homomorphisme surjectif de G1 sur G2. Soit A une partie de G1. Désignons par Dist(A) le sous-groupe distingué de G1 engendré par A. Prouver que f(Dist(A)) est le sous-groupe distingué de G2 engendré par f(A).

Soient G un groupe et H, K des sous-groupes normaux de G tels que H ⋂ K = 1. Tout élément de H commute avec tout élément de K. (Indication : x étant un élément de H et y un élément de K, considérer l'élément x-1 y-1 x y de G. Nous retrouverons les éléments de la forme x-1 y-1 x y au chapitre Commutateurs, groupe dérivé.)

Remarque. L'énoncé de ce problème nous servira au chapitre Produit direct et somme restreinte.

Soient un groupe, un sous-groupe distingué de et un sous-groupe de contenant . Notons l’ensemble des classes à gauche de suivant (ici, n'est donc pas nécessairement un groupe, contrairement à ).

  1. Montrer qu’il existe une unique application de dans telle que, pour tout dans , .
  2. Montrer que, pour tous et dans , équivaut à ce que et appartiennent à la même classe à gauche du groupe suivant son sous-groupe .

a) Soient G et H deux groupes. Prouver que (comme énoncé dans le chapitre théorique) les deux conditions suivantes sont équivalentes :

1° il existe un homomorphisme surjectif de G sur H;
2° il existe un sous-groupe normal N de G tel que H soit isomorphe au groupe quotient G/N.

b) Supposons que les conditions 1° et 2° du point a) sont satisfaites. (Comme signalé dans le chapitre théorique, on exprime souvent ce fait en disant que H « est un quotient » de G.) Prouver que pour tout groupe K,

(Indication : à partir d'un homomorphisme surjectif de G sur H, définir une injection de Hom(H, K) dans Hom(G, K).)

Remarque. Le point b) nous servira dans une démonstration de l'équipotence des bases d'un même groupe libre.

Soient A et B des groupes abéliens. Prouver que pour tout homomorphisme de A dans B, les deux conditions suivantes sont équivalentes :

est surjectif;
2° pour tout groupe abélien C, pour tous homomorphismes et de B dans C, la relation entraîne

Indication : pour prouver que 2° entraîne 1°, on peut prendre pour C le quotient de B par un certain sous-groupe de B (dépendant de ) dont une certaine propriété équivaut à ce que soit surjectif.

Remarque. L'énoncé de ce problème exprime que les épimorphismes de la catégorie des groupes abéliens sont les homomorphismes surjectifs entre groupes abéliens. On a un énoncé analogue pour la catégorie des groupes (voir un exercice de la série Conjugaison, centralisateur, normalisateur).