Leçons de niveau 13

Théorie des groupes/Exercices/Classes modulo un sous-groupe

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Classes modulo un sous-groupe
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Exercices no3
Leçon : Théorie des groupes
Chapitre du cours : Classes modulo un sous-groupe

Exercices de niveau 13.

Exo préc. :Groupes, premières notions
Exo suiv. :Sous-groupe distingué, groupe quotient
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Théorie des groupes/Exercices/Classes modulo un sous-groupe
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Problème 1[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe, H et K des sous-groupes de G. Désignons par φ l’application canonique x ↦ xK de G sur l’ensemble G/K des classes à gauche de G modulo K. Prouver que l’ensemble H/ (H ⋂ K) des classes à gauche de H modulo H ⋂ K est équipotent à l’ensemble φ(HK), autrement dit à l’ensemble des classes à gauche modulo K des éléments de l’ensemble HK. (Rappel : HK est une partie de G mais n’est pas forcément un sous-groupe de G.)

Remarque : on pourra comparer cet énoncé au second théorème d'isomorphisme, qui sera démontré dans le chapitre Sous-groupe distingué, groupe quotient.

Problème 2[modifier | modifier le wikicode]

a) Soient G un groupe, H et K des sous-groupes de G. Prouver que [G : H ⋂ K] ≤ [G : H] [G : K].

b) Soient G un groupe, H et K des sous-groupes d'indices finis de G. Prouver que le sous-groupe H ⋂ K de G est d'indice fini dans G. (Théorème de Poincaré.)

Problème 3[modifier | modifier le wikicode]

Soient G un groupe, H et K des sous-groupes d'indices finis de G. On suppose que [G : H] et [G: K] sont premiers entre eux. Prouver que [G : H ⋂ K] = [G : H] [G : K].

Problème 4 (facile)[modifier | modifier le wikicode]

a) Soient des groupes, X une transversale droite de A dans G et Y une transversale droite de B dans A. La façon dont, dans la théorie, on a prouvé que revient à prouver que XY est une transversale droite de B dans G (ou l'énoncé analogue pour les transversales gauches). Prouver que YX est une transversale droite de B dans G en utilisant le fait que si K est un sous-groupe de H, une partie T de H est une transversale droite de K dans H si et seulement si l’application est une bijection.

b) Soient G un groupe, B un sous-groupe de G et Y une transversale droite de B dans G. Prouver que, quel que soit l'élément x de G, Yx est une transversale droite de B dans G.

Problème 5 (facile)[modifier | modifier le wikicode]

a) Soient G un groupe, H un sous-groupe de G et T une transversale droite de H dans G. Prouver que T-1 est une transversale gauche de H dans G.

b) Soient G un groupe, H un sous-groupe de G et U une transversale gauche de H dans G. Prouver que U-1 est une transversale droite de H dans G.