Discussion:Théorie des groupes/Exercices/Sous-groupe distingué et groupe quotient

Un problème trivial

Une IP a mis ce problème : "Soit G un groupe. Un sous-groupe H de G est dit spécial si pour tous $x\in G$ et $y\in G\setminus H$, il existe un unique $z\in H$, tel que $y^{-1}xy=z^{-1}xz$. Montrer que H est distingué dans G."

Je n'ai jamais rencontré l’expression "sous-groupe spécial" dans ce sens et je ne vois pas l’intérêt de ce problème. La solution donnée par l'IP me semble correcte mais triviale. Cette solution n'utilise d'ailleurs pas l'hypothèse d'unicité. Avec l'hypothèse d'unicité, l'énoncé est encore plus trivial, car H est alors égal à G tout entier ou réduit à l'élément neutre. Pour le prouver, supposons que H ne soit pas G tout entier. Il s'agit de prouver que H est réduit à l'élément neutre. Soit x un élément de H. Il s'agit de prouver que x est égal à l'élément neutre. Puisque H n’est pas G tout entier, nous pouvons choisir un élément y de G hors de H. Par hypothèse, il existe z dans H tel que $y^{-1}xy=z^{-1}xz$. On a alors aussi $y^{-1}xy=(xz)^{-1}x(xz)$, avec xz dans H, d'où, d’après l'hypothèse d'unicité, xz = z, d'où x = 1 comme annoncé.

Je me permets donc de supprimer ce problème. Marvoir 7 octobre 2011 à 10:45 (UTC)