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« Série numérique/Exercices/Nature de séries » : différence entre les versions

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D'après l'[[Fonction dérivée/Exercices/Étude de fonctions polynômes du second degré#Exercice 4|inégalité arithmético-géométrique ]], <math>\sqrt{u_nv_n}\le\frac{u_n+v_n}2</math>. Ou plus savamment : d'après l'[[Espace préhilbertien réel/Formes bilinéaires symétriques#Positivité|inégalité de Cauchy-Schwarz]] dans l'[[w:Espace de suites ℓp|espace ℓ{{exp|2}}]] des suites de carré sommable, <math>\sum\sqrt{u_nv_n}\le\sqrt{\sum u_n\sum v_n}</math>.
D'après l'[[Fonction dérivée/Exercices/Étude de fonctions polynômes du second degré#Exercice 4|inégalité arithmético-géométrique ]], <math>\sqrt{u_nv_n}\le\frac{u_n+v_n}2</math>. Ou plus savamment : d'après l'[[Espace préhilbertien réel/Formes bilinéaires symétriques#Positivité|inégalité de Cauchy-Schwarz]] dans l'[[w:Espace de suites ℓp|espace ℓ{{exp|2}}]] des suites de carré sommable, <math>\sum\sqrt{u_nv_n}\le\sqrt{\sum u_n\sum v_n}</math>.
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}}
Soit maintenant <math>v_n=\frac1n</math>. Trouver une série <math>\sum u_n</math> convergente à termes positifs telle que <math>\sum\sqrt{u_nv_n}</math> diverge.

{{Solution|contenu=D'après le critère pour les [[Série numérique/Exercices/Exemple de télescopage|séries de Bertrand]], <math>u_n=\frac1{n\ln^\beta n}</math> convient si <math>1<\beta\le2</math>.}}
{{Bas de page
{{Bas de page
| idfaculté = mathématiques
| idfaculté = mathématiques

Version du 10 août 2020 à 17:55

Nature de séries
Image logo représentative de la faculté
Exercices no7
Leçon : Série numérique

Exercices de niveau 15.

Exo préc. :Critère d'Abel
Exo suiv. :Sommaire
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Série numérique/Exercices/Nature de séries
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.




Exercice 1

Soient et . Étudier la nature des séries de terme général :

  1.  ;

Exercice 2

Étudier la nature des séries de terme général :

  1.  ;
  2. .

Exercice 3

Soient et . Étudier la nature des séries de terme général :

  1. est une suite réelle telle que  ;
  2. (on pourra utiliser l'équivalent ln(n!) ~ n ln(n), ou se contenter de l'encadrement ) ;
  3.  ;
  4.  ;
  5.  ;
  6.  ;

Exercice 4

Soit une suite réelle positive décroissante. On pose et . Montrer que (ce qui prouvera que si et seulement si ).

Exercice 5

Nature de la série de terme général , selon les valeurs du réel  ?

Exercice 6

Soit une série à termes strictement positifs. Montrer que :

  1. (Règle de Kummer)
    1. converge si et seulement s'il existe une suite positive et une constante telles qu'à partir d'un certain rang,  ;
    2. diverge si et seulement s'il existe une suite strictement positive telle que et telle qu'à partir d'un certain rang,  ;
  2. (Règle de Raabe-Duhamel)
    1. s'il existe tel que (à partir d'un certain rang) , alors converge ;
    2. si (à partir d'un certain rang) , alors diverge.
  3. (Règle de Bertrand)
    1. s'il existe tel que (à partir d'un certain rang) , alors converge ;
    2. si (à partir d'un certain rang) , alors diverge.

Exercice 7

Soit la suite de Fibonacci :

.
  1. Démontrer (pour tout ) que puis .
  2. En déduire que converge.

Exercice 8

Soit une suite complexe. On suppose qu'il existe une suite réelle positive telle que

.

Montrer qu'alors, est absolument convergente.

Exercice 9

Soit une série absolument convergente. Montrer que pour tout réel , est absolument convergente.

Exercice 10

Soit une série convergente à termes positifs. Montrer que pour tout réel , converge.

Exercice 11

Soient et deux séries convergentes à termes positifs. Montrer que converge.

Soit maintenant . Trouver une série convergente à termes positifs telle que diverge.