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D'après l'[[Fonction dérivée/Exercices/Étude de fonctions polynômes du second degré#Exercice 4|inégalité arithmético-géométrique ]], <math>\sqrt{u_nv_n}\le\frac{u_n+v_n}2</math>. Ou plus savamment : d'après l'[[Espace préhilbertien réel/Formes bilinéaires symétriques#Positivité|inégalité de Cauchy-Schwarz]] dans l'[[w:Espace de suites ℓp|espace ℓ{{exp|2}}]] des suites de carré sommable, <math>\sum\sqrt{u_nv_n}\le\sqrt{\sum u_n\sum v_n}</math>. |
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D'après l'[[Fonction dérivée/Exercices/Étude de fonctions polynômes du second degré#Exercice 4|inégalité arithmético-géométrique ]], <math>\sqrt{u_nv_n}\le\frac{u_n+v_n}2</math>. Ou plus savamment : d'après l'[[Espace préhilbertien réel/Formes bilinéaires symétriques#Positivité|inégalité de Cauchy-Schwarz]] dans l'[[w:Espace de suites ℓp|espace ℓ{{exp|2}}]] des suites de carré sommable, <math>\sum\sqrt{u_nv_n}\le\sqrt{\sum u_n\sum v_n}</math>. |
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Soit maintenant <math>v_n=\frac1n</math>. Trouver une série <math>\sum u_n</math> convergente à termes positifs telle que <math>\sum\sqrt{u_nv_n}</math> diverge. |
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{{Solution|contenu=D'après le critère pour les [[Série numérique/Exercices/Exemple de télescopage|séries de Bertrand]], <math>u_n=\frac1{n\ln^\beta n}</math> convient si <math>1<\beta\le2</math>.}} |
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| idfaculté = mathématiques |
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| idfaculté = mathématiques |
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Exercice : Nature de séries
Série numérique/Exercices/Nature de séries », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Exercice 1
Soient et . Étudier la nature des séries de terme général :
- ;
Solution
- Si est pair, et si est impair, . Donc pour tout entier supérieur ou égal à , , où . Or . On en déduit que .
- converge si et seulement si les deux séries et convergent, où
- converge si et seulement si .
- est comprise entre et donc est de même nature que , c'est-à-dire convergente si et seulement si .
Exercice 2
Étudier la nature des séries de terme général :
- ;
- .
Exercice 3
Soient et . Étudier la nature des séries de terme général :
- où est une suite réelle telle que ;
- (on pourra utiliser l'équivalent ln(n!) ~ n ln(n), ou se contenter de l'encadrement ) ;
- ;
- ;
- ;
- ;
Solution
- et .
- Si , la série est grossièrement divergente.
- Si , c'est la série de Riemann, qui converge si et seulement si .
- Si , pour assez grand, donc et la série converge.
- Remarque : la règle de d'Alembert s'applique si par exemple , mais pas si (comme pour ou ) et dans ce cas, même Cauchy ne conclut pas (car ).
- On montre facilement que , minoration grossière mais largement suffisante ici, en regroupant les termes deux par deux (). En effet, si alors et si alors . On pourrait montrer de même que n! ≤ ((n + 1)/2)n (en majorant k(n + 1 – k) par ((n + 1)/2)2), mais la majoration immédiate n! ≤ nn nous suffira.
- On en déduit que . Par conséquent, est de même nature que la série de Bertrand : elle converge si et seulement si ou .
- Soit un entier . Pour , est bien défini et strictement positif. donc est de même nature que la série géométrique : elle converge si et seulement si . La règle de Cauchy (ou celle de d'Alembert) ne permettrait pas de conclure lorsque .
- En remarquant que , on pouvait être tenté d'appliquer le critère de convergence pour les séries alternées (ce qui nécessiterait de démontrer que est décroissante à partir d'un certain rang), mais c'est complètement inutile : la série est absolument convergente, car dominée par une série de Riemann convergente : .
- Cette série est à termes positifs et (géométriquement) convergente, car et .
- (Pour tout , car ).
- .
- donc
- .
- Si , donc diverge grossièrement.
- Si , . Par conséquent, pour assez grand, donc et la série converge.
Exercice 4
Soit une suite réelle positive décroissante. On pose et . Montrer que (ce qui prouvera que si et seulement si ).
Exercice 5
Nature de la série de terme général , selon les valeurs du réel ?
Solution
donc on peut directement calculer , qui sera un réel si la série converge et qui sera sinon.
.
La série est donc convergente si et seulement si , c.-à-d. .
Exercice 6
Soit une série à termes strictement positifs. Montrer que :
- (Règle de Kummer)
- converge si et seulement s'il existe une suite positive et une constante telles qu'à partir d'un certain rang, ;
- diverge si et seulement s'il existe une suite strictement positive telle que et telle qu'à partir d'un certain rang, ;
- (Règle de Raabe-Duhamel)
- s'il existe tel que (à partir d'un certain rang) , alors converge ;
- si (à partir d'un certain rang) , alors diverge.
- (Règle de Bertrand)
- s'il existe tel que (à partir d'un certain rang) , alors converge ;
- si (à partir d'un certain rang) , alors diverge.
Solution
-
- Si et (à partir d'un certain rang ) alors donc .
Réciproquement, si converge alors, en posant , on a .
- Si et (à partir d'un certain rang) alors , donc (exercice 5-1) si de plus alors diverge.
Réciproquement, si diverge alors, en posant , on a et .
-
- Si alors, en posant , on a , et l'on conclut grâce au premier point de la règle de Kummer.
- Si alors, en posant , on a , et l'on conclut grâce au second point de la règle de Kummer.
- En posant , on a :
- si alors à partir d'un certain rang si , et l'on conclut grâce au premier point de la règle de Kummer ;
- Si alors , et l'on conclut grâce au second point de la règle de Kummer.
Exercice 7
Soit la suite de Fibonacci :
- .
- Démontrer (pour tout ) que puis .
- En déduire que converge.
Exercice 8
Soit une suite complexe. On suppose qu'il existe une suite réelle positive telle que
- .
Montrer qu'alors, est absolument convergente.
Solution
- .
Exercice 9
Soit une série absolument convergente. Montrer que pour tout réel , est absolument convergente.
Exercice 10
Soit une série convergente à termes positifs. Montrer que pour tout réel , converge.
Solution
donc .
Exercice 11
Soient et deux séries convergentes à termes positifs. Montrer que converge.
Solution
D'après l'inégalité arithmético-géométrique , . Ou plus savamment : d'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz dans l'espace ℓ2 des suites de carré sommable, .
Soit maintenant . Trouver une série convergente à termes positifs telle que diverge.
Solution
D'après le critère pour les séries de Bertrand, convient si .