Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques

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Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques
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Chapitre no 7
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Propagation d'un signal : Battements
Chap. suiv. :Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini
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Sommaire

Observation stroboscopique d'une onde stationnaire sur une corde de Melde[modifier | modifier le wikicode]

Dispositif expérimental de l'observation d'ondes stationnaires par expérience de corde de Melde

La corde de Melde est une corde usuellement « horizontale » [1] tendue, longue de à , dont une de ses extrémités est reliée à un vibreur électrique alimenté par un « générateur B.F. » [2] et dont l'autre extrémité est fixe ou, après passage dans la gorge d'une poulie, retient un objet en suspension dans l'air, le poids de l'objet « créant la tension de la corde et étant suffisant pour que l'on puisse considérer que le point de contact de la corde sur la poulie reste fixe » [3] ;

cette expérience a été initiée par le physicien allemand « Franz Melde » dans le « courant du XIXe siècle » [4] et a mis en évidence l'existence d'ondes stationnaires produites sur une corde de Melde c'est-à-dire tendue et reliée à un vibreur électrique.

Pour une longueur de corde ni « trop longue » [5] ni « trop courte » [6], on a superposition de l'onde incidente créée par le vibreur « se propageant de la gauche vers la droite » et d'une première onde « réfléchie sur la poulie quasi-fixe » « se propageant de la droite vers la gauche » [7].

On observe, en éclairage normal (voir ci-dessous à gauche) :

  • des points de la corde ne vibrant pas (appelés nœuds de vibration) et
  • entre ces points, des fuseaux de vibration correspondant à des points vibrant en phase avec une amplitude de vibration plus ou moins grande,
  • les points ayant une amplitude de vibration maximale (appelés ventres de vibration) étant au milieu des fuseaux.

En éclairage stroboscopique avec une fréquence égale à celle du vibreur (voir ci-dessous à droite), on voit la corde « apparemment immobile » et quand on choisit une fréquence voisine de celle du vibreur, on perçoit alors la corde en mouvement apparent très lent ; on constate que :

  • les points d'un même fuseau vibrent en phase alors que,
  • les points situés de part et d'autre d'un nœud vibrent en opposition de phase ;

......ces dernières propriétés justifient le qualificatif « stationnaire » donné à l'onde car la phase s'écrit ne dépend pas explicitement de [8] contrairement à une onde « progressive » où la phase est avec .

Caractérisation d'une onde sinusoïdale stationnaire par l'absence de propagation, notion de nœuds et de ventres[modifier | modifier le wikicode]

Comme on l'a vu au paragraphe précédent une onde sinusoïdale est stationnaire si la phase s'écrit avec ne contenant pas le terme caractéristique d'une propagation.

Définition d'une onde sinusoïdale stationnaire dans un milieu unidimensionnel (linéaire)[modifier | modifier le wikicode]

Détermination de la position des nœuds[modifier | modifier le wikicode]

Chaque nœud est caractérisé par , c'est-à-dire soit, en utilisant et après quelques simplifications élémentaires,  ; on en déduit donc que :

Détermination de la position des ventres[modifier | modifier le wikicode]

Chaque ventre est caractérisé par , c'est-à-dire soit, en utilisant et après quelques simplifications élémentaires,  ; on en déduit donc que :

Établissement de la propriété de phase des points d'un même fuseau[modifier | modifier le wikicode]

Les points situés entre les nœuds et , sont d'abscisses tels que ou, en explicitant les abscisses des nœuds, ce dont on tire, pour , l'encadrement suivant et par suite on peut en déduire le signe de selon la parité de  :

  • si est impair, est , l'amplitude de vibration du point s'écrit alors et la phase initiale étant (pour tous les points de cet intervalle) , les points de ce fuseau vibrent tous en phase ;
  • si est pair ou nul, est , l'amplitude de vibration du point s'écrit alors , ce qui permet de déterminer la phase initiale (pour tous les points de cet intervalle) égale à [10] et par suite d'affirmer que les points de ce fuseau vibrent tous en phase.

Établissement de la propriété d'opposition de phase des points de part et d'autre d'un même nœud[modifier | modifier le wikicode]

Les points situés de part et d'autre du nœud , , sont d'abscisses telles que c'est-à-dire pour les premiers et seconds respectivement correspondant à un changement de signe donc à des vibrations en opposition de phase en effet :

  • si est impair, les points situés à droite du nœud étant tels que est , vibrent en phase entre eux avec une phase initiale et
    si .|m|. est impair, les points situés à gauche du nœud étant tels que est vibrent en phase entre eux avec une phase initiale  » [10] soit en opposition de phase avec les précédents ;
  • si est pair ou nul, les résultats concernant la phase initiale sont inversés, c'est-à-dire : les points situés à droite du nœud étant tels que est , vibrent en phase entre eux avec une phase initiale [10] et
    si .|m|. est pair ou nul, les résultats concernant la phase initiale sont inversés, c'est-à-dire : les points situés à gauche du nœud étant tels que est vibrent en phase entre eux avec une phase initiale soit en opposition de phase avec les précédents.

Interprétation par superposition d'une onde incidente progressive sinusoïdale émise par une extrémité et de l'onde réfléchie sur l'autre extrémité supposée fixe[modifier | modifier le wikicode]

Schéma explicatif pour traiter la superposition, sur une corde de Melde, d'une onde incidente progressive sinusoïdale émise par une extrémité et de l'onde réfléchie sur l'autre extrémité fixe

On considère une onde incidente progressive sinusoïdale créée par le vibreur en , de fréquence , d'amplitude correspondant à une élongation transversale [11], se propageant dans le sens des avec un vecteur d'onde est la pulsation spatiale et étant respectivement la célérité de propagation et la longueur d'onde de l'onde incidente) d'où l'expression de l'onde incidente au point d'abscisse et à l'instant ou soit encore  ;

......arrivant en d'abscisse , l'onde incidente n'étant pas identiquement nulle se réfléchit de façon à ce que l'onde résultante en le soit c'est-à-dire qu'il se crée, en , une perturbation réfléchie , perturbation qui se propage dans le sens des [12] avec un vecteur d'onde est la même pulsation spatiale ; on en déduit l'expression de l'onde réfléchie au point à l'instant [13] soit encore et finalement  ;

......l'onde résultante en d'abscisse et à la date s'écrivant , peut être obtenue par emploi des formules de trigonométrie, par construction d'un diagramme de Fresnel ou par utilisation des amplitudes complexes associées aux grandeurs instantanées complexes.

Détermination de l'onde résultante par emploi des formules de trigonométrie[modifier | modifier le wikicode]

, soit, en utilisant [14], , et finalement l'expression de l'onde résultante en d'abscisse et à l'instant peut être écrite selon

[15] ;

......on reconnaît une onde stationnaire sinusoïdale et on peut préciser les trois constantes , et à condition d'utiliser soit
...... montrant que , (indépendant de et (indépendant de .

Détermination de l'onde résultante par utilisation des amplitudes complexes associées aux grandeurs instantanées complexes[modifier | modifier le wikicode]

À l'onde incidente progressive sinusoïdale on associe la grandeur instantanée complexe est l'amplitude complexe de l'onde incidente ;

......de même à l'onde réfléchie sur la poulie on associe la grandeur instantanée complexe est l'amplitude complexe de l'onde réfléchie ;

......à l'onde résultante on associe la grandeur instantanée complexe avec une amplitude complexe s'obtenant par ce qui donne, en factorisant par [16] de façon à pouvoir utiliser la « formule d'Euler relative au sinus » [17] soit encore ou finalement, [18] ;

......la grandeur instantanée complexe associée à l'onde résultante se réécrit alors selon l'expression correspondant à l'onde résultante [19] qui peut être réécrite sous la forme finale

.

Détermination de l'onde résultante par diagramme de Fresnel[modifier | modifier le wikicode]

Diagramme de Fresnel résolvant la superposition, sur une corde de Melde, d'une onde incidente progressive sinusoïdale émise par une extrémité et de l'onde réfléchie sur l'autre extrémité fixe

On représente le vecteur de Fresnel associé à l'onde incidente au point et à l'instant 0 [20] de norme et faisant l'angle avec l'axe de référence et le vecteur de Fresnel associé à l'onde réfléchie au point et à l'instant 0 soit  de norme , faisant l'angle avec le même axe de référence  (voir diagramme ci-contre) ;

......construisant la somme de ces deux vecteurs de Fresnel par « règle du parallélogramme » [21] on obtient le vecteur de Fresnel au point et à l'instant 0 associé à l'onde résultante  :

  • faisant l'angle  avec « si la détermination principale de est aigüe » [22] et
    faisant l'angle  avec « si la détermination principale de est obtuse » [23]
  • et dont la norme se détermine par soit finalement [24] ;

......dans les deux cas considérés le signal résultant peut être écrit ou, en remplaçant et par leurs expressions [25].

Conditions de résonance de l'onde stationnaire sinusoïdale, modes propres associés, lien entre fréquences propres, célérité et longueur de la corde[modifier | modifier le wikicode]

Observation du phénomène de résonance sur une corde de Melde de tension et de longueur fixées lorsqu'on fait varier la fréquence de la vibration imposée[modifier | modifier le wikicode]

Dans la mesure où le point de contact de la corde avec la poulie peut être considéré comme fixe, la tension de la corde est égale au poids de l'objet de masse suspendu à la corde soit  : par exemple une masse avec correspond à une tension  ;
......si on utilise une corde de masse linéique [26] par exemple une corde en nylon , on démontre que la célérité de propagation sur cette corde s'écrit [27] et ainsi, pour une tension de corde fixée, la célérité l'est aussi :
......avec les valeurs précédentes on trouve .

......Réglant une longueur de corde entre le vibreur et la poulie, par exemple , et faisant croître la fréquence de vibration, on observe successivement :

Vibrations d'une corde de Melde dans ses modes propres associés à ses fréquences propres
  • à partir de des ondes stationnaires sinusoïdales à un fuseau avec une « amplitude au ventre qui devient maximale » [28] pour puis qui décroît avec « estompage » du phénomène d'ondes stationnaires ;
  • aux alentours de un nouveau système d'ondes stationnaires sinusoïdales à deux fuseaux s'installe avec une « amplitude au ventre qui devient maximale » pour puis qui décroît avec « évaporation » du phénomène d'ondes stationnaires ;
  • aux alentours de de nouveau un système d'ondes stationnaires sinusoïdales mais à trois fuseaux apparaît avec une « amplitude au ventre qui devient maximale » pour puis qui décroît avec « assèchement » du phénomène d'ondes stationnaires ;
  • aux alentours de un nouveau système d'ondes stationnaires sinusoïdales à quatre fuseaux se révèle avec une « amplitude au ventre qui devient maximale » pour puis qui décroît avec « tarissement » du phénomène d'ondes stationnaires ;
  • etc … on observe ainsi l'apparition d'un phénomène de résonance des ondes stationnaires sinusoïdales à un nombre de plus en plus grand de fuseaux pour des fréquences de plus en plus grandes par exemple une résonance des ondes stationnaires sinusoïdales à fuseaux avec pour une fréquence  ;

......toutes ces fréquences correspondent aux « fréquences propres » [29] de vibration de la corde, la forme correspondante de cette dernière pour une fréquence propre donnée définissant le « mode propre » de vibration associé à cette fréquence propre. 

Interprétation du phénomène de résonance sur une corde de Melde de tension et de longueur fixées pour des fréquences particulières[modifier | modifier le wikicode]

......Le vibreur crée une onde progressive sinusoïdale « incidente » se propageant dans le sens des , qui se réfléchit sur la poulie engendrant une onde progressive sinusoïdale « réfléchie » se propageant dans le sens des considérée de même amplitude que l'onde incidente ; la superposition de ces deux ondes et [à l'exclusion de toutes autres] donne un système d'ondes stationnaires sinusoïdales dont l'amplitude de vibration aux ventres est [30] avec amplitude de vibration du vibreur [31] ;

......s'il n'y avait que ces deux ondes il serait impossible d'expliquer le phénomène de résonance du système d'ondes stationnaires sinusoïdales mais …

......dans la réalité, l'onde « réfléchie » sur la poulie se réfléchit de nouveau sur le vibreur donnant une onde progressive sinusoïdale « réfléchie » se propageant dans le sens des , déphasée par rapport à l'onde « incidente » de la quantité [32], cette dernière onde se réfléchissant à son tour sur la poulie en une onde se propageant dans le sens des , déphasée par rapport à [la première onde réfléchie sur la poulie] de  ; la superposition de ces deux ondes et donne un nouveau système d'ondes stationnaires sinusoïdales dont l'amplitude de vibration aux ventres est encore avec amplitude de vibration du vibreur mais …

......le système d'ondes stationnaires sinusoïdales étant déphasé relativement au précédent de [33], la superposition de ces deux systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales et , bien que correspondant aux « mêmes positions de ventres et de nœuds » [34], ne donne a priori pas des interférences constructives ;

......on peut poursuivre le raisonnement en considérant l'onde « la réfléchie de l'onde sur le vibreur » se propageant dans le sens des et déphasée par rapport à l'onde « incidente » de ainsi que l'onde « la réfléchie de l'onde sur la poulie » se propageant dans le sens des et déphasée par rapport à l'onde « réfléchie » de , puis le système d'ondes stationnaires sinusoïdales correspondant à la superposition de et dont l'amplitude de vibration aux ventres est toujours avec amplitude de vibration du vibreur mais ce système étant déphasé relativement aux deux précédents de , la superposition de ces trois systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales , bien que correspondant aux « mêmes positions de ventres et de nœuds », ne donne a priori pas des interférences constructives et

......ainsi de suite … ce qui fait que dans le cas général, on observe des ondes stationnaires sinusoïdales d'amplitude aux ventres modérée ;

......toutefois, si la fréquence est telle que les interférences entre les divers systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales sont « constructives » [35], les amplitudes de vibration en un point donné s'ajoutent, donnant une amplitude de vibration aux ventres « très grande » [36] d'où un phénomène de résonance.

Conditions de résonance (c'est-à-dire conditions d'interférences constructives des divers systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales)[modifier | modifier le wikicode]

Un point de la corde vibrant selon le premier système d'ondes stationnaires sinusoïdales avec [37] comme phase initiale,
Un point .M. de la corde vibrant selon le second système d'ondes stationnaires sinusoïdales avec [38] comme phase initiale et
Un point de la corde vibrant selon le ne système d'ondes stationnaires sinusoïdales avec [39] comme phase initiale, on observera des interférences constructives entre ces divers systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales si le déphasage « mathématique » entre deux d'entre eux est un multiple de ou, compte-tenu de la périodicité de l'augmentation de phase initiale, si [40] ou ou encore, avec , si (c'est-à-dire si la différence de marche est un multiple de soit enfin , ce que l'on interprète de la façon suivante :

......Les longueurs d'onde pour lesquelles il y a résonance sont donc liées à la longueur de la corde selon (ce qui définit les longueurs d'onde de résonance) et, celles-ci étant liées à la fréquence selon , on en déduit les fréquences de vibration pour lesquelles il y a résonance soit des fréquences de résonance égales à correspondant encore aux fréquences propres de vibration de la corde [29] ;

......ces dernières sont donc un multiple de la fréquence de résonance « fondamentale » (correspondant encore à la fréquence propre « fondamentale » [29]) dans l'expérience à laquelle est associé le mode propre « fondamental » de la corde (à un fuseau), la fréquence de résonance (correspondant aussi à une fréquence propre [29]) étant associé au « mode propre de la corde » à n fuseaux.

Caractérisation d'une résonance par quantification de la fréquence[modifier | modifier le wikicode]

Dans l'exemple du phénomène de résonance des ondes stationnaires sinusoïdales le long de la corde de Melde, on impose une excitation de fréquence variable et on regarde la réponse de la corde de Melde, de tension et de longueur fixées, à cette excitation, réponse sous forme d'ondes stationnaires sinusoïdales de même fréquence que l'excitation ; on remarque alors que la réponse de la corde « entre en résonance » pour des fréquences excitatrices « quantifiées », les fréquences de résonance multiples d'une fréquence caractéristique de la corde appelée fréquence propre « fondamentale » égale à , cette dernière dépendant uniquement de la célérité de propagation le long de la corde et de sa longueur ;
......on a donc les fréquences de résonance suivantes , la ne valeur définissant la fréquence propre « de rang n » [41].

Décomposition en modes propres d'une vibration le long d'une corde fixée aux deux extrémités, application aux instruments de musique à cordes[modifier | modifier le wikicode]

On considère maintenant une corde tendue entre ses deux extrémités maintenues « fixes » [42] et on crée une « perturbation de courte durée » [43] par exemple au milieu de la corde ;
......nous admettrons que cette perturbation quelconque initie des ondes progressives sinusoïdales de « fréquence quelconque » [44], chaque onde progressive initiée à une fréquence quelconque se propageant vers une des extrémités fixes de la corde, s'y réfléchit pour donner une première onde réfléchie se propageant dans l'autre sens, laquelle se réfléchit à son tour sur l'autre extrémité fixe pour donner une onde réfléchie se propageant dans le sens initial etc … la superposition de ces ondes progressives synchrones de fréquence quelconque, de même amplitude, se propageant dans les deux sens, façonne des ondes stationnaires sinusoïdales de « fréquence quelconque » ;
......parmi toutes ces dernières seules celles respectant les C.A.L. de nœuds d'élongation aux extrémités vont subsister …

Recherche des ondes stationnaires libres, notion de fréquences propres et de modes propres[modifier | modifier le wikicode]

Seules les ondes stationnaires sinusoïdales satisfaisant aux C.A.L. de nœuds d'élongation vont subsister, c'est-à-dire que ne persisteront que les longueurs d'onde telles que ou ce qui correspond aux fréquences liées aux longueurs d'onde par soit définissant les « fréquences propres de la corde fixée à ses deux extrémités », étant la fréquence propre « fondamentale », la fréquence propre « de rang n » ;
......le « mode de vibration » [45] de la corde pour une fréquence propre fixée est appelé « mode propre » et le mode propre associé à la fréquence propre de rang n correspond à la présence de « n fuseaux ».

Remarque : Nous avons obtenu la condition de quantification sur les fréquences propres en écrivant que la longueur de la corde est un multiple de , cette dernière étant la longueur d'un fuseau, nous nous proposons de retrouver cette condition à partir de la définition d'une onde stationnaire sinusoïdale en écrivant que les deux extrémités doivent être fixes :

Observation expérimentale[modifier | modifier le wikicode]

......Sans imposer d'autres conditions que celles des extrémités fixes, on observe préférentiellement le mode propre à un fuseau pour la fréquence propre  ;
......si on souhaite observer le mode propre à deux fuseaux (pour la fréquence propre il faut l'initier en imposant un pincement de la corde au milieu de celle-ci, le resserrement devenant alors un nœud d'élongation,
......de même si on souhaite observer le mode propre à trois fuseaux (pour la fréquence propre on l'initie en imposant un pincement de la corde à son tiers, la pression devenant un nœud d'élongation
......de même pour le mode propre à n fuseaux avec

Exemple numérique[modifier | modifier le wikicode]

Considérons une corde de guitare de masse volumique , de diamètre , de longueur et de tension , la célérité de propagation des ondes nécessite de déterminer au préalable la masse linéique de la corde [46] donnant numériquement dont on déduit la célérité de propagation selon  ;
......on en déduit la longueur d'onde du mode propre fondamental [47] ainsi que la fréquence propre fondamentale [48], les autres fréquences propres étant des multiples de cette dernière.

Mouvement général de la corde[modifier | modifier le wikicode]

La corde étant fixée à ses deux extrémités, elle oscillera en ondes stationnaires correspondant à une superposition linéaire de ses modes propres d'oscillations, l'onde stationnaire résultante étant « doublement périodique mais non sinusoïdale » [49] d'élongation transversale au point d'abscisse et à l'instant de la forme ou,
......en fonction des fréquences propres et des longueurs d'onde des modes propres associés , de la forme ou encore,
......en fonction des fréquence et longueur d'onde fondamentales ainsi que du rang des modes propres considérés, de la forme explicitant le caractère « doublement périodique » du signal, « temporel » de fréquence et « spatial » de période [50] ;

......si , , le son devient alors plus grave et

......si , et , le son devient plus aigu.

Distinction entre oscillations libres et oscillations forcées (ou entretenues)[modifier | modifier le wikicode]

On obtient des oscillations libres (et ces oscillations se font nécessairement à une fréquence propre de la corde) quand on crée une perturbation de courte durée et qu'on laisse osciller librement la corde ;

si on impose une excitation de fréquence fixée à une extrémité de la corde on obtient des oscillations forcées à la même fréquence que l'excitateur avec un phénomène de résonance quand la fréquence de l'excitateur est égale à une fréquence propre de la corde.

Généralisation aux autres instruments de musique[modifier | modifier le wikicode]

Il s'agit des instruments à vent, on modélise ces derniers à l'aide d'un tuyau sonore dans lequel l'air vibre, la grandeur vibrante à laquelle l'oreille humaine ou un microphone est sensible étant la surpression acoustique : on se propose de rechercher les modes propres d'oscillations de l'air dans le tuyau sonore suivant que ses deux extrémités sont ouvertes ou qu'une seule extrémité est ouverte.

Propriétés d'une extrémité d'un tuyau sonore suivant qu'elle est ouverte ou fermée[modifier | modifier le wikicode]

Une extrémité ouverte correspond à un nœud de surpression acoustique [51], on admettra qu'à un nœud de surpression acoustique correspond un ventre de déplacement des tranches d'air (c'est-à-dire qu'une extrémité ouverte correspond à un maximum de déplacement des tranches d'air dans le tuyau) ;

une extrémité fermée correspond à un ventre de surpression acoustique [52], on admettra qu'à un ventre de surpression acoustique correspond un nœud de déplacement des tranches d'air (c'est-à-dire qu'une extrémité fermée correspond à une impossibilité de déplacement des tranches d'air dans le tuyau).

Les deux extrémités étant ouvertes (exemple des orgues)[modifier | modifier le wikicode]

Les deux extrémités ouvertes correspondant chacune à un nœud de surpression acoustique, les ondes stationnaires sinusoïdales dans le tuyau obéissant aux C.A.L. sont telles que la longueur du tuyau doit être un multiple de , d'où « la longueur d'onde du mode propre de rang n » , et les « fréquences propres » , problème équivalent à celui d'une corde tendue entre deux extrémités fixes.

Une extrémité ouverte et l'autre fermée (exemple des clarinettes)[modifier | modifier le wikicode]

L'extrémité fermée correspondant à un ventre de surpression acoustique et l'autre extrémité ouverte à un nœud de surpression acoustique, les ondes stationnaires sinusoïdales dans le tuyau obéissant aux C.A.L. sont telles que la longueur du tuyau doit être un multiple impair de [53] d'où « la longueur d'onde maximale » est donc telle que ou égale à [54] de mode propre fondamental à « un demi-fuseau » correspondant à la fréquence propre fondamentale ,
......les autres longueurs d'onde des modes propres à « (n + un demi) fuseaux » étant telles que ou soit , les fréquences propres correspondantes étant [55].

......Le cas précédemment traité peut être celui d'une clarinette, l'embouchure étant équivalente à une extrémité fermée, l'autre extrémité étant bien évidemment ouverte.

Présence d'un trou intermédiaire dans le tuyau sonore à une extrémité ouverte, l'autre étant fermée (exemple de la clef de douzième d'une clarinette, le trou intermédiaire étant située au tiers de la longueur à partir de l'embouchure)[modifier | modifier le wikicode]

Dans une clarinette, la présence du trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure considérée comme une extrémité fermée impose un nœud de surpression acoustique à cet endroit, l'extrémité fermée étant un ventre de surpression on en déduit « la longueur d'onde maximale » qui est telle que ou [54] c'est-à-dire trois fois plus faible que la longueur d'onde du mode propre fondamental du tuyau non troué correspondant à une fréquence minimale trois fois plus grande que la fréquence propre fondamentale du tuyau non troué de mode propre associé à « un fuseau et demi » [56] ;
......les autres longueurs d'onde observables sont telles que soit encore correspondant à une fréquence propre trois fois plus grande que la fréquence propre de même rang du tuyau non troué , le mode propre associé étant à « (6n + 3)/2 fuseaux » [56] ;
......au final la présence du trou à de l'extrémité fermée a sélectionné une fréquence propre fondamentale trois fois plus grande que celle sans la présence du trou, les autres fréquences propres se déduisant de cette fréquence propre fondamentale en multipliant par un impair.

Dispositif expérimental permettant d'analyser le spectre d'un signal acoustique produit par une corde vibrante[modifier | modifier le wikicode]

Enregistrement du son produit par le pincement d'un corde de guitare en son milieu
Spectre du son produit par le pincement d'un corde de guitare en son milieu

Il s'agit d'enregistrer le son émis par une « corde de guitare » [57] à l'aide d'un microphone, le signal reçu par ce dernier étant enregistré par un oscilloscope numérique possédant une fonction de « transformée de Fourier discrète » [58] qui permet d'afficher le « spectre du signal » [59].

Ci-contre un premier enregistrement en pinçant la corde en son milieu, on observe un signal approximativement « pseudo-sinusoïdal » [60] de pseudo-période (on observe en effet pseudo-oscillations entre et  ;

le calcul de la pseudo-fréquence donne , correspondant à la fréquence de l'harmonique observé principalement dans le spectre d'amplitude du signal émis par la corde de guitare pincée en son milieu (voir ci-contre) :

Enregistrement du son produit par le pincement d'un corde de guitare au quart de sa longueur
Spectre du son produit par le pincement d'un corde de guitare au quart de sa longueur

Ci-contre un deuxième enregistrement en pinçant la corde au quart de sa longueur, on observe un signal approximativement « pseudo-sinusoïdal » [60] de pseudo-période (on observe en effet pseudo-oscillations entre et  ;

le calcul de la pseudo-fréquence donne [61], ce qui correspond encore à la fréquence de l'harmonique principalement observé dans le spectre d'amplitude du signal émis par la corde de guitare pincée au quart de sa longueur (voir ci-contre), toutefois on observe d'autres harmoniques qui n'étaient pas présents dans le spectre d'amplitude du signal émis par la corde pincée en son milieu ;

il semble donc que l'endroit du pincement de la corde de guitare a une influence sur le spectre d'amplitude du signal émis, l'harmonique fondamental restant le même mais pincer au quart de la longueur de la corde au lieu de pincer en son milieu crée des harmoniques de rang supérieur [62].

Enregistrement du son produit par le pincement d'un corde de guitare près de son attache
Spectre du son produit par le pincement d'un corde de guitare près de son attache

Ci-contre un troisième enregistrement en pinçant la corde près de son attache, on observe un signal approximativement « pseudo-sinusoïdal » [60] de pseudo-période (on observe en effet pseudo-oscillations entre et  ;

le calcul de la pseudo-fréquence donne , correspondant à la fréquence d'un des harmoniques observés dans le spectre d'amplitude du signal émis par la corde de guitare pincée près de son attache (voir ci-contre), toutefois on observe nettement plus d'harmoniques non présents dans le spectre d'amplitude des signaux émis par la corde pincée en son milieu ou au quart de sa longueur ;

pincer la corde près de l'attache a eu pour conséquence un enrichissement en harmoniques du spectre d'amplitude du signal émis par la corde [63].

L'ensemble des harmoniques est le même dans chacun des spectres [64], les notes émises sont de même hauteur (mêmes harmoniques) mais n'ont pas le même timbre (répartition différente des harmoniques) ; le timbre ne résulte pas seulement de la composition spectrale mais aussi de son évolution dans le temps, deux mêmes répartitions spectrales à donné et qui sont différentes à correspondent à des timbres différents, la caractérisation du timbre nécessite donc de faire une succession d'analyses spectrales étalées dans le temps ; ces informations sont réunies dans un « sonogramme » avec le temps en abscisse, la fréquence en ordonnée, l'amplitude étant codée par couleur.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Même si elle peut aussi être utilisée verticalement, la suite est décrite avec une corde horizontale.
  2. Les vibreurs du dispositif de Melde vibrent à la même fréquence que la tension du générateur B.F. l'alimentant ; toutefois quand un vibreur fonctionne sur le principe d'une attraction générée par un électro-aimant alimenté par un générateur B.F., sa fréquence de vibration est double de celle du générateur car un électro-aimant alimenté en alternatif exerce une attraction à chaque alternance donc deux fois par période de tension imposée par le générateur B.F..
  3. Dans la mesure où le point de contact de la corde sur la poulie reste fixe et si les frottements de la corde sur la poulie sont négligeables, la tension de la corde est égale à est la masse de l'objet et l'intensité du champ de pesanteur.
  4. Franz Melde a vécu de à , on lui doit cette expérience, actuellement connue sous le nom d'expérience de Melde.
  5. Dans le but que l'onde incidente créée par le vibreur ne soit pas d'amplitude trop faible en arrivant sur la poulie et qu'une onde réfléchie d'amplitude non négligeable soit engendrée par la quasi-fixité de la poulie.
  6. Dans le but que le phénomène d'ondes stationnaires de l'onde résultante soit observable, ce qui nécessite une longueur minimale.
  7. La quasi-fixité de la poulie nécessite la création d'une perturbation réfléchie opposée à la perturbation incidente ; comme à toute perturbation est associée une propagation de puissance et que celle-ci ne peut se propager que dans le milieu matériel, la perturbation réfléchie se propage dans le sens des .
    ......En fait la première onde réfléchie sur la poulie se réfléchit de nouveau en arrivant sur le vibreur (car la superposition de l'onde incidente et de la première onde réfléchie sur la poulie ne s'identifiant a priori pas à l'expression du signal créé par le vibreur, il se crée une onde réfléchie sur le vibreur pour que la résultante s'identifie avec le signal créé par le vibreur, cette onde réfléchie sur le vibreur étant associée à de la puissance ne peut se propager que dans le sens des ) et cette première onde réfléchie sur le vibreur se réfléchit de nouveau en arrivant sur la poulie … etc.
  8. Elle en dépend néanmoins implicitement car elle est modifiée de à chaque passage par un nœud de vibration.
  9. Conditions aux limites c'est-à-dire les conditions imposées par le vibreur d'un côté et par l'extrémité supposée fixe de l'autre.
  10. 10,0 10,1 et 10,2 En effet .
  11. est la pulsation (temporelle) égale à .
  12. La perturbation créée en est associée à une certaine puissance qui doit nécessairement se propager, comme la propagation au-delà de est impossible elle se fait donc en deçà de c'est-à-dire dans le sens des .
  13. L'onde réfléchie en à la date est l'onde qui existait en à la date avec .
  14. Quand on fait la somme de il reste et quand on fait la différence dans le sens , il reste  ; il reste à poser et dont on tire et  d'où la formule énoncée ; ......d'autre part il est souhaitable de vérifier la justesse de la formule (en particulier la nécessité du signe ) en posant par exemple ce qui donne ou encore formule (qui devrait être) connue de tous et valide l'absence d'erreurs grossières.
  15. Sur cette expression on vérifie que le point , d'abscisse , est bien fixe (évidemment car c'est sa fixité qui a défini l'onde réfléchie relativement à l'onde incidente), mais par contre on trouve que le point , d'abscisse , vibre avec une amplitude alors qu'elle devrait être égale à l'amplitude de vibration de la lame vibrante, à savoir  ; on en déduit donc que l'expression obtenue n'est pas correcte au voisinage du point , la raison en étant que la contrainte d'amplitude de vibration en l'abscisse n'a pas été imposée ;
    ......en effet on a simplement imposé l'amplitude de l'onde incidente en , égale à , ce qui a défini d'une part l'onde incidente en tout point, la fixité du point ayant défini d'autre part l'onde réfléchie sur en tout point, l'amplitude de l'onde résultante en tout point s'en est trouvée fixée et en particulier en , ceci rendant toute contrainte d'amplitude en impossible à imposer dans la mesure où on ne considère qu'une réflexion sur le point
    ......Pour obtenir une expression qui serait aussi correcte au voisinage du point , il faut pouvoir y imposer la contrainte d'amplitude et pour cela il faut envisager au moins une réflexion supplémentaire, celle sur la lame vibrante de l'onde réfléchie en et vraisemblablement quelques autres.
  16. En effet dans et , la factorisation par la seule partie commune conduit à où le terme entre crochets permettrait d'utiliser la formule d'Euler relative au sinus au facteur près dans le deuxième terme d'où la mise en facteur de conduisant à .
  17. La formule d'Euler relative au sinus étant .
  18. En utilisant .
  19. La détermination directe de l'amplitude de par le module de l'amplitude complexe donnant et nécessitant une discussion sur le signe du sinus, on préfère établir l'expression de en prenant la partie réelle de .
  20. Le diagramme de Fresnel à l'instant 0 suffit car le diagramme à l'instant se déduit de celui de l'instant 0 par rotation d'angle .
  21. Pour simplifier l'exposé toutes les constructions possibles n'ont pas été reproduites mais uniquement la plus simple c'est-à-dire le cas où la détermination (principale) de (notée sur le schéma) est en fait aigüe et non obtuse ; vous pouvez vous rafraîchir la mémoire en consultant la détermination directe de l'amplitude résultante dans le cas de même amplitude.
  22. Cas de la figure : les deux vecteurs dont on forme la somme ayant même norme, la figure permettant de construire cette somme est un losange, le vecteur somme étant porté par la diagonale issue de et cette dernière étant aussi la bissectrice de l'angle de sommet , on en déduit la propriété énoncée.
  23. Cas de figure non représenté où la détermination principale de appartient à , la figure permettant de construire cette somme est toujours un losange, le vecteur somme étant de direction opposée à la bissectrice de l'angle , il convient d'ajouter (ou de retrancher) à .
  24. En effet, la figure permettant de construire la somme étant un losange, le vecteur somme, porté par la diagonale issue de , a une norme égale à cette diagonale ; sachant que les diagonales d'un losange sont et se coupent en leur milieu, si nous appelons le point d'intersection des diagonales, on détermine la longueur de la diagonale issue de par est le côté adjacent d'un triangle rectangle dont est l'hypoténuse, l'angle considéré étant celui entre un des vecteurs de Fresnel à l'instant 0 et la diagonale issue de cet angle se détermine par la demi différence des phases car la diagonale est portée par la bissectrice de l'angle de sommet  ;
    ...dans le cas (non représenté) où est obtus, l'angle adjacent du triangle rectangle à considérer est d'où le résultat énoncé.
  25. Évidemment égale à précédemment trouvée par changement de signe simultané des deux cosinus.
  26. C.-à-d. la masse par unité de longueur exprimée en .
  27. On vérifie l'homogénéité de la formule, s'exprimant en ,  » est donc en et par suite la racine carrée effectivement en .
  28. Ceci caractérise un phénomène de « résonance ».
  29. 29,0 29,1 29,2 et 29,3 Voir définition dans la suite du chapitre.
  30. En effet, en considérant la superposition de l'onde incidente et réfléchie sur la poulie on a trouvé un signal résultant correspondant à une amplitude de vibration au point de , les ventres étant positionnés aux points tels que leur amplitude de vibration est donc bien .
  31. On constate, en absence de résonance, que le premier fuseau, celui du côté du vibreur, doit être un peu plus court que les suivants dans la mesure où l'extrémité de la corde reliée à la lame vibrante n'est pas un nœud [d'ailleurs on rappelle qu'au point la superposition des ondes et conduit à une amplitude égale à alors qu'elle est en pratique égale à , d'où l'impossibilité d'interpréter les ondes stationnaires au voisinage du point avec les seules ondes et mais par contre dès qu'on sort du voisinage de l'interprétation reste exacte].
  32. L'onde étant en retard sur l'onde du temps nécessaire pour parcourir l'aller et retour de la longueur de corde soit ce qui correspond à une différence de marche et à un déphasage « mathématique » (l'ajout de correspondant aux deux réflexions sur les extrémités).
  33. En effet nous avons établi que est la phase initiale de l'onde incidente créée par le vibreur en , nous obtenons donc en remplaçant par pour tenir compte du déphasage « mathématique » supplémentaire.
  34. En effet, dans les deux systèmes et , les ventres sont positionnés aux points tels que et les nœuds aux points tels que .
  35. Cela signifie que la vibration d'un point d'un fuseau d'un système d'ondes stationnaires sinusoïdales est en phase avec la vibration du même point pour n'importe quel autre système d'ondes stationnaires sinusoïdales.
  36. En théorie, s'il y a un nombre infini de réflexions de chaque côté, il y a donc un nombre infini de systèmes d'ondes stationnaires dont chacun fournit une amplitude de vibration aux ventres de «  » soit une amplitude résultante aux ventres infinie, mais en pratique, il y a amortissement le long de la corde, ce qui fait que les amplitudes aux ventres sont de moins en moins grandes au fur et à mesure des réflexions considérées.
  37. En effet avec phase initiale de l'onde incidente créée par le vibreur en .
  38. En effet en remplaçant par pour tenir compte du déphasage « mathématique » supplémentaire.
  39. En effet en remplaçant par pour tenir compte du déphasage « mathématique » supplémentaire.
  40. On choisit de façon à ce qu'il soit positif à près.
  41. Fréquence propre car elle est aussi caractéristique des dimensions et des propriétés de la corde.
  42. La tension et la longueur sont donc imposées.
  43. Le but de cette perturbation est de sortir la corde de son état de repos en lui apportant de la puissance dans un premier temps à propager et ensuite à répartir sur toute la corde ; cette perturbation joue le même rôle que celui qui consiste à écarter un pendule élastique de sa position d'équilibre et de le lâcher sans vitesse initiale, le but de cet écart étant de sortir le pendule de sa position d'équilibre pour étudier par la suite son mouvement « libre » et ici nous sortons la corde de son état de repos pour étudier par la suite ses oscillations stationnaires « libres ».
  44. Si toute fonction périodique est décomposable en série de Fourier selon le théorème de Fourier, ce qui correspond à un spectre de raies pour l'amplitude des harmoniques, une fonction non périodique est « décomposable en intégrale de Fourier » (on parle de transformée de Fourier), ce qui correspond à un spectre « continu » pour l'amplitude des harmoniques ; la notion de transformée de Fourier n'est pas exposée en première année, son introduction ici a pour seul but de justifier d'où viennent les ondes progressives de fréquence quelconque se propageant dans les deux sens et se superposant …
  45. C.-à-d. son aspect quand elle est soumise à une onde stationnaire sinusoïdale.
  46. L'aire d'un disque de rayon étant se réécrit, avec est le diamètre, .
  47. Qui ne dépend que de la longueur de la corde.
  48. Qui dépend de la longueur de la corde ainsi que de sa section et de sa nature (par sa masse linéique).
  49. Périodicité temporelle de période égale à période propre fondamentale (les autres périodes propres étant des diviseurs de , cette dernière est la plus petite période commune) et
    ...périodicité spatiale de période égale à longueur d'onde du mode propre fondamental (les autres périodes spatiales étant des diviseurs de , cette dernière est la plus petite période commune).
  50. La fréquence spatiale étant le nombre d'onde .
  51. En effet la pression à l'extérieur du tuyau doit rester constante égale à la pression au repos d'où une surpression acoustique nulle, c'est-à-dire un nœud de surpression acoustique dans le cas d'ondes stationnaires.
  52. En effet la pression de l'autre côté de l'extrémité fermée à l'extérieur du tuyau ne jouant aucun rôle, la surpression acoustique à l'intérieur du tuyau au niveau de l'extrémité fermée peut prendre n'importe quelle valeur.
  53. En effet égale à à un multiple de près ou encore, fois avec .
  54. 54,0 et 54,1 Appelée longueur d'onde du mode propre fondamental.
  55. Définissant les fréquences propres de rang non nul, la fréquence propre fondamentale correspondant à la valeur  ; on peut donc dire que toutes les fréquences propres (y compris la fréquence propre fondamentale) sont données par .
  56. 56,0 et 56,1 Correspondant au tuyau entier bien sûr.
  57. Il est nécessaire d'utiliser un instrument qui rayonne acoustiquement (donc avec caisse de résonance) comme une « guitare » ou un « ukulele » (instrument à cordes pincées des îles Hawaï) de façon à obtenir un son ayant une certaine persistance dans la durée ; on crée alors des ondes stationnaires sur une corde de l'instrument et la vibration stationnaire de la corde engendre l'émission d'une onde acoustique progressive rayonnant dans toutes les directions donc en particulier en direction du microphone …
  58. C'est un algorithme dit de FFT (Fast Fourier Transform) ; dans ce type d'analyse spectrale, il est nécessaire d'avoir un nombre de périodes significatif et d'utiliser un « fenêtrage » (c'est-à-dire une fonction par laquelle on multiplie le signal pour le limiter dans le temps) ;
    il y a trois types de fenêtrage dont le plus simple est le fenêtrage rectangulaire (ou porte) et
    il y a trois types de fenêtrage dont les plus utilisés sont l'un ou l'autre des fenêtrages
    de Hann et de Hamming
  59. Ce type d'analyse permet de montrer que la différence de « timbre » que l'on perçoit lorsqu'on pince à des endroits différents une même corde correspond à une modification de la répartition des harmoniques et non à un changement de « hauteur » de note ; la « hauteur » d'une note est l'ensemble des harmoniques sans référence à leur amplitude respective, son « timbre » est caractérisé par la forme de l'onde émise à la fréquence de la note, il dépend de la répartition des harmoniques (c'est-à-dire de leur amplitude respective).
  60. 60,0 60,1 et 60,2 La modulation d'amplitude provient du fait que tous les points de la corde de guitare sur laquelle ont été créées des ondes stationnaires, sont sources d'ondes acoustiques progressives qui peuvent être captées par le microphone ; ces ondes acoustiques progressives provenant d'une même onde mécanique stationnaire peuvent interférer ce qui entraîne une modulation d'amplitude …
  61. L'écart avec la pseudo-fréquence précédente correspond à l'imprécision des enregistrements.
  62. Le rang 5 ayant une amplitude égale approximativement au tiers de celle de l'harmonique fondamental, le rang 4 une amplitude approximativement égale au quart de celle de l'harmonique fondamental, les rangs 2 et 3 étant d'amplitudes assez nettement plus faibles …
  63. Sur le spectre d'amplitude du signal émis par la corde de guitare pincée près de son attache, les harmoniques de rangs 4 et 5 sont d'amplitudes équivalentes à celle de l'harmonique fondamental, les harmoniques de rangs 8 et d'amplitudes approximativement égales à la moitié de celle de l'harmonique fondamental … La raie de fréquence est à considérer comme parasite étant donné que sa fréquence n'est pas un multiple de la fréquence fondamentale, seule fréquence observée dans le spectre d'amplitude du signal émis par la corde de guitare pincée en son milieu.
  64. Même si on observe approximativement qu'une raie dans le spectre d'amplitude de la corde de guitare pincée en son milieu, les harmoniques de rang supérieur coexistent en étant d'amplitude inobservable.