Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques

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Observation stroboscopique d'une onde stationnaire sur une corde de Melde

Dispositif expérimental de l'observation d'ondes stationnaires par expérience de corde de Melde

     La corde de Melde est une corde usuellement « horizontale »  tendue, longue de $\;1,50\,m\;$ à $\;2,00\,m$, dont une de ses extrémités est reliée à un vibreur électrique alimenté par un « générateur B.F.  »  et dont l'autre extrémité est fixe ou, après passage dans la gorge d'une poulie, retient un objet en suspension dans l'air, le poids de l'objet « créant la tension de la corde et étant suffisant pour que l'on puisse considérer que le point de contact de la corde sur la poulie reste fixe »  ;

     cette expérience initiée par le physicien allemand « Franz Melde » dans le « courant du XIX^ème siècle » a mis en évidence l'existence d'ondes stationnaires produites sur une corde de Melde c.-à-d. tendue et reliée à un vibreur électrique.

     Pour une longueur de corde ni « trop longue »  ni « trop courte » , on a superposition de l'onde incidente créée par le vibreur « se propageant de la gauche vers la droite » et d'une 1^ère onde « réfléchie sur la poulie quasi-fixe » « se propageant de la droite vers la gauche » .

     On observe, en éclairage normal $\;{\big (}$voir ci-dessous${\big )}$ :

• des points de la corde ne vibrant pas $\;{\big (}$appelés nœuds de vibration${\big )}\;$ et
• entre ces points, des fuseaux de vibration correspondant à des points vibrant en phase avec une amplitude de vibration plus ou moins grande,
• les points ayant une amplitude de vibration maximale $\;{\big (}$appelés ventres de vibration${\big )}\;$ étant au milieu des fuseaux.

Observation d'ondes stationnaires en éclairage normal sur corde de Melde

     En éclairage stroboscopique avec une fréquence égale à celle du vibreur $\;{\big (}$voir ci-dessous${\big )}$, on voit la corde « apparemment immobile » et quand on choisit une fréquence voisine de celle du vibreur, on perçoit alors la corde en mouvement apparent très lent ; on constate que :

• les points d'un même fuseau vibrent en phase alors que,
• les points situés de part et d'autre d'un nœud vibrent en opposition de phase ;

Observation d'ondes stationnaires en éclairage stroboscopique sur corde de Melde

     ces dernières propriétés justifient le qualificatif « stationnaire » donné à l'onde car la phase s'écrit $\;\omega \,t+\varphi \;$ où $\;\varphi \;$ne dépend pas explicitement de$\;x\;$ contrairement à une onde « progressive » où la phase est $\;\omega \,t+\varphi (x)\;$ avec $\;\varphi (x)=\mp k\,x+\varphi (0)$.

Caractérisation d'une onde sinusoïdale stationnaire par l'absence de propagation, notion de nœuds et de ventres

     Comme on l'a vu au paragraphe « observation stroboscopique d'une onde stationnaire sur une corde de Melde » plus haut dans ce chapitre
     Comme on l'a vu au paragraphe « une onde sinusoïdale est stationnaire si la phase s'écrit $\;\omega \,t+\varphi \;$ avec $\;\varphi \;$ ne contenant pas le terme $\;\mp k\,x\;$ caractéristique d'une propagation ».

Définition d'une onde sinusoïdale stationnaire dans un milieu unidimensionnel (linéaire)

Onde sinusoïdale stationnaire dans un milieu unidimensionnel (linéaire)

     On peut définir une « onde sinusoïdale stationnaire dans un milieu unidimensionnel $\;{\big (}$linéaire${\big )}\;$ suivant l'axe $\;x'x\;$» par la forme du signal au point d'abscisse $\;x\;$ et à l'instant $\;t$ :«$\;s(x,\,t)=A\,\cos(\omega \,t+\varphi )\,\cos(k\,x+\psi )\;$» avec
$\;A>0$, $\;\varphi \;$ et $\;\psi \;$ des constantes dépendant des C.I. et des C.A.L.  ,
$\;\omega =2\,\pi \,f\;$ la pulsation temporelle, $\;k={\dfrac {\omega }{c}}={\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\;$ la pulsation spatiale,
$\;f$, $\;c\;$ et $\;\lambda \;$ respectivement la fréquence $\;{\big (}$temporelle${\big )}$, la célérité et la longueur d'onde de l'onde.

Détermination de la position des nœuds

     « Chaque nœud $\;N_{m}\;$ est caractérisé par $\;\cos(k\,x_{N_{m}}+\psi )=0\;$», c.-à-d. «$\;k\,x_{N_{m}}+\psi \equiv {\dfrac {\pi }{2}}\!\!{\pmod {\pi }}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;k\,x_{N_{m}}+\psi ={\dfrac {\pi }{2}}+m\,\pi ,\;m\in \mathbb {Z} \;$» soit,
     « Chaque nœud $\;\color {transparent}{N_{m}}\;$ est caractérisé en utilisant $\;k={\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\;$ et après quelques simplifications élémentaires, par «$\;x_{N_{m}}=-{\dfrac {\psi \,\lambda }{2\,\pi }}+{\dfrac {\lambda }{4}}+m\,{\dfrac {\lambda }{2}},\;m\in \mathbb {Z} \;$» ; on en déduit donc que :

À retenir

• deux nœuds consécutifs sont séparés de $\;{\dfrac {\lambda }{2}}\;$ ou,
• la longueur d'un fuseau est $\;{\dfrac {\lambda }{2}}\;$.

Détermination de la position des ventres

     « Chaque ventre $\;V_{m}\;$ est caractérisé par $\;\cos(k\,x_{V_{m}}+\psi )=\pm 1\;$», c.-à-d. «$\;k\,x_{V_{m}}+\psi \equiv 0\!\!{\pmod {\pi }}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;k\,x_{V_{m}}+\psi =m\,\pi ,\;m\in \mathbb {Z} \;$» soit,
     « Chaque ventre $\;\color {transparent}{V_{m}}\;$ est caractérisé en utilisant $\;k={\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\;$ et après quelques simplifications élémentaires, par «$\;x_{V_{m}}=-{\dfrac {\psi \,\lambda }{2\,\pi }}+m\,{\dfrac {\lambda }{2}},\;m\in \mathbb {Z} \;$» ; on en déduit donc que :

À retenir

• deux ventres consécutifs sont séparés de $\;{\dfrac {\lambda }{2}}\;$ et,
• un ventre est séparé des deux nœuds voisins de $\;{\dfrac {\lambda }{4}}\;$ ou
• un ventre est au centre d'un fuseau.

Établissement de la propriété de phase des points d'un même fuseau

     Les points situés entre les nœuds $\;N_{m}\;$ et $\;N_{(m+1)}$, $\;m\in \mathbb {Z} \;$ sont d'abscisses $\;x\;$ telles que $\;x_{N_{m}}<x<x_{N_{(m+1)}}\;$ ou, en explicitant les abscisses des nœuds,
     Les points situés entre les nœuds $\;\color {transparent}{N_{m}}\;$ et $\;\color {transparent}{N_{(m+1)}}$, $\;\color {transparent}{m\in \mathbb {Z} }\;$ sont d'abscisses $\;\color {transparent}{x}\;$ telles que $\;-{\dfrac {\psi \,\lambda }{2\,\pi }}+{\dfrac {\lambda }{4}}+m\,{\dfrac {\lambda }{2}}<x<-{\dfrac {\psi \,\lambda }{2\,\pi }}+{\dfrac {\lambda }{4}}+(m+1)\,{\dfrac {\lambda }{2}}\;$ $\Rightarrow$ avec $\;k\,x+\psi ={\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\,x+\psi$,
     Les points situés entre les nœuds $\;\color {transparent}{N_{m}}\;$ et $\;\color {transparent}{N_{(m+1)}}$, $\;\color {transparent}{m\in \mathbb {Z} }\;$ sont d'abscisses $\;\color {transparent}{x}\;$ telles que $\;{\dfrac {\pi }{2}}+m\,\pi <k\,x+\psi <{\dfrac {\pi }{2}}+(m+1)\,\pi \;$ d'où le « signe de $\;\cos(k\,x+\psi )\;$ selon la parité de $\;\vert m\vert \;$» :

• « si $\;\vert m\vert \;$est impair », $\;\cos(k\,x+\psi )\;$ est $\;>0$, l'« amplitude de vibration du point s'écrit alors $\;A\,\cos(k\,x+\psi )\;$» et
  « si $\;\color {transparent}{\vert m\vert }\;$est impair », $\;\color {transparent}{\cos(k\,x+\psi )}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, la « phase initiale étant $\;{\big (}$pour tous les points de cet intervalle${\big )}$ $\;\varphi \;$», les points de ce fuseau vibrent tous en phase ;
• « si $\;\vert m\vert \;$est pair ou nul », $\;\cos(k\,x+\psi )\;$ est $\;<0$, l'« amplitude de vibration du point s'écrit alors $\;-A\,\cos(k\,x+\psi )\;$» et
  « si $\;\color {transparent}{\vert m\vert }\;$est pair ou nul », $\;\color {transparent}{\cos(k\,x+\psi )}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, la « phase initiale étant $\;{\big (}$pour tous les points de cet intervalle${\big )}$ égale à $\;\varphi +\pi \;$» , les points de ce fuseau vibrent tous en phase.

À retenir

« Les points d'un même fuseau vibrent tous en phase ».

Établissement de la propriété d'opposition de phase des points de part et d'autre d'un même nœud

     Les points situés de part et d'autre du nœud $\;N_{m}$, $\;m\in \mathbb {Z} \;$, sont d'abscisses $\;x\;$ telles que $\left\lbrace {\begin{array}{c c l}x_{N_{m}}\!\!\!&<x<&\!\!\!x_{N_{(m+1)}}\\x_{N_{(m-1)}}\!\!\!&<x<&\!\!\!x_{N_{m}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ou, en explicitant les abscisses des nœuds,
     Les points situés de part et d'autre du nœud $\;\color {transparent}{N_{m}}$, $\;\color {transparent}{m\in \mathbb {Z} }\;$, sont d'abscisses $\;\color {transparent}{x}\;$ telles que $\left\lbrace {\begin{array}{c c c}-{\dfrac {\psi \,\lambda }{2\,\pi }}+{\dfrac {\lambda }{4}}+m\,{\dfrac {\lambda }{2}}\!\!\!&<x<&\!\!\!-{\dfrac {\psi \,\lambda }{2\,\pi }}+{\dfrac {\lambda }{4}}+(m+1)\,{\dfrac {\lambda }{2}}\\-{\dfrac {\psi \,\lambda }{2\,\pi }}+{\dfrac {\lambda }{4}}+(m-1)\,{\dfrac {\lambda }{2}}\!\!\!&<x<&\!\!\!-{\dfrac {\psi \,\lambda }{2\,\pi }}+{\dfrac {\lambda }{4}}+m\,{\dfrac {\lambda }{2}}\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ avec $\;k\,x+\psi ={\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\,x+\psi$,
     Les points situés de part et d'autre du nœud $\;\color {transparent}{N_{m}}$, $\;\color {transparent}{m\in \mathbb {Z} }\;$, sont d'abscisses $\;\color {transparent}{x}\;$ telles que $\left\lbrace {\begin{array}{c c c}{\dfrac {\pi }{2}}+m\,\pi \!\!\!&<k\,x+\psi <&\!\!\!{\dfrac {\pi }{2}}+(m+1)\,\pi \\{\dfrac {\pi }{2}}+(m-1)\,\pi \!\!\!&<k\,x+\psi <&\!\!\!{\dfrac {\pi }{2}}+m\,\pi \end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ « lors du passage du 1^er encadrement au 2^nd un changement de signe de $\;\cos(k\,x+\psi )$, le signe de ce derneir dépendant de la parité de $\;\vert m\vert \;$» :

• « si $\;\vert m\vert \;$est impair », les « points situés à droite du nœud $\;N_{m}\;$ étant tels que $\;A\,\cos(k\,x+\psi )\;$ est $\;>0$, vibrent en phase entre eux avec une phase initiale $\;\varphi \;$» et
  « si $\;\color {transparent}{\vert m\vert }\;$est impair », les « points situés à gauche du nœud $\;N_{m}\;$ étant tels que $\;A\,\cos(k\,x+\psi )\;$ est $\;<0$, vibrent en phase entre eux avec une phase initiale $\;\varphi +\pi \;$» soit
  « si $\;\color {transparent}{\vert m\vert }\;$est impair », les « points situés à gauche du nœud $\;\color {transparent}{N_{m}}\;$ étant tels que $\;\color {transparent}{A\,\cos(k\,x+\psi )}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}$, vibrent en opposition de phase avec les précédents ;
• « si $\;\vert m\vert \;$est pair ou nul », les « points situés à droite du nœud $\;N_{m}\;$ étant tels que $\;A\,\cos(k\,x+\psi )\;$ est $\;<0$, vibrent en phase entre eux avec une phase initiale $\;\varphi +\pi \;$» et
  « si $\;\color {transparent}{\vert m\vert }\;$est pair ou nul », les « points situés à gauche du nœud $\;N_{m}\;$ étant tels que $\;A\,\cos(k\,x+\psi )\;$ est $\;>0$, vibrent en phase entre eux avec une phase initiale $\;\varphi \;$» soit
  « si $\;\color {transparent}{\vert m\vert }\;$est pair ou nul », les « points situés à gauche du nœud $\;\color {transparent}{N_{m}}\;$ étant tels que $\;\color {transparent}{A\,\cos(k\,x+\psi )}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, vibrent en opposition de phase avec les précédents.

À retenir

« Les points des fuseaux mitoyens situés de part et d'autre d'un même nœud vibrent en opposition de phase ».

Interprétation par superposition d'une onde incidente progressive sinusoïdale émise par une extrémité et de l'onde réfléchie sur l'autre extrémité supposée fixe

Schéma explicatif pour traiter la superposition, sur une corde de Melde , d'une onde incidente progressive sinusoïdale émise par une extrémité et de l'onde réfléchie sur l'autre extrémité fixe

     On considère une onde incidente progressive sinusoïdale de fréquence $\;f\;$ et d'amplitude $\;a_{0}\;$ créée par le vibreur en $\;O$, correspondant à
     On considère une « élongation transversale $\;s_{i}(0,\,t)=$ $a_{0}\,\cos(\omega \,t+\varphi _{0})\;$» , se propageant dans le sens des $\;x\nearrow \;$ avec un « vecteur d'onde $\;{\vec {k}}_{i}=k\,{\vec {u}}_{x}\;$ où $\;k={\dfrac {\omega }{c}}={\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\;$ est la pulsation spatiale » $\;{\big (}c\;$ et $\;\lambda \;$ étant respectivement la célérité de propagation et la longueur d'onde de l'onde incidente${\big )}\;$ d'où
     On considère l'« expression de l'onde incidente au point $\;M\;$ d'abscisse $\;x\;$ et à l'instant $\;t$, $\;s_{i}(x,\,t)=s_{i}\!\left(0,\,t-{\dfrac {x}{c}}\right)=a_{0}\,\cos \!\left[\omega \left(t-{\dfrac {x}{c}}\right)+\varphi _{0}\right]=a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,x+\varphi _{0})\;$» ;

     arrivant en $\;P\;$ d'abscisse $\;L$, l'« onde incidente $\;s_{i}(L,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,L+\varphi _{0})\;$ n'étant pas identiquement nulle se réfléchit » de façon à ce que l'onde résultante en $\;P\;$ le soit c.-à-d.
     arrivant en $\;\color {transparent}{P}\;$ d'abscisse $\;\color {transparent}{L}$, « il se crée, en $\;P$, une perturbation réfléchie $\;s_{r}(L,\,t)=-s_{i}(L,\,t)=$ $-a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,L+\varphi _{0})\;$», perturbation qui se propage dans le sens des $\;x\searrow \;$ avec un « vecteur d'onde $\;{\vec {k}}_{r}=-k\,{\vec {u}}_{x}\;$ où $\;k\;$ est la même pulsation spatiale » ;
     arrivant en $\;\color {transparent}{P}\;$ d'abscisse $\;\color {transparent}{L}$, on en déduit l'« expression de l'onde réfléchie au point $\;M\;$ à l'instant $\;t$, $\;s_{r}(x,\,t)=s_{r}\!\left(P,\,t-{\dfrac {L-x}{c}}\right)\;$ soit encore
     arrivant en $\;\color {transparent}{P}\;$ d'abscisse $\;\color {transparent}{L}$, on en déduit l'« expression de l'onde réfléchie au point $\;\color {transparent}{M}\;$ à l'instant $\;\color {transparent}{t}$, $\;s_{r}(x,\,t)=-a_{0}\,\cos \!\left[\omega \left(t-{\dfrac {L-x}{c}}\right)-k\,L+\varphi _{0}\right]=-a_{0}\,\cos(\omega \,t+k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})\;$» ;

     l'« onde résultante en $\;M\;$ d'abscisse $\;x\;$ et à la date $\;t\;$ s'écrivant $\;s_{\text{tot}}(x,\,t)=s_{i}(x,\,t)+s_{r}(x,\,t)\;$», peut être obtenue par emploi des formules de trigonométrie,
     l'« onde résultante en $\;\color {transparent}{M}\;$ d'abscisse $\;\color {transparent}{x}\;$ et à la date $\;\color {transparent}{t}\;$ s'écrivant $\;\color {transparent}{s_{\text{tot}}(x,\,t)=s_{i}(x,\,t)+s_{r}(x,\,t)}\;$», peut être obtenue par construction d'un diagramme de Fresnel à l'instant $\;0\;$ ou
     l'« onde résultante en $\;\color {transparent}{M}\;$ d'abscisse $\;\color {transparent}{x}\;$ et à la date $\;\color {transparent}{t}\;$ s'écrivant $\;\color {transparent}{s_{\text{tot}}(x,\,t)=s_{i}(x,\,t)+s_{r}(x,\,t)}\;$», peut être obtenue par somme d'amplitudes complexes des grandeurs instantanées complexes .

Détermination de l'onde résultante par emploi des formules de trigonométrie

     L'« onde résultante en $\;M\;$ d'abscisse $\;x\;$ et à la date $\;t\;$ s'écrivant $\;s_{\text{tot}}(x,\,t)=s_{i}(x,\,t)+s_{r}(x,\,t)=a_{0}\left[\cos(\omega \,t-k\,x+\varphi _{0})-\cos(\omega \,t+k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})\right]\;$» se transforme en utilisant la formule de trigonométrie transformant une différence de cosinus en un produit de sinus «$\;\cos(p)-\cos(q)=-2\,\sin \!\left({\dfrac {p+q}{2}}\right)\sin \!\left({\dfrac {p-q}{2}}\right)\;$» selon
     L'« onde résultante en $\;\color {transparent}{M}\;$ d'abscisse $\;\color {transparent}{x}\;$ et à la date $\;\color {transparent}{t}\;$ s'écrivant $s_{\text{tot}}(x,\,t)=-2\,a_{0}\,\sin(\omega \,t-k\,L+\varphi _{0})\,\sin(-k\,x+k\,L)\;$ et
     finalement l'expression de l'onde résultante en $\;M\;$ d'abscisse $\;x\;$ et à la date $\;t\;$ peut être réécrite sous forme d'une onde stationnaire selon

«$\;s_{\text{tot}}(x,\,t)=2\,a_{0}\,\sin(\omega \,t-k\,L+\varphi _{0})\,\sin(k\,x-k\,L)\;$»  ;

     on reconnaît une onde stationnaire sinusoïdale «$\;s_{\text{tot}}(x,\,t)=A\,\cos(\omega \,t+\varphi )\,\cos(k\,x+\psi )\;$» et on peut préciser les trois constantes $\;A$, $\;\varphi \;$ et $\;\psi \;$ en utilisant la « formule de trigonométrie $\;\sin(\theta )=$ $\cos \!\left(\theta -{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;$» $\Rightarrow$ la réécriture du signal résultant selon «$\;s_{\text{tot}}(x,\,t)=2\,a_{0}\,\cos \!\left(\omega \,t-k\,L+\varphi _{0}-{\dfrac {\pi }{2}}\right)\cos \!\left(k\,x-k\,L-{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;$» s'identifiant effectivement à

«$\;s_{\text{tot}}(x,\,t)=A\,\cos(\omega \,t+\varphi )\,\cos(k\,x+\psi )\;$»
avec «$\;A=2\,a_{0}\;$»,                      
                                                «$\;\varphi =-k\,L+\varphi _{0}-{\dfrac {\pi }{2}}\;$» $\;{\big (}$indépendant de $\;x{\big )}\;$ et
                                 «$\;\psi =-k\,L-{\dfrac {\pi }{2}}\;$» $\;{\big (}$indépendant de $\;t{\big )}$.

Détermination de l'onde résultante par utilisation des amplitudes complexes associées aux grandeurs instantanées complexes

     À l'« onde incidente progressive sinusoïdale $\;s_{i}(x,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,x+\varphi _{0})\;$» on associe la « grandeur instantanée complexe incidente $\;{\underline {s_{i}}}(x,\,t)=a_{0}\,\exp \!\left[i\,(-k\,x+\varphi _{0})\right]\,\exp \!\left(i\,\omega \,t\right)\;$
     À l'« onde incidente progressive sinusoïdale $\;\color {transparent}{s_{i}(x,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,x+\varphi _{0})}\;$» on associe la « grandeur instantanée complexe incidente $\;\color {transparent}{{\underline {s_{i}}}(x,\,t)}$ $={\underline {{\mathcal {A}}_{i}}}(x)\,\exp \!\left(i\,\omega \,t\right)\;$» avec
     À l'« onde incidente progressive sinusoïdale $\;\color {transparent}{s_{i}(x,\,t)=a_{0}\,\cos(\omega \,t-k\,x+\varphi _{0})}\;$» on associe l'« amplitude complexe incidente $\;{\underline {{\mathcal {A}}_{i}}}(x)\;$ égale à $\;{\underline {{\mathcal {A}}_{i}}}(x)=a_{0}\,\exp \!\left[i\,(-k\,x+\varphi _{0})\right]\;$» ; de même

     à l'« onde réfléchie $\;s_{r}(x,\,t)=-a_{0}\,\cos(\omega \,t+k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})\;$» on associe la « grandeur instantanée complexe réfléchie $\;{\underline {s_{r}}}(x,\,t)=-a_{0}\,\exp \!\left[i\,(k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})\right]\,\exp \!\left(i\,\omega \,t\right)\;$
     à l'« onde réfléchie $\;\color {transparent}{s_{r}(x,\,t)=-a_{0}\,\cos(\omega \,t+k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})}\;$» on associe la « grandeur instantanée complexe réfléchie $\;\color {transparent}{{\underline {s_{r}}}(x,\,t)}$ $={\underline {{\mathcal {A}}_{r}}}(x)\,\exp \!\left(i\,\omega \,t\right)\;$» avec
     à l'« onde réfléchie $\;\color {transparent}{s_{r}(x,\,t)=-a_{0}\,\cos(\omega \,t+k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})}\;$» on associe l'« amplitude complexe réfléchie $\;{\underline {{\mathcal {A}}_{r}}}(x)\;$ égale à $\;{\underline {{\mathcal {A}}_{r}}}(x)=-a_{0}\,\exp \!\left[i\,(k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})\right]\;$» ;

     à l'« onde résultante $\;s_{\text{tot}}(x,\,t)=s_{i}(x,\,t)+s_{r}(x,\,t)\;$» on associe la « grandeur instantanée complexe $\;{\underline {s_{\text{tot}}}}(x,\,t)={\underline {s_{i}}}(x,\,t)+{\underline {s_{r}}}(x,\,t)={\underline {{\mathcal {A}}_{i}}}(x)\,\exp \!\left(i\,\omega \,t\right)+{\underline {{\mathcal {A}}_{r}}}(x)\,\exp \!\left(i\,\omega \,t\right)$
     à l'« onde résultante $\;\color {transparent}{s_{\text{tot}}(x,\,t)=s_{i}(x,\,t)+s_{r}(x,\,t)}\;$» on associe la « grandeur instantanée complexe $\;\color {transparent}{{\underline {s_{\text{tot}}}}(x,\,t)}$ $=\left[{\underline {{\mathcal {A}}_{i}}}(x)+{\underline {{\mathcal {A}}_{r}}}(x)\right]\,\exp \!\left(i\,\omega \,t\right)={\underline {{\mathcal {A}}_{\text{tot}}}}(x)\,\exp \!\left(i\,\omega \,t\right)\;$» avec
     à l'« onde résultante $\;\color {transparent}{s_{\text{tot}}(x,\,t)=s_{i}(x,\,t)+s_{r}(x,\,t)}\;$» on associe l'« amplitude complexe résultante $\;{\underline {{\mathcal {A}}_{\text{tot}}}}(x)={\underline {{\mathcal {A}}_{i}}}(x)+{\underline {{\mathcal {A}}_{r}}}(x)=a_{0}\,\exp \!\left[i\,(-k\,x+\varphi _{0})\right]-a_{0}\,\exp \!\left[i\,(k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0})\right]\;$»
     à l'« onde résultante $\;\color {transparent}{s_{\text{tot}}(x,\,t)=s_{i}(x,\,t)+s_{r}(x,\,t)}\;$» on associe l'« amplitude complexe résultante $\;\color {transparent}{{\underline {{\mathcal {A}}_{\text{tot}}}}(x)}$ $=a_{0}\,\exp \!\left[i\,(-k\,L+\varphi _{0})\right]\,\left\lbrace \exp \!\left[i\,(-k\,x+k\,L)\right]-\exp \!\left[i\,(k\,x-k\,L)\right]\right\rbrace \;$ ou
     à l'« onde résultante $\;\color {transparent}{s_{\text{tot}}(x,\,t)=s_{i}(x,\,t)+s_{r}(x,\,t)}\;$» on associe l'« amplitude complexe résultante $\;\color {transparent}{{\underline {{\mathcal {A}}_{\text{tot}}}}(x)}$ $=a_{0}\,\exp \!\left[i\,(-k\,L+\varphi _{0})\right]\;\left[2\;i\;\sin \!\left(-k\,x+k\,L\right)\right]\;$» en transformant la somme des termes entre crochets par utilisation de la « formule d'Euler relative au sinus »  d'où finalement
     à l'« onde résultante $\;\color {transparent}{s_{\text{tot}}(x,\,t)=s_{i}(x,\,t)+s_{r}(x,\,t)}\;$» on associe l'« amplitude complexe résultante $\;{\underline {{\mathcal {A}}_{\text{tot}}}}(x)=2\,a_{0}\,\exp \!\left[i\left(-k\,L+\varphi _{0}-{\dfrac {\pi }{2}}\right)\right]\,\sin \!\left[k\,(x-L)\right]\;$» $\Rightarrow$ la réécriture de

     à l'« onde résultante $\;\color {transparent}{s_{\text{tot}}(x,\,t)=s_{i}(x,\,t)+s_{r}(x,\,t)}\;$» on associe la « grandeur instantanée complexe résultante $\;{\underline {s_{\text{tot}}}}(x,\,t)={\underline {{\mathcal {A}}_{\text{tot}}}}(x)\,\exp \!\left(i\,\omega \,t\right)$
     à l'« onde résultante $\;\color {transparent}{s_{\text{tot}}(x,\,t)=s_{i}(x,\,t)+s_{r}(x,\,t)}\;$» on associe la « grandeur instantanée complexe résultante $\;\color {transparent}{{\underline {s_{\text{tot}}}}(x,\,t)}$ $=2\,a_{0}\,\sin \!\left[k\,(x-L)\right]\,\exp \!\left[i\left(\omega \,t-k\,L+\varphi _{0}-{\dfrac {\pi }{2}}\right)\right]\;$» d'où
     à l'« onde résultante $\;\color {transparent}{s_{\text{tot}}(x,\,t)=s_{i}(x,\,t)+s_{r}(x,\,t)}\;$» on associe l'« onde résultante $\;s_{\text{tot}}(x,\,t)=\Re {\left[{\underline {s_{\text{tot}}}}(x,\,t)\right]}=2\,a_{0}\,\sin \!\left[k\,(x-L)\right]\,\cos \!\left(\omega \,t-k\,L+\varphi _{0}-{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;$» qui peut être réécrite
     à l'« onde résultante $\;\color {transparent}{s_{\text{tot}}(x,\,t)=s_{i}(x,\,t)+s_{r}(x,\,t)}\;$» on associe l'onde résultante «$\;s_{\text{tot}}(x,\,t)=2\,a_{0}\,\sin \!\left[k\,(x-L)\right]\,\sin(\omega \,t-k\,L+\varphi _{0})\;$» .

Détermination de l'onde résultante par diagramme de Fresnel

Diagramme de Fresnel résolvant la superposition , sur une corde de Melde , d'une onde incidente progressive sinusoïdale émise par une extrémité et de l'onde réfléchie sur l'autre extrémité fixe

     On représente le « vecteur de Fresnel associé à l'onde incidente au point $\;M\;$ et à l'instant $\;0\;$ $\;{\vec {S_{i}}}(0)\;$» de norme $\;a_{0}\;$ et faisant l'angle $\;\varphi _{i}=-k\,x+\varphi _{0}\;$ avec l'axe de référence $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ ${\big (}$voir ci-contre${\big )}\;$ et
     On représente le « vecteur de Fresnel associé à l'onde réfléchie au point $\;M\;$ et à l'instant $\;0\;$ $\;{\vec {S_{r}}}(0)\;$» de norme $\;a_{0}$, faisant l'angle $\;\varphi _{r}=k\,x-2\,k\,L+\varphi _{0}+\pi \;$ avec le même axe de référence $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ ${\big (}$voir ci-contre${\big )}$ ;

     construisant la somme de ces deux vecteurs de Fresnel par « règle du parallélogramme » on obtient le « vecteur de Fresnel au point $\;M\;$ et à l'instant $\;0\;$ associé à l'onde résultante, $\;{\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(0)\;$» $\;{\bigg [}\!\neq {\vec {0}}\;$ si la détermination $\;{\big (}$principale${\big )}\;$ de $\;\vert \varphi _{r}-\varphi _{i}\vert \neq \pi \;$ $\Leftrightarrow$ la détermination $\;{\big (}$principale${\big )}\;$ de $\;\alpha _{\text{tot}}=\left\vert {\dfrac {\varphi _{r}-\varphi _{i}}{2}}\right\vert \neq {\dfrac {\pi }{2}}{\bigg ]}$ :

• faisant l'angle «$\;\varphi _{\text{tot}}={\dfrac {\varphi _{i}+\varphi _{r}}{2}}\;$ avec $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ si la détermination $\;{\big (}$principale${\big )}\;$ de $\;\alpha _{\text{tot}}=\left\vert {\dfrac {\varphi _{r}-\varphi _{i}}{2}}\right\vert \;$ est aigüe $\;{\big (}$voir ci-contre${\big )}\;$ » et
  faisant l'angle «$\;\varphi _{\text{tot}}={\dfrac {\varphi _{i}+\varphi _{r}}{2}}\pm \pi \;$ avec $\;{\overrightarrow {Ox}}\;$ si la détermination $\;{\big (}$principale${\big )}\;$ de $\;\alpha _{\text{tot}}=\left\vert {\dfrac {\varphi _{r}-\varphi _{i}}{2}}\right\vert \;$ est obtuse » ,
• la norme se déterminant par $\;\left\Vert {\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(0)\right\Vert =\left\lbrace {\begin{array}{l}2\,a_{0}\,\cos \!\left({\dfrac {\varphi _{r}-\varphi _{i}}{2}}\right)\qquad \,{\text{si}}\;\alpha _{\text{tot}}\;{\text{est aigu (cas de la figure)}}\\2\,a_{0}\,\cos \!\left(\pi -{\dfrac {\varphi _{r}-\varphi _{i}}{2}}\right)\;{\text{si}}\;\alpha _{\text{tot}}\;{\text{est obtus (non représenté)}}\end{array}}\right\rbrace \;$ soit finalement «$\;\left\Vert {\overrightarrow {S_{\text{tot}}}}(0)\right\Vert =2\,a_{0}\left\vert \cos \!\left({\dfrac {\varphi _{r}-\varphi _{i}}{2}}\right)\right\vert \;$» ;

     dans les deux cas considérés le signal résultant peut être écrit «$\;s_{\text{tot}}(x,\,t)=2\,a_{0}\,\cos \!\left({\dfrac {\varphi _{r}-\varphi _{i}}{2}}\right)\,\cos \!\left(\omega \,t+{\dfrac {\varphi _{i}+\varphi _{r}}{2}}\right)\;$» ou, en remplaçant $\;\varphi _{i}\;$ et $\;\varphi _{r}\;$ par leurs expressions
     dans les deux cas considérés le signal résultant peut être écrit «$\;s_{\text{tot}}(x,\,t)=2\,a_{0}\,\cos \!\left(k\,x-k\,L+{\dfrac {\pi }{2}}\right)\cos \!\left(\omega \,t-k\,L+\varphi _{0}+{\dfrac {\pi }{2}}\right)\;$» .

Conditions de résonance de l'onde stationnaire sinusoïdale, modes propres associés, lien entre fréquences propres, célérité et longueur de la corde

Observation du phénomène de résonance sur une corde de Melde de tension et de longueur fixées lorsqu'on fait varier la fréquence de la vibration imposée

     Dans la mesure où le point de contact de la corde avec la poulie peut être considéré comme fixe, la « tension de la corde $\;T\;$ est égale au poids de l'objet de masse $\;m\;$ suspendu à la corde » ou encore «$\;T=m\,g\;$» : par exemple une masse $\;m=100\,g=0,100\,kg\;$ avec $\;g=9,81\,m\!\cdot \!s^{-2}\;$ correspond à une « tension $\;T=0,981\,N\;$» ;
     si on utilise une corde de masse linéique $\;\mu \;$ $\;{\big (}$par exemple une corde en nylon $\;\mu =1,0\,g\!\cdot \!m^{-1}=1,0\;10^{-3}\,kg\!\cdot \!m^{-1}{\big )}$, on démontre que la célérité de propagation des ondes sur cette corde ne dépend que de la masse linéique et de la tension de la corde selon «$\;c={\sqrt {\dfrac {T}{\mu }}}\;$» et ainsi, pour une tension de corde fixée, la célérité l'est aussi :
     avec les valeurs précédentes on trouve «$\;c={\sqrt {\dfrac {0,981}{1,0\;10^{-3}}}}\simeq 31,3\,m\!\cdot \!s^{-1}\;$».

Vibrations d'une corde de Melde dans ses modes propres associés à ses fréquences propres

     Réglant une longueur de corde $\;L\;$ entre le vibreur et la poulie, par exemple $\;L=1,00\;m$, et faisant croître la fréquence de vibration, on observe successivement :

• à partir de $\;10\,Hz\;$ des ondes stationnaires sinusoïdales à un fuseau avec une « amplitude au ventre qui devient maximale »  pour «$\;f_{1}\simeq 15,5\,Hz\;$» puis qui $\;\searrow \;$ avec « estompage » du phénomène d'ondes stationnaires ;
• aux alentours de $\;25\,Hz\;$ un nouveau système d'ondes stationnaires sinusoïdales à deux fuseaux s'installe avec une « amplitude au ventre qui devient maximale » pour «$\;f_{2}\simeq 31,0\,Hz\;$» puis qui $\;\searrow \;$ avec « évaporation » du phénomène d'ondes stationnaires ;
• aux alentours de $\;40\,Hz\;$ de nouveau un système d'ondes stationnaires sinusoïdales mais à trois fuseaux apparaît avec une « amplitude au ventre qui devient maximale » pour «$\;f_{3}\simeq 46,5\,Hz\;$» puis qui $\;\searrow \;$ avec « assèchement » du phénomène d'ondes stationnaires ;
• aux alentours de $\;55\,Hz\;$ un nouveau système d'ondes stationnaires sinusoïdales à quatre fuseaux se révèle avec une « amplitude au ventre qui devient maximale » pour «$\;f_{4}\simeq 62,0\,Hz\;$» puis qui $\;\searrow \;$ avec « tarissement » du phénomène d'ondes stationnaires ;
• etc $\ldots$ on observe ainsi l'apparition d'un phénomène de résonance des ondes stationnaires sinusoïdales à un nombre de plus en plus grand de fuseaux pour des fréquences de plus en plus grandes par exemple une résonance des ondes stationnaires sinusoïdales à $\;n\;$ fuseaux avec $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ pour une fréquence «$\;f_{n}\simeq n\times 15,5\,Hz\;$» ;

     toutes ces fréquences correspondent aux « fréquences propres »  de vibration de la corde, la forme correspondante de cette dernière pour une fréquence propre donnée définissant le « mode propre » de vibration associé à cette fréquence propre .

Interprétation du phénomène de résonance sur une corde de Melde de tension et de longueur fixées pour des fréquences particulières

     $\succ \;$Le vibreur crée une onde progressive sinusoïdale « incidente » $\;(i)\;$ se propageant dans le sens des $\;x\nearrow$, qui se réfléchit sur la poulie engendrant
     $\color {transparent}{\succ }\;$Le vibreur crée une onde progressive sinusoïdale « réfléchie » $\;(r)\;$ se propageant dans le sens des $\;x\searrow \;$, onde réfléchie considérée de même amplitude que l'onde incidente ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$la superposition de ces deux ondes $\;(i)\;$ et $\;(r)\;$ ${\big [}$à l'exclusion de toutes autres${\big ]}\;$ donne un système d'ondes stationnaires sinusoïdales $\;(a)\;$ dont l'amplitude de vibration aux ventres est$\;2\,a_{0}\;$ avec $\;a_{0}\;$ amplitude de vibration du vibreur  ;

     $\color {transparent}{\succ }\;$s'il n'y avait que ces deux ondes il serait impossible d'expliquer le phénomène de résonance du système d'ondes stationnaires sinusoïdales mais, en pratique, les réflexions se poursuivant à chaque extrémité , il y a théoriquement un nombre infini d'ondes se superposant $\;{\big (}$chaque onde étant supposée de même amplitude $\;a_{0}\;$${\big )}\;\ldots$

     $\succ \;$Avec une 1^ère réflexion sur le vibreur et une 2^nde sur la poulie : l'onde « réfléchie » sur la poulie $\;(r)\;$ se réfléchit en arrivant sur le vibreur donnant une onde progressive sinusoïdale « réfléchie » $\;(r')\;$ se propageant dans le sens des $\;x\nearrow \;$, déphasée par rapport à l'onde « incidente » $\;(i)\;$ de la quantité «$\;\varphi _{(r')}-\varphi _{(i)}=-k\,2\,L+2\,\pi \;$» ,
     $\color {transparent}{\succ }\;$Avec une 1^ère réflexion sur le vibreur et une 2^nde sur la poulie : cette dernière onde $\;(r')\;$ se réfléchissant à son tour sur la poulie en une onde $\;(r'')\;$ se propageant dans le sens des $\;x\searrow \;$, déphasée par rapport à $\;(r)\;$ ${\big [}$la 1^ère onde réfléchie sur la poulie${\big ]}\;$ de «$\;\varphi _{(r'')}-\varphi _{(r)}=-k\,2\,L+2\,\pi \;$»  ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$Avec une 1^ère réflexion sur le vibreur et une 2^nde sur la poulie : la superposition de ces deux ondes $\;(r')\;$ et $\;(r'')\;$ donne un nouveau système d'ondes stationnaires sinusoïdales$\;(b)\;$dont l'amplitude de vibration aux ventres est$\;2\,a_{0}\;$ ${\big (}$en absence d'amortissement${\big )}\;$ avec $\;a_{0}\;$ amplitude de vibration du vibreur mais,

     $\color {transparent}{\succ }\;$Avec une 1^ère réflexion sur le vibreur et une 2^nde sur la poulie : le système d'ondes stationnaires sinusoïdales $\;(b)\;$ étant « déphasé relativement au précédent de $\;\varphi _{(b)}-\varphi _{(a)}=-k\,2\,L+2\,\pi \;$» , la superposition de ces deux systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales$\;(a)\;$ et $\;(b)$, bien que correspondant aux « mêmes positions de ventres et de nœuds » , ne donne des interférences constructives que pour des valeurs particulières du déphasage$\;\varphi _{(b)}-\varphi _{(a)}=-k\,2\,L+2\,\pi$ $\;{\big (}$c.-à-d. pour des valeurs particulières de fréquence du vibreur${\big )}\;$ puis

     $\succ \;$avec une 2^ème réflexion sur le vibreur et une 3^ème sur la poulie, la 2^nde onde « réfléchie » sur la poulie $\;(r'')\;$ se réfléchit en arrivant sur le vibreur donnant une onde progressive sinusoïdale « réfléchie » $\;(r''')\;$ se propageant dans le sens des $\;x\nearrow \;$, déphasée par rapport à l'onde « incidente » $\;(i)\;$ de la quantité «$\;\varphi _{(r''')}-\varphi _{(i)}=-k\,4\,L+4\,\pi \;$» ,
     $\color {transparent}{\succ }\;$avec une 2^ème réflexion sur le vibreur et une 3^ème sur la poulie, cette dernière onde $\;(r''')\;$ se réfléchissant à son tour sur la poulie en une onde $\;(r^{IV})\;$ se propageant dans le sens des $\;x\searrow \;$, déphasée par rapport à $\;(r)\;$ ${\big [}$la 1^ère onde réfléchie sur la poulie${\big ]}\;$ de «$\;\varphi _{(r^{IV})}-\varphi _{(r)}=-k\,4\,L+4\,\pi \;$»  ;
     $\color {transparent}{\succ }\;$avec une 2^ème réflexion sur le vibreur et une 3^ème sur la poulie, la superposition de ces deux ondes $\;(r''')\;$ et $\;(r^{IV})\;$ donne un nouveau système d'ondes stationnaires sinusoïdales$\;(c)\;$dont l'amplitude de vibration aux ventres est$\;2\,a_{0}\;$ ${\big (}$en absence d'amortissement${\big )}\;$ avec $\;a_{0}\;$ amplitude de vibration du vibreur mais,

     $\color {transparent}{\succ }\;$avec une 2^ème réflexion sur le vibreur et une 3^ème sur la poulie, le système d'ondes stationnaires sinusoïdales $\;(c)\;$ « déphasé par rapport aux précédents de $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\varphi _{(c)}-\varphi _{(a)}=-k\,4\,L+4\,\pi \\{\text{et}}\\\varphi _{(c)}-\varphi _{(b)}=-k\,2\,L+2\,\pi \end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ la superposition de ces trois systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales$\;(a)$, $\;(b)\;$ et $\;(c)$, bien que correspondant aux « mêmes positions de ventres et de nœuds » , ne donne des interférences deux à deux constructives que pour des valeurs particulières des déphasages$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\varphi _{(c)}-\varphi _{(a)}=-k\,4\,L+4\,\pi \\{\text{et}}\\\varphi _{(c)}-\varphi _{(b)}=-k\,2\,L+2\,\pi \end{array}}\right\rbrace$ $\;{\big (}$c.-à-d. pour des valeurs particulières de fréquence du vibreur${\big )}\;$ et

     $\succ \;$ainsi de suite $\ldots$ $\Rightarrow$ à l'exception de valeurs particulières de la fréquence du vibreur, on observe des ondes stationnaires sinusoïdales d'amplitude aux ventres modérée mais

     $\color {transparent}{\succ }\;$ainsi de suite $\color {transparent}{\ldots }$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ pour ces valeurs particulières de fréquence du vibreur telles que les interférences entre les divers systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales sont deux à deux constructives , les amplitudes de vibration en un point donné s'ajoutent, donnant une amplitude de vibration aux ventres « très grande »  d'où un phénomène de résonance.

Conditions de résonance (c.-à-d. conditions d'interférences constructives des divers systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales)

     Un point $\;M\;$ de la corde vibrant selon le 1^er système d'ondes stationnaires sinusoïdales $\;(a)\;$ avec «$\;\varphi _{(a)}=\varphi _{0}-k\,L\;$» comme phase initiale,
     Un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de la corde vibrant selon le 2^nd système d'ondes stationnaires sinusoïdales $\;(b)\;$ avec «$\;\varphi _{(b)}=\varphi _{0}-3\,k\,L+2\,\pi \;$» comme phase initiale,
     Un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de la corde vibrant $\ldots$,
     Un point $\;\color {transparent}{M}\;$ de la corde vibrant selon le p^ème système d'ondes stationnaires sinusoïdales $\;(p)\;$ avec «$\;\varphi _{(p)}=\varphi _{0}-(2\,p+1)\,k\,L+2\,p\,\pi \;$» comme phase initiale,

     on observera des interférences deux à deux constructives entre ces divers systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales
     on observera des interférences deux à deux constructives si le déphasage « mathématique » entre eux est un multiple de $\;2\,\pi \;$ quel que soit le choix des systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales,
     on observera des interférences deux à deux constructives si le déphasage « mathématique » entre eux est un multiple de $\;\color {transparent}{2\,\pi }\;$ et, en choisissant les deux 1^ers systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales,
     on observera des interférences deux à deux constructives si «$\;\varphi _{(a)}-\varphi _{(b)}=2\,k\,L-2\,\pi \equiv 0\!\!{\pmod {2\,\pi }}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;2\,k\,L\equiv 0\!\!{\pmod {2\,\pi }}\;$» ou encore, avec «$\;k={\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}\;$»,
     on observera des interférences deux à deux constructives si «$\;2\,L\equiv 0\!\!{\pmod {\lambda }}\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;2\,L=n\,\lambda ,\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» $\;{\big (}$c.-à-d. si la différence de marche est un multiple de $\;\lambda {\big )}$ soit enfin,
     on observera des interférences deux à deux constructives si «$\;\color {transparent}{2\,L\equiv 0\!\!{\pmod {\lambda }}}\;$» $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;L=n\,{\dfrac {\lambda }{2}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» ;

     on observera des interférences deux à deux constructives remarque : si on écrit la condition d'interférences constructives entre les systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales $\;(a)\;$ et $\;(p)\;$ soit
     on observera des interférences deux à deux constructives remarque : si on écrit la condition d'interférences constructives «$\;\varphi _{(a)}-\varphi _{(p)}=2\,p\,k\,L-2\,p\,\pi \equiv 0\!\!{\pmod {2\,\pi }}\;$» , on constate,
     on observera des interférences deux à deux constructives remarque : si on écrit la condition d'interférences constructives avec «$\;\varphi _{(a)}-\varphi _{(p)}=p\,\left\lbrace \varphi _{(a)}-\varphi _{(b)}\right\rbrace \;$», que
     on observera des interférences deux à deux constructives remarque : si on écrit la condition d'interférences constructives entre les systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales $\;(a)\;$ et $\;(p)\;$ est réalisée si
  on observera des interférences deux à deux constructives remarque : si on écrit la condition d'interférences construct. celle entre les systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales $\;(a)\;$ et $\;(b)\;$ l'est ;

     on observera des interférences deux à deux constructives finalement la condition d'interférences constructives entre les divers systèmes d'ondes stationnaires sinusoïdales s'écrit
     on observera des interférences deux à deux constructives finalement la condition d'interférences constructives «$\;L=n\,{\dfrac {\lambda }{2}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$», ce que l'on interprète de la façon suivante :

Conditions de résonance

     À la résonance, « l'amplitude aux ventres étant très grande devant l'amplitude de la vibration incidente créée par le vibreur en $\;O\;$»,
     À la résonance, on peut négliger cette dernière, ce qui revient à considérer le point $\;O\;$ comme un nœud et
     À la résonance, la « longueur de la corde est un multiple de la distance séparant deux nœuds consécutifs c.-à-d. de $\;{\dfrac {\lambda }{2}}\;$» soit mathématiquement «$\;L=n\,{\dfrac {\lambda }{2}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$».

     Les « longueurs d'onde pour lesquelles il y a résonance sont donc liées à la longueur de la corde selon $\;\lambda _{n}={\dfrac {2\,L}{n}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» $\;{\big (}$ce qui définit les longueurs d'onde de résonance${\big )}\;$ et celles-ci étant liées à la fréquence selon «$\;\lambda ={\dfrac {c}{f}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;f={\dfrac {c}{\lambda }}\;$», on en déduit
     les « fréquences de vibration pour lesquelles il y a résonance $\;f_{n}={\dfrac {c}{\lambda _{n}}}={\dfrac {c}{\dfrac {2\,L}{n}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» soit des « fréquences de résonance égales à $\;f_{n}=n\,{\dfrac {c}{2\,L}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» correspondant encore aux « fréquences propres de vibration de la corde  » ;

     ces « fréquences de résonance sont donc un multiple de la fréquence de résonance “ fondamentale ” $\;f_{1}={\dfrac {c}{2\,L}}\;$» $\;{\big (}$correspondant encore à la fréquence propre « fondamentale » ${\big )}$ $\;{\bigg \{}$dans l'expérience du paragraphe « observation du phénomène de résonance sur une corde de Melde de tension et de longueur fixées lorsqu'on fait varier la fréquence de la vibration imposée » plus haut dans ce chapitre, $\;f_{1}=$ ${\dfrac {c}{2\,L}}\simeq {\dfrac {31,3}{2\times 1,00}}=15,65\,Hz\simeq 15,7\,Hz{\bigg \}}\;$ à laquelle est associé le mode propre « fondamental » de la corde $\;{\big (}$mode à un fuseau${\big )}$,
     ces « fréquences de résonance la « fréquence de résonance $\;f_{n}=n\,f_{1}\;$» $\;{\big (}$correspondant aussi à une fréquence propre ${\big )}\;$ étant associé au « mode propre de la corde à $\;n\;$ fuseaux » $\;{\big \{}$dans l'expérience du paragraphe « observation du phénomène de résonance sur une corde de Melde de tension et de longueur fixées lorsqu'on fait varier la fréquence de la vibration imposée » plus haut dans ce chapitre, on trouve $\;f_{n}\simeq n\;15,65\,Hz$, soit $\;f_{2}\simeq 31,3\,Hz$, $\;f_{3}\simeq 47,0\,Hz$, $\;f_{4}\simeq 62,6\;Hz$ $\;\ldots {\big \}}$.

Caractérisation d'une résonance par quantification de la fréquence

     Dans l'étude de résonance des ondes stationnaires sinusoïdales le long de la corde de Melde , on impose une excitation de fréquence variable et
         Dans l'étude de résonance des ondes stationnaires sinusoïdales le long de la corde de Melde, on regarde la réponse de la corde de Melde , de tension et de longueur fixées, à cette excitation,
         Dans l'étude de résonance des ondes stationnaires sinusoïdales le long de la corde de Melde, on regarde la réponse sous forme d'ondes stationnaires sinusoïdales de même fréquence que l'excitation ;
     Dans l'étude de résonance la réponse de la corde « entre en résonance » pour des fréquences excitatrices « quantifiées », les fréquences de résonance$\;f_{r}\;$multiples d'une fréquence$\;f_{1}$,
     Dans l'étude de résonance la réponse de la corde « entre en résonance » pour $f_{1}\;$caractéristique de la corde est appelée fréquence propre « fondamentale » et égale à $\;f_{1}={\dfrac {c}{2\,L}}$,
     Dans l'étude de résonance la réponse de la corde « entre en résonance » pour cette dernière dépendant uniquement de la célérité de propagation le long de la corde et de sa longueur ;
     Dans l'étude de résonance les fréquences de résonance sont donc égales à $\;f_{r,\,n}=n\,f_{1},\;n\in \mathbb {N} ^{*}$, la n^ème valeur définissant la fréquence propre « de rang$\;n\;$» .

Notion de fréquences propres d'un milieu

     La réponse d'un milieu à une excitation entre en résonance à des fréquences excitatrices quantifiées, toutes
     La réponse d'un milieu à une excitation entre en résonance à des fréquences multiples d'une même valeur « le quantum » ;
     La réponse d'un milieu à une excitation la fréquence la plus faible définit la « fréquence propre fondamentale du milieu »,
     La réponse d'un milieu à une excitation les fréquences multiples définissant les autres « fréquences propres de rang$\;n\;$ du milieu »,
     La réponse d'un milieu à une excitation toutes caractéristiques des dimensions et des propriétés du milieu sont qualifiées de propres.

Décomposition en modes propres d'une vibration le long d'une corde fixée aux deux extrémités, application aux instruments de musique à cordes

     Nous considérons maintenant une corde tendue entre ses deux extrémités maintenues « fixes »  et
     Nous créons une « perturbation de courte durée »  $\;{\big (}$par exemple au milieu de la corde${\big )}$ ;

     nous admettrons que cette perturbation quelconque initie des ondes progressives sinusoïdales de « fréquence quelconque » ,
     nous admettrons que chaque onde progressive initiée à une fréquence quelconque se propage vers une des extrémités fixes de la corde, s'y réfléchit pour donner une 1^ère onde réfléchie se propageant dans l'autre sens , laquelle se réfléchit à son tour sur l'autre extrémité fixe pour donner une onde réfléchie se propageant dans le sens initial etc $\ldots$
     nous admettrons que la superposition de ces ondes progressives synchrones de fréquence quelconque, de même amplitude , se propageant dans les deux sens, façonne des ondes stationnaires sinusoïdales de « fréquence quelconque » ;
     nous admettrons que parmi toutes ces ondes stationnaires sinusoïdales de « fréquence quelconque », seules celles respectant les C.A.L. de nœuds d'élongation aux extrémités vont subsister $\ldots$

Recherche des ondes stationnaires libres, notion de fréquences propres et de modes propres

     Seules les ondes stationnaires sinusoïdales satisfaisant aux C.A.L. de nœuds d'élongation vont subsister, c.-à-d. « seules les longueurs d'onde $\;\lambda _{n}\;$ telles que $\;L=n\,{\dfrac {\lambda _{n}}{2}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ persisteront » ou
         Seules les ondes stationnaires sinusoïdales satisfaisant aux C.A.L. de nœuds d'élongation vont subsister, c.-à-d. « seules les longueurs d'onde «$\;\lambda _{n}={\dfrac {2\,L}{n}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$»
           Seules les ondes stationnaires sinusoïdales satisfaisant aux C.A.L. de nœuds d'élongation vont subsister, ce qui correspond aux « fréquences $\;f_{n}\;$ liées aux longueurs d'onde par $\;\lambda _{n}={\dfrac {c}{f_{n}}}\;$» soit
         Seules les ondes stationnaires sinusoïdales satisfaisant aux C.A.L. de nœuds d'élongation vont subsister, ce qui correspond aux « fréquences «$\;f_{n}=n\,{\dfrac {c}{2\,L}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» définissant les « fréquences propres de la corde fixée à ses deux extrémités », «$\;f_{1}={\dfrac {c}{2\,L}}\;$ étant la fréquence propre fondamentale », «$\;f_{n}=n\,f_{1},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ la fréquence propre de rang$\;n\;$» ;
           Seules les ondes stationnaires sinusoïdales satisfaisant aux C.A.L. de nœuds d'élongation vont subsister, le « mode de vibration »  de la corde pour une fréquence propre fixée est appelé « mode propre » et le mode propre associé à la fréquence propre de rang$\;n\;$ correspond à la présence de «$\;n\;$fuseaux».

     Remarque : Nous avons obtenu la condition de quantification sur les fréquences propres en écrivant que la longueur de la corde est un multiple de $\;{\dfrac {\lambda }{2}}$, cette dernière étant la longueur d'un fuseau, nous nous proposons de retrouver cette condition à partir de la définition d'une onde stationnaire sinusoïdale en écrivant que les deux extrémités doivent être fixes :

     Remarque : Appelant $\;B\;$ l'extrémité de gauche ${\big (}$d'abscisse $\;0{\big )}$ et $\;C\;$ l'extrémité de droite ${\big (}$d'abscisse $\;L{\big )}$, la corde étant orientée de $\;B\;$ vers $\;C$,

     Remarque : un « point $\;M\;$ quelconque de la corde d'abscisse $\;x\;$ subit l'oscillation stationnaire sinusoïdale $\;s(x,\,t)=A\,\cos(\omega \,t+\varphi )\,\cos(k\,x+\psi )\;$» ;

     Remarque : un « point $\;\color {transparent}{M}\;$ quelconque de la corde d'abscisse $\;\color {transparent}{x}\;$$\;B\;$ fixe se traduit par «$\;s(0,\,t)=0\;\forall \;t\;$», soit «$\;\cos(\psi )=0\;$» ou «$\;\psi =\pm {\dfrac {\pi }{2}}\;$» et

     Remarque : un « point $\;\color {transparent}{M}\;$ quelconque de la corde d'abscisse $\;\color {transparent}{x}\;$$\;C\;$ fixe correspond à «$\;s(L,\,t)=0\;\forall \;t\;$», soit «$\;\cos(k\,L+\psi )=0\;$» ou, en choisissant $\;\psi =-{\dfrac {\pi }{2}}$,

     Remarque : un « point $\;\color {transparent}{M}\;$ quelconque de la corde d'abscisse $\;\color {transparent}{x}\;$$\;\color {transparent}{C}\;$ fixe correspond à «$\;\color {transparent}{s(L,\,t)=0\;\forall \;t}\;$», soit «$\;\cos \!\left(k\,L-{\dfrac {\pi }{2}}\right)=0\;$» soit «$\;\sin(k\,L)=0\;$»
     Remarque : un « point $\;\color {transparent}{M}\;$ quelconque de la corde d'abscisse $\;\color {transparent}{x}\;$$\;\color {transparent}{C}\;$ fixe correspond à «$\;\color {transparent}{s(L,\,t)=0\;\forall \;t}\;$», soit ce qui est réalisé pour les pulsations spatiales $\;k_{n}\;$ telles que
     Remarque : un « point $\;\color {transparent}{M}\;$ quelconque de la corde d'abscisse $\;\color {transparent}{x}\;$$\;\color {transparent}{C}\;$ fixe correspond à «$\;\color {transparent}{s(L,\,t)=0\;\forall \;t}\;$», soit «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}k_{n}\,L\equiv 0{\pmod {\pi }}\\{\text{et}}\;k_{n}\neq 0\end{array}}\right\rbrace \;$» ou encore
     Remarque : un « point $\;\color {transparent}{M}\;$ quelconque de la corde d'abscisse $\;\color {transparent}{x}\;$$\;\color {transparent}{C}\;$ fixe correspond à «$\;\color {transparent}{s(L,\,t)=0\;\forall \;t}\;$», soit «$\;k_{n}\,L=n\,\pi ,\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» soit,

     Remarque : un « point $\;\color {transparent}{M}\;$ quelconque de la corde d'abscisse $\;\color {transparent}{x}\;$ compte-tenu du lien entre pulsation spatiale et longueur d'onde $\;k={\dfrac {2\,\pi }{\lambda }}$,
     Remarque : un « point $\;\color {transparent}{M}\;$ quelconque de la corde d'abscisse $\;\color {transparent}{x}\;$ la condition de quantification de la longueur d'onde «$\;\lambda _{n}={\dfrac {2\,L}{n}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» ainsi que
      Remarque : un « point $\;\color {transparent}{M}\;$ quelconque de la corde d'abscisse $\;\color {transparent}{x}\;$ la condition de quantifi celle de la fréquence $\;{\big (}$temporelle${\big )}\;$ déduite de $\;\lambda ={\dfrac {c}{f}}$, «$\;f_{n}=n\,{\dfrac {c}{2\,L}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» ;

     Remarque : on en déduit l'oscillation stationnaire sinusoïdale au point $\;M\;$ pour la « fréquence propre de rang $\;n\;$ à savoir $\;f_{n}\;$» à laquelle on associe
     Remarque : on en déduit l'oscillation stationnaire sinusoïdale au point $\;\color {transparent}{M}\;$ pour la « pulsation $\;{\big (}$temporelle${\big )}\;$ propre $\;\omega _{n}=2\,\pi \,f_{n}\;$» ainsi que
     Remarque : on en déduit l'oscillation stationnaire sinusoïdale au point $\;\color {transparent}{M}\;$ pour la « pulsation spatiale propre $\;k_{n}={\dfrac {\omega _{n}}{c}}\;$» :
     Remarque : on en déduit l'oscillation stationnaire sinusoïdale au point $\;\color {transparent}{M}\;$ «$\;s_{n}(x,\,t)=A\,\cos(\omega _{n}\,t+\varphi )\,\cos \!\left(k_{n}\,x-{\dfrac {\pi }{2}}\right)=A\,\sin(k_{n}\,x)\,\cos(\omega _{n}\,t+\varphi )\;$»,
     Remarque : on en déduit l'oscillation stationnaire sinusoïdale au point $\;\color {transparent}{M}\;$ $\;\varphi \;$ dépendant du choix de l'origine du temps et $\;A\;$ de l'énergie communiquée initialement.

Observation expérimentale

     Sans imposer d'autres conditions que celles des extrémités fixes, « on observe préférentiellement le mode propre à un fuseau pour la fréquence propre $f_{1}\;$» ;
     pour « observer le mode propre à deux fuseaux ${\big (}$pour la fréquence propre $\;f_{2}=2\,f_{1}{\big )}\;$» il faut l'« initier avec un pincement de la corde en son milieu », le resserrement initiant un nœud d'élongation,
     pour « observer le mode propre à trois fuseaux ${\big (}$pour la fréquence propre $\;f_{3}=3\,f_{1}{\big )}\;$» on l'« initie avec un pincement de la corde à son tiers », la compression initiant un nœud d'élongation,
     pour « observer le mode propre à$\;n\;$fuseaux avec $\;n>3$ $\;{\big (}$pour la fréquence propre $\;f_{n}=n\,f_{1}{\big )}\;$», on l'« initie avec un pincement de la corde à la distance$\;{\dfrac {L}{n}}\;$d'une de ses extrémités », le point de pincement initiant un nœud d'élongation $\;\ldots$

     Remarque : le fait de créer un pincement en un point fixé de la corde fait que ce point devient, sans autre perturbation parasite, un nœud d'élongation mais il existe plusieurs modes d'ondes stationnaires sinusoïdales correspondant à cette condition par exemple
     Remarque : si on pratique un pincement de la corde à la distance $\;{\dfrac {L}{n}}\;$ d'une de ses extrémités, les modes respectant le fait que le point de pincement soit un nœud d'élongation sont les modes propres à $\;p\;n\;$ fuseaux avec $\;p\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\;$ mais c'est le mode propre à $\;n\;$ fuseaux qui est principalement observé.

Exemple numérique

     Considérons une corde de guitare de masse volumique $\;\rho =7,87\;10^{3}\;kg\!\cdot \!m^{-3}$, de diamètre $\;d=0,300\,mm$, de « longueur $\;L=64,0\,cm\;$» et de « tension $\;T=100\,N\;$»,
     Considérons une corde de guitare la célérité de propagation des ondes nécessite de déterminer au préalable la « masse linéique de la corde $\;\mu =\rho \,{\dfrac {\pi \,d^{2}}{4}}\;$ $=7,87\;10^{3}\times {\dfrac {\pi \times (0,300\;10^{-3})^{2}}{4}}\;$ ou
     Considérons une corde de guitare la célérité de propagation des ondes nécessite de déterminer au préalable la « masse linéique de la corde $\;\mu \simeq 5,56\;10^{-4}\;kg\!\cdot \!m^{-1}\;$» d'où
     Considérons une corde de guitare la célérité de propagation des ondes le long de la corde selon «$\;c={\sqrt {\dfrac {T}{\mu }}}\simeq {\sqrt {\dfrac {100}{5,56\;10^{-4}}}}\simeq 424\;m\!\cdot \!s^{-1}\;$» ;
     Considérons une corde de guitare on en déduit la « longueur d'onde du mode propre fondamental $\;\lambda _{1}=2\,L\simeq 1,28\,m\;$» ainsi que
     Considérons une corde de guitare on en déduit la « fréquence propre fondamentale $\;f_{1}={\dfrac {c}{\lambda _{1}}}\simeq$ ${\dfrac {424}{1,28}}\simeq 331\,Hz\;$» ,
     Considérons une corde de guitare on en déduit les « autres fréquences propres étant des multiples de $\;f_{1}\;$ soit $\;662\;Hz\;$, $\;993\;Hz\;$, $\;1324\;Hz\;$, $\;1655\;Hz\;$ et ainsi de suite ».

Mouvement général de la corde

     La corde étant fixée à ses deux extrémités, elle oscillera en « ondes stationnaires correspondant à une superposition linéaire de ses modes propres d'oscillations »,
     La corde étant fixée à ses deux extrémités, l'onde stationnaire résultante étant « doublement périodique mais non sinusoïdale »  d'élongation transversale au point $\;M\;$ d'abscisse $\;x\;$ et à l'instant $\;t\;$
     La corde étant fixée à ses deux extrémités, l'onde stationnaire résultante étant «$\;s(x,\,t)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}\,\sin(k_{n}\,x)\,\cos(\omega _{n}\,t+\varphi _{n})\;$» avec «$\;k_{n}={\dfrac {2\,\pi }{\lambda _{n}}}={\dfrac {\omega _{n}}{c}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;\omega _{n}=k_{n}\;c={\dfrac {2\,\pi \,c}{\lambda _{n}}}={\dfrac {2\,\pi }{{\mathcal {T}}_{n}}}\;$» ou,
     La corde étant fixée à ses deux extrémités, en fonction des « longueurs d'onde des modes propres $\;\lambda _{n},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» et des « fréquences propres associées $\;f_{n}={\dfrac {1}{{\mathcal {T}}_{n}}}={\dfrac {c}{\lambda _{n}}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$»,
     La corde étant fixée à ses deux extrémités, l'onde stationnaire résultante étant «$\;s(x,\,t)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}\,\sin \!\left(2\,\pi \,{\dfrac {x}{\lambda _{n}}}\right)\cos \!\left(2\,\pi \,f_{n}\,t+\varphi _{n}\right)\;$» ou encore,
     La corde étant fixée à ses deux extrémités, en fonction des « longueur d'onde et fréquence fondamentales et du rang $\;n\in \mathbb {N} ^{*}$ de chaque mode propre $\;\left\lbrace {\begin{array}{c l}\lambda _{n}={\dfrac {2\,L}{n}}={\dfrac {\lambda _{1}}{n}},&\!\!(\lambda _{1}=2\,L)\\f_{n}={\dfrac {c}{\lambda _{n}}}=n\;{\dfrac {c}{\lambda _{1}}}=n\;f_{1},&\!\!\left(f_{1}={\dfrac {c}{2\,L}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$»,
     La corde étant fixée à ses deux extrémités, l'onde stationnaire résultante étant «$\;s(x,\,t)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}\,\sin \!\left(2\,\pi \,n\,{\dfrac {x}{\lambda _{1}}}\right)\cos \!\left(2\,\pi \,n\,f_{1}\,t+\varphi _{n}\right)\;$»
     La corde étant fixée à ses deux extrémités, l'onde stationnaire résultante étant explicitant le caractère « doublement périodique » du signal, « temporel » de fréquence $\;f_{1}\;$ et « spatial » de période $\;\lambda _{1}\;$ ;

     La corde étant fixée à ses deux extrémités, l'onde stationnaire résultante étant si $\;L\nearrow$, $\;f_{1}={\dfrac {c}{2\,L}}\searrow$, le son devient alors plus grave et

     La corde étant fixée à ses deux extrémités, l'onde stationnaire résultante étant si $\;T\nearrow$, $\;c={\sqrt {\dfrac {T}{\mu }}}\nearrow \;$ et $\;f_{1}{\dfrac {c}{2\,L}}\nearrow$, le son devient plus aigu.

Distinction entre oscillations libres et oscillations forcées (ou entretenues)

     En laissant osciller librement la corde tendue entre ses deux extrémités fixes après initiation par une perturbation de courte durée, on obtient des oscillations libres à une fréquence propre de la corde ;

     en excitant de façon permanente la corde à une fréquence fixée , on obtient des oscillations forcées à la même fréquence que l'excitateur $\;{\big (}$quelle que soit la fréquence${\big )}\;$ avec
           en excitant de façon permanente la corde à une fréquence fixée, on obtient un phénomène de résonance quand la fréquence de l'excitateur est égale à une fréquence propre de la corde.

Généralisation aux autres instruments de musique

     Parmi les instruments de musique on trouve essentiellement, en plus des instruments à cordes dont le principe est basé sur les oscillations libres d'une corde traitées dans le paragraphe « décomposition en modes propres d'une vibration le long d'une corde fixée aus deux extrémités, application aux instruments de musique à cordes » plus haut dans ce chapitre,

     Parmi les instruments de musique on trouve essentiellement, en plus des instruments de percussion dont le principe est fondé sur les vibrations obtenues quand un corps en frappe un autre, instruments que nous ne faisons qu'évoquer sans les traiter ci-après,

     Parmi les instruments de musique on trouve essentiellement, en plus des instruments à vent modélisés à l'aide d'un tuyau sonore dans lequel l'air vibre $\;{\big (}$la grandeur vibrante à laquelle l'oreille humaine ou un microphone est sensible étant la surpression acoustique${\big )}\;$ dont on se propose de rechercher, ci-après, les modes propres d'oscillations de l'air dans le tuyau sonore suivant que ses deux extrémités sont ouvertes ou qu'une seule de ses extrémités est ouverte.

Propriétés d'une extrémité d'un tuyau sonore suivant qu'elle est ouverte ou fermée

     Une extrémité ouverte correspond à un nœud de surpression acoustique , on admettra qu'à un nœud de surpression acoustique correspond un ventre de déplacement des tranches d'air $\;{\big (}$c.-à-d. qu'une extrémité ouverte correspond à un maximum de déplacement des tranches d'air dans le tuyau${\big )}$ ;

     une extrémité fermée correspond à un ventre de surpression acoustique , on admettra qu'à un ventre de surpression acoustique correspond un nœud de déplacement des tranches d'air $\;{\big (}$c.-à-d. qu'une extrémité fermée correspond à une impossibilité de déplacement des tranches d'air dans le tuyau${\big )}$.

À retenir

     Dans le cas d'ondes stationnaires acoustiques d'un tuyau sonore, quand une extrémité est :

• ouverte c'est un nœud de surpression acoustique $\;{\big (}$et un ventre de déplacement des tranches d'air${\big )}$,
• fermée c'est un ventre de surpression acoustique $\;{\big (}$et un nœud de déplacement des tranches d'air${\big )}$.

Les deux extrémités étant ouvertes (exemple des orgues)

     Les deux extrémités ouvertes correspondant chacune à un nœud de surpression acoustique $\;{\big (}$problème équivalent à celui d'une corde tendue entre deux extrémités fixes${\big )}$,
     Les deux extrémités ouvertes les ondes stationnaires sinusoïdales dans le tuyau obéissant aux C.A.L. sont telles que « la longueur $\;L\;$ du tuyau doit être un multiple de $\;{\dfrac {\lambda }{2}}\;$», d'où
     Les deux extrémités ouvertes « la longueur d'onde du mode propre de rang $\;n\;$» vaut «$\;\lambda _{n}={\dfrac {2\,L}{n}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» et
     Les deux extrémités ouvertes « les fréquences propres associées » sont «$\;f_{n}={\dfrac {c}{\lambda _{n}}}=n\,{\dfrac {c}{2\,L}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$».

Une extrémité ouverte et l'autre fermée (exemple des clarinettes)

     Une seule extrémité fermée correspondant à un ventre de surpression acoustique et l'autre extrémité ouverte à un nœud de surpression acoustique,
     Une seule extrémité fermée les ondes stationnaires sinusoïdales dans le tuyau obéissant aux C.A.L. sont telles que « la longueur $\;L\;$ du tuyau doit être un multiple impair de $\;{\dfrac {\lambda }{4}}\;$» d'où
     Une seule extrémité fermée « la longueur d'onde maximale $\;\lambda _{0}\;$» étant telle que $\;L={\dfrac {\lambda _{0}}{4}}\;$ c.-à-d. «$\;\lambda _{0}=4\,L\;$» de mode propre fondamental à « un demi-fuseau »
     Une seule extrémité fermée « la longueur d'onde maximale $\;\color {transparent}{\lambda _{0}}\;$» correspondant à la « fréquence propre fondamentale $\;f_{0}={\dfrac {c}{4\,L}}\;$»,
     Une seule extrémité fermée « les autres longueurs d'onde $\;\lambda _{n}\;$ des modes propres à $\;\left(n+{\dfrac {1}{2}}\right)\;$ fuseaux » étant telles que $\;L={\dfrac {\lambda _{n}}{4}}+n\,{\dfrac {\lambda _{n}}{2}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ ou
     Une seule extrémité fermée « les autres longueurs d'onde $\;\color {transparent}{\lambda _{n}}\;$ des modes propres à $\;\color {transparent}{\left(n+{\dfrac {1}{2}}\right)}\;$ fuseaux » étant telles que $\;L=(2\,n+1)\,{\dfrac {\lambda _{n}}{4}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ c.-à-d. «$\;\lambda _{n}={\dfrac {4\,L}{2\,n+1}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$»,
     Une seule extrémité fermée « les fréquences propres correspondantes » étant «$\;f_{n}=(2\,n+1)\,{\dfrac {c}{4\,L}},\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» .

     Le cas précédemment traité modélise le principe de fonctionnement d'une clarinette, l'embouchure étant équivalente à une extrémité fermée, l'autre extrémité étant bien évidemment ouverte.

Présence d'un trou intermédiaire dans le tuyau sonore à une extrémité ouverte, l'autre étant fermée (exemple de la clef de douzième d'une clarinette, le trou intermédiaire étant située au tiers de la longueur à partir de l'embouchure)

     Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure laquelle, considérée comme une extrémité fermée, y impose un ventre de surpression acoustique et
     Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure le trou, extrémité ouverte tant qu'il n'est pas bouché,             un nœud de surpression acoustique, d'où
     Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure « la longueur d'onde maximale $\;\lambda _{\text{max}}=\lambda _{0,\,{\text{trou}}}\;$» telle que $\;{\dfrac {L}{3}}={\dfrac {\lambda _{\text{max}}}{4}}\;$ ou
      Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure la longueur d'onde maximale «$\;\lambda _{\text{max}}=\lambda _{0,\,{\text{trou}}}={\dfrac {4\,L}{3}}={\dfrac {\lambda _{0}}{3}}\;$» c.-à-d.
     Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure $\;3\times \;$ plus faible que la longueur d'onde du mode propre fondamental du tuyau non troué correspondant à
     Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure « une fréquence minimale $\;3\times \;$ plus grande que la fréquence propre fondamentale du tuyau non troué »
     Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure « une fréquence minimale «$\;f_{0,\,{\text{trou}}}=3\,{\dfrac {c}{4\,L}}=3\,f_{0}\;$»
     Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure « une fréquence minimale de mode propre associé à « un fuseau et demi $\;{\big (}$du tuyau entier${\big )}\;$» ;
     Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure les « autres longueurs d'onde observables $\;\lambda _{p,\,{\text{trou}}}\;$» telles que $\;{\dfrac {L}{3}}=(2\,p+1)\,{\dfrac {\lambda _{p,\,{\text{trou}}}}{4}},\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$ ou
      Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure les autres longueurs d'onde observables «$\;\lambda _{p,\,{\text{trou}}}={\dfrac {4\,L}{3\,(2\,p+1)}}\;$ ou encore
      Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure les autres longueurs d'onde observables «$\;\color {transparent}{\lambda _{p,\,{\text{trou}}}}$ $=\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {\lambda _{0,\,{\text{trou}}}}{2\,p+1}},\;p\in \mathbb {N} ^{*}\\\qquad {\text{ou}}\\{\dfrac {\lambda _{p}}{3}},\;\lambda _{p}\;{\text{de tuyau non troué}}\end{array}}\right\rbrace \;$» correspondant à
     Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure « une fréquence propre $\;3\times \;$ plus grande que la fréquence propre de même rang du tuyau non troué »
          Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure « une fréquence propre «$\;f_{p,\,{\text{trou}}}=3\,{\dfrac {(2\,p+1)\,c}{4\,L}}=\left\lbrace {\begin{array}{l}(2\,p+1)\,f_{0,\,{\text{trou}}},\;p\in \mathbb {N} ^{*}\\\qquad {\text{ou}}\\3\,f_{p},\;f_{p}\;{\text{de tuyau non troué}}\end{array}}\right\rbrace \;$»,
          Dans une clarinette, présence d'un trou situé au tiers de la longueur à partir de l'embouchure « une fréquence propre le mode propre associé étant à «$\;(2\,p+1)\,{\dfrac {3}{2}}\;$ fuseaux $\;{\big (}$du tuyau entier${\big )}\;$» ;
     Dans une clarinette au final la présence du trou à $\;{\dfrac {L}{3}}\;$ de l'embouchure a sélectionné une fréquence propre fondamentale trois fois plus grande que celle sans la présence du trou,
     Dans une clarinette au final la présence du trou à $\;\color {transparent}{\dfrac {L}{3}}\;$ de l'embouchure a sélectionné les autres fréquences propres se déduisant de cette fréquence propre fondamentale en multipliant par un impair.

Dispositif expérimental permettant d'analyser le spectre d'un signal acoustique produit par une corde vibrante

     Il s'agit d'enregistrer le son émis par une « corde de guitare »  à l'aide d'un microphone, le signal reçu par ce dernier étant enregistré par un oscilloscope numérique possédant une fonction de « transformée de Fourier discrète » qui permet d'afficher le « spectre du signal » .

     Ci-dessous un 1^er enregistrement en pinçant la corde en son milieu, on observe un signal approximativement « pseudo-sinusoïdal » de pseudo-période $\;{\mathcal {T}}\simeq {\dfrac {100}{17}}\simeq 5,9\;ms\;$ ${\big (}$on observe en effet $\;17\;$ pseudo-oscillations entre $\;50\;ms\;$ et $\;150\;ms{\big )}$ ;

Enregistrement du son produit par le pincement d'un corde de guitare en son milieu

     Ci-dessous le calcul de la pseudo-fréquence, à partir de l'oscillogramme ci-dessus, donne «$\;f={\dfrac {1}{\mathcal {T}}}\simeq {\dfrac {1}{5,9\,10^{-3}}}\simeq 170\;Hz\;$» correspondant à la « fréquence de l'harmonique observé principalement » dans le spectre d'amplitude du signal émis par la corde de guitare pincée en son milieu $\;{\big (}$voir ci-dessous${\big )}$ :

Spectre du son produit par le pincement d'un corde de guitare en son milieu

     Ci-dessous un 2^ème enregistrement en pinçant la corde au quart de sa longueur, on observe un signal approximativement « pseudo-sinusoïdal » de pseudo-période $\;{\mathcal {T}}\simeq {\dfrac {100}{16,5}}\simeq 6,05\;ms\;$ ${\big (}$on observe en effet $\;16,5\;$ pseudo-oscillations entre $\;50\;ms\;$ et $\;150\;ms{\big )}$ ;

Enregistrement du son produit par le pincement d'un corde de guitare au quart de sa longueur

     Ci-dessous le calcul de la pseudo-fréquence, à partir de l'oscillogramme ci-dessus, donne $\;f={\dfrac {1}{\mathcal {T}}}\simeq {\dfrac {1}{6,05\,10^{-3}}}\simeq 165\;Hz\;$, ce qui correspond encore à la « fréquence de l'harmonique principalement observé » dans le spectre d'amplitude du signal émis par la corde de guitare pincée au quart de sa longueur $\;{\big (}$voir ci-dessous${\big )}$, toutefois on observe d'autres harmoniques qui n'étaient pas présents dans le spectre d'amplitude du signal émis par la corde pincée en son milieu :

Spectre du son produit par le pincement d'un corde de guitare au quart de sa longueur

     Ci-dessous 1^ère conclusion partielle : il semble donc que l'endroit du pincement de la corde de guitare a une influence sur le spectre d'amplitude du signal émis, l'harmonique fondamental restant le même mais pincer au quart de la longueur de la corde au lieu de pincer en son milieu crée des harmoniques de rang supérieur .

     Ci-dessous un 3^ème enregistrement en pinçant la corde près de son attache, on observe un signal approximativement « pseudo-sinusoïdal » de pseudo-période $\;{\mathcal {T}}\simeq {\dfrac {100}{16,5}}\simeq 6,05\;ms\;$ ${\big (}$on observe en effet $\;16,5\;$ pseudo-oscillations entre $\;50\;ms\;$ et $\;150\;ms{\big )}$ ;

Enregistrement du son produit par le pincement d'un corde de guitare près de son attache

     Ci-dessous le calcul de la pseudo-fréquence, à partir de l'oscillogramme ci-dessus, donne $\;f={\dfrac {1}{\mathcal {T}}}\simeq {\dfrac {1}{6,05\,10^{-3}}}\simeq 165\;Hz\;$, correspondant à la « fréquence d'un des harmoniques observés » dans le spectre d'amplitude du signal émis par la corde de guitare pincée près de son attache $\;{\big (}$voir ci-dessous${\big )}$, toutefois on observe nettement plus d'harmoniques non présents dans le spectre d'amplitude des signaux émis par la corde pincée en son milieu ou au quart de sa longueur :

Spectre du son produit par le pincement d'un corde de guitare près de son attache

     Ci-dessous 2^ème conclusion partielle : pincer la corde près de l'attache a eu pour conséquence un enrichissement en harmoniques du spectre d'amplitude du signal émis par la corde .

     Conclusion définitive : L'ensemble des harmoniques est le même dans chacun des spectres , les notes émises sont de même hauteur $\;{\big (}$mêmes harmoniques${\big )}\;$ mais
          Conclusion définitive : L'ensemble des harmoniques est le même dans chacun des spectres, les notes émises n'ont pas le même timbre $\;{\big (}$répartition différente des mêmes harmoniques${\big )}$ ;

     Conclusion définitive : le timbre ne résulte pas seulement de la composition spectrale mais aussi de son évolution dans le temps,
     Conclusion définitive : le timbre ne résulte pas seulement de la composition spectrale deux mêmes répartitions spectrales à $\;t_{1}\;$ donné et qui sont différentes à $\;t_{2}\;$ correspondent à des timbres différents,
     Conclusion définitive : le timbre ne résulte pas seulement de la composition spectrale la caractérisation du timbre nécessite donc de faire une succession d'analyses spectrales étalées dans le temps ;
     Conclusion définitive : le timbre ne résulte pas seulement de la composition spectrale ces informations sont réunies dans un « sonogramme » avec le temps en abscisse, la fréquence en ordonnée,
     Conclusion définitive : le timbre ne résulte pas seulement de la composition spectrale ces informations sont réunies dans un « sonogramme » l'amplitude étant codée par couleur.