Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Battements

Une page de Wikiversité.
Sauter à la navigation Sauter à la recherche
Début de la boite de navigation du chapitre
fin de la boite de navigation du chapitre
Icon falscher Titel.svg
En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Signaux physiques (PCSI) : Propagation d'un signal : Battements
Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Battements
 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Addition de deux ondes électriques de fréquences très voisines, notion de battements[modifier | modifier le wikicode]

On considère deux ondes électriques de « grandeur vibrante la tension aux bornes de deux G.B.F. différents » de fréquences très voisines, l'une de fréquence et d'amplitude , l'autre de fréquence et d'amplitude  ; on observe chaque tension sur une voie différente de l'oscilloscope numérique et on visualise la somme de ces deux tensions grâce à l'opérateur mathématique « addition » disponible sur l'oscilloscope ; on observe l'oscillogramme ci-dessous à gauche dans lequel est en rouge, en bleu clair et en noir [1] 

......On constate que pour certains intervalles de temps au voisinage de et de , les tensions de fréquences très voisines étant quasiment en phase, on obtient une « amplitude » maximale égale à alors que
......On constate que pour certains autres intervalles de temps au voisinage de , elles sont quasiment en opposition de phase et par suite donne une « amplitude » minimale égale à  ;
......l'onde résultante est « pseudo-sinusoïdale » de fréquence [2] avec une modulation d'« amplitude » à la fréquence [3], cette dernière variant entre et [4].



Il n'est pas nécessaire que les deux signaux soient de même amplitude pour réaliser des battements entre eux, il suffit qu'ils soient de fréquences très voisines ;
......ci-dessous les battements entre des signaux sinusoïdaux de fréquence et d'amplitude et de fréquence et d'amplitude  ; la fréquence des battements est toujours la différence des fréquences mais la « pseudo-amplitude » varie maintenant entre et [6].

Interprétation de l'onde résultante comme une onde pseudo-sinusoïdale de pseudo-amplitude à variation lente et périodique, fréquence de battements[modifier | modifier le wikicode]

Battements entre deux signaux sinusoïdaux de même amplitude[modifier | modifier le wikicode]

On considère deux signaux sinusoïdaux de fréquences voisines et de même amplitude avec  ; le signal résultant s'écrit soit, à l'aide de la formule de trigonométrie [7], utilisée dans le but de faire apparaître un produit de fonctions du temps dont l'une varierait nettement plus lentement que l'autre,  ;

......le premier facteur en cosinus variant plus rapidement que le second, ce dernier peut être considéré comme « quasi constant » pendant une période de variation du premier, d'où la réécriture du signal résultant selon : , avec [8] variant lentement à l'échelle de variation de temps du 2e facteur, raison pour laquelle le signal résultant est « pseudo-sinusoïdal » de (pseudo-)fréquence , sa « pseudo-amplitude » étant [9] variant à la fréquence dite des battements [10].

......Remarque Contacts de l'enveloppe supérieure avec le signal résultant : reprenant les signaux du premier paragraphe et , de fréquences respectives et , d'amplitude commune , avec , on constate :

  • pour , représente effectivement la pseudo-amplitude et le contact du signal résultant avec l'enveloppe supérieure se fait aux instants tel que ,
  • pour , la pseudo-amplitude est alors et le contact du signal résultant avec l'enveloppe supérieure se fait aux instants tel que ,
  • enfin pour , représente de nouveau la pseudo-amplitude et le contact du signal résultant avec l'enveloppe supérieure se fait aux instants tel que [11]

Battements entre deux signaux sinusoïdaux d'amplitudes différentes[modifier | modifier le wikicode]

On considère maintenant deux signaux sinusoïdaux de fréquences voisines et d'amplitudes différentes avec  ; le signal résultant ne s'acquière plus par « utilisation de la trigonométrie » [12] mais, bien que cette méthode soit a priori réservée à l'addition de deux signaux sinusoïdaux de même fréquence, peut s'obtenir par diagramme de Fresnel à l'instant [13] (ou par « grandeurs instantanées complexes » [14]) ;

......nous allons représenter le diagramme de Fresnel relativement à un axe tournant à la même vitesse angulaire que le vecteur de Fresnel [15] associé au signal ce qui aura pour conséquence la fixité de ce vecteur ; relativement à cet axe , le vecteur de Fresnel associé à l'autre signal tourne lentement à la vitesse angulaire car  :

Détermination de la pseudo-amplitude du signal résultant de deux signaux sinusoïdaux de fréquences très voisines et d'amplitudes différentes par tracé du diagramme de Fresnel relativement à un axe tournant à la vitesse angulaire du plus lent

...... étant l'angle que fait avec à l'instant soit s'évalue selon soit [16] et on en déduit la norme du vecteur de Fresnel en formant ou  soit finalement  ;

......on peut interpréter le diagramme de Fresnel relativement à l'axe tournant à la vitesse angulaire  par rapport à l'axe de référence en disant que le signal résultant est « pseudo-sinusoïdal » de fréquence et de « pseudo-amplitude » notée et égale à soit , ce qui établit qu'elle varie de façon « périodique » [17] à la fréquence dite des battements entre les valeurs minimale correspondant aux instants tels que et maximale correspondant aux instants tels que  ;

......on peut également déterminer l'angle que fait avec par projection de sur et sur directement à soit ou, en explicitant et , dont on peut déterminer une valeur de à près, ce qui permet d'écrire le signal résultant selon .

......Remarque : De façon à ne pas particulariser le signal relativement au signal , on peut transformer l'argument du cosinus de l'expression de trouvée précédemment selon ou, en définissant la fréquence moyenne , représente la pseudo-phase initiale résultante et finalement le signal résultant se réécrit [18].

Détermination de la différence relative de fréquences à partir d'un enregistrement de battements[modifier | modifier le wikicode]

Une fois obtenu l'enregistrement du signal résultant, on trace l'enveloppe supérieure (ou l'enveloppe inférieure) et on détermine sa période [19], celle-ci étant la période des battements et son inverse la fréquence des battements [20], puis

......on détermine la pseudo-période du signal résultant ainsi que son inverse la pseudo-fréquence [21] ;

......on en déduit le rapport lequel, comme les fréquences des signaux sont très voisines l'une de l'autre , s'identifie à la différence relative des fréquences en valeur absolue .

Observation de battements entre signaux émis par deux diapasons frappés simultanément, les signaux étant captés par un microphone positionné à égale distance des deux diapasons

......Expérience : On enregistre, sur un oscilloscope numérique, le signal reçu par un microphone situé à égale distance de deux diapasons vibrant a priori à la même fréquence [22] et qui ont été frappés simultanément ; si les diapasons vibrent exactement à la même fréquence on n'observera pas de battements, l'observation de ces derniers prouvant un décalage en fréquences des diapasons ;

......déterminant, sur l'enregistrement, les instants pour lesquels l'amplitude des battements est minimale, on en déduit la période puis la fréquence des battements : ci-contre les instants d'amplitude minimale sont : , et donnant une période de battements et par suite une fréquence de battements d'où un écart relatif de fréquences des diapasons de [23] soit finalement .

Détermination qualitative de la différence relative de fréquences à partir d'une observation sensorielle directe[modifier | modifier le wikicode]

Dans le cas d'ondes sonores ce phénomène est directement perceptible, car l'intensité acoustique [24] perçue par une oreille humaine est proportionnelle au carré de l'amplitude ; ainsi lorsqu'on superpose deux sons de fréquences et , on entend très distinctement la modulation du niveau acoustique à la fréquence de battements [25] ;

......le phénomène de battements est utilisé pour accorder certains instruments de musique, par exemple un piano : certaines notes sont produites par deux ou trois cordes qui doivent vibrer exactement à la même fréquence (et de façon sinusoïdale), quand on les fait vibrer simultanément on réalise des battements si elles ne vibrent pas à la même fréquence, on doit alors modifier la tension de l'une des cordes pour diminuer la fréquence des battements jusqu'à ce que cette dernière devienne nulle, assurant alors que les deux cordes vibrent effectivement à la même fréquence.

Complément : détermination de la pseudo-amplitude de l'onde résultante instantanée en fonction du déphasage (lentement variable) par pseudo-amplitude complexe[modifier | modifier le wikicode]

Nous avons précédemment distingué dans la résolution le cas de battements entre signaux sinusoïdaux de même amplitude et celui entre signaux d'amplitudes différentes, le premier ayant été résolu par utilisation des formules de trigonométrie transformant une somme de fonctions sinusoïdales en un produit, le second, ne permettant pas l'utilisation de ces formules de trigonométrie, ayant fait appel à la notion étendue de vecteurs de Fresnel tournants, méthode conduisant à la construction d'un diagramme de Fresnel relativement à un axe tournant à la vitesse angulaire la plus faible, mais il aurait été évidemment possible de construire un diagramme de Fresnel de ce type dans le cas de battements entre signaux sinusoïdaux de même amplitude [26] ;

......la méthode de construction d'un diagramme de Fresnel à l'instant et celle d'utilisation des grandeurs instantanées complexes étant deux facettes d'une même méthode « un vecteur de Fresnel tournant ayant pour affixe la grandeur instantanée complexe » ou « une grandeur instantanée complexe ayant pour image dans le plan complexe le vecteur de Fresnel tournant », il est possible d'adapter, dans le cas de battements entre signaux sinusoïdaux de fréquences très voisines, la méthode de construction d'un diagramme de Fresnel relativement à un axe tournant à la vitesse angulaire la plus faible, de façon à travailler directement sur les affixes des vecteurs de Fresnel, c'est le « but de ce paragraphe » [27].

Battements entre deux signaux sinusoïdaux de même amplitude[modifier | modifier le wikicode]

On considère deux signaux sinusoïdaux de fréquences voisines et de même amplitude avec  ; aux signaux sinusoïdaux et on fait correspondre respectivement les grandeurs instantanées complexes et [28], le signal résultant étant alors défini comme la partie réelle de , on est donc amené à chercher la somme des grandeurs instantanées complexes et mais

......avant de faire cela il convient d'utiliser le fait que les fréquences sont très voisines, proches de leur moyenne , en écrivant et soit, en introduisant la différence de fréquence et la fréquence moyenne (la première étant très petite relativement à la seconde), et  ; cette transformation a été faite dans le but de réécrire chaque grandeur instantanée complexe sous la forme d'un produit d'une grandeur exponentielle complexe de grande fréquence (égale à la fréquence moyenne) et d'un facteur complexe variant lentement avec le temps (que nous appellerons « pseudo-amplitude complexe »), ce qui donne ou, en identifiant le cœfficient de l'exponentielle complexe de grande fréquence dans chaque grandeur instantanée complexe à la « pseudo-amplitude complexe » de chaque signal c.-à-d. , une réécriture de  ;

......formant la somme des grandeurs instantanées complexes et mettant l'exponentielle complexe commune de grande fréquence en facteur, on obtient c.-à-d. la grandeur instantanée complexe de fréquence égale à la fréquence moyenne et de « pseudo-amplitude complexe »  dont le module définit la « pseudo-amplitude » [29] et dont l'argument définit la « pseudo-phase initiale » [30], le signal résultant s'écrivant alors  ;

......la somme des pseudo-amplitudes complexes de chaque signal donnant la pseudo-amplitude complexe de la somme des signaux on obtient soit, en décomposant les phases initiales de la même façon que l'on a fait pour les fréquences [31] et et, en factorisant par multipliée par la partie d'« exponentielle complexe de phase initiale commune » c.-à-d. , l'expression suivante ou, à l'aide de la « formule d'Euler [32] définissant le cosinus » [33], la « pseudo-amplitude complexe » du signal résultant se réécrit comme le produit d'une grandeur réelle et d'une exponentielle imaginaire [34] ;

......nous en déduisons la grandeur instantanée complexe associée au signal résultant soit, en y reportant l'expression de la pseudo-amplitude complexe trouvée précédemment, puis en regroupant les exponentielles imaginaires,  ;

......enfin le signal résultant se détermine avantageusement en prenant la partie réelle de sa grandeur instantanée complexe associée [34] soit  ; on trouve effectivement un signal « pseudo-sinusoïdal » de fréquence égale à la fréquence moyenne et de pseudo-amplitude  c.-à-d. une fonction redressée double alternance [35] se réécrivant selon et définissant l'enveloppe supérieure du signal résultant, enveloppe variant à la fréquence des battements entre sa valeur minimale et sa valeur maximale .

......Remarque : On remarque que la grandeur instantanée complexe associée au signal résultant étant de fréquence n'est pas rigoureusement l'affixe du vecteur de Fresnel associé au signal résultant dans le diagramme de Fresnel relativement à l'axe tournant à la vitesse angulaire du signal de plus faible fréquence c.-à-d. , ce dernier choix ayant été fait de façon à rendre le vecteur de Fresnel correspondant fixe ;
......Remarque : pour qu'il y ait une correspondance exacte d'affixe, il aurait fallu choisir l'axe tournant à la vitesse angulaire moyenne mais la conséquence aurait été qu'aucun des deux vecteurs de Fresnel n'aurait été fixe, ceux-ci tournant en sens opposé à la fréquence [36] et l'avantage de conserver une symétrie entre les deux signaux n'aurait pas compensé le désavantage de n'avoir plus aucun vecteur de Fresnel fixe

Battements entre deux signaux sinusoïdaux d'amplitudes différentes[modifier | modifier le wikicode]

On considère deux signaux sinusoïdaux de fréquences voisines et d'amplitudes différentes avec  et on peut réitérer la méthode exposée dans le paragraphe précédent en l'adaptant si besoin est ;

......aux signaux sinusoïdaux on fait correspondre les grandeurs instantanées complexes , le signal résultant étant alors défini comme la partie réelle de  ;

......comme précédemment on transforme les fréquences selon et que l'on peut réécrire à l'aide de la fréquence moyenne et de la différence de fréquence , selon et  ; cette transformation permet de réécrire les grandeurs instantanées complexes de façon plus symétrique selon ou, en identifiant le cœfficient de l'exponentielle complexe de grande fréquence dans chaque grandeur instantanée complexe à la « pseudo-amplitude complexe » de chaque signal soit plus précisément , de réécrire sous formes plus concises  ;

......formant la grandeur instantanée complexe de la somme des deux signaux et mettant l'exponentielle complexe commune de grande fréquence en facteur, on obtient établissant que la pseudo-amplitude complexe du signal résultant est la somme des pseudo-amplitudes complexes de chaque signal , c.-à-d. dont le module définit la « pseudo-amplitude » et dont l'argument définit la « pseudo-phase initiale » [37], le signal résultant pouvant alors être réécrit selon  ;

......on obtient alors [38] puis, en en prenant le module, la « pseudo-amplitude » du signal résultant écrit selon (et éventuellement l'argument pour obtenir sa phase initiale) :

  • [39] soit, en y reportant les pseudo-amplitudes complexes et leurs conjuguées, puis en développant nous obtenons dans laquelle on applique la formule d'Euler définissant le cosinus soit finalement établissant que la « pseudo-amplitude »  de l'onde résultante varie à la fréquence dite des battements égale à de sa valeur minimale à sa valeur maximale  ;
  • la « pseudo-phase initiale » du signal résultant nécessite l'écriture de la « pseudo-amplitude complexe » sous sa forme algébrique [40], ceci donnant, après des transformations élémentaires non détaillées, la forme algébrique de la « pseudo-amplitude complexe » dont on tire , ces deux expressions permettant de déterminer la « pseudo-phase initiale » et de constater que celle-ci est également périodique de fréquence égale à celle des battements

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Pour une meilleure lisibilité de l'écran de l'oscilloscope, il est préférable de ne laisser que le signal résultant, ce qui est fait dans la deuxième figure située à droite ; dans cette dernière a été ajoutée, en rouge, l'« enveloppe supérieure » du signal résultant c.-à-d. la courbe reliant les maxima de ce dernier, l'« enveloppe inférieure » du signal résultant c.-à-d. la courbe reliant les minima de ce dernier, n'étant pas représentée.
  2. C.-à-d. la fréquence « quasi commune » de et  mais on peut dire aussi que c'est la fréquence moyenne .
  3. C.-à-d. la différence des fréquences de et  soit , en effet la période observée de modulation d'amplitude est .
  4. L'« enveloppe supérieure » (courbe passant par les maxima du signal résultant en lui étant tangent) est un « signal sinusoïdal redressé double alternance » de fréquence (c.-à-d. égal à la valeur absolue d'un signal sinusoïdal de fréquence , elle aurait pu être déterminée physiquement mais elle a simplement été ajoutée au signal résultant obtenu sur oscilloscope.
  5. Bien entendu la plus grande moins la plus petite.
  6. L'« enveloppe supérieure » a été ajoutée au signal résultant obtenu sur oscilloscope et non déterminée physiquement ; elle a été assimilée à la somme d'une composante permanente de et d'un « signal sinusoïdal » de fréquence et d'amplitude , mais la courbe n'est pas parfaitement tangente au signal résultant car ce n'est qu'une approximation de l'« enveloppe supérieure », la variation de la pseudo-amplitude étant en fait périodique mais non sinusoïdale.
  7. Se retrouve à partir des formules élémentaire soit encore, en posant et dont on tire et , la relation rappelée.
  8. On a utilisé la parité du cosinus pour faire apparaître interprétable en fréquence.
  9. On rappelle qu'une amplitude est nécessairement positive d'où la nécessité de prendre la valeur absolue de  ;
    on vérifie qu'il s'agit bien d'un signal sinusoïdal redressé double alternance de fréquence (le facteur étant la conséquence du fait que le signal sinusoïdal redressé double alternance a une période moitié de celle du signal sinusoïdal).
  10. C.-à-d. la fréquence de la pseudo-amplitude .
  11. La fréquence de est correspondant à la moitié de la fréquence des battements ; à la fréquence de correspond la période de soit deux fois la période des battements comme on peut le voir sur le premier schéma à droite du premier paragraphe.
  12. En effet nous n'avons plus de somme de cosinus.
  13. En effet, lors de l'addition de deux signaux sinusoïdaux de même fréquence, le diagramme de Fresnel à l'instant (construit à partir des vecteurs de Fresnel tournants que nous n'avons pas utilisés) se déduit de celui à l'instant par rotation d'angle (raison pour laquelle nous n'avons pas utilisé le diagramme de Fresnel à l'instant  ; si les signaux sont de fréquences différentes mais très voisines, le vecteur de Fresnel tournant associé au signal de plus grande fréquence tourne légèrement plus rapidement que celui associé au signal de plus faible fréquence et par suite le diagramme de Fresnel à l'instant se déforme lentement avec le temps, sa déformation lente pouvant être interprétée en termes de signal résultant « pseudo-sinusoïdal » dont la « pseudo-amplitude » peut alors être calculée.
  14. Les grandeurs instantanées complexes n'étant rien d'autre que les affixes des vecteurs de Fresnel tournants dans le plan complexe, si on peut utiliser l'une des méthodes on peut se servir de l'autre.
  15. Le vecteur de Fresnel faisant l'angle relativement à l'axe usuel , nous choisissons un axe tournant à la même vitesse angulaire que et se confondant avec à l'instant c.-à-d. faisant, à l'instant , l'angle avec , ce qui implique la fixité de par rapport à , l'angle que fait avec étant alors .
  16. On vérifie ainsi une seconde fois que tourne relativement à à la vitesse angulaire .
  17. Mais non sinusoïdale.
  18. Pour rappel, seule la pseudo-amplitude est importante, c'est elle qui permet de justifier la fréquence des battements, la pseudo-phase initiale résultante n'étant établie qu'à titre documentaire.
  19. Comme nous le voyons sur l'exemple de ce paragraphe, le tracé effectif d'une enveloppe n'est pas indispensable pour déterminer sa période car bien souvent les pseudo-oscillations soulignent suffisamment les courbes les enveloppant.
  20. Sa connaissance nous donne donc une information sur la valeur absolue de la différence des fréquences des signaux en battements mais pas sur le signe de la différence.
  21. Dans la pratique l'enregistrement nécessite un effet de loupe (c.-à-d. une modification de l'échelle des temps de l'oscilloscope) car, sur une période de battements, il y a en général beaucoup trop de pseudo-oscillations pour que celles-ci soient discernables comme on peut le constater sur l'exemple de ce paragraphe.
  22. Il s'agit du « do3 ».
  23. Comme la fréquence commune des diapasons était connue, on n'a pas eu à la déterminer par pseudo-période du signal résultant comme indiqué dans le préambule ; compte-tenu du grand nombre de pseudo-périodes contenues dans une période de battements il aurait été nécessaire de changer la sensibilité de la base de temps d'au moins un facteur .
  24. C.-à-d. la puissance transportée par l'onde sonore par unité d'aire de section droite (plus précisément par de section droite), l'intensité acoustique s'exprime donc en  ; le seuil d'audibilité dans l'air par une oreille humaine pour un son sinusoïdal de étant (soit très faible), on introduit une échelle logarithmique (logarithme décimal) pour repérer l'intensité acoustique, ce qui définit le niveau d'intensité acoustique selon , les niveaux acoustiques d'un bruissement de feuilles, d'une conversation vive ou relatif au seuil de la douleur étant respectivement (ce dernier correspondant à une puissance acoustique de alors que celle de la conversation vive est fois plus faible soit .
  25. Si les deux sons ont la même intensité acoustique, les battements entre les deux sons se matérialisent par une modulation de niveau acoustique de période allant d'une intensité acoustique nulle à une intensité acoustique quatre fois plus intense que celle des sons originaux (l'amplitude résultante maximale étant deux fois l'amplitude de chaque son mais l'intensité acoustique est le carré de l'amplitude d'où le facteur « quatre »).
  26. Si cela n'a pas été fait, c'est que la méthode directe est indéniablement plus rapide.
  27. À considérer comme complément, la méthode de construction d'un diagramme de Fresnel relativement à un axe tournant à la vitesse angulaire la plus faible plus concrète suffisant largement.
  28. On rappelle que et sont les parties réelles de et , les parties imaginaires de ces dernières n'ayant, pour le problème étudié, aucune signification (mais en acquerraient une si les signaux sinusoïdaux étaient en « sinus »).
  29. Laquelle varie lentement à la fréquence , cette dernière correspondant donc à la fréquence des battements.
  30. Laquelle varie également lentement à la fréquence .
  31. La démarche est la même mais la raison ne l'est pas, en particulier les phases initiales ne sont pas a priori voisines l'une de l'autre.
  32. Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse, connu pour ses travaux en analyse mathématique ainsi qu'en mécanique des fluides, optique et astronomie, considéré comme l'un des plus grands et plus prolifiques mathématiciens de tous les temps.
  33. La formule d'Euler d'origine est mais les deux formules qui en découlent définissant le cosinus et le sinus sont encore appelées « formules d'Euler ».
  34. 34,0 et 34,1 La « pseudo-amplitude complexe » du signal résultant étant le produit d'un réel et d'une exponentielle imaginaire de module ,
    ........................son module est le réel dans la mesure où ce dernier est positif, la pseudo-phase initiale étant alors l'argument de l'exponentielle complexe ou
    ........................son module est la valeur absolue du réel (ou encore son opposé) dans la mesure où ce dernier est négatif, la pseudo-phase initiale étant alors + l'argument de l'exponentielle complexe) ;
    ......le fait que le réel n'ait pas un signe indépendant de nécessite une discussion pour obtenir la « pseudo-amplitude » et la « pseudo-phase initiale », ce qui rend cette méthode exceptionnellement moins intéressante que la prise de la partie réelle de la grandeur instantanée complexe (dans la mesure où celle-ci est associée à un cosinus si elle était associée à un sinus il faudrait prendre la partie imaginaire).
  35. Plus précisément fonction redressée double alternance « d'une fonction sinusoïdale » car à toute fonction périodique alternative non sinusoïdale on peut définir une redressée double alternance.
  36. En effet et .
  37. Lesquelles varient lentement à la fréquence , cette dernière correspondant donc à la fréquence des battements.
  38. Les décompositions des phases initiales effectuées dans le paragraphe précédent ne sont pas utiles ici en effet elles ont été faites pour utiliser la formule d'Euler relative au cosinus mais ici les amplitudes empêchant toute utilisation de formule d'Euler, il est inutile de procéder à cette décomposition même si cela reste néanmoins possible.
  39. On rappelle que est le conjugué de .
  40. Pour cela on prend la forme algébrique des deux termes de la somme et on regroupe les termes réels et les termes imaginaires.