Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini

**Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini**
Leçon : Signaux physiques (PCSI)

Chapitre n^o 8
Chap. préc. :	Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques
Chap. suiv. :	Propagation d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Signaux physiques (PCSI) : Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini
Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Observation du phénomène de diffraction en optique

Rappel des fréquences lumineuses dans le domaine visible, longueurs d'onde associées dans le vide

Le domaine du visible en fréquence étant $\;f_{\text{rouge}}=390\;THz<f<f_{\text{violet}}=790\;THz\;$ ^[1] et la lumière étant une onde électromagnétique de célérité dans le vide $\;c\simeq 3\,10^{8}\;m\!\cdot \!s^{-1}$ , on en déduit de domaine des longueurs d'onde dans le vide grâce à $\;\lambda _{0}={\dfrac {c}{f}}\;$ ^[2] soit :

«

\;\lambda _{0,\,{\text{violet}}}=0,380\;\mu m<\lambda _{0}<\lambda _{0,\,{\text{rouge}}}=0,780\;\mu m\;

» ^[3].

Introduction aux phénomènes de diffraction par limitation d'un faisceau lumineux

Une source lumineuse ponctuelle émet en « espace libre » ^[4] une onde progressive se propageant dans toutes les directions $\;{\big (}$ milieu tridimensionnel ${\big )}$ ; mais pratiquement jamais une expérience n'est entièrement réalisée en espace libre car tous les dispositifs pratiques introduisent des limitations de l'expansion spatiale des ondes, ce sont par exemple :

les sources entourées d'une enveloppe, percée d'un orifice par lequel sort l'onde,
les instruments permettant d'analyser l'onde $\;{\big (}$ capteur ou œil ${\big )}\;$ et ne collectant qu'une partie de la lumière,
les éléments optiques rencontrés par la lumière entre les sources et les capteurs et qui n'ont qu'une expansion finie ;

le fait de limiter l'expansion d'une onde lumineuse peut en modifier les propriétés, cette modification éventuelle correspond au phénomène de diffraction.

Diffraction à l'infini

La cause dominante de limitation de l'expansion spatiale des ondes lumineuses est la présence d'un diaphragme de faible diamètre ^[5] ou d'une fente de faible largeur ; une observation à grande distance du diaphragme ou de la fente est estimée faite à l'infini et, si on observe un phénomène de diffraction, on parlera de « diffraction à l'infini » ;

un faisceau laser émettant une onde lumineuse progressive « quasi unidimensionnelle » ^[6] et monochromatique ^[7], on place sur le trajet de l'onde une fente de largeur $\;a\;$ réglable et on observe l'impact laissé par l'onde sur un écran placé à grande distance $\;D$ ;

alors qu'on s'attendait à voir une tache lumineuse de même largeur que la fente $\;{\big (}$ trajet de la lumière en pointillés ${\big )}$ , on observe un étalement de la lumière sur l'écran suivant la direction parallèle à la largeur de la fente, étalement d'autant plus grand que la largeur de la fente est petite avec une répartition non uniforme : « présence d'une tache centrale très lumineuse » entourées de « taches beaucoup moins lumineuses et deux fois moins larges » ^[8] ;

le phénomène qui apparaît dans cette expérience est la diffraction, celle-ci n'apparaît nettement qu'en-deçà d'une largeur de fente de $\;0,100\;mm$ ;

quelques valeurs numériques : avec un faisceau laser de longueur d'onde à vide $\;\lambda _{0}=0,633\;\mu m\;$ ^[9] et des largeurs de fente de $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}0,300\;mm\\0,200\;mm\\0,100\;mm\end{array}}\right\rbrace$ , l'écran étant situé à une distance $\;D=1,80\;m\;$ de la fente, on observe une largeur de tache centrale approximativement égale à $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}4,0\;mm\\5,5\;mm\\11,5\;mm\end{array}}\right\rbrace \;$ ^[10]^, ^[11].

Diffraction par un diaphragme, tache d'Airy

     On remplace la fente par une ouverture circulaire de diamètre $\;a\;$ et celle-ci ayant une symétrie de révolution d'axe « la direction du faisceau laser »,
     on observe sur l'écran une figure de diffraction ayant cette même symétrie de révolution, c.-à-d.
     on observe sur l'écran un disque central très lumineux $\;{\big (}$ appelé « tache d'Airy ^[12] » ${\big )}\;$ entouré d'anneaux nettement moins lumineux et plus étroits que le disque central $\;{\big (}$ voir ci-contre ${\big )}$ ;

     quelques valeurs numériques : avec le faisceau laser précédent de longueur d'onde à vide $\;\lambda _{0}=0,633\;\mu m\;$ ^[9] et
     quelques valeurs numériques : avec des diamètres de diaphragme de $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}0,300\;mm\\0,200\;mm\\0,100\;mm\end{array}}\right\rbrace$ ,
     quelques valeurs numériques : l'écran étant situé à une distance $\;D=1,80\;m\;$ de la fente,
     quelques valeurs numériques : on observe respectivement, avec les diamètres $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}0,300\;mm\\0,200\;mm\\0,100\;mm\end{array}}\right\rbrace \;$ précédents,
     quelques valeurs numériques : on observe un diamètre de tache d'Airy ^[12] approximativement égal à $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}5,0\;mm\\6,5\;mm\\14,0\;mm\end{array}}\right\rbrace \;$ ^[10]^, ^[13].

Diffraction par un voilage

La lumière arrivant sur un endroit précis du voilage, seule une petite partie de ce dernier est utilisée pour le phénomène de diffraction, l'endroit utilisé du voilage se comportant alors comme une fente rectangulaire ;
on observe une diffraction par la largeur $\;a\;$ et la longueur $\;b\;$ fournissant une tache centrale brillante de largeur $\;L_{a}\;$ et de longueur $\;L_{b}\;$ d'autant plus grande respectivement que $\;a\;$ et $\;b\;$ sont petits et des taches secondaires plus sombres sur les deux axes de la tache centrale ;

Ci-contre la figure de diffraction d'un voilage à maille carrée.

Dimension du trou pour observer le phénomène de diffraction à l'infini

À retenir

     On observe le phénomène de diffraction à l'infini par une ouverture plane
     On observe le phénomène de diffraction à l'infini dès lors que « la dimension de celle-ci suivant une direction de son plan
     On observe le phénomène de diffraction à l'infini dès lors que « la dimension de celle-ci est approximativement $\;\lesssim 100\;\lambda _{0}\;$ » ^[14].

Observation du phénomène de diffraction en mécanique

Le phénomène de diffraction peut être observé sur tous les types d'ondes et en particulier les ondes mécaniques :

les ondes acoustiques dans l'air dont la célérité de propagation est $\;c=340\;m\!\cdot \!s^{-1}\;$ ont des longueurs d'onde de l'échelle « macroscopique » ^[15] $\;{\Big \{}$ en effet une voix d'homme $\;{\big (}$ respectivement de femme ${\big )}\;$ ayant une fréquence moyenne $\;f_{{\text{moy}},\,H}=125\;Hz\;$ ${\big (}$ respectivement $\;f_{{\text{moy}},\,F}=250\;Hz{\big )}\;$ correspond à une longueur d'onde $\;\lambda _{{\text{moy}},\,H}={\dfrac {340}{125}}\simeq 2,7\;m\;$ ${\Big (}$ respectivement $\;\lambda _{{\text{moy}},\,F}={\dfrac {340}{250}}\simeq 1,35\;m{\Big )}\!{\Big \}}$ ,
les ondes acoustiques dans l'air la diffraction intervient dès que « la limitation de l'expansion spatiale est $\;\lesssim \;$ à $\;200\;m\;$ pour une voix d'homme »
les ondes acoustiques dans l'air la diffraction intervient dès que $\;{\big (}$ respectivement $\;\lesssim \;$ à $\;100\;m\;$ pour une voix de femme ${\big )}$ ,
les ondes acoustiques dans l'air la diffraction intervient c.-à-d. quand l'onde sonore associée rencontre une porte ouverte de largeur $\;0,80\;m\;$ ^[16] ;
les ondes de vibration sur la surface d'eau de la cuve à ondes sont également sensibles au phénomène de diffraction, voir la figure ci-contre :
les ondes de vibration sur la surface d'eau de la cuve à ondes la « fente » y est de largeur approximative $\;4\;$ fois la « longueur d'onde » ^[17] et
les ondes de vibration sur la surface d'eau de la cuve à ondes le phénomène de diffraction y est assez nettement observable.

Lien (admis) entre la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction

Expression du lien entre la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction

     Le lien expérimental observé précise l'échelle angulaire de diffraction $\;\theta _{1}\;$ ${\big (}$ c.-à-d. la « demi-largeur angulaire » ^[18] de la tache centrale ${\big )}\;$ en fonction de la longueur d'onde $\;\lambda \;$ et
          Le lien expérimental observé précise l'échelle angulaire de diffraction $\;\color {transparent}{\theta _{1}}\;$ $\color {transparent}{\big (}$ c.-à-d. la « demi-largeur angulaire » de la tache centrale $\color {transparent}{\big )}\;$ en fonction de la largeur de la fente $\;a\;$ soit
     Le lien expérimental observé précise l'échelle angulaire de diffraction $\;\color {transparent}{\theta _{1}}\;$ « $\;\theta _{1}\simeq \arcsin \!\left({\dfrac {\lambda }{a}}\right)\;$ » ^[19] ;

dans le cas où la fente est remplacée par un diaphragme circulaire, la taille de l'ouverture qui intervient est le diamètre du diaphragme $\;{\big (}$ encore noté $\;a{\big )}\;$ et
dans le cas où la fente est remplacée par un diaphragme circulaire, le rayon angulaire de tache centrale $\;{\big (}$ appelée « tache d'Airy » ^[12] ${\big )}\;$ est $\;\theta _{1}\;$ tel que « $\;\theta _{1}\simeq \arcsin \!\left(1,22\;{\dfrac {\lambda }{a}}\right)\;$ » ^[19] ;

on remarque que $\;\theta _{1}\;$ acquiert une valeur observable dès lors que $\;a\;{\cancel {\gg }}\;\lambda \;$ ^[20].

Allure de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par une fente, en fonction de l'angle d'observation

La fonction intervenant dans le tracé de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par une fente de largeur $\;a\;$ dans la direction repérée par l'angle $\;\theta \;$ ^[21] est la valeur absolue du « sinus cardinal » $\;{\bigg \{}$ « sinus cardinal » définie selon « $\;\mathrm {sinc} (x)={\dfrac {\sin(x)}{x}}\;$ » ^[22] ${\bigg \}}\;$ de la variable $\;{\dfrac {\pi \;a\;\sin(\theta )}{\lambda }}\;$ soit « $\;A(\theta )=a_{0}\;\left\vert \,\mathrm {sinc} \!\left[{\dfrac {\pi \;a\;\sin(\theta )}{\lambda }}\right]\right\vert \;$ » dans laquelle $\;a_{0}\;$ est l'amplitude de l'onde incidente sur la fente $\;{\big (}$ O.P.P. ^[23] suivant la direction $\;\perp \;$ à la fente ${\big )}$ , voir diagramme ci-dessous :

     additif mathématique ^[24] : La fonction « sinus cardinal $\;\mathrm {sinc} (x)={\dfrac {\sin(x)}{x}}\;$ » est « définie et continue sur $\;\mathbb {R} ^{*}$ » ;
           additif mathématique : on prolonge sa définition en $\;x=0\;$ par continuité selon « $\;\mathrm {sinc} (0)=1\;$ » ^[25] et ainsi
           additif mathématique : on prolonge « son domaine de définition et continuité devient $\;\mathbb {R} \;$ » ;
           additif mathématique : « son domaine de dérivabilité $\;\mathbb {R} ^{*}\;$ est prolongé par continuité en $\;\mathbb {R} \;$ », en effet pour $\;x\neq 0\;$ sa dérivée valant $\;{\dfrac {d\left[\mathrm {sinc} \right]}{dx}}(x)={\dfrac {x\,\cos(x)-\sin(x)}{x^{2}}}\;$ présente une forme indéterminée en $\;x=0\;$ pour laquelle sa levée conduit à une limite nulle d'où le prolongement par continuité de sa définition $\;{\dfrac {d\left[\mathrm {sinc} \right]}{dx}}(0)=0\;$ ^[26] ;
           additif mathématique : on prolonge enfin pour terminer notons les propriétés suivantes :
           additif mathématique : on prolonge $\;\succ \;$ la fonction est paire,
           additif mathématique : on prolonge $\;\succ \;$ elle s'annule pour les valeurs $\;x_{p}\neq 0\;$ annulant $\;\sin(x_{p})\;$ c.-à-d.
           additif mathématique : on prolonge $\;\color {transparent}{\succ }\;$ elle s'annule pour $\;x_{p}=p\,\pi ,\;p\in \mathbb {Z} ^{*}$ ,
           additif mathématique : on prolonge $\;\succ \;$ elle a un maximum principal en $\;x_{0}=0\;$ de valeur $\;1\;$ et
           additif mathématique : on prolonge $\;\succ \;$ elle a des extrema secondaires en $\;x_{m}\;$ définis par « $\;x_{m}\;\cos(x_{m})=\sin(x_{m})\;$ »
           additif mathématique : on prolonge $\;\color {transparent}{\succ }\;$ elle a des extrema secondaires en $\;\color {transparent}{x_{m}}\;$ définis par « $\;\color {transparent}{x_{m}\;\cos(x_{m})}$ $\Updownarrow$
                  additif mathématique : on prolonge $\;\color {transparent}{\succ }\;$ elle a des extrema secondaires en $\;\color {transparent}{x_{m}}\;$ définis par « $\;\tan(x_{m})=x_{m}\;$ » $\ldots$
           additif mathématique : Voir tracé du graphe de sinus cardinal ci-contre.

Allure de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme, en fonction de l'angle d'observation

La fonction intervenant dans le tracé de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme de diamètre $\;a\;$ dans la direction repérée par l'angle $\;\theta \;$ ^[27] est définie à partir de la « fonction de Bessel ^[28] de 1^ère espèce $\;J_{1}(x)\;$ » ^[29]^, ^[30] de la variable $\;{\dfrac {a\;\sin(\theta )}{\lambda }}\;$ soit « $\;A(\theta )=a_{0}\,\left\lbrace 2\;\left\vert \,{\dfrac {J_{1}\!\left[\pi \,{\dfrac {a\;\sin(\theta )}{\lambda }}\right]}{\pi \,{\dfrac {a\;\sin(\theta )}{\lambda }}}}\right\vert \right\rbrace \;$ » ^[29] dans laquelle $\;a_{0}\;$ est l'amplitude de l'onde incidente sur le diaphragme $\;{\big (}$ O.P.P. ^[23] suivant la direction $\;\parallel \;$ à l'axe du diaphragme ${\big )}$ , voir diagramme ci-dessous :

Graphe de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme $\;A(\theta )\;$ en fonction de l'angle $\;\theta \;$ d'observation ^[27] plus exactement,
graphe de $\;{\dfrac {A(\theta )}{a_{0}}}\;$ en fonction de l'angle $\;\theta \;$ d'observation ^[27]

additif mathématique ^[24] : Les fonctions de Bessel ^[28] de 1^ère espèce $\;J_{n}(x),\;n\in \mathbb {N} \;$ peuvent être définies :

sous forme intégrale « $\;J_{n}(x)={\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]d\tau \;$ » ^[31] soit, pour les deux 1^ères fonctions « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}J_{0}(x)={\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[x\,\sin(\tau )\right]d\tau \\J_{1}(x)={\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[\tau -x\,\sin(\tau )\right]d\tau \end{array}}\right\rbrace \;$ » ou
sous forme de solution particulière de l'équation différentielle du 2^ème ordre en $\;y(x)\;$ non linéaire et homogène « $\;x^{2}\,{\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}(x)+x\,{\dfrac {dy}{dx}}(x)+\left[x^{2}-n^{2}\right]y(x)=0\;$ » ^[32], $\;{\big (}$ les C.I. ^[33] restant à préciser suivant la valeur de $n{\big )}\;$ ainsi
« $\;J_{1}(x)\;$ est définie comme la solution particulière avec $\;J_{1}(0)=0\;$ et $\;{\dfrac {dJ_{1}}{dx}}(0)={\dfrac {1}{2}}\;$ comme C.I. ^[33] de l'équation $\;x^{2}\,{\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}(x)+x\,{\dfrac {dy}{dx}}(x)+\left[x^{2}-1\right]y(x)=0\;$ » alors que
« $\;J_{0}(x)\;$ est la solution particulière avec $\;J_{0}(0)=1\;$ et $\;{\dfrac {dJ_{0}}{dx}}(0)=0\;$ comme C.I. ^[33] de l'équation $\;x^{2}\,{\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}(x)+x\,{\dfrac {dy}{dx}}(x)+x^{2}\,y(x)=0\;$ ».

' Preuve : 2^ème définition déduite de la 1^ère définition'

     De $\;J_{n}(x)={\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]d\tau \;$ on tire
      $\;{\dfrac {dJ_{n}}{dx}}(x)={\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\sin(\tau )d\tau \;$ puis
      $\;{\dfrac {d^{2}J_{n}}{dx^{2}}}(x)={\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }-\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\sin ^{2}(\tau )d\tau \;$ et
     on forme le 1^er membre de l'équation différentielle « $\;A_{n}=$ $x^{2}\,{\dfrac {d^{2}J_{n}}{dx^{2}}}(x)+x\,{\dfrac {dJ_{n}}{dx}}(x)+\left[x^{2}-n^{2}\right]J_{n}(x)\;$ » afin de vérifier qu'il vaut $\;0$ , le report des expressions intégrales conduisant à « $\;A_{n}=$ ${\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\left[-x^{2}\,\sin ^{2}(\tau )+x^{2}-n^{2}\right]d\tau +\cdots$ $\cdots \,{\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]x\,\sin(\tau )d\tau =A_{n,\,1}+A_{n,\,2}\;$ » soit, en simplifiant l'« intégrande » ^[34] de la 1^ère intégrale $\;A_{n,\,1}\;$ par utilisation de $\;-x^{2}\,\sin ^{2}(\tau )+x^{2}=x^{2}\,\cos ^{2}(\tau )\;$ d'où $\;A_{n,\,1}=$ ${\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\left[x^{2}\,\cos ^{2}(\tau )-n^{2}\right]d\tau \;$ et, en transformant la 2^nde $\;A_{n,\,2}\;$ par intégration par parties $\;{\big (}$ i.p.p. ${\big )}\;$ ^[35] $\;\displaystyle \int _{a}^{b}u\,dv=\left[u\,v\right]_{a}^{b}-\displaystyle \int _{a}^{b}v\,du\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}u=\sin \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\\dv=x\,\sin(\tau )d\tau \end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}du=\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\,\left\lbrace n-x\,\cos(\tau )\right\rbrace d\tau \\v=-x\,\cos(\tau )\end{array}}\right\rbrace \;$ soit « $\;\pi \,A_{n,\,2}$ $={\cancel {\left[\sin \!\left\lbrace n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right\rbrace \left\lbrace -x\,\cos(\tau )\right\rbrace \right]_{0}^{\pi }}}-\cdots$ $\cdots \;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\left[-x\,\cos(\tau )\right]\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\,\left\lbrace n-x\,\cos(\tau )\right\rbrace d\tau =$ $\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\,\left[n\,x\,\cos(\tau )-x^{2}\,\cos ^{2}(\tau )\right]d\tau \;$ » soit, en regroupant avec la 1^ère intégrale $\;A_{n,\,1}\;$ qui est telle que $\;\pi \;A_{n,\,1}=$ $\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\left[x^{2}\,\cos ^{2}(\tau )-n^{2}\right]d\tau$ , on trouve « $\;\pi \;A_{n}$ $=-n\;\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\left[n-x\,\cos(\tau )\right]d\tau \;$ » dont on termine l'intégration par changement de variable $\;\tau '=n\,\tau -x\,\sin(\tau )\;$ soit « $\;A_{n}$ $=-n\,{\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]d\!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]=$ $-{\dfrac {n}{\pi }}{\cancel {\left[\sin \!\left\lbrace n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right\rbrace \right]_{0}^{\pi }}}=0\;$ » C.Q.F.V. ^[36].

     additif mathématique $\;{\big (}$ fin ${\big )}\;$ ^[24] : Pour terminer le tour d'horizon, quelques relations de récurrence « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}J_{n+1}(x)={\dfrac {n\,J_{n}(x)}{x}}-{\dfrac {dJ_{n}}{dx}}(x)\\J_{n+1}(x)+J_{n-1}(x)={\dfrac {2\,n}{x}}\,J_{n}(x)\\J_{n+1}(x)-J_{n-1}(x)=-2\,{\dfrac {dJ_{n}}{dx}}(x)\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[37] permettant de déduire
           additif mathématique $\;\color {transparent}{\big (}$ fin $\color {transparent}{\big )}\;$ : Pour terminer le tour d'horizon, « $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}J_{1}(x)=-{\dfrac {dJ_{0}}{dx}}(x)\\{\dfrac {d}{dx}}\left[x^{n}\,J_{n}(x)\right]=x^{n}\,J_{n-1}(x)\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[38] et en particulier « $\;{\dfrac {d\left[x\,J_{1}\right]}{dx}}(x)=x\,J_{0}(x)\;$ » en faisant $\;n=1\;$ dans la 2^ème relation
              additif mathématique $\;\color {transparent}{\big (}$ fin $\color {transparent}{\big )}\;$ : Pour terminer le tour d'horizon, « $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\dfrac {d}{dx}}\left[x^{n}\,J_{n}(x)\right]=x^{n}\,J_{n-1}(x)\right\rbrace }\;$ » et en particulier « $\;\color {transparent}{{\dfrac {d\left[x\,J_{1}\right]}{dx}}(x)}$ $\Updownarrow$
           additif mathématique $\;\color {transparent}{\big (}$ fin $\color {transparent}{\big )}\;$ : Pour terminer le tour d'horizon, « $\;\color {transparent}{\left\lbrace {\begin{array}{l}J_{1}(x)=-{\dfrac {dJ_{0}}{dx}}(x)\\{\dfrac {d}{dx}}\left[x^{n}\,J_{n}(x)\right]=x^{n}\,J_{n-1}(x)\end{array}}\right\rbrace }\;$ » et en particulier « $\;J_{1}(x)+x\,{\dfrac {dJ_{1}}{dx}}(x)=x\,J_{0}(x)\;$ » dont on tire
           additif mathématique $\;\color {transparent}{\big (}$ fin $\color {transparent}{\big )}\;$ : Pour terminer le tour d'horizon, l'expression de la dérivée 1^ère de $\;J_{1}(x)$ , soit « $\;{\dfrac {dJ_{1}}{dx}}(x)=J_{0}(x)-{\dfrac {J_{1}(x)}{x}}\;$ » $\ldots$
           additif mathématique $\;\color {transparent}{\big (}$ fin $\color {transparent}{\big )}\;$ : Pour terminer le tour d'horizon, Voir le graphe des deux fonctions de Bessel ^[28] $\;J_{0}\;$ et $\;J_{1}\;$ ci-dessus à droite.

' Preuve de la 1^ère relation de récurrence'

De la définition de la fonction de Bessel ^[28] de 1^ère espèce sous forme intégrale « $\;J_{n+1}(x)={\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[(n+1)\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]d\tau$ $={\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left\lbrace \left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]+\tau \right\rbrace d\tau \;$ » on tire $\;\pi \,J_{n+1}(x)=$ $\displaystyle \int _{0}^{\pi }\left\lbrace \cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\cos(\tau )-\sin \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\sin(\tau )\right\rbrace d\tau \;$ par formule trigonométrique d'addition ^[39] soit, l'intégrale d'une somme d'« intégrandes » ^[34] étant la somme des intégrales de chacun des « intégrandes » ^[34] $\;{\big \{}$ dans la mesure de l'existence de chacune ${\big \}}$ , « $\;\pi \,J_{n+1}(x)$ $=\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\cos(\tau )\,d\tau -\cdots$ $\cdots \,\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\sin(\tau )d\tau \;$ » dans laquelle la 2^ème intégrale est $\;\pi \;$ fois la dérivée de $\;J_{n}(x)\;$ par rapport à $\;x\;$ car $\;J_{n}(x)={\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]d\tau$ $\Rightarrow$ ${\dfrac {dJ_{n}}{dx}}(x)=$ ${\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\sin(\tau )d\tau$ ; pour évaluer la 1^ère intégrale $\;I_{1}=\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\cos(\tau )d\tau \;$ on la transforme en remarquant que $\;\cos(\tau )={\dfrac {\left[n-x\,\cos(\tau )\right]-n}{-x}}\;$ soit $\;I_{1}=$ ${\dfrac {-1}{x}}\,\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\left\lbrace \left[n-x\,\cos(\tau )\right]-n\right\rbrace \,d\tau \;$ d'où $\;x\,I_{1}$ $=-\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]\left[n-x\,\cos(\tau )\right]d\tau +\cdots$ $\cdots \,n\,\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]d\tau \;$ de façon à faire apparaître dans la 1^ère intégrale la forme $\;\cos \!\left[g(\tau )\right]g'(\tau )d\tau \;$ admettant $\;\sin \!\left[g(\tau )\right]\;$ comme primitive d'où $\;x\,I_{1}=-{\cancel {\left[\sin \!\left\lbrace n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right\rbrace \right]_{0}^{\pi }}}+\cdots$ $\cdots \,n\,\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]d\tau$ , la dernière intégrale s'identifiant à $\;n\,\pi \,J_{n}(x)\;$ d'où « $\;\pi \,J_{n+1}(x)={\dfrac {n\,\pi \,J_{n}(x)}{x}}-\pi \,{\dfrac {dJ_{n}}{dx}}(x)\;$ » ; on a donc établi la 1^ère relation de récurrence ^[40] à savoir « $\;J_{n+1}(x)=$ ${\dfrac {n\,J_{n}(x)}{x}}-{\dfrac {dJ_{n}}{dx}}(x)\;$ ».

L'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme de diamètre $\;a\;$ dans la direction repérée par l'angle $\;\theta \;$ d'observation ^[27] s'écrivant « $\;A(u)=a_{0}\,\left\lbrace 2\;\left\vert {\dfrac {J_{1}(\pi \,u)}{\pi \,u}}\right\vert \right\rbrace \;$ ^[29] avec $\;u={\dfrac {a\,\sin(\theta )}{\lambda }}\;$ variable sans dimension » ^[41] est une forme indéterminée en $\;x=\pi \,u=0\;$ car $\;J_{1}(x)=0$ ; on lève l'indétermination par $\;J_{1}(x)+x\,{\dfrac {dJ_{1}}{dx}}(x)=x\,J_{0}(x)\;$ ^[42] $\Rightarrow$ « $\;{\dfrac {J_{1}(x)}{x}}=J_{0}(x)-{\dfrac {dJ_{1}}{dx}}(x)\;$ » et par suite $\;\lim \limits _{x\rightarrow 0}{\dfrac {J_{1}(x)}{x}}=J_{0}(0)-{\dfrac {dJ_{1}}{dx}}(0)=1-{\dfrac {1}{2}}\;$ ^[43] soit « $\;\lim \limits _{x\rightarrow 0}{\dfrac {J_{1}(x)}{x}}={\dfrac {1}{2}}\;$ » d'où la « valeur $\;{\dfrac {1}{2}}\;$ pour $\;{\dfrac {J_{1}(x)}{x}}\;$ en $\;x=0\;$ ^[44], en prolongeant sa définition par continuité » $\Rightarrow$ « $\;\lim \limits _{u\rightarrow 0}2\;{\dfrac {J_{1}(\pi \,u)}{\pi \,u}}=1\;$ » d'où l'« amplitude de l'onde incidente sur le diaphragme $\;a_{0}\;$ » est aussi l'« amplitude de l'onde diffractée à l'infini par le diaphragme de diamètre $\;a\;$ dans la direction repérée par l'angle d'observation ^[27] $\;\theta =0\;$ » c.-à-d. l'amplitude au centre de la tache d'Airy ^[12] $\;{\big (}$ correspondant à la valeur maximale d'amplitude ${\big )}$ .

Comparaison sur un même diagramme de l'allure de l'amplitude des ondes diffractées à l'infini par une fente et un diaphragme de même dimension, en fonction de l'angle d'observation

Graphes comparés de l'amplitude des ondes diffractées à l'infini $\;A(\theta )\;$ par
une fente $\;{\big (}$ graphe en traits continus rouges ${\big )}\;$ ou
un diaphragme de même dimension $\;{\big (}$ graphe en tiretés bleus ${\big )}\;$
en fonction de l'angle $\;\theta \;$ d'observation ^[45] plus exactement,
graphes comparés de $\;{\dfrac {A(\theta )}{a_{0}}}\;$ ${\big \{}$ avec $\;a_{0}\;$ amplitude de l'onde incidente ^[46] ${\big \}}$

     Lors de la superposition du graphe donnant l'allure de l'amplitude des ondes diffractées à l'infini par une fente de largeur $\;a\;$ en fonction de l'angle $\;\theta \;$ d'observation ^[21] $\;{\big (}$ graphe en traits continus rouges sur le diagramme ci-dessus ${\big )}\;$ et
     Lors de la superposition du graphe donnant l'allure de l'amplitude des ondes diffractées à l'infini par un diaphragme de diamètre $\;a\;$ en fonction de l'angle $\;\theta \;$ d'observation ^[27] $\;{\big (}$ graphe en tiretés bleus sur le diagramme ci-dessus ${\big )}$ ,
     Lors de la superposition on remarque que :

l'« amplitude des ondes diffractées à l'infini dans la direction centrale ^[47] » est égale à l'amplitude $\;a_{0}\;$ de l'onde incidente ^[46], que la diffraction se fasse par une fente ou un diaphragme ^[48],
la demi-largeur angulaire ^[18] de la tache centrale dans le cas de la diffraction par une fente « $\;\theta _{1,\,{\text{fente}}}\simeq \arcsin \!\left({\dfrac {\lambda }{a}}\right)\;$ » ^[19] est « légèrement plus petite » que le rayon angulaire de la « tache d'Airy ^[12] » dans le cas de la diffraction par un diaphragme de diamètre égale à la largeur de la fente « $\;\theta _{1,\,{\text{diaph.}}}\simeq \arcsin \!\left(1,22\;{\dfrac {\lambda }{a}}\right)\;$ » ^[19] $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « expression du lien entra la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction » plus haut dans ce chapitre ${\big \}}$ , le cœfficient multiplicateur de $\;1,22\;$ est approximativement dans un rapport de $\;5\;$ pour $\;4$ , et enfin,
le contraste entre le disque central « disque d'Airy ^[12] » et le 1^er anneau dans le cas de la diffraction par un diaphragme est « plus marqué » que celui entre la tache centrale et les 1^ères taches dans le cas de la diffraction par une fente ^[49].

Principe de Huygens Fresnel et tentative d'explication du phénomène de diffraction

Donné à titre de complément.

Hypothèse de Huygens (1678)

Chaque point $\;M\;$ d'une surface d'onde $\;\Sigma \;$ ^[50] créée à partir d'une source ponctuelle $\;S\;$ peut être considéré à son tour comme une source ponctuelle secondaire $\;M_{S}\;$ émettant des « ondelettes » dans toutes les directions, ces ondelettes secondaires interférant entre elles de telle sorte que toute nouvelle surface d'onde ^[50] d'origine $\;\Sigma '\;$ ^[51] soit l'« enveloppe » ^[52] de toutes les surfaces d'onde ^[50] secondaires émises par les sources ponctuelles secondaires $\;M_{S}$ .

Traduction de l'hypothèse de Huygens ^[53] pour des ondes planes

Ci-contre deux exemples, le 1^er à gauche correspondant à des ondes sphériques issues d'une source ponctuelle $\;S\;$ à distance finie,
Ci-contre deux exemples, le 2^ème à droite correspondant à des ondes planes pouvant être considérées comme issues d'une source ponctuelle $\;S\;$ située à l'infini.

Explication de l'utilisation de l'hypothèse de Huygens ^[53] :

     Soit une surface d'onde ^[50] primaire $\;\Sigma \;$ considérée à l'instant $\;t\;$ et
     Soit la surface d'onde ^[50] primaire correspondante $\;\Sigma '\;$ à l'instant $\;t+T$ ,
     on cherche à expliquer l'état vibratoire de l'onde en $\;M'\;$ ${\big (}$ point générique de la surface d'onde ^[50] primaire $\;\Sigma '{\big )}\;$ à l'instant $\;t+T\;$ à partir de l'interférence des ondelettes sphériques secondaires issues des sources secondaires $\;M_{S}\;$ confondues avec $\;M\;$ ${\big (}$ point générique de la surface d'onde ^[50] primaire $\;\Sigma {\big )}\;$ à l'instant $\;t$ ; ces ondelettes secondaires peuvent être séparées en :

une ondelette sphérique secondaire de centre $\;M_{S}\;$ qui arrive en $\;M'\;$ dans le « même état vibratoire » ^[54] que celui de sa création en $\;M\;$ car $\;MM'=\lambda \;$ ^[55],
des ondelettes sphériques secondaires centrées en $\;M_{S'}\in \Sigma \;$ situés de part et d'autres de $\;M_{S}$ ,
des ondelettes sphériques secondaires centrées en $\;\color {transparent}{M_{S'}\in \Sigma }\;$ celles reçues par $\;M'\;$ à l'instant $\;t+dt\;$ étant celles émises par $\;M_{S'}\;$ à l'instant « $\;t+dt-{\dfrac {M_{S'}M'}{c}}\;$ » ;
des ondelettes sphériques secondaires centrées en $\;\color {transparent}{M_{S'}\in \Sigma }\;$ à chaque ondelette centrée en un point particulier $\;M_{S'}\;$ on peut faire correspondre une ondelette centrée en un autre point particulier $\;M_{S''}\;$ situé dans le voisinage de $\;M_{S'}\;$ telle que leur superposition en $\;M'\;$ donne une « interférence destructive » $\;{\bigg (}\!$ par exemple si $\;M_{S'}M'=1,2\,\lambda \;$ on choisit $\;M_{S''}\;$ tel que $\;M_{S''}M'=1,7\,\lambda \;$ et ainsi la différence de marche $\;M_{S''}M'-M_{S'}M'\;$ valant $\;0,5\,\lambda \;$ leurs ondelettes reçues par $\;M'\;$ à l'instant $\;t+dt\;$ sont celles émises par $\;M_{S'}\;$ et $\;M_{S''}\;$ aux instants séparés de $\;{\dfrac {0,5\,\lambda }{c}}=0,5\;T\;$ donc en opposition de phase ce qui génère, en $\;M'$ , une interférence destructive à l'instant $\;t+dt\;$ entre ces ondelettes $\!{\bigg )}$ ;

ainsi seule l'ondelette de centre

\;M_{S}\;

contribue à l'état vibratoire en

\;M'

\ldots

Principe de Huygens - Fresnel (1820) (énoncé partiel)

Fresnel ^[56] interprète les idées de Huygens ^[53] pour expliquer $\;{\big (}$ et « calculer » ^[57] ${\big )}\;$ les phénomènes de diffraction, il énonce le principe suivant ^[58] :

Principe de Huygens - Fresnel (énoncé partiel)

Tout point $\;P\;$ atteint par la lumière issue d'une source primaire peut être considéré comme une source secondaire $\;P_{S}\;$ émettant une onde sphérique, l'état vibratoire de cette source secondaire $\;P_{S}\;$ étant $\;\propto \;$ à celui de l'onde incidente arrivant en $\;P$ ;
on peut obtenir l'état vibratoire de tout point $\;M\;$ atteint postérieurement à $\;P\;$ par la lumière issue de la source primaire, en étudiant l'interférence des ondelettes issues de toutes les sources secondaires $\;P_{S}$ .

Contribution de Fraunhofer

Alors que le principe de Huygens-Fresnel ^[53]^, ^[56] est « applicable » pour calculer la diffraction à distance « quelconque » ^[59] de la « pupille » ^[60] cause de la diffraction,
Alors que Fraunhofer ^[61] énonce le principe en considérant le point $\;M\;$ d'observation de la diffraction, à l'« infini de la pupille ^[60] diffractante » ^[62] ce qui « simplifie notablement les calculs » ^[63].

Tentative d'explication du phénomène de diffraction à l'infini d'une onde plane par une fente infiniment longue

$Tentative d'explication de diffraction à l'infini d'une onde plane par une fente infiniment longue en utilisant les ondelettes secondaires de Huygens [53]$

Tentative d'explication de diffraction à l'infini d'une onde plane par une fente infiniment longue en utilisant les ondelettes secondaires de Huygens ^[53]

     Considérant une fente infiniment longue de largeur $\;a\;$ éclairée par une onde plane dont la « direction de propagation lui est $\;\perp \;$ » ^[64] on observe, au-delà de la fente,
     Considérant une fente infiniment longue de largeur $\;\color {transparent}{a}\;$ éclairée par une onde quasi plane très légèrement déformée sur les bords si « $\;a\gg 100\,\lambda \;$ » $\;{\big \{}$ en effet, à l'exception des bords, tout se passe comme s'il n'y avait pas de limitation d'expansion de l'onde d'où la transmission, au-delà de la fente, du caractère plan $\;{\big (}$ on peut alors refaire l'explication donnée dans le paragraphe « hypothèse de Huygens (1678) » plus haut dans le chapitre ${\big )}\;$ mais, sur les bords, en $\;M'\;$ par exemple sur la figure ci-dessus, il y a une dissymétrie de répartition des sources secondaires relativement à $\;H\;$ projeté orthogonal de $\;M'\;$ sur le plan de la fente ^[65] d'où une « déformation de la surface d'onde ^[50] en $\;M'\;$ » ^[66] et par suite de la « direction de propagation » ^[67] ;
     Considérant une fente infiniment longue de largeur $\;\color {transparent}{a}\;$ éclairée par si « $\;a\lesssim 100\,\lambda \;$ », la partie « onde quasi plane » de la surface d'onde ^[50] s'amenuise d'autant plus que $\;a\;$ est petit,
     Considérant une fente infiniment longue de largeur $\;\color {transparent}{a}\;$ éclairée par si « $\;\color {transparent}{a\lesssim 100\,\lambda }\;$ », ce qui rend la diffraction d'autant plus observable $\ldots$

Diffraction sur un obstacle

     La diffraction est observable lorsque la lumière est limitée par une pupille ^[60] mais aussi lorsqu'elle rencontre un obstacle, par exemple
     La diffraction est observable lors de la diffraction à l'infini d'une onde plane lumineuse par un cheveu $\;{\big (}$ ou un objet opaque de diamètre $\;a\lesssim 100\,\lambda {\big )}$ ,
     La diffraction est observable on observe $-$ à la place de l'ombre projetée du cheveu $-$ des franges lumineuses et obscures de diffraction qui peuvent être justifiées en faisant intervenir l'interférence des ondelettes issues des sources secondaires centrées en tout point, hors cheveu, du plan d'onde contenant ce dernier $\ldots$

Choix de la taille de l'ouverture relativement à la longueur d'onde pour observer le phénomène de diffraction en optique ou en mécanique, exemple de l'interférence lumineuse d'une onde monochromatique séparée par fentes d'Young

Rappel du résultat

À retenir

De façon à ce que le phénomène de diffraction soit observable, il convient de choisir la taille de l'ouverture telle qu'elle ne soit pas grande devant la longueur d'onde, c.-à-d. au plus égale à

\;100\,\lambda \;

soit la largeur de la fente ou le diamètre du diaphragme «

\;a\lesssim 100\,\lambda \;

».

Notion de sources cohérentes

     Pour observer un phénomène d'interférences entre deux ondes, il faut que ces dernières soient synchrones ^[68] et « en phase lors de leur émission par les sources les ayant créées » ^[69] ;
     si on fait se croiser deux faisceaux laser émettant la même longueur d'onde dans le vide, les ondes sont effectivement synchrones ^[68] mais « les sources ne sont pas en phase » ^[69]^, ^[70] et on n'observe pas d'interférences, les ondes émises sont dites « incohérentes » ^[71] ;
     pour obtenir des ondes « cohérentes » ^[72], il suffit qu'elles proviennent d'une même source avec une séparation du faisceau issu de la source en deux faisceaux à déphasage indépendant du temps comme lors de l'observation d'interférences par séparation d'un faisceau laser par fentes d'Young ^[73] $\;{\big (}$ voir le paragraphe « exemple de l'interférence lumineuse d'une onde monochromatique séparée par fentes d'Young » plus loin dans ce chapitre ${\big )}$ .

Exemple de l'interférence lumineuse d'une onde monochromatique séparée par fentes d'Young

On obtient une onde « plane » monochromatique à l'aide d'un faisceau laser « hélium-néon » ^[74]^, ^[75]
et on réalise sa séparation en deux faisceaux synchrones ^[68] et « cohérents » ^[72], divergeant par phénomène de diffraction, à partir de chacune des deux fentes d'Young ^[73] que le faisceau laser incident éclaire $\;{\big (}$ voir la figure ci-contre ${\big )}$ ;

pour chaque fente de largeur $\;d$ , la demi-largeur angulaire de la « tache centrale de diffraction » ^[76] vaut « $\;\theta _{1}=\arcsin \!\left({\dfrac {\lambda _{0}}{d}}\right)\;$ » $\;{\big \{}$ en rappelant que la diffraction par une fente infiniment longue se fait uniquement dans le plan $\;\perp \;$ à la longueur de la fente $\Rightarrow$ la « tache centrale de diffraction » ^[76] s'étale seulement sur la partie de l'écran située dans le plan de la figure ci-contre ${\big \}}$ ;
il y a donc un champ d'interférences « intersection des deux taches centrales de diffraction » ^[76] mais pour que les « franges » ^[77] d'interférences soient observables sur un écran, ce dernier doit être situé au-delà du point $\;A\;$ ${\big (}$ voir figure ci-dessus ${\big )}\;$ défini par $\;\tan(\theta _{1})={\dfrac {\dfrac {a}{2}}{O'A}}\;$ d'où la distance $\;D\;$ entre l'écran et le plan des fentes d'Young ^[73] « $\;D>O'A={\dfrac {a}{2\,\tan(\theta _{1})}}\;$ » $\;{\bigg \{}$ avec $\;d=0,05\,mm$ , la demi-largeur angulaire de la « tache centrale de diffraction » ^[76] vaut « $\;\theta _{1}=\arcsin \!\left({\dfrac {633\;10^{-9}}{0,05\;10^{-3}}}\right)\simeq$ $0,0127\;rad$ $\simeq 0{\text{°}}\,43'\;$ » ^[78] et, en prenant $\;a=0,5\,mm\;$ ^[79], la distance à partir de laquelle on peut observer des interférences est « $\;D_{\text{min}}=$ ${\dfrac {0,5\;10^{-3}}{2\times \tan(0,0127)}}\simeq 0,020\;m\;$ » ${\bigg \}}$ ;

on prend alors « $\;D=2,000\;m\;$ » et la largeur $\;L\;$ du champ d'interférences sur l'écran vaut « $\;L=2\,\left[D\,\tan(\theta _{1})-{\dfrac {a}{2}}\right]=2\,D\,\tan(\theta _{1})-a\;$ » donnant numériquement
on prend alors « $\;\color {transparent}{D=2,000\;m}\;$ » et la largeur $\;\color {transparent}{L}\;$ du champ d'interférences sur l'écran vaut « $\;L=2\times 2,000\times \tan(0,0127)-0,5\;10^{-3}\;$ en $\;m\;$ » soit finalement « $\;L\simeq 5,0\;cm\;$ » ;

on prend alors « $\;\color {transparent}{D=2,000\;m}\;$ » d'autre part nous avons déterminé, dans le paragraphe « échelle de longueur du phénomène d'interférences dans le plan d'observation, notion d'interfrange » du chap. $5$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » traitant des interférences acoustiques et mécaniques mais dont les résultats se prolongent en optique, l'interfrange ^[80] « $\;{\mathit {i}}={\dfrac {\lambda _{0}\,D}{a}}={\dfrac {633\;10^{-9}\times 2,000}{0,5\;10^{-3}}}\simeq$ $2,5\;10^{-3}\;$ en $\;m\;$ » soit « $\;{\mathit {i}}\simeq 2,5\;mm\;$ » et nous en déduisons le nombre d'interfranges dans le champ d'interférences sur l'écran « $\;N={\dfrac {L}{\mathit {i}}}=20\;$ » ^[81] ;

ci-dessous le « diagramme de variation de l'amplitude

\;{\mathcal {A}}(\theta )\;

» ^[82] en fonction de l'angle

\;\theta \;

d'observation des interférences.

Conséquences de la diffraction sur la focalisation et sur la propagation d'un faisceau laser

Divergence d'un faisceau laser

     Un faisceau laser n'est pas rigoureusement $\;\parallel$ , cela résulte de son expansion transversale finie, par exemple
     Un faisceau laser n'est pas rigoureusement $\;\color {transparent}{\parallel }$ , pour la longueur d'onde dans le vide du laser hélium-néon $\;\lambda _{0}=633\;nm\;$ et
     Un faisceau laser n'est pas rigoureusement $\;\color {transparent}{\parallel }$ , pour un diamètre de sortie $\;a=0,5\;mm$ ,
     Un faisceau laser n'est pas rigoureusement $\;\color {transparent}{\parallel }$ , le rayon angulaire ou « demi-angle d'ouverture » ^[83] vaut « $\;\theta _{1}=\arcsin \!\left(1,22\;{\dfrac {\lambda _{0}}{a}}\right)$ $=\arcsin \!\left(1,22\times {\dfrac {633\;10^{-9}}{0,5\;10^{-3}}}\right)$ $\simeq 1,55\;10^{-3}\;rad\simeq 5,4'\;$ » ^[78] ;

Un faisceau laser n'est pas rigoureusement $\;\color {transparent}{\parallel }$ , plaçant un écran à une distance $\;D=5\;m\;$ on observe une « tache de diamètre $\;d\simeq 2\left(D\;\theta _{1}\right)\simeq 2\times \left(5\times 1,55\;10^{-3}\right)\simeq 15,5\;mm=1,55\;cm\;$ »
Un faisceau laser n'est pas rigoureusement $\;\color {transparent}{\parallel }$ , plaçant un écran à une distance $\;\color {transparent}{D=5\;m}\;$ c.-à-d. un élargissement « non négligeable » ^[84] du diamètre du faisceau à grande distance de la source.

Focalisation d'un faisceau laser

     La diffraction se manifeste aussi quand on cherche à focaliser un faisceau laser à l'aide d'un objectif de microscope de « distance focale $\;{\mathit {f}}_{\mathit {i}}\;$ » ^[85],
     La diffraction se manifeste la dimension transversale du faisceau ne s'annule pas $\;{\big \{}$ contrairement à ce qu'exigerait une focalisation parfaite résultant de la 1^ère loi de l'optique géométrique ^[86] ${\big \}}$ ,
     La diffraction se manifeste elle passe simplement par une valeur minimale « $\;a_{\text{min}}\;$ » que l'on détermine également par la relation « $\;\sin(\theta )=1,22\;{\dfrac {\lambda _{0}}{a_{\text{min}}}}\;$ » où « $\;\theta \;$ est le demi-angle d'ouverture du faisceau convergent imposé par l'objectif de microscope » et « $\;a_{\text{min}}\;$ la valeur minimale du diamètre du faisceau à l'endroit de la convergence » soit encore
     La diffraction se manifeste elle passe simplement par une valeur minimale « $\;a_{\text{min}}=1,22\;{\dfrac {\lambda _{0}}{\sin(\theta )}}\;$ » ;

     La diffraction se manifeste avec la relation déterminant le demi-angle d'ouverture $\;\theta \;$ à partir de la distance focale de l'objectif de microscope ^[85] et du diamètre $\;a\;$ du faisceau incident « $\;\tan(\theta )={\dfrac {\dfrac {a}{2}}{{\mathit {f}}_{\mathit {i}}}}\;$ » ou,
     La diffraction se manifeste sachant que l'angle $\;\theta \;$ est petit ce qui permet l'approximation « $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\tan(\theta )\simeq \theta \\\sin(\theta )\simeq \theta \end{array}}\right\rbrace \;$ à l'ordre un en $\;\theta \;$ » ^[87] et par suite de « confondre $\;\tan(\theta )\;$ avec $\;\sin(\theta )\;$ au même ordre un en $\;\theta \;$ », d'où « $\;\sin(\theta )\simeq {\dfrac {a}{2\,{\mathit {f}}_{\mathit {i}}}}\;$ à l'ordre un en $\;\theta \;$ » ;
     La diffraction se manifeste finalement « la valeur minimale du diamètre du faisceau à l'endroit de la convergence s'évalue par $\;a_{\text{min}}\simeq 1,22\;{\dfrac {2\;\lambda _{0}\;{\mathit {f}}_{\mathit {i}}}{a}}\;$ » ;

La diffraction se manifeste si « $\;{\mathit {f}}_{\mathit {i}}=10\;cm\;$ avec $\;a=0,50\;mm\;$ et $\;\lambda _{0}=633\;nm\;$ » on trouve « $\;a_{\text{min}}\simeq 1,22\times {\dfrac {2\times 633\;10^{-9}\times 0,1}{0,50\;10^{-3}}}\simeq 0,30\;10^{-3}\;m=0,30\;mm\;$ » ^[88].

Notes et références

↑ $\;1\;THz=10^{12}\;Hz\;$ lire « térahertz ».
↑ On ajoute l'indice $\;{}_{0}\;$ pour distinguer la longueur d'onde dans le vide de la longueur d'onde dans le milieu transparent.
↑ Quelques autres longueurs d'onde dans le vide peuvent être retenues en lien avec la couleur observée :
« $\;\lambda _{0,\,{\text{bleu}}}\in \left[0,435\;\mu m\,;\,0,465\;\mu m\right]\;$ », « $\;\lambda _{0,\,{\text{vert}}}\in \left[0,500\;\mu m\,;\,0,560\;\mu m\right]\;$ », « $\;\lambda _{0,\,{\text{jaune}}}\in \left[0,560\;\mu m\,;\,0,590\;\mu m\right]\;$ » et « $\;\lambda _{0,\,{\text{rouge}}}\in \left[0,620\;\mu m\,;\,0,780\;\mu m\right]\;$ » $\;{\big (}$ partant du rouge moyen à $\;620\;nm$ , passant par le rouge primaire à $\;700\;nm\;$ et allant jusqu'au rouge extrême à $\;780\;nm{\big )}$ .
↑ C.-à-d. sans limite ni obstacle.
↑ On parle de « diaphragme » pour une ouverture à bord circulaire.
↑ La source est considérée comme étant à l'infini, ce qui se manifeste par une expansion de l'onde émise par le faisceau laser quasi cylindrique de diamètre de l'ordre de quelques $\;mm\;$ d'où le qualificatif « quasi unidimensionnelle ».
↑ C.-à-d. n'émettant qu'une seule fréquence correspondant à une seule longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}$ .
↑ La fente ayant une dimension « sa longueur » grande devant l'autre dimension « sa largeur », la limitation de l'expansion spatiale de l'onde n'intervient que sur la largeur de la fente et on remarque que la dispersion de l'énergie lumineuse se fait dans la direction de l'écran $\;\parallel \;$ à cette largeur, dans la direction de l'écran $\;\parallel \;$ à la longueur la propagation reste unidirectionnelle.
↑ ^9,0 et ^9,1 Laser « hélium – néon » très utilisé dans les expériences d'optique.
↑ ^10,0 et ^10,1 Ces largeurs sont sous-estimées car la tache centrale n'étant pas uniforme l'intensité décroît du centre brillant jusqu'aux bords sombres, théoriquement la largeur doit aller jusqu'aux bords sombres mais ici la largeur estimée s'arrête approximativement à mi-chemin, il s'agit en fait d'une « largeur à mi-intensité ».
↑ Avec $\;a=0,1\;mm$ , la diffraction commence à être observable, la largeur de la tache centrale étant de $\;1,2\;cm$ ; on remarque que plus la fente est étroite, plus le phénomène de diffraction est prononcé.
↑ ^12,0 ^12,1 ^12,2 ^12,3 ^12,4 et ^12,5 George Biddell Airy (1801 - 1892) mathématicien, astronome, géodésien et physicien britannique à qui on doit, entre autres, une théorie des arcs-en-ciel, de nombreuses mesures pendulaires permettant de mesurer la masse de la Terre et la constante de gravitation universelle, ainsi que l'utilisation, dans ses calculs d'optique, de fonctions spéciales mathématiques particulières portant son nom pour lui rendre hommage.
↑ Avec $\;a=0,1\;mm$ , la diffraction commence à être observable, la largeur de la tache centrale étant de $\;1,4\;cm$ ; on remarque que plus le diaphragme est petit, plus le phénomène de diffraction est prononcé, celui-ci étant encore plus contrasté qu'avec une fente.
↑ Sur l'exemple $\;100\;\lambda _{0}=0,063\;mm\;$ et le phénomène de diffraction est observable pour $\;a=0,1\;mm$ , on a donc bien l'ordre de grandeur.
↑ Une longueur $\;{\mathcal {L}}\;$ est dite à l'échelle macroscopique si $\;{\mathcal {L}}\gtrsim 1\;mm\;$ ${\big \{}$ notion déjà entrevue en note « ²⁸ » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big )}$ .
↑ Ainsi deux personnes, dans deux pièces voisines séparées par une porte ouverte, n'ont pas besoin d'être alignées avec la porte pour entendre ce qu'elles disent $\;{\big (}$ ce qui devrait pourtant être le cas si la propagation du son dans l'air à travers l'ouverture d'une porte était purement rectiligne ${\big )}$ .
↑ On observe la valeur de cette dernière au niveau de l'écartement des rides.
↑ ^18,0 et ^18,1 Dans le cas où la fente est remplacée par un diaphragme circulaire, le phénomène de diffraction a la symétrie de révolution et la tache centrale est un disque ;
Dans le cas où la fente est remplacée par un diaphragme circulaire, l'échelle angulaire de diffraction est alors le demi-angle d'ouverture de l'expansion correspondant à la tache centrale,
Dans le cas où la fente est remplacée par un diaphragme circulaire, l'échelle angulaire de diffraction est alors appelé « rayon angulaire de la tache centrale ».
↑ ^19,0 ^19,1 ^19,2 et ^19,3 Résultat admis.
↑ Par exemple pour une largeur de fente (resp. un diamètre de diaphragme) tel(le) que $\;a\lesssim 10\,\lambda$ on trouve $\;\theta _{1}\gtrsim \left\lbrace {\begin{array}{l}0,1\;rad\simeq 6{\text{° avec fente}}\\0,122\;rad\simeq 7{\text{° avec diaphr.}}\end{array}}\right.$ soit, à une distance de $\;D=0,20\;m\;$ une largeur (ou diamètre) de tache centrale $=2\,D\,\theta _{1}\gtrsim \left\lbrace {\begin{array}{l}4,0\;cm\;{\text{avec fente}}\\4,9\;cm\;{\text{avec diaphr.}}\end{array}}\right.\;$ ne passant pas inaperçu(e) à condition toutefois que la répartition de lumière ne soit pas trop faible (sinon, seul le centre de la tache étant visible, la tache centrale apparaîtra moins large).
↑ ^21,0 ^21,1 ^21,2 et ^21,3 Angle que fait la direction de propagation relativement à la normale au plan de la fente.
↑ Forme indéterminée en $\;x=0\;$ prolongée par continuité donnant c.-à-d. $\;\mathrm {sinc} (0)=1$ .
↑ ^23,0 et ^23,1 Onde Plane Progressive.
↑ ^24,0 ^24,1 et ^24,2 Cet additif n'est pas placé dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » car il n'est pas exigible à ce niveau ; il est simplement fourni pour une meilleure compréhension.
↑ En effet quand $\;x\ll 1\;$ ${\big (}x$ étant en radian ${\big )}\;$ son sinus peut être confondu avec sa valeur $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}\;$ soit $\;\sin(x)\sim x\Leftrightarrow {\dfrac {\sin(x)}{x}}\sim 1\;$ dont on déduit $\;\lim \limits _{x\rightarrow 0}\left[\mathrm {sinc} (x)\right]=1$ .
↑ Forme indéterminée de la dérivée en $\;x=0$ :
une 1^ère tentative quand $\;x\ll 1\;$ ${\big (}x$ étant en radian ${\big )}\;$ consistant à écrire les équivalences élémentaires suivantes $\;\sin(x)\sim x\;$ et $\;\cos(x)\sim 1\;$ ${\big \{}$ voir le paragraphe « développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}\;$ conduirait à « $\;{\dfrac {d\left[\mathrm {sinc} \right]}{dx}}(x)={\dfrac {x\,\cos(x)-\sin(x)}{x^{2}}}\sim {\dfrac {x\times 1-x}{x^{2}}}={\dfrac {0}{x^{2}}}\;$ » ne levant pas l'indétermination d'où la nécessité de ne pas se contenter de l'équivalence $\;\cos(x)\sim 1$ ;
une 2^ème tentative plus fine utilisant la formule de trigonométrie $\;\cos(x)=1-2\,\sin ^{2}\!\left({\dfrac {x}{2}}\right)\;$ de façon à prendre l'équivalence $\;\sin \!\left({\dfrac {x}{2}}\right)\sim {\dfrac {x}{2}}\;$ d'où l'approximation quand $\;x\ll 1$ , de $\;\cos(x)\simeq$ $1-2\,\left({\dfrac {x}{2}}\right)^{\!2}\;$ soit $\;\cos(x)\simeq 1-{\dfrac {x^{2}}{2}}\;$ ${\big [}$ ceci définit le développement limité de $\;\cos(x)\;$ au voisinage de $\;0\;$ à l'ordre deux introduit plus finement au chap. $14$ dans la remarque du paragraphe « DL à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ d'où la réécriture de la dérivée quand $\;x\ll 1$ , $\;{\dfrac {d\left[\mathrm {sinc} \right]}{dx}}(x)={\dfrac {x\cos(x)-\sin(x)}{x^{2}}}\simeq$ ${\dfrac {x\left[1-{\dfrac {x^{2}}{2}}\right]-x}{x^{2}}}={\dfrac {-x}{2}}\;$ et par suite $\;\lim \limits _{x\rightarrow 0}\left[{\dfrac {d\left(\mathrm {sinc} \right)}{dx}}(x)\right]=0\;$ valeur donnée à la dérivée en prolongeant sa définition par continuité.
↑ ^27,0 ^27,1 ^27,2 ^27,3 ^27,4 et ^27,5 Angle que fait la direction de propagation relativement à l'axe du diaphragme.
↑ ^28,0 ^28,1 ^28,2 ^28,3 et ^28,4 Friedrich Wilhelm Bessel (1784 - 1846) astronome, mathématicien, géodésien et physicien allemand, essentiellement connu pour avoir effectué, en $\;1838$ , les 1^ères mesures précises de la distance d'une étoile et pour avoir introduit, dans la résolution des problèmes de mécanique céleste faisant intervenir la théorie des perturbations, les fonctions mathématiques dites de Bessel, solutions d'équations différentielles particulières.
↑ ^29,0 ^29,1 et ^29,2 Dont l'introduction sort largement du niveau de cette leçon mais dont il vous sera donné néanmoins quelques éléments $\;{\big (}$ non indispensables à consulter pour comprendre la leçon ${\big )}$ .
↑ Voir l'additif de ce paragraphe ci-après.
↑ Forme sous laquelle F. W. Bessel les a d'abord définies.
↑ F. W. Bessel a établi que les fonctions qu'il avait définies sous forme intégrale vérifiaient cette équation différentielle $\;{\bigg \{}$ un calcul de dérivée 1^ère et 2^nde par rapport à $\;x\;$ de $\;J_{n}(x)=$ ${\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]d\tau \;$ suivi de leur remplacement dans le 1^er membre de l'équation différentielle et d'une intégration par parties $\;{\big (}$ i.p.p. ${\big )}$ $\;{\big [}$ voir le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul (exposé de la méthode d'intégration par parties ou i.p.p.) » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ conduit à un résultat nul ${\bigg \}}$ $\ldots$ d'où la 2^nde façon de définir les fonctions de Bessel de 1^ère espèce.
↑ ^33,0 ^33,1 et ^33,2 Conditions Initiales.
↑ ^34,0 ^34,1 et ^34,2 C.-à-d. la fonction à intégrer $\;{\big (}$ le substantif « intégrande » étant masculin ${\big )}$ .
↑ Cette méthode qui sera vue en détail dans le cours de mathématiques est exposée très succinctement dans le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul (exposé de la méthode d'intégration par parties ou i.p.p.) » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Ce Qu'il Fallait Vérifier.
↑ Voir le paragraphe « propriétés des J_n de l'article Fonction de Bessel » de wikipédia.
↑ La 1^ère relation « $\;J_{1}(x)=-{\dfrac {dJ_{0}}{dx}}(x)\;$ » est un cas particulier de la 1^ère relation de récurrence « $\;J_{n+1}(x)={\dfrac {n\,J_{n}(x)}{x}}-{\dfrac {dJ_{n}}{dx}}(x)\;$ » écrite pour $\;n=0$ ;
la 2^ème relation « $\;{\dfrac {d}{dx}}\left[x^{n}\,J_{n}(x)\right]=x^{n}\,J_{n-1}(x)\;$ » s'obtient en otant la 3^ème relation de récurrence « $\;J_{n+1}(x)-J_{n-1}(x)=-2\,{\dfrac {dJ_{n}}{dx}}(x)\;$ » de la 2^ème « $\;J_{n+1}(x)+J_{n-1}(x)={\dfrac {2\,n}{x}}\,J_{n}(x)\;$ » d'où « $\;2\,J_{n-1}(x)={\dfrac {2\,n}{x}}\,J_{n}(x)+2\,{\dfrac {dJ_{n}}{dx}}(x)\;$ » ou « $\;J_{n-1}(x)={\dfrac {n}{x}}\,J_{n}(x)+{\dfrac {dJ_{n}}{dx}}(x)\;$ » $\Rightarrow$ « $\;x^{n}\,J_{n-1}(x)=n\,x^{n-1}\,J_{n}(x)+x^{n}\,{\dfrac {dJ_{n}}{dx}}(x)\;$ », ce dernier membre étant égal à « $\;{\dfrac {d}{dx}}\left[x^{n}\,J_{n}(x)\right]\;$ » d'où la relation souhaitée « $\;x^{n}\,J_{n-1}(x)={\dfrac {d}{dx}}\left[x^{n}\,J_{n}(x)\right]\;$ ».
↑ C.-à-d. « $\;\cos(a+b)=\cos(a)\,\cos(b)-\sin(a)\,\sin(b)\;$ ».
↑ Les autres se démontrant de façon analogue.
↑ Bien que la fonction donnant l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme de diamètre $\;a\;$ relativement à l'angle $\;\theta \;$ d'observation et celle donnant l'amplitude de la même onde diffractée à l'infini par un même diaphragme de diamètre $\;a\;$ relativement à la variable $\;u={\dfrac {a\,\sin(\theta )}{\lambda }}\;$ sont mathématiquement différentes et devraient être notées différemment selon les critères mathématiques, elles ont les mêmes images pour une même état de diffraction, on les note donc par la même lettre $\;A\;$ selon l'usage fait $\;{\big (}$ par abus ${\big )}\;$ en physique.
↑ Voir le sous paragraphe « additif mathématique $\;{\big (}$ fin ${\big )}\;$ » plus haut dans ce paragraphe.
↑ Voir le sous paragraphe « additif mathématique » plus haut dans ce paragraphe.
↑ On ne peut évidemment pas écrire ce prolongement $\;{\cancel {\dfrac {J_{1}(0)}{0}}}={\dfrac {1}{2}}$ , la seule façon de l'écrire étant $\;\lim \limits _{x\rightarrow 0}{\dfrac {J_{1}(x)}{x}}={\dfrac {1}{2}}$ .
↑ Défini, plus haut dans ce chapitre, par la note « ²¹ » dans le cas de la diffraction par une fente et par la note « ²⁷ » dans le cas de la diffraction par un diaphragme.
↑ ^46,0 et ^46,1 Amplitude de l'onde incidente sur la fente ou le diaphragme $\;{\big \{}$ l'onde incidente étant une O.P.P. $\;{\big (}$ Onde Plane Progressive ${\big )}\;$ suivant la direction $\;\perp \;$ à la fente ou $\;\parallel \;$ à l'axe du diaphragme ${\big \}}$ .
↑ C.-à-d. la direction de propagation de l'onde incidente avant diffraction $\;{\big \{}$ l'onde incidente étant une O.P.P. $\;{\big (}$ Onde Plane Progressive ${\big )}\;$ suivant la direction $\;\perp \;$ à la fente ou $\;\parallel \;$ à l'axe du diaphragme ${\big \}}\;$ $\Rightarrow$ la direction centrale est donc $\;\perp \;$ à la fente ou $\;\parallel \;$ à l'axe du diaphragme.
↑ On en déduit aussi que la puissance diffractée à l'infini dans la direction centrale $\;{\big (}$ qui est $\;\propto \;$ au carré de l'amplitude dans la même direction ${\big )}\;$ est égale à la puissance de l'onde incidente $\;{\big \{}$ l'onde incidente étant une O.P.P. $\;{\big (}$ Onde Plane Progressive ${\big )}\;$ suivant la direction $\;\perp \;$ à la fente ou $\;\parallel \;$ à l'axe du diaphragme ${\big \}}$ .
↑ Le contraste observé est encore plus marqué dans la mesure où notre œil est sensible à la puissance diffractée et non à l'amplitude, la puissance étant $\;\propto \;$ au carré de l'amplitude ;
le rapport entre l'amplitude maximale de la 1^ère tache de diffraction et celle de la tache centrale étant $\;0,2\;$ dans le cas de la diffraction par une fente, la puissance diffractée correspondant à la 1^ère tache est approximativement $\;4\,\%\;$ de celle diffractée associée à la tache centrale alors que
le rapport entre l'amplitude maximale du disque d'Airy et celle du 1^er anneau est $\;0,13\;$ dans le cas de la diffraction par un diaphragme, la puissance diffractée correspondant au 1^er anneau n'est alors qu'approximativement $\;1,7\,\%\;$ de celle diffractée associée à la tache d'Airy $\;{\big (}$ soit un rapport deux fois et demi plus faible que dans le cas de la diffraction par une fente ${\big )}$ .
↑ ^50,0 ^50,1 ^50,2 ^50,3 ^50,4 ^50,5 ^50,6 ^50,7 et ^50,8 Surface « équiphase » c.-à-d. telle que ses points ont mis le même temps de parcours depuis la source.
↑ C.-à-d. toute surface d'onde correspondant à des points atteints postérieurement à la surface d'onde d'origine.
↑ L'enveloppe d'une famille de surfaces est une surface qui est tangente à toutes les surfaces de la famille ;
par exemple l'enveloppe d'une famille de sphères de même rayon, centrées sur l'axe $\;z'z\;$ est le cylindre de révolution d'axe $\;z'z\;$ et de même rayon que les sphères, la courbe de contact de chaque sphère avec l'enveloppe de la famille étant le cercle dans le plan $\;\perp \;$ à $\;z'z\;$ de même centre et même rayon que la sphère ;
voir aussi le paragraphe enveloppe d'une famille de surfaces de l'article de wikipédia enveloppe (géométrie).
↑ ^53,0 ^53,1 ^53,2 ^53,3 ^53,4 et ^53,5 Christian Huygens (1629 - 1695) mathématicien, astronome et physicien néerlandais à qui on doit, entre autres, quelques techniques de sommation et d'intégration du calcul infinitésimal, ainsi que la formulation de la théorie ondulatoire de la lumière.
↑ C.-à-d. une même phase.
↑ Même état vibratoire avec toutefois une amplitude plus faible à cause de la dispersion spatiale de la puissance dans toutes les directions, l'amplitude d'une onde sphérique $\;\searrow \;$ en $\;{\dfrac {1}{r}}$ .
↑ ^56,0 et ^56,1 Augustin Jean Fresnel (1788 - 1827) physicien français à qui on doit principalement l'explication de tous les phénomènes optiques dans le cadre de la théorie ondulatoire de la lumière.
↑ C'est la possibilité de calculer qui est la contribution principale de Fresnel.
↑ L'énoncé ci-après n'est que partiel $-$ exprimé ainsi il ne souligne que l'hypothèse de Huygens $-$ l'énoncé complet $\;{\big (}$ non fourni car nous n'envisagerons pas le calcul, ceci n'étant pas du niveau de ce chapitre ${\big )}\;$ précise la façon dont Fresnel calcule l'amplitude de l'onde résultant de l'interférence des ondelettes, ce que ne faisait pas Huygens.
↑ Avec toutefois une restriction, cette distance devant être supérieure à $\;100\,\lambda$ , ce qui donne pour $\;\lambda =633\,nm$ , une distance minimale de $\;100\,\mu m=0,1\,mm$ ;
en effet si $\;M\;$ est trop proche de la pupille diffractante $\;{\big (}$ c.-à-d. la surface limitée par le diaphragme créant le phénomène de diffraction ${\big )}$ , la variation de l'amplitude des ondelettes issues des sources secondaires situées sur la pupille est trop importante $\;{\bigg (}\!$ variation en $\;{\dfrac {1}{r}}\;$ avec $\;r\;$ petit ${\bigg )}\;$ pour que leurs interférences donnent une amplitude résultante en accord avec l'observation, le principe de Huygens-Fresnel étant alors inapplicable.
↑ ^60,0 ^60,1 et ^60,2 Une pupille est une ouverture transparente d'une surface opaque, en général plane, ouverture dont le contour fermé limite l'expansion spatiale de l'onde la traversant.
↑ Joseph von Fraunhofer (1787 - 1826) opticien et physicien allemand à qui on doit, en plus de l'étude systématique de la diffraction de la lumière par les réseaux $\;{\big (}$ surfaces planes constituées d'une juxtaposition d'un grand nombre de fentes étroites et $\;\parallel \;{\big )}$ , l'invention du spectroscope avec lequel il précisa les raies d'absorption du spectre solaire $\;{\big (}$ qui portent son nom ${\big )}$ .
↑ Plus exactement la distance $\;PM\;$ doit respecter « $\;PM>100\,{\dfrac {a^{2}}{\lambda }}\;$ » ce qui donne, pour $\;a=0,1\,mm\;$ et $\;\lambda =633\,nm$ , une distance minimale de $\;1,6\,m$ , l'infini commençant donc pour les données de cette expérience à $\;1,6\,m$ .
↑ En effet on peut alors considérer que la source secondaire $\;P_{S}\;$ émet une onde plane.
↑ On dit qu'elle est éclairée « sous incidence normale ».
↑ D'après le paragraphe « hypothèse de Huygens (1678) » plus haut dans le chapitre, aux sources secondaires du plan de la figure situées sur la fente à droite de $\;H$ $\;{\big (}$ la source secondaire du plan de la figure située sur le bord gauche de la fente sera appelée $\;H_{g}{\big )}$ , il n'existe pas de source secondaire du même plan de figure située sur la fente à gauche de $\;H\;$ ${\big (}$ plus précisément à gauche de $\;H_{g}{\big )}$ , ceci expliquant la dissymétrie de répartition des sources secondaires relativement à $\;H\;$ ${\big (}$ plus précisément $\;H_{g}{\big )}$ .
↑ Reprenant les commentaire et notation introduit(s) dans la note « ⁶⁵ » plus haut dans ce paragraphe, nous observons que
   l'ondelette issue de $\;H_{g}\;$ à l'instant $\;t\;$ se retrouve en $\;M'\;$ avec la même phase à l'instant $\;t+T$ , cette ondelette se superposant, en $\;M'\;$ à l'instant $\;t+T$ , aux
   ondelettes issues des sources secondaires $\;M_{S}\;$ du plan de la figure situées sur la fente à droite de $\;H_{g}\;$ émises à l'instant $\;t+T-{\dfrac {M_{S}M'}{c}}$ ,
   ces dernières interférant de façon destructive dans la mesure où $\;M_{S_{2}}M'-M_{S_{1}}M'={\dfrac {\lambda }{2}}$ ${\big \{}$ à toute source secondaire $\;S_{1}\;$ située à droite de $\;H_{g}\;$ on peut trouver une source secondaire $\;S_{2}\;$ plus éloignée de $\;H_{g}\;$ telle que la superposition des ondelettes issues de ces sources engendre une interférence destructive en $\;M'\;$ à l'instant $\;t+T\;$ sauf quand $\;S_{1}\;$ est proche de $\;H_{d}\;$ la source secondaire du plan de la figure située sur le bord droit de la fente mais l'amplitude des ondelettes sphériques variant comme l'inverse de la distance $\;M_{S_{1}}M'\;$ et celle-ci, pour $\;S_{1}\;$ proche de $\;H_{d}$ , étant $\;\simeq H_{d}M'\gg H_{g}M'$ , l'amplitude des ondelettes sphériques issues des sources secondaires proches de $\;H_{d}\;$ étant donc petite, leur influence sur l'état de vibration en $\;M'\;$ peut être négligée ${\big \}}$ ;
   en conclusion l'onde créée en $\;M'\;$ à l'instant $\;t+T\;$ par superposition des ondelettes sphériques issues des sources secondaires du plan de la figure situées sur la fente est localement sphérique
   en conclusion et si on considère toutes les sources secondaires situées sur la fente et dans un plan $\;\parallel \;$ au plan de la figure, on trouve que l'onde créée en $\;M'\;$ à l'instant $\;t+T\;$ est localement cylindrique d'axe $\;\parallel \;$ à la direction longitudinale de la fente.
↑ On rappelle que la direction de propagation est $\;\perp \;$ à la surface d'onde.
↑ ^68,0 ^68,1 et ^68,2 C.-à-d. de même fréquence.
↑ ^69,0 et ^69,1 Ou avec un déphasage de leur source constant.
↑ Chaque faisceau laser est une suite de train d'ondes $\;{\big (}$ un train d'ondes étant de durée limitée et par conséquent d'expansion spatiale limitée ${\big )}$ , chaque train n'ayant aucune relation de déphasage avec le suivant $\;{\big (}$ ou le précédent ${\big )}\;$ et ayant une longueur dans le vide de l'ordre de $\;30\,cm\;$ ${\big (}$ correspondant à une durée d'émission sans déphasage de l'ordre de $\;1\,ns{\big )}$ ;
deux faisceaux laser de même longueur d'onde dans le vide n'auront donc un déphasage fixé $-$ mais non connu $-$ que pendant une durée très limitée $\;\leqslant 1\,ns$ , cette durée est alors beaucoup trop faible pour une observation d'interférences à l'échelle macroscopique $\;{\big (}$ en effet une durée d'échelle macroscopique est $\;\gtrsim 1\,s$ , et pour observer des interférences il faudrait au moins $\;\gtrsim 10\,s{\big )}$ .
↑ Ce qui signifie qu'elles ont « un déphasage aléatoire à l'échelle macroscopique » $\;{\big (}$ c.-à-d. que leur déphasage change de façon aléatoire sur une durée $\;\lesssim 1\,s{\big )}$ .
↑ ^72,0 et ^72,1 C.-à-d. des ondes avec « un déphasage constant à l'échelle macroscopique » $\;{\big (}$ plus précisément restant constant sur une durée $\;\gtrsim 10\,s{\big )}$ .
↑ ^73,0 ^73,1 ^73,2 ^73,3 et ^73,4 Thomas Young (1773 - 1829) physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du module d'Young en science des matériaux et son expérience des fentes d'Young en optique.
↑ De longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}=633\,nm$ .
↑ En fait l'onde émise par un faisceau laser n'est pas rigoureusement plane puisque le faisceau a une expansion spatiale limitée dans sa section $\;{\big (}$ voir le paragraphe « divergence d'un faisceau laser » plus loin dans ce chapitre ${\big )}$ .
↑ ^76,0 ^76,1 ^76,2 et ^76,3 Plus exactement de l'expansion spatiale aboutissant à la tache centrale de diffraction sur l'écran ci-après.
↑ En fait l'utilisation du terme « frange » est un abus compte-tenu du fait que la diffraction par une fente infiniment longue se fait uniquement dans le plan $\;\perp \;$ à la longueur de la fente, ces « franges » se réduisant à des taches dans la partie de l'écran située dans le plan de la figure.
↑ ^78,0 et ^78,1 En effet $\;1\;rad={\dfrac {180\;{\text{°}}}{\pi }}={\dfrac {(180\times 60)\;'}{\pi }}\;$ d'où la conversion.
↑ On prend cette valeur réduite pour que les deux fentes soient recouvertes avec un faisceau laser non élargi.
↑ C.-à-d. la distance séparant des positions successives de même état d'interférence.
↑ Divisant $\;{\dfrac {L}{2}}\;$ par $\;{\mathit {i}}\;$ on trouve $\;10$ ;
   compte-tenu du fait que la « frange » centrale est brillante, il y a donc $\;10\;$ « franges » brillantes de part et d'autre de la « frange » centrale soit au total $\;21\;$ franges brillantes et $\;20\;$ franges sombres, mais comme on le constate sur la courbe d'amplitude plus bas dans ce paragraphe,
   les franges d'ordre $\;10\;$ et $\;-10\;$ ont une amplitude maximale trop faible pour être observable $-$ $\;{\big (}$ et même celles d'ordre $\;9\;$ et $\;-9{\big )}\;$ $-$ d'où simplement $\;19\;$ ${\big (}$ ou même $\;17{\big )}\;$ franges brillantes pour $\;18\;$ ${\big (}$ ou même $\;16{\big )}\;$ franges sombres ;
   sur la courbe d'amplitude plus bas de ce paragraphe figurent également les franges brillantes des 1^ères taches de diffraction secondaires $\;{\big (}$ mais celles-ci sont peu brillantes et donc pratiquement non observables ${\big )}$ .
↑ « $\;{\mathcal {A}}(\theta )=2\,A_{0}\;\left\vert \mathrm {sinc} \!\left[{\dfrac {\pi \,\sin(\theta )\,d}{\lambda _{0}}}\right]\right\vert \;\left\vert \cos \!\left[{\dfrac {\pi \,\sin(\theta )\,a}{\lambda _{0}}}\right]\right\vert \;$ » dans laquelle « $\;2\,A_{0}\left\vert \cos \!\left[{\dfrac {\pi \,\sin(\theta )\,a}{\lambda _{0}}}\right]\right\vert \;$ est le facteur d'interférences » $\;{\bigg \{}$ voir le paragraphe donnant l'amplitude de l'onde résultant de l'interférence de deux ondes primitives dans le « cas où les sources synchrones et en phase émettent des signaux de même amplitude » du chap. $5$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » soit « $\;A_{\text{tot}}$ $=A_{0}\,{\sqrt {2}}\,{\sqrt {1+\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}=2\,A_{0}\,\left\vert \cos \!\left({\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right)\right\vert \;$ » avec le « déphasage $\;\varphi _{2}-\varphi _{1}\;$ » lié à la « différence de marche $\;\delta =d_{2}-d_{1}\;$ avec $\;d_{2}=S_{2}M\;$ et $\;d_{1}=S_{1}M\;$ » par « $\;\varphi _{2}-\varphi _{1}=$ $-{\dfrac {2\,\pi }{\lambda _{0}}}\,(d_{2}-d_{1})\;$ » voir le paragraphe « notion de différence de marche et d'ordre d'interférences » du même chap. $5$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ainsi que le « calcul de la différence de marche $\;\delta =a\;\sin(\theta )\;$ » voir le paragraphe « échelle angulaire du phénomène d'interférences, lien avec l'échelle de longueur du phénomène d'interférences dans le plan d'observation » du même chap. $5$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\bigg \}}$ .
↑ Correspondant au domaine de diffraction central $\;{\big (}$ c.-à-d. celui qui donnerait la tache centrale sur un écran $\;\perp \;$ à la direction principale ${\big )}$ .
↑ Cela fait en effet un facteur multiplicatif de $\;31\;$ ou une augmentation de $\;3000\;\%\;$ à une distance de $\;5\;m$ ; cela reste néanmoins très faible comparativement aux autres sources.
↑ ^85,0 et ^85,1 Voir le paragraphe « foyer principal objet, foyer principal image (d'une lentille mince) » du chap. $14$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » définissant le foyer $\;{\big (}$ principal ${\big )}\;$ image des lentilles minces comme le point de convergence du faisceau émergent provenant d'un faisceau incident $\;\parallel$ $\;{\big (}$ à l'axe principal optique de la lentille ${\big )}\;$ et
Voir le paragraphe « distance focale et vergence d'une lentille mince » du même chap. $14$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » définissant la notion de distance focale $\;{\big (}$ image ${\big )}\;$ comme la distance séparant le foyer $\;{\big (}$ principal ${\big )}\;$ image du centre $\;{\big (}$ optique ${\big )}\;$ de la lentille $\;{\big \{}$ les termes entre parenthèses sont nécessaires pour une définition correcte mais peuvent être supprimés en 1^ère lecture ${\big \}}$ .
↑ Voir le paragraphe « 1^ère loi : propagation rectiligne de la lumière » du chap. $10$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».
↑ Voir le paragraphe « développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ Ce qui correspond à un rétrécissement de $\;0,20\;mm\;$ sur $\;0,50\;mm\;$ soit un « facteur de rétrécissement de $\;40\;\%\;$ », ce qui est néanmoins suffisant pour affirmer que la convergence n'est pas ponctuelle.

Signaux physiques (PCSI)

Propag. d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques

Propag. d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus

[1] $\;1\;THz=10^{12}\;Hz\;$ lire « térahertz ».

[2] On ajoute l'indice $\;{}_{0}\;$ pour distinguer la longueur d'onde dans le vide de la longueur d'onde dans le milieu transparent.

[3] Quelques autres longueurs d'onde dans le vide peuvent être retenues en lien avec la couleur observée :
« $\;\lambda _{0,\,{\text{bleu}}}\in \left[0,435\;\mu m\,;\,0,465\;\mu m\right]\;$ », « $\;\lambda _{0,\,{\text{vert}}}\in \left[0,500\;\mu m\,;\,0,560\;\mu m\right]\;$ », « $\;\lambda _{0,\,{\text{jaune}}}\in \left[0,560\;\mu m\,;\,0,590\;\mu m\right]\;$ » et « $\;\lambda _{0,\,{\text{rouge}}}\in \left[0,620\;\mu m\,;\,0,780\;\mu m\right]\;$ » $\;{\big (}$ partant du rouge moyen à $\;620\;nm$ , passant par le rouge primaire à $\;700\;nm\;$ et allant jusqu'au rouge extrême à $\;780\;nm{\big )}$ .

[4] C.-à-d. sans limite ni obstacle.

[5] On parle de « diaphragme » pour une ouverture à bord circulaire.

[6] La source est considérée comme étant à l'infini, ce qui se manifeste par une expansion de l'onde émise par le faisceau laser quasi cylindrique de diamètre de l'ordre de quelques $\;mm\;$ d'où le qualificatif « quasi unidimensionnelle ».

[7] C.-à-d. n'émettant qu'une seule fréquence correspondant à une seule longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}$ .

[8] La fente ayant une dimension « sa longueur » grande devant l'autre dimension « sa largeur », la limitation de l'expansion spatiale de l'onde n'intervient que sur la largeur de la fente et on remarque que la dispersion de l'énergie lumineuse se fait dans la direction de l'écran $\;\parallel \;$ à cette largeur, dans la direction de l'écran $\;\parallel \;$ à la longueur la propagation reste unidirectionnelle.

[Laser-9] 9,0 et ^9,1 Laser « hélium – néon » très utilisé dans les expériences d'optique.

[Largeurs_des_taches-10] 10,0 et ^10,1 Ces largeurs sont sous-estimées car la tache centrale n'étant pas uniforme l'intensité décroît du centre brillant jusqu'aux bords sombres, théoriquement la largeur doit aller jusqu'aux bords sombres mais ici la largeur estimée s'arrête approximativement à mi-chemin, il s'agit en fait d'une « largeur à mi-intensité ».

[11] Avec $\;a=0,1\;mm$ , la diffraction commence à être observable, la largeur de la tache centrale étant de $\;1,2\;cm$ ; on remarque que plus la fente est étroite, plus le phénomène de diffraction est prononcé.

[Airy-12] 12,0 ^12,1 ^12,2 ^12,3 ^12,4 et ^12,5 George Biddell Airy (1801 - 1892) mathématicien, astronome, géodésien et physicien britannique à qui on doit, entre autres, une théorie des arcs-en-ciel, de nombreuses mesures pendulaires permettant de mesurer la masse de la Terre et la constante de gravitation universelle, ainsi que l'utilisation, dans ses calculs d'optique, de fonctions spéciales mathématiques particulières portant son nom pour lui rendre hommage.

[13] Avec $\;a=0,1\;mm$ , la diffraction commence à être observable, la largeur de la tache centrale étant de $\;1,4\;cm$ ; on remarque que plus le diaphragme est petit, plus le phénomène de diffraction est prononcé, celui-ci étant encore plus contrasté qu'avec une fente.

[14] Sur l'exemple $\;100\;\lambda _{0}=0,063\;mm\;$ et le phénomène de diffraction est observable pour $\;a=0,1\;mm$ , on a donc bien l'ordre de grandeur.

[15] Une longueur $\;{\mathcal {L}}\;$ est dite à l'échelle macroscopique si $\;{\mathcal {L}}\gtrsim 1\;mm\;$ ${\big \{}$ notion déjà entrevue en note « ²⁸ » du chap. $2$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\big )}$ .

[16] Ainsi deux personnes, dans deux pièces voisines séparées par une porte ouverte, n'ont pas besoin d'être alignées avec la porte pour entendre ce qu'elles disent $\;{\big (}$ ce qui devrait pourtant être le cas si la propagation du son dans l'air à travers l'ouverture d'une porte était purement rectiligne ${\big )}$ .

[17] On observe la valeur de cette dernière au niveau de l'écartement des rides.

[fente_remplacée_par_un_diaphragme-18] 18,0 et ^18,1 Dans le cas où la fente est remplacée par un diaphragme circulaire, le phénomène de diffraction a la symétrie de révolution et la tache centrale est un disque ;
Dans le cas où la fente est remplacée par un diaphragme circulaire, l'échelle angulaire de diffraction est alors le demi-angle d'ouverture de l'expansion correspondant à la tache centrale,
Dans le cas où la fente est remplacée par un diaphragme circulaire, l'échelle angulaire de diffraction est alors appelé « rayon angulaire de la tache centrale ».

[admis-19] 19,0 ^19,1 ^19,2 et ^19,3 Résultat admis.

[20] Par exemple pour une largeur de fente (resp. un diamètre de diaphragme) tel(le) que $\;a\lesssim 10\,\lambda$ on trouve $\;\theta _{1}\gtrsim \left\lbrace {\begin{array}{l}0,1\;rad\simeq 6{\text{° avec fente}}\\0,122\;rad\simeq 7{\text{° avec diaphr.}}\end{array}}\right.$ soit, à une distance de $\;D=0,20\;m\;$ une largeur (ou diamètre) de tache centrale $=2\,D\,\theta _{1}\gtrsim \left\lbrace {\begin{array}{l}4,0\;cm\;{\text{avec fente}}\\4,9\;cm\;{\text{avec diaphr.}}\end{array}}\right.\;$ ne passant pas inaperçu(e) à condition toutefois que la répartition de lumière ne soit pas trop faible (sinon, seul le centre de la tache étant visible, la tache centrale apparaîtra moins large).

[définition_de_l'angle_d'observation-21] 21,0 ^21,1 ^21,2 et ^21,3 Angle que fait la direction de propagation relativement à la normale au plan de la fente.

[22] Forme indéterminée en $\;x=0\;$ prolongée par continuité donnant c.-à-d. $\;\mathrm {sinc} (0)=1$ .

[O.P.P.-23] 23,0 et ^23,1 Onde Plane Progressive.

[additif_mathématique-24] 24,0 ^24,1 et ^24,2 Cet additif n'est pas placé dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » car il n'est pas exigible à ce niveau ; il est simplement fourni pour une meilleure compréhension.

[25] En effet quand $\;x\ll 1\;$ ${\big (}x$ étant en radian ${\big )}\;$ son sinus peut être confondu avec sa valeur $\;{\big \{}$ voir le paragraphe « développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}\;$ soit $\;\sin(x)\sim x\Leftrightarrow {\dfrac {\sin(x)}{x}}\sim 1\;$ dont on déduit $\;\lim \limits _{x\rightarrow 0}\left[\mathrm {sinc} (x)\right]=1$ .

[26] Forme indéterminée de la dérivée en $\;x=0$ :
une 1^ère tentative quand $\;x\ll 1\;$ ${\big (}x$ étant en radian ${\big )}\;$ consistant à écrire les équivalences élémentaires suivantes $\;\sin(x)\sim x\;$ et $\;\cos(x)\sim 1\;$ ${\big \{}$ voir le paragraphe « développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big \}}\;$ conduirait à « $\;{\dfrac {d\left[\mathrm {sinc} \right]}{dx}}(x)={\dfrac {x\,\cos(x)-\sin(x)}{x^{2}}}\sim {\dfrac {x\times 1-x}{x^{2}}}={\dfrac {0}{x^{2}}}\;$ » ne levant pas l'indétermination d'où la nécessité de ne pas se contenter de l'équivalence $\;\cos(x)\sim 1$ ;
une 2^ème tentative plus fine utilisant la formule de trigonométrie $\;\cos(x)=1-2\,\sin ^{2}\!\left({\dfrac {x}{2}}\right)\;$ de façon à prendre l'équivalence $\;\sin \!\left({\dfrac {x}{2}}\right)\sim {\dfrac {x}{2}}\;$ d'où l'approximation quand $\;x\ll 1$ , de $\;\cos(x)\simeq$ $1-2\,\left({\dfrac {x}{2}}\right)^{\!2}\;$ soit $\;\cos(x)\simeq 1-{\dfrac {x^{2}}{2}}\;$ ${\big [}$ ceci définit le développement limité de $\;\cos(x)\;$ au voisinage de $\;0\;$ à l'ordre deux introduit plus finement au chap. $14$ dans la remarque du paragraphe « DL à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ d'où la réécriture de la dérivée quand $\;x\ll 1$ , $\;{\dfrac {d\left[\mathrm {sinc} \right]}{dx}}(x)={\dfrac {x\cos(x)-\sin(x)}{x^{2}}}\simeq$ ${\dfrac {x\left[1-{\dfrac {x^{2}}{2}}\right]-x}{x^{2}}}={\dfrac {-x}{2}}\;$ et par suite $\;\lim \limits _{x\rightarrow 0}\left[{\dfrac {d\left(\mathrm {sinc} \right)}{dx}}(x)\right]=0\;$ valeur donnée à la dérivée en prolongeant sa définition par continuité.

[définition_de_l'angle_d'observation_-_bis-27] 27,0 ^27,1 ^27,2 ^27,3 ^27,4 et ^27,5 Angle que fait la direction de propagation relativement à l'axe du diaphragme.

[Bessel-28] 28,0 ^28,1 ^28,2 ^28,3 et ^28,4 Friedrich Wilhelm Bessel (1784 - 1846) astronome, mathématicien, géodésien et physicien allemand, essentiellement connu pour avoir effectué, en $\;1838$ , les 1^ères mesures précises de la distance d'une étoile et pour avoir introduit, dans la résolution des problèmes de mécanique céleste faisant intervenir la théorie des perturbations, les fonctions mathématiques dites de Bessel, solutions d'équations différentielles particulières.

[Niveau-29] 29,0 ^29,1 et ^29,2 Dont l'introduction sort largement du niveau de cette leçon mais dont il vous sera donné néanmoins quelques éléments $\;{\big (}$ non indispensables à consulter pour comprendre la leçon ${\big )}$ .

[définition_de_la_fonction_de_Bessel_de_1ère_espèce-30] Voir l'additif de ce paragraphe ci-après.

[31] Forme sous laquelle F. W. Bessel les a d'abord définies.

[32] F. W. Bessel a établi que les fonctions qu'il avait définies sous forme intégrale vérifiaient cette équation différentielle $\;{\bigg \{}$ un calcul de dérivée 1^ère et 2^nde par rapport à $\;x\;$ de $\;J_{n}(x)=$ ${\dfrac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos \!\left[n\,\tau -x\,\sin(\tau )\right]d\tau \;$ suivi de leur remplacement dans le 1^er membre de l'équation différentielle et d'une intégration par parties $\;{\big (}$ i.p.p. ${\big )}$ $\;{\big [}$ voir le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul (exposé de la méthode d'intégration par parties ou i.p.p.) » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ conduit à un résultat nul ${\bigg \}}$ $\ldots$ d'où la 2^nde façon de définir les fonctions de Bessel de 1^ère espèce.

[C.I.-33] 33,0 ^33,1 et ^33,2 Conditions Initiales.

[intégrande-34] 34,0 ^34,1 et ^34,2 C.-à-d. la fonction à intégrer $\;{\big (}$ le substantif « intégrande » étant masculin ${\big )}$ .

[i.p.p.-35] Cette méthode qui sera vue en détail dans le cours de mathématiques est exposée très succinctement dans le paragraphe « développement de quelques méthodes de calcul (exposé de la méthode d'intégration par parties ou i.p.p.) » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[36] Ce Qu'il Fallait Vérifier.

[37] Voir le paragraphe « propriétés des J_n de l'article Fonction de Bessel » de wikipédia.

[38] La 1^ère relation « $\;J_{1}(x)=-{\dfrac {dJ_{0}}{dx}}(x)\;$ » est un cas particulier de la 1^ère relation de récurrence « $\;J_{n+1}(x)={\dfrac {n\,J_{n}(x)}{x}}-{\dfrac {dJ_{n}}{dx}}(x)\;$ » écrite pour $\;n=0$ ;
la 2^ème relation « $\;{\dfrac {d}{dx}}\left[x^{n}\,J_{n}(x)\right]=x^{n}\,J_{n-1}(x)\;$ » s'obtient en otant la 3^ème relation de récurrence « $\;J_{n+1}(x)-J_{n-1}(x)=-2\,{\dfrac {dJ_{n}}{dx}}(x)\;$ » de la 2^ème « $\;J_{n+1}(x)+J_{n-1}(x)={\dfrac {2\,n}{x}}\,J_{n}(x)\;$ » d'où « $\;2\,J_{n-1}(x)={\dfrac {2\,n}{x}}\,J_{n}(x)+2\,{\dfrac {dJ_{n}}{dx}}(x)\;$ » ou « $\;J_{n-1}(x)={\dfrac {n}{x}}\,J_{n}(x)+{\dfrac {dJ_{n}}{dx}}(x)\;$ » $\Rightarrow$ « $\;x^{n}\,J_{n-1}(x)=n\,x^{n-1}\,J_{n}(x)+x^{n}\,{\dfrac {dJ_{n}}{dx}}(x)\;$ », ce dernier membre étant égal à « $\;{\dfrac {d}{dx}}\left[x^{n}\,J_{n}(x)\right]\;$ » d'où la relation souhaitée « $\;x^{n}\,J_{n-1}(x)={\dfrac {d}{dx}}\left[x^{n}\,J_{n}(x)\right]\;$ ».

[formule_trigonométrique_d'addition-39] C.-à-d. « $\;\cos(a+b)=\cos(a)\,\cos(b)-\sin(a)\,\sin(b)\;$ ».

[40] Les autres se démontrant de façon analogue.

[abus_d'écriture_en_physique-41] Bien que la fonction donnant l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme de diamètre $\;a\;$ relativement à l'angle $\;\theta \;$ d'observation et celle donnant l'amplitude de la même onde diffractée à l'infini par un même diaphragme de diamètre $\;a\;$ relativement à la variable $\;u={\dfrac {a\,\sin(\theta )}{\lambda }}\;$ sont mathématiquement différentes et devraient être notées différemment selon les critères mathématiques, elles ont les mêmes images pour une même état de diffraction, on les note donc par la même lettre $\;A\;$ selon l'usage fait $\;{\big (}$ par abus ${\big )}\;$ en physique.

[42] Voir le sous paragraphe « additif mathématique $\;{\big (}$ fin ${\big )}\;$ » plus haut dans ce paragraphe.

[43] Voir le sous paragraphe « additif mathématique » plus haut dans ce paragraphe.

[44] On ne peut évidemment pas écrire ce prolongement $\;{\cancel {\dfrac {J_{1}(0)}{0}}}={\dfrac {1}{2}}$ , la seule façon de l'écrire étant $\;\lim \limits _{x\rightarrow 0}{\dfrac {J_{1}(x)}{x}}={\dfrac {1}{2}}$ .

[définition_de_l'angle_d'observation_-_ter-45] Défini, plus haut dans ce chapitre, par la note « ²¹ » dans le cas de la diffraction par une fente et par la note « ²⁷ » dans le cas de la diffraction par un diaphragme.

[a0-46] 46,0 et ^46,1 Amplitude de l'onde incidente sur la fente ou le diaphragme $\;{\big \{}$ l'onde incidente étant une O.P.P. $\;{\big (}$ Onde Plane Progressive ${\big )}\;$ suivant la direction $\;\perp \;$ à la fente ou $\;\parallel \;$ à l'axe du diaphragme ${\big \}}$ .

[direction_centrale-47] C.-à-d. la direction de propagation de l'onde incidente avant diffraction $\;{\big \{}$ l'onde incidente étant une O.P.P. $\;{\big (}$ Onde Plane Progressive ${\big )}\;$ suivant la direction $\;\perp \;$ à la fente ou $\;\parallel \;$ à l'axe du diaphragme ${\big \}}\;$ $\Rightarrow$ la direction centrale est donc $\;\perp \;$ à la fente ou $\;\parallel \;$ à l'axe du diaphragme.

[48] On en déduit aussi que la puissance diffractée à l'infini dans la direction centrale $\;{\big (}$ qui est $\;\propto \;$ au carré de l'amplitude dans la même direction ${\big )}\;$ est égale à la puissance de l'onde incidente $\;{\big \{}$ l'onde incidente étant une O.P.P. $\;{\big (}$ Onde Plane Progressive ${\big )}\;$ suivant la direction $\;\perp \;$ à la fente ou $\;\parallel \;$ à l'axe du diaphragme ${\big \}}$ .

[49] Le contraste observé est encore plus marqué dans la mesure où notre œil est sensible à la puissance diffractée et non à l'amplitude, la puissance étant $\;\propto \;$ au carré de l'amplitude ;
le rapport entre l'amplitude maximale de la 1^ère tache de diffraction et celle de la tache centrale étant $\;0,2\;$ dans le cas de la diffraction par une fente, la puissance diffractée correspondant à la 1^ère tache est approximativement $\;4\,\%\;$ de celle diffractée associée à la tache centrale alors que
le rapport entre l'amplitude maximale du disque d'Airy et celle du 1^er anneau est $\;0,13\;$ dans le cas de la diffraction par un diaphragme, la puissance diffractée correspondant au 1^er anneau n'est alors qu'approximativement $\;1,7\,\%\;$ de celle diffractée associée à la tache d'Airy $\;{\big (}$ soit un rapport deux fois et demi plus faible que dans le cas de la diffraction par une fente ${\big )}$ .

[surface_d'onde-50] 50,0 ^50,1 ^50,2 ^50,3 ^50,4 ^50,5 ^50,6 ^50,7 et ^50,8 Surface « équiphase » c.-à-d. telle que ses points ont mis le même temps de parcours depuis la source.

[51] C.-à-d. toute surface d'onde correspondant à des points atteints postérieurement à la surface d'onde d'origine.

[enveloppe-52] L'enveloppe d'une famille de surfaces est une surface qui est tangente à toutes les surfaces de la famille ;
par exemple l'enveloppe d'une famille de sphères de même rayon, centrées sur l'axe $\;z'z\;$ est le cylindre de révolution d'axe $\;z'z\;$ et de même rayon que les sphères, la courbe de contact de chaque sphère avec l'enveloppe de la famille étant le cercle dans le plan $\;\perp \;$ à $\;z'z\;$ de même centre et même rayon que la sphère ;
voir aussi le paragraphe enveloppe d'une famille de surfaces de l'article de wikipédia enveloppe (géométrie).

[Huygens-53] 53,0 ^53,1 ^53,2 ^53,3 ^53,4 et ^53,5 Christian Huygens (1629 - 1695) mathématicien, astronome et physicien néerlandais à qui on doit, entre autres, quelques techniques de sommation et d'intégration du calcul infinitésimal, ainsi que la formulation de la théorie ondulatoire de la lumière.

[54] C.-à-d. une même phase.

[55] Même état vibratoire avec toutefois une amplitude plus faible à cause de la dispersion spatiale de la puissance dans toutes les directions, l'amplitude d'une onde sphérique $\;\searrow \;$ en $\;{\dfrac {1}{r}}$ .

[Fresnel-56] 56,0 et ^56,1 Augustin Jean Fresnel (1788 - 1827) physicien français à qui on doit principalement l'explication de tous les phénomènes optiques dans le cadre de la théorie ondulatoire de la lumière.

[57] C'est la possibilité de calculer qui est la contribution principale de Fresnel.

[58] L'énoncé ci-après n'est que partiel $-$ exprimé ainsi il ne souligne que l'hypothèse de Huygens $-$ l'énoncé complet $\;{\big (}$ non fourni car nous n'envisagerons pas le calcul, ceci n'étant pas du niveau de ce chapitre ${\big )}\;$ précise la façon dont Fresnel calcule l'amplitude de l'onde résultant de l'interférence des ondelettes, ce que ne faisait pas Huygens.

[59] Avec toutefois une restriction, cette distance devant être supérieure à $\;100\,\lambda$ , ce qui donne pour $\;\lambda =633\,nm$ , une distance minimale de $\;100\,\mu m=0,1\,mm$ ;
en effet si $\;M\;$ est trop proche de la pupille diffractante $\;{\big (}$ c.-à-d. la surface limitée par le diaphragme créant le phénomène de diffraction ${\big )}$ , la variation de l'amplitude des ondelettes issues des sources secondaires situées sur la pupille est trop importante $\;{\bigg (}\!$ variation en $\;{\dfrac {1}{r}}\;$ avec $\;r\;$ petit ${\bigg )}\;$ pour que leurs interférences donnent une amplitude résultante en accord avec l'observation, le principe de Huygens-Fresnel étant alors inapplicable.

[pupille-60] 60,0 ^60,1 et ^60,2 Une pupille est une ouverture transparente d'une surface opaque, en général plane, ouverture dont le contour fermé limite l'expansion spatiale de l'onde la traversant.

[Fraunhofer-61] Joseph von Fraunhofer (1787 - 1826) opticien et physicien allemand à qui on doit, en plus de l'étude systématique de la diffraction de la lumière par les réseaux $\;{\big (}$ surfaces planes constituées d'une juxtaposition d'un grand nombre de fentes étroites et $\;\parallel \;{\big )}$ , l'invention du spectroscope avec lequel il précisa les raies d'absorption du spectre solaire $\;{\big (}$ qui portent son nom ${\big )}$ .

[62] Plus exactement la distance $\;PM\;$ doit respecter « $\;PM>100\,{\dfrac {a^{2}}{\lambda }}\;$ » ce qui donne, pour $\;a=0,1\,mm\;$ et $\;\lambda =633\,nm$ , une distance minimale de $\;1,6\,m$ , l'infini commençant donc pour les données de cette expérience à $\;1,6\,m$ .

[63] En effet on peut alors considérer que la source secondaire $\;P_{S}\;$ émet une onde plane.

[64] On dit qu'elle est éclairée « sous incidence normale ».

[65] D'après le paragraphe « hypothèse de Huygens (1678) » plus haut dans le chapitre, aux sources secondaires du plan de la figure situées sur la fente à droite de $\;H$ $\;{\big (}$ la source secondaire du plan de la figure située sur le bord gauche de la fente sera appelée $\;H_{g}{\big )}$ , il n'existe pas de source secondaire du même plan de figure située sur la fente à gauche de $\;H\;$ ${\big (}$ plus précisément à gauche de $\;H_{g}{\big )}$ , ceci expliquant la dissymétrie de répartition des sources secondaires relativement à $\;H\;$ ${\big (}$ plus précisément $\;H_{g}{\big )}$ .

[66] Reprenant les commentaire et notation introduit(s) dans la note « ⁶⁵ » plus haut dans ce paragraphe, nous observons que
l'ondelette issue de $\;H_{g}\;$ à l'instant $\;t\;$ se retrouve en $\;M'\;$ avec la même phase à l'instant $\;t+T$ , cette ondelette se superposant, en $\;M'\;$ à l'instant $\;t+T$ , aux
ondelettes issues des sources secondaires $\;M_{S}\;$ du plan de la figure situées sur la fente à droite de $\;H_{g}\;$ émises à l'instant $\;t+T-{\dfrac {M_{S}M'}{c}}$ ,
ces dernières interférant de façon destructive dans la mesure où $\;M_{S_{2}}M'-M_{S_{1}}M'={\dfrac {\lambda }{2}}$ ${\big \{}$ à toute source secondaire $\;S_{1}\;$ située à droite de $\;H_{g}\;$ on peut trouver une source secondaire $\;S_{2}\;$ plus éloignée de $\;H_{g}\;$ telle que la superposition des ondelettes issues de ces sources engendre une interférence destructive en $\;M'\;$ à l'instant $\;t+T\;$ sauf quand $\;S_{1}\;$ est proche de $\;H_{d}\;$ la source secondaire du plan de la figure située sur le bord droit de la fente mais l'amplitude des ondelettes sphériques variant comme l'inverse de la distance $\;M_{S_{1}}M'\;$ et celle-ci, pour $\;S_{1}\;$ proche de $\;H_{d}$ , étant $\;\simeq H_{d}M'\gg H_{g}M'$ , l'amplitude des ondelettes sphériques issues des sources secondaires proches de $\;H_{d}\;$ étant donc petite, leur influence sur l'état de vibration en $\;M'\;$ peut être négligée ${\big \}}$ ;
en conclusion l'onde créée en $\;M'\;$ à l'instant $\;t+T\;$ par superposition des ondelettes sphériques issues des sources secondaires du plan de la figure situées sur la fente est localement sphérique
en conclusion et si on considère toutes les sources secondaires situées sur la fente et dans un plan $\;\parallel \;$ au plan de la figure, on trouve que l'onde créée en $\;M'\;$ à l'instant $\;t+T\;$ est localement cylindrique d'axe $\;\parallel \;$ à la direction longitudinale de la fente.

[67] On rappelle que la direction de propagation est $\;\perp \;$ à la surface d'onde.

[synchrones-68] 68,0 ^68,1 et ^68,2 C.-à-d. de même fréquence.

[sources_cohérentes-69] 69,0 et ^69,1 Ou avec un déphasage de leur source constant.

[70] Chaque faisceau laser est une suite de train d'ondes $\;{\big (}$ un train d'ondes étant de durée limitée et par conséquent d'expansion spatiale limitée ${\big )}$ , chaque train n'ayant aucune relation de déphasage avec le suivant $\;{\big (}$ ou le précédent ${\big )}\;$ et ayant une longueur dans le vide de l'ordre de $\;30\,cm\;$ ${\big (}$ correspondant à une durée d'émission sans déphasage de l'ordre de $\;1\,ns{\big )}$ ;
deux faisceaux laser de même longueur d'onde dans le vide n'auront donc un déphasage fixé $-$ mais non connu $-$ que pendant une durée très limitée $\;\leqslant 1\,ns$ , cette durée est alors beaucoup trop faible pour une observation d'interférences à l'échelle macroscopique $\;{\big (}$ en effet une durée d'échelle macroscopique est $\;\gtrsim 1\,s$ , et pour observer des interférences il faudrait au moins $\;\gtrsim 10\,s{\big )}$ .

[ondes_incohérentes-71] Ce qui signifie qu'elles ont « un déphasage aléatoire à l'échelle macroscopique » $\;{\big (}$ c.-à-d. que leur déphasage change de façon aléatoire sur une durée $\;\lesssim 1\,s{\big )}$ .

[ondes_cohérentes-72] 72,0 et ^72,1 C.-à-d. des ondes avec « un déphasage constant à l'échelle macroscopique » $\;{\big (}$ plus précisément restant constant sur une durée $\;\gtrsim 10\,s{\big )}$ .

[Young-73] 73,0 ^73,1 ^73,2 ^73,3 et ^73,4 Thomas Young (1773 - 1829) physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du module d'Young en science des matériaux et son expérience des fentes d'Young en optique.

[74] De longueur d'onde dans le vide $\;\lambda _{0}=633\,nm$ .

[onde_émise_par_laser-75] En fait l'onde émise par un faisceau laser n'est pas rigoureusement plane puisque le faisceau a une expansion spatiale limitée dans sa section $\;{\big (}$ voir le paragraphe « divergence d'un faisceau laser » plus loin dans ce chapitre ${\big )}$ .

[tache_centrale_de_diffraction-76] 76,0 ^76,1 ^76,2 et ^76,3 Plus exactement de l'expansion spatiale aboutissant à la tache centrale de diffraction sur l'écran ci-après.

[franges-77] En fait l'utilisation du terme « frange » est un abus compte-tenu du fait que la diffraction par une fente infiniment longue se fait uniquement dans le plan $\;\perp \;$ à la longueur de la fente, ces « franges » se réduisant à des taches dans la partie de l'écran située dans le plan de la figure.

[conversion_rad_-_degrés_et_minutes-78] 78,0 et ^78,1 En effet $\;1\;rad={\dfrac {180\;{\text{°}}}{\pi }}={\dfrac {(180\times 60)\;'}{\pi }}\;$ d'où la conversion.

[79] On prend cette valeur réduite pour que les deux fentes soient recouvertes avec un faisceau laser non élargi.

[interfrange-80] C.-à-d. la distance séparant des positions successives de même état d'interférence.

[81] Divisant $\;{\dfrac {L}{2}}\;$ par $\;{\mathit {i}}\;$ on trouve $\;10$ ;
compte-tenu du fait que la « frange » centrale est brillante, il y a donc $\;10\;$ « franges » brillantes de part et d'autre de la « frange » centrale soit au total $\;21\;$ franges brillantes et $\;20\;$ franges sombres, mais comme on le constate sur la courbe d'amplitude plus bas dans ce paragraphe,
les franges d'ordre $\;10\;$ et $\;-10\;$ ont une amplitude maximale trop faible pour être observable $-$ $\;{\big (}$ et même celles d'ordre $\;9\;$ et $\;-9{\big )}\;$ $-$ d'où simplement $\;19\;$ ${\big (}$ ou même $\;17{\big )}\;$ franges brillantes pour $\;18\;$ ${\big (}$ ou même $\;16{\big )}\;$ franges sombres ;
sur la courbe d'amplitude plus bas de ce paragraphe figurent également les franges brillantes des 1^ères taches de diffraction secondaires $\;{\big (}$ mais celles-ci sont peu brillantes et donc pratiquement non observables ${\big )}$ .

[82] « $\;{\mathcal {A}}(\theta )=2\,A_{0}\;\left\vert \mathrm {sinc} \!\left[{\dfrac {\pi \,\sin(\theta )\,d}{\lambda _{0}}}\right]\right\vert \;\left\vert \cos \!\left[{\dfrac {\pi \,\sin(\theta )\,a}{\lambda _{0}}}\right]\right\vert \;$ » dans laquelle « $\;2\,A_{0}\left\vert \cos \!\left[{\dfrac {\pi \,\sin(\theta )\,a}{\lambda _{0}}}\right]\right\vert \;$ est le facteur d'interférences » $\;{\bigg \{}$ voir le paragraphe donnant l'amplitude de l'onde résultant de l'interférence de deux ondes primitives dans le « cas où les sources synchrones et en phase émettent des signaux de même amplitude » du chap. $5$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » soit « $\;A_{\text{tot}}$ $=A_{0}\,{\sqrt {2}}\,{\sqrt {1+\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})}}=2\,A_{0}\,\left\vert \cos \!\left({\dfrac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right)\right\vert \;$ » avec le « déphasage $\;\varphi _{2}-\varphi _{1}\;$ » lié à la « différence de marche $\;\delta =d_{2}-d_{1}\;$ avec $\;d_{2}=S_{2}M\;$ et $\;d_{1}=S_{1}M\;$ » par « $\;\varphi _{2}-\varphi _{1}=$ $-{\dfrac {2\,\pi }{\lambda _{0}}}\,(d_{2}-d_{1})\;$ » voir le paragraphe « notion de différence de marche et d'ordre d'interférences » du même chap. $5$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ainsi que le « calcul de la différence de marche $\;\delta =a\;\sin(\theta )\;$ » voir le paragraphe « échelle angulaire du phénomène d'interférences, lien avec l'échelle de longueur du phénomène d'interférences dans le plan d'observation » du même chap. $5$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ${\bigg \}}$ .

[83] Correspondant au domaine de diffraction central $\;{\big (}$ c.-à-d. celui qui donnerait la tache centrale sur un écran $\;\perp \;$ à la direction principale ${\big )}$ .

[84] Cela fait en effet un facteur multiplicatif de $\;31\;$ ou une augmentation de $\;3000\;\%\;$ à une distance de $\;5\;m$ ; cela reste néanmoins très faible comparativement aux autres sources.

[distance_focale_image-85] 85,0 et ^85,1 Voir le paragraphe « foyer principal objet, foyer principal image (d'une lentille mince) » du chap. $14$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » définissant le foyer $\;{\big (}$ principal ${\big )}\;$ image des lentilles minces comme le point de convergence du faisceau émergent provenant d'un faisceau incident $\;\parallel$ $\;{\big (}$ à l'axe principal optique de la lentille ${\big )}\;$ et
Voir le paragraphe « distance focale et vergence d'une lentille mince » du même chap. $14$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » définissant la notion de distance focale $\;{\big (}$ image ${\big )}\;$ comme la distance séparant le foyer $\;{\big (}$ principal ${\big )}\;$ image du centre $\;{\big (}$ optique ${\big )}\;$ de la lentille $\;{\big \{}$ les termes entre parenthèses sont nécessaires pour une définition correcte mais peuvent être supprimés en 1^ère lecture ${\big \}}$ .

[propagation_rectiligne_de_la_lumière_en_optique_géométrique-86] Voir le paragraphe « 1^ère loi : propagation rectiligne de la lumière » du chap. $10$ de la leçon « Signaux physiques (PCSI) ».

[87] Voir le paragraphe « développements limités à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » du chap. $14$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[88] Ce qui correspond à un rétrécissement de $\;0,20\;mm\;$ sur $\;0,50\;mm\;$ soit un « facteur de rétrécissement de $\;40\;\%\;$ », ce qui est néanmoins suffisant pour affirmer que la convergence n'est pas ponctuelle.

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