Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini

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Propagation d'un signal : Diffraction à l'infini
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Chapitre no 8
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Propagation d'un signal : Ondes stationnaires mécaniques
Chap. suiv. :Propagation d'un signal : Polarisation rectiligne de la lumière, loi de Malus
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Sommaire

Observation du phénomène de diffraction en optique[modifier | modifier le wikicode]

Rappel des fréquences lumineuses dans le domaine visible, longueurs d'onde associées dans le vide[modifier | modifier le wikicode]

Le domaine du visible en fréquence étant [1] et la lumière étant une onde électromagnétique de célérité dans le vide , on en déduit de domaine des longueurs d'onde dans le vide grâce à [2] soit :

[3].

Introduction aux phénomènes de diffraction par limitation d'un faisceau lumineux[modifier | modifier le wikicode]

Une source lumineuse ponctuelle émet en « espace libre » [4] une onde progressive se propageant dans toutes les directions (milieu tridimensionnel) ; mais pratiquement jamais une expérience n'est entièrement réalisée en espace libre car tous les dispositifs pratiques introduisent des limitations de l'expansion spatiale des ondes, ce sont par exemple :

  • les sources entourées d'une enveloppe, percée d'un orifice par lequel sort l'onde,
  • les instruments permettant d'analyser l'onde (capteur ou œil) et ne collectant qu'une partie de la lumière,
  • les éléments optiques rencontrés par la lumière entre les sources et les capteurs et qui n'ont qu'une expansion finie ;

le fait de limiter l'expansion d'une onde lumineuse peut en modifier les propriétés, cette modification éventuelle correspond au phénomène de diffraction.

Diffraction à l'infini[modifier | modifier le wikicode]

La cause dominante de limitation de l'expansion spatiale des ondes lumineuses est la présence d'un diaphragme de faible diamètre [5] ou d'une fente de faible largeur ; une observation à grande distance du diaphragme ou de la fente est estimée faite à l'infini et, si on observe un phénomène de diffraction, on parlera de « diffraction à l'infini » ;

Dispositif expérimental de diffraction d'un laser par une fente fine, franges observées

un faisceau laser émettant une onde lumineuse progressive « quasi unidimensionnelle » [6] et monochromatique [7], on place sur le trajet de l'onde une fente de largeur réglable et on observe l'impact laissé par l'onde sur un écran placé à grande distance  ;

......alors qu'on s'attendait à voir une tache lumineuse de même largeur que la fente (trajet de la lumière en pointillés), on observe un étalement de la lumière sur l'écran suivant la direction parallèle à la largeur de la fente, étalement d'autant plus grand que la largeur de la fente est petite avec une répartition non uniforme : « présence d'une tache centrale très lumineuse » entourées de « taches beaucoup moins lumineuses et deux fois moins larges » [8] ;

......le phénomène qui apparaît dans cette expérience est la diffraction, celle-ci n'apparaît nettement qu'en-deçà d'une largeur de fente de  ;

......quelques valeurs numériques : avec un faisceau laser de longueur d'onde à vide [9] et des largeurs de fente de , l'écran étant situé à une distance de la fente, on observe une largeur de tache centrale approximativement égale à [10], [11].

Diffraction par un diaphragme, tache d'Airy[modifier | modifier le wikicode]

Figure de diffraction par un diaphragme de petit diamètre

On remplace la fente par une ouverture circulaire de diamètre et celle-ci ayant une symétrie de révolution d'axe « la direction du faisceau laser », on observe sur l'écran une figure de diffraction ayant cette même symétrie de révolution, un disque central très lumineux (appelé « tache d'Airy ») entouré d'anneaux nettement moins lumineux et plus étroits que le disque central (voir ci-contre) ;

......quelques valeurs numériques : avec le faisceau laser précédent de longueur d'onde à vide [9] et des diamètres de diaphragme de , l'écran étant situé à une distance de la fente, on observe un diamètre de tache d'Airy approximativement égal à [10], [12].

Diffraction par un voilage de maille carrée

Diffraction par un voilage[modifier | modifier le wikicode]

La lumière arrivant sur un endroit précis du voilage, seule une petite partie de ce dernier est utilisée pour le phénomène de diffraction, le voilage se comportant alors comme une fente rectangulaire ; on observe une diffraction par la largeur et la longueur fournissant une tache centrale brillante de largeur et de longueur d'autant plus grande respectivement que et sont petits et des taches secondaires plus sombres sur les deux axes de la tache centrale ;

Ci-contre la figure de diffraction d'un voilage à maille carrée.

Dimension du trou pour observer le phénomène de diffraction à l'infini[modifier | modifier le wikicode]

Observation du phénomène de diffraction en mécanique[modifier | modifier le wikicode]

Le phénomène de diffraction peut être observé sur tous les types d'ondes et en particulier les ondes mécaniques :

Diffraction sur une cuve à ondes, la largeur de la fente étant quatre fois la longueur d'onde
  • les ondes acoustiques dans l'air dont la célérité de propagation est ont des longueurs d'onde de l'échelle « macroscopique » [14] ; en effet une voix d'homme (respectivement de femme) ayant une fréquence moyenne (respectivement correspondant à une longueur d'onde respectivement , la diffraction intervient dès que la limitation de l'expansion spatiale est inférieure à (respectivement ce qui est en particulier le cas quand l'onde sonore correspondante rencontre une porte ouverte de largeur  ;
  • les ondes de vibration sur la surface d'eau de la cuve à ondes sont également sensibles au phénomène de diffraction comme le montre la figure ci-contre : la « fente » est approximativement de largeur égale à quatre fois la « longueur d'onde » [15] et le phénomène de diffraction est assez nettement observable.

Lien (admis) entre la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction[modifier | modifier le wikicode]

Expression du lien entre la taille de l'ouverture, la longueur d'onde et l'échelle angulaire du phénomène de diffraction[modifier | modifier le wikicode]

......Le lien expérimental observé précise l'échelle angulaire de diffraction (c'est-à-dire la « demi-largeur angulaire » [16] de la tache centrale) en fonction de la longueur d'onde et de la largeur de la fente soit  ;
......Dans le cas où la fente est remplacée par un diaphragme circulaire, la taille de l'ouverture qui intervient est le diamètre du diaphragme (encore noté et le rayon angulaire de tache centrale (appelée « tache d'Airy ») est tel que  ;
......on remarque que acquiert une valeur observable dès lors que [17].

Allure de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par une fente, en fonction de l'angle d'observation[modifier | modifier le wikicode]

Graphe de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par une fente en fonction de l'angle d'observation
Graphe de la fonction sinus cardinal

......La fonction intervenant dans le tracé de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par une fente de largeur dans la direction repérée par l'angle [18] est la valeur absolue du « sinus cardinal » définie selon [19], voir diagramme ci-contre ;

........additif mathématique [20] : La fonction sinus cardinal  est définie et continue sur  ; on prolonge sa définition en par continuité selon [21] et ainsi son domaine de définition et continuité devient  ;
......son domaine de dérivabilité est prolongé par continuité en , en effet pour sa dérivée valant présente une forme indéterminée en pour laquelle sa levée conduit à une limite nulle d'où le prolongement par continuité de sa définition [22] ;
......enfin pour terminer notons les propriétés suivantes :

  • la fonction est paire,
  • elle s'annule pour les valeurs annulant c'est-à-dire pour ,
  • elle a un maximum principal en de valeur 1 et
  • elle a des extrema secondaires en définis par l'équation ou l'équation équivalente
    Voir tracé du graphe de sinus cardinal ci-contre.

Allure de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme, en fonction de l'angle d'observation[modifier | modifier le wikicode]

Graphe de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme en fonction de l'angle d'observation

......La fonction intervenant dans le tracé de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme de diamètre dans la direction repérée par l'angle [23] est définie à partir de la fonction de Bessel de première espèce [24] selon [24], voir diagramme ci-contre :

Fonctions de Bessel de première espèce en rouge et en vert

......additif mathématique [20] : Les fonctions de Bessel de première espèce peuvent être définies :

  • sous forme intégrale [25] soit, pour les deux premières fonctions ,
  • comme une solution particulière de l'équation différentielle du deuxième ordre en non linéaire et homogène [26], (les C.I. restant à préciser suivant la valeur de ainsi
    ...... est définie comme la solution particulière avec et comme C.I. de l'équation alors que
    ...... est la solution particulière avec et comme C.I. de l'équation .

........additif mathématique (fin) [20] : Pour terminer le tour d'horizon, quelques relations de récurrence [29] permettant de déduire et en particulier ou dont on tire l'expression de la dérivée première de , soit … Voir graphe des deux fonctions de Bessel et ci-dessus à droite.

........L'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme de diamètre dans la direction s'écrivant avec est une forme indéterminée en car  ; on lève l'indétermination par soit d'où la valeur pour en [31], en prolongeant sa définition par continuité ; on en déduit la valeur de l'amplitude de l'onde diffractée à l'infini par un diaphragme de diamètre dans la direction selon (amplitude au centre de la tache d'Airy correspondant à la valeur maximale).

Comparaison des graphes de l'amplitude des ondes diffractées à l'infini par une fente ou un diaphragme de même dimension en fonction de l'angle d'observation

Comparaison sur un même diagramme de l'allure de l'amplitude des ondes diffractées à l'infini par une fente et un diaphragme de même dimension, en fonction de l'angle d'observation[modifier | modifier le wikicode]

On remarque (voir ci-contre) que :

  • l'« amplitude des ondes diffractées à l'infini dans la direction centrale » [32] est la même pour une fente et un diaphragme de même dimension,
  • le rayon angulaire de la tache d'Airy dans le cas de la diffraction par un diaphragme est « légèrement plus grand » [33] que la demi-largeur angulaire de la tache centrale dans le cas de la diffraction par une fente de largeur égale au diamètre du diaphragme, et enfin,
  • le contraste entre le disque central (disque d'Airy) et le premier anneau dans le cas de la diffraction par un diaphragme est « plus marqué » [34] que celui entre la tache centrale et les premières taches dans le cas de la diffraction par une fente.

Principe de Huygens Fresnel et tentative d'explication du phénomène de diffraction[modifier | modifier le wikicode]

Donné à titre de complément.

Hypothèse de Huygens (1678)[modifier | modifier le wikicode]

Chaque point d'une surface d'onde [35] créée à partir d'une source ponctuelle peut être considéré à son tour comme une source ponctuelle secondaire émettant des « ondelettes  » dans toutes les directions, ces ondelettes secondaires interférant entre elles de telle sorte que toute nouvelle surface d'onde d'origine [36] soit l'« enveloppe » [37] de toutes les surfaces d'onde secondaires émises par les sources ponctuelles secondaires .

Traduction de l'hypothèse de Huygens pour des ondes sphériques issues d'une source ponctuelle
Traduction de l'hypothèse de Huygens pour des ondes planes

Ci-contre deux exemples, le premier correspondant à des ondes sphériques issues d'une source ponctuelle à distance finie,
Ci-contre deux exemples, le deuxième correspondant à des ondes planes pouvant être considérées comme issues d'une source ponctuelle située à l'infini.

Soit une surface d'onde primaire considérée à l'instant et la surface d'onde primaire correspondante à l'instant , on cherche à expliquer l'état vibratoire de l'onde en à l'instant à partir de l'interférence des ondelettes sphériques issues des sources secondaires situées sur  ; ces dernières peuvent être séparées en :

  • une ondelette de centre qui arrive en dans le « même état vibratoire » [38] que celui de sa création en ,
  • des ondelettes centrées en situés de part et d'autres de , celles reçues par à l'instant étant celles émises par à l'instant  ;

à chaque ondelette centrée en un point particulier on peut faire correspondre une ondelette centrée en un autre point particulier situé dans le voisinage de telle que leur superposition en donne une « interférence destructive » [39] et ainsi seule l'ondelette de centre contribue à l'état vibratoire en

Principe de Huygens - Fresnel (1820)[modifier | modifier le wikicode]

Fresnel [40] interprète les idées de Huygens [41] pour expliquer (et « calculer » [42]) les phénomènes de diffraction, il énonce le principe suivant [43] :

......Tout point atteint par la lumière issue d'une source primaire peut être considéré comme une source secondaire émettant une onde sphérique, l'état vibratoire de cette source secondaire étant proportionnel à celui de l'onde incidente arrivant en  ; on peut obtenir l'état vibratoire de tout point atteint postérieurement à par la lumière issue de la source primaire, en étudiant l'interférence des ondelettes issues de toutes les sources secondaires .

Contribution de Fraunhofer[modifier | modifier le wikicode]

Alors que le principe de Huygens-Fresnel est « applicable » pour calculer la diffraction à distance « quelconque » [44] de la « pupille » [45] cause de la diffraction, Fraunhofer [46] énonce le principe en considérant le point d'observation de la diffraction, à l'« infini de la pupille diffractante » [47] ce qui « simplifie notablement les calculs » [48].

Tentative d'explication du phénomène de diffraction à l'infini d'une onde plane par une fente infiniment longue[modifier | modifier le wikicode]

Tentative d'explication de diffraction à l'infini d'une onde plane par une fente infiniment longue en utilisant les ondelettes secondaires de Huygens

......Si une fente infiniment longue de largeur est éclairée par une onde plane dont la « direction de propagation lui est perpendiculaire » [49], on retrouve au-delà de la fente
............une onde quasi plane très légèrement déformée sur les bords si car, sauf sur les bords, tout se passe comme s'il n'y avait pas de limitation d'expansion de l'onde, on peut alors refaire l'explication donnée dans le paragraphe « hypothèse de Huygens » mais, sur les bords, en par exemple sur la figure ci-contre, il y a une dissymétrie de répartition des sources secondaires relativement à projeté orthogonal de sur la fente d'où une déformation de la surface d'onde en et par suite de la « direction de propagation » [50] ;
............si , la partie « onde quasi plane » de la surface d'onde s'amenuise d'autant plus que est petit, ce qui rend la diffraction d'autant plus observable …

Diffraction sur un obstacle[modifier | modifier le wikicode]

La diffraction est observable lorsque la lumière est limitée par une pupille mais aussi lorsqu'elle rencontre un obstacle, par exemple lors de la diffraction à l'infini d'une onde plane lumineuse par un cheveu (ou un objet opaque de diamètre on observe à la place de l'ombre projetée du cheveu des franges lumineuses et obscures de diffraction qui peuvent être justifiées en faisant intervenir l'interférence des ondelettes issues des sources secondaires centrées en tout point du plan d'onde contenant le cheveu autre qu'un point du cheveu …

Choix de la taille de l'ouverture relativement à la longueur d'onde pour observer le phénomène de diffraction en optique ou en mécanique, exemple de l'interférence lumineuse d'une onde monochromatique séparée par fentes d'Young[modifier | modifier le wikicode]

Rappel du résultat[modifier | modifier le wikicode]

Notion de sources cohérentes[modifier | modifier le wikicode]

......Pour observer un phénomène d'interférences entre deux ondes, il faut que ces dernières soient synchrones et « en phase lors de leur émission par les sources les ayant créées » [51] ;
......si on fait se croiser deux faisceaux laser émettant la même longueur d'onde dans le vide, les ondes sont effectivement synchrones mais « les sources ne sont pas en phase » [51], [52] et on n'observe pas d'interférences, les ondes émises sont dites « incohérentes » [53] ;
......pour obtenir des ondes « cohérentes » [54], il suffit qu'elles proviennent d'une même source avec une séparation du faisceau issu de la source en deux faisceaux à déphasage indépendant du temps comme lors de l'observation d'interférences par séparation d'un faisceau laser par fentes d'Young (voir ci-dessous).

Exemple de l'interférence lumineuse d'une onde monochromatique séparée par fentes d'Young[modifier | modifier le wikicode]

Description du dispositif d'interférences par les fentes d'Young

On obtient une onde « plane » [55] monochromatique à l'aide d'un faisceau laser « hélium-néon » [56] et on réalise sa séparation en deux faisceaux synchrones et « cohérents », divergeant, par phénomène de diffraction, à partir de chacune des deux fentes d'Young [57] que le faisceau laser incident éclaire (voir figure ci-contre) ;

......pour chaque fente de largeur , la demi-largeur angulaire de la « tache centrale de diffraction » [58] vaut  ;
......il y a donc toujours un champ d'interférences « intersection des deux taches centrales de diffraction » mais pour que les « franges » [59] d'interférences soient observables sur un écran, ce dernier doit être situé au-delà du point (voir figure ci-dessus) défini par soit  ;
......avec , la demi-largeur angulaire de la « tache centrale de diffraction » vaut et, en prenant [60], la distance à partir de laquelle on peut observer des interférences est  ;

......on prend alors et la largeur du champ d'interférences sur l'écran donnant numériquement en et finalement  ;

Diagramme d'amplitude des interférences par fentes d'Young modulées par la courbe d'amplitude de diffraction

......d'autre part nous avons déterminé dans le chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » traitant des interférences acoustiques et mécaniques mais dont les résultats se prolongent en optique l'« interfrange » soit et

......nous en déduisons le nombre d'interfranges dans le champ d'interférences sur l'écran [61] ;
......ci-contre le diagramme de variation de l'amplitude [62] en fonction de l'angle d'observation des interférences.

Conséquences de la diffraction sur la focalisation et sur la propagation d'un faisceau laser[modifier | modifier le wikicode]

Divergence d'un faisceau laser[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de divergence d'un faisceau laser

Un faisceau laser n'est pas rigoureusement parallèle, cela résulte de son expansion transversale finie, par exemple pour une longueur d'onde dans le vide correspondant au laser hélium-néon et un diamètre de sortie , le rayon angulaire ou « demi-angle d'ouverture » [63] [64] ;

......si on place un écran à une distance on observe une tache de diamètre soit c'est-à-dire un élargissement « non négligeable » [65] du diamètre du faisceau à grande distance de la source.

Focalisation d'un faisceau laser[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de focalisation d'un faisceau laser à travers un objectif de microscope

La diffraction se manifeste aussi quand on cherche à focaliser un faisceau laser à l'aide d'un objectif de microscope de distance focale [66], la dimension transversale du faisceau ne s'annule pas, elle passe simplement par une valeur minimale que l'on détermine également par la relation est le demi-angle d'ouverture du faisceau convergent imposé par l'objectif de microscope et la valeur minimale du diamètre du faisceau à l'endroit de la convergence soit encore  ;

......avec la relation déterminant le demi-angle d'ouverture à partir de la distance focale de l'objectif de microscope et du diamètre du faisceau incident ou, avec l'angle petit permettant l'approximation simultanément à autorisant de confondre avec , on en déduit et on obtient finalement  ;

......si avec et on trouve soit finalement , ce qui est peu mais ne correspond néanmoins pas à une convergence ponctuelle.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. lire « térahertz ».
  2. On ajoute l'indice pour distinguer la longueur d'onde dans le vide de la longueur d'onde dans le milieu transparent.
  3. Quelques autres longueurs d'onde dans le vide peuvent être retenues en lien avec la couleur observée :
    , , et (partant du rouge moyen à , passant par le rouge primaire à et allant jusqu'au rouge extrême à .
  4. C.-à-d. sans limite ni obstacle.
  5. On parle de « diaphragme » pour une ouverture à bord circulaire.
  6. La source est considérée comme étant à l'infini, ce qui se manifeste par une expansion de l'onde émise par le faisceau laser quasi cylindrique de diamètre de l'ordre de quelques mm d'où le qualificatif « quasi unidimensionnelle ».
  7. C.-à-d. n'émettant qu'une seule fréquence correspondant à une seule longueur d'onde dans le vide .
  8. La fente ayant une dimension « sa longueur » grande devant l'autre dimension « sa largeur », la limitation de l'expansion spatiale de l'onde n'intervient que sur la largeur de la fente et on remarque que la dispersion de l'énergie lumineuse se fait dans la direction de l'écran parallèle à cette largeur, dans la direction de l'écran parallèle à la longueur la propagation reste unidirectionnelle.
  9. 9,0 et 9,1 Laser « hélium – néon » très utilisé dans les expériences d'optique.
  10. 10,0 et 10,1 Ces largeurs sont sous-estimées car la tache centrale n'étant pas uniforme l'intensité décroît du centre brillant jusqu'aux bords sombres, théoriquement la largeur doit aller jusqu'aux bords sombres mais ici la largeur estimée s'arrête approximativement à mi-chemin, il s'agit en fait d'une « largeur à mi-intensité ».
  11. Avec , la diffraction commence à être observable, la largeur de la tache centrale étant de  ; on remarque que plus la fente est étroite, plus le phénomène de diffraction est prononcé.
  12. Avec , la diffraction commence à être observable, la largeur de la tache centrale étant de  ; on remarque que plus le diaphragme est petit, plus le phénomène de diffraction est prononcé, celui-ci étant encore plus contrasté qu'avec une fente.
  13. Sur l'exemple et le phénomène de diffraction est observable pour , on a donc bien l'ordre de grandeur.
  14. Une longueur est dite à l'échelle macroscopique si (notion déjà entrevue en note du paragraphe définition de l'intensité algébrique du courant du chapitre de la leçon « Signaux physiques (PCSI) »).
  15. On observe la valeur de cette dernière au niveau de l'écartement des rides.
  16. Dans le cas où la fente est remplacée par un diaphragme circulaire, le phénomène de diffraction a la symétrie de révolution et la tache centrale est un disque ; l'échelle angulaire de diffraction est alors le demi-angle d'ouverture de l'expansion correspondant à la tache centrale, encore appelé « rayon angulaire de la tache centrale ».
  17. Par exemple pour une largeur de fente (respectivement un diamètre de diaphragme) tel(le) que on trouve soit, à une distance de une largeur (ou diamètre) de tache centrale ne passant pas inaperçu(e) à condition toutefois que la répartition de lumière ne soit pas trop faible (sinon, seul le centre de la tache étant visible, la tache centrale apparaîtra moins large).
  18. Angle que fait la direction de propagation relativement à la normale au plan de la fente.
  19. Forme indéterminée en prolongée par continuité donnant c'est-à-dire .
  20. 20,0 20,1 et 20,2 Cet additif n'est pas placé dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » car il n'est pas exigible à ce niveau ; il est simplement fourni pour une meilleure compréhension.
  21. En effet quand étant en radian) son sinus peut être confondu avec sa valeur soit dont on déduit .
  22. Forme indéterminée de la dérivée en  :
    ......une première tentative quand étant en radian) consistant à écrire les équivalences élémentaires suivantes et conduirait à et ne lèverait pas l'indétermination d'où la nécessité de ne pas se contenter de l'équivalence  ;
    ......une deuxième tentative plus fine utilisant la formule de trigonométrie de façon à prendre l'équivalence d'où l'approximation quand , de soit [ceci définit le développement limité de au voisinage de 0 à l'ordre deux introduit plus finement au chap. dans la remarque du paragraphe « DL à l'ordre un de quelques fonctions usuelles » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »] d'où la réécriture de la dérivée quand , et par suite valeur donnée à la dérivée en prolongeant sa définition par continuité.
  23. Angle que fait la direction de propagation relativement à l'axe du diaphragme.
  24. 24,0 et 24,1 Dont l'introduction sort largement du niveau de cette leçon mais dont il vous sera donné néanmoins quelques éléments (non indispensables à consulter pour comprendre la leçon).
  25. C'est sous cette forme que Friedrich Wilhelm Bessel (1784 - 1846) astronome, mathématicien et physicien allemand, les a d'abord définies.
  26. Friedrich Wilhelm Bessel a établi que les fonctions qu'il avait définies sous forme intégrale vérifiaient cette équation différentielle un calcul de dérivée première et seconde par rapport à de suivi de leur remplacement dans le premier membre de l'équation différentielle et d'une intégration par parties conduit à un résultat nul … d'où la seconde façon de définir les fonctions de Bessel de première espèce.
  27. Cette méthode qui sera vue en détail dans le cours de mathématiques est exposée très succinctement au chap. dans le paragraphe « Développement de quelques méthodes de calcul » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  28. Ce Qu'il Fallait Vérifier.
  29. Voir le paragraphe Propriétés des de l'article Fonction de Bessel dans wikipédia.
  30. Les autres se démontrant de façon analogue.
  31. On ne peut évidemment pas écrire ce prolongement , la seule façon de l'écrire étant .
  32. Et donc la puissance diffractée à l'infini dans la direction centrale (qui est proportionnelle au carré de l'amplitude dans la même direction) aussi.
  33. Le cœfficient multiplicateur étant de c'est-à-dire approximativement dans un rapport de 5 pour .
  34. Le contraste observé est encore plus marqué dans la mesure où notre œil est sensible à la puissance diffractée et non à l'amplitude, la puissance étant proportionnelle au carré de l'amplitude ;
    ......le rapport entre l'amplitude maximale de la première tache de diffraction et celle de la tache centrale étant dans le cas de la diffraction par une fente, la puissance diffractée correspondant à la première tache est approximativement de celle diffractée associée à la tache centrale alors que
    ......le rapport entre l'amplitude maximale du disque d'Airy et celle du premier anneau est dans le cas de la diffraction par un diaphragme, la puissance diffractée correspondant au premier anneau n'est alors qu'approximativement de celle diffractée associée à la tache d'Airy (soit un rapport deux fois et demi plus faible que dans le cas de la diffraction par une fente).
  35. Surface « équiphase » c'est-à-dire telle que ses points ont mis le même temps de parcours depuis la source.
  36. C.-à-d. toute surface d'onde correspondant à des points atteints postérieurement à la surface d'onde d'origine.
  37. L'enveloppe d'une famille de surfaces est une surface qui est tangente à toutes les surfaces de la famille ;
    ......par excemple l'enveloppe d'une famille de sphères de même rayon, centrées sur l'axe est le cylindre de révolution d'axe et de même rayon que les sphères, la courbe de contact de chaque sphère avec l'enveloppe de la famille étant le cercle dans le plan à de même centre et même rayon que la sphère ;
    ......voir aussi l'article de wikipédia enveloppe (géométrie).
  38. C.-à-d. une même phase car … avec toutefois une amplitude plus faible à cause de la dispersion spatiale de la puissance dans toutes les directions, l'amplitude d'une onde sphérique décroissant en .
  39. Si on choisit tel que et ainsi la différence de marche est .
  40. Augustin Jean Fresnel (1788 - 1827) physicien français à qui on doit principalement l'explication de tous les phénomènes optiques dans le cadre de la théorie ondulatoire de la lumière.
  41. Christian Huygens (1629 - 1695) mathématicien, astronome et physicien néerlandais à qui on doit, entre autres, quelques techniques de sommation et d'intégration du calcul infinitésimal, ainsi que la formulation de la théorie ondulatoire de la lumière.
  42. C'est la possibilité de calculer qui est la contribution principale de Fresnel.
  43. L'énoncé ci-après n'est que partiel exprimé ainsi il ne souligne que l'hypothèse de Huygens l'énoncé complet (non fourni car nous n'envisagerons pas le calcul, ceci n'étant pas du niveau de ce chapitre) précise la façon dont Fresnel calcule l'amplitude de l'onde résultant de l'interférence des ondelettes, ce que ne faisait pas Huygens.
  44. Avec toutefois une restriction, cette distance devant être supérieure à , ce qui donne pour , une distance minimale de  ; en effet si est trop proche de la pupille diffractante, la variation de l'amplitude des ondelettes issues des sources secondaires situées sur la pupille est trop importante variation en avec petit pour que leurs interférences donnent une amplitude résultante en accord avec l'observation, le principe de Huygens-Fresnel est alors inapplicable.
  45. Une pupille étant une ouverture limitant l'expansion spatiale de l'onde incidente.
  46. Joseph von Fraunhofer (1787 - 1826) opticien et physicien allemand à qui on doit, en plus de l'étude systématique de la diffraction de la lumière par les réseaux (surfaces planes constituées d'une juxtaposition d'un grand nombre de fentes étroites et parallèles), l'invention du spectroscope avec lequel il précisa les raies d'absorption du spectre solaire (qui portent son nom).
  47. Plus exactement la distance ce qui donne, pour et , une distance minimale de , l'infini commençant donc pour les données de cette expérience à .
  48. En effet on peut alors considérer que la source secondaire émet une onde plane.
  49. On dit qu'elle est éclairée « sous incidence normale ».
  50. On rappelle que la direction de propagation est orthogonale à la surface d'onde.
  51. 51,0 et 51,1 Ou avec un déphasage de leur source constant.
  52. Chaque faisceau laser est une suite de train d'ondes (un train d'ondes étant de durée limitée et par conséquent d'expansion spatiale limitée), chaque train n'ayant aucune relation de déphasage avec le suivant (ou le précédent) et ayant une longueur dans le vide de l'ordre de (correspondant à une durée d'émission sans déphasage de l'ordre de  ; deux faisceaux laser de même longueur d'onde dans le vide n'auront donc un déphasage fixé mais non connu que pendant une durée très limitée , cette durée est alors beaucoup trop faible pour une observation d'interférences à l'échelle macroscopique (en effet une durée d'échelle macroscopique est , et pour observer des interférences il faudrait au moins .
  53. Ce qui signifie qu'elles ont « un déphasage aléatoire à l'échelle macroscopique » (c'est-à-dire que leur déphasage change de façon aléatoire sur une durée .
  54. C.-à-d. des ondes avec « un déphasage constant à l'échelle macroscopique » (plus précisément restant constant sur une durée .
  55. En fait non rigoureusement plane puisque le faisceau a une expansion spatiale limitée dans sa section (voir paragraphe suivant « divergence d'un faisceau laser »).
  56. De longueur d'onde dans le vide .
  57. Thomas Young (1773 - 1829) physicien, médecin et égyptologue britannique, surtout connu pour sa définition du module d'Young en sciences des matériaux et son expérience des fentes d'Young en optique.
  58. Plus exactement de l'expansion spatiale aboutissant à la tache centrale de diffraction sur l'écran ci-après ; on rappelle que la diffraction par une fente infiniment longue se fait uniquement dans le plan perpendiculaire à la longueur de la fente.
  59. Compte-tenu du fait que la diffraction par une fente infiniment longue se fait uniquement dans le plan perpendiculaire à la longueur de la fente, les franges se réduisent à des taches.
  60. On prend cette valeur réduite pour que les deux fentes soient recouvertes avec un faisceau laser non élargi.
  61. Divisant par on trouve  ;
    ......compte-tenu du fait que la « frange » centrale est brillante, il y a donc « franges » brillantes de part et d'autre de la « frange » centrale soit au total franges brillantes et franges sombres, mais …
    ......comme on le constate sur la courbe d'amplitude de ce paragraphe, les franges d'ordre et ont une amplitude maximale trop faible pour être observable (et même celles d'ordre 9 et d'où simplement (ou même franges brillantes pour (ou même franges sombres ;
    ......sur la courbe d'amplitude de ce paragraphe figurent également les franges brillantes des premières taches de diffraction secondaires (mais celles-ci sont peu brillantes et donc pratiquement non observables).
  62. , étant le facteur d'interférences résultant de la simplification de
  63. Correspondant au domaine de diffraction central (c'est-à-dire celui qui donnerait la tache centrale sur un écran perpendiculaire à la direction principale).
  64. Il y a dans se lit « minutes ») et dans se lit « secondes ») et bien sûr .
  65. Cela fait en effet un facteur multiplicatif de ou une augmentation de à une distance de  ; cela reste néanmoins très faible comparativement aux autres sources.
  66. Nous définirons, dans le chapitre d'optique géométrique sur les lentilles minces, le foyer (principal) image de ces dernières comme le point de convergence du faisceau émergent provenant d'un faisceau incident parallèle (à l'axe principal optique de la lentille) et la notion de distance focale (image) comme la distance séparant le foyer (principal) image du centre (optique) de la lentille (les termes entre parenthèses sont nécessaires pour une définition correcte mais peuvent être supprimés en première lecture).