Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence

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Propagation d'un signal : Interférences entre deux ondes acoustiques ou mécaniques de même fréquence
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Chapitre no 5
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Propagation d'un signal : Onde progressive sinusoïdale
Chap. suiv. :Propagation d'un signal : Battements
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Sommaire

Dispositif expérimental mettant en évidence le phénomène d'interférences de deux ondes mécaniques sur une cuve à ondes[modifier | modifier le wikicode]

Dispositif expérimental pour créer et observer des ondes de surface d'un liquide (cuve à ondes)

Le plateau supérieur au fond transparent, contient le liquide (en général de l'eau) à la surface duquel sont produites des ondes (dites de surface) ; l'éclairage, au-dessus de l'appareil, projette l'image de la surface du liquide sur l'écran dépoli vertical de la face avant de la cuve, grâce à un miroir placé à sous la cuve transparente ; cet éclairage [1] est rendu stroboscopique [2] grâce à un disque rotatif, disposant de deux fentes, placé entre la lampe et la surface du liquide, il permet ainsi, lorsque le disque n'est pas débrayé, d'observer au ralenti le phénomène de propagation des ondes de surface ;

......les vibrations peuvent être produites par une pointe vibrante venant frapper la surface du liquide, la position de la surface frappée étant alors la source d'une « onde progressive sinusoïdale de surface » [3] de fréquence égale à la fréquence du vibreur, cette dernière étant réglée par le boîtier de commande ;

......pour obtenir deux sources vibrant à la même fréquence on peut utiliser deux pointes vibrantes mues par un même vibreur venant frapper la surface du liquide en deux positions différentes ; comme elles sont mues par le même vibreur, elles sont nécessairement synchrones (même fréquence) et en phase si les pointes affleurent la surface libre en même temps ; dans ce cas l'éclairage stroboscopique permet d'étudier le phénomène de superposition des deux ondes de surface, phénomène trop rapide pour une observation directe.

Observation stroboscopique, interférences constructives et destructives[modifier | modifier le wikicode]

Schématisation d'interférences de deux ondes mécaniques créées à la surface d'un liquide par de deux sources synchrones en phase

Deux perturbations sinusoïdales sont produites en deux points et de la cuve à ondes ; en chaque point atteint par ces deux ondes ces dernières se superposent et s'additionnent algébriquement on dit qu'elles « interfèrent ».

......Ci-contre un schéma où figurent les rides circulaires issues de chaque source vibrante (rides pouvant être rendues d'apparence fixe par strosboscopie) ainsi que leur superposition constructive (on parle d'interférence constructive) matérialisée par les lignes rouges [5] et leur superposition destructive (on parle d'interférence destructive) matérialisée par les lignes vertes [6].

......On peut observer des lignes d'amplitude maximale (en rouge), lorsque les ondes arrivent en phase : la « différence de marche entre ces deux ondes en un point » [7] définie par [8] est un multiple de la longueur d'onde (condition pour que les ondes soient en phase), et l'amplitude résultante est double de celle d'une onde seule [9].

......On observe également des lignes « neutres » (en vert) lorsque les deux ondes arrivent en opposition de phase : la « différence de marche entre ces deux ondes en un point » [7] définie par [8] est alors égale à une demi-longueur d'onde à un multiple de longueurs d'onde près (condition pour que les ondes soient en opposition de phase), sur ces lignes d'interférence destructive, l'eau est au repos [9].

......On établit que ces lignes, ou « franges » d'interférence sont des hyperboles de foyers et [10].

Mise en équation du problème d'interférences à la surface du liquide[modifier | modifier le wikicode]

Les ondes émises par les sources synchrones et étant respectivement et [11] se propagent chacune, pour atteindre un point quelconque de la surface du liquide, suivant une direction différente et tout en agissant suivant une même direction à la surface du liquide [12] ;

......au point et à l'instant , avec pulsation spatiale commune [13], étant la longueur d'onde commune, l'onde issue de et celle issue de s'écrivent respectivement dans laquelle et sont respectivement l'amplitude de chaque onde au point [14], et étant la distance séparant ce dernier de chaque source ;

......les ondes agissant suivant une même direction transversale peuvent s'ajouter scalairement et on en déduit l'onde résultante au point et à l'instant , ou, avec pour simplifier l'écriture,  ;

......la somme de deux fonctions sinusoïdales du temps de pulsation étant une fonction sinusoïdale du temps de même pulsation , nous notons l'onde résultante  ; il reste alors à déterminer l'amplitude résultante (et éventuellement la phase initiale résultante) à l'aide d'une des méthodes exposées au chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » traitant du diagramme de Fresnel ou de l'amplitude complexe [15].

Détermination de l'amplitude de l'onde résultante en un point en fonction du déphasage par diagramme de Fresnel[modifier | modifier le wikicode]

Il suffit alors de refaire le traitement exposé au chapitre dans le paragraphe « le diagramme de Fresnel » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » [16] ; on en déduit :

  • l'amplitude résultante [17],
  • la phase initiale résultante [18] par [17].

......On en déduit l'onde résultante en et à l'instant .

Détermination de l'amplitude de l'onde résultante en un point en fonction du déphasage par amplitude complexe[modifier | modifier le wikicode]

Il suffit alors de refaire le traitement du chapitre dans le paragraphe « utilisation de l'amplitude complexe » de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » [19] ; on en déduit :

  • l'amplitude résultante [17],
  • la phase initiale résultante [18] par ou encore [17].

......On en déduit l'onde résultante en et à l'instant .

Condition d'interférences constructives ou destructives en termes de déphasage[modifier | modifier le wikicode]

Soient et les ondes émises par les sources synchrones et supposées vibrant en phase ;

......au point et à l'instant , les ondes issues de et de s'écrivant respectivement dans laquelle et sont l'amplitude de chaque onde en , et la distance séparant ce dernier de chaque source, et la pulsation spatiale et la longueur d'onde communes, se superposent en donnant l'onde résultante dans laquelle ou, la somme de deux fonctions sinusoïdales du temps de pulsation étant une fonction sinusoïdale du temps de même pulsation ,  ; la détermination de l'amplitude résultante à l'aide du diagramme de Fresnel [15] ou de l'amplitude complexe nous a fourni .

Cas où les sources synchrones et en phase émettent des signaux de même amplitude[modifier | modifier le wikicode]

L'application de la formule précédente dans le cas particulier où on néglige l'affaiblissement des amplitudes des ondes individuelles avec la distance parcourue, ce qui correspond à , donne  ;

......finalement l'amplitude résultante s'écrit [20].

Interférences constructives[modifier | modifier le wikicode]

......Les ondes en interfèrent de façon « constructive » si l'amplitude résultante y est maximale et ceci est réalisé pour , [26], correspondant à des ondes « en phase » [27] ; l'amplitude résultante vaut alors .

Interférences destructives[modifier | modifier le wikicode]

......Les ondes en interfèrent de façon « destructive » si l'amplitude résultante y est minimale et ceci est réalisé pour , [26], c'est-à-dire pour des ondes « en opposition de phase » [27] ; l'amplitude résultante vaut alors correspondant à l'absence de mouvement.

Variation de l'amplitude d'une O.P.H. dans un milieu bidimensionnel (ou tridimensionnel) non absorbant[modifier | modifier le wikicode]

......Dans une propagation unidimensionnelle linéaire sans absorption, « l'amplitude d'une O.P.H. reste constante », ceci correspondant au fait que la « puissance transportée demeurant constante du fait de l'absence d'absorption reste localisée dans un même espace à savoir le voisinage immédiat du point M » [28] ;

......dans une propagation bidimensionnelle linéaire sans absorption, la puissance transportée reste constante mais, ce qui est créé par la source à l'instant se retrouvant localisé sur le cercle de rayon [29] à l'instant [30] c'est-à-dire sur un espace dont l'expansion augmente avec , on en déduit que la puissance transportée par unité de longueur du cercle d'onde décroît comme [31] et par suite que l'amplitude de l'O.P.H. décroît comme [32] ;

......dans une propagation tridimensionnelle linéaire sans absorption, la puissance transportée reste constante mais, ce qui est créé par la source à l'instant se retrouvant localisé sur la sphère de rayon [33] à l'instant c'est-à-dire sur un espace dont l'extension augmente avec , on en déduit que la puissance transportée par unité de surface de la sphère d'onde décroît comme [34] et par suite que l'amplitude de l'O.P.H. décroît comme [35].

Cas où les sources synchrones et en phase émettent des signaux d'amplitudes différentes[modifier | modifier le wikicode]

Nous supposons maintenant que les ondes émises par les sources synchrones et , supposées vibrant en phase, s'écrivent et avec , induisant au point et à l'instant , les ondes s'exprimant respectivement selon dans laquelle et sont l'amplitude de chaque onde en [36] et les autres grandeurs introduites les mêmes que précédemment ; ces ondes en se superposant donnent l'onde résultante dans laquelle , la détermination de l'amplitude résultante à l'aide du diagramme de Fresnel [15] ou de l'amplitude complexe ayant fourni [37].

Interférences constructives[modifier | modifier le wikicode]

......Les ondes en interfèrent de façon « constructive » si l'amplitude résultante y est maximale et ceci est réalisé pour , [26] ce qui correspond à des ondes « en phase » [27] ; l'amplitude résultante vaut alors soit, dans le cas où on néglige l'« étalement de l'onde avec la distance parcourue depuis la source », .

Interférences destructives[modifier | modifier le wikicode]

......Les ondes en interfèrent de façon « destructive » si l'amplitude résultante y est minimale et ceci est réalisé pour , [26], c'est-à-dire pour des ondes « en opposition de phase » [27] ; l'amplitude résultante vaut alors soit, dans le cas où on néglige l'« étalement de l'onde avec la distance parcourue depuis la source », .

Notion de différence de marche et d'ordre d'interférences[modifier | modifier le wikicode]

Le déphasage entre les deux ondes au point se réécrit à l'aide de la pulsation spatiale commune et des distances séparant des sources et selon est la longueur d'onde commune.

Notion de différence de marche[modifier | modifier le wikicode]

Notion d'ordre d'interférences[modifier | modifier le wikicode]

Expression du déphasage en fonction de la différence de marche ou de l'ordre d'interférences[modifier | modifier le wikicode]

[38].

Condition d'interférences constructives ou destructives en termes de différence de marche ou d'ordre d'interférences[modifier | modifier le wikicode]

Elle se déduit des conditions d'interférences en termes de déphasage.

Condition d'interférences en termes de différence de marche[modifier | modifier le wikicode]

On utilise .

Interférences constructives[modifier | modifier le wikicode]

......La condition en termes de déphasage (mathématique) étant se réécrit soit la condition d'interférences constructives en termes de différence de marche

[39]
ou encore
« la différence de marche doit être un multiple entier relatif de la longueur d'onde ».

Interférences destructives[modifier | modifier le wikicode]

......La condition en termes de déphasage (mathématique) étant ou se réécrit ou soit la condition d'interférences destructives en termes de différence de marche

[40]
ou encore
« la différence de marche doit être égal à une demi-longueur d'onde plus un multiple entier relatif de la longueur d'onde ».

Nature des franges lors d'une propagation bidimensionnelle[modifier | modifier le wikicode]

......Une frange d'interférences constructives étant l'ensemble des points <math\;>M\;</math> tel que , étant un entier relatif fixé, est une branche d'hyperbole de foyers et [10] à l'exception de la frange d'interférences constructives de différence de marche nulle qui est la médiatrice de  ;

......une frange d'interférences destructives étant l'ensemble des points vérifiant , étant un entier relatif fixé, est aussi une branche d'hyperbole de foyers et [10].

Condition d'interférences en termes d'ordre d'interférences[modifier | modifier le wikicode]

On utilise .

Interférences constructives[modifier | modifier le wikicode]

......La condition en termes de déphasage (mathématique) étant se réécrit soit la condition d'interférences constructives en termes d'ordre d'interférences

[39]
ou encore
« l'ordre d'interférences doit être un entier relatif ».

Interférences destructives[modifier | modifier le wikicode]

......La condition en termes de déphasage (mathématique) étant ou se réécrit ou soit la condition d'interférences destructives en termes d'ordre d'interférences

[40]
ou encore
« la différence de marche doit être égal à un demi plus un entier relatif ».

Résultats fondamentaux[modifier | modifier le wikicode]

Échelle de longueur du phénomène d'interférences et notion d'interfrange dans le plan d'observation, échelle angulaire[modifier | modifier le wikicode]

Observation dans un plan transversal situé à une distance finie « d » des sources, cas où le plan d'observation est éloigné des sources[modifier | modifier le wikicode]

Disposition relative des sources synchrones et du plan d'observation dans les interférences sur cuve à ondes

On suppose que les sources synchrones et en phase et sont à une distance l'une de l'autre et que le plan transversal d'observation, parallèle au plan vertical contenant les deux sources, en est séparé d'une distance  ; on appelle le milieu de , étant l'intersection de la « médiatrice horizontale » de [41] avec la « droite » d'observation [42] ; on repère le phénomène d'interférences le long de cette droite d'observation orientée selon , le point où on observe les interférences étant d'abscisse  ;

......partant de où on observe une vibration d'amplitude maximale, on remarque en se déplaçant le long de dans le sens de ce dernier que l'amplitude de vibration diminue jusqu'à un point sans vibration, puis augmente jusqu'à où la vibration est de nouveau d'amplitude maximale etc. …
......... étant successivement les traces des franges d'interférences constructives d'ordre sur la droite d'observation [43] et
......... les traces des franges d'interférences destructives d'ordre sur la droite d'observation [44] ;

......les positions successives où on observe une interférence constructive sont-elles réparties régulièrement ? « Non » mais elles le sont néanmoins pratiquement si la distance et que l'on observe en restant au voisinage de c'est-à-dire avec ,
......nous nous plaçons pour la suite dans les conditions d'observation suivantes .

Évaluation de la différence de marche pour une observation éloignée des sources[modifier | modifier le wikicode]

Tout d'abord on évalue le carré de chaque distance aux sources soit puis, formant la différence, on obtient [45] ;
......sachant que , on peut en déduire et, pour terminer, il reste à évaluer sachant que et [46] d'où et par suite

[47].

Position des points d'interférences constructives (ou d'interférences destructives)[modifier | modifier le wikicode]

......Remarque préliminaire : Par abus on peut dire « positions des franges ... » mais dans l'expérience de la cuve à ondes il ne s'agit que de l'intersection des franges et de la droite d'observation.

......Le point d'interférences constructives d'ordre [48] a pour abscisse telle que la différence de marche correspondante vaut soit  ;
............on remarque que ces points sont régulièrement répartis, séparés les uns des autres de la longueur  ;

......le point d'interférences destructives d'ordre [48] a pour abscisse telle que la différence de marche correspondante vaut soit  ;
............on remarque que ces points sont situés à égale distance, séparés des points d'interférences constructives les plus proches de [49] d'une part et d'autre part régulièrement répartis, séparés les uns des autres de la longueur .

Échelle de longueur du phénomène d'interférences dans le plan d'observation, notion d'interfrange[modifier | modifier le wikicode]

......Ayant remarqué que les points d'interférences constructives sont régulièrement répartis dans le plan d'observation et qu'il en est de même des points d'interférences destructives, la distance séparant deux points d'interférences constructives consécutifs (ou deux points d'interférences destructives consécutifs) définit l'échelle de longueur caractérisant le phénomène d'interférences dans ce plan d'observation et s'écrit .

Échelle angulaire du phénomène d'interférences, lien avec l'échelle de longueur du phénomène d'interférences dans le plan d'observation[modifier | modifier le wikicode]

Disposition relative des sources synchrones et du plan d'observation dans les interférences sur cuve à ondes

......On peut définir l'inclinaison de la direction relativement à celle de et c'est en fonction de ce « paramètre angulaire » [50] que nous devons évaluer la différence de marche ;

......on évalue d'abord en fonction de , par  est la distance séparant du milieu de , et on en déduit , que l'on reporte dans l'expression de précédemment trouvée soit [51] ;

......on en déduit la différence de marche en utilisant d'une part et d'autre part l'approximation « principale » de dans le cas où et  soit [52] d'où soit finalement

dans la mesure où et [53].

......Le point d'interférences constructives d'ordre [48] est donc dans la direction telle que la différence de marche correspondante soit d'où ou, avec ,

[54] ;

......le point d'interférences destructives d'ordre [48] est dans la direction telle que la différence de marche correspondante vaille soit  » ou, avec ,

[54].

......Ayant remarqué que les points d'interférences constructives ont des directions régulièrement réparties et qu'il en est de même des points d'interférences destructives, l'écart angulaire séparant deux directions d'interférences constructives consécutives (ou deux directions d'interférences destructives consécutives) définit l'échelle angulaire caractérisant le phénomène d'interférences et s'écrit étant en .

......De la relation liant et définie dans le plan d'observation situé à la distance des deux sources, ou, avec ,   étant en [55], on en déduit le lien entre l'échelle angulaire et l'échelle de longueur dans le plan d'observation du phénomène d'interférences que l'on peut réécrire selon

.

Phénomène d'interférences de deux ondes acoustiques[modifier | modifier le wikicode]

Modifications par rapport aux interférences de deux ondes mécaniques sur une cuve à ondes[modifier | modifier le wikicode]

Le milieu de propagation étant maintenant tridimensionnel et supposant toujours la propagation linéaire et non dispersive, le phénomène d'interférences est visible dans tout l'espace et les lieux d'observation des interférences constructives (ou destructives) ne sont plus des courbes comme cela était dans un milieu bidimensionnel mais sont des surfaces ;

......on peut aisément prolonger en adaptant si besoin est tout ce qui a été vu lors de l'étude des interférences de deux ondes mécaniques sur la surface du liquide de la cuve à ondes.

Principaux résultats[modifier | modifier le wikicode]

......La superposition, au point et à l'instant , de deux ondes acoustiques issues des deux sources et synchrones et en phase,  et [56] avec et , étant la pulsation spatiale et les distances respectives séparant le point des sources et , donne une onde résultante avec [57] où le déphasage est lié à la différence de marche selon ou lié à l'ordre d'interférences selon  ;


......conditions équivalentes d'interférences constructives :

 ;

............la deuxième condition se réécrivant soit encore, pour entier relatif fixé (lequel n'est rien d'autre que l'ordre d'interférences), , on en déduit que la surface d'interférences constructives d'ordre est un « hyperboloïde de révolution » de foyers et [58], le cas correspondant au plan médiateur de  ;


......conditions équivalentes d'interférences destructives :

 ;

............la deuxième condition se réécrivant soit encore, pour entier relatif fixé (lequel n'est rien d'autre que la partie entière de l'ordre d'interférences) [59], , on en déduit que la surface d'interférences destructives d'ordre est un « hyperboloïde de révolution » de foyers et [58].

Dispositif expérimental[modifier | modifier le wikicode]

Dispositif expérimental pour faire interférer deux ondes acoustiques ultrasonores synchrones

......On peut utiliser le dispositif expérimental schématisé ci-contre : deux émetteurs d'ultrasons alimentés par le même générateur de signaux sinusoïdaux réglé sur la fréquence et écartés l'un de l'autre d'une distance envoient des ondes acoustiques ultrasonores dans l'espace situé devant eux, ces ondes pouvant être captées par un récepteur d'ultrasons situé à une distance des émetteurs ;
......un dispositif non représenté permet le déplacement transversal du récepteur (c'est-à-dire parallèlement à la droite joignant les deux émetteurs) et de repérer sa position sur une règle graduée fixe longue de  ;
......le récepteur, captant le signal résultant, le transforme en tension sinusoïdale de même fréquence dont l'amplitude est mesurée par un oscilloscope numérique, cette dernière étant proportionnelle à l'amplitude du signal résultant [60].

Résultats expérimentaux[modifier | modifier le wikicode]

Franges d'interférences de deux ondes acoustiques ultrasonores synchrones dans un plan d'observation parallèle aux deux émetteurs

......On appelle le milieu du segment joignant les deux émetteurs et la position centrale du récepteur, c'est-à-dire l'intersection de la médiatrice du segment joignant les deux émetteurs avec le rail permettant de déplacer le récepteur, comme indiqués sur le schéma ci-dessus ; quand le récepteur est en position centrale on observe des interférences constructives (maximum d'amplitude) puis en déplaçant le récepteur d'un côté de (puis de l'autre), on observe une alternance « interférences destructives (minimum d'amplitude) interférences constructives » repérées par la mesure de l'amplitude de la tension enregistrée par l'oscilloscope simultanément au repérage de la position du récepteur ;
...... on résume ces résultats sur un diagramme où est en abscisse et en ordonnée (voir ci-contre) ;

  • entre et on observe huit interfranges d'où soit  ;
  • de et de on en déduit le rapport  ; si on admet la validité de la formule théorique [61] on peut déduire de la valeur expérimentale de l'interfrange, la longueur d'onde des ondes acoustiques ultrasonores  ;
  • on peut alors évaluer la célérité des ondes ultrasonores par d'où à comparer à la valeur de à soit le même résultat à près.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Produite par une lampe alimentée en « courant continu » au sens historique c'est-à-dire « courant permanent » (courant non alternatif afin d'éviter le phénomène stroboscopique du  ).
  2. La stroboscopie étant un moyen d'étudier « au ralenti » voire « à l'immobilité apparente » des mouvements périodiques rapides en utilisant la persistance rétinienne de l'œil de durée approximative de  ; on peut ainsi observer l'immobilité (respectivement le ralenti) d'un mouvement périodique rapide si la période des éclairs produits par l'éclairage stroboscopique est égale à (respectivement très légèrement différente de) la période du mouvement ou est égale à (respectivement très légèrement différente d') un multiple entier de la période du mouvement ; pour que la persistance rétinienne joue un rôle il est nécessaire que chaque image imprimée sur la rétine soit encore présente lors de l'arrivée de l'image suivante c'est-à-dire que la période des éclairs produits par éclairage stroboscopique soit inférieure à (ou que sa fréquence soit supérieure à .
  3. Onde transversale encore qualifiée de circulaire car la célérité de propagation étant isotrope, les lignes d'onde (lignes de même phase) sont des cercles (on parle de lignes d'onde pour une propagation dans un milieu bidimensionnel et de surfaces d'onde pour une propagation dans un milieu tridimensionnel).
  4. Se dit de machine fonctionnant à l'air comprimé.
  5. Sur ces lignes les points de la surface du liquide vibrent avec un maximum d'amplitude ;
    ......si l'éclairage stroboscopique fige leur mouvement sur une crête d'amplitude maximale, cette dernière joue le rôle de système convergent pour la lumière (appelé dioptre convergent en optique se comportant quasiment comme une lentille biconvexe), leur position apparaît alors très lumineuse alors qu'un
    ......si l'éclairage stroboscopique figeant leur mouvement sur un creux d'amplitude maximale, ce dernier joue le rôle de système divergent pour la lumière (appelé dioptre divergent en optique se comportant quasiment comme une lentille biconcave), leur position apparaît sombre.
  6. Sur ces lignes les points de la surface du liquide ne vibrent pratiquement pas, leur position apparaît d'une luminosité uniforme et réduite.
  7. 7,0 et 7,1 C.-à-d. la différence de distance parcourue au point considéré par chaque onde depuis l'émission par la source correspondante ; ici ce sera la différence de marche de l'onde issue de sur l'onde issue de .
  8. 8,0 et 8,1 Avec et .
  9. 9,0 et 9,1 À condition que les amplitudes des ondes au point soient les mêmes ; si les distances et  restent voisines l'une de l'autre, ce sera quasiment le cas, mais si les distances deviennent assez différentes alors l'onde la plus éloignée de sa source aura une amplitude plus faible que l'onde la plus proche de sa source, ceci étant dû au fait que l'amplitude d'une onde circulaire est inversement proportionnelle à c'est-à-dire à la racine carrée de la distance séparant la source du point atteint (effet d'« étalement » de la puissance transportée par l'onde avec la distance parcourue depuis la source : la puissance émise par une onde se retrouve intégralement sur la ligne d'onde de longueur et la puissance est proportionnelle au carré de l'amplitude .
  10. 10,0 10,1 et 10,2 Une hyperbole de foyers et , points distants de , est l'ensemble des points du plan t.q. , l'excentricité de l'hyperbole étant définie par  ; l'hyperbole possède un axe de symétrie appelé « axe focal » et un centre de symétrie , milieu de , les deux points de l'hyperbole appartenant à l'axe focal définissent les sommets de cette dernière et sont à la distance du centre , enfin l'hyperbole possède deux asymptotes passant par et situées symétriquement relativement à l'axe focal ; ceci constitue la définition « bifocale » d'une hyperbole, cas particulier de coniques vues dans le paragraphe définition bifocale de l'hyperbole du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  11. Bien sûr on aurait pu prendre une forme en cosinus au lieu d'une forme en sinus ; les sources étant supposées vibrer en phase, le choix d'une phase initiale nulle n'est rien d'autre que le choix d'une origine des temps « celle-ci correspondant aux points et au repos ».
  12. Les ondes étant transversales.
  13. Ou norme commune des vecteurs d'onde seule la norme est commune car la direction d'un vecteur d'onde étant la direction de propagation et celle-ci différant suivant la source, les vecteurs d'onde sont différents on peut écrire et .
  14. On rappelle que l'amplitude d'une onde circulaire dépend du point atteint car théoriquement, elle est inversement proportionnelle à c'est-à-dire à la racine carrée de la distance séparant la source du point atteint, ceci résultant d'un effet d'« étalement » de la puissance transportée par l'onde avec la distance parcourue depuis la source : la puissance émise par une onde se retrouvant uniformément dispersée sur la ligne d'onde de longueur soit une puissance reçue au point à , celle-ci étant proportionnelle au carré de l'amplitude, on en déduit bien que est à .
  15. 15,0 15,1 15,2 15,3 15,4 et 15,5 Augustin Jean Fresnel (1788 - 1827) physicien français à qui on doit principalement l'explication de tous les phénomènes optiques dans le cadre de la théorie ondulatoire de la lumière.
  16. J'insiste sur le fait qu'il faut refaire le diagramme de Fresnel pour en déduire l'amplitude (et la phase initiale) de l'onde résultante et non simplement appliquer les formules établies dans le paragraphe référencé.
  17. 17,0 17,1 17,2 et 17,3 On rappelle que .
  18. 18,0 et 18,1 Sa détermination n'est toutefois pas utile pour l'explication des interférences, elle est donnée à titre documentaire.
  19. J'insiste sur le fait qu'il faut refaire le calcul en prenant module et argument pour en déduire l'amplitude (et la phase initiale) de l'onde résultante et non simplement appliquer les formules établies dans le paragraphe référencé.
  20. Cette dernière modification obtenue en utilisant la formule de trigonométrie appliquée avec  ; bien que cette dernière expression ait l'avantage d'être linéaire, il n'est pas utile de l'utiliser pour la suite de l'étude.
  21. Nous considérons les déterminations (principales) de chaque angle c'est-à-dire la détermination , la différence de ces déterminations appartient alors à et la valeur absolue de la différence .
  22. 22,0 et 22,1 On suppose , mais le problème est évidemment symétrique par permutation des indices.
  23. En effet mais est .
  24. Avec et permettant de mettre en facteur.
  25. Celle correspondant à appliquée à .
  26. 26,0 26,1 26,2 et 26,3 Ceci étant le déphasage que je qualifie de « mathématique », pour le distinguer du déphasage réel (le seul observable) que je qualifie de « physique ».
  27. 27,0 27,1 27,2 et 27,3 Il s'agit ici du déphasage « physique ».
  28. La puissance transportée est proportionnelle au carré de l'amplitude, si elle reste constante, il en est de même de l'amplitude.
  29. On parle encore de « cercle d'onde ».
  30. On peut encore dire que la puissance transportée reçue par le cercle de rayon à l'instant , a été émise par la source à l'instant .
  31. La circonférence du « cercle d'onde » étant .
  32. La puissance transportée par unité de longueur de cercle d'onde étant proportionnelle au carré de l'amplitude, si la puissance décroît comme , l'amplitude décroît comme .
  33. On parle encore de « sphère d'onde », cas particulier de « surface d'onde ».
  34. L'aire de la « sphère d'onde » étant .
  35. La puissance transportée par unité de surface de sphère d'onde étant proportionnelle au carré de l'amplitude, si la puissance décroît comme , l'amplitude décroît comme .
  36. Si on néglige l'« étalement » de la puissance transportée par les ondes avec la distance parcourue depuis leur source on a et dont on déduit  ; si on tient compte de cet « étalement » on a aussi sauf cas très particulier où on observe un effet local de compensation.
  37. Ce résultat s'appliquant encore au cas de sources synchrones et en phase émettant des signaux de même amplitude mais dans un milieu bidimensionnel (ou tridimensionnel) en tenant compte de l'« étalement de l'onde avec la distance parcourue depuis la source ».
  38. Attention le signe n'apparaît que si on détermine le décalage de l'onde sur l'onde dans les trois définitions « déphasage, différence de marche et ordre d'interférences » on peut bien sûr changer les trois simultanément et définir le décalage de l'onde sur l'onde .
  39. 39,0 et 39,1 On a posé pour simplifier le résultat.
  40. 40,0 et 40,1 On a posé pour simplifier le résultat.
  41. La médiatrice de contenue dans la surface du liquide est encore la frange principale d'interférences constructives c'est-à-dire la frange d'ordre d'interférences nul.
  42. C.-à-d. la trace du plan d'observation sur la surface de la cuve à ondes.
  43. Et les traces des franges d'interférences constructives d'ordre en se déplaçant dans l'autre sens sur la droite d'observation.
  44. Et les traces des franges d'interférences destructives d'ordre en se déplaçant dans l'autre sens sur la droite d'observation.
  45. Nous n'avons pas encore utilisé et , ceci est donc valable quel que soit .
  46. Dans les expressions de ou , et sont des termes petits (en valeur absolue) relativement au troisième , on évalue et en ne conservant que les termes principaux définis à partir de , on obtient alors l'approximation « principale » de et et celle-ci suffit pour évaluer dans la mesure où les déterminations principales ne s'éliminent pas (par contre dans elles s'éliminent et c'est pour cela qu'on a procédé autrement vous verrez ultérieurement, dans le paragraphe sur la notion de développement limité du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la méthode permettant de résoudre le cas où les déterminations principales s'éliminent mais pour l'instant on peut encore s'en passer).
  47. étant un facteur petit devant , la valeur absolue de la différence de marche est petite devant soit .
  48. 48,0 48,1 48,2 et 48,3 est un entier relatif.
  49. Ce qui signifie que est au milieu de .
  50. Paramètre angulaire se substituant au paramètre linéaire précédent.
  51. Expression valable que soit grand ou non relativement à et .
  52. En effet on utilise ici soit encore voir le paragraphe sur le produit scalaire du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », on obtient alors d'une part et
    ...d'autre part on utilise le fait que étant le milieu de on a donnant comme ci-dessus soit , c'est-à-dire deux expressions dans lesquelles le terme prépondérant est d'où le résultat annoncé.
  53. En effet d'où d'une part et d'autre part dans l'hypothèse où d'où se réécrit .
  54. 54,0 et 54,1 En effet, quand un angle exprimé en est petit, .
  55. En effet, quand un angle exprimé en est petit, .
  56. On aurait pu conserver la forme sinusoïdale des ondes, ce choix étant a priori arbitraire.
  57. On rappelle que si l'on tient compte de l'étalement de l'onde avec la distance à la source, l'amplitude d'une onde tridimensionnelle varie comme et non comme comme c'est le cas pour une onde bidimensionnelle.
  58. 58,0 et 58,1 En effet l'ensemble des points de l'espace tel que , étant plus petite que la distance , est un hyperboloïde de révolution de foyers , et d'excentricité c'est-à-dire une surface obtenue en faisant tourner une hyperbole de foyers , et d'excentricité autour de son axe focal , l'hyperbole génératrice de l'hyperboloïde de révolution étant appelée « méridienne de la surface ».
  59. À ne pas confondre avec l'ordre d'interférences tronqué à l'unité ; en effet si les deux sont confondus pour un nombre positif, ce n'est pas le cas pour un nombre négatif par exemple a pour partie entière et pour valeur tronquée à l'unité .
  60. Le récepteur utilisé ici donne une réponse proportionnelle au signal acoustique, il n'en est pas de même de l'oreille qui donne une réponse proportionnelle à l'énergie moyenne reçue c'est-à-dire proportionnelle au carré de l'amplitude du signal (à condition bien sûr que le signal soit dans le domaine audible, ce qui n'est évidemment pas le cas ici).
  61. Cette formule est valable si et , or si le rapport autorise de considérer à près, le rapport implique que l'application de la condition est plus que douteuse aux extrêmités de la règle graduée.