Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Théorème de Fourier

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Énoncé du théorème de Fourier

......Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes (évoqués ici) et leur application au problème de la propagation de la chaleur …

Début d’un théorème

Théorème de Fourier (admis)

......Toute fonction périodique $\;s(t)$, de fréquence $\;f$, est développable en série de Fourier, c'est-à-dire qu'elle est la somme infinie de fonctions sinusoïdales, de fréquences $\;f_{n}=n\,f,\;n\in \mathbb {N}$, appelées « harmoniques de rang n » , le rang $\;n=0\;$ correspondant à la composante continue et le rang $\;n=1\;$ à l'harmonique fondamental.

Fin du théorème

Premier développement en série de Fourier

1^er développement en série de Fourier (admis)

......$\;s(t)=A_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left\lbrace \left[A_{n}\,\cos(2\,\pi \,f_{n}\,t)+B_{n}\,\sin(2\,\pi \,f_{n}\,t)\right]\right\rbrace \;$ avec $\;f_{n}=n\,f,\;\;n\in \mathbb {N} ^{*}$,

$\;A_{0}\;$ étant l'éventuelle composante continue, $\;A_{n}\,\cos(2\,\pi \,f_{n}\,t)\;$ et $\;B_{n}\,\sin(2\,\pi \,f_{n}\,t)\;$ les harmoniques respectivement pair et impair de rang $\;n$.

......Le calcul des cœfficients est un complément pour la 1^ère année, il n'est donc pas exigible :

......Calcul de la composante continue : $\;A_{0}=\left\langle s(t)\right\rangle ={\dfrac {1}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}s(t)\,dt\;$ .

......Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend la moyenne du membre de gauche $\;\left\langle s(t)\right\rangle \;$, égale à la moyenne du membre de droite, c'est-à-dire égale à la somme (infinie) des moyennes de chaque harmonique $\;\left\langle A_{0}\right\rangle +\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left[\left\langle A_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle +\left\langle B_{n}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \right]\;$ ; or « toutes les moyennes des harmoniques de rang non nul étant nulles » , il reste, à droite, la moyenne de l'harmonique de rang zéro (c'est-à-dire de la composante continue) et comme cet harmonique est une constante, il reste $\;\left\langle A_{0}\right\rangle =A_{0}\;$ C.Q.F.D..

......Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang n non nul : $\;A_{n}=2\times \left\langle s(t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle ={\dfrac {2}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}s(t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt\;$.

......Justification : le théorème de Fourier étant admis, on multiplie les deux membres par $\;\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\;$ et on prend la moyenne du membre de gauche $\;\left\langle s(t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$, égale à la moyenne du membre de droite, c'est-à-dire, après distribution du facteur multiplicatif, égale à la somme (infinie) des moyennes du produit de chaque harmonique par le facteur multiplicatif

$\;\left\langle A_{0}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle +\sum \limits _{k=1}^{\infty }\left[\left\langle A_{k}\,\cos(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle +\left\langle B_{k}\,\sin(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \right]\;$ ;

or toutes les moyennes étant nulles à l'exception de $\;\left\langle A_{k}\,\cos(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;{\text{avec }}k=n\;$ , il reste donc, à droite, $\;\left\langle A_{k}\,\cos(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;{\text{avec }}k=n\;$ ou $\;\left\langle A_{n}\,\cos ^{2}(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$ ou, en linéarisant $\;\cos ^{2}(2\,\pi \,n\,f\,t)={\dfrac {1+\cos(4\,\pi \,n\,f\,t)}{2}}$, la somme suivante $\;\left\langle {\dfrac {A_{n}}{2}}\right\rangle +\left\langle {\dfrac {A_{n}}{2}}\,\cos(4\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$ soit, « la seconde moyenne étant nulle » , $\;\left\langle {\dfrac {A_{n}}{2}}\right\rangle ={\dfrac {A_{n}}{2}}\;$ C.Q.F.D. dans la mesure où $\;\left\langle s(t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle ={\dfrac {A_{n}}{2}}\;$ est équivalent à $\;A_{n}=2\times \left\langle s(t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle$.

......Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang n non nul : $\;B_{n}=2\times \left\langle s(t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle ={\dfrac {2}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}s(t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt\;$.

......Justification : le théorème de Fourier étant admis, on multiplie les deux membres par $\;\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\;$ et on prend la moyenne du membre de gauche $\;\left\langle s(t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$, égale à la moyenne du membre de droite, c'est-à-dire, après distribution du facteur multiplicatif, égale à la somme (infinie) des moyennes du produit de chaque harmonique par le facteur multiplicatif

$\;\left\langle A_{0}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle +\sum \limits _{k=1}^{\infty }\left[\left\langle A_{k}\,\cos(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle +\left\langle B_{k}\,\sin(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \right]\;$ ;

or toutes les moyennes étant nulles à l'exception de $\;\left\langle B_{k}\,\sin(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;{\text{avec }}k=n\;$ , il reste donc, à droite, $\;\left\langle B_{k}\,\sin(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;{\text{avec }}k=n\;$ ou $\;\left\langle B_{n}\,\sin ^{2}(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$ ou, en linéarisant $\;\sin ^{2}(2\,\pi \,n\,f\,t)={\dfrac {1-\cos(4\,\pi \,n\,f\,t)}{2}}$, la somme suivante $\;\left\langle {\dfrac {B_{n}}{2}}\right\rangle -\left\langle {\dfrac {B_{n}}{2}}\,\cos(4\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$ soit, « la seconde moyenne étant nulle », $\;\left\langle {\dfrac {B_{n}}{2}}\right\rangle ={\dfrac {B_{n}}{2}}\;$ C.Q.F.D. dans la mesure où $\;\left\langle s(t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle ={\dfrac {B_{n}}{2}}\;$ est équivalent à $\;B_{n}=2\times \left\langle s(t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle$.

Deuxième développement en série de Fourier

2^e développement en série de Fourier (admis)

......$\;s(t)=C_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left[C_{n}\,\cos(2\,\pi \,f_{n}\,t+\varphi _{n})\right]\;$ avec $\;f_{n}=n\,f,\;\;n\in \mathbb {N} ^{*}$,

$\;C_{0}\;$ étant l'éventuelle composante continue, $\;C_{n}\,\cos(2\,\pi \,f_{n}\,t+\varphi _{n})\;$ l'harmonique de rang $\;n$.

Remarque

......L'avantage de ce 2^e développement par rapport au 1^er est qu'il permet d'obtenir directement l'amplitude de l'harmonique de rang $\;n\;$ par $\;|C_{n}|\;$
......alors qu'avec le 1^er il serait nécessaire de calculer $\;{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}$.

Passage du premier au second développement en série de Fourier

......Les deux développements en série de Fourier précédemment introduits devant être identiques quel que soit $\;t\;$ on en déduit :

• $\;C_{0}=A_{0}$,
• $\;C_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t+\varphi _{n})=A_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)+B_{n}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\quad \forall \;t$ ;

......le but recherché est de déterminer $\;C_{n}\;$ et $\;\varphi _{n}\;$ connaissant $\;A_{n}\;$ et $\;B_{n}$ :

............Partant de la somme d'harmoniques pair et impair $\;s_{n}(t)=A_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)+B_{n}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)$, on fait apparaître dans $\;s_{n}(t)\;$ le facteur $\;{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}\;$ ce qui donne $\;s_{n}(t)={\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}\left[{\dfrac {A_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)+{\dfrac {B_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right]$, puis on définit $\;\varphi _{n}\;$ par $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {A_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}=\cos(\varphi _{n})\\{\dfrac {B_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}=-\sin(\varphi _{n})\end{array}}\right.\;$ , d'où $\;s_{n}(t)={\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}\left[\cos(\varphi _{n})\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)-\sin(\varphi _{n})\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right]\;$ soit finalement $\;s_{n}(t)=$ $C_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t+\varphi _{n})\;$ avec $\;C_{n}={\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}\;$ et $\;\varphi _{n}\;$ t.q. $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\cos(\varphi _{n})={\dfrac {A_{n}}{C_{n}}}\\\sin(\varphi _{n})=-{\dfrac {B_{n}}{C_{n}}}\end{array}}\right.\;$ .

Troisième développement en série de Fourier

3^e développement en série de Fourier (admis)

$\;s(t)=\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right]\;$ avec
$\;{\underline {C'}}_{0}={C'}_{0}\;\in \mathbb {R} \;$ l'éventuelle composante continue et
$\;{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)+{\underline {C'}}_{(-p)}\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t),\;\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$ l'harmonique de rang $\;p\;(>0)$.

......Ce 3^e développement en série de Fourier est donné à titre de complément car ne sera pas utilisé par la suite ; il présente néanmoins quelques avantages dont le principal est de donner des formules symétriques pour calculer les cœfficients $\;{\underline {C'}}_{p}\;\;p\in \mathbb {Z} \;$ :

......Calcul du cœfficient $\;{\underline {C'}}_{p}\;p\in \mathbb {Z}$ : $\;{\underline {C'}}_{p}=\left\langle s(t)\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle ={\dfrac {1}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}s(t)\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\,dt\;$.

......Justification : le théorème de Fourier étant admis, on multiplie le 3^e développement en série de Fourier par $\;\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\;$ et on prend la moyenne du membre de gauche $\;\left\langle s(t)\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle \;$, égale à la moyenne du membre de droite, soit encore égale à la somme (infinie) des moyennes de $\;{\underline {C'}}_{p'}\,\exp \!\left[i\,2\,\pi \,(p'-p)\,f\,t\right]\;$ ou encore

$\;\left\langle s(t)\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle =\left\langle {\underline {C'}}_{p}\right\rangle +\sum \limits _{p'\,\neq \,p}^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left\langle {\underline {C'}}_{p'}\,\exp \!\left[i\,2\,\pi \,(p'-p)\,f\,t\right]\right\rangle \;$ ;

or chaque moyenne pour $\;p'\neq p\;$ est nulle car $\;\left\langle {\underline {C'}}_{p'}\,\exp \!\left[i\,2\,\pi \,(p'-p)\,f\,t\right]\right\rangle ={\dfrac {1}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}{\underline {C'}}_{p'}\,\exp \!\left[i\,2\,\pi \,(p'-p)\,f\,t\right]dt=$ ${\dfrac {{\underline {C'}}_{p'}}{T}}{\cancel {\left[{\dfrac {\exp \!\left[i\,2\,\pi \,(p'-p)\,f\,t\right]}{i\,2\,\pi \,(p'-p)\,f}}\right]_{0}^{T}}}=0\;$ d'où $\;\left\langle s(t)\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle =\left\langle {\underline {C'}}_{p}\right\rangle ={\underline {C'}}_{p}\;$ (C.Q.F.D.).

Passage du second au troisième développement en série de Fourier

......Ces deux développements en série de Fourier précédemment introduits devant être identiques quel que soit $\;t\;$ on en déduit :

• $\;{C'}_{0}=C_{0}\;(=A_{0})$,
• $\;{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)+{\underline {C'}}_{(-p)}\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)=C_{p}\,\cos(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p})\quad \forall \;t\;$ ou, avec la formule d'Euler relative au cosinus , $\;{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)+{\underline {C'}}_{(-p)}\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)={\dfrac {C_{p}}{2}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p}\right)\right]+{\dfrac {C_{p}}{2}}\,\exp \!\left[-i\left(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p}\right)\right]\quad \forall \;t$,

......soit, par identification des cœfficients de $\;\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\;$ ainsi que ceux de $\;\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {C'}}_{p}={\dfrac {C_{p}}{2}}\,\exp(i\,\varphi _{p})\\{\underline {C'}}_{(-p)}={\dfrac {C_{p}}{2}}\,\exp(-i\,\varphi _{p})\end{array}}\right\rbrace \,p\in \mathbb {N} ^{*}\;$ ou

............$\succ$ si $\;p\in \mathbb {N} ^{*}$, $\qquad \qquad \qquad \;\,{\underline {C'}}_{p}={\dfrac {C_{p}}{2}}\,\exp(i\,\varphi _{p})\;$ et

............$\succ$ si $\;p'=-p\;{\text{avec }}p\in \mathbb {N} ^{*}$, $\;{\underline {C'}}_{p'}={\dfrac {C_{p}}{2}}\,\exp(-i\,\varphi _{p})=\left[{\underline {C'}}_{p}\right]^{*}\;$ .

Passage du premier au troisième développement en série de Fourier

......Nous verrons une autre façon (moins immédiate) de déterminer les cœfficients du 3^e développement en série de Fourier en utilisant la méthode de calcul de ceux du 1^er développement à savoir : $\;A_{0}=\left\langle s(t)\right\rangle$, $\;A_{n}=2\times \left\langle s(t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$ et $\;B_{n}=2\times \left\langle s(t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$ ;

......ces deux développements en série de Fourier précédemment introduits devant être identiques quel que soit $\;t\;$ on en déduit :

......$\;s(t)=A_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left\lbrace \left[A_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)+B_{n}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right]\right\rbrace =\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right]\;$ ou, en utilisant dans le 1^er développement les « formules d'Euler »

$\;s(t)=A_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left\lbrace \left[A_{n}\,{\dfrac {\exp(i\,2\,\pi \,n\,f\,t)+\exp(-i\,2\,\pi \,n\,f\,t)}{2}}+B_{n}\,{\dfrac {\exp(i\,2\,\pi \,n\,f\,t)-\exp(-i\,2\,\pi \,n\,f\,t)}{2\,i}}\right]\right\rbrace =$ $A_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left\lbrace {\dfrac {A_{n}\,-i\,B_{n}}{2}}\,\exp(i\,2\,\pi \,n\,f\,t)+{\dfrac {A_{n}\,+i\,B_{n}}{2}}\,\exp(-i\,2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rbrace \;$ et

en identifiant les cœfficients de $\;\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t),\;p\in \mathbb {Z} \;$ dans les deux développements :

............$\succ$ si $\;p=0$, $\;{\underline {C'}}_{0}=A_{0}\;$ soit $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad {\underline {C'}}_{0}=\left\langle s(t)\right\rangle \;$,

............$\succ$ si $\;p\in \mathbb {N} ^{*}$, $\;{\underline {C'}}_{p}={\dfrac {A_{p}-i\,B_{p}}{2}}=\left\langle s(t)\left[\cos(2\,\pi \,p\,f\,t)-i\,\sin(2\,\pi \,p\,f\,t)\right]\right\rangle \;$ soit $\;{\underline {C'}}_{p}=\left\langle s(t)\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle \;$ et

............$\succ$ si $\;p\in \mathbb {Z} ^{(-,\,*)}$, $\;{\underline {C'}}_{p}={\underline {C'}}_{(-|p|)}={\dfrac {A_{(|p|)}+i\,B_{(|p|)}}{2}}=\left\langle s(t)\left[\cos(2\,\pi \,|p|\,f\,t)+i\,\sin(2\,\pi \,|p|\,f\,t)\right]\right\rangle =\left\langle s(t)\exp(i\,2\,\pi \,|p|\,f\,t)\right\rangle \;$ soit,
sachant que $\;|p|=-p\;{\text{pour}}\;p\in \mathbb {Z} ^{(-,\,*)}\;$ $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad {\underline {C'}}_{p}=\left\langle s(t)\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle \;$.

Théorème de Parseval

......Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755 – 1836) mathématicien français à qui on doit essentiellement le « théorème de Parseval (ou égalité de Parseval) » dont il eut l'intuition sans le démontrer (il estimait que c'était une évidence).

Théorème de Parseval utilisant le 3^e développement en série de Fourier

......Considérant le 3^e développement en série de Fourier de la fonction périodique $\;s(t)\;$ de fréquence $\;f$, $\;s(t)=\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right]\;$ dans lequel $\;{\underline {C'}}_{p}=\left\langle s(t)\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle ={\dfrac {1}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}s(t)\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\,dt\;$ est appelé cœfficient de Fourier complexe de $\;s\;$ pour $\;p\,\in \mathbb {Z}$, et formant la série suivante $\;{c'}_{n}(s)=\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-n\,{\text{à}}\,+n}\left[|{\underline {C'}}_{p}|^{2}\right]\;$ , Parseval a eu l'intuition de la convergence de cette série $\;{c'}_{n}(s)\;$ vers $\;\left\langle \left[s(t)\right]^{2}\right\rangle$.

Début d’un théorème

Énoncé du théorème de Parseval

......La série formée de la somme de tous les carrés de modules des cœfficients de Fourier complexes de $\;s\;$ correspondant à un harmonique de rang $\;\leqslant n\;$ soit $\;{c'}_{n}(s)=\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-n\,{\text{à}}\,+n}\left[|{\underline {C'}}_{p}|^{2}\right]\;$ avec $\;{\underline {C'}}_{p}=$ $\left\langle s(t)\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle$, converge, quand $\;n\rightarrow \infty$, vers $\;\left\langle \left[s(t)\right]^{2}\right\rangle \;$ soit mathématiquement,

$\;\left\langle \left[s(t)\right]^{2}\right\rangle =\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[|{\underline {C'}}_{p}|^{2}\right]\;$ .

Fin du théorème

Quelques éléments de démonstration de l'égalité de Parseval utilisant le 3^ème développement en série de Fourier de la fonction T-périodique

......On utilise la définition du carré de la moyenne quadratique de la fonction $\;s(t)\;$ en utilisant son 3^ème développement en série de Fourier soit $\;\left\langle s^{2}(t)\right\rangle =$ ${\dfrac {1}{T}}\,\displaystyle \int _{0}^{T}s^{2}(t)\,dt={\dfrac {1}{T}}\,\displaystyle \int _{0}^{T}\left\lbrace \sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right]\right\rbrace ^{\!2}\,dt$ ; pour évaluer l'intégrale, on est amené à développer le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de carrés $\;{\underline {C'}}_{p}^{2}\,\exp(i\,4\,\pi \,p\,f\,t)$, de termes « rectangles » selon $\;{\underline {C'}}_{p}\,{\underline {C'}}_{q}\,\exp[i\,2\,\pi \,(p+q)\,f\,t]\;$ avec $\;(p\,,\,q)\in \mathbb {Z} ^{2}\;$ mais $\;q\neq p\;$ dont on évalue l'intégrale de chaque terme selon :

• les intégrales des 1^ers termes à savoir $\;{\underline {C'}}_{p}^{2}\,\exp(i\,4\,\pi \,p\,f\,t)\;$ se distinguent suivant que
  ......$\;\succ$ $\;p=0\;$ donnant $\;\displaystyle \int _{0}^{T}{\underline {C'}}_{0}^{2}\;dt={\underline {C'}}_{0}^{2}\;T\;$ ou
  ......$\;\succ$ $\;p\neq 0\;$ donnant $\;\displaystyle \int _{0}^{T}{\underline {C'}}_{p}^{2}\,\exp(i\,4\,\pi \,p\,f\,t)\;dt={\underline {C'}}_{p}^{2}\left[{\dfrac {\exp(i\,4\,\pi \,p\,f\,t)}{i\,4\,\pi \,p\,f}}\right]_{0}^{T}=0\;$ et
• les intégrales des 2^èmes termes à savoir $\;{\underline {C'}}_{p}\,{\underline {C'}}_{q}\,\exp[i\,2\,\pi \,(p+q)\,f\,t]\;$ avec $\;(p\,,\,q)\in \mathbb {Z} ^{2}\;$ mais $\;q\neq p\;$ se distinguent suivant que
  ......$\;\succ$ $\;q=-p\;$ donnant $\;\displaystyle \int _{0}^{T}{\underline {C'}}_{p}\,{\underline {C'}}_{-p}\;dt=\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\;T\;$ ou
  ......$\;\succ$ $\;q\neq -p\;$ donnant $\;\displaystyle \int _{0}^{T}{\underline {C'}}_{p}\,{\underline {C'}}_{q}\,\exp[i\,2\,\pi \,(p+q)\,f\,t]\;dt={\underline {C'}}_{p}\,{\underline {C'}}_{q}\left[{\dfrac {\exp[i\,2\,\pi \,(p+q)\,f\,t]}{i\,2\,\pi \,(p+q)\,f}}\right]_{0}^{T}=0\;$ ;

......finalement $\;\left\langle s^{2}(t)\right\rangle ={\dfrac {1}{T}}\,\displaystyle \int _{0}^{T}\left\lbrace \sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right]\right\rbrace ^{\!2}\,dt\;{\stackrel {\ldots }{=}}\;{\underline {C'}}_{0}^{2}+\left[\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} ^{*}}^{-\infty \,{\text{à}}\,-1\,{\text{et}}\,1\,{\text{à}}\,+\infty }\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]\;$ d'ou, sous forme plus compacte

l'égalité de Parseval $\;\left\langle s^{2}(t)\right\rangle =\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}$.

Expression de l'égalité de Parseval utilisant le 2^e développement en série de Fourier

......Soit le 2^e développement en série de Fourier de la fonction périodique $\;s(t)\;$ de fréquence $\;f$, $\;s(t)=C_{0}+\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[C_{p}\,\cos(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p})\right]\;$ dans lequel $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}C_{0}={C'}_{0}=\left\langle s(t)\right\rangle \;{\text{et}}\\C_{p}=2\,|{\underline {C'}}_{p}|=2\;\left\vert \left\langle s(t)\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle \right\vert \end{array}}\right.\;$ définissent respectivement la composante continue et l'amplitude de l'harmonique de rang $\;p$, pour réécrire l'égalité de Parseval dans ce nouveau contexte il faut de transformer $\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[|{\underline {C'}}_{p}|^{2}\right]\;$ en fonction des nouveaux cœfficients $\;C_{0}\;$ et $\;C_{p}\;$ soit $\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[|{\underline {C'}}_{p}|^{2}\right]=C_{0}^{2}+2\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[|{\underline {C'}}_{p}|^{2}\right]=C_{0}^{2}+2\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[\left({\dfrac {C_{p}}{2}}\right)^{\!\!2}\right]\;$ d'où $\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[|{\underline {C'}}_{p}|^{2}\right]=$ $C_{0}^{2}+{\dfrac {1}{2}}\left[\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }C_{p}^{2}\right]$.

Début d’un théorème

Autre égalité de Parseval

$\;\left\langle \left[s(t)\right]^{2}\right\rangle =C_{0}^{2}+{\dfrac {1}{2}}\left[\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }C_{p}^{2}\right]\;$ .

Fin du théorème

Expression de l'égalité de Parseval utilisant le 1^er développement en série de Fourier

......Soit $\;s(t)=A_{0}+\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[A_{p}\,\cos(2\,\pi \,p\,f\,t)+B_{p}\,\sin(2\,\pi \,p\,f\,t)\right]\;$ le 1^er développement en série de Fourier de la fonction périodique $\;s(t)\;$ de fréquence $\;f\;$ dans lequel $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{0}={C'}_{0}=\left\langle s(t)\right\rangle ,\\A_{p}=2\,\Re \left[{\underline {C'}}_{p}\right]=2\,\Re \left[\left\langle s(t)\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle \right]\\B_{p}=-2\,\Im \left[{\underline {C'}}_{(-p)}\right]=2\,\Im \left[\left\langle s(t)\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle \right]\end{array}}\right.\;$ définissent respectivement la composante continue et les amplitudes de l'harmonique pair et impair de rang $\;p$, pour réécrire l'égalité de Parseval dans ce nouveau contexte il faut de transformer $\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[|{\underline {C'}}_{p}|^{2}\right]\;$ en fonction des nouveaux cœfficients $\;A_{0}$, $\;A_{p}\;$ et $\;B_{p}\;$ soit $\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[|{\underline {C'}}_{p}|^{2}\right]=A_{0}^{2}+2\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[|{\underline {C'}}_{p}|^{2}\right]=$ $A_{0}^{2}+2\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[{\dfrac {A_{p}^{2}}{4}}+{\dfrac {B_{p}^{2}}{4}}\right]\;$ d'où $\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[|{\underline {C'}}_{p}|^{2}\right]=A_{0}^{2}+{\dfrac {1}{2}}\left[\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }(A_{p}^{2}+B_{p}^{2})\right]$.

Début d’un théorème

Dernière égalité de Parseval

$\;\left\langle \left[s(t)\right]^{2}\right\rangle =A_{0}^{2}+{\dfrac {1}{2}}\left[\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }(A_{p}^{2}+B_{p}^{2})\right]\;$ .

Fin du théorème