Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Théorème de Fourier

**Théorème de Fourier**
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)

Chapitre n^o 5
Chap. préc. :	Différentielle d'une fonction d'une variable
Chap. suiv. :	Fonction de plusieurs variables indépendantes

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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Théorème de Fourier », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Énoncé du théorème de Fourier

Théorème de Fourier (admis)

Toute fonction périodique

\;s(t)

, de fréquence

\;f

, est développable en série de Fourier^[1], c.-à-d. qu'elle est la somme infinie de fonctions sinusoïdales, de fréquences

\;f_{n}=n\,f,\;n\in \mathbb {N}

, appelées « harmoniques de rang

\;n\;

»^[2], le rang

\;n=0\;

correspondant à la composante continue^[3] et le rang

\;n=1\;

à l'harmonique fondamental.

Premier développement en série de Fourier

1^er développement en série de Fourier (admis)

«

\;s(t)=A_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left\lbrace \left[A_{n}\,\cos(2\,\pi \,f_{n}\,t)+B_{n}\,\sin(2\,\pi \,f_{n}\,t)\right]\right\rbrace \;

» avec «

\;f_{n}=n\,f,\;\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;

»,
«

\;A_{0}\;

étant l'éventuelle composante continue »^[3],
«

\;A_{n}\,\cos(2\,\pi \,f_{n}\,t)\;

et

\;B_{n}\,\sin(2\,\pi \,f_{n}\,t)\;

les harmoniques respectivement pair et impair de rang

\;n\;

».

Le calcul des cœfficients est un complément, il n'est donc pas exigible :

Calcul de la composante continue^[3] : « $\;A_{0}=\left\langle s(t)\right\rangle ={\dfrac {1}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}s(t)\,dt\;$ »^[4].

         Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier^[1] étant admis, on prend la moyenne du membre de gauche « $\;\left\langle s(t)\right\rangle \;$ »^[4], laquelle est égale à
             Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend la moyenne du membre de droite, c.-à-d. à la somme $\;{\big (}$ infinie ${\big )}\;$ des moyennes de chaque harmonique
             Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend soit « $\;\left\langle A_{0}\right\rangle +\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left[\left\langle A_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle +\left\langle B_{n}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \right]\;$ »^[4] ;
             Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, or « toutes les moyennes des harmoniques de rang non nul étant nulles »^[5], il reste, à droite,
             Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, or « toutes la moyenne de l'harmonique de rang zéro $\;{\big (}$ c.-à-d. de la composante continue ${\big )}\;$ ^[3] et
             Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, comme cet harmonique est une constante, il reste « $\;\left\langle A_{0}\right\rangle =A_{0}\;$ » C.Q.F.D^[6]..

Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang ${\underline {\;n\;}}$ non nul : « $\;A_{n}=2\times \left\langle s(t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle ={\dfrac {2}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}s(t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt\;$ »^[4].

     Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang $\color {transparent}{\;n\;}$ non nul : Justification : le théorème de Fourier^[1] étant admis, « on multiplie les deux membres par $\;\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\;$ » et
         Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang $\color {transparent}{\;n\;}$ non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend la moyenne du membre de gauche « $\;\left\langle s(t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$ »^[4], égale à
         Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang $\color {transparent}{\;n\;}$ non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend la moyenne du membre de droite, c.-à-d.,
         Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang $\color {transparent}{\;n\;}$ non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « après distribution du facteur multiplicatif, égale à la somme $\;{\big (}$ infinie ${\big )}\;$
         Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang $\color {transparent}{\;n\;}$ non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend des moyennes du produit de chaque harmonique par le facteur multiplicatif^[7]
     Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang $\color {transparent}{\;n\;}$ non nul : Justification : « $\;\left\langle A_{0}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle +\sum \limits _{k=1}^{\infty }\left[\left\langle A_{k}\,\cos(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle +\left\langle B_{k}\,\sin(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \right]\;$ »^[4] ;
     Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang $\color {transparent}{\;n\;}$ non nul : Justification : or toutes les moyennes étant nulles à l'exception de « $\;\left\langle A_{k}\,\cos(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;{\text{avec }}k=n\;$ »^[8],
     Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang $\color {transparent}{\;n\;}$ non nul : Justification : il reste donc, à droite, « $\;\left\langle A_{k}\,\cos(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;{\text{avec }}k=n\;$ » c.-à-d. « $\;\left\langle A_{n}\,\cos ^{2}(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$ » ou,
     Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang $\color {transparent}{\;n\;}$ non nul : Justification : il reste donc, à droite, en linéarisant $\;\cos ^{2}(2\,\pi \,n\,f\,t)={\dfrac {1+\cos(4\,\pi \,n\,f\,t)}{2}}$ ,
     Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang $\color {transparent}{\;n\;}$ non nul : Justification : il reste donc, à droite, la somme suivante « $\;\left\langle {\dfrac {A_{n}}{2}}\right\rangle +\left\langle {\dfrac {A_{n}}{2}}\,\cos(4\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$ » soit, « la 2^nde moyenne étant nulle »^[9],
     Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang $\color {transparent}{\;n\;}$ non nul : Justification : il reste donc, à droite, la somme suivante « $\;\left\langle {\dfrac {A_{n}}{2}}\right\rangle ={\dfrac {A_{n}}{2}}\;$ » C.Q.F.D^[6].^,^[10].

Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang ${\underline {\;n\;}}$ non nul : « $\;B_{n}=2\times \left\langle s(t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle ={\dfrac {2}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}s(t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\,dt\;$ »^[4].

     Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang $\color {transparent}{\;n\;}$ non nul : Justification : le théorème de Fourier^[1] étant admis, « on multiplie les deux membres par $\;\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\;$ » et
         Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang $\color {transparent}{\;n\;}$ non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend la moyenne du membre de gauche « $\;\left\langle s(t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$ »^[4], égale à
         Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang $\color {transparent}{\;n\;}$ non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend la moyenne du membre de droite, c.-à-d.,
         Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang $\color {transparent}{\;n\;}$ non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « après distribution du facteur multiplicatif, égale à la somme $\;{\big (}$ infinie ${\big )}\;$
         Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang $\color {transparent}{\;n\;}$ non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend des moyennes du produit de chaque harmonique par le facteur multiplicatif^[7]
     Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang $\color {transparent}{\;n\;}$ non nul : Justification : « $\;\left\langle A_{0}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle +\sum \limits _{k=1}^{\infty }\left[\left\langle A_{k}\,\cos(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle +\left\langle B_{k}\,\sin(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \right]\;$ »^[4] ;
     Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang $\color {transparent}{\;n\;}$ non nul : Justification : or toutes les moyennes étant nulles à l'exception de « $\;\left\langle B_{k}\,\sin(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;{\text{avec }}k=n\;$ »^[11],
     Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang $\color {transparent}{\;n\;}$ non nul : Justification : il reste donc, à droite, « $\;\left\langle B_{k}\,\sin(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;{\text{avec }}k=n\;$ » c.-à-d. « $\;\left\langle B_{n}\,\sin ^{2}(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$ » ou,
     Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang $\color {transparent}{\;n\;}$ non nul : Justification : il reste donc, à droite, en linéarisant $\;\sin ^{2}(2\,\pi \,n\,f\,t)={\dfrac {1-\cos(4\,\pi \,n\,f\,t)}{2}}$ ,
     Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang $\color {transparent}{\;n\;}$ non nul : Justification : il reste donc, à droite, la somme suivante « $\;\left\langle {\dfrac {B_{n}}{2}}\right\rangle -\left\langle {\dfrac {B_{n}}{2}}\,\cos(4\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$ » soit, « la 2^nde moyenne étant nulle »^[9],
     Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang $\color {transparent}{\;n\;}$ non nul : Justification : il reste donc, à droite, la somme suivante « $\;\left\langle {\dfrac {B_{n}}{2}}\right\rangle ={\dfrac {B_{n}}{2}}\;$ » C.Q.F.D^[6].^,^[12].

Deuxième développement en série de Fourier

2^ème développement en série de Fourier (admis)

«

\;s(t)=C_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left[C_{n}\,\cos(2\,\pi \,f_{n}\,t+\varphi _{n})\right]\;

» avec «

\;f_{n}=n\,f,\;\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;

»,
«

\;C_{0}\;

étant l'éventuelle composante continue »^[3],
«

\;C_{n}\,\cos(2\,\pi \,f_{n}\,t+\varphi _{n})\;

l'harmonique de rang

\;n\;

».

Remarque

L'avantage de ce 2^ème développement en série de Fourier^[1] par rapport au 1^er est qu'il permet d'obtenir directement l'« amplitude de l'harmonique de rang

\;n\;

par

\;\vert C_{n}\vert \;

»
alors qu'avec le 1^er il serait nécessaire de « calculer

\;{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}\;

pour obtenir l'amplitude ».

Passage du premier au second développement en série de Fourier

Les deux développements en série de Fourier^[1] précédemment introduits devant être identiques $\;\forall \;t\;$ on en déduit $\bullet \;$ « $\;C_{0}=A_{0}\;$ »,
Les deux développements en série de Fourier précédemment introduits devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ on en déduit $\bullet \;$ « $\;C_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t+\varphi _{n})=A_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)+B_{n}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\quad \forall \;t\;$ » ;

le but recherché dans ce paragraphe est de « déterminer $\;C_{n}\;$ et $\;\varphi _{n}\;$ connaissant $\;A_{n}\;$ et $\;B_{n}\;$ » :

     Établissement du lien permettant d'obtenir $\;(C_{n}\,,\,\varphi _{n})\;$ à partir de $\;(A_{n}\,,\,B_{n})$ : partant de la somme d'harmoniques pair et impair de rang $\;n\;$ « $\;s_{n}(t)=A_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)+B_{n}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\;$ »,
     Établissement du lien permettant d'obtenir $\;\color {transparent}{(C_{n}\,,\,\varphi _{n})}\;$ à partir de $\;\color {transparent}{(A_{n}\,,\,B_{n})}$ : on divise $\;s_{n}(t)\;$ par $\;{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {s_{n}(t)}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}=\left[{\dfrac {A_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)+{\dfrac {B_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right]$ ,
     Établissement du lien permettant d'obtenir $\color {transparent}{\;(C_{n}\,,\,\varphi _{n})\;}$ à partir de $\color {transparent}{\;(A_{n}\,,\,B_{n})}$ : puis on définit « $\;\varphi _{n}\;$ par $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {A_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}=\cos(\varphi _{n})\\{\dfrac {B_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}=-\sin(\varphi _{n})\end{array}}\right.\;$ »^[13], d'où la réécriture de $\;{\dfrac {s_{n}(t)}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\;$ selon
     Établissement du lien permettant d'obtenir $\color {transparent}{\;(C_{n}\,,\,\varphi _{n})\;}$ à partir de $\color {transparent}{\;(A_{n}\,,\,B_{n})}$ : « $\;{\dfrac {s_{n}(t)}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}=\left[\cos(\varphi _{n})\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)-\sin(\varphi _{n})\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right]=\cos(2\,\pi \,n\,f\,t+\varphi _{n})\;$ » soit finalement
     Établissement du lien permettant d'obtenir $\color {transparent}{\;(C_{n}\,,\,\varphi _{n})\;}$ à partir de $\color {transparent}{\;(A_{n}\,,\,B_{n})}$ : « $\;s_{n}(t)=A_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)+B_{n}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)={\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t+\varphi _{n})\;$ »
     Établissement du lien permettant d'obtenir $\color {transparent}{\;(C_{n}\,,\,\varphi _{n})\;}$ à partir de $\color {transparent}{\;(A_{n}\,,\,B_{n})}$ : « $\;\color {transparent}{s_{n}(t)=A_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)+B_{n}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)}$ $=C_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t+\varphi _{n})\;$ » d'où « $\;C_{n}={\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}\;$ »^[14] et « $\;\varphi _{n}\;$
     Établissement du lien permettant d'obtenir $\color {transparent}{\;(C_{n}\,,\,\varphi _{n})\;}$ à partir de $\color {transparent}{\;(A_{n}\,,\,B_{n})}$ : « $\;\color {transparent}{s_{n}(t)=A_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)+B_{n}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)=C_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t+\varphi _{n})}\;$ » tel que $\;\left\lbrace \!{\begin{array}{c}\cos(\varphi _{n})={\dfrac {A_{n}}{C_{n}}}\\\sin(\varphi _{n})=-{\dfrac {B_{n}}{C_{n}}}\end{array}}\!\right\rbrace \;$ »^[15].

Troisième développement en série de Fourier

3^ème développement en série de Fourier (admis)

«

\;s(t)=\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right]\;

» avec
«

\;{\underline {C'}}_{0}={C'}_{0}\;\in \mathbb {R} \;

l'éventuelle composante continue »^[3] et
«

\;{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)+{\underline {C'}}_{(-p)}\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t),\;\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;

l'harmonique de rang

\;p\;(>0)\;

»^[16].

Ce 3^ème développement en série de Fourier^[1] est donné à titre de complément car ne sera pas utilisé par la suite $\;{\big (}$ sauf avis contraire ${\big )}$ ;
Ce 3^ème développement en série de Fourier il présente néanmoins quelques avantages dont le principal est de donner des formules symétriques pour calculer les cœfficients $\;{\underline {C'}}_{p}\;\;p\in \mathbb {Z} \;$ ^[17] :

Calcul du cœfficient $\;{\underline {C'}}_{p}\;p\in \mathbb {Z}$ : « $\;{\underline {C'}}_{p}=\left\langle s(t)\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle ={\dfrac {1}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}s(t)\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\,dt\;$ »^[4].

     Calcul du cœfficient $\;\color {transparent}{{C'}_{p}\;p\in \mathbb {Z} }$ : Justification : le théorème de Fourier^[1] étant admis, on multiplie le 3^ème développement en série de Fourier^[1] par « $\;\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\;$ » et
         Calcul du cœfficient $\;\color {transparent}{{C'}_{p}\;p\in \mathbb {Z} }$ : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend la moyenne du membre de gauche « $\;\left\langle s(t)\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle \;$ »^[4], égale à
         Calcul du cœfficient $\;\color {transparent}{{C'}_{p}\;p\in \mathbb {Z} }$ : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend la moyenne du membre de droite, c.-à-d.
         Calcul du cœfficient $\;\color {transparent}{{C'}_{p}\;p\in \mathbb {Z} }$ : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend la somme $\;{\big (}$ infinie ${\big )}\;$ des moyennes de $\;{\underline {C'}}_{p'}\,\exp \!\left[i\,2\,\pi \,(p'-p)\,f\,t\right]\;$
     Calcul du cœfficient $\;\color {transparent}{{C'}_{p}\;p\in \mathbb {Z} }$ : Justification : « $\;\left\langle s(t)\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle =\left\langle {\underline {C'}}_{p}\right\rangle +\sum \limits _{p'\,\neq \,p}^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left\langle {\underline {C'}}_{p'}\,\exp \!\left[i\,2\,\pi \,(p'-p)\,f\,t\right]\right\rangle \;$ »^[4] ;
     Calcul du cœfficient $\;\color {transparent}{{C'}_{p}\;p\in \mathbb {Z} }$ : Justification : or « les moyennes pour $\;p'\;$ fixé $\;\neq p\;$ sont nulles » $\;{\Bigg \{}$ « moyenne $\;=\left\langle {\underline {C'}}_{p'}\,\exp \!\left[i\,2\,\pi \,(p'-p)\,f\,t\right]\right\rangle ={\dfrac {1}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}{\underline {C'}}_{p'}\,\exp \!\left[i\,2\,\pi \,(p'-p)\,f\,t\right]dt$
     Calcul du cœfficient $\;\color {transparent}{{C'}_{p}\;p\in \mathbb {Z} }$ : Justification : or « les moyennes pour $\;\color {transparent}{p'}\;$ fixé $\;\color {transparent}{\neq p}\;$ sont nulles » $\;\color {transparent}{\Bigg \{}$ « moyenne $\;\color {transparent}{=\left\langle {\underline {C'}}_{p'}\,\exp \!\left[i\,2\,\pi \,(p'-p)\,f\,t\right]\right\rangle }$ $={\dfrac {{\underline {C'}}_{p'}}{T}}{\cancel {\left[{\dfrac {\exp \!\left[i\,2\,\pi \,(p'-p)\,f\,t\right]}{i\,2\,\pi \,(p'-p)\,f}}\right]_{0}^{T}}}=0\;$ »^[18] ${\Bigg \}}\;$
        Calcul du cœfficient $\;\color {transparent}{{C'}_{p}\;p\in \mathbb {Z} }$ : Justification : or « les moyennes pour $\;\color {transparent}{p'}\;$ fixé $\;\color {transparent}{\neq p}\;$ sont nulles » on en déduit « $\;\left\langle s(t)\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle =\left\langle {\underline {C'}}_{p}\right\rangle ={\underline {C'}}_{p}\;$ »^[19] C.Q.F.D^[6]..

Passage du second au troisième développement en série de Fourier

     Les 2^nd et 3^ème développements en série de Fourier^[1] devant être identiques $\;\forall \;t\;$ $\Rightarrow$ $\bullet \;$ « $\;{C'}_{0}=C_{0}\;(=A_{0})\;$ »,
         Les 2^nd et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\bullet \;$ « $\;{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)+{\underline {C'}}_{(-p)}\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)=C_{p}\,\cos(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p})\quad \forall \;t\;$ » ou,
         Les 2^nd et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$ « avec la formule d'Euler^[20] relative au cosinus^[21], « $\;{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)+{\underline {C'}}_{(-p)}\,\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)$
         Les 2^nd et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$ « $={\dfrac {C_{p}}{2}}\,\exp \!\left[i\left(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p}\right)\right]+{\dfrac {C_{p}}{2}}\,\exp \!\left[-i\left(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p}\right)\right]\quad \forall \;t\;$ » soit,
         Les 2^nd et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$ « par identification des cœfficients de $\;\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)$ , « $\;{\underline {C'}}_{p}={\dfrac {C_{p}}{2}}\,\exp(i\,\varphi _{p}),\;\;p\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\;$ » et
         Les 2^nd et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$ « par identification des cœfficients de $\;\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)$ , « $\;{\underline {C'}}_{(-p)}={\dfrac {C_{p}}{2}}\,\exp(-i\,\varphi _{p}),\;\;p\,\in \,\mathbb {N} ^{*}\;$ » soit
         Les 2^nd et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$ « finalement, avec $\;p\,\in \,\mathbb {N} ^{*}$ , « $\;{\underline {C'}}_{p}={\dfrac {C_{p}}{2}}\,\exp(i\,\varphi _{p})\;$ » et, avec $\;p'=-p\;$
         Les 2^nd et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$ « finalement, avec $\;\color {transparent}{p\,\in \,\mathbb {N} ^{*}}$ , « $\;{\underline {C'}}_{p'}={\underline {C'}}_{(-p)}={\dfrac {C_{p}}{2}}\,\exp(-i\,\varphi _{p})\;$ » $\Rightarrow$ « $\;{\underline {C'}}_{p'}=\left[{\underline {C'}}_{p}\right]^{*}\;$ »
         Les 2^nd et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$ « les cœfficients $\;{\underline {C'}}_{p}\;$ et $\;{\underline {C'}}_{p'}\;$ étant conjugués l'un de l'autre, il suffit de calculer $\;{\underline {C'}}_{p}\;$ pour $\;p>0$ .

Passage du premier au troisième développement en série de Fourier

     Autre façon^[22] de déterminer les cœfficients du 3^ème développement en série de Fourier^[1] en utilisant la méthode de calcul de ceux du 1^er développement c.-à-d.
               Autre façon de déterminer les cœfficients du 3^ème développement en série de Fourier en utilisant $\bullet \;$ « $\;A_{0}=\left\langle s(t)\right\rangle \;$ »^[4]^,^[17],
               Autre façon de déterminer les cœfficients du 3^ème développement en série de Fourier en utilisant $\bullet \;$ « $\;A_{n}=2\times \left\langle s(t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$ »^[4]^,^[17] et
               Autre façon de déterminer les cœfficients du 3^ème développement en série de Fourier en utilisant $\bullet \;$ « $\;B_{n}=2\times \left\langle s(t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$ »^[4]^,^[17] ;

     les 1^er et 3^ème développements en série de Fourier^[1] devant être identiques $\;\forall \;t\;$ $\Rightarrow$ « $\;s(t)=A_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left\lbrace \left[A_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)+B_{n}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right]\right\rbrace =\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right]\;$ » ou,
          les 1^er et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « en utilisant dans le 1^er développement les « formules d'Euler^[20] »^[21],
          les 1^er et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « $\;s(t)=A_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left\lbrace {\dfrac {A_{n}\,-i\,B_{n}}{2}}\,\exp(i\,2\,\pi \,n\,f\,t)+{\dfrac {A_{n}\,+i\,B_{n}}{2}}\,\exp(-i\,2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rbrace \;$ »^[23] et
          les 1^er et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « en identifiant les cœfficients de $\;\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t),\;p\in \mathbb {Z} \;$ dans les deux développements
          les 1^er et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « $\blacktriangleright \;$ si $\;p=0$ , « $\;{\underline {C'}}_{0}=A_{0}\;$ » $\Rightarrow$ « $\;{\underline {C'}}_{0}=\left\langle s(t)\right\rangle \;$ »^[4],
          les 1^er et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « $\blacktriangleright \;$ si $\;p\in \mathbb {N} ^{*}$ , « $\;{\underline {C'}}_{p}={\dfrac {A_{p}-i\,B_{p}}{2}}=\left\langle s(t)\left[\cos(2\,\pi \,p\,f\,t)-i\,\sin(2\,\pi \,p\,f\,t)\right]\right\rangle \;$ ^[4]
            les 1^er et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ si $\;\color {transparent}{p\in \mathbb {N} ^{*}}$ , « $\;\color {transparent}{{\underline {C'}}_{p}=A_{p}-i\,B_{p}}$ $=\left\langle s(t)\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle \;$ »^[4] et
          les 1^er et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « $\blacktriangleright \;$ si $\;p\in \mathbb {Z} ^{(-,\,*)}$ , « $\;{\underline {C'}}_{p}={\underline {C'}}_{(-\vert p\vert )}={\dfrac {A_{(\vert p\vert )}+i\,B_{(\vert p\vert )}}{2}}=\left\langle s(t)\left[\cos(2\,\pi \,\vert p\vert \,f\,t)+i\,\sin(2\,\pi \,\vert p\vert \,f\,t)\right]\right\rangle \;$ ^[4]
            les 1^er et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ si $\;\color {transparent}{p\in \mathbb {Z} ^{(-,\,*)}}$ , « $\;\color {transparent}{{\underline {C'}}_{p}={\underline {C'}}_{(-\vert p\vert )}=A_{(\vert p\vert )}+i\,B_{(\vert p\vert )}}$ $=\left\langle s(t)\exp(i\,2\,\pi \,\vert p\vert \,f\,t)\right\rangle \;$ ^[4]
            les 1^er et 3^ème développements en série de Fourier devant être identiques $\;\color {transparent}{\forall \;t}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ si $\;\color {transparent}{p\in \mathbb {Z} ^{(-,\,*)}}$ , « $\;\color {transparent}{{\underline {C'}}_{p}={\underline {C'}}_{(-\vert p\vert )}=A_{(\vert p\vert )}+i\,B_{(\vert p\vert )}}$ $=\left\langle s(t)\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle \;$ »^[4]^,^[24].

Théorème de Parseval

Théorème de Parseval utilisant le 3^ème développement en série de Fourier

     Considérant le 3^ème développement en série de Fourier^[1] de la fonction périodique $\;s(t)\;$ de fréquence $\;f$ , « $\;s(t)=\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right]\;$ » dans lequel
          Considérant le 3^ème développement en série de Fourier de la fonction périodique $\;\color {transparent}{s(t)}\;$ de fréquence $\;\color {transparent}{f}$ , « $\;{\underline {C'}}_{p}=\left\langle s(t)\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle ={\dfrac {1}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}s(t)\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\,dt\;$ »
          Considérant le 3^ème développement en série de Fourier de la fonction périodique $\;\color {transparent}{s(t)}\;$ de fréquence $\;\color {transparent}{f}$ , est appelé cœfficient de Fourier complexe^[1] de $\;s\;$ pour $\;p\,\in \mathbb {Z}$ , et
          Considérant le 3^ème développement en série de Fourier de la fonction périodique $\;\color {transparent}{s(t)}\;$ de fréquence $\;\color {transparent}{f}$ , formant la série suivante « $\;{c'}_{n}(s)=\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-n\,{\text{à}}\,+n}\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]\;$ »^[25], Parseval^[26] a eu l'intuition
          Considérant le 3^ème développement en série de Fourier de la fonction périodique $\;\color {transparent}{s(t)}\;$ de fréquence $\;\color {transparent}{f}$ , de la « convergence de cette série $\;{c'}_{n}(s)\;$ vers $\;\left\langle \left[s(t)\right]^{2}\right\rangle \;$ ».

Énoncé du théorème de Parseval

La série « somme des carrés de modules des cœfficients de Fourier complexes de

\;s\;

correspondant à un harmonique de rang

\;\leqslant n\;

»
La série «

\;{c'}_{n}(s)=\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-n\,{\text{à}}\,+n}\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]\;

» avec «

\;{\underline {C'}}_{p}=\left\langle s(t)\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle \;

»^[4],
La série «

\;\color {transparent}{{c'}_{n}(s)=\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]}\;

» converge, quand

\;n\rightarrow \infty

, vers «

\;\left\langle \left[s(t)\right]^{2}\right\rangle \;

»^[4] soit mathématiquement, ^[4] «

\;\left\langle \left[s(t)\right]^{2}\right\rangle =\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]\;

»^[27].

Quelques éléments de démonstration de l'égalité de Parseval utilisant le 3^ème développement en série de Fourier de la fonction T-périodique

On utilise la définition du carré de la moyenne quadratique de la fonction $\;s(t)\;$ en utilisant son 3^ème développement en série de Fourier^[1] soit

«

\;\left\langle s^{2}(t)\right\rangle ={\dfrac {1}{T}}\,\displaystyle \int _{0}^{T}s^{2}(t)\,dt=

{\dfrac {1}{T}}\,\displaystyle \int _{0}^{T}\left\lbrace \sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right]\right\rbrace ^{\!2}\,dt\;

» ;

     pour évaluer l'intégrale, on est amené à développer le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de carrés de type « $\;{\underline {C'}}_{p}^{2}\,\exp(i\,4\,\pi \,p\,f\,t)\;$ » et
     pour évaluer l'intégrale, on est amené à développer le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de termes « rectangles $\;{\underline {C'}}_{p}\,{\underline {C'}}_{q}\,\exp[i\,2\,\pi \,(p+q)\,f\,t]\;$ avec $\;(p\,,\,q)\in \mathbb {Z} ^{2}\;$ mais $\;q\neq p\;$ »
     pour évaluer l'intégrale, on est amené à développer le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de dont on évalue l'intégrale de chaque terme selon :

les intégrales des 1^ers termes c.-à-d. de « $\;{\underline {C'}}_{p}^{2}\,\exp(i\,4\,\pi \,p\,f\,t)\;$ » $\blacktriangleright \;$ « $\;p=0\;$ » $\Rightarrow$ « $\;\displaystyle \int _{0}^{T}{\underline {C'}}_{0}^{2}\;dt={\underline {C'}}_{0}^{2}\;T\;$ » ou
les intégrales des 1^ers termes c.-à-d. de « $\;\color {transparent}{{\underline {C'}}_{p}^{2}\,\exp(i\,4\,\pi \,p\,f\,t)}\;$ » $\blacktriangleright \;$ « $\;p\neq 0\;$ » $\Rightarrow$ « $\;\displaystyle \int _{0}^{T}{\underline {C'}}_{p}^{2}\,\exp(i\,4\,\pi \,p\,f\,t)\;dt={\underline {C'}}_{p}^{2}\left[{\dfrac {\exp(i\,4\,\pi \,p\,f\,t)}{i\,4\,\pi \,p\,f}}\right]_{0}^{T}=0\;$ »^[28] et
les intégrales des 2^èmes termes c.-à-d. de « $\;{\underline {C'}}_{p}\,{\underline {C'}}_{q}\,\exp[i\,2\,\pi \,(p+q)\,f\,t]\;$ avec $\;(p\,,\,q\neq p)\in \mathbb {Z} ^{2}\;$ » $\blacktriangleright \;$ « $\;q=-p\;$ » $\Rightarrow$ « $\;\displaystyle \int _{0}^{T}{\underline {C'}}_{p}\,{\underline {C'}}_{-p}\;dt=\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\;T\;$ »^[29] ou
les intégrales des 2^èmes termes c.-à-d. de « $\;\color {transparent}{{\underline {C'}}_{p}\,{\underline {C'}}_{q}\,\exp[i\,2\,\pi \,(p+q)\,f\,t]}\;$ avec $\;\color {transparent}{(p\,,\,q\neq p)\in \mathbb {Z} ^{2}}\;$ » $\blacktriangleright \;$ « $\;q\neq -p\;$ » $\Rightarrow$ « $\;\displaystyle \int _{0}^{T}{\underline {C'}}_{p}\,{\underline {C'}}_{q}\,\exp[i\,2\,\pi \,(p+q)\,f\,t]\;dt=$
les intégrales des 2^èmes termes c.-à-d. de « $\;\color {transparent}{{\underline {C'}}_{p}\,{\underline {C'}}_{q}\,\exp[i\,2\,\pi \,(p+q)\,f\,t]}\;$ avec $\;\color {transparent}{(p\,,\,q\neq p)\in \mathbb {Z} ^{2}}\;$ » $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$ « $\;\color {transparent}{q\neq -p}\;$ » $\color {transparent}{\Rightarrow }$ « ${\underline {C'}}_{p}\,{\underline {C'}}_{q}\left[{\dfrac {\exp[i\,2\,\pi \,(p+q)\,f\,t]}{i\,2\,\pi \,(p+q)\,f}}\right]_{0}^{T}=0\;$ »^[30] ;

finalement « $\;\left\langle s^{2}(t)\right\rangle ={\dfrac {1}{T}}\,\displaystyle \int _{0}^{T}\left\lbrace \sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[{\underline {C'}}_{p}\,\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right]\right\rbrace ^{\!2}\,dt\;{\stackrel {\ldots }{=}}\;{\underline {C'}}_{0}^{2}+\left[\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} ^{*}}^{-\infty \,{\text{à}}\,-1\,{\text{et}}\,1\,{\text{à}}\,+\infty }\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]\;$ » d'où, sous forme plus compacte

l'égalité de Parseval^[26] «

\;\left\langle s^{2}(t)\right\rangle =\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\;

».

Expression de l'égalité de Parseval utilisant le 2^ème développement en série de Fourier

     Soit le 2^ème développement en série de Fourier^[1] de la fonction périodique $\;s(t)\;$ de fréquence $\;f$ , « $\;s(t)=C_{0}+\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[C_{p}\,\cos(2\,\pi \,p\,f\,t+\varphi _{p})\right]\;$ » dans lequel
         Soit le 2^ème développement en série de Fourier de la fonction périodique $\;\color {transparent}{s(t)}\;$ la composante continue^[3] s'évalue par « $\;C_{0}={C'}_{0}=\left\langle s(t)\right\rangle \;$ »^[4] et
         Soit le 2^ème développement en série de Fourier de la fonction périodique $\;\color {transparent}{s(t)}\;$ l'amplitude de l'harmonique de rang $\;p\;$ par « $\;C_{p}=2\,\vert {\underline {C'}}_{p}\vert =2\;\left\vert \left\langle s(t)\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle \right\vert \;$ »^[4],
     souhaitant réécrire l'égalité de Parseval^[26] en utilisant ce 2^ème développement en série de Fourier^[1], il suffit de « transformer $\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]\;$ en fonction des nouveaux cœfficients $\;C_{0}\;$ et $\;C_{p}\;$ » soit « $\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]=C_{0}^{2}+2\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]=C_{0}^{2}+2\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[\left({\dfrac {C_{p}}{2}}\right)^{\!\!2}\right]\;$ »^[31] ou encore « $\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]=$ $C_{0}^{2}+{\dfrac {1}{2}}\left[\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }C_{p}^{2}\right]\;$ ».

Autre égalité de Parseval

^[4] «

\;\left\langle \left[s(t)\right]^{2}\right\rangle =C_{0}^{2}+{\dfrac {1}{2}}\left[\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }C_{p}^{2}\right]\;

»^[32].

Expression de l'égalité de Parseval utilisant le 1^er développement en série de Fourier

     Soit le 1^er développement en série de Fourier^[1] de la fonction périodique $\;s(t)\;$ de fréquence $\;f\;$ « $\;s(t)=A_{0}+\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[A_{p}\,\cos(2\,\pi \,p\,f\,t)+B_{p}\,\sin(2\,\pi \,p\,f\,t)\right]\;$ » dans lequel
         Soit le 1^er développement en série de Fourier de la fonction périodique $\;\color {transparent}{s(t)}\;$ la composante continue^[3] s'évalue par « $\;A_{0}={C'}_{0}=\left\langle s(t)\right\rangle \;$ »^[4]^,^[33],
         Soit le 1^er développement en série de Fourier de la fonction périodique $\;\color {transparent}{s(t)}\;$ l'amplitude de l'harmonique pair de rang $\;p\;$ par « $\;A_{p}=2\,\Re \left[{\underline {C'}}_{p}\right]=2\,\Re \left[\left\langle s(t)\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle \right]\;$ »^[4]^,^[34] et
         Soit le 1^er développement en série de Fourier de la fonction périodique $\;\color {transparent}{s(t)}\;$ l'amplitude de l'harmonique impair de rang $\;p\;$ par « $\;B_{p}=-2\,\Im \left[{\underline {C'}}_{(-p)}\right]=2\,\Im \left[\left\langle s(t)\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle \right]\;$ »^[4]^,^[34],
     souhaitant réécrire l'égalité de Parseval^[26] en utilisant ce 1^er développement en série de Fourier^[1], il suffit de « transformer $\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]\;$ en fonction des nouveaux cœfficients $\;A_{0}$ , $\;A_{p}\;$ et $\;B_{p}\;$ » soit « $\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]=A_{0}^{2}+2\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]=$ $A_{0}^{2}+2\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }\left[{\dfrac {A_{p}^{2}}{4}}+{\dfrac {B_{p}^{2}}{4}}\right]\;$ »^[35] ou encore « $\;\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]=A_{0}^{2}+{\dfrac {1}{2}}\left[\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }(A_{p}^{2}+B_{p}^{2})\right]\;$ ».

Dernière égalité de Parseval

^[4] «

\;\left\langle \left[s(t)\right]^{2}\right\rangle =A_{0}^{2}+{\dfrac {1}{2}}\left[\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {N} ^{*}}^{1\,{\text{à}}\,+\infty }(A_{p}^{2}+B_{p}^{2})\right]\;

»^[36].

Notes et références

↑ ^1,00 ^1,01 ^1,02 ^1,03 ^1,04 ^1,05 ^1,06 ^1,07 ^1,08 ^1,09 ^1,10 ^1,11 ^1,12 ^1,13 ^1,14 ^1,15 ^1,16 ^1,17 et ^1,18 Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes $\;{\big (}$ évoqués ici ${\big )}\;$ et leur application au problème de la propagation de la chaleur $\ldots$
↑ Le substantif « harmonique » est « masculin ».
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 ^3,5 ^3,6 et ^3,7 Au sens permanent.
↑ ^4,00 ^4,01 ^4,02 ^4,03 ^4,04 ^4,05 ^4,06 ^4,07 ^4,08 ^4,09 ^4,10 ^4,11 ^4,12 ^4,13 ^4,14 ^4,15 ^4,16 ^4,17 ^4,18 ^4,19 ^4,20 ^4,21 ^4,22 ^4,23 ^4,24 ^4,25 ^4,26 ^4,27 ^4,28 ^4,29 et ^4,30 « $\;{\dfrac {1}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}f(t)\,dt\;$ » définit la valeur moyenne de la fonction $\;T$ -périodique $\;f(t)$ , « valeur moyenne notée $\;\left\langle f(t)\right\rangle \;$ ».
↑ Un harmonique de rang $\;n\neq 0\;$ de fréquence $\;f_{n}=n\,f\;$ étant de période $\;T_{n}={\dfrac {T}{n}}\;$ et admettant comme primitive un harmonique de même rang $\;{\big (}$ à une constante additive près ${\big )}\;$ mais de parité différente $\;{\big (}$ à un facteur multiplicatif près ${\big )}$ , la prise de cette primitive sur $\;T=n\,T_{n}\;$ donne effectivement zéro, la primitive étant $\;T_{n}$ -périodique.
↑ ^6,0 ^6,1 ^6,2 et ^6,3 Ce Qu'il Fallait Démontrer.
↑ ^7,0 et ^7,1 Ne pas confondre la variable fixée $\;n\;$ du facteur multiplicatif avec la variable muette de l'harmonique, rebaptisée $\;k$ .
↑ En effet, si $\;k\neq n$ , on linéarise $\;A_{k}\,\cos(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)={\dfrac {A_{k}}{2}}\left\lbrace \cos \!\left[2\,\pi \,(k-n)\,f\,t\right]+\cos \!\left[2\,\pi \,(k+n)\,f\,t\right]\right\rbrace \;$ et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence $\;\vert k-n\vert \,f\;$ et $\;(k+n)\,f\;$ c.-à-d. de période $\;{\dfrac {T}{\vert k-n\vert }}\;$ et $\;{\dfrac {T}{k+n}}\;$ donnant chacune une valeur moyenne nulle sur $\;T$ ;
si $\;k\neq n$ , on linéarise $\;B_{k}\,\sin(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)={\dfrac {B_{k}}{2}}\left\lbrace \sin \!\left[2\,\pi \,(k-n)\,f\,t\right]+\sin \!\left[2\,\pi \,(k+n)\,f\,t\right]\right\rbrace \;$ et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence $\;\vert k-n\vert \,f\;$ et $\;(k+n)\,f\;$ c.-à-d. de période $\;{\dfrac {T}{\vert k-n\vert }}\;$ et $\;{\dfrac {T}{k+n}}\;$ donnant chacune une valeur moyenne nulle sur $\;T$ ;
si $\;k=n$ , on linéarise $\;B_{k}\,\sin(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)=B_{n}\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)={\dfrac {B_{n}}{2}}\sin \!\left[4\,\pi \,n\,f\,t\right]\;$ et on obtient une fonction sinusoïdale de fréquence $\;2\,n\,f\;$ c.-à-d. de période $\;{\dfrac {T}{2\,n}}\;$ donnant une valeur moyenne nulle sur $\;T$ .
↑ ^9,0 et ^9,1 En effet on prend la moyenne sur $\;T\;$ d'une fonction sinusoïdale de fréquence $\;2\,n\,f\;$ donc de période $\;{\dfrac {T}{2\,n}}$ .
↑ Dans la mesure où « $\;\left\langle s(t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle ={\dfrac {A_{n}}{2}}\;$ est équivalent à $\;A_{n}=2\times \left\langle s(t)\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$ ».
↑ En effet, si $\;k\neq n$ , on linéarise $\;A_{k}\,\cos(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)={\dfrac {A_{k}}{2}}\left\lbrace \sin \!\left[2\,\pi \,(n+k)\,f\,t\right]+\sin \!\left[2\,\pi \,(n-k)\,f\,t\right]\right\rbrace \;$ et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence $\;(n+k)\,f\;$ et $\;\vert n-k\vert \,f\;$ c.-à-d. de période $\;{\dfrac {T}{n+k}}\;$ et $\;{\dfrac {T}{\vert n-k\vert }}\;$ donnant chacune une valeur moyenne nulle sur $\;T$ ;
si $\;k=n$ , on linéarise $\;A_{k}\,\cos(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)=A_{n}\,\cos(2\,\pi \,n\,f\,t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)={\dfrac {A_{n}}{2}}\sin \!\left[4\,\pi \,n\,f\,t\right]\;$ et on obtient une fonction sinusoïdale de fréquence $\;2\,n\,f\;$ c.-à-d. de période $\;{\dfrac {T}{2\,n}}\;$ donnant une valeur moyenne nulle sur $\;T$ ;
si $\;k\neq n$ , on linéarise $\;B_{k}\,\sin(2\,\pi \,k\,f\,t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)={\dfrac {B_{k}}{2}}\left\lbrace \cos \!\left[2\,\pi \,(k-n)\,f\,t\right]-\cos \!\left[2\,\pi \,(k+n)\,f\,t\right]\right\rbrace \;$ et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence $\;\vert k-n\vert \,f\;$ et $\;(k+n)\,f\;$ c.-à-d. de période $\;{\dfrac {T}{\vert k-n\vert }}\;$ et $\;{\dfrac {T}{k+n}}\;$ donnant chacune une valeur moyenne nulle sur $\;T$ .
↑ Dans la mesure où « $\;\left\langle s(t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle ={\dfrac {B_{n}}{2}}\;$ est équivalent à $\;B_{n}=2\times \left\langle s(t)\,\sin(2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rangle \;$ ».
↑ Ceci est possible car $\;\left[{\dfrac {A_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\right]^{2}+\left[{\dfrac {B_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\right]^{2}=1\;$ $\Rightarrow$ il existe un angle tel que $\;{\dfrac {A_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\;$ et $\;{\dfrac {B_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}\;$ sont respectivement cosinus et sinus de cet angle ; d'autre part le but étant d'utiliser $\;\cos(a+b)=\cos(a)\,\cos(b)-\sin(a)\,\sin(b)\;$ on introduit le signe « $\;-\;$ » dans $\;{\dfrac {B_{n}}{\sqrt {A_{n}^{2}+B_{n}^{2}}}}$ .
↑ $\;C_{n}\;$ étant $\;>0\;$ représente directement l'amplitude de l'harmonique de rang $\;n$ .
↑ Si $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{n}\,{\text{est}}\,>0\\{\text{et}}\,B_{n}>0\end{array}}\right\rbrace \;\Rightarrow \;\varphi _{n}\in \left]-{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,0\right[\;$ et si $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{n}\,{\text{est}}\,>0\\{\text{et}}\,B_{n}<0\end{array}}\right\rbrace \;\Rightarrow \;\varphi _{n}\in \left]0\,,\,{\dfrac {\pi }{2}}\right[$ , dans ces deux cas on peut écrire $\;\varphi _{n}=$ $-\arctan \!\left({\dfrac {B_{n}}{A_{n}}}\right)\;$ $\;\left\lbrace \right.$ on verra dans le paragraphe sur la « fonction arctangente » du chap. $9$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » qu'un angle ne peut se mettre sous la forme d'un $\;\arctan()\;$ que s'il est strictement compris entre $\;-{\dfrac {\pi }{2}}\;$ et $\;\left.{\dfrac {\pi }{2}}\right\rbrace$ ;
si $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{n}\,{\text{est}}\,<0\\{\text{et}}\,B_{n}>0\end{array}}\right\rbrace \;\Rightarrow \;\varphi _{n}\in \left]-\pi \,,\,-{\dfrac {\pi }{2}}\right[\;$ et on peut écrire $\;\varphi _{n}=-\arctan \!\left({\dfrac {B_{n}}{A_{n}}}\right)-\pi$ ;
si $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{n}\,{\text{est}}\,<0\\{\text{et}}\,B_{n}<0\end{array}}\right\rbrace \Rightarrow \varphi _{n}\in \left]{\dfrac {\pi }{2}}\,,\,\pi \right[\;$ et on peut écrire $\;\varphi _{n}=-\arctan \!\left({\dfrac {B_{n}}{A_{n}}}\right)+\pi$ .
↑ Cet harmonique formé à partir de fonctions complexes du temps est au final une fonction réelle du temps $\;\ldots$
↑ ^17,0 ^17,1 ^17,2 et ^17,3 Il est toutefois rappelé que le calcul des cœfficients est donné à titre de complément car non exigible cette année.
↑ La fonction à prendre entre $\;0\;$ et $\;T\;$ étant $\;{\dfrac {T}{\vert p'-p\vert }}$ -périodique $\;\ldots$
↑ La moyenne d'une constante étant la constante elle-même.
↑ ^20,0 et ^20,1 Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal}} et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.
↑ ^21,0 et ^21,1 La formule d'Euler étant $\;\exp(i\,x)=\cos(x)+i\,\sin(x)\;$ on en tire les formules d'Euler relatives au cosinus ou au sinus respectivement $\;\cos(x)={\dfrac {\exp(i\,x)+\exp(-i\,x)}{2}}\;$ et $\;\sin(x)=$ ${\dfrac {\exp(i\,x)-\exp(-i\,x)}{2\,i}}$ .
↑ Moins immédiate.
↑ En effet « $\;s(t)=A_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left\lbrace \left[A_{n}\,{\dfrac {\exp(i\,2\,\pi \,n\,f\,t)+\exp(-i\,2\,\pi \,n\,f\,t)}{2}}+B_{n}\,{\dfrac {\exp(i\,2\,\pi \,n\,f\,t)-\exp(-i\,2\,\pi \,n\,f\,t)}{2\,i}}\right]\right\rbrace$
En effet « $\;\color {transparent}{s(t)}$ $=A_{0}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left\lbrace {\dfrac {A_{n}\,-i\,B_{n}}{2}}\,\exp(i\,2\,\pi \,n\,f\,t)+{\dfrac {A_{n}\,+i\,B_{n}}{2}}\,\exp(-i\,2\,\pi \,n\,f\,t)\right\rbrace \;$ ».
↑ Cette dernière expression sachant que « $\;\vert p\vert =-p\;{\text{pour}}\;p\in \mathbb {Z} ^{(-,\,*)}\;$ ».
↑ C.-à-d. la somme de tous les carrés de modules des cœfficients de Fourier complexes de $\;s\;$ correspondant à un harmonique de rang $\;\leqslant n$ .
↑ ^26,0 ^26,1 ^26,2 et ^26,3 Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755 – 1836) mathématicien français à qui on doit essentiellement le « théorème de Parseval $\;{\big (}$ ou égalité de Parseval ${\big )}\;$ » dont il eut l'intuition sans le démontrer $\;{\big (}$ il estimait que c'était une évidence ${\big )}$ .
↑ On pourrait considérer que cette égalité de Parseval traduit un développement en série de la moyenne quadratique de la fonction périodique $\;s(t)$ $\;{\big (}$ c.-à-d. la moyenne du carré de la fonction ${\big )}\;$ utilisant le carré des modules des cœfficients de Fourier complexes de $\;s$ .
↑ La fonction $\;\exp(i\,4\,\pi \,p\,f\,t)\;$ étant $\;{\dfrac {T}{2\,\vert p\vert }}$ -périodique, elle prend les mêmes valeurs pour $\;0\;$ et $\;T=2\,\vert p\vert \;{\dfrac {T}{2\,\vert p\vert }}$ .
↑ On rappelle que $\;{\underline {C'}}_{p}\;$ se calculant par $\;\left\langle s(t)\;\exp(-i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle \;$ voir le paragraphe « 3^ème développement en série de Fourier » plus haut dans ce chapitre et $\;s(t)\;$ étant une fonction réelle, le conjugué de $\;{\underline {C'}}_{p}\;$ c.-à-d. $\;\left[{\underline {C'}}_{p}\right]^{*}=\left\langle s(t)\;\exp(i\,2\,\pi \,p\,f\,t)\right\rangle ={\underline {C'}}_{-p}\;$ d'où $\;{\underline {C'}}_{p}\,{\underline {C'}}_{-p}=$ ${\underline {C'}}_{p}\left[{\underline {C'}}_{p}\right]^{*}=\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}$ .
↑ La fonction $\;\exp[i\,2\,\pi \,(p+q)\,f\,t]\;$ étant $\;{\dfrac {T}{\vert p+q\vert }}$ -périodique, elle prend les mêmes valeurs pour $\;0\;$ et $\;T=\vert p+q\vert \;{\dfrac {T}{\vert p+q\vert }}$ .
↑ On rappelle que $\;{\underline {C'}}_{p}\;$ et $\;{\underline {C'}}_{(-p)}\;$ étant conjugués ont même module.
↑ On pourrait considérer que cette égalité de Parseval traduit un nouveau développement en série de la moyenne quadratique de la fonction périodique $\;s(t)\;$ utilisant le carré de la composante continue et les demi-carrés des amplitudes des harmoniques de $\;s$ .
↑ On a en effet établi que $\;{\underline {C'}}_{0}=A_{0}$ , voir le paragraphe « passage du 1^er au 3^ème développement en série de Fourier » plus haut dans ce chapitre.
↑ ^34,0 et ^34,1 On a en effet établi que $\;{\underline {C'}}_{p}={\dfrac {A_{p}-i\,B_{p}}{2}}\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$ et $\;{\underline {C'}}_{(-p)}={\dfrac {A_{p}+i\,B_{p}}{2}}\;p\in \mathbb {N} ^{*}\;$ ${\big \{}$ voir le paragraphe « passage du 1^er au 3^ème développement en série de Fourier » plus haut dans ce chapitre ${\big \}}\;$ d'où les expressions de $\;A_{p}\;$ et $\;B_{p}\;$ en fonction des cœfficients de Fourier complexes de $\;s$ .
↑ En effet $\;\Re \left[{\underline {C'}}_{p}\right]={\dfrac {A_{p}}{2}}\;$ et $\;\Im \left[{\underline {C'}}_{(-p)}\right]={\dfrac {B_{p}}{2}}\Rightarrow \Im \left[{\underline {C'}}_{p}\right]=-\Im \left[{\underline {C'}}_{(-p)}\right]=-{\dfrac {B_{p}}{2}}\;$ d'où $\;\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}={\dfrac {A_{p}^{2}}{4}}+{\dfrac {B_{p}^{2}}{4}}$ .
↑ On pourrait considérer que cette égalité de Parseval traduit un nouveau développement en série de la moyenne quadratique de la fonction périodique $\;s(t)\;$ utilisant le carré de la composante continue et les demi-carrés des amplitudes des harmoniques pairs et impairs de $\;s$ .