Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Théorème de Fourier

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Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Théorème de Fourier
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Énoncé du théorème de Fourier[modifier | modifier le wikicode]

     Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes évoqués ici et leur application au problème de la propagation de la chaleur
Début d’un théorème
Fin du théorème

Premier développement en série de Fourier[modifier | modifier le wikicode]

     Le calcul des cœfficients est un complément pour la 1ère année, il n'est donc pas exigible :

     Calcul de la composante continue : «» [4].

     Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier [1] étant admis, on prend la moyenne du membre de gauche «» [4], laquelle est égale à la moyenne du membre de droite, c.-à-d. à la somme infinie des moyennes de chaque harmonique soit

«» [4] ;

     Calcul de la composante continue : Justification : or « toutes les moyennes des harmoniques de rang non nul étant nulles » [5], il reste, à droite, la moyenne de l'harmonique de rang zéro c.-à-d. de la composante continue et comme cet harmonique est une constante, il reste «» C.Q.F.D. [6].

     Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rangnon nul : «» [4].

     Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rangnon nul : Justification : le théorème de Fourier [1] étant admis, « on multiplie les deux membres par » et on prend la moyenne du membre de gauche «» [4], égale à la moyenne du membre de droite, c.-à-d., après distribution du facteur multiplicatif, égale à la somme infinie des moyennes du produit de chaque harmonique par le facteur multiplicatif [7]

«» [4] ;

     Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rangnon nul : Justification : or toutes les moyennes étant nulles à l'exception de «» [8], il reste donc, à droite, «» c.-à-d. «» ou, en linéarisant , la somme suivante «» soit, « la seconde moyenne étant nulle » [9], «» C.Q.F.D. [6] dans la mesure où « est équivalent à ».

     Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rangnon nul : «» [4].

     Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rangnon nul : Justification : le théorème de Fourier [1] étant admis, on multiplie les deux membres par «» et on prend la moyenne du membre de gauche «» [4], égale à la moyenne du membre de droite, c.-à-d., après distribution du facteur multiplicatif, égale à la somme infinie des moyennes du produit de chaque harmonique par le facteur multiplicatif [7]

«» [4] ;

     Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rangnon nul : Justification : or toutes les moyennes étant nulles à l'exception de «» [10], il reste donc, à droite, «» c.-à-d. «» ou, en linéarisant , la somme suivante «» soit, « la seconde moyenne étant nulle » [9], «» C.Q.F.D. [6] dans la mesure où « est équivalent à ».

Deuxième développement en série de Fourier[modifier | modifier le wikicode]

Passage du premier au second développement en série de Fourier[modifier | modifier le wikicode]

     Les deux développements en série de Fourier [1] précédemment introduits devant être identiques quel que soit on en déduit :

  • «»,
  • «» ;

     le but recherché dans ce paragraphe est de « déterminer et connaissant et » :

     Établissement du lien permettant d'obtenirà partir : partant de la somme d'harmoniques pair et impair de rang «», on fait apparaître dans le facteur ce qui donne «», puis
     Établissement du lien permettant d'obtenirà partir : on définit « par » [11], ce qui permet de réécrire la somme d'harmoniques pair et impair de rang selon «» soit finalement

«» avec
«» [12] et « tel que » [13].

Troisième développement en série de Fourier[modifier | modifier le wikicode]

     Ce 3ème développement en série de Fourier [1] est donné à titre de complément car ne sera pas utilisé par la suite ; il présente néanmoins quelques avantages dont le principal est de donner des formules symétriques pour calculer les cœfficients [15] :

     Calcul du cœfficient  : «» [4].

     Calcul du cœfficient  : Justification : le théorème de Fourier [1] étant admis, on multiplie le 3ème développement en série de Fourier [1] par «» et on prend la moyenne du membre de gauche «» [4], égale à la moyenne du membre de droite, c.-à-d. la somme infinie des moyennes de

«» [4] ;

     Calcul du cœfficient  : Justification : or « chaque moyenne pour fixé étant nulle » la moyenne étant « » [16] on en déduit «» [17] C.Q.F.D. [6].

Passage du second au troisième développement en série de Fourier[modifier | modifier le wikicode]

     Ces deux développements en série de Fourier [1] précédemment introduits devant être identiques quel que soit on en déduit :

  • «»,
  • «» ou, avec la formule d'Euler [18] relative au cosinus [19],
    « » soit,
    par identification des cœfficients de ainsi que ceux de , «» ou
    par identification des cœfficients de ainsi que ceux de , si , et
    par identification des cœfficients de ainsi que ceux de , si , [20].

Passage du premier au troisième développement en série de Fourier[modifier | modifier le wikicode]

     Nous verrons une autre façon moins immédiate de déterminer les cœfficients du 3ème développement en série de Fourier [1] en utilisant la méthode de calcul de ceux du 1er développement à savoir :

«», «» et «» [4], [15] ;

     ces deux développements en série de Fourier précédemment introduits devant être identiques quel que soit on en déduit :

     «» ou, en utilisant dans le 1er développement les « formules d'Euler [18] » [19],
     « » et
     en identifiant les cœfficients de dans les deux développements :

  • si , «»                                                                                                                                                                              soit «» [4],
  • si , «»                                                                                    soit «» [4] et
  • si , «» soit «» [4] sachant que « ».

Théorème de Parseval[modifier | modifier le wikicode]

     Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755 – 1836) mathématicien français à qui on doit essentiellement le « théorème de Parseval ou égalité de Parseval» dont il eut l'intuition sans le démontrer il estimait que c'était une évidence.

Théorème de Parseval utilisant le 3ème développement en série de Fourier[modifier | modifier le wikicode]

     Considérant le 3ème développement en série de Fourier [1] de la fonction périodique de fréquence , «» dans lequel « » est appelé cœfficient de Fourier complexe [1] de pour , et

     formant la série suivante «» [21], Parseval [22] a eu l'intuition de la « convergence de cette série vers ».

Début d’un théorème
Fin du théorème

Quelques éléments de démonstration de l'égalité de Parseval utilisant le 3ème développement en série de Fourier de la fonction T-périodique[modifier | modifier le wikicode]

     On utilise la définition du carré de la moyenne quadratique de la fonction en utilisant son 3ème développement en série de Fourier [1] soit

« » ;

     pour évaluer l'intégrale, on est amené à développer le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de carrés de type «» et
     pour évaluer l'intégrale, on est amené à développer le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de termes « rectangles avec mais »
     pour évaluer l'intégrale, on est amené à développer le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de dont on évalue l'intégrale de chaque terme selon :

  • les intégrales des 1ers termes à savoir «» se distinguent suivant que
    donnant «» ou
    donnant «» [24] et
  • les intégrales des 2èmes termes à savoir « avec mais » se distinguent suivant que
    donnant «» [25] ou
    donnant «» [26] ;

     finalement «» d'où, sous forme plus compacte

l'égalité de Parseval [22] «».

Expression de l'égalité de Parseval utilisant le 2ème développement en série de Fourier[modifier | modifier le wikicode]

     Soit le 2ème développement en série de Fourier [1] de la fonction périodique de fréquence , «» dans lequel la composante continue et l'amplitude de l'harmonique de rang sont respectivement «», dans le but de réécrire l'égalité de Parseval [22] dans ce nouveau contexte et pour cela il suffit de « transformer en fonction des nouveaux cœfficients et » soit «» [27] ou encore « ».

Début d’un théorème
Fin du théorème

Expression de l'égalité de Parseval utilisant le 1er développement en série de Fourier[modifier | modifier le wikicode]

     Soit le 1er développement en série de Fourier [1] de la fonction périodique de fréquence «» dans lequel la composante continue et les amplitudes de l'harmonique pair et impair de rang sont respectivement «» [29], dans le but de réécrire l'égalité de Parseval [22] dans ce nouveau contexte et pour cela il suffit de « transformer en fonction des nouveaux cœfficients , et » ce qui se réécrit selon « » [30] ou encore «».

Début d’un théorème
Fin du théorème

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 et 1,15 Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes évoqués ici et leur application au problème de la propagation de la chaleur
  2. Le substantif « harmonique » est « masculin ».
  3. Au sens permanent.
  4. 4,00 4,01 4,02 4,03 4,04 4,05 4,06 4,07 4,08 4,09 4,10 4,11 4,12 4,13 4,14 et 4,15 «» définit la valeur moyenne de la fonction , « valeur moyenne notée ».
  5. Un harmonique de rang de fréquence étant de période et admettant comme primitive un harmonique de même rang à une constante additive près mais de parité différente à un facteur multiplicatif près, la prise de cette primitive sur donne effectivement zéro, la primitive étant .
  6. 6,0 6,1 6,2 et 6,3 Ce Qu'il Fallait Démontrer.
  7. 7,0 et 7,1 Ne pas confondre la variable fixée du facteur multiplicatif avec la variable muette de l'harmonique, rebaptisée .
  8. En effet, si , on linéarise et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence et c.-à-d. de période et donnant chacune une valeur moyenne nulle sur  ;
       si , on linéarise et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence et c.-à-d. de période et donnant chacune une valeur moyenne nulle sur  ;
       si , on linéarise et on obtient une fonction sinusoïdale de fréquence c.-à-d. de période donnant une valeur moyenne nulle sur .
  9. 9,0 et 9,1 En effet on prend la moyenne sur d'une fonction sinusoïdale de fréquence donc de période .
  10. En effet, si , on linéarise et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence et c.-à-d. de période et donnant chacune une valeur moyenne nulle sur  ;
       si , on linéarise et on obtient une fonction sinusoïdale de fréquence c.-à-d. de période donnant une valeur moyenne nulle sur  ;
       si , on linéarise et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence et c.-à-d. de période et donnant chacune une valeur moyenne nulle sur .
  11. Ceci est possible car il existe un angle tel que et sont respectivement cosinus et sinus de cet angle ; d'autre part le but étant d'utiliser on introduit le signe «» dans .
  12. étant représente directement l'amplitude de l'harmonique de rang .
  13. Si et si , dans ces deux cas on peut écrire on verra dans le paragraphe sur la « fonction arctangente » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » qu'un angle ne peut se mettre sous la forme d'un que s'il est strictement compris entre et  ;
       si et on peut écrire  ;
       si et on peut écrire .
  14. Cet harmonique formé à partir de fonctions complexes du temps est au final une fonction réelle du temps
  15. 15,0 et 15,1 Il est toutefois rappelé que le calcul des cœfficients est donné à titre de complément car non exigible cette année.
  16. La fonction à prendre entre et étant
  17. La moyenne d'une constante étant la constante elle-même.
  18. 18,0 et 18,1 Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal}} et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.
  19. 19,0 et 19,1 La formule d'Euler étant on en tire les formules d'Euler relatives au cosinus ou au sinus respectivement et .
  20. Les cœfficients et étant conjugués l'un de l'autre, il suffit de calculer pour .
  21. C.-à-d. la somme de tous les carrés de modules des cœfficients de Fourier complexes de correspondant à un harmonique de rang .
  22. 22,0 22,1 22,2 et 22,3 Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755 – 1836) mathématicien français à qui on doit essentiellement le « théorème de Parseval ou égalité de Parseval» dont il eut l'intuition sans le démontrer il estimait que c'était une évidence.
  23. On pourrait considérer que cette égalité de Parseval traduit un développement en série de la moyenne quadratique de la fonction périodique c.-à-d. la moyenne du carré de la fonction utilisant le carré des modules des cœfficients de Fourier complexes de .
  24. La fonction étant -périodique, elle prend les mêmes valeurs pour et .
  25. On rappelle que se calculant par voir le paragraphe « 3ème développement en série de Fourier » plus haut dans ce chapitre et étant une fonction réelle, le conjugué de c.-à-d. d'où .
  26. La fonction étant -périodique, elle prend les mêmes valeurs pour et .
  27. On rappelle que et étant conjugués ont même module.
  28. On pourrait considérer que cette égalité de Parseval traduit un nouveau développement en série de la moyenne quadratique de la fonction périodique utilisant le carré de la composante continue et les demi-carrés des amplitudes des harmoniques de .
  29. On a en effet établi que , et d'où les expressions de , et en fonction des cœfficients de Fourier complexes de .
  30. En effet et d'où .
  31. On pourrait considérer que cette égalité de Parseval traduit un nouveau développement en série de la moyenne quadratique de la fonction périodique utilisant le carré de la composante continue et les demi-carrés des amplitudes des harmoniques pairs et impairs de .