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Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Théorème de Fourier
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Théorème de Fourier », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Début d’un théorème
Théorème de Fourier (admis)
Toute fonction périodique
, de fréquence

,
est développable en série de Fourier[1], c.-à-d. qu'
elle est la somme infinie de fonctions sinusoïdales, de fréquences

, appelées « harmoniques de rang

»
[2], le rang

correspondant à la composante continue
[3] et le rang

à l'harmonique fondamental.
Fin du théorème
1er développement en série de Fourier (admis)
«
» avec «
»,
«
étant l'éventuelle composante continue »[3],
«
et
les harmoniques respectivement pair et impair de rang
».
Le calcul des cœfficients est un complément, il n'est donc pas exigible :
Calcul de la composante continue[3] : «
»[4].
Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier[1] étant admis, on prend la moyenne du membre de gauche «
»[4], laquelle est égale à
Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend la moyenne du membre de droite, c.-à-d. à la somme
infinie
des moyennes de chaque harmonique
Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend soit «
»[4] ;
Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, or « toutes les moyennes des harmoniques de rang non nul étant nulles »[5], il reste, à droite,
Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, or « toutes la moyenne de l'harmonique de rang zéro
c.-à-d. de la composante continue
[3] et
Calcul de la composante continue : Justification : le théorème de Fourier étant admis, comme cet harmonique est une constante, il reste «
» C.Q.F.D[6]..
Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang
non nul : «
»[4].
Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang
non nul : Justification : le théorème de Fourier[1] étant admis, « on multiplie les deux membres par
» et
Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang
non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend la moyenne du membre de gauche «
»[4], égale à
Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang
non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend la moyenne du membre de droite, c.-à-d.,
Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang
non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « après distribution du facteur multiplicatif, égale à la somme
infinie
Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang
non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend des moyennes du produit de chaque harmonique par le facteur multiplicatif[7]
Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang
non nul : Justification : «
»[4] ;
Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang
non nul : Justification : or toutes les moyennes étant nulles à l'exception de «
»[8],
Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang
non nul : Justification : il reste donc, à droite, «
» c.-à-d. «
» ou,
Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang
non nul : Justification : il reste donc, à droite, en linéarisant
,
Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang
non nul : Justification : il reste donc, à droite, la somme suivante «
» soit, « la 2nde moyenne étant nulle »[9],
Calcul du cœffient de l'harmonique pair de rang
non nul : Justification : il reste donc, à droite, la somme suivante «
» C.Q.F.D[6].,[10].
Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang
non nul : «
»[4].
Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang
non nul : Justification : le théorème de Fourier[1] étant admis, « on multiplie les deux membres par
» et
Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang
non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend la moyenne du membre de gauche «
»[4], égale à
Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang
non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend la moyenne du membre de droite, c.-à-d.,
Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang
non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « après distribution du facteur multiplicatif, égale à la somme
infinie
Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang
non nul : Justification : le théorème de Fourier étant admis, « on prend des moyennes du produit de chaque harmonique par le facteur multiplicatif[7]
Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang
non nul : Justification : «
»[4] ;
Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang
non nul : Justification : or toutes les moyennes étant nulles à l'exception de «
»[11],
Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang
non nul : Justification : il reste donc, à droite, «
» c.-à-d. «
» ou,
Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang
non nul : Justification : il reste donc, à droite, en linéarisant
,
Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang
non nul : Justification : il reste donc, à droite, la somme suivante «
» soit, « la 2nde moyenne étant nulle »[9],
Calcul du cœffient de l'harmonique impair de rang
non nul : Justification : il reste donc, à droite, la somme suivante «
» C.Q.F.D[6].,[12].
2ème développement en série de Fourier (admis)
«
» avec «
»,
«
étant l'éventuelle composante continue »[3],
«
l'harmonique de rang
».
Remarque
L'avantage de ce 2
ème développement en série de Fourier
[1] par rapport au 1
er est qu'il permet d'obtenir directement l'« amplitude de l'harmonique de rang

par

»
alors qu'avec le 1
er il serait nécessaire de « calculer

pour obtenir l'amplitude ».
Les deux développements en série de Fourier[1] précédemment introduits devant être identiques
on en déduit
«
»,
Les deux développements en série de Fourier précédemment introduits devant être identiques
on en déduit
«
» ;
le but recherché dans ce paragraphe est de « déterminer
et
connaissant
et
» :
Établissement du lien permettant d'obtenir
à partir de
: partant de la somme d'harmoniques pair et impair de rang
«
»,
Établissement du lien permettant d'obtenir
à partir de
: on divise
par
,
Établissement du lien permettant d'obtenir
à partir de
: puis on définit «
par
»[13], d'où la réécriture de
selon
Établissement du lien permettant d'obtenir
à partir de
: «
» soit finalement
Établissement du lien permettant d'obtenir
à partir de
: «
»
Établissement du lien permettant d'obtenir
à partir de
: «
» d'où «
»[14] et «
Établissement du lien permettant d'obtenir
à partir de
: «
» tel que
»[15].
3ème développement en série de Fourier (admis)
«
» avec
«
l'éventuelle composante continue »[3] et
«
l'harmonique de rang
»[16].
Ce 3ème développement en série de Fourier[1] est donné à titre de complément car ne sera pas utilisé par la suite
sauf avis contraire
;
Ce 3ème développement en série de Fourier il présente néanmoins quelques avantages dont le principal est de donner des formules symétriques pour calculer les cœfficients
[17] :
Calcul du cœfficient
: «
»[4].
Calcul du cœfficient
: Justification : le théorème de Fourier[1] étant admis, on multiplie le 3ème développement en série de Fourier[1] par «
» et
Calcul du cœfficient
: Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend la moyenne du membre de gauche «
»[4], égale à
Calcul du cœfficient
: Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend la moyenne du membre de droite, c.-à-d.
Calcul du cœfficient
: Justification : le théorème de Fourier étant admis, on prend la somme
infinie
des moyennes de
Calcul du cœfficient
: Justification : «
»[4] ;
Calcul du cœfficient
: Justification : or « les moyennes pour
fixé
sont nulles »
« moyenne
Calcul du cœfficient
: Justification : or « les moyennes pour
fixé
sont nulles »
« moyenne
»[18]
Calcul du cœfficient
: Justification : or « les moyennes pour
fixé
sont nulles » on en déduit «
»[19] C.Q.F.D[6]..
Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier[1] devant être identiques
«
»,
Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques
«
» ou,
Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques
« avec la formule d'Euler[20] relative au cosinus[21], «
Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques
«
» soit,
Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques
« par identification des cœfficients de
, «
» et
Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques
« par identification des cœfficients de
, «
» soit
Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques
« finalement, avec
, «
» et, avec
Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques
« finalement, avec
, «
»
«
»
Les 2nd et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques
« les cœfficients
et
étant conjugués l'un de l'autre, il suffit de calculer
pour
.
Autre façon[22] de déterminer les cœfficients du 3ème développement en série de Fourier[1] en utilisant la méthode de calcul de ceux du 1er développement c.-à-d.
Autre façon de déterminer les cœfficients du 3ème développement en série de Fourier en utilisant
«
»[4],[17],
Autre façon de déterminer les cœfficients du 3ème développement en série de Fourier en utilisant
«
»[4],[17] et
Autre façon de déterminer les cœfficients du 3ème développement en série de Fourier en utilisant
«
»[4],[17] ;
les 1er et 3ème développements en série de Fourier[1] devant être identiques
«
» ou,
les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques
« en utilisant dans le 1er développement les « formules d'Euler[20] »[21],
les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques
«
»[23] et
les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques
« en identifiant les cœfficients de
dans les deux développements
les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques
«
si
, «
»
«
»[4],
les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques
«
si
, «
[4]
les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques
«
si
, «
»[4] et
les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques
«
si
, «
[4]
les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques
«
si
, «
[4]
les 1er et 3ème développements en série de Fourier devant être identiques
«
si
, «
»[4],[24].
Considérant le 3ème développement en série de Fourier[1] de la fonction périodique
de fréquence
, «
» dans lequel
Considérant le 3ème développement en série de Fourier de la fonction périodique
de fréquence
, «
»
Considérant le 3ème développement en série de Fourier de la fonction périodique
de fréquence
, est appelé cœfficient de Fourier complexe[1] de
pour
, et
Considérant le 3ème développement en série de Fourier de la fonction périodique
de fréquence
, formant la série suivante «
»[25], Parseval[26] a eu l'intuition
Considérant le 3ème développement en série de Fourier de la fonction périodique
de fréquence
, de la « convergence de cette série
vers
».
Début d’un théorème
Énoncé du théorème de Parseval
La série « somme des carrés de modules des cœfficients de Fourier complexes de

correspondant à un harmonique de rang

»
La série «
![{\displaystyle \;{c'}_{n}(s)=\sum \limits _{p\;\in \;\mathbb {Z} }^{-n\,{\text{à}}\,+n}\left[\vert {\underline {C'}}_{p}\vert ^{2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/892891eedd128c358f3632536dadbc3902ee1297)
» avec «

»
[4],
La série «
» converge, quand

, vers «
![{\displaystyle \;\left\langle \left[s(t)\right]^{2}\right\rangle \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86c0526a75e921700e4afbd10625f37860bca054)
»
[4] soit mathématiquement,
[4] «
»[27].
Fin du théorème
Quelques éléments de démonstration de l'égalité de Parseval utilisant le 3ème développement en série de Fourier de la fonction T-périodique
[modifier | modifier le wikicode]
On utilise la définition du carré de la moyenne quadratique de la fonction
en utilisant son 3ème développement en série de Fourier[1] soit
«
» ; pour évaluer l'intégrale, on est amené à développer le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de carrés de type «
» et
pour évaluer l'intégrale, on est amené à développer le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de termes « rectangles
avec
mais
»
pour évaluer l'intégrale, on est amené à développer le carré de l'expression à intégrer donnant une somme de dont on évalue l'intégrale de chaque terme selon :
- les intégrales des 1ers termes c.-à-d. de «
»
«
»
«
» ou
les intégrales des 1ers termes c.-à-d. de «
»
«
»
«
»[28] et
- les intégrales des 2èmes termes c.-à-d. de «
avec
»
«
»
«
»[29] ou
les intégrales des 2èmes termes c.-à-d. de «
avec
»
«
»
«
les intégrales des 2èmes termes c.-à-d. de «
avec
»
«
»
«
»[30] ;
finalement «
» d'où, sous forme plus compacte
l'égalité de Parseval[26] «
».
Soit le 2ème développement en série de Fourier[1] de la fonction périodique
de fréquence
, «
» dans lequel
Soit le 2ème développement en série de Fourier de la fonction périodique
la composante continue[3] s'évalue par «
»[4] et
Soit le 2ème développement en série de Fourier de la fonction périodique
l'amplitude de l'harmonique de rang
par «
»[4],
souhaitant réécrire l'égalité de Parseval[26] en utilisant ce 2ème développement en série de Fourier[1], il suffit de « transformer
en fonction des nouveaux cœfficients
et
» soit «
»[31] ou encore «
».
Début d’un théorème
Autre égalité de Parseval
[4] «
»[32].
Fin du théorème
Soit le 1er développement en série de Fourier[1] de la fonction périodique
de fréquence
«
» dans lequel
Soit le 1er développement en série de Fourier de la fonction périodique
la composante continue[3] s'évalue par «
»[4],[33],
Soit le 1er développement en série de Fourier de la fonction périodique
l'amplitude de l'harmonique pair de rang
par «
»[4],[34] et
Soit le 1er développement en série de Fourier de la fonction périodique
l'amplitude de l'harmonique impair de rang
par «
»[4],[34],
souhaitant réécrire l'égalité de Parseval[26] en utilisant ce 1er développement en série de Fourier[1], il suffit de « transformer
en fonction des nouveaux cœfficients
,
et
» soit «
»[35] ou encore «
».
Début d’un théorème
Dernière égalité de Parseval
[4] «
»[36].
Fin du théorème
- ↑ 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 et 1,18 Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes
évoqués ici
et leur application au problème de la propagation de la chaleur
- ↑ Le substantif « harmonique » est « masculin ».
- ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 et 3,7 Au sens permanent.
- ↑ 4,00 4,01 4,02 4,03 4,04 4,05 4,06 4,07 4,08 4,09 4,10 4,11 4,12 4,13 4,14 4,15 4,16 4,17 4,18 4,19 4,20 4,21 4,22 4,23 4,24 4,25 4,26 4,27 4,28 4,29 et 4,30 «
» définit la valeur moyenne de la fonction
-périodique
, « valeur moyenne notée
».
- ↑ Un harmonique de rang
de fréquence
étant de période
et admettant comme primitive un harmonique de même rang
à une constante additive près
mais de parité différente
à un facteur multiplicatif près
, la prise de cette primitive sur
donne effectivement zéro, la primitive étant
-périodique.
- ↑ 6,0 6,1 6,2 et 6,3 Ce Qu'il Fallait Démontrer.
- ↑ 7,0 et 7,1 Ne pas confondre la variable fixée
du facteur multiplicatif avec la variable muette de l'harmonique, rebaptisée
.
- ↑ En effet, si
, on linéarise
et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence
et
c.-à-d. de période
et
donnant chacune une valeur moyenne nulle sur
;
si
, on linéarise
et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence
et
c.-à-d. de période
et
donnant chacune une valeur moyenne nulle sur
;
si
, on linéarise
et on obtient une fonction sinusoïdale de fréquence
c.-à-d. de période
donnant une valeur moyenne nulle sur
.
- ↑ 9,0 et 9,1 En effet on prend la moyenne sur
d'une fonction sinusoïdale de fréquence
donc de période
.
- ↑ Dans la mesure où «
est équivalent à
».
- ↑ En effet, si
, on linéarise
et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence
et
c.-à-d. de période
et
donnant chacune une valeur moyenne nulle sur
;
si
, on linéarise
et on obtient une fonction sinusoïdale de fréquence
c.-à-d. de période
donnant une valeur moyenne nulle sur
;
si
, on linéarise
et on obtient la somme de deux fonctions sinusoïdales respectivement de fréquence
et
c.-à-d. de période
et
donnant chacune une valeur moyenne nulle sur
.
- ↑ Dans la mesure où «
est équivalent à
».
- ↑ Ceci est possible car
il existe un angle tel que
et
sont respectivement cosinus et sinus de cet angle ; d'autre part le but étant d'utiliser
on introduit le signe «
» dans
.
- ↑
étant
représente directement l'amplitude de l'harmonique de rang
.
- ↑ Si
et si
, dans ces deux cas on peut écrire
on verra dans le paragraphe sur la « fonction arctangente » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » qu'un angle ne peut se mettre sous la forme d'un
que s'il est strictement compris entre
et
;
si
et on peut écrire
;
si
et on peut écrire
.
- ↑ Cet harmonique formé à partir de fonctions complexes du temps est au final une fonction réelle du temps
- ↑ 17,0 17,1 17,2 et 17,3 Il est toutefois rappelé que le calcul des cœfficients est donné à titre de complément car non exigible cette année.
- ↑ La fonction à prendre entre
et
étant
-périodique
- ↑ La moyenne d'une constante étant la constante elle-même.
- ↑ 20,0 et 20,1 Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le [[w:Calcul_infinitésimal|calcul infinitésimal}} et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.
- ↑ 21,0 et 21,1 La formule d'Euler étant
on en tire les formules d'Euler relatives au cosinus ou au sinus respectivement
et
.
- ↑ Moins immédiate.
- ↑ En effet «
En effet «
».
- ↑ Cette dernière expression sachant que «
».
- ↑ C.-à-d. la somme de tous les carrés de modules des cœfficients de Fourier complexes de
correspondant à un harmonique de rang
.
- ↑ 26,0 26,1 26,2 et 26,3 Marc-Antoine Parseval des Chênes (1755 – 1836) mathématicien français à qui on doit essentiellement le « théorème de Parseval
ou égalité de Parseval
» dont il eut l'intuition sans le démontrer
il estimait que c'était une évidence
.
- ↑ On pourrait considérer que cette égalité de Parseval traduit un développement en série de la moyenne quadratique de la fonction périodique
c.-à-d. la moyenne du carré de la fonction
utilisant le carré des modules des cœfficients de Fourier complexes de
.
- ↑ La fonction
étant
-périodique, elle prend les mêmes valeurs pour
et
.
- ↑ On rappelle que
se calculant par
voir le paragraphe « 3ème développement en série de Fourier » plus haut dans ce chapitre et
étant une fonction réelle, le conjugué de
c.-à-d.
d'où
.
- ↑ La fonction
étant
-périodique, elle prend les mêmes valeurs pour
et
.
- ↑ On rappelle que
et
étant conjugués ont même module.
- ↑ On pourrait considérer que cette égalité de Parseval traduit un nouveau développement en série de la moyenne quadratique de la fonction périodique
utilisant le carré de la composante continue et les demi-carrés des amplitudes des harmoniques de
.
- ↑ On a en effet établi que
, voir le paragraphe « passage du 1er au 3ème développement en série de Fourier » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ 34,0 et 34,1 On a en effet établi que
et
voir le paragraphe « passage du 1er au 3ème développement en série de Fourier » plus haut dans ce chapitre
d'où les expressions de
et
en fonction des cœfficients de Fourier complexes de
.
- ↑ En effet
et
d'où
.
- ↑ On pourrait considérer que cette égalité de Parseval traduit un nouveau développement en série de la moyenne quadratique de la fonction périodique
utilisant le carré de la composante continue et les demi-carrés des amplitudes des harmoniques pairs et impairs de
.