Leçons de niveau 14

Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Onde progressive dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive

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Propagation d'un signal : Onde progressive dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive
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Chapitre no 3
Leçon : Signaux physiques (PCSI)
Chap. préc. :Propagation d'un signal : Exemples de signaux, spectre
Chap. suiv. :Propagation d'un signal : Onde progressive sinusoïdale
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Signaux physiques (PCSI)/Propagation d'un signal : Onde progressive dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive
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Propagation unidimensionnelle linéaire, célérité de propagation[modifier | modifier le wikicode]

Propagation unidimensionnelle[modifier | modifier le wikicode]

......On s'intéresse aux « ondes unidimensionnelles » c.-à-d. une onde qui ne dépend que d'une seule coordonnée spatiale le long d'un axe , on dit alors que la propagation est unidimensionnelle ; il peut s'agir :

  • d'une onde dans un milieu à une dimension onde électrique dans un câble, onde mécanique sur une corde ou
  • d'un type particulier d'onde « l'onde plane dans un milieu à deux ou trois dimensions » ; une onde plane progressive correspond à la propagation d'un signal dans une direction privilégiée de l'espace, direction notée sur une cuve à ondes avec des vibrations créé par un vibreur plan, électromagnétique créée par une source plane, onde progressive quasi plane dans le cas où la source est éloignée dans le domaine acoustique ou optique

Propagation unidimensionnelle linéaire[modifier | modifier le wikicode]

......La propagation unidimensionnelle est « linéaire » :

  • si le signal qui se propage « garde la même forme que le signal émis (encore appelé signal source) » [1], ou
  • si, le signal émis étant sinusoïdal de fréquence , le signal qui se propage est sinusoïdal de même fréquence [2] ou encore
  • si le signal émis étant périodique de fréquence , le signal qui se propage est périodique de même fréquence « sans enrichissement du spectre » (cela signifiant que les harmoniques du signal qui se propage sont nécessairement présents avec une amplitude et une phase pouvant être différentes dans le signal source).

Célérité de propagation[modifier | modifier le wikicode]

......La célérité de propagation unidimensionnelle linéaire, notée , est un cas particulier de la définition générale donnée au chapitre précédent c'est donc « la distance de propagation par unité de temps » [3] ;

...... reste constante quel que soit le point atteint par le signal qui se propage, c'est le caractère homogène de la propagation ;

...... ne dépend pas de l'amplitude du signal émis[4], plus précisément « dans le cas d'un signal émis sinusoïdal, la célérité de propagation est indépendante de l'amplitude du signal » [5].

Cas particulier d'une propagation non dispersive[modifier | modifier le wikicode]

......La propagation unidimensionnelle linéaire est dite « non dispersive » si, dans le cas d'un signal émis périodique de fréquence , la célérité de propagation est indépendante de la fréquence du signal qui se propage (en particulier, lorsque le signal émis est périodique mais non sinusoïdal, chaque harmonique se propageant à la même célérité, le signal qui se propage correspondra à la même superposition des harmoniques que le signal émis et sera donc de même forme [6]) ;

......si le milieu est « non absorbant » et « non dispersif », la célérité est indépendante de la forme de la perturbation [7].

Forme générale de la grandeur vibrante associée à une onde progressive dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive, distance parcourue pendant une durée finie[modifier | modifier le wikicode]

Propagation dans le sens des abscisses croissantes[modifier | modifier le wikicode]

Perturbation transversale se propageant sans atténuation ni déformation dans le sens positif de (Ox) à deux instants différents

......On considère une onde progressive à « propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive (et non absorbante) » [8] suivant la direction dans le sens des  ; la vibration étant générée en d'abscisse , on observe le milieu aux deux instants successifs et , instants séparés de la durée , on vérifie alors que l'onde s'est propagée sans atténuation [9] ni déformation [10] d'une distance qui est la distance parcourue pendant la durée finie  ;

......notant [11] la grandeur vibrante associée à l'onde se propageant,

............à l'instant sa valeur pour tout point d'abscisse du milieu étant ,

............à l'instant elle est notée et doit être telle qu'elle s'identifie à la valeur du signal observé à l'instant décalé de dans le sens des , soit

ou encore  ;

......on peut se convaincre aisément que la dernière formule reste valable pour , la distance parcourue pendant cette durée étant .



......Si on considère maintenant c.-à-d. l'instant initial et c.-à-d. un instant quelconque, la valeur de la grandeur vibrante initiale au point d'abscisse [13] s'écrivant , on obtient, en faisant le changement de variable , c.-à-d. que la valeur de la grandeur vibrante au point d'abscisse et à l'instant est une fonction de la variable s'écrivant [14] ; pour simplifier l'écriture nous noterons cette fonction .


Propagation dans le sens des abscisses décroissantes[modifier | modifier le wikicode]

......On s'intéresse toujours à une onde progressive selon la direction de l'axe mais maintenant dans le sens des , la distance parcourue pendant la durée finie est alors négative correspondant à  ; reprenant le raisonnement précédent, on aboutit donc à et, notant l'instant initial et un instant quelconque, la valeur de la grandeur vibrante au point d'abscisse s'écrivant on obtient, en faisant le changement de variable , la relation c.-à-d. que la valeur de la grandeur vibrante au point d'abscisse et à l'instant est une fonction de la variable s'écrivant [16] ; pour simplifier l'écriture nous noterons cette fonction .



Forme générale de la grandeur vibrante associée à une onde progressive dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive, retard temporel sur une distance finie[modifier | modifier le wikicode]

Propagation dans le sens des abscisses croissantes[modifier | modifier le wikicode]

Perturbation transversale se propageant sans atténuation ni déformation dans le sens positif de (Ox) en deux abscisses différentes

......On considère la même onde progressive à « propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive » (et non absorbante) suivant la direction dans le sens des  ; la vibration étant générée en d'abscisse , on l'observe en deux positions successives d'abscisses et , séparées de la distance , on vérifie que les valeurs du signal observées au point d'abscisse sont observées sans modification au point d'abscisse avec un retard  appelé retard temporel sur la distance  ;

......notant [11] la grandeur vibrante associée à l'onde se propageant,

............au point du milieu d'abscisse sa valeur à tout instant étant ,

............au point d'abscisse elle est notée et doit être telle qu'elle s'identifie à la valeur du signal observé au point d'abscisse décalé de dans le sens croissant des temps [18], soit

ou  ;

......on peut se convaincre aisément que la dernière formule reste valable pour , le retard temporel sur cette distance algébrique étant ceci correspondant en fait à une avance temporelle de .



......Si on considère maintenant c.-à-d. la source du signal et c.-à-d. un point d'abscisse quelconque, la valeur de la grandeur vibrante de la source à l'instant [20] s'écrivant , on obtient, en faisant le changement de variable équivalent à , c.-à-d. que la valeur de la grandeur vibrante au point d'abscisse et à l'instant est une fonction de la variable s'écrivant [14] ; pour simplifier l'écriture nous noterons cette fonction .


Propagation dans le sens des abscisses décroissantes[modifier | modifier le wikicode]

......On s'intéresse toujours à une onde progressive selon la direction de l'axe mais maintenant dans le sens des , le retard temporel sur la distance finie est alors négatif correspondant à  ; reprenant le raisonnement précédent, on aboutit donc à et, notant la position de la source et  une position quelconque, la valeur de la grandeur vibrante à l'instant s'écrivant on obtient, en faisant le changement de variable , la relation c.-à-d. que la valeur de la grandeur vibrante au point d'abscisse et à l'instant est une fonction de la variable s'écrivant [16] ; pour simplifier l'écriture nous noterons cette fonction .


Prévision de l'évolution temporelle à position fixée[modifier | modifier le wikicode]

Propagation dans le sens des abscisses croissantes[modifier | modifier le wikicode]

Lien entre la forme initiale du milieu et l'évolution temporelle du signal en O dans le cas d'une propagation dans le sens +

......Nous savons d'après les deux paragraphes précédents qu'une onde unidimensionnelle se propageant linéairement de façon non dispersive (et non absorbante) dans le sens de s'écrit

[23] ;

......si on connaît la forme du milieu unidimensionnel à , c.-à-d. si on connaît la fonction , on peut en déduire l'évolution temporelle du signal source en , c.-à-d. la fonction  en faisant dans la relation rappelée ci-dessus selon  voir ci-contre [24] :

......pratiquement l'évolution temporelle du signal source en , c.-à-d. le graphe de , s'obtient à partir de la forme du milieu unidimensionnel à , c.-à-d. le graphe de , en faisant coïncider les origines, en faisant un changement d'échelle de l'axe des abscisses pour lui donner la même homogénéité que l'axe des temps c.-à-d. en divisant par soit la nouvelle fonction ainsi obtenue, le graphe de étant alors le symétrique par rapport à l'origine commune du graphe de  ;

Lien entre la forme du milieu à l'instant t et l'évolution temporelle du signal en un point d'abscisse x dans le cas d'une propagation dans le sens +

......bien entendu si on connaît la forme du milieu unidimensionnel en un autre instant , on peut en déduire l'évolution temporelle du milieu en une autre position d'abscisse (voir ci-contre) :

......mais le plus simple est néanmoins d'utiliser la forme initiale du milieu ainsi que l'évolution temporelle du signal en présenté ci-dessus, par exemple :

............pour obtenir à partir de on décale le graphe le long de de vers la droite et

............pour obtenir à partir de on décale le graphe le long de l'axe des temps de vers la droite.

Propagation dans le sens des abscisses décroissantes[modifier | modifier le wikicode]

Lien entre la forme initiale du milieu et l'évolution temporelle du signal en O dans le cas d'une propagation dans le sens -

......Une onde unidimensionnelle se propageant linéairement de façon non dispersive (et non absorbante) dans le sens de s'écrit

[25] ;

......si on connaît la forme du milieu unidimensionnel à , c.-à-d. si on connaît la fonction , on peut en déduire l'évolution temporelle du signal source en , c.-à-d. la fonction  en faisant dans la relation rappelée ci-dessus selon  voir ci-contre [24] :

......pratiquement l'évolution temporelle du signal source en , c.-à-d. le graphe de , s'obtient à partir de la forme du milieu unidimensionnel à , c.-à-d. le graphe de , en faisant coïncider les origines, en faisant un changement d'échelle de l'axe des abscisses pour lui donner la même homogénéité que l'axe des temps c.-à-d. en divisant par soit la nouvelle fonction ainsi obtenue le graphe de étant identique à celui de  ;

Lien entre la forme du milieu à l'instant t et l'évolution temporelle du signal en un point d'abscisse x dans le cas d'une propagation dans le sens -

......bien entendu si on connaît la forme du milieu unidimensionnel en un autre instant , on peut en déduire l'évolution temporelle du milieu en une autre position d'abscisse (voir ci-contre) :

......mais le plus simple est néanmoins d'utiliser la forme initiale du milieu ainsi que l'évolution temporelle du signal en présenté ci-dessus, par exemple :

............pour obtenir à partir de on décale le graphe le long de de vers la gauche (on entre alors dans le domaine des abscisses négatives) et

............pour obtenir à partir de on décale le graphe le long de l'axe des temps de vers la droite (on entre effectivement dans le domaine des instants positifs, étant .

Prévision de la forme à différents instants[modifier | modifier le wikicode]

Propagation dans le sens des abscisses croissantes[modifier | modifier le wikicode]

Lien entre l'évolution temporelle du signal en O et la forme initiale du milieu dans le cas d'une propagation dans le sens +

......Une onde unidimensionnelle se propageant linéairement de façon non dispersive (et non absorbante) dans le sens de s'écrit

 ;

......si on connaît l'évolution temporelle du signal source en , c.-à-d. la fonction , on peut en déduire la forme du milieu unidimensionnel à , c.-à-d. la fonction , en faisant dans la relation rappelée ci-dessus selon  voir ci-contre [24] :

......pratiquement la forme du milieu unidimensionnel à , c.-à-d. le graphe de , s'obtient à partir de l'évolution temporelle du signal source en , c.-à-d. le graphe de , en faisant coïncider les origines, en faisant un changement d'échelle de l'axe des temps pour lui donner la même homogénéité que l'axe des abscisses c.-à-d. en multipliant par soit la nouvelle fonction ainsi obtenue, le graphe de étant étant identique à celui de  ;

Lien entre l'évolution temporelle du signal en un point d'abscisse x et la forme du milieu à l'instant t dans le cas d'une propagation dans le sens +

......bien entendu si on connaît l'évolution temporelle du milieu en une autre position d'abscisse , on peut en déduire la forme du milieu unidimensionnel en un autre instant (voir ci-contre) :

......mais le plus simple est néanmoins d'utiliser l'évolution temporelle du signal en ainsi que la forme initiale du milieu présenté ci-dessus, par exemple :

............pour obtenir à partir de on décale le graphe le long de l'axe des temps de vers la droite et

............pour obtenir à partir de on décale le graphe le long de de vers la droite.

Propagation dans le sens des abscisses décroissantes[modifier | modifier le wikicode]

Lien entre l'évolution temporelle du signal en O et la forme initiale du milieu dans le cas d'une propagation dans le sens -

......Une onde unidimensionnelle se propageant linéairement de façon non dispersive (et non absorbante) dans le sens de s'écrit

 ;

......si on connaît l'évolution temporelle du signal source en , c.-à-d. la fonction , on peut en déduire la forme du milieu unidimensionnel à , c.-à-d. la fonction , en faisant dans la relation rappelée ci-dessus selon  voir ci-contre [24] :

......pratiquement la forme du milieu unidimensionnel à , c.-à-d. le graphe de , s'obtient à partir de l'évolution temporelle du signal source en , c.-à-d. le graphe de en faisant coïncider les origines, en faisant un changement d'échelle de l'axe des temps pour lui donner la même homogénéité que l'axe des abscisses c.-à-d. en multipliant par soit la nouvelle fonction ainsi obtenue le graphe de étant alors le symétrique par rapport à l'origine commune du graphe de  ;

Lien entre l'évolution temporelle du signal en un point d'abscisse x et la forme du milieu à l'instant t dans le cas d'une propagation dans le sens -

......bien entendu si on connaît l'évolution temporelle du milieu en une autre position d'abscisse , on peut en déduire la forme du milieu unidimensionnel en un autre instant (voir ci-contre) :

......mais le plus simple est néanmoins d'utiliser l'évolution temporelle du signal en ainsi que la forme initiale du milieu présenté ci-dessus, par exemple :

............pour obtenir à partir de on décale le graphe le long de l'axe des temps de vers la droite et

............pour obtenir à partir de on décale le graphe le long de de vers la gauche.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. De même forme mais pas nécessairement de même amplitude (il peut y avoir amortissement avec la distance parcourue depuis la source).
  2. Usuellement la fréquence est notée , ici elle sera notée car aura une autre signification.
  3. Dans le cas d'une propagation unidimensionnelle linéaire dans un milieu à deux ou trois dimensions correspondant à une , la célérité peut dépendre de la direction (quand elle n'en dépend pas on parle de propagation « isotrope »).
  4. À condition toutefois que l'amplitude reste faible par rapport aux longueurs caractéristiques du milieu de propagation.
  5. Mais elle peut éventuellement dépendre de la fréquence (quand elle en dépend on parle de propagation « dispersive » et le milieu est aussi qualifié de « dispersif »).
  6. Ceci étant assuré dans le cas où il n'y a pas atténuation de l'amplitude des harmoniques avec la distance parcourue depuis la source ;
    dans le cas d'une atténuation de l'amplitude des harmoniques avec la distance parcourue depuis la source, l'atténuation peut dépendre de la fréquence (le milieu étant alors absorbant avec un coefficient d'absorption dépendant de la fréquence), ce qui fait que le signal qui se propage peut être déformé relativement au signal émis (chaque harmonique du signal qui se propage, de fréquence évidemment différente, n'ayant pas la même atténuation) ;
    par contre tant que la propagation est non dispersive, on n'observera pas une déformation qui serait due au fait que certains harmoniques se propageraient plus rapidement que certains autres, ceci ne pouvant se produire que dans le cas d'une propagation dispersive.
  7. Toutefois on rappelle que la célérité de propagation dépend du caractère transversal ou longitudinal du signal transmis pour une propagation unidimensionnelle linéaire non dispersive.
  8. Le qualificatif « non absorbant » doit être ajouté dans le cas où le milieu de propagation n'est pas le vide (le vide étant évidemment « non absorbant » il devient alors inutile de le préciser d'où les parenthèses), ce qui a pour conséquence que le signal qui se propage n'est pas déformé relativement au signal émis.
  9. Le milieu étant non absorbant.
  10. Le milieu étant non dispersif.
  11. 11,0 et 11,1 est fonction des deux variables indépendantes  et .
  12. Il faut savoir traduire en français cette relation : le signal observé au point d'abscisse à l'instant se retrouve intégralement plus tard, au point d'abscisse plus loin (plus tard et plus loin étant défini au sens algébrique).
  13. On note au lieu de pour obtenir au final après le changement de variable qui suit.
  14. 14,0 et 14,1 Cette relation nécessitant que la propagation se fasse dans le sens des .
  15. On trouve encore la notation pour une fonction quelconque de l'espace correspondant à un signal se propageant dans le sens des
  16. 16,0 et 16,1 Cette relation nécessitant que la propagation se fasse dans le sens des .
  17. On trouve encore la notation pour une fonction quelconque de l'espace correspondant à un signal se propageant dans le sens des
  18. Ceci nécessitant que la propagation se fasse dans le sens des .
  19. Il faut savoir traduire en français cette relation : le signal observé au point d'abscisse à l'instant se retrouve intégralement au point d'abscisse plus loin, plus tard (plus tard et plus loin étant défini au sens algébrique).
  20. On note au lieu de pour obtenir au final après le changement de variable qui suit.
  21. On trouve encore la notation pour une fonction quelconque du temps correspondant à un signal se propageant dans le sens des .
  22. On trouve encore la notation pour une fonction quelconque du temps correspondant à un signal se propageant dans le sens des .
  23. Comme il a déjà été dit dans les notes et , on remplace forme initiale du milieu par et signal initial créé à la source par .
  24. 24,0, 24,1, 24,2 et 24,3 Sur le schéma, le point (jusqu'à présent appelé « source ») n'est pas une extrémité du milieu unidimensionnel mais un point qu'on a particularisé, ce n'est d'ailleurs pas non plus nécessairement l'endroit où on crée la perturbation.
  25. Comme il a déjà été dit dans les notes et , on remplace forme initiale du milieu par et signal initial créé à la source par .