En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Transformées bilatérales de Laplace directes et inverses, cas particulier des transformées de Fourier Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Transformées bilatérales de Laplace directes et inverses, cas particulier des transformées de Fourier », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
La transformée bilatérale de Laplace[1] de fonction « non causale »[3], La transformée bilatérale de Laplace de fonction continue par morceaux sur toute réunion d'intervalles [4],[5],[6], La transformée bilatérale de Laplace de fonction intégrable au [8] ainsi que « d'ordres exponentiels »[9] La transformée bilatérale de Laplace de est la fonction de la variable complexe [10] définie par
Exemple[16] : Soit la fonction réelle « non causale »[3] de la variable réelle définie sur telle que « où est la fonction de Heaviside[17] Exemple : Soit la fonction réelle « non causale » de la variable réelle définie sur telle que « où est la ou échelon unité», Exemple : Soit la fonction réelle « non causale » la transformée bilatérale de Laplace[1] de la fonction vaut « pour »[18] en effet Exemple : Soit la fonction réelle « non causale » «[11] si ».
Rappel de la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction « causale » f(t) (sous condition d'existence)
« la fonction est “ d'ordre exponentiel ” avec », « tels que et »[22].
Définition de la transformée (monolatérale) d'une fonction « causale » f(t) (sous condition d'existence)
La transformée monolatérale de Laplace[1] de la fonction « causale »[20],[23], La transformée monolatérlae de Laplace de la fonction continue par morceaux sur tout intervalle [4], La transformée monolatérlae de Laplace de la fonction intégrable au [24] et La transformée monolatérlae de Laplace de la fonction « d'ordre exponentiel »[25] La transformée monolatérlae de Laplace de la fonction est la fonction de la variable complexe [10] définie par
«»[11] définie pour « tel que », étant appelée l'« abscisse de convergence » ; on dit encore que est l'« image de » par transformation de Laplace[1].
Remarques : On prolonge la définition de la transformée monolatérale de Laplace[1] d'une fonction à support positif[26] à celles Remarques : On prolonge la définition de la transformée monolatérale de Laplace d'une fonction à support positif étendu à gauche de c.-à-d. de support où est un voisinage ouvert à gauche de , borné inférieurement, et tel que la restriction de la fonction au complémentaire de dans ce voisinage est une fonction indéfiniment dérivable[27] et Remarques : On prolonge la définition de la transformée monolatérale de Laplace d'une distributionsous condition que l'intégrale de définition[13] de sa transformée de Laplace[1] converge[28].
Écriture de la transformée monolatérale de Laplace de la fonction « causale » f(t) (sous condition d'existence) en transformée bilatérale de Laplace
Quelques éléments sur la transformation (bilatérale) inverse de Laplace (sous condition d'existence) d'une fonction complexe holomorphe d'une variable complexe
Comme nous n'utilisons pas, par la suite, la transformation bilatérale de Laplace[1], nous nous contentons de quelques éléments sur sa transformation inverse.
Définition
La transformée bilatérale inverse de Laplace[1] de la fonction complexe de la variable complexe La transformée bilatérale inverse de Laplace de la fonction complexe holomorphe[31] sur son domaine de définition La transformée bilatérale inverse de Laplace est la fonction réelle de la variable réelle , La transformée bilatérale inverse de Laplace est la fonction réelle continue par morceaux sur toute réunion d'intervalles La transformée bilatérale inverse de Laplace est la fonction réelle continue par morceaux sur [32] telle que
Remarques : La transformation bilatérale inverse de Laplace[1] est une application linéaire et Remarques : pour un intervalle fixé de définition de , la transformée bilatérale inverse est uniqueadmis ; Remarques : pour un intervalle fixé il est donc essentiel de préciser le domaine sur lequel on cherche l'originale de la fonction car, Remarques : pour un intervalle fixé il est donc essentiel de préciser le domaine suivant l'intervalle de convergence, la fonction originale diffère, exemple : Remarques : pour un intervalle fixé il est donc essentiel de préciser le domaine « pour , la fonction admet pour originale »[34], Remarques : pour un intervalle fixé il est donc essentiel de préciser le domaine on note dans ce cas que la transformée bilatérale inverse de Laplace[1] s'identifie à Remarques : pour un intervalle fixé il est donc essentiel de préciser le domaine on note dans ce cas que la transformée monolatérale inverse de Laplace[1] soit Remarques : pour un intervalle fixé il est donc essentiel de préciser le domaine on note dans ce cas que «», Remarques : pour un intervalle fixé il est donc essentiel de préciser le domaine « pour , la fonction admet pour originale »[35], Remarques : pour un intervalle fixé il est donc essentiel de préciser le domaine on note dans ce cas que la transformée bilatérale inverse de Laplace[1] définie en est Remarques : pour un intervalle fixé il est donc essentiel de préciser le domaine on note dans ce cas que l'opposée de la transformée monolatérale inverse de Laplace[1] définie en soit Remarques : pour un intervalle fixé il est donc essentiel de préciser le domaine on note dans ce cas que «».
Remarques : Il y a d'autres propriétés de la transformée bilatérale inverse de Laplace[1] comme par exemple sa méthode analytique de détermination, mais nous n'en dirons rien car Remarques : Il y a d'autres propriétés de la transformée bilatérale inverse de Laplace comme par exemple sa méthode analytique de détermination, dépassant très largement le cadre de cet exposé
Quelques notions sur la transformation de Fourier, cas particulier de la transformation bilatérale de Laplace, lien avec le développement en série de Fourier de fonctions réelles périodiques
Transformée de Fourier d'une fonction réelle d'une variable réelle intégrable
Soit « une fonction réelle de la variable réelle intégrable sur »[36], nous appelons « transformée de Fourier[37] de la fonction » « la fonction complexe de la variable réelle » définie selon
Remarque 1 : Pour les électroniciens « la variable représente le temps » et « la variable la pulsation usuellement remplacée par la variable représentant la fréquence »[38] d'où Remarque 1 : Pour les électroniciens la réécriture de l'expression de la « transformée de Fourier[37] en fonction de »[39]
Remarque 1 : Pour les électroniciens dans le but d'obtenir une symétrisation entre la transformée de Fourier[37] exprimée en fonction de la pulsation et Remarque 1 : Pour les électroniciens dans le but d'obtenir une symétrisation entre sa transformée de Fourier inverse[37] exprimée en fonction de la pulsation , Remarque 1 : Pour les électroniciens dans le but d'obtenir une symétrisation certains électroniciens normalisent selon «»[11],[40].
Remarque 2 : La définition de la transformée de Fourier[37] des fonctions intégrables au sens de Riemann[41] a été d'abord été étendue Remarque 2 : La définition de la transformée de Fourier aux fonctions intégrables au sens de Lebesgue[42]pour qu'une fonction réelle soit Lebesgue-intégrable sur l'intervalle Remarque 2 : La définition de la transformée de Fourier aux fonctions intégrables au sens de Lebesgue il suffit qu'elle soit bornée sur cet intervalle[43] et en particulier Remarque 2 : La définition de la transformée de Fourier aux fonctions de carré sommable dont l'intérêt s'est manifesté en physique quantique, extension due à Plancherel[44] puis Remarque 2 : La définition de la transformée de Fourier aux distributions tempérées[45], théorie de la distribution due à Schwartz[46].
« Une fonction réelle de la variable réelle qui admet une transformation de Fourier »[37] « Une fonction réelle de la variable réelle « étant intégrable sur [36] l'est aussi au »[24] en étant « d'ordres exponentiels »[49] et par conséquent « cette fonction admet une transformée bilatérale de Laplace[1] avec un intervalle de convergence se réduisant au singleton » soit
«[11] pour » « peut être réécrit sous la forme » ;
Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier[37] «» de la fonction et Remarque 2 : on peut trouver un lien entre les transformées monolatérales de Laplace[1] de fonctions construites à partir de en décomposant la transformée de Fourier[37] en deux intégrales selon Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier «»[11], Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier la 2ème intégrale «»[11] étant la transformée monolatérale de Laplace[1] de Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier la 2ème intégrale «» étant la « fonction à support positif » soit Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier la 2ème intégrale «» «[11] pour », Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier la 1ère intégrale «»[11] se réécrivant, avec , selon «»[11] Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier la 1ère intégrale étant la conjuguée de la transformée monolatérale de Laplace[1][50] de Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier la 1ère intégrale étant la conjuguée de la « fonction à support positif » soit Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier la 1ère intégrale «[11],[50],[51] pour » d'où Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier la réécriture de la transformée de Fourier[37] «» de la fonction selon Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier la réécriture de la transformée de Fourier « pour »[50] Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier la réécriture de la transformée de Fourier avec «» et «», Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier la réécriture de la transformée de Fourier ou «» Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier la réécriture de la transformée de Fourier avec «» et «».
Remarque 3 : « Si la fonction réelle de la variable réelle admet une transformée de Fourier[37]», Remarque 3 : « Si la fonction réelle de la variable réelle admet « cette dernière est un cas particulier de transformée bilatérale de Laplace[1] de cette même fonction » Remarque 3 : « Si la fonction réelle de la variable réelle admet mais la réciproque est, a priori, fausse en effet Remarque 3 : « une fonction réelle de la variable réelle admettant une transformée bilatérale de Laplace[1] avec un intervalle de convergence » Remarque 3 : « une fonction réelle de la variable réelle n'admet pas de transformée de Fourier[37] car [11] diverge pour Remarque 3 : « une fonction réelle de la variable réelle n'admet pas de transformée de Fourier car [11] diverge également.
Préliminaire : Une fonction réelle de la variable réelle intégrable sur admet pour « transformée de Fourier[37] une fonction complexe de la variable réelle , à symétrie hermitienne Préliminaire : Une fonction réelle de la variable réelle intégrable sur admet pour « transformée de Fourier une fonction complexe de la variable réelle , au sens des électroniciens»[52], Préliminaire : Une fonction réelle de la variable réelle intégrable sur admet pour « transformée de Fourier une fonction complexe «»[11], en effet Préliminaire : «»[11] se réécrit, en posant , «»[11] Préliminaire : «» se réécrit, en posant , dont le conjugué est «[50]»[11] lequel se réécrit, Préliminaire : «» se réécrit, en revenant à , «[50]» Préliminaire : la transformée de Fourier[37] d'une fonction réelle est effectivement à symétrie hermitienneau sens des électroniciens[52].
Définition de la transformée de Fourier inverse (sous condition d'existence) d'une fonction complexe à symétrie hermitienne (au sens des électroniciens) d'une variable réelle
Transformée de Fourier inverse d'une fonction complexe holomorphe à symétrie hermitienne (au sens des électroniciens) d'une variable réelle
La « transformée de Fourier inverse[37] de la fonction complexe de la variable réelle , La « transformée de Fourier inverse de la fonction complexe à symétrie hermitienne au sens des électroniciens[52], La « transformée de Fourier inverse de la fonction complexe holomorphe sur son domaine de définition » La « transformée de Fourier inverse est, sous condition d'existence, la « fonction réelle de la variable réelle , La « transformée de Fourier inverse est, sous condition d'existence, la « fonction réelle intégrable sur » telle que
Remarque : La définition de la transformée de Fourier inverse[37] d'une fonction complexe d'une variable réelle à symétrie hermitienne au sens des électroniciens[52] Remarque : La définition de la transformée de Fourier inverse d'une fonction complexe d'une variable réelle holomorphe sur le domaine de définition de la fonction complexe, Remarque : La définition de la transformée de Fourier inverse correspondant initialement à une fonction réelle intégrable sur [54] est prolongée en tant que Remarque : La définition de la transformée de Fourier inverse correspondant initialement à une distribution tempérée[45]sous réserve d'existence bien sûr.
Expression de la transformée de Fourier inverse d'une fonction complexe à symétrie hermitienne (au sens des électroniciens) d'une variable réelle sous conditions d'existence et d'intégrabilité
« Si la fonction complexe de la variable réelle à symétrie hermitienne au sens des électroniciens[52] et holomorphe sur son domaine de définition » « Si la fonction complexe de la variable réelle est « la transformée de Fourier[37] d'une fonction réelle de la variable intégrable sur » et « si est elle-même une fonction intégrable », on admet la formule de « transformation de Fourier inverse[37]» appliquée à « si est elle-même une fonction intégrable », on admet la formule permettant sous conditions appropriées de retrouver l'originale à partir de :
Remarque 1 : Pour les électroniciens « la variable représente le temps » et « la variable la pulsation qu'ils préfèrent usuellement remplacer par la fréquence »[38] d'où Remarque 1 : Pour les électroniciens la réécriture de l'expression de la « transformée de Fourier inverse[37] en fonction de »[55] Remarque 1 : Pour les électroniciens «»[56],[11] «»[11], Remarque 1 : Pour les électroniciens l'utilisation de la variable ayant pour conséquence une symétrisation entre transformées de Fourier directe[37]inverse ; Remarque 1 : pour obtenir une symétrisation entre transformées de Fourier directe[37] et inverse en utilisant la variable , Remarque 1 : pour obtenir une symétrisation certains électroniciens normalisent la 1ère en introduisant un facteur , soit «»[11],[40], Remarque 1 : pour obtenir une symétrisation on retrouve alors ce même facteur dans l'expression de la transformée de Fourier inverse[37] «»[11]
Remarque 2 : La notion de fréquence n'ayant pas de signification physique alors que la transformée de Fourier[37] d'une fonction ou distribution réelle de la variable réelle Remarque 2 : La notion de fréquence n'ayant pas de signification physique alors que la transformée de Fourier est définie pour toute valeur de selon Remarque 2 : La notion de fréquence n'ayant pas de signification physique alors que la transformée de Fourier est définie «»[39],[11], Remarque 2 : La notion de fréquence n'ayant pas de signification physique la propriété de symétrie hermitienne au sens des électroniciens[52] de soit «»[50] Remarque 2 : La notion de fréquence n'ayant pas de signification physique la propriété nous permet de réécrire l'expression de la transformée de Fourier[37] inverse de Remarque 2 : La notion de fréquence n'ayant pas de signification physique la propriété nous permet de réécrire en utilisant uniquement les fréquences , en effet, Remarque 2 : La notion de fréquence n'ayant pas de signification physique l'expression de la transformée de Fourier inverse[37] de s'écrivant «»[11] Remarque 2 : La notion de fréquence n'ayant pas de signification physique l'expression de la transformée de Fourier inverse de s'écrivant voir remarque 1 ci-dessus Remarque 2 : La notion de fréquence n'ayant pas de signification physique l'expression se décompose tout d'abord en une somme de deux intégrales généralisées, l'une sur les fréquences et Remarque 2 : La notion de fréquence n'ayant pas de signification physique l'expression se décompose tout d'abord en une somme de deux intégrales généralisées, l'autre sur les fréquences Remarque 2 : La notion de fréquence n'ayant pas de signification physique l'expression se décompose selon «»[11], Remarque 2 : La notion de fréquence n'ayant pas de signification physique la 1ère intégrale généralisée «»[11] se transformant en posant suivant Remarque 2 : La notion de fréquence n'ayant pas de signification physique la 1ère intégrale généralisée «»[11] et Remarque 2 : La notion de fréquence n'ayant pas de signification physique la 1ère intégrale généralisée avec la propriété de symétrie hermitienne au sens des électroniciens[52] de Remarque 2 : La notion de fréquence n'ayant pas de signification physique la 1ère intégrale généralisée avec la propriété «»[50] cette 1ère intégrale généralisée se réécrit selon Remarque 2 : La notion de fréquence n'ayant pas de signification physique la 1ère intégrale généralisée «»[11],[50] Remarque 2 : La notion de fréquence n'ayant pas de signification phys d'où la réécriture de l'expression de la transformée de Fourier[37] inverse de selon Remarque 2 : La notion de fréquence n'ayant pas de signification physique «[11],[50] Remarque 2 : La notion de fréquence n'ayant pas de signification physique «»[11],[50] ou encore, Remarque 2 : La notion de fréquence n'ayant pas de signification physique «»[11],[57].
Lien entre transformée de Fourier d'une fonction réelle et développement en série de Fourier quand cette fonction réelle est périodique
Tableau comparatif entre transformée de Fourier[37] d'une fonction réelle et 3ème développement en série de Fourier[37] d'une fonction réelle périodique[58] :
3ème développement en série de Fourier[37] d'une fonction réelle périodique et évaluation des cœfficients du développement à l'aide de la fonction réelle
étant une fonction réelle intégrable ainsi que ; on ajoute les composantes élémentaires en intégrant sur la fréquence généralisée de à ;
étant une fonction réelle -périodique ; on ajoute tous les harmoniques généralisés de fréquence généralisée pour entier relatif de à ;
; on ajoute toutes les grandeurs élémentaires en intégrant sur de à ;
; on ajoute toutes les grandeurs élémentaires en intégrant sur de à et en divisant par ;
représentée en fonction de définit un spectre d'amplitude du signal et ce spectre est continu ;
représentée en fonction de définit un spectre d'amplitude du signal et ce spectre est discret.
↑ 1,001,011,021,031,041,051,061,071,081,091,101,111,121,131,141,151,161,171,181,191,201,211,221,231,241,251,261,271,281,291,301,311,32 et 1,33Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) mathématicien, astronome et physicien français, à qui on doit des contributions fondamentales dans différents champs des mathématiques, de l'astronomie et de la théorie des probabilités ; dans le domaine de la physique pratique on lui doit la théorie de l'attraction capillaireexpliquant ce qui se passe dans les tubes capillaires ou dans les bulles d'air d'un liquide ainsi que la raison expliquant pourquoi le calcul de Newton sur la vitesse du son sous-estime cette dernière. Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimalpartagée de façon plus ou moins indépendante avec Gottfried Leibniz ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton. Gottfried Leibniz (1646 - 1716) entre autres philosophe, scientifique, mathématicien allemand dont la contribution principale, dans le domaine mathématique, est l'invention du calcul infinitésimalcalcul différentiel et calcul intégral dont la paternité doit être partagée avec Isaac Newton.
↑ La théorie des probabilités fut en fait découverte par Leonhard Euler. Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.
↑ 3,03,1 et 3,2 Ou encore « à support non positif », le support d'une fonction numérique étant la partie du domaine de définition où elle n'est pas nulle, on suppose qu'elle est non nulle pour des valeurs de la variable négatives.
↑ 6,06,1 et 6,2 Elle n'est donc pas nécessairement définie pour .
↑ C.-à-d. que la fonction est majorée par et ceci ; pour concrétiser supposns et , le fait que soit “ d'ordres exponentiels ” signifie que
est majorée par la contrainte la plus difficile à satisfaire étant pour en particulier, quand , il faut que plus rapidement au sens large que et
est majorée par la contrainte la plus difficile à satisfaire étant pour en particulier, quand , il faut que plus rapidement au sens large que .
↑ C.-à-d. au voisinage de , la « condition d'existence de et de » étant « tels que » ; on en conclut qu'il n'existe pas de transformée bilatérale de Laplace de la fonction puisqu'elle ne respecte pas cette condition.
↑ Un exemple de fonction ne respectant pas cette condition est , on en conclut qu'il n'existe pas de transformée bilatérale de Laplace de la fonction .
↑ 10,0 et 10,1 Bien que soit complexe, l'usage veut qu'on ne l'écrive pas pour simplifier l'écriture.
↑ À ma connaissance il n'y a pas de nom donné à cet intervalle contrairement à dans la transformation monolatérale de Laplace qui est appelée « abscisse de convergence » ; par contre la bande engendrée dans le plan complexe par la condition porte le nom de « bande de convergence ».
↑ Un seul exemple car d'une part la transformée bilatérale de Laplace n'est quasiment pas utilisée dans le domaine de la physique et Un seul exemple car d'autre part cette transformation bilatérale de Laplace acquiert un intérêt dans le domaine des hyperfonctions qui dépasse largement le cadre de cet exposé voir la note 15 plus haut dans ce chapitre pour quelques menus détails supplémentaires
↑ 17,0 et 17,1Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, ayant commencé sa carrière en tant qu'opérateur de télégraphie, développé de façon intuitive le calcul opérationnel pour résoudre des équations différentielles en les transformant en équations algébriques, travaillé sur la propagation des courants électriques dans des conducteurs et développé la fonction portant son nom encore appelée échelon ou marche utilisée dans l'étude de systèmes en automatique.
↑ Le support d'une fonction numérique étant la partie du domaine de définition où elle n'est pas nulle, la fonction est ici dite « à support positif » a priori il s'agit de positif au sens large.
↑ 20,020,120,2 et 20,3 En supposant que la fonction traduise les effets d'une cause qui ce serait produite à l'instant , les effets ne pouvant se produire qu'à un instant postérieur à l'instant de la création de la cause, les valeurs de la fonction pour tout sont alors effectivement nulles ; par généralisation on maintient le qualificatif « causal » même si la fonction ne traduit pas les effets d'une cause.
↑ Ainsi peut être fini, ou Ainsi n'avoir aucune limite quand en restant de valeur absolue bornée comme ou même Ainsi avoir une limite infinie à condition que son équivalent soit de la forme avec tous deux .
↑ C.-à-d. à support positif voir précision dans la note « 19 » plus haut dans ce chapitre.
↑ 24,0 et 24,1 C.-à-d. au voisinage de , la « condition d'existence de » est « tels que » ; on en conclut, par exemple, qu'il n'existe pas de transformée monolatérale de Laplace de la fonction puisqu'elle ne respecte pas cette condition.
↑ Un exemple de fonction ne respectant pas cette condition est , on en conclut qu'il n'existe pas de transformée monolatérale de Laplace de la fonction .
↑ La fonction étant causale, le fait de la multiplier par ne modifie aucunement la condition de convergence de la transformée de Laplace pour les valeurs de et n'en introduit aucune pour celles de .
↑ Elle doit aussi être intégrable au c.-à-d. au voisinage de , la condition d'existence de et de étant tels que et Elle doit aussi être d'ordres exponentiels c.-à-d. et en étant , Elle doit aussi être d'ordres exponentiels c.-à-d. tels que , .
↑ Si le domaine de définition de contient des valeurs de telles que alors, pour ces valeurs, ne peut pas être la transformée bilatérale inverse de Laplace de .
↑ En effet pour , doit quand ce qui nécessite que y soit nulle support de positif.
↑ En effet d'une part pour , doit quand réalisé si y est nulle support de négatif et En effet d'autre part «» si on change en il faut changer en pour conserver le comportement de à l'infini, étant lui-même changé en , soit «».
↑ 38,0 et 38,1 Physiquement une fréquence ou une pulsation étant toujours positive, il conviendrait de donner une signification à une fréquence ou une pulsation négative ; quand on transforme en , on constate que changer en revient à conserver la composante harmonique paire et à changer la composante harmonique impaire en son opposée d'où une signification possible que nous ne développerons pas plus.
↑ 39,0 et 39,1 La valeur de la transformée de Fourier est la même que ce soit la variable ou la variable mais la fonction est évidemment différente ; par abus et comme d'usage en physique nous adoptons la même lettre pour la fonction et la valeur d'où le maintien de quand la variable est .
↑Henri-Léon Lebesgue (1875 - 1941), mathématicien français, reconnu comme l'un des plus grands de la 1ère moitié du XXème siècle, à qui on doit principalement sa théorie d'intégration publiée en et associée à la notion de « mesure de Lebesgue » prolongeant le concept intuitif de volume.
↑ Il n'est donc pas nécessaire qu'elle soit continue par morceaux comme l'exige une fonction Riemann-intégrable.
↑Laurent Schwartz (1915 - 2002) mathématicien français du XXème siècle qui reçut la médaille Fields en , pour la finalisation de la théorie des distributionsinitiée par Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en , à qui on doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, et qui, pour les besoins du formalisme quantique, inventa la notion, sans fondement mathématique précis, de distribution de Dirac ; outre un très grand mathématicien, Laurent Schwartz fut un ardent défenseur des droits de l'homme, dénonçant la torture pratiquée pendant la guerre d'Algérie, ayant été l'un des fondateurs du comité “ Maurice Audin ” Maurice Audin (1932 - 1957) mathématicien français, militant de l'indépendance algérienne, arrêté par les militaires français le 11 juin 1957 pendant la bataille d'Alger et maintenu en détention pour être interrogé par des parachutistes, ayant organisé la soutenance de thèse de Maurice Audin en l'absence de ce dernier dans le grand amphithéâtre de la Sorbonne en décembre 1957, alors que le chercheur et militant anti-colonialiste avait disparu depuis juin 1957 et, apprit-on plus tard, était mort sous la torture lors de sa détention ; ses positions hostiles à la guerre d'Algérie et plus généralement à la colonisation lui valurent quelques déboires dans sa vie professionnelle.
↑ L'ensemble des réels positifs ou nuls est encore noté mais les mathématiciens utilisent .
↑ C.-à-d. que tels que assurant que la fonction est d'ordre exponentiel du côté de d'une part et C.-à-d. que tels que assurant que la fonction est d'ordre exponentiel du côté de d'autre part.
↑ 52,052,152,252,352,452,5 et 52,6 Une fonction complexe d'une variable réelle est « à symétrie hermitienne au sens des électroniciens» « si avec conjugué de » ; il s'agit d'un prolongement des électroniciens de la notion « symétrie hermitienne » d'une forme sesquilinéaireappliquant où est un espace vectoriel dans selon si sesquilinéaire à gauche cette dernière étant à symétrie hermitienne si , il s'agit d'un le prolongement de la « symétrie hermitienne » à la fonction complexe de la variable réelle traduisant que est de « module pair » et d'« argument impair », ce qui n'a qu'un rapport lointain avec la « symétrie hermitienne » d'une forme sesquilinéaire d'où l'ajout « au sens des électroniciens ». Charles Hermite (1822 - 1901) mathématicien français connu pour ses travaux sur la théorie des nombres, les formes quadratiques, les polynômes othogonaux, les fonctions elliptiques et les équations différentielles, il fut aussi l'un des 1ers à utiliser les matrices ; le qualificatif « hermitien » donné à certaines entités mathématiques l'a été pour lui rendre hommage.
↑ On peut dire encore que est l'« originale de » par transformation de Fourier, même si cet emploi est peu utilisé.
↑ La valeur de la transformée de Fourier inverse est la même que ce soit la variable ou la variable mais la fonction est évidemment différente ; par abus et comme d'usage en physique nous adoptons la même lettre pour la fonction et la valeur d'où le maintien de quand la variable est .
![{\displaystyle \;\left]0\,;\,t_{0}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b2d44f989e9f1160dd0718b3c67f66047cb7a7)
![{\displaystyle \;\exists \;\gamma \in \left]0\,;1\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e0d11ddac42795119352f596e2b554337606479)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,0}\left[t^{\gamma }\;\vert g(t)\vert \right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a88aa14b044a8a61874e70cb05275825cba7121e)
![{\displaystyle \;\left[t_{1}\,;\,0\right[\cup \left]0\,;\,t_{2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a376f52da6d9748fcd96a9680ef95fd5669a094f)
![{\displaystyle \;\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b56711152feb365e2fbfdfb696d891b41c8d3033)
![{\displaystyle =\left[{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\right]_{-\infty }^{0^{-}}=-{\dfrac {1}{p}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69ecead83e6e4a228c09611e993d4bf63a1afc84)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,0}\left[t^{\gamma }\;\vert f(t)\vert \right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a27dc0eb564a89e617b8c7b0f0f7aec36cded4c)
![{\displaystyle \left[t_{1}\,;\,0\right[\cup \left]0\,;\,t_{2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce64942644c3a5af44537d050d8a26c7a6e82e18)
![{\displaystyle \;\Re (p)\in \left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b9f90f8e7d1cbd933728a83bd7535b761a0e933)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01ae8afe42bc6f8a6d47f2a2883158f9bfefb26c)
![{\displaystyle \;\left[a\,,\,b\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e662cbb3524d4dac1a701e16aa992c45756fa1b)
![{\displaystyle \;F(p)=\left[\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp \!\left(-p\;t\right)\;f(t)\,dt\right]_{\Re (p)\,=\,0}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11ca9f01754ccd9d566b810bdfd09b2458f8b548)
![{\displaystyle \;{\mathcal {L}}_{+}\!\left\lbrace f^{+}(t)\right\rbrace \left[p\right]=\displaystyle \int _{0}^{+\infty }f^{+}(t)\;\exp \!\left(-p\;t\right)\,dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc47abdb1a2381b08c7fd45ad6fe58b45cd76ae9)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\mathcal {L}}_{+}\!\left[f^{-}(t')\right]\left(p\right)\right\rbrace ^{*}=\displaystyle \int _{0}^{+\infty }f^{-}(t')\;\exp \!\left(-p^{*}\;t'\right)\,dt'\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f67456c98f2a7dd4467f45b977b456e63a80c6c)
![{\displaystyle \;{\mathcal {F}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace \left[\omega \right]={\mathcal {L}}_{+}\!\left[f^{+}(t)\right]\left(p\right)+\left\lbrace {\mathcal {L}}_{+}\!\left[f^{-}(t)\right]\left(p\right)\right\rbrace ^{*}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db9937074d0da98ddb3830b6c766f7fa4c127202)
![{\displaystyle \;{\mathcal {F}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace \left[\omega \right]={\mathcal {L}}_{+}\!\left\lbrace f^{+}(t)\right\rbrace \left[i\,\omega \right]+{\mathcal {L}}_{+}\!\left\lbrace f^{-}(t)\right\rbrace \left[-i\,\omega \right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd8e1554d3f716d7d5c6caa5559eaca5a31699d7)
![{\displaystyle \;\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[\;{\cancel {\ni }}\;0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ced55603778c282c759fb699fb8f7ab8e8492766)
![{\displaystyle \;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace g(t)\right\rbrace \!\left[p\right]=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp(-p\,t)\;g(t)\;dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c89e2f837da1bba55ef382cbfe2641f80546dc0)
![{\displaystyle \;\Re (p)=0\;{\cancel {\in }}\;\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68a746a82f594933a58dcf461c104b627e49e1cf)
![{\displaystyle \;{\mathcal {F}}\!\left\lbrace g(t)\right\rbrace \!\left[\omega \right]=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp(-i\;\omega \,t)\;g(t)\;dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af4c58694798599ffc3711eb4bde0f788a651ac)
![{\displaystyle \;\left[{\widehat {f}}(-\omega )\right]^{*}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a86e32798be6e9d57009fcd1137ac9d2da7ff75c)
![{\displaystyle \;{\widehat {f}}(-\nu )=\left[{\widehat {f}}(\nu )\right]^{*}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a6846963ff2db5388add319c2b292aa576a7161)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\left[{\widehat {f}}(\nu )\right]^{*}\,\exp \!\left(-i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\,d\nu =\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\left[{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\right]^{*}\,d\nu \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/968a41fbddce4696dc4cc3e0653e7c15ec142512)
![{\displaystyle \;f(t)=\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\left[{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\right]^{*}\,d\nu +\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\,d\nu \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a480ae805ad0e766588d9efcac640099eb5e7fef)
![{\displaystyle =\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\left\lbrace \left[{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\right]^{*}+{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\right\rbrace \,d\nu \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/635203b39115e7b9058cffdfbae0d56af8a713af)
![{\displaystyle \;f(t)=\displaystyle \int _{0}^{+\infty }2\;\Re \!\left[{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\right]\,d\nu \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06f50a813b908515175700a76a4574c3250f2ff9)
![{\displaystyle \;f(t)=\sum \limits _{n\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[{\underline {C'}}_{n}\,\exp(i\,2\,\pi \,n\,\nu \,t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a25b3f129e0ec59b58a02ab0606c058c0a11c3a)
![{\displaystyle \;\exp \!\left(-2\;\vert t\vert \right){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94a3d74679e39689c7fc719e571d7f788d6f7454)
![{\displaystyle \;\exp \!\left(-t\right){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/625b066c419b71f21a0471f8d73733638b06aa13)
![{\displaystyle \;{\big [}\varepsilon \;\in \;{\mathcal {V}}(0^{+}){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e804abb71ba5489a9e627ef5cff3449c6385698)
![{\displaystyle \;{\big [}\varepsilon '\;\in \;{\mathcal {V}}(0^{-}){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91d77f0d5a6971ee6c8b869fe47a1474d7472e6d)
![{\displaystyle \;\in \left[\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f3134831a3f6f30f5383fc13e22deb17466a41d)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle \;\left]-\infty \,,\,+\infty \right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/589fa0609c5200de5ed598a25b62399a40be23ca)
![{\displaystyle \;\left[-\infty \,,\,+\infty \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51a8e0e0f96f9457837ffa0552065be18aad4eb1)
![{\displaystyle {\big ]}\;\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03f179fa3058bae27e8b4bb7aa7b060cdf6d862a)
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle \;\left]-\infty \,,\,0\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49f7719c4e8173af7d8a1eddd361c8ea2c600b25)
![{\displaystyle \;\alpha _{2}=0{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db5550e160e82c50c84cc7cff3254ee40f03f34e)
![{\displaystyle \;\sin \!\left({\dfrac {A}{t}}\right){\Big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b448e95743fafa1634eb5a67220b8af2c235c8a4)
![{\displaystyle \;\in \left]0\,,\,1\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1af75b3c41364659913ee959d994d50e58f896d)
![{\displaystyle \;{\big [}\varepsilon \;\in \;{\mathcal {V}}(0){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d27857fb8a2d137678d0592b2030bb66ff10cdda)
![{\displaystyle \;\exists \;\gamma \,\in \,\left]0\,;1\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f72b8d1a5fa36079a4fb33674b1a6b91792bb9c)
![{\displaystyle \;\left]\alpha \,,\,+\infty \right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/564f666bfdf4e201825f5ecd0dffbc111fb388e7)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,0}\left[t^{\gamma }\;\vert g(t)\vert \right]=0{\Big \}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c114f31974c363f63021cbae2637c22fc4d8ded)
![{\displaystyle \;\vert \exp \!\left(-\beta \;t\right)\;g(t)\vert <M,\;\forall \tau >0\;{\text{et}}\;\left[{\begin{array}{c}\forall \;t>\tau \\{\text{et}}\\\forall \;t<-\tau \end{array}}\right]{\Bigg \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7ebc5746ef7c14394bf5a1a632341c4085abcd3)
![{\displaystyle \;\Re (p)\notin \left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567fb6d03e11a63caba7afbb70e18948b1d94db0)
![{\displaystyle \;\beta '=-\beta {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddc7b79f031c1d445a76cee1700cee874e1fa570)
![{\displaystyle \;{\mathcal {L}}_{+}\!\left\lbrace f^{-}(t')\right\rbrace \left[p\right]=\displaystyle \int _{0}^{+\infty }f^{-}(t')\;\exp \!\left(-p\;t'\right)\,dt'\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9605825f95d0eae876e1ff785a11214fccb874c1)
![{\displaystyle \;{\underline {F}}(-\xi )=\left[{\underline {F}}(\xi )\right]^{*}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f3f30b316b1f13a79a337d94944a81c49b68f8)
![{\displaystyle \;\left[{\underline {F}}(\xi )\right]^{*}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/747848aa454fcff2d061e031e3ee18d81df9d85b)
![{\displaystyle {\Bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fec8b8fd9f86cffa472e3222e479a5bb62de37f)
![{\displaystyle \;{\underline {f}}(y\,,\,x)=\left[{\underline {f}}(x\,,\,y)\right]^{*}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d143dd4f823ec1993449448dc7a83419271662c9)
![{\displaystyle \;\mathrm {arg} \!\left[{\underline {F}}(-\xi )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3588e394274ac926daafe59b4f0fd4bef348d4a9)
![{\displaystyle =-\mathrm {arg} \!\left[{\underline {F}}(\xi )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f38096f54f73059f20987718109a57843b7694ba)
