Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Transformées bilatérales de Laplace directes et inverses, cas particulier des transformées de Fourier

**Transformées bilatérales de Laplace directes et inverses, cas particulier des transformées de Fourier**
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)

Chapitre n^o 26
Chap. préc. :	Changement de référentiels
Chap. suiv. :	Fonctions hyperboliques directes et inverses

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Transformées bilatérales de Laplace directes et inverses, cas particulier des transformées de Fourier
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Transformées bilatérales de Laplace directes et inverses, cas particulier des transformées de Fourier », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

La transformation de Laplace a été nommée ainsi en l'honneur de Pierre-Simon Laplace ^[1] pour son utilisation dans la théorie des probabilités qu'il a initiée ^[2].

Transformée (bilatérale) de Laplace (sous condition d'existence) d'une fonction réelle « non causale » d'une variable réelle

Soit une fonction réelle $\;g\;$ « non causale » ^[3] de la variable réelle $\;t\;$ ayant les propriétés suivantes :

« la fonction est continue par morceaux sur tout intervalle $\;\left[t_{1}\,;\,0\right[\;$ et $\;\left]0\,;\,t_{0}\right]\;$ » ^[4]^, ^[5]^, ^[6],
« au voisinage de $\;t=0$ , $\;\exists \;\gamma \in \left]0\,;1\right[\;$ tels que $\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,0}\left[t^{\gamma }\;\vert g(t)\vert \right]=0\;$ » et
« la fonction est “ d'ordres exponentiels $\;\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\;$ ” avec $\;\alpha _{1}\in \mathbb {R} \cup \left\lbrace -\infty \right\rbrace \;$ et $\;\alpha _{2}\in \mathbb {R} \;$ en étant $\;>\alpha _{1}\;$ » $\Leftrightarrow$ « $\;\exists \;M>0\;$ vériifiant $\;\forall \,\beta \;$ tel que $\;\alpha _{1}\,\leqslant \,\beta \,\leqslant \,\alpha _{2}$ , $\;\vert \exp \!\left(-\beta \;t\right)\;g(t)\vert <M,\;\;\forall \,\vert t\vert >\tau \;$ et $\;\forall \,\tau >0\;$ » ^[7].

Définition de la transformée (bilatérale) de Laplace de la fonction « non causale » g(t) ci-dessus

Définition

La transformée bilatérale de Laplace ^[1] de

\;g(t)

fonction « non causale » ^[3],
La transformée bilatérale de Laplace de

\;\color {transparent}{g(t)}

fonction continue par morceaux sur toute réunion d'intervalles

\;\left[t_{1}\,;\,0\right[\cup \left]0\,;\,t_{2}\right]\;

^[4]^, ^[5]^, ^[6],
La transformée bilatérale de Laplace de

\;\color {transparent}{g(t)}

fonction intégrable au

\;{\mathcal {V}}(0)\;

^[8] ainsi que « d'ordres exponentiels

\;\alpha _{1},\,\alpha _{2}\;

» ^[9]
La transformée bilatérale de Laplace de

\;\color {transparent}{g(t)}

est la fonction

\;G\;

de la variable complexe

\;p\;

^[10] définie par «

\;G(p)={\mathcal {L}}\!\left\lbrace g(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp(-p\,t)\;g(t)\;dt\;

» ^[11]
définie pour «

\;p\in \mathbb {C} \;

tel que

\;\alpha _{1}<\Re (p)<\alpha _{2}\;

»,

\;\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[\;

étant « l'intervalle de convergence » ^[12] ;
on dit encore que

\;G(p)\;

est l'« image de

\;g(t)\;

» par transformation bilatérale de Laplace ^[1].

Remarques : On prolonge la définition de la transformée bilatérale de Laplace ^[1] d'une fonction à celle d'une distribution $\;{\big (}$ la distribution devant être telle que l'intégrale de définition ^[13] de sa transformée de Laplace ^[1] converge ^[14] ${\big )}$ $\;{\big \{}$ mais aussi à celle d'une hyperfonction ^[15] que nous ne ferons que citer car dépassant très largement le cadre de cet exposé ${\big \}}$ ;

Remarques : en physique la transformée bilatérale de Laplace ^[1] n'est quasiment pas utilisée, on lui préfère la transformation monolatérale de Laplace ^[1], raison pour laquelle on introduit la même notation $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \right\rbrace \;$ pour les deux, toutefois, dans le cas où les deux transformations apparaitraient dans le même exposé, nous noterons $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \right\rbrace \;$ la transformation bilatérale et $\;{\mathcal {L}}_{+}\!\left\lbrace \right\rbrace \;$ la transformation monolatérale.

     Exemple ^[16] : Soit la fonction réelle $\;g\;$ « non causale » ^[3] de la variable réelle $\;t\;$ définie sur $\;\left[-\infty \,,\,0\right[\;$ telle que « $\;g(t)=Y(-t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;\;{\text{pour }}t>0\\1\;\;{\text{pour }}t>0\end{array}}\right\rbrace \;$ où $\;Y\;$ est la fonction de Heaviside ^[17]
               Exemple : Soit la fonction réelle $\;\color {transparent}{g}\;$ « non causale » de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ définie sur $\;\color {transparent}{\left[-\infty \,,\,0\right[}\;$ telle que « $\;\color {transparent}{g(t)=Y(-t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;\;{\text{pour }}t>0\end{array}}\right\rbrace }\;$ où $\;\color {transparent}{Y}\;$ est la $\;{\big (}$ ou échelon unité ${\big )}\,$ »,
               Exemple : Soit la fonction réelle $\;\color {transparent}{g}\;$ « non causale » la transformée bilatérale de Laplace ^[1] de la fonction $\;g(t)=Y(-t)\;$ vaut « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace g(t)\right\rbrace =-{\dfrac {1}{p}}\;$ pour $\;\Re (p)<0\;$ » ^[18] en effet
               Exemple : Soit la fonction réelle $\;\color {transparent}{g}\;$ « non causale » « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace g(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp(-p\,t)\;g(t)\;dt=\displaystyle \int _{-\infty }^{0^{-}}\exp(-p\,t)\;g(t)\;dt=\displaystyle \int _{-\infty }^{0^{-}}\exp(-p\,t)\;dt\;$ ^[11] $=\left[{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\right]_{-\infty }^{0^{-}}=-{\dfrac {1}{p}}\;$ si $\;\Re (p)<0\;$ ».

Rappel de la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction « causale » f(t) (sous condition d'existence)

     La notion de transformée monolatérale de Laplace ^[1] d'une fonction réelle $\;f\;$ de la variable réelle $\;t$ , fonction de propriétés nécessaires rappelées ci-dessous,
         La notion de transformée monolatérale de Laplace a été introduite dans le paragraphe « définition de la transformée (monolatérale) de Laplace de la fonction f(t) »
         La notion de transformée monolatérale de Laplace a été introduite dans le paragraphe du chap. $23$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » :

« les valeurs de la fonction sont nulles pour $\;t<0\;$ » ^[19] ${\big (}$ la fonction est alors qualifiée de « causale » ^[20] ${\big )}$ ,
« la fonction est continue par morceaux sur tout intervalle $\;\left]0\,;\,t_{0}\right]\;$ » ^[4]^, ^[6],
« au voisinage de $\;t=0$ , $\;\exists \;\gamma \in \left]0\,;1\right[\;$ tels que $\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,0}\left[t^{\gamma }\;\vert f(t)\vert \right]=0\;$ » ^[21] et
« la fonction est “ d'ordre exponentiel $\;\alpha \;$ ” avec $\;\alpha \,\in \,\mathbb {R} \cup \left\lbrace -\infty \right\rbrace \;$ », $\Leftrightarrow$ « $\;\exists \;M>0\;$ tels que $\;\forall \,\beta \,\geqslant \,\alpha ,\;\;\vert \exp \!\left(-\beta \;t\right)\;f(t)\vert <M,\;\;\forall \,t>\tau \;$ et $\;\forall \,\tau >0\;$ » ^[22].

Définition de la transformée (monolatérale) d'une fonction « causale » f(t) (sous condition d'existence)

La transformée monolatérale de Laplace ^[1] de la fonction

\;f(t)

« causale » ^[20]^, ^[23],
La transformée monolatérlae de Laplace de la fonction

\;\color {transparent}{f(t)}

continue par morceaux sur tout intervalle

\;\left]0\,;\,t_{0}\right]\;

^[4],
La transformée monolatérlae de Laplace de la fonction

\;\color {transparent}{f(t)}

intégrable au

\;{\mathcal {V}}(0)\;

^[24] et
La transformée monolatérlae de Laplace de la fonction

\;\color {transparent}{f(t)}

« d'ordre exponentiel

\;\alpha \;

» ^[25]
La transformée monolatérlae de Laplace de la fonction

\;\color {transparent}{f(t)}

est la fonction

\;F\;

de la variable complexe

\;p\;

^[10] définie par «

\;F(p)={\mathcal {L}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;

» ^[11]
définie pour «

\;p\in \mathbb {C} \;

tel que

\;\Re (p)>\alpha \;

»,

\;\alpha \;

étant appelée l'« abscisse de convergence » ;
on dit encore que

\;F(p)\;

est l'« image de

\;f(t)\;

» par transformation de Laplace ^[1].

     Remarques : On prolonge la définition de la transformée monolatérale de Laplace ^[1] d'une fonction à support positif ^[26] à celles
         Remarques : On prolonge la définition de la transformée monolatérale de Laplace d'une fonction à support positif étendu à gauche de $\;0\;$ c.-à-d. de support $\;\left[0\,,\,+\infty \right[\;\cup \;{\mathcal {V}}(0^{-})\;$ où $\;{\mathcal {V}}(0^{-})\;$ est un voisinage ouvert à gauche de $\;0$ , borné inférieurement, et tel que la restriction de la fonction au complémentaire de $\;\left[0\,,\,+\infty \right[\;$ dans ce voisinage est une fonction indéfiniment dérivable ^[27] et
         Remarques : On prolonge la définition de la transformée monolatérale de Laplace d'une distribution $\;{\big (}$ sous condition que l'intégrale de définition ^[13] de sa transformée de Laplace ^[1] converge ^[28] ${\big )}$ .

Écriture de la transformée monolatérale de Laplace de la fonction « causale » f(t) (sous condition d'existence) en transformée bilatérale de Laplace

Soit une fonction « causale » $f(t)\;$ admettant comme « transformée monolatérale de Laplace ^[1] $\;{\mathcal {L}}_{+}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ » ^[11] pour « $\;\Re (p)>\alpha$ , $\;\alpha \;$ étant l'abscisse de convergence de la transformée monolatérale de Laplace ^[1] », remarquant que cette dernière s'écrit encore selon « $\;{\mathcal {L}}_{+}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;Y(t)\;dt\;$ » ^[11] dans laquelle $\;Y(t)\;$ est la fonction d'Heaviside ^[17], nous en déduisons « $\;{\mathcal {L}}_{+}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;Y(t)\;dt\;$ ^[11] avec $\;\Re (p)>\alpha \;$ » ^[29] c.-à-d. la « transformée bilatérale de Laplace ^[1] de $\;f(t)\;Y(t)\;$ » ^[30] soit

«

\;{\mathcal {L}}_{+}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\,Y(t)\right\rbrace \;

».

Quelques éléments sur la transformation (bilatérale) inverse de Laplace (sous condition d'existence) d'une fonction complexe holomorphe d'une variable complexe

Comme nous n'utilisons pas, par la suite, la transformation bilatérale de Laplace ^[1], nous nous contentons de quelques éléments sur sa transformation inverse.

Définition

La transformée bilatérale inverse de Laplace ^[1] de la fonction complexe

\;G(p)\;

de la variable complexe

\;p\;

La transformée bilatérale inverse de Laplace de la fonction complexe

\;\color {transparent}{G(p)}\;

holomorphe ^[31] sur son domaine de définition
La transformée bilatérale inverse de Laplace est la fonction réelle

\;g(t)\;

de la variable réelle

\;t

,
La transformée bilatérale inverse de Laplace est la fonction réelle

\;\color {transparent}{g(t)}\;

continue par morceaux sur toute réunion d'intervalles
La transformée bilatérale inverse de Laplace est la fonction réelle

\;\color {transparent}{g(t)}\;

continue par morceaux sur

\left[t_{1}\,;\,0\right[\cup \left]0\,;\,t_{2}\right]\;

^[32] telle que «

\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace g(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp(-p\,t)\;g(t)\;dt=G(p)\;

^[11] pour

\;p\;

tel que

\;\alpha _{1}<\Re e(p)<\alpha _{2}

» ^[33],

\;\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[\;

étant « l'intervalle de convergence » de la transformée bilatérale de Laplace ^[1] ;
on dit encore que

\;g(t)\;

est l'« originale de

\;G(p)\;

» par transformation bilatérale de Laplace ^[1]
et on notera

\;g(t)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace G(p)\right\rbrace \;

si

\;\Re (p)\in \left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[

.

     Remarques : La transformation bilatérale inverse de Laplace ^[1] est une application linéaire et
     Remarques : pour un intervalle fixé $\;\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[\;$ de définition de $\;G(p)$ , la transformée bilatérale inverse $\;g(t)\;$ est unique $\;{\big (}$ admis ${\big )}$ ;
     Remarques : pour un intervalle fixé $\;\color {transparent}{\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[}\;$ il est donc essentiel de préciser le domaine sur lequel on cherche l'originale $\;g(t)\;$ de la fonction $\;G(p)\;$ car,
     Remarques : pour un intervalle fixé $\;\color {transparent}{\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[}\;$ il est donc essentiel de préciser le domaine suivant l'intervalle de convergence, la fonction originale diffère, exemple :
     Remarques : pour un intervalle fixé $\;\color {transparent}{\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[}\;$ il est donc essentiel de préciser le domaine $\succ \;$ « pour $\;\Re (p)>0$ , la fonction $\;G(p)={\dfrac {1}{p}}\;$ admet pour originale $\;g(t)=Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;\;{\text{si }}\;t>0\\0\;\;{\text{si }}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[34],
     Remarques : pour un intervalle fixé $\;\color {transparent}{\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[}\;$ il est donc essentiel de préciser le domaine $\color {transparent}{\succ }\;$ on note dans ce cas que la transformée bilatérale inverse de Laplace ^[1] s'identifie à
     Remarques : pour un intervalle fixé $\;\color {transparent}{\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[}\;$ il est donc essentiel de préciser le domaine $\color {transparent}{\succ }\;$ on note dans ce cas que la transformée monolatérale inverse de Laplace ^[1] soit
     Remarques : pour un intervalle fixé $\;\color {transparent}{\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[}\;$ il est donc essentiel de préciser le domaine $\color {transparent}{\succ }\;$ on note dans ce cas que « $\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p}}\right\rbrace _{\Re (p)\,>\,0}=Y(t)={\mathcal {L}}_{+}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p}}\right\rbrace \;$ »,
     Remarques : pour un intervalle fixé $\;\color {transparent}{\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[}\;$ il est donc essentiel de préciser le domaine $\succ \;$ « pour $\;\Re (p)<0$ , la fonction $\;G(p)={\dfrac {1}{p}}\;$ admet pour originale $\;g(t)=-Y(-t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\quad \;{\text{si }}\;t>0\\-1\;\;{\text{si }}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$ » ^[35],
     Remarques : pour un intervalle fixé $\;\color {transparent}{\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[}\;$ il est donc essentiel de préciser le domaine $\color {transparent}{\succ }\;$ on note dans ce cas que la transformée bilatérale inverse de Laplace ^[1] définie en $\;t\;$ est
     Remarques : pour un intervalle fixé $\;\color {transparent}{\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[}\;$ il est donc essentiel de préciser le domaine $\color {transparent}{\succ }\;$ on note dans ce cas que l'opposée de la transformée monolatérale inverse de Laplace ^[1] définie en $\;-t\;$ soit
     Remarques : pour un intervalle fixé $\;\color {transparent}{\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[}\;$ il est donc essentiel de préciser le domaine $\color {transparent}{\succ }\;$ on note dans ce cas que « $\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p}}\right\rbrace _{\Re (p)\,<\,0}\!(t)=$ $-Y(-t)=-{\mathcal {L}}_{+}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p}}\right\rbrace (-t)\;$ ».

Remarques : Il y a d'autres propriétés de la transformée bilatérale inverse de Laplace ^[1] comme par exemple sa méthode analytique de détermination, mais nous n'en dirons rien car
Remarques : Il y a d'autres propriétés de la transformée bilatérale inverse de Laplace comme par exemple sa méthode analytique de détermination, dépassant très largement le cadre de cet exposé $\;\ldots$

Quelques notions sur la transformation de Fourier, cas particulier de la transformation bilatérale de Laplace, lien avec le développement en série de Fourier de fonctions réelles périodiques

Définition de la transformée de Fourier d'une fonction réelle d'une variable réelle intégrable

Transformée de Fourier d'une fonction réelle d'une variable réelle intégrable

Soit « une fonction réelle

\;f(t)\;

de la variable réelle

\;t\;

intégrable sur

\;\mathbb {R} \;

» ^[36], nous appelons
« transformée de Fourier ^[37] de la fonction

\;f(t)\;

» « la fonction complexe

\;{\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace =

{\widehat {f}}\;

de la variable réelle

\;\omega \;

» définie selon «

\;{\widehat {f}}(\omega )=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\,dt\;

» ^[11].

Remarque 1 : Pour les électroniciens « la variable $\;t\;$ représente le temps » et « la variable $\;\omega \;$ la pulsation usuellement remplacée par la variable $\;\nu ={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ représentant la fréquence » ^[38] d'où
Remarque 1 : Pour les électroniciens la réécriture de l'expression de la « transformée de Fourier ^[37] $\;{\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace ={\widehat {f}}\;$ en fonction de $\;\nu \;$ » ^[39]

«

\;{\widehat {f}}(\nu )=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\,dt\;

» ^[11] ;

     Remarque 1 : Pour les électroniciens dans le but d'obtenir une symétrisation entre la transformée de Fourier ^[37] $\;{\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace ={\widehat {f}}\;$ exprimée en fonction de la pulsation et
     Remarque 1 : Pour les électroniciens dans le but d'obtenir une symétrisation entre sa transformée de Fourier inverse ^[37] $\;{\mathcal {F}}^{-1}\!\left\lbrace {\widehat {f}}\right\rbrace =f\;$ exprimée en fonction de la pulsation $\;t$ ,
     Remarque 1 : Pour les électroniciens dans le but d'obtenir une symétrisation certains électroniciens normalisent $\;{\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace ={\widehat {f}}\;$ selon « $\;{\widehat {f}}(\omega )={\dfrac {1}{\sqrt {2\;\pi }}}\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\,dt\;$ » ^[11]^, ^[40].

     Remarque 2 : La définition de la transformée de Fourier ^[37] des fonctions intégrables au sens de Riemann ^[41] a été d'abord été étendue
           Remarque 2 : La définition de la transformée de Fourier aux fonctions intégrables au sens de Lebesgue ^[42] $\;{\big \{}$ pour qu'une fonction réelle soit Lebesgue-intégrable sur l'intervalle $\;\left[a\,,\,b\right]\;$
                 Remarque 2 : La définition de la transformée de Fourier aux fonctions intégrables au sens de Lebesgue $\;\color {transparent}{\big \{}$ il suffit qu'elle soit bornée sur cet intervalle ^[43] ${\big \}}\;$ et en particulier
           Remarque 2 : La définition de la transformée de Fourier aux fonctions de carré sommable dont l'intérêt s'est manifesté en physique quantique, extension due à Plancherel ^[44] puis
           Remarque 2 : La définition de la transformée de Fourier aux distributions tempérées ^[45], théorie de la distribution due à Schwartz ^[46].

Remarque 3 : Si la fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}$ $\;f\;$ de la variable réelle $\;t\;$ est « causale » ^[20] et intégrable sur $\;\mathbb {R} _{+}\;$ ^[47]^, ^[48], la transformée de Fourier ^[37] se simplifie en

«

\;{\widehat {f}}(\omega )=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\,dt\;

» ^[11] si

\;f(t)\;

est « causale » ^[20].

La transformation de Fourier, un cas particulier de la transformation bilatérale de Laplace

     « Une fonction réelle $\;f(t)\;$ de la variable réelle $\;t\;$ qui admet une transformation de Fourier » ^[37]
     « Une fonction réelle $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ « étant intégrable sur $\;\mathbb {R} \;$ ^[36] l'est aussi au $\;{\mathcal {V}}(0)\;$ » ^[24] en étant « d'ordres exponentiels $\;0\,,\,0\;$ » ^[49] et par conséquent
     « cette fonction admet une transformée bilatérale de Laplace ^[1] avec un intervalle de convergence se réduisant au singleton $\;\left\lbrace 0\right\rbrace \;$ » soit

«

\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp(-p\;t)\;f(t)\;dt\;

^[11] pour

\;\Re (p)=0\;

»

\Rightarrow

«

\;p\;

peut être réécrit sous la forme

\;p=i\;\omega \;

» ;

en conclusion la transformée de Fourier ^[37] « $\;{\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace ={\widehat {f}}\;$ avec $\;{\widehat {f}}(\omega )=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\,dt\;$ » ^[11] de la fonction réelle $\;f(t)\;$ de la variable réelle $\;t\;$ s'identifie à
en conclusion la transformée bilatérale de Laplace ^[1] « $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f\right\rbrace =F\;$ avec $\;F(p)=\left[\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp \!\left(-p\;t\right)\;f(t)\,dt\right]_{\Re (p)\,=\,0}\;$ ^[11] pour $\;p\,\in \,i\mathbb {R} \;$ » de la fonction réelle $\;f(t)\;$ de la variable réelle $\;t\;$ ou

« en posant

\;p=i\;\omega \;

» «

\;{\widehat {f}}(\omega )=F(i\;\omega )\;

» avec «

\;{\widehat {f}}={\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace \;

» et «

\;F={\mathcal {L}}\!\left\lbrace f\right\rbrace \;

».

Remarque 1 : Si on définit la transformée de Fourier ^[37] « $\;{\widehat {f}}={\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace \;$ » sous forme normalisée selon « $\;{\widehat {f}}(\omega )={\dfrac {1}{\sqrt {2\;\pi }}}\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\,dt\;$ » ^[11], son lien avec
Remarque 1 : Si on définit la transformée bilatérale de Laplace ^[1] « $\;F={\mathcal {L}}\!\left\lbrace f\right\rbrace \;$ » s'écrit « $\;{\widehat {f}}(\omega )={\dfrac {F(i\;\omega )}{\sqrt {2\;\pi }}}\;$ ».

     Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier ^[37] « $\;{\widehat {f}}={\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace \;$ » de la fonction $\;f\;$ et
   Remarque 2 : on peut trouver un lien entre les transformées monolatérales de Laplace ^[1] de fonctions construites à partir de $\;f\;$ en décomposant la transformée de Fourier ^[37] en deux intégrales selon
          Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier « $\;{\widehat {f}}(\omega )=\displaystyle \int _{-\infty }^{0}f(t)\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\,dt+\displaystyle \int _{0}^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\,dt\;$ » ^[11],
          Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier $\succ \;$ la 2^ème intégrale « $\;\displaystyle \int _{0}^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\,dt\;$ » ^[11] étant la transformée monolatérale de Laplace ^[1] $\;{\mathcal {L}}_{+}\!\left\lbrace f^{+}\right\rbrace \;$ de
               Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier $\color {transparent}{\succ }\;$ la 2^ème intégrale « $\;\color {transparent}{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\,dt}\;$ » étant la « fonction à support positif $\;f^{+}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}f(t)\;{\text{pour}}\;t\geqslant 0\\0\quad \;\,{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$ » soit
               Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier $\color {transparent}{\succ }\;$ la 2^ème intégrale « $\;\color {transparent}{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\,dt}\;$ » « $\;{\mathcal {L}}_{+}\!\left\lbrace f^{+}(t)\right\rbrace \left[p\right]=\displaystyle \int _{0}^{+\infty }f^{+}(t)\;\exp \!\left(-p\;t\right)\,dt\;$ ^[11] pour $\;\Re (p)=0\;$ »,
          Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier $\succ \;$ la 1^ère intégrale « $\;\displaystyle \int _{-\infty }^{0}f(t)\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\,dt\;$ » ^[11] se réécrivant, avec $\;t'=-t$ , selon « $\;\displaystyle \int _{0}^{+\infty }f(-t')\;\exp \!\left(i\;\omega \;t'\right)\,dt'\;$ » ^[11]
          Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier $\color {transparent}{\succ }\;$ la 1^ère intégrale étant la conjuguée de la transformée monolatérale de Laplace ^[1] $\;{\mathcal {L}}_{+}^{\,*}\!\left\lbrace f^{-}\right\rbrace \;$ ^[50] de
          Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier $\color {transparent}{\succ }\;$ la 1^ère intégrale étant la conjuguée de la « fonction à support positif $\;f^{-}(t')=\left\lbrace {\begin{array}{l}f(-t')\;{\text{pour}}\;t'\geqslant 0\\0\qquad \;\,{\text{pour}}\;t'<0\end{array}}\right\rbrace \;$ » soit
          Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier $\color {transparent}{\succ }\;$ la 1^ère intégrale « $\;\left\lbrace {\mathcal {L}}_{+}\!\left[f^{-}(t')\right]\left(p\right)\right\rbrace ^{*}=\displaystyle \int _{0}^{+\infty }f^{-}(t')\;\exp \!\left(-p^{*}\;t'\right)\,dt'\;$ ^[11]^, ^[50]^, ^[51] pour $\;\Re (p)=0\;$ » d'où
          Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier $\succ \;$ la réécriture de la transformée de Fourier ^[37] « $\;{\widehat {f}}={\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace \;$ » de la fonction $\;f\;$ selon
               Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier $\color {transparent}{\succ }\;$ la réécriture de la transformée de Fourier « $\;{\mathcal {F}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace \left[\omega \right]={\mathcal {L}}_{+}\!\left[f^{+}(t)\right]\left(p\right)+\left\lbrace {\mathcal {L}}_{+}\!\left[f^{-}(t)\right]\left(p\right)\right\rbrace ^{*}\;$ pour $\;\Re (p)=0\;$ » ^[50]
               Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier $\color {transparent}{\succ }\;$ la réécriture de la transformée de Fourier avec « $\;f^{+}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}f(t)\;{\text{pour}}\;t\geqslant 0\\0\quad \;\,{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$ » et « $\;f^{-}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}f(-t)\;{\text{pour}}\;t\geqslant 0\\0\qquad \;{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$ »,
          Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier $\color {transparent}{\succ }\;$ la réécriture de la transformée de Fourier ou « $\;{\mathcal {F}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace \left[\omega \right]={\mathcal {L}}_{+}\!\left\lbrace f^{+}(t)\right\rbrace \left[i\,\omega \right]+{\mathcal {L}}_{+}\!\left\lbrace f^{-}(t)\right\rbrace \left[-i\,\omega \right]\;$ »
               Remarque 2 : on peut trouver un lien entre la transformée de Fourier $\color {transparent}{\succ }\;$ la réécriture de la transformée de Fourier avec « $\;f^{+}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}f(t)\;{\text{pour}}\;t\geqslant 0\\0\quad \;\,{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$ » et « $\;f^{-}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}f(-t)\;{\text{pour}}\;t\geqslant 0\\0\qquad \;{\text{pour}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$ ».

     Remarque 3 : « Si la fonction réelle $\;f(t)\;$ de la variable réelle $\;t\;$ admet une transformée de Fourier ^[37] $\;{\widehat {f}}={\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace$ »,
  Remarque 3 : « Si la fonction réelle $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ admet « cette dernière est un cas particulier de transformée bilatérale de Laplace ^[1] $\;F={\mathcal {L}}\!\left\lbrace f\right\rbrace \;$ de cette même fonction $\;f(t)\;$ »
     Remarque 3 : « Si la fonction réelle $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ admet mais la réciproque est, a priori, fausse en effet
     Remarque 3 : « une fonction réelle $\;g(t)\;$ de la variable réelle $\;t\;$ admettant une transformée bilatérale de Laplace ^[1] $\;G={\mathcal {L}}\!\left\lbrace g\right\rbrace \;$ avec un intervalle de convergence $\;\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[\;{\cancel {\ni }}\;0\;$ »
     Remarque 3 : « une fonction réelle $\;\color {transparent}{g(t)}\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ n'admet pas de transformée de Fourier ^[37] car $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace g(t)\right\rbrace \!\left[p\right]=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp(-p\,t)\;g(t)\;dt\;$ ^[11] diverge pour $\;\Re (p)=0\;{\cancel {\in }}\;\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[\;$ $\Rightarrow$
          Remarque 3 : « une fonction réelle $\;\color {transparent}{g(t)}\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ n'admet pas de transformée de Fourier car $\;{\mathcal {F}}\!\left\lbrace g(t)\right\rbrace \!\left[\omega \right]=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp(-i\;\omega \,t)\;g(t)\;dt\;$ ^[11] diverge également.

Transformée de Fourier inverse

     Préliminaire : Une fonction réelle $\;f\;$ de la variable réelle $\;t\;$ intégrable sur $\;\mathbb {R} \;$ admet pour « transformée de Fourier ^[37] une fonction complexe $\;{\widehat {f}}\;$ de la variable réelle $\;\omega$ , à symétrie hermitienne
          Préliminaire : Une fonction réelle $\;\color {transparent}{f}\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ intégrable sur $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$ admet pour « transformée de Fourier une fonction complexe $\;\color {transparent}{\widehat {f}}\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{\omega }$ , ${\big (}$ au sens des électroniciens ${\big )}\;$ » ^[52],
        Préliminaire : Une fonction réelle $\;\color {transparent}{f}\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{t}\;$ intégrable sur $\;\color {transparent}{\mathbb {R} }\;$ admet pour « transformée de Fourier une fonction complexe « $\;{\widehat {f}}(\omega )=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\,dt\;$ » ^[11], en effet
     Préliminaire : « $\;{\widehat {f}}(-\omega )=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp(i\,\omega \,t)\;dt\;$ » ^[11] se réécrit, en posant $\;t'=-t$ , « $\;{\widehat {f}}(-\omega )=\displaystyle \int _{+\infty }^{-\infty }-f(-t')\;\exp(-i\,\omega \,t')\;dt'=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(-t')\;\exp(-i\,\omega \,t')\;dt'\;$ » ^[11]
              Préliminaire : « $\;\color {transparent}{{\widehat {f}}(-\omega )=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp(i\,\omega \,t)\;dt}\;$ » se réécrit, en posant $\;\color {transparent}{t'=-t}$ , dont le conjugué est « $\;\left[{\widehat {f}}(-\omega )\right]^{*}\;$ ^[50] $=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(-t')\;\exp(i\,\omega \,t')\;dt'\;$ » ^[11] lequel se réécrit,
          Préliminaire : « $\;\color {transparent}{{\widehat {f}}(-\omega )=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp(i\,\omega \,t)\;dt}\;$ » se réécrit, en revenant à $\;t=-t'$ , « $\;\left[{\widehat {f}}(-\omega )\right]^{*}\;$ ^[50] $=\displaystyle \int _{+\infty }^{-\infty }f(t)\;\exp(-i\,\omega \,t)\;(-dt)=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp(-i\,\omega \,t)\;dt={\widehat {f}}(\omega )\;$ » $\Rightarrow$
     Préliminaire : la transformée de Fourier ^[37] d'une fonction réelle est effectivement à symétrie hermitienne $\;{\big (}$ au sens des électroniciens ${\big )}\;$ ^[52].

Définition de la transformée de Fourier inverse (sous condition d'existence) d'une fonction complexe à symétrie hermitienne (au sens des électroniciens) d'une variable réelle

Transformée de Fourier inverse d'une fonction complexe holomorphe à symétrie hermitienne (au sens des électroniciens) d'une variable réelle

La « transformée de Fourier inverse ^[37] de la fonction complexe

\;{\widehat {f}}(\omega )\;

de la variable réelle

\;\omega

,
La « transformée de Fourier inverse de la fonction complexe

\;\color {transparent}{{\widehat {f}}(\omega )}\;

à symétrie hermitienne

\;{\big (}

au sens des électroniciens

{\big )}\;

^[52],
La « transformée de Fourier inverse de la fonction complexe

\;\color {transparent}{{\widehat {f}}(\omega )}\;

holomorphe sur son domaine de définition »
La « transformée de Fourier inverse est, sous condition d'existence, la « fonction réelle

\;f(t)\;

de la variable réelle

\;t

,
La « transformée de Fourier inverse est, sous condition d'existence, la « fonction réelle

\;\color {transparent}{f(t)}\;

intégrable sur

\;\mathbb {R} \;

» telle que «

\;{\mathcal {F}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp(-i\,\omega \,t)\;f(t)\;dt={\widehat {f}}(\omega )\;

» ^[11]^, ^[53].

     Remarque : La définition de la transformée de Fourier inverse ^[37] d'une fonction complexe d'une variable réelle à symétrie hermitienne $\;{\big (}$ au sens des électroniciens ${\big )}\;$ ^[52]
           Remarque : La définition de la transformée de Fourier inverse d'une fonction complexe d'une variable réelle holomorphe sur le domaine de définition de la fonction complexe,
           Remarque : La définition de la transformée de Fourier inverse correspondant initialement à une fonction réelle intégrable sur $\;\mathbb {R} \;$ ^[54] est prolongée en tant que
           Remarque : La définition de la transformée de Fourier inverse correspondant initialement à une distribution tempérée ^[45] $\;{\big (}$ sous réserve d'existence bien sûr ${\big )}$ .

Expression de la transformée de Fourier inverse d'une fonction complexe à symétrie hermitienne (au sens des électroniciens) d'une variable réelle sous conditions d'existence et d'intégrabilité

     « Si la fonction complexe $\;{\widehat {f}}\;$ de la variable réelle $\;\omega \;$ à symétrie hermitienne $\;{\big (}$ au sens des électroniciens ${\big )}\;$ ^[52] et holomorphe sur son domaine de définition »
     « Si la fonction complexe $\;\color {transparent}{\widehat {f}}\;$ de la variable réelle $\;\color {transparent}{\omega }\;$ est « la transformée de Fourier ^[37] d'une fonction réelle $\;f\;$ de la variable $\;t\;$ intégrable sur $\;\mathbb {R} \;$ » et
     « si $\;{\widehat {f}}(\omega )\;$ est elle-même une fonction intégrable », on admet la formule de « transformation de Fourier inverse ^[37] $\;{\mathcal {F}}^{-1}\!\left\lbrace \right\rbrace \;$ » appliquée à $\;{\widehat {f}}(\omega )\;$
     « si $\;\color {transparent}{{\widehat {f}}(\omega )}\;$ est elle-même une fonction intégrable », on admet la formule permettant $\;{\big (}$ sous conditions appropriées ${\big )}\;$ de retrouver l'originale $\;f(t)\;$ à partir de $\;{\widehat {f}}(\omega )$ :

«

\;f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\!\left\lbrace {\widehat {f}}\right\rbrace ={\dfrac {1}{2\,\pi }}\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\widehat {f}}(\omega )\;\exp(i\;\omega \;t)\;d\omega \;

» ^[11]

\Leftrightarrow

«

\;{\widehat {f}}(\omega )={\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace =\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp(-i\;\omega \;t)\;dt\;

» ^[11].

     Remarque 1 : Pour les électroniciens « la variable $\;t\;$ représente le temps » et « la variable $\;\omega \;$ la pulsation qu'ils préfèrent usuellement remplacer par la fréquence $\;\nu ={\dfrac {\omega }{2\;\pi }}\;$ » ^[38] d'où
     Remarque 1 : Pour les électroniciens la réécriture de l'expression de la « transformée de Fourier inverse ^[37] $\;{\mathcal {F}}^{-1}\!\left\lbrace {\widehat {f}}\right\rbrace =f\;$ en fonction de $\;\nu \;$ » ^[55]
     Remarque 1 : Pour les électroniciens « $\;f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\!\left\lbrace {\widehat {f}}\right\rbrace =\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\,d\nu \;$ » ^[56]^, ^[11] $\Leftrightarrow$ « $\;{\widehat {f}}(\nu )={\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace =\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\,dt\;$ » ^[11],
     Remarque 1 : Pour les électroniciens l'utilisation de la variable $\;\nu \;$ ayant pour conséquence une symétrisation entre transformées de Fourier directe ^[37] inverse ;
     Remarque 1 : pour obtenir une symétrisation entre transformées de Fourier directe ^[37] et inverse en utilisant la variable $\;\omega$ ,
     Remarque 1 : pour obtenir une symétrisation certains électroniciens normalisent la 1^ère en introduisant un facteur $\;{\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}$ , soit « $\;{\widehat {f}}(\omega )={\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace ={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\,dt\;$ » ^[11]^, ^[40],
     Remarque 1 : pour obtenir une symétrisation on retrouve alors ce même facteur dans l'expression de la transformée de Fourier inverse ^[37] « $\;f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\!\left\lbrace {\widehat {f}}\right\rbrace ={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\widehat {f}}(\omega )\;\exp \!\left(i\;\omega \;t\right)\,d\omega \;$ » ^[11]

d'où «

\;{\widehat {f}}(\omega )={\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace ={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;\omega \;t\right)\,dt\;

» ^[11]^, ^[40]

\Leftrightarrow

«

\;f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\!\left\lbrace {\widehat {f}}\right\rbrace ={\dfrac {1}{\sqrt {2\,\pi }}}\;\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\widehat {f}}(\omega )\;\exp \!\left(i\;\omega \;t\right)\,d\omega \;

» ^[11].

     Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\nu <0\;$ n'ayant pas de signification physique alors que la transformée de Fourier ^[37] d'une fonction $\;{\big (}$ ou distribution ${\big )}\;$ réelle $\;f\;$ de la variable réelle $\;t\;$
           Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique alors que la transformée de Fourier est définie pour toute valeur de $\;\nu \,\in \,\mathbb {R} \;$ selon
           Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique alors que la transformée de Fourier est définie « $\;{\widehat {f}}(\nu )=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\,dt\;$ » ^[39]^, ^[11],
     Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique la propriété de symétrie hermitienne $\;{\big (}$ au sens des électroniciens ${\big )}\;$ ^[52] de $\;{\widehat {f}}(\nu )\;$ soit « $\;{\widehat {f}}(-\nu )=\left[{\widehat {f}}(\nu )\right]^{*}\;$ » ^[50]
     Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique la propriété nous permet de réécrire l'expression de la transformée de Fourier ^[37] inverse $\;f(t)\;$ de $\;{\widehat {f}}(\nu )\;$
     Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique la propriété nous permet de réécrire en utilisant uniquement les fréquences $\;\nu \geqslant 0$ , en effet,
     Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique l'expression de la transformée de Fourier inverse ^[37] de $\;{\widehat {f}}(\nu )\;$ s'écrivant « $\;f(t)=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\,d\nu \;$ » ^[11]
           Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique l'expression de la transformée de Fourier inverse de $\;\color {transparent}{{\widehat {f}}(\nu )}\;$ s'écrivant ${\big (}$ voir remarque 1 ci-dessus ${\big )}$
     Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique l'expression se décompose tout d'abord en une somme de deux intégrales généralisées, l'une sur les fréquences $\;\leqslant 0\;$ et
     Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique l'expression se décompose tout d'abord en une somme de deux intégrales généralisées, l'autre sur les fréquences $\;\geqslant 0\;$
     Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique l'expression se décompose selon « $\;f(t)=\displaystyle \int _{-\infty }^{0}{\widehat {f}}(\nu ')\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu '\;t\right)\,d\nu '+\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\,d\nu \;$ » ^[11],
     Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique la 1^ère intégrale généralisée « $\;\displaystyle \int _{-\infty }^{0}{\widehat {f}}(\nu ')\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu '\;t\right)\,d\nu '\;$ » ^[11] se transformant en posant $\;\nu =-\nu '\;$ suivant
     Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique la 1^ère intégrale généralisée « $\;-\displaystyle \int _{+\infty }^{0}{\widehat {f}}(-\nu )\;\exp \!\left(-i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\,d\nu =\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\widehat {f}}(-\nu )\;\exp \!\left(-i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\,d\nu \;$ » ^[11] et
     Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique la 1^ère intégrale généralisée avec la propriété de symétrie hermitienne $\;{\big (}$ au sens des électroniciens ${\big )}\;$ ^[52] de $\;{\widehat {f}}(\nu )\;$
     Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique la 1^ère intégrale généralisée avec la propriété « $\;{\widehat {f}}(-\nu )=\left[{\widehat {f}}(\nu )\right]^{*}\;$ » ^[50] cette 1^ère intégrale généralisée se réécrit selon
     Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique la 1^ère intégrale généralisée « $\;\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\left[{\widehat {f}}(\nu )\right]^{*}\,\exp \!\left(-i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\,d\nu =\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\left[{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\right]^{*}\,d\nu \;$ » ^[11]^, ^[50]
    Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification phys d'où la réécriture de l'expression de la transformée de Fourier ^[37] inverse $\;f(t)\;$ de $\;{\widehat {f}}(\nu )\;$ selon
     Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique « $\;f(t)=\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\left[{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\right]^{*}\,d\nu +\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\,d\nu \;$ ^[11]^, ^[50]
     Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique « $\;\color {transparent}{f(t)}$ $=\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\left\lbrace \left[{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\right]^{*}+{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\right\rbrace \,d\nu \;$ » ^[11]^, ^[50] ou encore,
     Remarque 2 : La notion de fréquence $\;\color {transparent}{\nu <0}\;$ n'ayant pas de signification physique « $\;f(t)=\displaystyle \int _{0}^{+\infty }2\;\Re \!\left[{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\right]\,d\nu \;$ » ^[11]^, ^[57].

Lien entre transformée de Fourier d'une fonction réelle et développement en série de Fourier quand cette fonction réelle est périodique

Tableau comparatif entre transformée de Fourier ^[37] d'une fonction réelle et 3^ème développement en série de Fourier ^[37] d'une fonction réelle périodique ^[58] :

Expression d'une fonction réelle à l'aide de sa transformée de Fourier ^[37] et évaluation de la transformée de Fourier ^[37] relativement à la fonction réelle	3^ème développement en série de Fourier ^[37] d'une fonction réelle périodique et évaluation des cœfficients du développement à l'aide de la fonction réelle
$\;f(t)=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\,2\,\pi \,\nu \,t\right)d\nu \;$ $\;f(t)\;$ étant une fonction réelle intégrable ainsi que $\;{\widehat {f}}(\nu )$ ; on ajoute les composantes élémentaires $\;{\widehat {f}}(\nu )\,\exp \!\left(i\,2\,\pi \,\nu \,t\right)\,d\nu \,$ en intégrant sur la fréquence généralisée de $\;-\infty \;$ à $\;+\infty$ ;	$\;f(t)=\sum \limits _{n\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[{\underline {C'}}_{n}\,\exp(i\,2\,\pi \,n\,\nu \,t)\right]\;$ $\;f(t)\;$ étant une fonction réelle $\;T$ -périodique ; on ajoute tous les harmoniques généralisés de fréquence généralisée $\;n\,\nu \;$ pour $\;n\;$ entier relatif de $\;-\infty \;$ à $\;+\infty$ ;
$\;{\widehat {f}}(\nu )=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp \!\left(-i\,2\,\pi \,\nu \,t\right)dt$ ; on ajoute toutes les grandeurs élémentaires $\;f(t)\;\exp \!\left(-i\,2\,\pi \,\nu \,t\right)dt\;$ en intégrant sur $\;t\;$ de $\;-\infty \;$ à $\;+\infty$ ;	$\;{\underline {C'}}_{n}={\dfrac {1}{T}}\displaystyle \int _{0}^{T}f(t)\,\exp(-i\,2\,\pi \,n\,\nu \,t)\,dt$ ; on ajoute toutes les grandeurs élémentaires $\;f(t)\;\exp \!\left(-i\,2\,\pi \,n\,\nu \,t\right)dt\;$ en intégrant sur $\;t\;$ de $\;0\;$ à $\;T\;$ et en divisant par $\;T$ ;
$\;\vert {\widehat {f}}(\nu )\vert$ représentée en fonction de $\;\nu \,\in \,\mathbb {R} \;$ définit un spectre d'amplitude du signal et ce spectre est continu ;	$\;\vert {\underline {C'}}_{n}\vert$ représentée en fonction de $\;n\,\nu \;(n\,\in \,\mathbb {Z} )\;$ définit un spectre d'amplitude du signal et ce spectre est discret.

Notes et références

↑ ^1,00 ^1,01 ^1,02 ^1,03 ^1,04 ^1,05 ^1,06 ^1,07 ^1,08 ^1,09 ^1,10 ^1,11 ^1,12 ^1,13 ^1,14 ^1,15 ^1,16 ^1,17 ^1,18 ^1,19 ^1,20 ^1,21 ^1,22 ^1,23 ^1,24 ^1,25 ^1,26 ^1,27 ^1,28 ^1,29 ^1,30 ^1,31 ^1,32 et ^1,33 Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) mathématicien, astronome et physicien français, à qui on doit des contributions fondamentales dans différents champs des mathématiques, de l'astronomie et de la théorie des probabilités ; dans le domaine de la physique pratique on lui doit la théorie de l'attraction capillaire $\;{\big (}$ expliquant ce qui se passe dans les tubes capillaires ou dans les bulles d'air d'un liquide ${\big )}\;$ ainsi que la raison expliquant pourquoi le calcul de Newton sur la vitesse du son sous-estime cette dernière.
Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal $\;{\big (}$ partagée de façon plus ou moins indépendante avec Gottfried Leibniz ${\big )}$ ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
Gottfried Leibniz (1646 - 1716) entre autres philosophe, scientifique, mathématicien allemand dont la contribution principale, dans le domaine mathématique, est l'invention du calcul infinitésimal $\;{\big (}$ calcul différentiel et calcul intégral ${\big )}\;$ dont la paternité doit être partagée avec Isaac Newton.
↑ La théorie des probabilités fut en fait découverte par Leonhard Euler.
Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.
↑ ^3,0 ^3,1 et ^3,2 Ou encore « à support non positif », le support d'une fonction numérique étant la partie du domaine de définition où elle n'est pas nulle, on suppose qu'elle est non nulle pour des valeurs de la variable négatives.
↑ ^4,0 ^4,1 ^4,2 et ^4,3 $\;t_{0}\;$ étant un réel quelconque $\;>0$ .
↑ ^5,0 et ^5,1 $\;t_{1}\;$ étant un réel quelconque $\;<0$ .
↑ ^6,0 ^6,1 et ^6,2 Elle n'est donc pas nécessairement définie pour $\;t=0$ .
↑
C.-à-d. que la fonction $\;\vert g(t)\vert \;$ $\;\vert g(t)\vert \;$ est majorée par $\;M\;\exp \!\left(\beta \;t\right)\;\;\forall \,\beta \,\leqslant \,\alpha _{2}\;$ $\;M\;\exp \!\left(\beta \;t\right)\;\;\forall \,\beta \,\leqslant \,\alpha _{2}\;$ et $\;\beta \,\geqslant \,\alpha _{1}\;$ $\;\beta \,\geqslant \,\alpha _{1}\;$ ceci $\;\forall \;t\,\neq \,0$ $\;\forall \;t\,\neq \,0$ ;
pour concrétiser supposns $\;\alpha _{1}=-1\;$ $\;\alpha _{1}=-1\;$ et $\;\alpha _{2}=+2$ $\;\alpha _{2}=+2$ , le fait que $\;g(t)\;$ $\;g(t)\;$ soit “ d'ordres exponentiels $\;-1\,,\,+2\;$ $\;-1\,,\,+2\;$ ” signifie que
- $\;\vert g(t)\vert \;$ est majorée par $\;M\;\exp \!\left(\beta \;t\right)\;\;\forall \,\beta \,\leqslant \,+2\;$ la contrainte la plus difficile à satisfaire étant pour $\;t<0\;$ ${\big [}$ en particulier, quand $\;t\rightarrow -\infty$ , il faut que $\;\vert g(t)\vert \;\rightarrow 0\;$ plus rapidement $\;{\big (}$ au sens large ${\big )}\;$ que $\;\exp \!\left(-2\;\vert t\vert \right){\big ]}\;$ et
- $\;\vert g(t)\vert \;$ est majorée par $\;M\;\exp \!\left(\beta \;t\right)\;\;\forall \,\beta \,\geqslant \,-1\;$ la contrainte la plus difficile à satisfaire étant pour $\;t>0\;$ ${\big [}$ en particulier, quand $\;t\rightarrow +\infty$ , il faut que $\;\vert g(t)\vert \;\rightarrow 0\;$ plus rapidement $\;{\big (}$ au sens large ${\big )}\;$ que $\;\exp \!\left(-t\right){\big ]}$ .
↑ C.-à-d. au voisinage de $\;0$ , la « condition d'existence de $\;\displaystyle \int _{0}^{\varepsilon }g(t)\;dt\;$ $\;{\big [}\varepsilon \;\in \;{\mathcal {V}}(0^{+}){\big ]}\;$ et de $\;\displaystyle \int _{\varepsilon '}^{0}g(t)\;dt\;$ $\;{\big [}\varepsilon '\;\in \;{\mathcal {V}}(0^{-}){\big ]}\;$ » étant « $\;\exists \;\gamma \in \left]0\,;1\right[\;$ tels que $\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,0}\left[t^{\gamma }\;\vert g(t)\vert \right]=0\;$ » ;
on en conclut qu'il n'existe pas de transformée bilatérale de Laplace de la fonction $\;g(t)={\dfrac {1}{t}}\;$ puisqu'elle ne respecte pas cette condition.
↑ Un exemple de fonction ne respectant pas cette condition est $\;g(t)=\exp(t^{2})$ , on en conclut qu'il n'existe pas de transformée bilatérale de Laplace de la fonction $\;g(t)=\exp(t^{2})$ .
↑ ^10,0 et ^10,1 Bien que $\;p\;$ soit complexe, l'usage veut qu'on ne l'écrive pas $\;{\underline {p}}\;$ pour simplifier l'écriture.
↑ ^11,00 ^11,01 ^11,02 ^11,03 ^11,04 ^11,05 ^11,06 ^11,07 ^11,08 ^11,09 ^11,10 ^11,11 ^11,12 ^11,13 ^11,14 ^11,15 ^11,16 ^11,17 ^11,18 ^11,19 ^11,20 ^11,21 ^11,22 ^11,23 ^11,24 ^11,25 ^11,26 ^11,27 ^11,28 ^11,29 ^11,30 ^11,31 ^11,32 ^11,33 ^11,34 ^11,35 ^11,36 ^11,37 ^11,38 ^11,39 ^11,40 ^11,41 ^11,42 ^11,43 et ^11,44 Voir le paragraphe « intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie » du chap. $18$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
↑ À ma connaissance il n'y a pas de nom donné à cet intervalle contrairement à $\;\alpha \;$ dans la transformation monolatérale de Laplace qui est appelée « abscisse de convergence » ; par contre la bande engendrée dans le plan complexe par la condition $\;\alpha _{1}<\Re (p)<\alpha _{2}\;$ porte le nom de « bande de convergence ».
↑ ^13,0 et ^13,1 Au sens des distributions.
↑ Ceci nécessitant que $\;\exp \!\left(-\beta \;t\right)\;g(t)\;$ où $\;g(t)\;$ est la distribution et $\;\beta \;$ un réel quelconque $\;\in \left[\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right]\;$ soit une distribution tempérée ^{niveau BAC + 3} comme par exemple une distribution à support compact $\;{\big (}$ le support d'une distribution étant le plus petit fermé en dehors duquel la distribution est nulle, ce support est compact si tout recouvrement par des ouverts se fait avec un nombre fini d'ouverts ${\big )}$ ,
   par exemple le pic de Dirac d'impulsion unité $\;\delta (t)\;$ ${\big [}$ voir le paragraphe « pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ a pour support le singleton $\;\left\lbrace 0\right\rbrace$ , évidemment compact puisque recouvert par un ouvert quelconque contenant le singleton, et
   par exemple la distribution $\;\exp \!\left(-\beta \;t\right)\;\delta (t)\;$ a également pour support le singleton $\;\left\lbrace 0\right\rbrace \;$ évidemment compact et ceci pour tout $\;\beta \in \mathbb {R}$ ;
   on peut donc définir la transformée bilatérale de Laplace du pic de Dirac d'impulsion unité, son « intervalle de convergence » étant $\;\left]-\infty \,,\,+\infty \right[$ .
   Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en $\;1933$ , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz (1915 - 2002) dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en $\;1933\;$ pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger.
   Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantique $\;{\big (}$ connu sous le nom de mécanique ondulatoire ${\big )}$ ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en $\;1933\;$ avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en $\;1935\;$ et connue sous le nom chat de Schrödinger.
   Werner Karl Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, ayant obtenu le prix Nobel de physique en $\;1932\;$ pour la création de la mécanique quantique, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène.
   Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $\;1896\;$ puis suisse en $\;1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $\;1905$ , la relativité générale en $\;1916\;$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $\;1921\;$ pour son explication de l'effet photoélectrique.
   Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, voir la note « ¹⁷ » plus loin dans ce chapitre pour plus de détails.
↑ Le domaine des hyperfonctions essentiellement créé par Mikio Satō généralise celui des distributions dont Laurent Schwartz est le principal artisan ;
   alors que le domaine de définition d'une distribution est l'axe des réels $\;{\big (}$ ou un ouvert de cet axe des réels ${\big )}$ , son domaine de valeurs étant $\;\subseteq \;$ dans $\;\left[-\infty \,,\,+\infty \right]$ ,
   alors que le domaine de déf celui d'une hyperfonction est aussi l'axe des réels $\;{\big (}$ ou un ouvert de cet axe des réels ${\big )}$ , mais son domaine de valeurs est $\;\subseteq \;$ dans $\;\mathbb {C} \;\backslash \;\mathbb {R}$ $\;{\big (}$ ou le voisinage complexe de l'ouvert de définition privé de ce dernier ${\big )}$ $\;\ldots$
   Mikio Satō (né en 1928) est un mathématicien japonais dont les travaux sont essentiellement du domaine de l'analyse algébrique.
   Laurent Schwartz (1915 - 2002) est un mathématicien français à qui on doit la théorie des distributions qui permit une description rigoureuse de la notion de pic de Dirac d'impulsion unité $\;{\big [}$ voir le paragraphe « pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;\ldots$
↑ Un seul exemple car d'une part la transformée bilatérale de Laplace n'est quasiment pas utilisée dans le domaine de la physique et
Un seul exemple car d'autre part cette transformation bilatérale de Laplace acquiert un intérêt dans le domaine des hyperfonctions qui dépasse largement le cadre de cet exposé $\;{\big [}$ voir la note ¹⁵ plus haut dans ce chapitre pour quelques menus détails supplémentaires ${\big ]}$
↑ ^17,0 et ^17,1 Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, ayant commencé sa carrière en tant qu'opérateur de télégraphie, développé de façon intuitive le calcul opérationnel pour résoudre des équations différentielles en les transformant en équations algébriques, travaillé sur la propagation des courants électriques dans des conducteurs et développé la fonction portant son nom $\;{\big (}$ encore appelée échelon ou marche ${\big )}\;$ utilisée dans l'étude de systèmes en automatique.
↑ L'intervalle de convergence de la transformée bilatérale de Laplace de $\;g(t)=Y(-t)\;$ étant « $\;\left]-\infty \,,\,0\right[\;$ » $\;{\big [}\alpha _{1}=-\infty \;$ et $\;\alpha _{2}=0{\big ]}$ .
↑ Le support d'une fonction numérique étant la partie du domaine de définition où elle n'est pas nulle, la fonction est ici dite « à support positif » $\;{\big (}$ a priori il s'agit de positif au sens large ${\big )}$ .
↑ ^20,0 ^20,1 ^20,2 et ^20,3 En supposant que la fonction traduise les effets d'une cause qui ce serait produite à l'instant $\;t=0$ , les effets ne pouvant se produire qu'à un instant postérieur à l'instant de la création de la cause, les valeurs de la fonction pour tout $\;t<0\;$ sont alors effectivement nulles ; par généralisation on maintient le qualificatif « causal » même si la fonction ne traduit pas les effets d'une cause.
↑ Ainsi $\;f(0^{+})\;$ peut être fini, ou
Ainsi $\;f(t)\;$ n'avoir aucune limite quand $\;t\rightarrow 0^{+}\;$ en restant de valeur absolue bornée $\;{\Big [}$ comme $\;\sin \!\left({\dfrac {A}{t}}\right){\Big ]}\;$ ou même
Ainsi $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ avoir une limite infinie à condition que son équivalent soit de la forme $\;{\dfrac {A}{t^{\gamma '}}}\;$ avec $\;\gamma '<\gamma \;$ tous deux $\;\in \left]0\,,\,1\right[$ .
↑ C.-à-d. que la fonction $\;\vert f(t)\vert \;$ est majorée par $\;M\;\exp \!\left(\beta \;t\right)\;\;\forall \,\beta \,\geqslant \,\alpha \;$ et $\;\forall \,t\,>\,0$ .
↑ C.-à-d. à support positif $\;{\big (}$ voir précision dans la note « ¹⁹ » plus haut dans ce chapitre ${\big )}$ .
↑ ^24,0 et ^24,1 C.-à-d. au voisinage de $\;0$ , la « condition d'existence de $\;\displaystyle \int _{0}^{\varepsilon }f(t)\;dt\;$ $\;{\big [}\varepsilon \;\in \;{\mathcal {V}}(0){\big ]}\;$ » est « $\;\exists \;\gamma \,\in \,\left]0\,;1\right[\;$ tels que $\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,0}\left[t^{\gamma }\;\vert f(t)\vert \right]=0\;$ » ;
on en conclut, par exemple, qu'il n'existe pas de transformée monolatérale de Laplace de la fonction $\;f(t)={\dfrac {1}{t}}\;$ puisqu'elle ne respecte pas cette condition.
↑ Un exemple de fonction ne respectant pas cette condition est $\;f(t)=\exp(t^{2})$ , on en conclut qu'il n'existe pas de transformée monolatérale de Laplace de la fonction $\;f(t)=\exp(t^{2})$ .
↑ Sous condition d'existence de transformée de Laplace.
↑ Alors que $\;f(0^{-})=0\;$ pour une fonction $\;f\;$ à support positif, pour une fonction $\;f\;$ à support $\;\left[0\,,\,+\infty \right[\;\cup \;{\mathcal {V}}(0^{-})$ , $\;f(0^{-})\neq 0$ .
↑ Ceci nécessitant que $\;\exp \!\left(-\beta \;t\right)\;f(t)\;$ où $\;f(t)\;$ est la distribution et $\;\beta \;$ un réel quelconque $\;\geqslant \alpha \;$ soit une distribution tempérée ^{niveau BAC + 3} comme par exemple une distribution à support compact $\;{\big (}$ le support d'une distribution étant le plus petit fermé en dehors duquel la distribution est nulle, ce support est compact si tout recouvrement par des ouverts se fait avec un nombre fini d'ouverts ${\big )}$ ,
   par exemple le pic de Dirac d'impulsion unité $\;\delta (t)\;$ ${\big [}$ voir le paragraphe « pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ a pour support le singleton $\;\left\lbrace 0\right\rbrace$ , évidemment compact puisque recouvert par un ouvert quelconque contenant le singleton, et
   par exemple la distribution $\;\exp \!\left(-\beta \;t\right)\;\delta (t)\;$ a également pour support le singleton $\;\left\lbrace 0\right\rbrace \;$ évidemment compact et ceci pour tout $\;\beta \in \mathbb {R}$ ;
   par exemple on peut donc définir la transformée monolatérale de Laplace du pic de Dirac d'impulsion unité, son abscisse de convergence $\;\alpha \;$ étant $\;-\infty$ .
   Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en $\;1933$ , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz (1915 - 2002) dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en $\;1933\;$ pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger.
   Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantique $\;{\big (}$ connu sous le nom de mécanique ondulatoire ${\big )}$ ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en $\;1933\;$ avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en $\;1935\;$ et connue sous le nom chat de Schrödinger.
   Werner Karl Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, ayant obtenu le prix Nobel de physique en $\;1932\;$ pour la création de la mécanique quantique, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène.
   Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $\;1896\;$ puis suisse en $\;1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $\;1905$ , la relativité générale en $\;1916\;$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $\;1921\;$ pour son explication de l'effet photoélectrique.
   Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, voir la note « ¹⁷ » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
↑ La fonction $\;f(t)\;$ étant causale, le fait de la multiplier par $\;Y(t)\;$ ne modifie aucunement la condition de convergence de la transformée de Laplace pour les valeurs de $\;t>0\;$ et n'en introduit aucune pour celles de $\;t<0$ .
↑ L'« intervalle de convergence » de la transformée bilatérale de Laplace de $\;f(t)\;Y(t)\;$ est $\;\left]\alpha \,,\,+\infty \right[$ .
↑ C.-à-d. dérivable $\;{\big (}$ au sens complexe ${\big )}$ .
↑ Elle doit aussi être intégrable au $\;{\mathcal {V}}(0)\;$ ${\Big \{}$ c.-à-d. au voisinage de $\;0$ , la condition d'existence de $\;\displaystyle \int _{0}^{\varepsilon }g(t)\;dt\;$ et de $\;\displaystyle \int _{\varepsilon }^{0}g(t)\;dt\;$ étant $\;\exists \;\gamma \in \left]0\,;1\right[\;$ tels que $\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,0}\left[t^{\gamma }\;\vert g(t)\vert \right]=0{\Big \}}\;$ et
Elle doit aussi être d'ordres exponentiels $\;\alpha _{1},\,\alpha _{2}\;$ ${\Bigg \{}$ c.-à-d. $\;\alpha _{1}\in \mathbb {R} \cup \left\lbrace -\infty \right\rbrace \;$ et $\;\alpha _{2}\in \mathbb {R} \;$ en étant $\;>\alpha _{1}$ , $\Leftrightarrow$
Elle doit aussi être d'ordres exponentiels $\;\color {transparent}{\alpha _{1},\,\alpha _{2}}\;$ $\color {transparent}{\Bigg \{}$ c.-à-d. $\;\exists \;M>0\;$ tels que $\;\alpha _{1}\leqslant \beta \leqslant \alpha _{2}$ , $\;\vert \exp \!\left(-\beta \;t\right)\;g(t)\vert <M,\;\forall \tau >0\;{\text{et}}\;\left[{\begin{array}{c}\forall \;t>\tau \\{\text{et}}\\\forall \;t<-\tau \end{array}}\right]{\Bigg \}}$ .
↑ Si le domaine de définition de $\;G(p)\;$ contient des valeurs de $\;p\;$ telles que $\;\Re (p)\notin \left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[\;$ alors, pour ces valeurs, $\;g(t)\;$ ne peut pas être la transformée bilatérale inverse de Laplace de $\;G(p)$ .
↑ En effet pour $\;\beta >0$ , $\;\exp(-\beta \,t)\;g(t)\;$ doit $\;\rightarrow 0\;$ quand $\;t\rightarrow -\infty \;$ ce qui nécessite que $\;g(t)\;$ y soit nulle $\;{\big [}\Leftarrow$ support de $\;g(t)\;$ positif ${\big ]}$ .
↑ En effet d'une part pour $\;\beta <0$ , $\;\exp(-\beta \,t)\;g(t)\;$ doit $\;\rightarrow 0\;$ quand $\;t\rightarrow +\infty \;$ réalisé si $\;g(t)\;$ y est nulle $\;{\big [}\Leftarrow$ support de $\;g(t)\;$ négatif ${\big ]}$ et
En effet d'autre part « $\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p}}\right\rbrace _{\Re (p)\,>\,0}\!(t)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace \left({\dfrac {1}{-p'}}\right)_{p'=-p}\right\rbrace _{\Re e(p')\,>\,0}\!(t'=-t)\;$ » ${\big [}$ si on change $\;p\;$ en $\;p'=-p\;$ il faut changer $\;t\;$ en $\;t'=-t\;$ pour conserver le comportement de $\;\exp(-\beta \,t)\,g(t)\;$ à l'infini, $\;\beta \;$ étant lui-même changé en $\;\beta '=-\beta {\big ]}$ , soit « $\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p}}\right\rbrace _{\Re (p)\,>\,0}\!(t)=$ $-{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p'}}\right\rbrace _{\Re (p')\,>\,0}\!(t'=-t)=-Y(t'=-t)\;$ ».
↑ ^36,0 et ^36,1 L'intégrabilité de la fonction étant initialement définie au sens de Riemann $\;{\big [}$ voir le paragraphe « intégrabilité d'une fonction scalaire d'une variable réelle au sens de Riemann » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ , c.-à-d. applicable à toute fonction réelle bornée et presque partout continue.
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866) mathématicien allemand ayant apporté de nombreuses contributions à l'analyse $\;{\big (}$ partie des mathématiques traitant explicitement de la notion de limite, continuité, dérivation et intégration ${\big )}\;$ et à la géométrie différentielle $\;{\big (}$ partie des mathématiques utilisant les outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie, sa principale application physique s'étant retrouvée dans la théorie de la relativité générale pour modéliser une courbure de l'espace-temps ${\big )}$ .
↑ ^37,00 ^37,01 ^37,02 ^37,03 ^37,04 ^37,05 ^37,06 ^37,07 ^37,08 ^37,09 ^37,10 ^37,11 ^37,12 ^37,13 ^37,14 ^37,15 ^37,16 ^37,17 ^37,18 ^37,19 ^37,20 ^37,21 ^37,22 ^37,23 ^37,24 ^37,25 ^37,26 ^37,27 ^37,28 ^37,29 ^37,30 ^37,31 et ^37,32 Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes $\;{\big (}$ évoqués ici ${\big )}\;$ et leur application au problème de la propagation de la chaleur $\ldots$
↑ ^38,0 et ^38,1 Physiquement une fréquence $\;{\big (}$ ou une pulsation ${\big )}\;$ étant toujours positive, il conviendrait de donner une signification à une fréquence $\;{\big (}$ ou une pulsation ${\big )}\;$ négative ; quand on transforme $\;\exp(-i\,\omega \,t)\;$ en $\;\cos(\omega \,t)-i\,\sin(\omega \,t)$ , on constate que changer $\;\omega \;$ en $\;-\omega \;$ revient à conserver la composante harmonique paire et à changer la composante harmonique impaire en son opposée d'où une signification possible que nous ne développerons pas plus.
↑ ^39,0 et ^39,1 La valeur de la transformée de Fourier est la même que ce soit la variable $\;\omega \;$ ou la variable $\;\nu \;$ mais la fonction est évidemment différente ; par abus $\;{\big (}$ et comme d'usage en physique ${\big )}\;$ nous adoptons la même lettre pour la fonction et la valeur d'où le maintien de $\;{\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace ={\widehat {f}}\;$ quand la variable est $\;\nu$ .
↑ ^40,0 ^40,1 et ^40,2 Sans conséquence tant qu'on n'introduit pas le « produit de convolution de deux fonctions », ce qu'on ne fera pas.
↑ Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866) mathématicien allemand ayant apporté de nombreuses contributions à l'analyse $\;{\big (}$ partie des mathématiques traitant explicitement de la notion de limite, continuité, dérivation et intégration ${\big )}\;$ et à la géométrie différentielle $\;{\big (}$ partie des mathématiques utilisant les outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie, sa principale application physique s'étant retrouvée dans la théorie de la relativité générale pour modéliser une courbure de l'espace-temps ${\big )}$ .
↑ Henri-Léon Lebesgue (1875 - 1941), mathématicien français, reconnu comme l'un des plus grands de la 1^ère moitié du XX^ème siècle, à qui on doit principalement sa théorie d'intégration publiée en $\;1902\;$ et associée à la notion de « mesure de Lebesgue » prolongeant le concept intuitif de volume.
↑ Il n'est donc pas nécessaire qu'elle soit continue par morceaux comme l'exige une fonction Riemann-intégrable.
↑ Michel Plancherel (1885 - 1967) mathématicien suisse, à qui on doit essentiellement des travaux en analyse harmonique dont le théorème de Plancherel étendant la transformée de Fourier aux fonctions de carré sommable.
↑ ^45,0 et ^45,1 Un exemple de distribution tempérée est une distribution à support compact $\;{\big (}$ le support d'une distribution étant le plus petit fermé en dehors duquel la distribution est nulle, ce support est compact si tout recouvrement par des ouverts se fait avec un nombre fini d'ouverts ${\big )}$ , le pic de Dirac d'impulsion unité $\;\delta (t)\;$ ${\big [}$ voir le paragraphe « pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ ayant pour support le singleton $\;\left\lbrace 0\right\rbrace$ , évidemment compact puisque recouvert par un ouvert quelconque contenant le singleton, est une distribution tempérée, on peut donc définir la transformée de Fourier du pic de Dirac d'impulsion unité.
↑ Laurent Schwartz (1915 - 2002) mathématicien français du XX^ème siècle qui reçut la médaille Fields en $\;1950$ , pour la finalisation de la théorie des distributions $\;{\big [}$ initiée par Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en $\;1933$ , à qui on doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, et qui, pour les besoins du formalisme quantique, inventa la notion, sans fondement mathématique précis, de distribution de Dirac ${\big ]}$ ;
outre un très grand mathématicien, Laurent Schwartz fut un ardent défenseur des droits de l'homme, dénonçant la torture pratiquée pendant la guerre d'Algérie, ayant été l'un des fondateurs du comité “ Maurice Audin ” $\;{\big [}$ Maurice Audin (1932 - 1957) mathématicien français, militant de l'indépendance algérienne, arrêté par les militaires français le 11 juin 1957 pendant la bataille d'Alger et maintenu en détention pour être interrogé par des parachutistes ${\big ]}$ , ayant organisé la soutenance de thèse de Maurice Audin en l'absence de ce dernier dans le grand amphithéâtre de la Sorbonne en décembre 1957, alors que le chercheur et militant anti-colonialiste avait disparu depuis juin 1957 et, apprit-on plus tard, était mort sous la torture lors de sa détention ;
ses positions hostiles à la guerre d'Algérie et plus généralement à la colonisation lui valurent quelques déboires dans sa vie professionnelle.
↑ L'ensemble des réels positifs ou nuls est encore noté $\;\mathbb {R} ^{+}\;$ mais les mathématiciens utilisent $\;\mathbb {R} _{+}$ .
↑ Dans le cas d'une distribution, l'intégration doit être faite au sens des distributions.
↑ C.-à-d. que $\;\exists \;M>0\;$ tels que $\;\forall \beta \geqslant 0,\;\vert \exp \!\left(-\beta \;t\right)\;f(t)\vert <\vert f(t)\vert <M,\;\forall \tau >0\;{\text{et}}\;\forall t>\tau$ assurant que la fonction est d'ordre exponentiel $\;0\;$ du côté de $\;+\infty \;$ d'une part et
C.-à-d. que $\;\exists \;M'>0\;$ tels que $\;\forall \beta \leqslant 0,\;\vert \exp \!\left(-\beta \;t\right)\;f(t)\vert <\vert f(t)\vert <M',\;\forall \tau '>0\;{\text{et}}\;\forall t<-\tau '$ assurant que la fonction est d'ordre exponentiel $\;0\;$ du côté de $\;-\infty \;$ d'autre part.
↑ ^50,00 ^50,01 ^50,02 ^50,03 ^50,04 ^50,05 ^50,06 ^50,07 ^50,08 et ^50,09 Voir la notation utilisée en physique du « conjugué du complexe $\;{\underline {z}}\;$ à savoir $\;{\underline {z}}^{*}\;$ » dans le paragraphe « notion de complexe conjugué » du chap. $10$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $\;{\big [}$ on rappelle que, dans le présent chapitre, un complexe est noté, quand il n'y a pas d'ambiguïté, sans soulignement dans le but de simplifier l'écriture ${\big ]}$ .
↑ La transformée monolatérale de Laplace de $\;f^{-}(t')\;$ étant « $\;{\mathcal {L}}_{+}\!\left\lbrace f^{-}(t')\right\rbrace \left[p\right]=\displaystyle \int _{0}^{+\infty }f^{-}(t')\;\exp \!\left(-p\;t'\right)\,dt'\;$ pour $\;\Re (p)=0\;$ ».
↑ ^52,0 ^52,1 ^52,2 ^52,3 ^52,4 ^52,5 et ^52,6
   Une fonction complexe $\;{\underline {F}}\;$ d'une variable réelle $\;\xi \;$ est « à symétrie hermitienne $\;{\big (}$ au sens des électroniciens ${\big )}\;$ » « si $\;{\underline {F}}(-\xi )=\left[{\underline {F}}(\xi )\right]^{*}\;$ avec $\;\left[{\underline {F}}(\xi )\right]^{*}\;$ conjugué de $\;{\underline {F}}(\xi )\;$ » ;
   il s'agit d'un prolongement des électroniciens de la notion « symétrie hermitienne » d'une forme sesquilinéaire $\;{\underline {f}}\left(\;,\;\right)$ $\;{\Bigg [}$ appliquant $\;H^{2}$ $\;{\big (}$ où $\;H\;$ est un $\;\mathbb {C} -$ espace vectoriel ${\big )}\;$ dans $\;\mathbb {C} \;$ selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {f}}\left(x+{\underline {\lambda }}\;x'\,,\,y\right)={\underline {f}}\left(x\,,\,y\right)+{\underline {\lambda }}^{*}\;{\underline {f}}\left(x'\,,\,y\right)\\{\underline {f}}\left(x\,,\,y+{\underline {\mu }}\;y'\right)={\underline {f}}\left(x\,,\,y\right)+{\underline {\mu }}\;{\underline {f}}\left(x\,,\,y'\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ si sesquilinéaire à gauche ${\Bigg ]}\;$ cette dernière étant à symétrie hermitienne si $\;{\underline {f}}(y\,,\,x)=\left[{\underline {f}}(x\,,\,y)\right]^{*}\!$ ,
il s'agit d'un le prolongement de la « symétrie hermitienne » à la fonction complexe $\;{\underline {F}}\;$ de la variable réelle $\;\xi \;$ traduisant que $\;{\underline {F}}\;$ est de « module pair $\;\vert {\underline {F}}(-\xi )\vert =\vert {\underline {F}}(\xi )\vert \;$ » et d'« argument impair $\;\mathrm {arg} \!\left[{\underline {F}}(-\xi )\right]$ $=-\mathrm {arg} \!\left[{\underline {F}}(\xi )\right]\;$ », ce qui n'a qu'un rapport lointain avec la « symétrie hermitienne » d'une forme sesquilinéaire d'où l'ajout « au sens des électroniciens ».
   Charles Hermite (1822 - 1901) mathématicien français connu pour ses travaux sur la théorie des nombres, les formes quadratiques, les polynômes othogonaux, les fonctions elliptiques et les équations différentielles, il fut aussi l'un des 1^ers à utiliser les matrices ; le qualificatif « hermitien » donné à certaines entités mathématiques l'a été pour lui rendre hommage.
↑ On peut dire encore que $\;f(t)\;$ est l'« originale de $\;{\widehat {f}}(\omega )\;$ » par transformation de Fourier, même si cet emploi est peu utilisé.
↑ Fonction « Riemann-intégrable » ou « Lebesgue-intégrable » ou « à carré sommable », voir le paragraphe « définition de la transformée de Fourier d'une fonction réelle d'un variable réelle intégrable (remarque 2) » plus haut dans ce chapitre.
↑ La valeur de la transformée de Fourier inverse est la même que ce soit la variable $\;\omega \;$ ou la variable $\;\nu \;$ mais la fonction est évidemment différente ; par abus $\;{\big (}$ et comme d'usage en physique ${\big )}\;$ nous adoptons la même lettre pour la fonction et la valeur d'où le maintien de $\;{\mathcal {F}}^{-1}\!\left\lbrace {\widehat {f}}\right\rbrace =f\;$ quand la variable est $\;\nu$ .
↑ En effet $\;\nu ={\dfrac {\omega }{2\,\pi }}\;$ $\Rightarrow$ $\;d\nu ={\dfrac {d\omega }{2\,\pi }}$ .
↑ En effet l'intégrande $\;{\big (}$ c.-à-d. la fonction à intégrer ${\big )}\;$ de la dernière intégrale généralisée étant la somme d'un complexe $\;{\underline {z}}\;$ et de son conjugué $\;{\underline {z}}^{*}\;$ $\Rightarrow$ « $\;{\underline {z}}^{*}+{\underline {z}}=2\;\Re ({\underline {z}})\;$ » $\;{\big [}$ voir le paragraphe « notion de complexe conjugué » du chap. $10$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .
↑ Voir le paragraphe « 3^ème développement en série de Fourier d'une fonction réelle périodique » du chap. $5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)

Changement de référentiels

Fonctions hyperboliques directes et inverses

[Laplace-1] 1,00 ^1,01 ^1,02 ^1,03 ^1,04 ^1,05 ^1,06 ^1,07 ^1,08 ^1,09 ^1,10 ^1,11 ^1,12 ^1,13 ^1,14 ^1,15 ^1,16 ^1,17 ^1,18 ^1,19 ^1,20 ^1,21 ^1,22 ^1,23 ^1,24 ^1,25 ^1,26 ^1,27 ^1,28 ^1,29 ^1,30 ^1,31 ^1,32 et ^1,33 Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) mathématicien, astronome et physicien français, à qui on doit des contributions fondamentales dans différents champs des mathématiques, de l'astronomie et de la théorie des probabilités ; dans le domaine de la physique pratique on lui doit la théorie de l'attraction capillaire $\;{\big (}$ expliquant ce qui se passe dans les tubes capillaires ou dans les bulles d'air d'un liquide ${\big )}\;$ ainsi que la raison expliquant pourquoi le calcul de Newton sur la vitesse du son sous-estime cette dernière.
Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal $\;{\big (}$ partagée de façon plus ou moins indépendante avec Gottfried Leibniz ${\big )}$ ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
Gottfried Leibniz (1646 - 1716) entre autres philosophe, scientifique, mathématicien allemand dont la contribution principale, dans le domaine mathématique, est l'invention du calcul infinitésimal $\;{\big (}$ calcul différentiel et calcul intégral ${\big )}\;$ dont la paternité doit être partagée avec Isaac Newton.

[2] La théorie des probabilités fut en fait découverte par Leonhard Euler.
Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.

[non_causale-3] 3,0 ^3,1 et ^3,2 Ou encore « à support non positif », le support d'une fonction numérique étant la partie du domaine de définition où elle n'est pas nulle, on suppose qu'elle est non nulle pour des valeurs de la variable négatives.

[t0_quelconque_positif-4] 4,0 ^4,1 ^4,2 et ^4,3 $\;t_{0}\;$ étant un réel quelconque $\;>0$ .

[t1_quelconque_négatif-5] 5,0 et ^5,1 $\;t_{1}\;$ étant un réel quelconque $\;<0$ .

[non_nécessairement_définie_pour_0-6] 6,0 ^6,1 et ^6,2 Elle n'est donc pas nécessairement définie pour $\;t=0$ .

[7] C.-à-d. que la fonction $\;\vert g(t)\vert \;$ est majorée par $\;M\;\exp \!\left(\beta \;t\right)\;\;\forall \,\beta \,\leqslant \,\alpha _{2}\;$ et $\;\beta \,\geqslant \,\alpha _{1}\;$ ceci $\;\forall \;t\,\neq \,0$ ;
pour concrétiser supposns $\;\alpha _{1}=-1\;$ et $\;\alpha _{2}=+2$ , le fait que $\;g(t)\;$ soit “ d'ordres exponentiels $\;-1\,,\,+2\;$ ” signifie que
$\;\vert g(t)\vert \;$ est majorée par $\;M\;\exp \!\left(\beta \;t\right)\;\;\forall \,\beta \,\leqslant \,+2\;$ la contrainte la plus difficile à satisfaire étant pour $\;t<0\;$ ${\big [}$ en particulier, quand $\;t\rightarrow -\infty$ , il faut que $\;\vert g(t)\vert \;\rightarrow 0\;$ plus rapidement $\;{\big (}$ au sens large ${\big )}\;$ que $\;\exp \!\left(-2\;\vert t\vert \right){\big ]}\;$ et

$\;\vert g(t)\vert \;$ est majorée par $\;M\;\exp \!\left(\beta \;t\right)\;\;\forall \,\beta \,\geqslant \,-1\;$ la contrainte la plus difficile à satisfaire étant pour $\;t>0\;$ ${\big [}$ en particulier, quand $\;t\rightarrow +\infty$ , il faut que $\;\vert g(t)\vert \;\rightarrow 0\;$ plus rapidement $\;{\big (}$ au sens large ${\big )}\;$ que $\;\exp \!\left(-t\right){\big ]}$ .

[8] $\;\vert g(t)\vert \;$ est majorée par $\;M\;\exp \!\left(\beta \;t\right)\;\;\forall \,\beta \,\leqslant \,+2\;$ la contrainte la plus difficile à satisfaire étant pour $\;t<0\;$ ${\big [}$ en particulier, quand $\;t\rightarrow -\infty$ , il faut que $\;\vert g(t)\vert \;\rightarrow 0\;$ plus rapidement $\;{\big (}$ au sens large ${\big )}\;$ que $\;\exp \!\left(-2\;\vert t\vert \right){\big ]}\;$ et

[9] $\;\vert g(t)\vert \;$ est majorée par $\;M\;\exp \!\left(\beta \;t\right)\;\;\forall \,\beta \,\geqslant \,-1\;$ la contrainte la plus difficile à satisfaire étant pour $\;t>0\;$ ${\big [}$ en particulier, quand $\;t\rightarrow +\infty$ , il faut que $\;\vert g(t)\vert \;\rightarrow 0\;$ plus rapidement $\;{\big (}$ au sens large ${\big )}\;$ que $\;\exp \!\left(-t\right){\big ]}$ .

[voisinage_de_0_-_bis-8] C.-à-d. au voisinage de $\;0$ , la « condition d'existence de $\;\displaystyle \int _{0}^{\varepsilon }g(t)\;dt\;$ $\;{\big [}\varepsilon \;\in \;{\mathcal {V}}(0^{+}){\big ]}\;$ et de $\;\displaystyle \int _{\varepsilon '}^{0}g(t)\;dt\;$ $\;{\big [}\varepsilon '\;\in \;{\mathcal {V}}(0^{-}){\big ]}\;$ » étant « $\;\exists \;\gamma \in \left]0\,;1\right[\;$ tels que $\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,0}\left[t^{\gamma }\;\vert g(t)\vert \right]=0\;$ » ;
on en conclut qu'il n'existe pas de transformée bilatérale de Laplace de la fonction $\;g(t)={\dfrac {1}{t}}\;$ puisqu'elle ne respecte pas cette condition.

[9] Un exemple de fonction ne respectant pas cette condition est $\;g(t)=\exp(t^{2})$ , on en conclut qu'il n'existe pas de transformée bilatérale de Laplace de la fonction $\;g(t)=\exp(t^{2})$ .

[p_non_souligné-10] 10,0 et ^10,1 Bien que $\;p\;$ soit complexe, l'usage veut qu'on ne l'écrive pas $\;{\underline {p}}\;$ pour simplifier l'écriture.

[intégrale_généralisée-11] 11,00 ^11,01 ^11,02 ^11,03 ^11,04 ^11,05 ^11,06 ^11,07 ^11,08 ^11,09 ^11,10 ^11,11 ^11,12 ^11,13 ^11,14 ^11,15 ^11,16 ^11,17 ^11,18 ^11,19 ^11,20 ^11,21 ^11,22 ^11,23 ^11,24 ^11,25 ^11,26 ^11,27 ^11,28 ^11,29 ^11,30 ^11,31 ^11,32 ^11,33 ^11,34 ^11,35 ^11,36 ^11,37 ^11,38 ^11,39 ^11,40 ^11,41 ^11,42 ^11,43 et ^11,44 Voir le paragraphe « intégrale généralisée d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle ouvert dont au moins une des bornes est infinie » du chap. $18$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

[12] À ma connaissance il n'y a pas de nom donné à cet intervalle contrairement à $\;\alpha \;$ dans la transformation monolatérale de Laplace qui est appelée « abscisse de convergence » ; par contre la bande engendrée dans le plan complexe par la condition $\;\alpha _{1}<\Re (p)<\alpha _{2}\;$ porte le nom de « bande de convergence ».

[sens_des_distributions-13] 13,0 et ^13,1 Au sens des distributions.

[14] Ceci nécessitant que $\;\exp \!\left(-\beta \;t\right)\;g(t)\;$ où $\;g(t)\;$ est la distribution et $\;\beta \;$ un réel quelconque $\;\in \left[\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right]\;$ soit une distribution tempérée ^{niveau BAC + 3} comme par exemple une distribution à support compact $\;{\big (}$ le support d'une distribution étant le plus petit fermé en dehors duquel la distribution est nulle, ce support est compact si tout recouvrement par des ouverts se fait avec un nombre fini d'ouverts ${\big )}$ ,
par exemple le pic de Dirac d'impulsion unité $\;\delta (t)\;$ ${\big [}$ voir le paragraphe « pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ a pour support le singleton $\;\left\lbrace 0\right\rbrace$ , évidemment compact puisque recouvert par un ouvert quelconque contenant le singleton, et
par exemple la distribution $\;\exp \!\left(-\beta \;t\right)\;\delta (t)\;$ a également pour support le singleton $\;\left\lbrace 0\right\rbrace \;$ évidemment compact et ceci pour tout $\;\beta \in \mathbb {R}$ ;
on peut donc définir la transformée bilatérale de Laplace du pic de Dirac d'impulsion unité, son « intervalle de convergence » étant $\;\left]-\infty \,,\,+\infty \right[$ .
Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en $\;1933$ , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz (1915 - 2002) dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en $\;1933\;$ pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger.
Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantique $\;{\big (}$ connu sous le nom de mécanique ondulatoire ${\big )}$ ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en $\;1933\;$ avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en $\;1935\;$ et connue sous le nom chat de Schrödinger.
Werner Karl Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, ayant obtenu le prix Nobel de physique en $\;1932\;$ pour la création de la mécanique quantique, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène.
Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $\;1896\;$ puis suisse en $\;1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $\;1905$ , la relativité générale en $\;1916\;$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $\;1921\;$ pour son explication de l'effet photoélectrique.
Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, voir la note « ¹⁷ » plus loin dans ce chapitre pour plus de détails.

[hyperfonction-15] Le domaine des hyperfonctions essentiellement créé par Mikio Satō généralise celui des distributions dont Laurent Schwartz est le principal artisan ;
alors que le domaine de définition d'une distribution est l'axe des réels $\;{\big (}$ ou un ouvert de cet axe des réels ${\big )}$ , son domaine de valeurs étant $\;\subseteq \;$ dans $\;\left[-\infty \,,\,+\infty \right]$ ,
alors que le domaine de déf celui d'une hyperfonction est aussi l'axe des réels $\;{\big (}$ ou un ouvert de cet axe des réels ${\big )}$ , mais son domaine de valeurs est $\;\subseteq \;$ dans $\;\mathbb {C} \;\backslash \;\mathbb {R}$ $\;{\big (}$ ou le voisinage complexe de l'ouvert de définition privé de ce dernier ${\big )}$ $\;\ldots$
Mikio Satō (né en 1928) est un mathématicien japonais dont les travaux sont essentiellement du domaine de l'analyse algébrique.
Laurent Schwartz (1915 - 2002) est un mathématicien français à qui on doit la théorie des distributions qui permit une description rigoureuse de la notion de pic de Dirac d'impulsion unité $\;{\big [}$ voir le paragraphe « pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;\ldots$

[16] Un seul exemple car d'une part la transformée bilatérale de Laplace n'est quasiment pas utilisée dans le domaine de la physique et
Un seul exemple car d'autre part cette transformation bilatérale de Laplace acquiert un intérêt dans le domaine des hyperfonctions qui dépasse largement le cadre de cet exposé $\;{\big [}$ voir la note ¹⁵ plus haut dans ce chapitre pour quelques menus détails supplémentaires ${\big ]}$

[Heaviside-17] 17,0 et ^17,1 Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, ayant commencé sa carrière en tant qu'opérateur de télégraphie, développé de façon intuitive le calcul opérationnel pour résoudre des équations différentielles en les transformant en équations algébriques, travaillé sur la propagation des courants électriques dans des conducteurs et développé la fonction portant son nom $\;{\big (}$ encore appelée échelon ou marche ${\big )}\;$ utilisée dans l'étude de systèmes en automatique.

[18] L'intervalle de convergence de la transformée bilatérale de Laplace de $\;g(t)=Y(-t)\;$ étant « $\;\left]-\infty \,,\,0\right[\;$ » $\;{\big [}\alpha _{1}=-\infty \;$ et $\;\alpha _{2}=0{\big ]}$ .

[support_positif_au_sens_large-19] Le support d'une fonction numérique étant la partie du domaine de définition où elle n'est pas nulle, la fonction est ici dite « à support positif » $\;{\big (}$ a priori il s'agit de positif au sens large ${\big )}$ .

[causale-20] 20,0 ^20,1 ^20,2 et ^20,3 En supposant que la fonction traduise les effets d'une cause qui ce serait produite à l'instant $\;t=0$ , les effets ne pouvant se produire qu'à un instant postérieur à l'instant de la création de la cause, les valeurs de la fonction pour tout $\;t<0\;$ sont alors effectivement nulles ; par généralisation on maintient le qualificatif « causal » même si la fonction ne traduit pas les effets d'une cause.

[21] Ainsi $\;f(0^{+})\;$ peut être fini, ou
Ainsi $\;f(t)\;$ n'avoir aucune limite quand $\;t\rightarrow 0^{+}\;$ en restant de valeur absolue bornée $\;{\Big [}$ comme $\;\sin \!\left({\dfrac {A}{t}}\right){\Big ]}\;$ ou même
Ainsi $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ avoir une limite infinie à condition que son équivalent soit de la forme $\;{\dfrac {A}{t^{\gamma '}}}\;$ avec $\;\gamma '<\gamma \;$ tous deux $\;\in \left]0\,,\,1\right[$ .

[22] C.-à-d. que la fonction $\;\vert f(t)\vert \;$ est majorée par $\;M\;\exp \!\left(\beta \;t\right)\;\;\forall \,\beta \,\geqslant \,\alpha \;$ et $\;\forall \,t\,>\,0$ .

[support_positif-23] C.-à-d. à support positif $\;{\big (}$ voir précision dans la note « ¹⁹ » plus haut dans ce chapitre ${\big )}$ .

[voisinage_de_0-24] 24,0 et ^24,1 C.-à-d. au voisinage de $\;0$ , la « condition d'existence de $\;\displaystyle \int _{0}^{\varepsilon }f(t)\;dt\;$ $\;{\big [}\varepsilon \;\in \;{\mathcal {V}}(0){\big ]}\;$ » est « $\;\exists \;\gamma \,\in \,\left]0\,;1\right[\;$ tels que $\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,0}\left[t^{\gamma }\;\vert f(t)\vert \right]=0\;$ » ;
on en conclut, par exemple, qu'il n'existe pas de transformée monolatérale de Laplace de la fonction $\;f(t)={\dfrac {1}{t}}\;$ puisqu'elle ne respecte pas cette condition.

[25] Un exemple de fonction ne respectant pas cette condition est $\;f(t)=\exp(t^{2})$ , on en conclut qu'il n'existe pas de transformée monolatérale de Laplace de la fonction $\;f(t)=\exp(t^{2})$ .

[condition_d'existence_de_transformée_de_Laplace-26] Sous condition d'existence de transformée de Laplace.

[f(0-)_différent_de_0-27] Alors que $\;f(0^{-})=0\;$ pour une fonction $\;f\;$ à support positif, pour une fonction $\;f\;$ à support $\;\left[0\,,\,+\infty \right[\;\cup \;{\mathcal {V}}(0^{-})$ , $\;f(0^{-})\neq 0$ .

[convergence_de_transformée_de_Laplace_d'une_distribution-28] Ceci nécessitant que $\;\exp \!\left(-\beta \;t\right)\;f(t)\;$ où $\;f(t)\;$ est la distribution et $\;\beta \;$ un réel quelconque $\;\geqslant \alpha \;$ soit une distribution tempérée ^{niveau BAC + 3} comme par exemple une distribution à support compact $\;{\big (}$ le support d'une distribution étant le plus petit fermé en dehors duquel la distribution est nulle, ce support est compact si tout recouvrement par des ouverts se fait avec un nombre fini d'ouverts ${\big )}$ ,
par exemple le pic de Dirac d'impulsion unité $\;\delta (t)\;$ ${\big [}$ voir le paragraphe « pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ a pour support le singleton $\;\left\lbrace 0\right\rbrace$ , évidemment compact puisque recouvert par un ouvert quelconque contenant le singleton, et
par exemple la distribution $\;\exp \!\left(-\beta \;t\right)\;\delta (t)\;$ a également pour support le singleton $\;\left\lbrace 0\right\rbrace \;$ évidemment compact et ceci pour tout $\;\beta \in \mathbb {R}$ ;
par exemple on peut donc définir la transformée monolatérale de Laplace du pic de Dirac d'impulsion unité, son abscisse de convergence $\;\alpha \;$ étant $\;-\infty$ .
Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en $\;1933$ , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz (1915 - 2002) dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en $\;1933\;$ pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger.
Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantique $\;{\big (}$ connu sous le nom de mécanique ondulatoire ${\big )}$ ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en $\;1933\;$ avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en $\;1935\;$ et connue sous le nom chat de Schrödinger.
Werner Karl Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, ayant obtenu le prix Nobel de physique en $\;1932\;$ pour la création de la mécanique quantique, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène.
Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en $\;1896\;$ puis suisse en $\;1901$ ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en $\;1905$ , la relativité générale en $\;1916\;$ ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en $\;1921\;$ pour son explication de l'effet photoélectrique.
Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, voir la note « ¹⁷ » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.

[29] La fonction $\;f(t)\;$ étant causale, le fait de la multiplier par $\;Y(t)\;$ ne modifie aucunement la condition de convergence de la transformée de Laplace pour les valeurs de $\;t>0\;$ et n'en introduit aucune pour celles de $\;t<0$ .

[30] L'« intervalle de convergence » de la transformée bilatérale de Laplace de $\;f(t)\;Y(t)\;$ est $\;\left]\alpha \,,\,+\infty \right[$ .

[holomorphe-31] C.-à-d. dérivable $\;{\big (}$ au sens complexe ${\big )}$ .

[32] Elle doit aussi être intégrable au $\;{\mathcal {V}}(0)\;$ ${\Big \{}$ c.-à-d. au voisinage de $\;0$ , la condition d'existence de $\;\displaystyle \int _{0}^{\varepsilon }g(t)\;dt\;$ et de $\;\displaystyle \int _{\varepsilon }^{0}g(t)\;dt\;$ étant $\;\exists \;\gamma \in \left]0\,;1\right[\;$ tels que $\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,0}\left[t^{\gamma }\;\vert g(t)\vert \right]=0{\Big \}}\;$ et
Elle doit aussi être d'ordres exponentiels $\;\alpha _{1},\,\alpha _{2}\;$ ${\Bigg \{}$ c.-à-d. $\;\alpha _{1}\in \mathbb {R} \cup \left\lbrace -\infty \right\rbrace \;$ et $\;\alpha _{2}\in \mathbb {R} \;$ en étant $\;>\alpha _{1}$ , $\Leftrightarrow$
Elle doit aussi être d'ordres exponentiels $\;\color {transparent}{\alpha _{1},\,\alpha _{2}}\;$ $\color {transparent}{\Bigg \{}$ c.-à-d. $\;\exists \;M>0\;$ tels que $\;\alpha _{1}\leqslant \beta \leqslant \alpha _{2}$ , $\;\vert \exp \!\left(-\beta \;t\right)\;g(t)\vert <M,\;\forall \tau >0\;{\text{et}}\;\left[{\begin{array}{c}\forall \;t>\tau \\{\text{et}}\\\forall \;t<-\tau \end{array}}\right]{\Bigg \}}$ .

[33] Si le domaine de définition de $\;G(p)\;$ contient des valeurs de $\;p\;$ telles que $\;\Re (p)\notin \left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[\;$ alors, pour ces valeurs, $\;g(t)\;$ ne peut pas être la transformée bilatérale inverse de Laplace de $\;G(p)$ .

[34] En effet pour $\;\beta >0$ , $\;\exp(-\beta \,t)\;g(t)\;$ doit $\;\rightarrow 0\;$ quand $\;t\rightarrow -\infty \;$ ce qui nécessite que $\;g(t)\;$ y soit nulle $\;{\big [}\Leftarrow$ support de $\;g(t)\;$ positif ${\big ]}$ .

[35] En effet d'une part pour $\;\beta <0$ , $\;\exp(-\beta \,t)\;g(t)\;$ doit $\;\rightarrow 0\;$ quand $\;t\rightarrow +\infty \;$ réalisé si $\;g(t)\;$ y est nulle $\;{\big [}\Leftarrow$ support de $\;g(t)\;$ négatif ${\big ]}$ et
En effet d'autre part « $\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p}}\right\rbrace _{\Re (p)\,>\,0}\!(t)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace \left({\dfrac {1}{-p'}}\right)_{p'=-p}\right\rbrace _{\Re e(p')\,>\,0}\!(t'=-t)\;$ » ${\big [}$ si on change $\;p\;$ en $\;p'=-p\;$ il faut changer $\;t\;$ en $\;t'=-t\;$ pour conserver le comportement de $\;\exp(-\beta \,t)\,g(t)\;$ à l'infini, $\;\beta \;$ étant lui-même changé en $\;\beta '=-\beta {\big ]}$ , soit « $\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p}}\right\rbrace _{\Re (p)\,>\,0}\!(t)=$ $-{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p'}}\right\rbrace _{\Re (p')\,>\,0}\!(t'=-t)=-Y(t'=-t)\;$ ».

[intégrabilité_d'une_fonction-36] 36,0 et ^36,1 L'intégrabilité de la fonction étant initialement définie au sens de Riemann $\;{\big [}$ voir le paragraphe « intégrabilité d'une fonction scalaire d'une variable réelle au sens de Riemann » du chap. $15$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ , c.-à-d. applicable à toute fonction réelle bornée et presque partout continue.
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866) mathématicien allemand ayant apporté de nombreuses contributions à l'analyse $\;{\big (}$ partie des mathématiques traitant explicitement de la notion de limite, continuité, dérivation et intégration ${\big )}\;$ et à la géométrie différentielle $\;{\big (}$ partie des mathématiques utilisant les outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie, sa principale application physique s'étant retrouvée dans la théorie de la relativité générale pour modéliser une courbure de l'espace-temps ${\big )}$ .

[Fourier-37] 37,00 ^37,01 ^37,02 ^37,03 ^37,04 ^37,05 ^37,06 ^37,07 ^37,08 ^37,09 ^37,10 ^37,11 ^37,12 ^37,13 ^37,14 ^37,15 ^37,16 ^37,17 ^37,18 ^37,19 ^37,20 ^37,21 ^37,22 ^37,23 ^37,24 ^37,25 ^37,26 ^37,27 ^37,28 ^37,29 ^37,30 ^37,31 et ^37,32 Joseph Fourier (1768 – 1830) mathématicien et physicien français connu pour ses travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques convergentes $\;{\big (}$ évoqués ici ${\big )}\;$ et leur application au problème de la propagation de la chaleur $\ldots$

[signification_de_fréquence_négative-38] 38,0 et ^38,1 Physiquement une fréquence $\;{\big (}$ ou une pulsation ${\big )}\;$ étant toujours positive, il conviendrait de donner une signification à une fréquence $\;{\big (}$ ou une pulsation ${\big )}\;$ négative ; quand on transforme $\;\exp(-i\,\omega \,t)\;$ en $\;\cos(\omega \,t)-i\,\sin(\omega \,t)$ , on constate que changer $\;\omega \;$ en $\;-\omega \;$ revient à conserver la composante harmonique paire et à changer la composante harmonique impaire en son opposée d'où une signification possible que nous ne développerons pas plus.

[abus_de_notation_sur_fonction-39] 39,0 et ^39,1 La valeur de la transformée de Fourier est la même que ce soit la variable $\;\omega \;$ ou la variable $\;\nu \;$ mais la fonction est évidemment différente ; par abus $\;{\big (}$ et comme d'usage en physique ${\big )}\;$ nous adoptons la même lettre pour la fonction et la valeur d'où le maintien de $\;{\mathcal {F}}\!\left\lbrace f\right\rbrace ={\widehat {f}}\;$ quand la variable est $\;\nu$ .

[conséquence_du_facteur_multiplicatif_dans_transformée_de_Fourier-40] 40,0 ^40,1 et ^40,2 Sans conséquence tant qu'on n'introduit pas le « produit de convolution de deux fonctions », ce qu'on ne fera pas.

[Riemann-41] Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866) mathématicien allemand ayant apporté de nombreuses contributions à l'analyse $\;{\big (}$ partie des mathématiques traitant explicitement de la notion de limite, continuité, dérivation et intégration ${\big )}\;$ et à la géométrie différentielle $\;{\big (}$ partie des mathématiques utilisant les outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie, sa principale application physique s'étant retrouvée dans la théorie de la relativité générale pour modéliser une courbure de l'espace-temps ${\big )}$ .

[Lebesque-42] Henri-Léon Lebesgue (1875 - 1941), mathématicien français, reconnu comme l'un des plus grands de la 1^ère moitié du XX^ème siècle, à qui on doit principalement sa théorie d'intégration publiée en $\;1902\;$ et associée à la notion de « mesure de Lebesgue » prolongeant le concept intuitif de volume.

[43] Il n'est donc pas nécessaire qu'elle soit continue par morceaux comme l'exige une fonction Riemann-intégrable.

[Plancherel-44] Michel Plancherel (1885 - 1967) mathématicien suisse, à qui on doit essentiellement des travaux en analyse harmonique dont le théorème de Plancherel étendant la transformée de Fourier aux fonctions de carré sommable.

[distribution_tempérée-45] 45,0 et ^45,1 Un exemple de distribution tempérée est une distribution à support compact $\;{\big (}$ le support d'une distribution étant le plus petit fermé en dehors duquel la distribution est nulle, ce support est compact si tout recouvrement par des ouverts se fait avec un nombre fini d'ouverts ${\big )}$ , le pic de Dirac d'impulsion unité $\;\delta (t)\;$ ${\big [}$ voir le paragraphe « pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. $21$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ ayant pour support le singleton $\;\left\lbrace 0\right\rbrace$ , évidemment compact puisque recouvert par un ouvert quelconque contenant le singleton, est une distribution tempérée, on peut donc définir la transformée de Fourier du pic de Dirac d'impulsion unité.

[Schwartz-46] Laurent Schwartz (1915 - 2002) mathématicien français du XX^ème siècle qui reçut la médaille Fields en $\;1950$ , pour la finalisation de la théorie des distributions $\;{\big [}$ initiée par Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en $\;1933$ , à qui on doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, et qui, pour les besoins du formalisme quantique, inventa la notion, sans fondement mathématique précis, de distribution de Dirac ${\big ]}$ ;
outre un très grand mathématicien, Laurent Schwartz fut un ardent défenseur des droits de l'homme, dénonçant la torture pratiquée pendant la guerre d'Algérie, ayant été l'un des fondateurs du comité “ Maurice Audin ” $\;{\big [}$ Maurice Audin (1932 - 1957) mathématicien français, militant de l'indépendance algérienne, arrêté par les militaires français le 11 juin 1957 pendant la bataille d'Alger et maintenu en détention pour être interrogé par des parachutistes ${\big ]}$ , ayant organisé la soutenance de thèse de Maurice Audin en l'absence de ce dernier dans le grand amphithéâtre de la Sorbonne en décembre 1957, alors que le chercheur et militant anti-colonialiste avait disparu depuis juin 1957 et, apprit-on plus tard, était mort sous la torture lors de sa détention ;
ses positions hostiles à la guerre d'Algérie et plus généralement à la colonisation lui valurent quelques déboires dans sa vie professionnelle.

[réel_positif_ou_nul-47] L'ensemble des réels positifs ou nuls est encore noté $\;\mathbb {R} ^{+}\;$ mais les mathématiciens utilisent $\;\mathbb {R} _{+}$ .

[sens_des_distributions_-_bis-48] Dans le cas d'une distribution, l'intégration doit être faite au sens des distributions.

[49] C.-à-d. que $\;\exists \;M>0\;$ tels que $\;\forall \beta \geqslant 0,\;\vert \exp \!\left(-\beta \;t\right)\;f(t)\vert <\vert f(t)\vert <M,\;\forall \tau >0\;{\text{et}}\;\forall t>\tau$ assurant que la fonction est d'ordre exponentiel $\;0\;$ du côté de $\;+\infty \;$ d'une part et
C.-à-d. que $\;\exists \;M'>0\;$ tels que $\;\forall \beta \leqslant 0,\;\vert \exp \!\left(-\beta \;t\right)\;f(t)\vert <\vert f(t)\vert <M',\;\forall \tau '>0\;{\text{et}}\;\forall t<-\tau '$ assurant que la fonction est d'ordre exponentiel $\;0\;$ du côté de $\;-\infty \;$ d'autre part.

[notation_physique_du_conjugué_d'un_complexe-50] 50,00 ^50,01 ^50,02 ^50,03 ^50,04 ^50,05 ^50,06 ^50,07 ^50,08 et ^50,09 Voir la notation utilisée en physique du « conjugué du complexe $\;{\underline {z}}\;$ à savoir $\;{\underline {z}}^{*}\;$ » dans le paragraphe « notion de complexe conjugué » du chap. $10$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » $\;{\big [}$ on rappelle que, dans le présent chapitre, un complexe est noté, quand il n'y a pas d'ambiguïté, sans soulignement dans le but de simplifier l'écriture ${\big ]}$ .

[51] La transformée monolatérale de Laplace de $\;f^{-}(t')\;$ étant « $\;{\mathcal {L}}_{+}\!\left\lbrace f^{-}(t')\right\rbrace \left[p\right]=\displaystyle \int _{0}^{+\infty }f^{-}(t')\;\exp \!\left(-p\;t'\right)\,dt'\;$ pour $\;\Re (p)=0\;$ ».

[symétrie_hermitienne_au_sens_des_électroniciens-52] 52,0 ^52,1 ^52,2 ^52,3 ^52,4 ^52,5 et ^52,6
Une fonction complexe $\;{\underline {F}}\;$ d'une variable réelle $\;\xi \;$ est « à symétrie hermitienne $\;{\big (}$ au sens des électroniciens ${\big )}\;$ » « si $\;{\underline {F}}(-\xi )=\left[{\underline {F}}(\xi )\right]^{*}\;$ avec $\;\left[{\underline {F}}(\xi )\right]^{*}\;$ conjugué de $\;{\underline {F}}(\xi )\;$ » ;
il s'agit d'un prolongement des électroniciens de la notion « symétrie hermitienne » d'une forme sesquilinéaire $\;{\underline {f}}\left(\;,\;\right)$ $\;{\Bigg [}$ appliquant $\;H^{2}$ $\;{\big (}$ où $\;H\;$ est un $\;\mathbb {C} -$ espace vectoriel ${\big )}\;$ dans $\;\mathbb {C} \;$ selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\underline {f}}\left(x+{\underline {\lambda }}\;x'\,,\,y\right)={\underline {f}}\left(x\,,\,y\right)+{\underline {\lambda }}^{*}\;{\underline {f}}\left(x'\,,\,y\right)\\{\underline {f}}\left(x\,,\,y+{\underline {\mu }}\;y'\right)={\underline {f}}\left(x\,,\,y\right)+{\underline {\mu }}\;{\underline {f}}\left(x\,,\,y'\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ si sesquilinéaire à gauche ${\Bigg ]}\;$ cette dernière étant à symétrie hermitienne si $\;{\underline {f}}(y\,,\,x)=\left[{\underline {f}}(x\,,\,y)\right]^{*}\!$ ,
il s'agit d'un le prolongement de la « symétrie hermitienne » à la fonction complexe $\;{\underline {F}}\;$ de la variable réelle $\;\xi \;$ traduisant que $\;{\underline {F}}\;$ est de « module pair $\;\vert {\underline {F}}(-\xi )\vert =\vert {\underline {F}}(\xi )\vert \;$ » et d'« argument impair $\;\mathrm {arg} \!\left[{\underline {F}}(-\xi )\right]$ $=-\mathrm {arg} \!\left[{\underline {F}}(\xi )\right]\;$ », ce qui n'a qu'un rapport lointain avec la « symétrie hermitienne » d'une forme sesquilinéaire d'où l'ajout « au sens des électroniciens ».
Charles Hermite (1822 - 1901) mathématicien français connu pour ses travaux sur la théorie des nombres, les formes quadratiques, les polynômes othogonaux, les fonctions elliptiques et les équations différentielles, il fut aussi l'un des 1^ers à utiliser les matrices ; le qualificatif « hermitien » donné à certaines entités mathématiques l'a été pour lui rendre hommage.

[53] On peut dire encore que $\;f(t)\;$ est l'« originale de $\;{\widehat {f}}(\omega )\;$ » par transformation de Fourier, même si cet emploi est peu utilisé.

[différents_types_d'intégrabilité-54] Fonction « Riemann-intégrable » ou « Lebesgue-intégrable » ou « à carré sommable », voir le paragraphe « définition de la transformée de Fourier d'une fonction réelle d'un variable réelle intégrable (remarque 2) » plus haut dans ce chapitre.

[abus_de_notation_sur_fonction_-_bis-55] La valeur de la transformée de Fourier inverse est la même que ce soit la variable $\;\omega \;$ ou la variable $\;\nu \;$ mais la fonction est évidemment différente ; par abus $\;{\big (}$ et comme d'usage en physique ${\big )}\;$ nous adoptons la même lettre pour la fonction et la valeur d'où le maintien de $\;{\mathcal {F}}^{-1}\!\left\lbrace {\widehat {f}}\right\rbrace =f\;$ quand la variable est $\;\nu$ .

[56] En effet $\;\nu ={\dfrac {\omega }{2\,\pi }}\;$ $\Rightarrow$ $\;d\nu ={\dfrac {d\omega }{2\,\pi }}$ .

[57] En effet l'intégrande $\;{\big (}$ c.-à-d. la fonction à intégrer ${\big )}\;$ de la dernière intégrale généralisée étant la somme d'un complexe $\;{\underline {z}}\;$ et de son conjugué $\;{\underline {z}}^{*}\;$ $\Rightarrow$ « $\;{\underline {z}}^{*}+{\underline {z}}=2\;\Re ({\underline {z}})\;$ » $\;{\big [}$ voir le paragraphe « notion de complexe conjugué » du chap. $10$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}$ .

[58] Voir le paragraphe « 3^ème développement en série de Fourier d'une fonction réelle périodique » du chap. $5$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».

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