Problème à deux corps, réduction canonique

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Exposé du problème

     Le but est de déterminer les mouvements des deux points matériels dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ le plus simplement possible et pour cela on recherche successivement :

1. le mouvement du C.D.I. $\;G\;$ dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}$ $\;{\big (}$par théorème du C.D.I.${\big )}$, ce qui permet de connaître le mouvement d'entraînement du référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ puis
2. le mouvement barycentrique de chaque point ;

     de la connaissance du mouvement barycentrique de chaque point et de celle du mouvement d’entraînement de $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, on en déduit, par composition newtonienne des mouvements, le mouvement de chaque point dans le référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}$.

     Remarque : Faire une réduction canonique du système des deux points n’est vraiment utile que dans le cas où le système est isolé ;

     Remarque : dans ce cas $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ est galiléen et il n’y a pas d’introduction de pseudo-force d’inertie d’entraînement.

Grandeurs cinétiques dans le référentiel barycentrique

Le but est d’exprimer ces grandeurs cinétiques par utilisation du mouvement relatif de $\;M_{2}\;$ par rapport à $\;M_{1}\;$.

Comparaison des quantités de mouvement barycentriques de chaque point

     La résultante cinétique barycentrique ${\vec {P}}^{*}\;$ étant nulle par propriété la liant à la vitesse barycentrique du C.D.I. $\;{\vec {P}}^{*}=(m_{1}+m_{2})\;{\vec {V}}^{*}\!(G)={\vec {0}}\;$ on déduit, de la définition de la résultante cinétique barycentrique $\;{\vec {P}}^{*}={\vec {p}}_{1}^{*}+{\vec {p}}_{2}^{*}$, que

$\;{\vec {p}}_{1}^{*}=-{\vec {p}}_{2}^{*}$, c.-a-d. les quantités de mouvement barycentrique de chaque point sont opposées.

Expression de la quantité de mouvement barycentrique de M₂ en fonction de la vitesse relative de M₂ par rapport à M₁

     De $\;{\vec {p}}_{2}^{*}=m_{2}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}^{*}}(M_{2})\;$ et de l’utilisation de la loi de composition newtonienne des vitesses dans laquelle $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ représente le référentiel d’entraînement, le référentiel absolu étant $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ nous conduisant à $\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}^{*}}(M_{2})={\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})+{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}^{*}}(M_{1})\;$ d’où $\;{\vec {p}}_{2}^{*}=m_{2}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})+m_{2}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}^{*}}(M_{1})\;$ que l'on peut réécrire en utilisant $\;{\vec {p}}_{1}^{*}=m_{1}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}^{*}}(M_{1})\;$ d'où $\;{\vec {p}}_{2}^{*}=m_{2}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})+{\dfrac {m_{2}}{m_{1}}}\;{\vec {p}}_{1}^{*}\;$ puis uniquement $\;{\vec {p}}_{2}^{*}=-{\vec {p}}_{1}^{*}\;$ soit $\;{\vec {p}}_{2}^{*}=m_{2}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})-{\dfrac {m_{2}}{m_{1}}}\;{\vec {p}}_{2}^{*}\;$ ou $\left(1+{\dfrac {m_{2}}{m_{1}}}\right){\vec {p}}_{2}^{*}=m_{2}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})\;$ soit finalement

$\;{\vec {p}}_{2}^{*}={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})$.

Expression du moment cinétique barycentrique du système en fonction du mouvement relatif de M₂ par rapport à M₁

     Le moment cinétique barycentrique du système $\;{\vec {\sigma }}^{*}\;$ étant indépendant du point origine de calcul, on peut le calculer en $\;M_{1}\;$ d'où $\;{\vec {\sigma }}^{*}=$ ${\cancel {{\overrightarrow {M_{1}M_{1}}}\wedge m_{1}\;{\vec {v}}^{*}(M_{1})}}+{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\wedge m_{2}\;{\vec {v}}^{*}(M_{2})={\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\wedge {\vec {p}}_{2}^{*}\;$ soit, en utilisant le résultat obtenu au paragraphe précédent

$\;{\vec {\sigma }}^{*}={\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\wedge {\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})$.

Expression de l'énergie cinétique barycentrique du système en fonction du mouvement relatif de M₂ par rapport à M₁

     Par définition, l'énergie cinétique barycentrique du système s'écrit $\;K^{*}={\dfrac {\left[{\vec {p}}_{1}^{*}\right]^{2}}{2\;m_{1}}}+{\dfrac {\left[{\vec {p}}_{2}^{*}\right]^{2}}{2\;m_{2}}}\;$ ou, avec $\;{\vec {p}}_{1}^{*}=-{\vec {p}}_{2}^{*}\;$ $\Rightarrow$ $\;\Vert {\vec {p}}_{1}^{*}\Vert =\Vert {\vec {p}}_{2}^{*}\Vert \;$ de valeur commune notée $\;p_{2}^{*}$, $\;K^{*}={\dfrac {\left[p_{2}^{*}\right]^{2}}{2}}\left({\dfrac {1}{m_{1}}}+{\dfrac {1}{m_{2}}}\right)=$ ${\dfrac {\left[p_{2}^{*}\right]^{2}}{2}}{\dfrac {m_{2}+m_{1}}{m_{1}\;m_{2}}}\;$ soit encore, avec $\;p_{2}^{*}={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;\Vert {\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})\Vert ={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;v_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})\;$ où $\;v_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})=\Vert {\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})\Vert \;$ et par simplification évidente

$\;K^{*}={\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\left[v_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})\right]^{2}$.

Notion de mobile réduit

Définition

     Le mobile réduit $\;M\;$ du système de deux points matériels $\;\left\lbrace M_{1}\left(m_{1}\right)\,,\,M_{2}\left(m_{2}\right)\right\rbrace \;$ est le point fictif

• de masse égale à la masse réduite du système de deux points $\;\mu ={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;$ ${\bigg [}$définition équivalente à $\;{\dfrac {1}{\mu }}={\dfrac {1}{m_{1}}}+{\dfrac {1}{m_{2}}}{\bigg ]}\;$ et
• de mouvement barycentrique tel que son vecteur position repéré par rapport à $\;G\;$ est identique, à tout instant, au vecteur position relatif de $\;M_{2}\;$ par rapport à $\;M_{1}\;$ soit $\;{\overrightarrow {GM}}(t)={\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}(t)\;\;\forall \;t$ $\;{\big [}$on peut donc affirmer que le mouvement barycentrique du mobile réduit $\;M\;$ est identique au mouvement relatif de $\;M_{2}\;$ par rapport à $\;M_{1}{\big ]}$.

     Propriétés : $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ et $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ étant en translation l’un par rapport à l’autre, les dérivées temporelles sont indépendantes du référentiel dans lequel on dérive et par suite on peut affirmer

• Propriétés : que $\;{\overrightarrow {GM}}(t)={\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}(t)\;\;\forall \;t\;$ $\Rightarrow$ $\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {GM}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}^{*}}(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{1}}(t)\;$ soit $\;{\vec {v}}^{*}(M,\,t)={\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2},\,t)\;\;\forall \;t\;$ ainsi
• Propriétés : que $\;{\vec {v}}^{*}(M,\,t)={\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2},\,t)\;\;\forall \;t\;$ $\Rightarrow$ $\;\left[{\dfrac {d{\vec {v}}^{*}(M)}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}^{*}}(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{1}}(t)\;$ soit $\;{\vec {a}}^{*}(M,\,t)={\vec {a}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2},\,t)\;\;\forall \;t$.

Grandeurs cinétiques barycentriques du mobile réduit

Quantité de mouvement barycentrique du mobile réduit

     Comme $\;{\vec {v}}^{*}(M,\,t)={\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2},\,t)\;\;\forall \;t\;$ on en déduit, en multipliant de part et d'autre par la masse réduite $\;\mu ={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$, la quantité de mouvement barycentrique du mobile réduit $\;{\vec {p}}^{*}(M,\,t)=$ $\mu \;{\vec {v}}^{*}(M,\,t)={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2},\,t)$, cette dernière expression étant aussi $\;{\vec {p}}_{2}^{*}\;$ soit

$\;{\vec {p}}^{*}(M,\,t)={\vec {p}}_{2}^{*}(t)\;$ ou encore
les quantités de mouvement barycentriques du mobile réduit $\;M\;$ et du point $\;M_{2}\;$ sont identiques à tout instant.

Moment cinétique barycentrique du mobile réduit

     D'après $\;{\vec {p}}^{*}(M,\,t)={\vec {p}}_{2}^{*}(t)\;\;\forall \;t\;$ on en déduit, en multipliant vectoriellement à gauche de part et d'autre par la masse réduite $\;{\overrightarrow {GM}}={\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}$, le moment cinétique barycentrique du mobile réduit calculé par rapport à $\;G\;$ soit $\;{\vec {\sigma }}_{G}^{*}(M,\,t)={\overrightarrow {GM}}\wedge {\vec {p}}^{*}(M,\,t)=$ ${\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\wedge {\vec {p}}_{2}^{*}(t)$, cette dernière expression étant aussi $\;{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\wedge {\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2},\,t)={\vec {\sigma }}^{*}(t)\;$ c'est-à-dire le moment cinétique barycentrique du système soit

$\;{\vec {\sigma }}_{G}^{*}(M,\,t)={\vec {\sigma }}^{*}(t)\;$ ou encore
les moments cinétiques barycentriques du mobile réduit $\;M\;$ calculé en $\;G\;$ et du système des deux points $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace \;$ sont identiques à tout instant.

Énergie cinétique barycentrique du mobile réduit

     Comme $\;{\vec {v}}^{*}(M,\,t)={\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2},\,t)\;\;\forall \;t\;$ $\Rightarrow$ $\;\left[{\vec {v}}^{*}(M,\,t)\right]^{2}=\left[{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2},\,t)\right]^{2}\;\;\forall \;t\;$ on en déduit, en multipliant de part et d'autre par la moitié de la masse réduite $\;{\dfrac {1}{2}}\;\mu ={\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$, l'énergie cinétique barycentrique du mobile réduit $\;K^{*}(M,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;\mu \left[{\vec {v}}^{*}(M,\,t)\right]^{2}=$ ${\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;\left[{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2},\,t)\right]^{2}$, cette dernière expression étant aussi l'énergie cinétique barycentrique du système des deux points $\;K^{*}\;$ soit

$\;K^{*}(M,\,t)=K^{*}(t)\;$ ou encore
les énergies cinétiques barycentriques du mobile réduit $\;M\;$ et du du système des deux points $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace \;$ sont identiques à tout instant.

Conclusion

     En conclusion les propriétés cinétiques barycentriques du mobile réduit $\;M\;$ sont celles du système des deux points $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace \;$ à l’exception de son vecteur quantité de mouvement qui s’identifie à celui de $\;M_{2}$.

Étude du mouvement barycentrique du mobile réduit dans le cas d'un système de deux points isolé

Conséquence du caractère isolé du système

     Si le système des deux points $\;\left\lbrace M_{1}\;(m_{1})\,,\,M_{2}\;(m_{2})\right\rbrace \;$ est isolé, l'application du théorème du C.D.I. dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen à ce système conduit à la propriété de mouvement rectiligne uniforme de son C.D.I. $\;G\;$ et par suite au caractère galiléen du référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ car ce dernier est en translation rectiligne uniforme par rapport à $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen.

Recherche de la force à imposer au mobile réduit pour que son mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de M₂ par rapport à M₁ et conséquence

     Si on applique la r.f.d.n. à $\;M_{2}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ galiléen on obtient $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}={\dfrac {d{\vec {p}}_{2}^{*}}{dt}}(t)\;$ ou, la quantité de mouvement barycentrique du mobile réduit $\;M\;$ s'identifiant à la quantité de mouvement barycentrique du point $\;M_{2}\;$ soit $\;{\vec {p}}_{M}^{*}(t)={\vec {p}}_{2}^{*}(t)\;\;\forall \;t$, on peut réécrire la relation précédente sous la forme $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}=$ ${\dfrac {d{\vec {p}}_{M}^{*}}{dt}}(t)\;$ et en déduire

la force à imposer au mobile réduit pour que son mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de $\;M_{2}\;$ par rapport à $\;M_{1}$ : $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}$.

     Conséquence : La force que le point $\;M_{1}\;$ exerce sur le point $\;M_{2}\;$ $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}=F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2},\,\theta _{1,\,2},\,\varphi _{1,\,2})\;{\vec {u}}_{1,\,2}\;$ devient, avec $\;{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}={\overrightarrow {GM}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;r_{1,\,2}\;{\vec {u}}_{1,\,2}=r_{M}\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$,

$\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}=F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{M},\,\theta _{M},\,\varphi _{M})\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ $\Rightarrow$ le mobile réduit M a un mouvement à force centrale d'où
mouvement plan (ou rectiligne), application de la loi des aires, utilisation possible des formules de Binet $\;\ldots$

Cas où les forces intérieures au système de points sont conservatives

     Les forces intérieures sont conservatives ssi $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}=F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2},\,\theta _{1,\,2},\,\varphi _{1,\,2})\;{\vec {u}}_{1,\,2}\;$ est telle que $\;F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2},\,\theta _{1,\,2},\,\varphi _{1,\,2})\;$ ne dépende pas des variables angulaires mais uniquement de $\;r_{1,\,2}$ ;

     sous cette condition l'énergie potentielle d'interaction $\;U_{2\,\leftrightarrow \,1}\;$ dont dérive la force intérieure $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}=F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})\;{\vec {u}}_{1,\,2}\;$ se détermine par $\;dU_{2\,\leftrightarrow \,1}=$ $-\delta W({\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1})=-{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\cdot {\overrightarrow {dM_{1}M_{2}}}\;$ soit $\;dU_{2\,\leftrightarrow \,1}=-F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})\;dr_{1,\,2}\;$ $\Rightarrow$ $\;U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})\;$ est une primitive de $\;-F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})\;$ et plus précisément, par choix de la référence de l'énergie potentielle d'interaction quand les deux points sont éloignés à l'infini,

$\;U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})=\displaystyle \int _{\infty }^{r_{1,\,2}}-F_{2\,\leftrightarrow \,1}({r'}_{1,\,2})\;d{r'}_{1,\,2}=\displaystyle \int _{r_{1,\,2}}^{\infty }F_{2\,\leftrightarrow \,1}({r'}_{1,\,2})\;d{r'}_{1,\,2}$

     Nous avons vu précédemment que le mouvement barycentrique du mobile réduit $\;M\;$ s'identifiant, par définition, au mouvement relatif de $\;M_{2}\;$ par rapport à $\;M_{1}$, peut être déterminé par application de la r.f.d.n. à condition d'appliquer à $\;M\;$ la force $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}=F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})\;{\vec {u}}_{1,\,2}\;$ que $\;M_{1}\;$ exerce sur $\;M_{2}$, force qui se réécrit à l’aide du repérage sphérique de pôle $\;G\;$ lié à $\;M\;$ selon $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}=$ $F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{M})\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ ; du caractère conservatif de la force $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;$ on en déduit que la force appliquée à $\;M\;$ est aussi conservative et l’énergie potentielle dont elle dérive étant telle que $\;F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{M})\;dr_{M}=$ $F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})\;dr_{1,\,2}=$ $-dU_{2\,\leftrightarrow \,1}\;$, on en déduit qu'elle s'identifie à l'énergie potentielle d'interaction du système c'est-à-dire à $\;U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})\;$ ou plus précisément, en remplaçant $\;r_{1,\,2}\;$ par $\;r_{M}$, elle s'identifie à $\;U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{M})\;$ ;

     on en déduit que le mobile réduit $\;M$, dans ce champ de force $\;{\vec {F}}_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{M})\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ conservative, possède l’énergie mécanique barycentrique

$\;E_{m}^{*}(M)=K^{*}(M)+U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{M})\;$

     avec l'énergie cinétique barycentrique du mobile réduit qui s'identifie à celle du système des deux points soit $\;K^{*}(M)=K^{*}\;$ et l'énergie potentielle dont dérive la force appliquée à $\;M\;$ qui s'identifie à l'énergie potentielle d'interaction entre les deux points soit $\;U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{M})=U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})$ ;

     par conséquent l'énergie mécanique barycentrique du mobile réduit $\;M\;$ est identifiable à l'énergie mécanique barycentrique du système de points soit

$\;E_{m}^{*}(M)=E_{m}^{*}$, cette dernière étant $\;E_{m}^{*}=K^{*}+U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})$.

     Remarque : Comme il n’y a pas d’autre force, l'énergie mécanique barycentrique du mobile réduit $\;{\big (}$ainsi que celle du système des deux points${\big )}\;$ est conservée soit

$\;E_{m}^{*}(M)=cste$ $\;{\big [}$ou $\;E_{m}^{*}=cste{\big ]}$, d'où
le mouvement étant à force centrale, possibilité de faire un traitement par diagrammes d’énergie potentielle effective et d’énergie mécanique.

Bilan des théorèmes applicables pour déterminer le mouvement barycentrique du mobile réduit

     Tous les théorèmes fondamentaux de la mécanique du point matériel sont applicables au mobile réduit $\;M\;$ d'un système de deux points matériels $\;\left\lbrace M_{1}\;(m_{1})\,,\,M_{2}\;(m_{2})\right\rbrace \;$ isolé dans son référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ si on lui impose $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;$ c'est-à-dire :

• la r.f.d.n. $\;{\big (}$la force à imposer au mobile réduit ayant été déterminée pour pouvoir déterminer son mouvement par cette relation${\big )}$,

• le théorème du moment cinétique vectoriel, ici la seule force à imposer au mobile réduit étant centrale, il y a conservation du moment cinétique vectoriel du mobile réduit calculé en prenant $\;G\;$ comme origine $\;{\vec {\sigma }}_{G}^{*}(M)={\overrightarrow {\text{cste}}}\;$,

• le théorème de l'énergie cinétique,

• le théorème de la variation de l'énergie mécanique barycentrique dans le cas où les forces d'interaction entre points du système sont conservatives et en définissant l'énergie potentielle d'interaction $\;U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})\;$ dont ces forces dérivent, l'énergie mécanique barycentrique du mobile réduit $\;E_{m}^{*}(M)=$ $K^{*}(M)+U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{M})\;$ s'identifiant à l'énergie mécanique barycentrique du système $\;E_{m}^{*}=$ $K^{*}+U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})$, ici la seule force à imposer au mobile réduit étant conservative, il y a conservation de l'énergie mécanique barycentrique du mobile réduit $\;E_{m}^{*}(M)={\text{cste}}\;$ ; de plus la seule force à imposer au mobile réduit étant centrale en plus d'être conservative, on peut introduire une énergie potentielle effective du mobile réduit pour faire un traitement par diagramme énergétique $\;\ldots$

Conclusion : mouvement relatif de M₂ par rapport à M₁

     On rappelle que le mouvement barycentrique du mobile réduit $\;M\;$ s'identifiant à celui du mouvement relatif de $\;M_{2}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{1}$, la connaissance du 1^er implique celle du 2^ème.

Obtention des mouvements barycentriques de chaque point à partir du mouvement barycentrique du mobile réduit

Établissement du lien entre mouvements barycentriques du mobile réduit et de chaque point du système

     Il convient donc d'expliciter le vecteur position barycentrique de chaque point $\;{\overrightarrow {GM_{2}}}\;$ et $\;{\overrightarrow {GM_{1}}}\;$ en fonction du vecteur position $\;{\big (}$barycentrique${\big )}\;$ du mobile réduit $\;{\overrightarrow {GM}}\;$ en utilisant la définition cinématique du mobile réduit et celle du C.D.I. $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {GM}}={\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}={\overrightarrow {GM_{2}}}-{\overrightarrow {GM_{1}}}\\m_{1}\;{\overrightarrow {GM_{1}}}+m_{2}\;{\overrightarrow {GM_{2}}}={\vec {0}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ou encore le système hétérogène des deux équations linéaires aux deux inconnues $\;\left\lbrace {\overrightarrow {GM_{2}}}\,,\,{\overrightarrow {GM_{1}}}\right\rbrace$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{r}{\overrightarrow {GM_{2}}}&-&{\overrightarrow {GM_{1}}}&=&{\overrightarrow {GM}}\;\;\;({\mathfrak {a}})\\m_{2}\;{\overrightarrow {GM_{2}}}&+&m_{1}\;{\overrightarrow {GM_{1}}}&=&{\vec {0}}\;\;\;({\mathfrak {b}})\end{array}}\right\rbrace \;$ que l'on résout par la C.L. $\;m_{1}\;({\mathfrak {a}})+({\mathfrak {b}})\;$ donnant $\;{\overrightarrow {GM_{2}}}={\dfrac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\;{\overrightarrow {GM}}\;$ et par la C.L. $\;-m_{2}\;({\mathfrak {a}})+({\mathfrak {b}})\;$ donnant $\;{\overrightarrow {GM_{1}}}=-{\dfrac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;{\overrightarrow {GM}}$ ;

     finalement, avec $\;\mu ={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$, on réécrit $\;{\dfrac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}={\dfrac {\mu }{m_{2}}}\;$ d'une part, $\;-{\dfrac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}=-{\dfrac {\mu }{m_{1}}}\;$ d'autre part et par suite les vecteurs positions barycentriques de chaque point du système s'expriment selon :

• $\;{\overrightarrow {GM_{2}}}={\dfrac {\mu }{m_{2}}}\;{\overrightarrow {GM}}\;$ établissant que le mouvement barycentrique du point $\;M_{2}\;$ se déduit du mouvement barycentrique du mobile réduit $\;M\;$ par homothétie de centre $\;G\;$ et de rapport $\;{\dfrac {\mu }{m_{2}}}\;$ soit $\;M\;\;{\stackrel {{\mathcal {H}}\left(G,\,{\frac {\mu }{m_{2}}}\right)}{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow }}\;\;M_{2}\;$ et
• $\;{\overrightarrow {GM_{1}}}=-{\dfrac {\mu }{m_{1}}}\;{\overrightarrow {GM}}\;$ établissant que le mouvement barycentrique du point $\;M_{1}\;$ se déduit du mouvement barycentrique du mobile réduit $\;M\;$ par homothétie de centre $\;G\;$ et de rapport $\;-{\dfrac {\mu }{m_{1}}}\;$ soit $\;M\;\;{\stackrel {{\mathcal {H}}\left(G,\,-{\frac {\mu }{m_{1}}}\right)}{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow }}\;\;M_{1}\;$.

Exemple de tracé

Mouvement relatif de $\;M_{2}\;$ relativement à $\;M_{1}\;$ avec $\;m_{1}=2\;m_{2}$

     Soient deux points matériels dont le 1^er $\;M_{1}\;$ est deux fois plus lourd que le 2^ème $\;M_{2}\;$ c'est-à-dire $\;m_{1}=2\;m_{2}\;$ $\Rightarrow$ la masse du système est $\;m_{\text{syst}}=$ $m_{1}+m_{2}=3\;m_{2}\;$ et sa masse réduite $\;\mu ={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\dfrac {2\;m_{2}^{2}}{3\;m_{2}}}={\dfrac {2}{3}}\;m_{2}$ ;

     connaissant la trajectoire relative de $\;M_{2}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ voir ci-contre, on en déduit,

Mouvement barycentrique du mobile réduit $\;M$, des points $\;M_{2}\;$ et $\;M_{1}\;$ avec $\;m_{1}=2\;m_{2}$

• par identification, la trajectoire barycentrique du mobile réduit $\;M\;$ $\;{\big (}$en noir${\big )}\;$ puis,
• par homothétie de centre $\;G$, de rapport $\;{\dfrac {\mu }{m_{2}}}={\dfrac {2}{3}}\;$ celle de $\;M_{2}\;$ $\;{\big (}$en rouge${\big )}\;$ et
• par homothétie de centre $\;G$, de rapport $\;-{\dfrac {\mu }{m_{1}}}=-{\dfrac {1}{3}}\;$ celle de $\;M_{1}\;$ $\;{\big (}$en bleu${\big )}$.

Système isolé de deux points en interaction newtonienne

Généralités

     Le référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ est galiléen $\;{\big [}$en effet le système des deux points $\;\left\lbrace M_{1}\left(m_{1}\right)\,,\,M_{2}\left(m_{2}\right)\right\rbrace \;$ étant isolé, son C.D.I. $\;G\;$ a un mouvement rectiligne uniforme dans $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ le référentiel lié à $\;G\;$ en translation $\;{\big (}$rectiligne uniforme${\big )}\;$ relativement à $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen est galiléen${\big ]}\;$ et

     le mouvement relatif de l'un des points $\;M_{2}\left(m_{2}\right)\;$ par rapport à l'autre $\;M_{1}\left(m_{1}\right)\;$ s’identifie au mouvement barycentrique du mobile réduit $\;M\left(\mu ={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)$, ce dernier pouvant se déterminer par r.f.d.n. si on lui applique la force $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}={\dfrac {k_{1,\,2}}{r_{1,\,2}^{\,2}}}\;{\vec {u}}_{1,\,2}\;$ ou, en utilisant les coordonnées de $\;M\;$ dans la base locale sphérique $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}={\dfrac {k_{1,\,2}}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}$ ;

     $\;M\;$ a donc un mouvement barycentrique à force centrale newtonienne, sa trajectoire est donc plane ou rectiligne et, dans l’hypothèse de planéité, une conique $\;{\big (}$ou portion de conique${\big )}\;$ dont $\;G\;$ est le $\;{\big (}$ou l'un des${\big )}\;$ foyer(s) $\;{\big (}$le foyer dans le cas d'une parabole, l'un des foyers dans le cas d'une ellipse et dans le cas d'une branche d'hyperbole le foyer contourné par cette dernière${\big )}$.

     Si l’interaction newtonienne est de gravitation, la constante $\;k_{1,\,2}\;$ est $\;<0\;$ et elle vaut «$\;k_{1,\,2}=-{\mathcal {G}}\;m_{1}\;m_{2}\;$» dans laquelle $\;{\mathcal {G}}\;$ est la constante de gravitation universelle valant $\;{\mathcal {G}}=6,67\;10^{-11}\;U.S.I.$, la constante $\;k_{1,\,2}\;$ pouvant être exprimée en fonction de la « masse du système $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace$ $\;m_{\text{tot}}=m_{1}+m_{2}\;$» et de la « masse réduite de ce dernier $\;\mu ={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;$» $\Rightarrow$ $\;m_{1}\;m_{2}=\mu \;(m_{1}+m_{2})\;$ ou «$\;m_{1}\;m_{2}=\mu \;m_{\text{tot}}\;$» d'où «$\;k_{1,\,2}=-{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;\mu \;$» et ainsi
     Si l’interaction newtonienne est de gravitation, la force qui doit être imposée au point réduit $\;{\big (}$de masse $\;\mu {\big )}\;$ pour que celui-ci ait un mouvement barycentrique identique au mouvement relatif de $\;M_{2}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ lié à $\;M_{1}\;$ est formellement identique à une force de gravitation qui serait créée par le C.D.I. $\;G\;$ du système $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace$, $\;G\;$ auquel on affecterait la masse $\;m_{\text{tot}}$.

     Si l’interaction newtonienne est électrostatique, la constante $\;k_{1,\,2}\;$ est $\;<0\;$ dans le cas d'une attraction entre les deux charges ou $\;>0\;$ dans le cas d'une répulsion et elle vaut «$\;k_{1,\,2}={\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\;q_{1}\;q_{2}\;$» dans laquelle $\;\varepsilon _{0}\;$ est la permittivité diélectrique du vide telle que $\;{\dfrac {1}{4\;\pi \;\varepsilon _{0}}}\simeq 9\;10^{9}\;U.S.I.\;$ $\Rightarrow$ «$\;\varepsilon _{0}\simeq {\dfrac {1}{36\;\pi }}\;10^{-9}\;U.S.I.\simeq 8,85\;10^{-12}\;U.S.I.\;$», $\;\left(q_{1}\,,\,q_{2}\right)\;$ étant les charges respectives du système des deux points $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace$.

     Nous nous intéresserons pour la suite aux interactions de gravitation entre deux astres $\;{\big (}$quand il s’agit d’étoiles, le système est appelé « étoile double »${\big )}$.

Rappel des principaux résultats

     Préliminaire : Les résultats concernant le mouvement d'un point matériel $\;M\left(m\right)\;$ uniquement soumis à une force d'attraction gravitationnelle newtonienne «$\;{\vec {F}}(M)={\dfrac {k}{r^{2}}}\;{\vec {u}}_{r}\;$» dans laquelle $\;k<0\;$ vaut «$\;k=-{\mathcal {G}}\;m_{O}\;m\;$» avec $\;{\mathcal {G}}\;$ constante de gravitation universelle, $\;m_{O}\;$ la masse de la source de l'espace champ de gravitation newtonien, $\;r\;$ et $\;{\vec {u}}_{r}\;$ étant respectivement la coordonnée radiale et le vecteur unitaire radial du repérage sphérique du point $\;M\;$ de pôle $\;O$, le centre d'action de la force newtonienne lequel est fixe dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen, peuvent être vus plus en détails
     Préliminaire : Les résultats dans le chap. 14 intitulé « mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : champ newtonien, lois de Kepler » de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI », ainsi que
     Préliminaire : Les résultats dans le chap. 17 intitulé « mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : énergie mécanique du point matériel soumis à une force newtonienne » de la même leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du même cours « Physique en classe préparatoire PCSI »

     Préliminaire : Les principaux résultats sont rappelés ci-dessous en les adaptant au mouvement barycentrique du mobile réduit «$\;M\,\left(\mu ={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)\;$» dans le champ de gravitation newtonien créé par «$\;G\,\left(m_{\text{tot}}=m_{1}+m_{2}\right)\;$», « le mouvement barycentrique de $\;M\left(\mu \right)\;$ étant identique au mouvement relatif de $\;M_{2}\;$ par rapport à $\;M_{1}\;$» $\;{\big (}$c'est-à-dire au mouvement de $\;M_{2}\;$ dans le référentiel $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ lié à $\;M_{1}\;$ en translation relativement au référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}{\big )}$.

     Rappel des principaux résultats : Appelant $\;{\vec {V}}_{0}\;$ le vecteur vitesse relative initiale de $\;M_{2}\;$ par rapport à $\;M_{1}$ $\;{\big (}$c'est aussi le vecteur vitesse barycentrique initial du mobile réduit $\;M{\big )}$,

     Rappel des principaux résultats : Appelant $\;r_{0}\;$ la distance initiale séparant les deux points $\;{\big (}$c'est aussi la distance initiale séparant le mobile réduit $\;M\;$ du C.D.I. $\;G\;$ ou la coordonnée radiale initiale de $\;M\;$ dans $\;{\mathcal {R}}^{*}{\big )}\;$ et

     Rappel des principaux résultats : Appelant $\;\alpha _{0}={\widehat {\left({\overrightarrow {M_{1}x}}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}\;$ l'angle orienté que fait le vecteur vitesse relative initiale de $\;M_{2}\;$ par rapport à $\;M_{1}\;$ avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {M_{1}x}}\;$ choisi $\;\parallel \;$ à $\;{\overrightarrow {M_{1}M_{2,\,0}}}\;$ et de même sens, l'axe $\;{\overrightarrow {M_{1}y}}\;$ étant $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {M_{1}x}}\;$ dans le plan initial du mouvement relatif de $\;M_{2}\;$ par rapport à $\;M_{1}$, les angles du plan étant orientés par le 3^ème axe $\;{\overrightarrow {M_{1}z}}$ $\;\perp \;$ au plan et de sens tel que le trièdre $\;\left\lbrace {\overrightarrow {M_{1}x}}\,,\,{\overrightarrow {M_{1}y}}\,,\,{\overrightarrow {M_{1}z}}\right\rbrace \;$ soit direct $\;{\bigg [}$ou encore $\;\alpha _{0}={\widehat {\left({\overrightarrow {Gx}}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)}}\;$ l'angle orienté que fait le vecteur vitesse barycentrique initial du mobile réduit $\;M\;$ avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Gx}}\;$ choisi de support confondu avec le vecteur position barycentrique initial du mobile réduit et dans le même sens que ce dernier, l'axe $\;{\overrightarrow {Gy}}\;$ étant $\;\perp \;$ à $\;{\overrightarrow {Gx}}\;$ dans le plan initial du mouvement barycentrique de $\;M$, les angles du plan étant orientés par le 3^ème axe $\;{\overrightarrow {Gz}}$ $\;\perp \;$ au plan et de sens tel que le trièdre $\;\left\lbrace {\overrightarrow {Gx}}\,,\,{\overrightarrow {Gy}}\,,\,{\overrightarrow {Gz}}\right\rbrace \;$ soit direct${\bigg ]}$,

     Rappel des principaux résultats : l'équation polaire de la trajectoire de $\;M_{2}\;$ dans le plan fixe de $\;{\mathcal {R}}_{1}$ $\;{\big (}$référentiel lié à $\;M_{1}\;$ en translation par rapport au référentiel barycentrique galiléen $\;{\mathcal {R}}^{*}{\big )}\;$ contenant $\;\left(M_{1}\,,\,M_{2,\,0}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)\;$ étant «$\;r={\dfrac {p}{1+e\;\cos(\theta -\varphi )}}\;$» est une conique dont le $\;{\big (}$ou l'un des${\big )}\;$ foyer(s) est $\;M_{1}\;$ dans laquelle $\;\varphi ={\widehat {\left({\overrightarrow {M_{1}x}}\,,\,{\overrightarrow {\text{axe focal}}}\right)}}\;$ est l'angle orienté que fait l'axe focal orienté « ${\overrightarrow {\text{axe focal}}}$ » avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {M_{1}x}}$, $\;p\;$ et $\;e\;$ étant respectivement le paramètre et l'excentricité de la conique $\;{\bigg [}$ou encore l'équation polaire de la trajectoire barycentrique du mobile réduit $\;M\;$ dans le plan fixe de $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ contenant $\;\left(G\,,\,M_{0}\,,\,{\vec {V}}_{0}\right)\;$ étant «$\;r={\dfrac {p}{1+e\;\cos(\theta -\varphi )}}\;$» est une conique dont le $\;{\big (}$ou l'un des${\big )}\;$ foyer(s) est $\;G\;$ dans laquelle $\;\varphi ={\widehat {\left({\overrightarrow {Gx}}\,,\,{\overrightarrow {\text{axe focal}}}\right)}}\;$ est l'angle orienté que fait l'axe focal orienté « ${\overrightarrow {\text{axe focal}}}$ » avec l'axe polaire $\;{\overrightarrow {Gx}}$, $\;p\;$ et $\;e\;$ étant respectivement le paramètre et l'excentricité de la conique${\bigg ]}$.

     Rappel des principaux résultats : La suite des rappels sera exposée uniquement en termes de mouvement barycentrique du mobile réduit $\;M\;$ sachant que ce dernier s'identifie au mouvement relatif de $\;M_{2}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{1}$ $\;{\big (}$le référentiel lié à $\;M_{1}\;$ en translation par rapport au référentiel barycentrique galiléen $\;{\mathcal {R}}^{*}{\big )}$.

     Rappel des principaux résultats : Pour déterminer les grandeurs barycentriques du mouvement du mobile réduit «$\;M\,\left(\mu \right)\;$» on évalue successivement :

     Rappel des principaux résultats : $\;\succ \;$la constante des aires « $C=V_{0}\;r_{0}\;\sin(\alpha _{0})$ »

     Rappel des principaux résultats : $\;\succ \;$le paramètre de la conique « $p={\dfrac {\mu \;C^{2}}{\vert k_{1,\,2}\vert }}$ » soit, avec « $k_{1,\,2}=-{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;\mu$ », « $p={\dfrac {C^{2}}{{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}}$ » $\;{\bigg [}$ou encore « $p={\dfrac {V_{0}^{2}\;r_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}}$ »${\bigg ]}$,

     Rappel des principaux résultats : $\;\succ \;$l'énergie mécanique barycentrique initiale « $E_{m,\,0}^{\,*}={\dfrac {1}{2}}\;\mu \;V_{0}^{2}+{\dfrac {k_{1,\,2}}{r_{0}}}$ » $\;{\big (}$en prenant la référence de l'énergie potentielle newtonienne à l'infini${\big )}\;$ soit, avec « $k_{1,\,2}$ $=-{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;\mu$ », $\;E_{m,\,0}^{\,*}={\dfrac {1}{2}}\;\mu \;V_{0}^{2}-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;\mu }{r_{0}}}\;$ ou «$\;E_{m,\,0}^{\,*}=\mu \left[{\dfrac {1}{2}}\;V_{0}^{2}-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}\right]\;$» ;

     Rappel des principaux résultats : compte-tenu de la conservation de l'énergie mécanique barycentrique du mobile réduit $\;M\,\left(\mu \right)\;$ et de l'expression de cette dernière en fonction de l'excentricité de la conique « $E_{m}^{\,*}=-{\dfrac {k_{1,\,2}}{2\;p}}\,\left(e^{2}-1\right)$ » ou encore, avec « $k_{1,\,2}=-{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;\mu$ », «$\;E_{m}^{\,*}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;\mu }{2\;p}}\,\left(e^{2}-1\right)\;$» on en déduit « la nature de la conique suivant la valeur de $\;E_{m,\,0}^{\,*}\;$» :

     Rappel des principaux résultats : $\;\succ \;$si «$\;E_{m,\,0}^{\,*}=\mu \left[{\dfrac {1}{2}}\;V_{0}^{2}-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}\right]=0\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;V_{0}={\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}}\;$», l'excentricité de la conique décrite par le mobile réduit $\;M\;$ valant $\;e=1$,
     Rappel des principaux résultats :                                                                                                                           la trajectoire décrite par $\;M\;$ est une parabole de foyer $\;G$, la vitesse $\;{\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}}=V_{\text{lib}}(r_{0})\;$ étant appelée « vitesse de libération en la position $\;M_{0}$ »,

     Rappel des principaux résultats : $\;\succ \;$si «$\;E_{m,\,0}^{\,*}=\mu \left[{\dfrac {1}{2}}\;V_{0}^{2}-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}\right]\;$ est $\;<0\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;V_{0}<{\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}}\;$», l'excentricité de la conique décrite par le mobile réduit $\;M\;$ ayant une valeur $\;e<1$,
     Rappel des principaux résultats :                                                                                                                                   la trajectoire décrite par $\;M\;$ est une ellipse dont un des foyers est $\;G$,
     Rappel des principaux résultats :                                                                                                                                   le demi-grand axe $\;a\;$ de celle-ci se détermine à l'aide de la valeur de l'énergie mécanique «$\;E_{m}^{\,*}=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;\mu }{2\;p}}\,\left(1-e^{2}\right)\;$» laquelle se réécrit « $E_{m}^{\,*}=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;\mu }{2\;a}}$ » d'où « $\mu \left[{\dfrac {1}{2}}\;V_{0}^{2}-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}\right]=-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;\mu }{2\;a}}$ » $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}-V_{0}^{2}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{a}}\;$ ou, en introduisant la vitesse de libération en la position $\;M_{0}\;$ « $V_{\text{lib}}(r_{0})={\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}}$ », $\;V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-V_{0}^{2}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{a}}\;$ soit «$\;a={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-V_{0}^{2}}}\;$» ou encore, en éliminant $\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;$ en fonction de $\;V_{\text{lib}}(r_{0})\;$ et $\;r_{0}\;$ à l'aide de $\;V_{\text{lib}}(r_{0})={\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}={\dfrac {V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})\;r_{0}}{2}}\;$», l'expression finale du demi-grand axe de l'ellipse décrite par le mobile réduit $\;M\;$ s'écrit «$\;a=r_{0}\;{\dfrac {V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}{2\left[V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-V_{0}^{2}\right]}}\;$», ou encore «$\;a=r_{0}\;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}-V_{0}^{2}\;r_{0}}}\;$»,
     Rappel des principaux résultats :                                                                                                                                   l'excentricité de l'ellipse décrite par le mobile réduit se détermine à partir de la connaissance de son paramètre $\;p\;$ et de son demi-grand axe $\;a\;$ à l'aide de $\;p=a\;(1-e^{2})\;$ d'où «$\;e={\sqrt {1-{\dfrac {p}{a}}}}\;$» soit, avec «$\;p={\dfrac {V_{0}^{2}\;r_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}}=r_{0}\;{\dfrac {2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}\;$» et «$\;a=r_{0}\;{\dfrac {V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}{2\left[V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-V_{0}^{2}\right]}}\;$» $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {p}{a}}={\dfrac {2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}\;{\dfrac {2\left[V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-V_{0}^{2}\right]}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}={\dfrac {4\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\,\left[V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-V_{0}^{2}\right]}{V_{\text{lib}}^{\,4}(r_{0})}}\;$ d'où $\;e={\sqrt {\dfrac {V_{\text{lib}}^{\,4}(r_{0})-4\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\,\left[V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-V_{0}^{2}\right]}{V_{\text{lib}}^{\,4}(r_{0})}}}\;$ que l'on peut réécrire, en développant le numérateur et en reconnaissant le début d'un carré, $\;e={\dfrac {\sqrt {\left[V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\right]^{2}-4\;V_{0}^{4}\;\sin ^{4}(\alpha _{0})+4\;V_{0}^{4}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}={\dfrac {\sqrt {\left[V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\right]^{2}+4\;V_{0}^{4}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\,\left[1-\sin ^{2}(\alpha _{0})\right]}}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}\;$ soit finalement, sachant que $\;1-\sin ^{2}(\alpha _{0})=\cos ^{2}(\alpha _{0})\;$ et $\;2\;\sin(\alpha _{0})\;\cos(\alpha _{0})=\sin(2\;\alpha _{0})$, «$\;e={\dfrac {\sqrt {\left[V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\right]^{2}+V_{0}^{4}\;\sin ^{2}(2\;\alpha _{0})}}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}={\sqrt {\left[1-{\dfrac {2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}\right]^{2}+{\dfrac {V_{0}^{4}\;\sin ^{2}(2\;\alpha _{0})}{V_{\text{lib}}^{\,4}(r_{0})}}}}\;$» et
     Rappel des principaux résultats :                                                                                                                                   la période $\;T\;$ du mouvement barycentrique du mobile réduit sur sa trajectoire elliptique se détermine à l'aide de la « 3^ème loi de Kepler généralisée aux centres gravitationnels autres que celui du Soleil » «$\;{\dfrac {a^{3}}{T^{2}}}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{4\;\pi ^{2}}}\;$» d'où «$\;T={\dfrac {2\;\pi }{\sqrt {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}}}\;a^{\frac {3}{2}}\;$» ou encore, en éliminant $\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;$ en fonction de $\;V_{\text{lib}}(r_{0})\;$ et $\;r_{0}\;$ à l'aide de $\;V_{\text{lib}}(r_{0})={\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}={\dfrac {V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})\;r_{0}}{2}}\;$», l'expression finale de la période du mobile réduit $\;M\;$ s'écrit «$\;T={\dfrac {2\;\pi \;{\sqrt {2}}}{V_{\text{lib}}(r_{0})\;{\sqrt {r_{0}}}}}\;a^{\frac {3}{2}}={\dfrac {2\;\pi \;a\;{\sqrt {2}}}{V_{\text{lib}}(r_{0})}}\;{\sqrt {\dfrac {a}{r_{0}}}}\;$» ou enfin, en reportant l'expression de «$\;a=r_{0}\;{\dfrac {V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}{2\left[V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-V_{0}^{2}\right]}}\;$», «$\;T={\dfrac {2\;\pi \;a}{\sqrt {V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-V_{0}^{2}}}}={\dfrac {\pi \;r_{0}\;V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}{\left[V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-V_{0}^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}\;$»,

     Rappel des principaux résultats : $\;\succ \;$si «$\;E_{m,\,0}^{\,*}=\mu \left[{\dfrac {1}{2}}\;V_{0}^{2}-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}\right]\;$ est $\;>0\;$» $\Leftrightarrow$ «$\;V_{0}>{\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}}\;$», l'excentricité de la conique décrite par le mobile réduit $\;M\;$ ayant une valeur $\;e>1$,
     Rappel des principaux résultats :                                                                                                                                   la trajectoire décrite par $\;M\;$ est une branche d'hyperbole dont $\;G\;$ est un des foyers, celui contourné par la branche,
     Rappel des principaux résultats :                                                                                                                                   le demi-axe focal $\;a\;$ de celle-ci se détermine à l'aide de la valeur de l'énergie mécanique «$\;E_{m}^{\,*}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;\mu }{2\;p}}\,\left(e^{2}-1\right)\;$» laquelle se réécrit « $E_{m}^{\,*}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;\mu }{2\;a}}$ » d'où «$\;\mu \left[{\dfrac {1}{2}}\;V_{0}^{2}-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}\right]={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;\mu }{2\;a}}\;$» $\Leftrightarrow$ $\;V_{0}^{2}-{\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{a}}\;$ ou, en introduisant la vitesse de libération en la position $\;M_{0}\;$ «$\;V_{\text{lib}}(r_{0})={\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}}\;$», $\;V_{0}^{2}-V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{a}}\;$ soit «$\;a={\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{V_{0}^{2}-V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}\;$» ou encore, en éliminant $\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;$ en fonction de $\;V_{\text{lib}}(r_{0})\;$ et $\;r_{0}\;$ à l'aide de $\;V_{\text{lib}}(r_{0})={\sqrt {\dfrac {2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}={\dfrac {V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})\;r_{0}}{2}}\;$», l'expression finale du demi- axe focal de branche d'hyperbole décrite par le mobile réduit $\;M\;$ s'écrit «$\;a=r_{0}\;{\dfrac {V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}{2\left[V_{0}^{2}-V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})\right]}}\;$», ou encore «$\;a=r_{0}\;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{V_{0}^{2}\;r_{0}-2\;{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}}\;$» et
     Rappel des principaux résultats :                                                                                                                                   l'excentricité de la branche d'hyperbole décrite par le mobile réduit se détermine à partir de la connaissance de son paramètre $\;p\;$ et de son demi-axe focal $\;a\;$ à l'aide de $\;p=a\;(e^{2}-1)\;$ d'où «$\;e={\sqrt {1+{\dfrac {p}{a}}}}\;$» soit, avec «$\;p={\dfrac {V_{0}^{2}\;r_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}}=r_{0}\;{\dfrac {2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}\;$» ainsi que «$\;a=$ $r_{0}\;{\dfrac {V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}{2\left[V_{0}^{2}-V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})\right]}}\;$» $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {p}{a}}={\dfrac {2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}\;{\dfrac {2\left[V_{0}^{2}-V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})\right]}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}={\dfrac {4\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\,\left[V_{0}^{2}-V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})\right]}{V_{\text{lib}}^{\,4}(r_{0})}}\;$ d'où $\;e={\sqrt {\dfrac {V_{\text{lib}}^{\,4}(r_{0})+4\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\,\left[V_{0}^{2}-V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})\right]}{V_{\text{lib}}^{\,4}(r_{0})}}}\;$ c'est-à-dire la même expression que celle obtenue dans le cas d'une trajectoire elliptique, d'où finalement, «$\;e={\dfrac {\sqrt {\left[V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})-2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})\right]^{2}+V_{0}^{4}\;\sin ^{2}(2\;\alpha _{0})}}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}={\sqrt {\left[1-{\dfrac {2\;V_{0}^{2}\;\sin ^{2}(\alpha _{0})}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}\right]^{2}+{\dfrac {V_{0}^{4}\;\sin ^{2}(2\;\alpha _{0})}{V_{\text{lib}}^{\,4}(r_{0})}}}}\;$».

     Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : une 1^re C.N. est «$\;\alpha _{0}=\pm {\dfrac {\pi }{2}}\;$» ce qui implique, en reportant cette valeur dans l'expression de l'excentricité de la trajectoire quand celle-ci est elliptique «$\;e={\sqrt {\left[1-{\dfrac {2\;V_{0}^{2}\;{\cancel {\sin ^{2}(\alpha _{0})}}}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}\right]^{2}\;{\cancel {+\,{\dfrac {V_{0}^{4}\;\sin ^{2}(2\;\alpha _{0})}{V_{\text{lib}}^{\,4}(r_{0})}}}}}}={\Bigg \vert }1-{\dfrac {2\;V_{0}^{2}}{V_{\text{lib}}^{\,2}(r_{0})}}{\Bigg \vert }\;$» laquelle, devant être nulle pour une trajectoire circulaire, implique comme
     Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : une 2^ème C.N. «$\;V_{0}={\dfrac {V_{\text{lib}}(r_{0})}{\sqrt {2}}}\;$», valeur notée «$\;V_{\text{circ}}(r_{0})={\dfrac {V_{\text{lib}}(r_{0})}{\sqrt {2}}}={\sqrt {\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}}\;$» et usuellement appelée « vitesse circulaire en la position $\;M_{0}\;$»,
     Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : le report de ces deux C.N. dans les expressions de la constante des aires $\;C\;$, du paramètre $\;p\;$ et de l'énergie mécanique barycentrique initiale $\;E_{m,\,0}^{\,*}\;$ du mobile réduit ainsi que celles du demi-grand axe $\;a\;$ et de la période $\;T\;$ dans le cas particulier d'un mouvement barycentrique elliptique de $\;M$, donnant
     Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : $\succ \;$«$\;C=V_{\text{circ}}(r_{0})\;r_{0}\;\sin \!\left(\pm {\dfrac {\pi }{2}}\right)=\pm V_{\text{circ}}(r_{0})\;r_{0}\;$» ou encore «$\;C=\pm {\sqrt {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}\;r_{0}}}\;$»,
     Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : $\succ \;$«$\;p={\dfrac {V_{\text{circ}}^{\,2}(r_{0})\;r_{0}^{2}\;\sin ^{2}\!\left(\pm {\dfrac {\pi }{2}}\right)}{{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}}\;$» soit, après simplification, «$\;p=r_{0}\;$»,
     Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : $\succ \;$«$\;E_{m,\,0}^{\,*}=\mu \left[{\dfrac {1}{2}}\;V_{\text{circ}}^{\,2}(r_{0})-{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{r_{0}}}\right]=\mu \left[{\dfrac {1}{2}}\;V_{\text{circ}}^{\,2}(r_{0})-V_{\text{circ}}^{\,2}(r_{0})\right]\;$» soit « $E_{m,\,0}^{\,*}=-{\dfrac {1}{2}}\;\mu \;V_{\text{circ}}^{\,2}(r_{0})\;$ » ou encore, «$\;E_{m,\,0}^{\,*}=-\mu \;{\dfrac {{\mathcal {G}}\;m_{\text{tot}}}{2\;r_{0}}}\;$»,
     Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : $\succ \;$«$a=r_0\frac{V_{}^{}}{}$