Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Système d'équations différentielles couplées et leur découplage

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Une étude des systèmes d'équations différentielles couplées ne peut évidemment pas être exhaustive.

Notion de système d'équations différentielles couplées

Système d'équations différentielles couplées

     Les équations d'un système de $\;n\;$ équations différentielles à $\;n\;$ fonctions indépendantes d'une même variable $\;{\big [}$avec $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash {\left\lbrace 1\right\rbrace }{\big ]}\;$
     Les équations sont dites « couplées » lorsqu'aucune des $\;n\;$ équations différentielles ne peut être résolue indépendamment des autres .

     La méthode de résolution du système des $\;n\;$ équations différentielles « couplées » aux $\;n\;$ fonctions indépendantes de la même variable $\;{\big [}$avec $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash {\left\lbrace 1\right\rbrace }{\big ]}\;$
     La méthode de résolution consiste à réaliser un « découplage » c.-à-d. trouver un système équivalent de $\;n\;$ autres équations différentielles à $\;n\;$ autres fonctions indépendantes de la même variable
     La méthode de résolution consiste à réaliser un « découplage » c.-à-d. trouver un système équivalent tel que chaque équation différentielle ne dépende que d'une nouvelle fonction de la variable  ;
     La méthode de résolution consiste à réaliser un « découplage » il est alors possible de résoudre chaque équation différentielle indépendamment des autres
     La méthode de résolution consiste à réaliser un « découplage » il est alors possible ${\big [}$c.-à-d. de trouver les $\;n\;$ nouvelles fonctions de la même variable${\big ]}\;$ puis
     La méthode de résolution consiste à réaliser un « découplage » il est alors possible d'en déduire les solutions du système d'équations différentielles « couplées »
     La méthode de résolution consiste à réaliser un « découplage » il est alors possible ${\big [}$c.-à-d. de trouver les $\;n\;$ fonctions d'origine de la même variable${\big ]}$.

Exemple de couplage de système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variable et découplage correspondant

Présentation d'un système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variable

     Soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+c_{1}\;f_{1}(x)=e_{1}\;f_{2}(x)\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {d^{2}f_{2}}{dx^{2}}}(x)+c_{2}\;f_{2}(x)=e_{2}\;f_{1}(x)\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ avec les quatre constantes $\;\left(c_{1}\,,\,c_{2}\,,\,e_{1}\,,\,e_{2}\right)\in \left[\mathbb {R} ^{*}\right]^{4}\;$ connues et les deux fonctions réelles $\;\left\lbrace f_{1}\,,\,f_{2}\right\rbrace \;$ de la variable réelle $\;x\;$ à déterminer ;
                                                                                            Soit on vérifie aisément le couplage des équations différentielles $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace \;$ car
                                                                                            Soit on vérifie aisément le couplage $\bullet \;$l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en $\;f_{1}(x)\;$ sans terme du 1^er ordre,
                                                                                            Soit on vérifie aisément le couplage $\color {transparent}{\bullet }\;$l'équation différentielle $\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ a un 2^nd membre « excitation » dépendant de $\;f_{2}(x)$, inconnue en absence de
                                                                                            Soit on vérifie aisément le couplage $\color {transparent}{\bullet }\;$l'équation différentielle $\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}\right)}\;$ a un 2^nd membre « excitation » résolution de la 2^ème équation différentielle $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ $\Rightarrow$
                                                                                            Soit on vérifie aisément le couplage $\color {transparent}{\bullet }\;$l'impossibilité de résoudre la 1^ère équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ avant la 2^ème $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ et
                                                                                            Soit on vérifie aisément le couplage $\bullet \;$l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en $\;f_{2}(x)\;$ sans terme du 1^er ordre,
                                                                                            Soit on vérifie aisément le couplage $\color {transparent}{\bullet }\;$l'équation différentielle $\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ a un 2^nd membre « excitation » dépendant de $\;f_{1}(x)$, inconnue en absence de
                                                                                            Soit on vérifie aisément le couplage $\color {transparent}{\bullet }\;$l'équation différentielle $\color {transparent}{\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ a un 2^nd membre « excitation » résolution de la 1^ère équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ $\Rightarrow$
                                                                                            Soit on vérifie aisément le couplage $\color {transparent}{\bullet }\;$l'impossibilité de résoudre la 2^ème équation différentielle $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ avant la 1^ère $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ d'où
                                                                                            Soit on vérifie aisément le couplage des deux équations différentielles.

Exposé d'une méthode de découplage du système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variable

Généralités

     Les deux équations différentielles couplées $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace \;$ étant linéaires , il semble possible de les découpler par C.L. $\;\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)\;$ et définition associée de $\;F_{\alpha \,,\,\beta }(x)=\alpha \;f_{1}(x)+\beta \;f_{2}(x)\;$
         Les deux équations différentielles couplées $\;\color {transparent}{\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace }\;$ étant linéaires, il semble possible de les découpler telle que $\;\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)\;$ ne dépende que de $\;F_{\alpha \,,\,\beta }(x)$,
         Les deux équations différentielles couplées $\;\color {transparent}{\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace }\;$ étant linéaires, il semble possible de les découpler ceci nécessitant un choix de $\;\left(\alpha ,\,\beta \right)\;$ pour être réalisé $\;\ldots$
         Les deux équations différentielles couplées $\;\color {transparent}{\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace }\;$ étant linéaires, il semble possible Ce découplage sera effectif si on trouve deux C.L. distinctes des équations différentielles $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$
         Les deux équations différentielles couplées $\;\color {transparent}{\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace }\;$ étant linéaires, il semble possible un système d'équations différentielles découplées indépendantes en $\;\left\lbrace F_{\alpha _{1}\,,\,\beta _{1}}(x)\,,\,F_{\alpha _{2}\,,\,\beta _{2}}(x)\right\rbrace \;$
         Les deux équations différentielles couplées $\;\color {transparent}{\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace }\;$ étant linéaires, il semble possible un système équivalent au système d'équations différentielles couplées $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace \;\ldots$

Mise en pratique du découplage par combinaison linéaire

     Formant $\;\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;\alpha \left[{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+c_{1}\;f_{1}(x)\right]+\beta \left[{\dfrac {d^{2}f_{2}}{dx^{2}}}(x)+c_{2}\;f_{2}(x)\right]=\alpha \left[e_{1}\;f_{2}(x)\right]+\beta \left[e_{2}\;f_{1}(x)\right]\;$ dans laquelle la somme des dérivées 2^ndes du 1^er membre $\Rightarrow$
     Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;{\dfrac {d^{2}\left[\alpha \;f_{1}+\beta \;f_{2}\right]}{dx^{2}}}(x)+c_{1}\;\alpha \;f_{1}(x)+c_{2}\;\beta \;f_{2}(x)=e_{1}\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;\beta \;f_{2}(x)+e_{2}\;{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;\alpha \;f_{1}(x)\;$ si $\;\left(\alpha \,,\,\beta \right)\;$ est $\;\neq \left(0\,,\,0\right)\;$ soit, avec $\;F_{\alpha \,,\,\beta }(x)=\alpha \;f_{1}(x)+\beta \;f_{2}(x)$,
     Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;{\dfrac {d^{2}F_{\alpha \,,\,\beta }}{dx^{2}}}(x)=\left[e_{2}\;{\dfrac {\beta }{\alpha }}-c_{1}\right]\alpha \;f_{1}(x)+\left[e_{1}\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}-c_{2}\right]\beta \;f_{2}(x)$, la condition pour que le 2^nd membre s'écrive en fonction de $\;F_{\alpha \,,\,\beta }(x)=\alpha \;f_{1}(x)+\beta \;f_{2}(x)\;$ étant
     Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{{\dfrac {d^{2}F_{\alpha \,,\,\beta }}{dx^{2}}}(x)=\left[e_{2}\;{\dfrac {\beta }{\alpha }}-c_{1}\right]\alpha \;f_{1}(x)+\left[e_{1}\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}-c_{2}\right]\beta \;f_{2}(x)}$, la condition $\left[e_{2}\;{\dfrac {\beta }{\alpha }}-c_{1}\right]=\left[e_{1}\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}-c_{2}\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;e_{1}\,\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)^{\!\!2}+\left(c_{1}-c_{2}\right)\,{\dfrac {\alpha }{\beta }}-e_{2}=0\;$ c.-à-d.
     Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{{\dfrac {d^{2}F_{\alpha \,,\,\beta }}{dx^{2}}}(x)=\left[e_{2}\;{\dfrac {\beta }{\alpha }}-c_{1}\right]\alpha \;f_{1}(x)+\left[e_{1}\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}-c_{2}\right]\beta \;f_{2}(x)}$, la condition ${\dfrac {\alpha }{\beta }}\;$ solution de l'équation algébrique du 2^ème degré $\;e_{1}\,\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)^{\!\!2}+\left(c_{1}-c_{2}\right)\,{\dfrac {\alpha }{\beta }}-e_{2}=0\;$ ;
     Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ l'équation algébrique du 2^ème degré ci-dessus admet deux solutions réelles distinctes si son discriminant $\;\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}\;$ est $\;>0\;$,
     Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ l'équation algébrique du 2^ème degré ci-dessus admet deux solutions réelles distinctes ce que semble nécessaire pour la réussite d'un découplage dans $\;\mathbb {R}$ :
     Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\bullet \;$avec $\;\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0\;$, nous avons deux solutions réelles distinctes $\;\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!1}\;$ et $\;\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!2}$, pour chacune,
         Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$avec $\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0}\;$, le 2^nd membre de $\;\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)\;$ s'écrit $\;\left[e_{1}\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}-c_{2}\right]\left[\alpha \;f_{1}(x)+\beta \;f_{2}(x)\right]\;$ $\;=\left[e_{1}\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}-c_{2}\right]F_{\alpha \,,\,\beta }(x)\;$ d'où :
         Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$avec $\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0}\;$, $\blacktriangleright \;$en posant $\;k_{1}=-\left[e_{1}\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!1}-c_{2}\right]\;$ et $\;F_{1}(x)=F_{\alpha _{1}\,,\,\beta _{1}}(x)=\alpha _{1}\;f_{1}(x)+\beta _{1}\;f_{2}(x)\;$ comme nouvelle fonction,
         Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$avec $\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0}\;$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en posant $\;\color {transparent}{k_{1}=-\left[e_{1}\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!1}-c_{2}\right]}\;$ et $\;F_{1}(x)\;$ solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants
         Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$avec $\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0}\;$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en posant $\;\color {transparent}{k_{1}=-\left[e_{1}\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!1}-c_{2}\right]}\;$ et $\;\color {transparent}{F_{1}(x)}\;$ solution de du 2^ème ordre, homogène, sans terme du 1^er ordre et
         Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$avec $\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0}\;$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en posant $\;\color {transparent}{k_{1}=-\left[e_{1}\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!1}-c_{2}\right]}\;$ et $\;\color {transparent}{F_{1}(x)}\;$ solution de indépendante $\;{\dfrac {d^{2}F_{1}}{dx^{2}}}(x)+k_{1}\;F_{1}(x)=0$,
         Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$avec $\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0}\;$, $\blacktriangleright \;$en posant $\;k_{2}=-\left[e_{1}\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!2}-c_{2}\right]\;$ et $\;F_{2}(x)=F_{\alpha _{2}\,,\,\beta _{2}}(x)=\alpha _{2}\;f_{1}(x)+\beta _{2}\;f_{2}(x)\;$ comme nouvelle fonction,
         Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$avec $\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0}\;$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en posant $\;\color {transparent}{k_{2}=-\left[e_{1}\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!2}-c_{2}\right]}\;$ et $\;F_{2}(x)\;$ solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants
         Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$avec $\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0}\;$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en posant $\;\color {transparent}{k_{2}=-\left[e_{1}\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!2}-c_{2}\right]}\;$ et $\;\color {transparent}{F_{2}(x)}\;$ solution de du 2^ème ordre, homogène, sans terme du 1^er ordre et
         Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$avec $\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0}\;$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en posant $\;\color {transparent}{k_{2}=-\left[e_{1}\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!2}-c_{2}\right]}\;$ et $\;\color {transparent}{F_{2}(x)}\;$ solution de indépendante $\;{\dfrac {d^{2}F_{2}}{dx^{2}}}(x)+k_{2}\;F_{2}(x)=0$,
         Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$avec $\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0}\;$, $\blacktriangleright \;$soit la réalisation du découplage du système d'équations différentielles couplées $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace \;$ dans $\;\mathbb {R} \;$
         Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$avec $\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0}\;$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$soit la réalisation du découplage selon «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\dfrac {d^{2}F_{1}}{dx^{2}}}(x)+k_{1}\;F_{1}(x)=0\\{\dfrac {d^{2}F_{2}}{dx^{2}}}(x)+k_{2}\;F_{2}(x)=0\end{array}}\right\rbrace \;$» ;

     Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\bullet \;$avec $\;\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0\;$, nous avons une solution réelle double $\;\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!d}={\dfrac {c_{2}-c_{1}}{2\;e_{1}}}={\dfrac {2\;e_{2}}{c_{1}-c_{2}}}$,
          Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$avec $\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$, le 2^nd membre de $\;\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)\;$ s'écrit $\;\left[e_{1}\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}-c_{2}\right]\left[\alpha \;f_{1}(x)+\beta \;f_{2}(x)\right]\;$ $\;=\left[e_{1}\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}-c_{2}\right]F_{\alpha \,,\,\beta }(x)\;$
               Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$avec $\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$, le 2^nd membre de $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ s'écrit $\;\color {transparent}{\left[e_{1}\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}-c_{2}\right]\left[\alpha \;f_{1}(x)+\beta \;f_{2}(x)\right]}\;$ $\;=\left[e_{1}\;{\dfrac {c_{2}-c_{1}}{2\;e_{1}}}-c_{2}\right]F_{\alpha \,,\,\beta }(x)$
               Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$avec $\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$, le 2^nd membre de $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ s'écrit $\;\color {transparent}{\left[e_{1}\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}-c_{2}\right]\left[\alpha \;f_{1}(x)+\beta \;f_{2}(x)\right]}\;$ $\;=-{\dfrac {c_{1}+c_{2}}{2}}\;F_{\alpha \,,\,\beta }(x)$ d'où :
          Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$avec $\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}\leqslant 0}\;$, $\blacktriangleright \;$en posant $\;k_{d}={\dfrac {c_{1}+c_{2}}{2}}\;$ et $\;F_{d}(x)=F_{\alpha _{d}\,,\,\beta _{d}}(x)=\alpha _{d}\;f_{1}(x)+\beta _{d}\;f_{2}(x)\;$ comme nouvelle fonction,
          Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$avec $\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}\leqslant 0}\;$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en posant $\;\color {transparent}{k_{d}={\dfrac {c_{1}+c_{2}}{2}}}\;$ et $\;F_{d}(x)\;$ solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre,
          Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$avec $\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}\leqslant 0}\;$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en posant $\;\color {transparent}{k_{d}={\dfrac {c_{1}+c_{2}}{2}}}\;$ et $\;\color {transparent}{F_{d}(x)}\;$ solution de homogène, sans terme du 1^er ordre et indépendante
          Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$avec $\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}\leqslant 0}\;$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$en posant $\;\color {transparent}{k_{d}={\dfrac {c_{1}+c_{2}}{2}}}\;$ et $\;\color {transparent}{F_{d}(x)}\;$ solution de homogène, sans terme du 1^er ordre $\;{\dfrac {d^{2}F_{d}}{dx^{2}}}(x)+k_{d}\;F_{d}(x)=0$,
          Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$avec $\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}\leqslant 0}\;$, $\blacktriangleright \;$la résolution de l'équation différentielle ci-dessus ne permettant qu'une relation de liaison entre les deux solutions cherchées
          Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$avec $\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}\leqslant 0}\;$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$la résolution de l'équation différentielle ci-dessus ne permettant qu'une relation de liaison $\;\alpha _{d}\;f_{1}(x)+\beta _{d}\;f_{2}(x)=F_{d}(x)\;$,
          Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$avec $\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}\leqslant 0}\;$, $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$nous constatons que le découplage du système initial d'équations différentielles $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace \;$ par C.L. n'aboutit pas  ;

     Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\bullet \;$avec $\;\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}<0\;$, nous n'avons pas de solutions réelles $\Rightarrow$
          Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$avec $\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$, un découplage par C.L. dans $\;\mathbb {R} \;$ du système d'équations différentielles couplées $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace \;$ n'est pas possible,
          Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\color {transparent}{\bullet }\;$avec $\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$, il faut donc chercher une autre méthode de découplage dans le but de résoudre le système $\ldots$

Suite de la résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a été effectif

     Cas$\;\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0\;$ : le système d'équations différentielles couplées $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace \;$ étant équivalent au système d'équations différentielles découplées $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {d^{2}F_{1}}{dx^{2}}}(x)+k_{1}\;F_{1}(x)=0\\{\dfrac {d^{2}F_{2}}{dx^{2}}}(x)+k_{2}\;F_{2}(x)=0\end{array}}\right\rbrace \;$
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0}\;$ : le système d'équations différentielles couplées $\;\color {transparent}{\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace }\;$ étant équivalent avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}k_{1}=-\left[e_{1}\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!1}-c_{2}\right]\\k_{2}=-\left[e_{1}\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!2}-c_{2}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ où $\;\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!1}\;$ et $\;\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!2}\;$ sont les deux
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0}\;$ : le système d'équations différentielles couplées $\;\color {transparent}{\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace }\;$ étant équivalent solutions réelles distinctes de l'équation algébrique du 2^ème degré
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0}\;$ : le système d'équations différentielles couplées $\;\color {transparent}{\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace }\;$ étant équivalent solutions réelles distinctes de «$\;e_{1}\,\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)^{\!\!2}+\left(c_{1}-c_{2}\right)\,{\dfrac {\alpha }{\beta }}-e_{2}=0\;$» et
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0}\;$ : le système d'équations différentielles couplées $\;\color {transparent}{\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace }\;$ étant équivalent avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}F_{1}(x)=F_{\alpha _{1}\,,\,\beta _{1}}(x)=\alpha _{1}\;f_{1}(x)+\beta _{1}\;f_{2}(x)\\F_{2}(x)=F_{\alpha _{2}\,,\,\beta _{2}}(x)=\alpha _{2}\;f_{1}(x)+\beta _{2}\;f_{2}(x)\end{array}}\right\rbrace \;$  ;

         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0}\;$ : la résolution de chaque équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir respectivement $\;F_{1}(x)\;$ et $\;F_{2}(x)\;$ en fonction de $\;x\;$ avec,
               Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0}\;$ : la résolution de chaque équation différentielle découplée et indépendante pour chaque fonction, deux constantes réelles arbitraires $\;\left(A_{1}\,,\,B_{1}\right)\;$ et $\;\left(A_{2}\,,\,B_{2}\right)$ ;

         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0}\;$ : il reste alors à revenir aux fonctions initiales $\;f_{1}(x)\;$ et $\;f_{2}(x)\;$ en résolvant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\alpha _{1}\;f_{1}(x)+\beta _{1}\;f_{2}(x)=F_{1}(x)\;\;\left({\mathfrak {a}}_{1}\right)\\\alpha _{2}\;f_{1}(x)+\beta _{2}\;f_{2}(x)=F_{2}(x)\;\;\left({\mathfrak {a}}_{2}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0}\;$ : $\bullet \;$en formant $\;\beta _{2}\,\left({\mathfrak {a}}_{1}\right)-\beta _{1}\,\left({\mathfrak {a}}_{2}\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;f_{1}(x)={\dfrac {\beta _{2}\;F_{1}(x)-\beta _{1}\;F_{2}(x)}{\alpha _{1}\;\beta _{2}-\alpha _{2}\;\beta _{1}}}={\dfrac {{\dfrac {F_{1}(x)}{\beta _{1}}}-{\dfrac {F_{2}(x)}{\beta _{2}}}}{\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!1}-\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!2}}}\;$ et
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0}\;$ : $\bullet \;$en formant $\;\alpha _{2}\,\left({\mathfrak {a}}_{1}\right)-\alpha _{1}\,\left({\mathfrak {a}}_{2}\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;f_{2}(x)=-{\dfrac {\alpha _{2}\;F_{1}(x)-\alpha _{1}\;F_{2}(x)}{\alpha _{1}\;\beta _{2}-\alpha _{2}\;\beta _{1}}}=-{\dfrac {\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!2}\,{\dfrac {F_{1}(x)}{\beta _{1}}}-\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!1}\,{\dfrac {F_{2}(x)}{\beta _{2}}}}{\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!1}-\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!2}}}\;$ .

         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0}\;$ : Exemple : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+f_{1}(x)=3\;f_{2}(x)\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {d^{2}f_{2}}{dx^{2}}}(x)+3\;f_{2}(x)=f_{1}(x)\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ c.-à-d. $\;c_{1}=1$, $\;c_{2}=3$, $\;e_{1}=3\;$ et $\;e_{2}=1\;$ $\Rightarrow$ $\;\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=16>0$,
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0}\;$ : Exemple : les deux solutions réelles distinctes $\;\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!1}\;$ et $\;\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!2}\;$ de l'équation algébrique du 2^ème degré «$\;3\,\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)^{\!\!2}-2\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}-1=0\;$» s'écrivant
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0}\;$ : Exemple : les deux solutions réelles distinctes $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!1}={\dfrac {2}{2\times 3}}+{\dfrac {\sqrt {16}}{2\times 3}}=1\\\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!2}={\dfrac {2}{2\times 3}}-{\dfrac {\sqrt {16}}{2\times 3}}=-{\dfrac {1}{3}}\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l c l}k_{1}\!\!\!\!&=&\!\!\!\!-\left[e_{1}\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!1}-c_{2}\right]\!\!\!\!&=&\!\!\!\!-\left[1\times 3-3\right]\!\!\!\!&=&\!\!\!\!0\\k_{2}\!\!\!\!&=&\!\!\!\!-\left[e_{1}\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!2}-c_{2}\right]\!\!\!\!&=&\!\!\!\!-\left[-{\dfrac {1}{3}}\times 3-3\right]\!\!\!\!&=&\!\!\!\!4\end{array}}\right\rbrace \;$ soit,
           Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0}\;$ : Exemple : les deux solutions réelles distinctes avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left(\alpha _{1}\,,\,\beta _{1}\right)=\left(1\,,\,1\right)\\\left(\alpha _{2}\,,\,\beta _{2}\right)=\left(-1\,,\,3\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}F_{1}(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)\\F_{2}(x)=-f_{1}(x)+3\;f_{2}(x)\end{array}}\right\rbrace \;$, on aboutit au découplage suivant
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0}\;$ : Exemple : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}{\dfrac {d^{2}F_{1}}{dx^{2}}}(x)\!\!&=&\!\!0\\{\dfrac {d^{2}F_{2}}{dx^{2}}}(x)+4\;F_{2}(x)\!\!&=&\!\!0\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}F_{1}(x)=A_{1}\;x+B_{1}\\F_{2}(x)=A_{2}\;\cos(2\;x)+B_{2}\;\sin(2\;x)\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{1}\,,\,B_{1}\\A_{2}\,,\,B_{2}\end{array}}\right\rbrace \;$ constantes réelles arbitraires d'où

          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0}\;$ : Exemple : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l c l}f_{1}(x)\!\!\!\!&=&\!\!\!\!{\dfrac {3\;F_{1}(x)-F_{2}(x)}{4}}\!\!\!\!&=&\!\!\!\!{\dfrac {3\;A_{1}\;x+3\;B_{1}-A_{2}\;\cos(2\;x)-B_{2}\;\sin(2\;x)}{4}}\\f_{2}(x)\!\!\!\!&=&\!\!\!\!{\dfrac {F_{1}(x)+F_{2}(x)}{4}}\!\!\!\!&=&\!\!\!\!{\dfrac {A_{1}\;x+B_{1}+A_{2}\;\cos(2\;x)+B_{2}\;\sin(2\;x)}{4}}\end{array}}\right\rbrace$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}A_{1}\,,\,B_{1}\\A_{2}\,,\,B_{2}\end{array}}\right\rbrace \;$ constantes réelles arbitraires .

Suite de la résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a partiellement échoué

     Cas$\;\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0\;$ : le découplage par C.L. réelle du système d'équations différentielles couplées $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace \;$ n'aboutissant pas,
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : le découplage la méthode ne fournissant qu'une seule équation différentielle indépendante $\;{\dfrac {d^{2}F_{d}}{dx^{2}}}(x)+k_{d}\;F_{d}(x)=0\;$ avec $\;k_{d}={\dfrac {c_{1}+c_{2}}{2}}\;$ et
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : le découplage la méthode ne fournissant qu'une seule équation différentielle indépendante $\;F_{d}(x)=F_{\alpha _{d}\,,\,\beta _{d}}(x)=\alpha _{d}\;f_{1}(x)+\beta _{d}\;f_{2}(x)\;$ dans laquelle
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : le découplage la méthode ne fournissant qu'une seule équation différentielle indépendante $\;\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!d}={\dfrac {c_{2}-c_{1}}{2\;e_{1}}}={\dfrac {2\;e_{2}}{c_{1}-c_{2}}}\;$  ;

         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir $\;F_{d}(x)\;$ en fonction de $\;x\;$ avec
               Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir $\;\color {transparent}{F_{d}(x)}\;$ deux constantes réelles arbitraires $\;\left(A_{d}\,,\,B_{d}\right)$, c.-à-d.
                Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir la relation de liaison entre les deux fonctions cherchées
                Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir la relation de liaison $\alpha _{d}\;f_{1}(x)+\beta _{d}\;f_{2}(x)=F_{d}(x)\;$ dont
                Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir on peut tirer $\;f_{2}(x)\;$ en fonction de $\;F_{d}(x)\;$ et $\;f_{1}(x)\;$ selon
               Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir $\;f_{2}(x)={\dfrac {F_{d}(x)}{\beta _{d}}}-\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!d}\;f_{1}(x)\;$ ;

         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : on reporte alors l'expression de $\;f_{2}(x)\;$ dans l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+c_{1}\;f_{1}(x)=e_{1}\;{\dfrac {F_{d}(x)}{\beta _{d}}}-e_{1}\,\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!d}\;f_{1}(x)\;$ ou
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : on reporte alors l'expression de $\;\color {transparent}{f_{2}(x)}\;$ dans l'équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+c_{1}\;f_{1}(x)=e_{1}\;{\dfrac {F_{d}(x)}{\beta _{d}}}-{\dfrac {c_{2}-c_{1}}{2}}\;f_{1}(x)\;$ soit finalement
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : on reporte alors l'expression de $\;\color {transparent}{f_{2}(x)}\;$ dans l'équation différentielle $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+{\dfrac {c_{2}+c_{1}}{2}}\;f_{1}(x)=e_{1}\;{\dfrac {F_{d}(x)}{\beta _{d}}}$ ;

         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : la résolution de cette 2^ème équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir $\;f_{1}(x)\;$ en fonction de $\;x\;$ avec deux nouvelles
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : la résolution de cette 2^ème équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir $\;\color {transparent}{f_{1}(x)}\;$ constantes réelles arbitraires $\;\left({A'}_{1}\,,\,{B'}_{1}\right)\;$ et
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : la résolution de cette 2^ème équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir $\;\color {transparent}{f_{1}(x)}\;$ une solution particulière associée à l'excitation
              Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : la résolution de cette 2^ème équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir $\;\color {transparent}{f_{1}(x)}\;$ une solution particulière associée $\;e_{1}\;{\dfrac {F_{d}(x)}{\beta _{d}}}\;$ ;

         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : nous en déduisons alors $\;f_{2}(x)\;$ par report de $\;f_{1}(x)\;$ dans $\;f_{2}(x)={\dfrac {F_{d}(x)}{\beta _{d}}}-\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!d}\;f_{1}(x)\;\ldots$

         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+f_{1}(x)=f_{2}(x)\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {d^{2}f_{2}}{dx^{2}}}(x)+3\;f_{2}(x)=-f_{1}(x)\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ c.-à-d. $\;c_{1}=1$, $\;c_{2}=3$, $\;e_{1}=1\;$ et $\;e_{2}=-1\;$ $\Rightarrow$ $\;\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0$,
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : la solution réelle double $\;\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!d}\;$ de l'équation algébrique du 2^ème degré «$\;\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)^{\!\!2}-2\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}+1=0\;$» s'écrivant
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : la solution réelle double $\;\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!d}=1\;$ $\Rightarrow$ $\;k_{d}=-\left[e_{1}\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!d}-c_{2}\right]=-\left[1\times 1-3\right]=2\;$ soit, avec $\;\left(\alpha _{d}\,,\,\beta _{d}\right)=\left(1\,,\,1\right)\;$ $\Rightarrow$
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : la solution réelle double $\;F_{d}(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)\;$, solution de l'équation différentielle découplée indépendante $\;{\dfrac {d^{2}F_{d}}{dx^{2}}}(x)+2\;F_{d}(x)=0\;$ d'où
              Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : la solution réelle double $\;\color {transparent}{F_{d}(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)}\;$, $\;F_{d}(x)=A_{d}\;\cos({\sqrt {2}}\;x)+B_{d}\;\sin({\sqrt {2}}\;x)\;$, $\;\left(A_{d}\,,\,B_{d}\right)\;$ constantes réelles arbitraires,
           Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : la solution réelle double soit, la relation de liaison $\;f_{1}(x)+f_{2}(x)=A_{d}\;\cos({\sqrt {2}}\;x)+B_{d}\;\sin({\sqrt {2}}\;x)$, $\;\left(A_{d}\,,\,B_{d}\right)\;$ constantes réelles arbitraires ;
           Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : la solution réelle double de cette relation on tire $\;f_{2}(x)\;$ en fonction de $\;f_{1}(x)\;$ selon $\;f_{2}(x)=A_{d}\;\cos({\sqrt {2}}\;x)+B_{d}\;\sin({\sqrt {2}}\;x)-f_{1}(x)\;$
            Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : la solution réelle double de cette relation on tire que l'on reporte dans l'équation $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ pour obtenir un découplage par substitution d'où
            Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : la solution réelle double de cette relation on tire la 2^ème équation différentielle découplée indépendante
           Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : la solution réelle double de cette relation on tire $\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+f_{1}(x)=A_{d}\;\cos({\sqrt {2}}\;x)+B_{d}\;\sin({\sqrt {2}}\;x)-f_{1}(x)\;$ ou encore
           Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : la solution réelle double de cette relation on tire $\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+2\;f_{1}(x)=A_{d}\;\cos({\sqrt {2}}\;x)+B_{d}\;\sin({\sqrt {2}}\;x)\;\;\left({\mathfrak {1}}''\right)\;$  ;

         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : solution particulière de $\;\left({\mathfrak {1}}''\right)$ : $\;f_{1,\,{\text{part}}}(x)=A\;x\;\cos({\sqrt {2}}\;x)+B\;x\;\sin({\sqrt {2}}\;x)\;$ $\Rightarrow$
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : solution particulière de $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}''\right)}$ : $\;{\dfrac {df_{1,\,{\text{part}}}}{dx}}(x)=A\;\cos({\sqrt {2}}\;x)-{\sqrt {2}}\;A\;x\;\sin({\sqrt {2}}\;x)+B\;\sin({\sqrt {2}}\;x)+{\sqrt {2}}\;B\;x\;\cos({\sqrt {2}}\;x)\;$ $\Rightarrow$
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : solution particulière de $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}''\right)}$ : $\;{\dfrac {d^{2}f_{1,\,{\text{part}}}}{dx^{2}}}(x)=-2\,{\sqrt {2}}\,A\,\sin({\sqrt {2}}\,x)-({\sqrt {2}})^{2}\,A\,x\,\cos({\sqrt {2}}\,x)+2\,{\sqrt {2}}\,B\,\cos({\sqrt {2}}\,x)-({\sqrt {2}})^{2}\,B\,x\,\sin({\sqrt {2}}\,x)$ $\Rightarrow$
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : solution particulière de $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}''\right)}$ : $\;{\dfrac {d^{2}f_{1,\,{\text{part}}}}{dx^{2}}}(x)+2\;f_{1,\,{\text{part}}}(x)=-2\;{\sqrt {2}}\;A\;\sin({\sqrt {2}}\;x)+2\;{\sqrt {2}}\;B\;\cos({\sqrt {2}}\;x)\;$ après simplification à identifier à
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : solution particulière de $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}''\right)}$ : $\;\color {transparent}{{\dfrac {d^{2}f_{1,\,{\text{part}}}}{dx^{2}}}(x)+2\;f_{1,\,{\text{part}}}(x)=}$ $\;A_{d}\;\cos({\sqrt {2}}\;x)+B_{d}\;\sin({\sqrt {2}}\;x)\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}B={\dfrac {A_{d}}{2\;{\sqrt {2}}}}\\A=-{\dfrac {B_{d}}{2\;{\sqrt {2}}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ soit finalement
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : solution particulière de $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}''\right)}$ : $\;f_{1,\,{\text{part}}}(x)=-{\dfrac {B_{d}\;x}{2\;{\sqrt {2}}}}\;\cos({\sqrt {2}}\;x)+{\dfrac {A_{d}\;x}{2\;{\sqrt {2}}}}\;\sin({\sqrt {2}}\;x)\;$ et par suite,
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : la solution libre étant $\;f_{1,\,l}(x)=A_{1}\;\cos({\sqrt {2}}\;x)+B_{1}\;\sin({\sqrt {2}}\;x)\;$, on en déduit
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : la solution de l'équation $\;\left({\mathfrak {1}}''\right)$, $\;f_{1}(x)=\left(A_{1}-{\dfrac {B_{d}\;x}{2\;{\sqrt {2}}}}\right)\,\cos({\sqrt {2}}\;x)+\left(B_{1}+{\dfrac {A_{d}\;x}{2\;{\sqrt {2}}}}\right)\,\sin({\sqrt {2}}\;x)\;$, $\;\left(A_{1}\,,\,B_{1}\right)\;$ constantes réelles arbitraires ;
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : on en déduit $\;f_{2}(x)=A_{d}\;\cos({\sqrt {2}}\;x)+B_{d}\;\sin({\sqrt {2}}\;x)-f_{1}(x)=\left(A_{d}-A_{1}+{\dfrac {B_{d}\;x}{2\;{\sqrt {2}}}}\right)\,\cos({\sqrt {2}}\;x)+\left(B_{d}-B_{1}-{\dfrac {A_{d}\;x}{2\;{\sqrt {2}}}}\right)\,\sin({\sqrt {2}}\;x)$.

Recherche d'une autre méthode de résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a totalement échoué

     Cas$\;\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}<0\;$ : le découplage par C.L. réelle du système d'équations différentielles couplées $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace \;$ étant un échec complet ,
               Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}<0}\;$ : le découplage par C.L. réelle nous n'obtenons aucune équation différentielle découplée indépendante par C.L. réelle de ce système,
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}<0}\;$ : il nous faut donc rechercher une autre méthode de découplage et celle qui vient à l'esprit est la méthode « par substitution »  :

         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : de l'équation différentielle couplée $\;\left({\mathfrak {1}}\right)$, on tire $\;f_{2}(x)={\dfrac {1}{e_{1}}}\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+{\dfrac {c_{1}}{e_{1}}}\;f_{1}(x)\;$ que l'on reporte dans l'équation différentielle couplée $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ $\Rightarrow$
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : de l'équation différentielle découplée indépendante en $\;f_{1}(x)\;$ suivante $\;{\dfrac {1}{e_{1}}}\;{\dfrac {d^{4}f_{1}}{dx^{4}}}(x)+{\dfrac {c_{1}}{e_{1}}}\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+{\dfrac {c_{2}}{e_{1}}}\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+{\dfrac {c_{1}\;c_{2}}{e_{1}}}\;f_{1}(x)=e_{2}\;f_{1}(x)\;$ soit,
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : après simplification et normalisation, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène du 4^ème ordre en $\;f_{1}(x)$,
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : après simplification et normalisation, «$\;{\dfrac {d^{4}f_{1}}{dx^{4}}}(x)+\left(c_{1}+c_{2}\right)\,{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+\left(c_{1}\;c_{2}-e_{1}\;e_{2}\right)\,f_{1}(x)=0\;\;\left({\mathfrak {1}}'\right)\;$»  ;

         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante $\;\left({\mathfrak {1}}'\right)\;$ en $\;f_{1}(x)\;$ nous conduit à
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : la résolution de l'équation caractéristique $\;s^{4}+\left(c_{1}+c_{2}\right)\,s^{2}+\left(c_{1}\;c_{2}-e_{1}\;e_{2}\right)=0$,
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : la résolution de l’équation algébrique bicarrée du 4^ème degré en $\;s$, de discriminant en tant qu'équation du 2^ème degré en $\;s^{2}$,
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : la résolution de l’équation algébrique bicarrée du 4^ème degré en $\;\color {transparent}{s}$, de discriminant $\Delta =\left(c_{1}+c_{2}\right)^{2}-4\,\left(c_{1}\;c_{2}-e_{1}\;e_{2}\right)=\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}<0$, d'où
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : la résolution de l’$\bullet \;$deux solutions complexes conjuguées de l'équation bicarrée $\;{\underline {s}}^{2}=-{\dfrac {c_{1}\!+\!c_{2}}{2}}\pm i\,{\dfrac {\sqrt {-\Delta }}{2}}=-{\dfrac {c_{1}\!+\!c_{2}}{2}}\pm i\,{\dfrac {\sqrt {-\left(c_{1}\!-\!c_{2}\right)^{2}-4\,e_{1}\,e_{2}}}{2}}\;$ $\Rightarrow$
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : la résolution de l’$\bullet \;$quatre solutions complexes distinctes de l'équation caractéristique, de même module $\;\rho \;$ et d'arguments distincts $\;\left\lbrace {\begin{array}{r c r}\theta \!\!&{\text{et}}&\!\!\theta -\pi \\-\theta \!\!&{\text{et}}&\!\!-\theta +\pi \end{array}}\right\rbrace \;$
              Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : la résolution de l’$\color {transparent}{\bullet }\;$quatre solutions complexes distinctes de l'équation caractéristique, de même module $\;\color {transparent}{\rho }\;$ et d'arguments deux à deux opposés soit
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : la résolution de l’$\color {transparent}{\bullet }\;$quatre solutions complexes distinctes $\;{\underline {s}}=\rho \;\cos(\theta )\pm i\;\rho \;\sin(\theta )\;$ ou $\;{\underline {s}}=-\rho \;\cos(\theta )\pm i\;\rho \;\sin(\theta )\;$ et par suite
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : la fonction $\;f_{1}(x)\;$ s'écrit «$\;f_{1}(x)=A\;\exp \!\left[\rho \;\cos(\theta )\;x\right]\;\cos \!\left[\rho \;\sin(\theta )\;x+\varphi \right]+B\;\exp \!\left[-\rho \;\cos(\theta )\;x\right]\;\cos \!\left[\rho \;\sin(\theta )\;x+\psi \right]\;$»
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : la fonction $\;\color {transparent}{f_{1}(x)}\;$ s'écrit «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=}$ avec $\;A$, $\;B$, $\;\varphi \;$ et $\;\psi \;$ des constantes arbitraires d'intégration ;
         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : la détermination de la fonction $\;f_{2}(x)\;$ se fait alors en reportant l'expression de $\;f_{1}(x)\;$ dans $\;f_{2}(x)={\dfrac {1}{e_{1}}}\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+{\dfrac {c_{1}}{e_{1}}}\;f_{1}(x)$ $\;\ldots$

         Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : $\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+f_{1}(x)=2\;f_{2}(x)\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {d^{2}f_{2}}{dx^{2}}}(x)+3\;f_{2}(x)=-f_{1}(x)\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ c.-à-d. $\;c_{1}=1$, $\;c_{2}=3$, $\;e_{1}=2\;$ et $\;e_{2}=-1\;$ $\Rightarrow$ $\;\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=-4<0$,
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : le découplage de ce système d'équations différentielles par C.L. réelle échouant totalement, on procède au découplage « par substitution » :
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : de l'équation différentielle couplée $\;\left({\mathfrak {1}}\right)$, on tire $\;f_{2}(x)={\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+{\dfrac {1}{2}}\;f_{1}(x)\;$ que l'on reporte dans l'équation différentielle couplée $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ $\Rightarrow$
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : de l'équation différentielle découplée indépendante en $\;f_{1}(x)\;$ suivante $\;{\dfrac {1}{2}}\,{\dfrac {d^{4}f_{1}}{dx^{4}}}(x)+{\dfrac {1}{2}}\,{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+{\dfrac {3}{2}}\,{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+{\dfrac {3}{2}}\,f_{1}(x)=-f_{1}(x)\;$ soit,
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : après simplification et normalisation, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène du 4^ème ordre en $\;f_{1}(x)$,
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : après simplification et normalisation, «$\;{\dfrac {d^{4}f_{1}}{dx^{4}}}(x)+4\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+5\;f_{1}(x)=0\;\;\left({\mathfrak {1}}'\right)\;$»  ;
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante $\;\left({\mathfrak {1}}'\right)\;$ en $\;f_{1}(x)\;$ nous conduit à
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : la résolution de l'équation caractéristique $\;s^{4}+4\;s^{2}+5=0$,
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : la résolution de l’équation algébrique bicarrée du 4^ème degré en $\;s$, de discriminant en tant qu'équation du 2^ème degré en $\;s^{2}$,
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : la résolution de l’équation algébrique bicarrée du 4^ème degré en $\;\color {transparent}{s}$, de discriminant $\Delta =\left(4\right)^{2}-4\times 1\times 5=-4<0$, d'où
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : la résolution de l’$\bullet \;$deux solutions complexes conjuguées de l'équation bicarrée $\;{\underline {s}}^{2}=-2\pm i={\sqrt {5}}\;\exp \left\lbrace \pm i\left[\pi -\arctan \!\left({\dfrac {1}{2}}\right)\right]\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : la résolution de l’$\bullet \;$quatre solutions complexes distinctes de l'équation caractéristique, de même module $\;\rho ={\sqrt[{4}]{5}}\;$ et
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : la résolution de l'$\color {transparent}{\bullet }\;$quatre solutions complexes distinctes de l'équation caractéristique, d'arguments distincts, deux à deux opposés,
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : la résolution de l'$\color {transparent}{\bullet }\;$quatre solutions complexes distinctes de l'équation caractéristique, $\mathrm {arg} \!\left[{\underline {s}}\right]\equiv \pm \left[{\dfrac {\pi }{2}}-{\dfrac {1}{2}}\;\arctan \!\left({\dfrac {1}{2}}\right)\right]\!\!\!\!{\pmod {\pi }}\;$ soit
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : la résolution de l’$\color {transparent}{\bullet }\;$quatre solutions complexes distinctes $\;{\underline {s}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}{\sqrt[{4}]{5}}\times {\dfrac {{\sqrt {5}}-2}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\pm i\;{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\\-{\sqrt[{4}]{5}}\times {\dfrac {{\sqrt {5}}-2}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\pm i\;{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : «$\;f_{1}(x)=A\;\exp \!\left[{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\;x\right]\;\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\;x+\varphi \right]+B\;\exp \!\left[-{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\;x\right]\;\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\;x+\psi \right]\;$»
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=}$ avec $\;A$, $\;B$, $\;\varphi \;$ et $\;\psi \;$ des constantes arbitraires d'intégration, ou encore,
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : «$\;f_{1}(x)=A'\;\exp \!\left[{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\;x\right]\;\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\;x\right]+B'\;\exp \!\left[{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\;x\right]\;\sin \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\;x\right]\cdots$
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=}$ $+C'\;\exp \!\left[-{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\;x\right]\;\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\;x\right]+D'\;\exp \!\left[-{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\;x\right]\;\sin \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\;x\right]\;$»
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=}$ avec $\;A'$, $\;B'$, $\;C'\;$ et $\;D'\;$ des constantes arbitraires d'intégration ;
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : la détermination de la fonction $\;f_{2}(x)\;$ se fait alors en reportant l'expression de $\;f_{1}(x)\;$ dans $\;f_{2}(x)={\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+{\dfrac {1}{2}}\;f_{1}(x)$ avec $\;{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)=$
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : $\;A'{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\exp \!\left[{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]-A'\exp \!\left[{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\sin \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\cdots$
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : $+B'{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\exp \!\left[{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\sin \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]+B'\exp \!\left[{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\cdots$
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : $-C'{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\exp \!\left[-{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\!\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]-C'\exp \!\left[-{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\!\sin \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\cdots$
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : $-D'{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\exp \!\left[-{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\!\sin \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]+D'\exp \!\left[-{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\!\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]$ $\Rightarrow$
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : $\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)=A'{\dfrac {{\sqrt {5}}\left(9-4\,{\sqrt {5}}\right)}{10-4\,{\sqrt {5}}}}\exp \!\left[{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]-{\dfrac {A'}{2}}\exp \!\left[{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\sin \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\cdots \;$
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : $\;\color {transparent}{{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)=}$ $-{\dfrac {A'}{2}}\exp \!\left[{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\sin \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]-A'{\dfrac {\sqrt {5}}{10-4\,{\sqrt {5}}}}\exp \!\left[{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]+\cdots \;$
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : $\;\color {transparent}{{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)=}$ $B'{\dfrac {{\sqrt {5}}\left(9-4\,{\sqrt {5}}\right)}{10-4\,{\sqrt {5}}}}\exp \!\left[{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\sin \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]+{\dfrac {B'}{2}}\exp \!\left[{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\cdots \;$
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : $\;\color {transparent}{{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)=}$ $+{\dfrac {B'}{2}}\exp \!\left[{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]-B'{\dfrac {\sqrt {5}}{10-4\,{\sqrt {5}}}}\exp \!\left[{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\sin \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]+\cdots \;$
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : $\;\color {transparent}{{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)=}$ $C'{\dfrac {{\sqrt {5}}\left(9-4\,{\sqrt {5}}\right)}{10-4\,{\sqrt {5}}}}\exp \!\left[-{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}x\right]\!\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}x\right]\!+\!{\dfrac {C'}{2}}\exp \!\left[-{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}x\right]\!\sin \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}x\right]\cdots \;$
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : $\;\color {transparent}{{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)=}$ $+{\dfrac {C'}{2}}\exp \!\left[-{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}x\right]\!\sin \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}x\right]\!-\!C'{\dfrac {\sqrt {5}}{10-4\,{\sqrt {5}}}}\exp \!\left[-{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}x\right]\!\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}x\right]\!+\!\cdots \;$
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : $\;\color {transparent}{{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)=}$ $D'{\dfrac {{\sqrt {5}}\left(9-4\,{\sqrt {5}}\right)}{10-4\,{\sqrt {5}}}}\exp \!\left[-{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}x\right]\!\sin \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}x\right]\!-\!{\dfrac {D'}{2}}\exp \!\left[-{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}x\right]\!\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}x\right]\cdots \;$
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : $\;\color {transparent}{{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)=}$ $-{\dfrac {D'}{2}}\exp \!\left[-{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}x\right]\!\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}x\right]\!-\!D'{\dfrac {\sqrt {5}}{10-4\,{\sqrt {5}}}}\exp \!\left[-{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}x\right]\!\sin \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}x\right]\;$ ou
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : $\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)=A'{\dfrac {4-2\,{\sqrt {5}}}{{\sqrt {5}}-2}}\exp \!\left[{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]-A'\exp \!\left[{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\sin \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]+\cdots \;$
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : $\;\color {transparent}{{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)=}$ $B'{\dfrac {4-2\,{\sqrt {5}}}{{\sqrt {5}}-2}}\exp \!\left[{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\sin \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]+B'\exp \!\left[{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]+\cdots \;$
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : $\;\color {transparent}{{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)=}$ $C'{\dfrac {4-2\,{\sqrt {5}}}{{\sqrt {5}}-2}}\exp \!\left[-{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]+C'\exp \!\left[-{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\sin \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]+\cdots \;$
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : $\;\color {transparent}{{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)=}$ $D'{\dfrac {4-2\,{\sqrt {5}}}{{\sqrt {5}}-2}}\exp \!\left[-{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\sin \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]-D'\exp \!\left[-{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\;$ $\Rightarrow$
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : $\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+f_{1}(x)=-A'\exp \!\left[{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]-A'\exp \!\left[{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\sin \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\cdots \;$
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : $\;\color {transparent}{{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+f_{1}(x)=}$ $-B'\exp \!\left[{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\sin \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]+B'\exp \!\left[{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]+\cdots \;$
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : $\;\color {transparent}{{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+f_{1}(x)=}$ $C'\exp \!\left[-{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]+C'\exp \!\left[-{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\sin \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]+\cdots \;$
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : $\;\color {transparent}{{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+f_{1}(x)=}$ $D'\exp \!\left[-{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\sin \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]-D'\exp \!\left[-{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\;$ d'où
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : $\;f_{2}(x)={\dfrac {1}{2}}\left[{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+f_{1}(x)\right]=\exp \!\left[{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\!\left\lbrace {\dfrac {B'-A'}{2}}\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]+{\dfrac {B'+A'}{2}}\sin \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\!\right\rbrace +\!\cdots \;$
          Cas$\;\color {transparent}{\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0}\;$ : Exemple : $\;\color {transparent}{f_{2}(x)={\dfrac {1}{2}}\left[{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+f_{1}(x)\right]=}$ $\exp \!\left[-{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\!\left\lbrace {\dfrac {C'-D'}{2}}\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]+{\dfrac {C'+D'}{2}}\sin \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\,{\sqrt {5}}}}}\,x\right]\!\right\rbrace \;$.

Exemple de couplage de système de trois équations différentielles non linéaires de trois fonctions indépendantes d'une même variable et découplage complet impossible dans le cas général

Présentation de l'exemple

     Soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)-b\;{\sqrt {f_{1}^{2}(x)+f_{2}^{2}(x)+f_{3}^{2}(x)}}\;f_{1}(x)=0\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)-b\;{\sqrt {f_{1}^{2}(x)+f_{2}^{2}(x)+f_{3}^{2}(x)}}\;f_{2}(x)=0\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\\{\dfrac {df_{3}}{dx}}(x)-b\;{\sqrt {f_{1}^{2}(x)+f_{2}^{2}(x)+f_{3}^{2}(x)}}\;f_{3}(x)=e\;\;\left({\mathfrak {3}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\left(b\,,\,e\right)\in \left[\mathbb {R} ^{*}\right]^{2}\;$ constantes connues et $\;\left\lbrace f_{1}\,,\,f_{2}\,,\,f_{3}\right\rbrace \;$ trois fonctions réelles de la variable réelle $\;x\;$ à déterminer ;
                                                                                                                         on vérifie aisément que les équations différentielles $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right),\,\left({\mathfrak {3}}\right)\right\rbrace \;$ sont couplées car
                                                                                                                         on vérifie aisément $\bullet \;$la 1^ère équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;f_{1}(x)$, c.-à-d. $\;\left({\mathfrak {1}}\right)$,
                                                                                                                         on vérifie aisément $\color {transparent}{\bullet }\;$la 1^ère équation fait intervenir les deux autres fonctions $\;f_{2}(x)\;$ et $\;f_{3}(x)$, nécessitant de résoudre
                                                                                                                         on vérifie aisément $\color {transparent}{\bullet }\;$la 1^ère équation fait intervenir les deux autres équations différentielles $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {3}}\right)\;$ pour être connues $\Rightarrow$
                                                                                                                         on vérifie aisément $\color {transparent}{\bullet }\;$impossibilité de résoudre la 1^ère équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ avant les 2^ème et 3^ème $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {2}}\right),\,\left({\mathfrak {3}}\right)\right\rbrace$,
                                                                                                                         on vérifie aisément $\bullet \;$la 2^ème équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;f_{2}(x)$, c.-à-d. $\;\left({\mathfrak {2}}\right)$,
                                                                                                                         on vérifie aisément $\color {transparent}{\bullet }\;$la 2^ème équation fait intervenir les deux autres fonctions $\;f_{3}(x)\;$ et $\;f_{1}(x)$, nécessitant de résoudre
                                                                                                                         on vérifie aisément $\color {transparent}{\bullet }\;$la 2^ème équation fait intervenir les deux autres équations différentielles $\;\left({\mathfrak {3}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ pour être connues $\Rightarrow$
                                                                                                                         on vérifie aisément $\color {transparent}{\bullet }\;$impossibilité de résoudre la 2^ème équation différentielle $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ avant les 3^ème et 1^ère $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {3}}\right),\,\left({\mathfrak {1}}\right)\right\rbrace \;$ et
                                                                                                                         on vérifie aisément $\bullet \;$la 3^ème équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;f_{3}(x)$, c.-à-d. $\;\left({\mathfrak {3}}\right)$,
                                                                                                                         on vérifie aisément $\color {transparent}{\bullet }\;$la 3^ème équation fait intervenir les deux autres fonctions $\;f_{1}(x)\;$ et $\;f_{2}(x)$, nécessitant de résoudre
                                                                                                                         on vérifie aisément $\color {transparent}{\bullet }\;$la 3^ème équation fait intervenir les deux autres équations différentielles $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ pour être connues $\Rightarrow$
                                                                                                                         on vérifie aisément $\color {transparent}{\bullet }\;$impossibilité de résoudre la 3^ème équation différentielle $\;\left({\mathfrak {3}}\right)\;$ avant les 1^ère et 2^ème $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace \;$ d'où
                                                                                                                         on vérifie aisément $\bullet \;$le couplage des trois équations différentielles.

Impossibilité (admise) du découplage complet du système d'équations différentielles non linéaires couplées

     Nous admettrons que le découplage complet du système d'équations différentielles non linéaires couplées $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)-b\;{\sqrt {f_{1}^{2}(x)+f_{2}^{2}(x)+f_{3}^{2}(x)}}\;f_{1}(x)=0\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)-b\;{\sqrt {f_{1}^{2}(x)+f_{2}^{2}(x)+f_{3}^{2}(x)}}\;f_{2}(x)=0\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\\{\dfrac {df_{3}}{dx}}(x)-b\;{\sqrt {f_{1}^{2}(x)+f_{2}^{2}(x)+f_{3}^{2}(x)}}\;f_{3}(x)=e\;\;\left({\mathfrak {3}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ est impossible  ;

     toutefois, compte-tenu de la ressemblance des équations différentielles $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {2}}\right)$,
     toutefois il est possible de trouver une relation entre les fonctions $\;\left\lbrace f_{1}(x),\,f_{2}(x)\right\rbrace \;$ indépendante de $\;f_{3}(x)$, c'est ce que nous proposons de faire dans un 1^er temps.

Établissement d'une relation entre f₁(x) et f₂(x) indépendante de f₃(x) et découplage partiel du système des trois équations différentielles non linéaires couplées

     Supposant au moins une des fonctions $\;\left\lbrace f_{1}(x),\,f_{2}(x)\right\rbrace \;$ non identiquement nulle , plus précisément supposons $\;f_{2}\not \equiv 0\;$ et
     formons $\;f_{2}(x)\times \left({\mathfrak {1}}\right)-f_{1}(x)\times \left({\mathfrak {2}}\right)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;f_{2}(x)\left[{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)-b\;{\sqrt {f_{1}^{2}(x)+f_{2}^{2}(x)+f_{3}^{2}(x)}}\;f_{1}(x)\right]-f_{1}(x)\left[{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)-b\;{\sqrt {f_{1}^{2}(x)+f_{2}^{2}(x)+f_{3}^{2}(x)}}\;f_{2}(x)\right]=0\;$ ou, après simplification évidente,
     formons $\;\color {transparent}{f_{2}(x)\times \left({\mathfrak {1}}\right)-f_{1}(x)\times \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ $\;f_{2}(x)\;{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)-f_{1}(x)\;{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)=0\;$ soit, en divisant les deux membres par $\;f_{2}^{2}(x)\;$ non identiquement nulle ,
     formons $\;\color {transparent}{f_{2}(x)\times \left({\mathfrak {1}}\right)-f_{1}(x)\times \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ $\;{\dfrac {f_{2}(x)\;{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)-f_{1}(x)\;{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)}{f_{2}^{2}(x)}}=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {d\!\left({\dfrac {f_{1}}{f_{2}}}\right)}{dx}}(x)=0\;$ qui s'intègre en $\;{\dfrac {f_{1}(x)}{f_{2}(x)}}=k\;$ $\Leftrightarrow$ $\;f_{1}(x)=k\;f_{2}(x)$ avec $\;k\;$ constante réelle d'intégration ;
      formons $\;\color {transparent}{f_{2}(x)\times \left({\mathfrak {1}}\right)-f_{1}(x)\times \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ les équations différentielles $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ se réécrivent alors $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}k\;{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)\!\!\!\!&-\,b\;{\sqrt {k^{2}\;f_{2}^{2}(x)+f_{2}^{2}(x)+f_{3}^{2}(x)}}\;k\;f_{2}(x)\!\!\!&=0\\{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)\!\!\!\!&-\,b\;{\sqrt {k^{2}\;f_{2}^{2}(x)+f_{2}^{2}(x)+f_{3}^{2}(x)}}\;f_{2}(x)\!\!\!&=0\end{array}}\right\rbrace \;$ c.-à-d.
      formons $\;\color {transparent}{f_{2}(x)\times \left({\mathfrak {1}}\right)-f_{1}(x)\times \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ les équations différentielles $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}\right)}\;$ et $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ se réécrivent selon une même équation différentielle $\;{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)-b\;{\sqrt {k^{2}\;f_{2}^{2}(x)+f_{2}^{2}(x)+f_{3}^{2}(x)}}\;f_{2}(x)=0\;$ ou,
      formons $\;\color {transparent}{f_{2}(x)\times \left({\mathfrak {1}}\right)-f_{1}(x)\times \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ les équations différentielles $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}\right)}\;$ et $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ se réécrivent en introduisant la nouvelle fonction $\;F_{2}(x)={\sqrt {k^{2}+1}}\;f_{2}(x)$,
      formons $\;\color {transparent}{f_{2}(x)\times \left({\mathfrak {1}}\right)-f_{1}(x)\times \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ les équations différentielles $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}\right)}\;$ et $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ se réécrivent selon l'équation différentielle $\;{\dfrac {dF_{2}}{dx}}(x)-b\;{\sqrt {F_{2}^{2}(x)+f_{3}^{2}(x)}}\;F_{2}(x)=0\;\;\left({\mathfrak {2}}'\right)\;$ ;

      formons $\;\color {transparent}{f_{2}(x)\times \left({\mathfrak {1}}\right)-f_{1}(x)\times \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {3}}\right)\;$ se réécrivant $\;{\dfrac {df_{3}}{dx}}(x)-b\;{\sqrt {k^{2}\;f_{2}^{2}(x)+f_{2}^{2}(x)+f_{3}^{2}(x)}}\;f_{3}(x)=e\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {df_{3}}{dx}}(x)-b\;{\sqrt {F_{2}^{2}(x)+f_{3}^{2}(x)}}\;f_{3}(x)=e\;\;\left({\mathfrak {3}}'\right)$ $\Rightarrow$
      formons $\;\color {transparent}{f_{2}(x)\times \left({\mathfrak {1}}\right)-f_{1}(x)\times \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ le système des trois équations différentielles non linéaires couplées $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right),\,\left({\mathfrak {3}}\right)\right\rbrace \;$ en les trois fonctions $\;\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\,,\,f_{3}(x)\right\rbrace \;$
      formons $\;\color {transparent}{f_{2}(x)\times \left({\mathfrak {1}}\right)-f_{1}(x)\times \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ le système des trois équations différentielles est équivalent au système des deux équations différentielles non linéaires couplées $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {2}}'\right),\,\left({\mathfrak {3}}'\right)\right\rbrace \;$
      formons $\;\color {transparent}{f_{2}(x)\times \left({\mathfrak {1}}\right)-f_{1}(x)\times \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ le système des trois équations différentielles est équivalent au système des deux équations différentielles en les deux fonctions $\;\left\lbrace F_{2}(x)\,,\,f_{3}(x)\right\rbrace \;$ à savoir

$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {dF_{2}}{dx}}(x)-b\;{\sqrt {F_{2}^{2}(x)+f_{3}^{2}(x)}}\;F_{2}(x)=0\;\;\left({\mathfrak {2}}'\right)\\{\dfrac {df_{3}}{dx}}(x)-b\;{\sqrt {F_{2}^{2}(x)+f_{3}^{2}(x)}}\;f_{3}(x)=e\;\;\left({\mathfrak {3}}'\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ où $\;F_{2}(x)={\sqrt {k^{2}+1}}\;f_{2}(x)\;$ avec $\;k={\dfrac {f_{1}(x)}{f_{2}(x)}}$.

Impossibilité (admise) de la poursuite du découplage du système équivalent des deux équations différentielles non linéaires couplées en F₂(x) et f₃(x)

     Nous admettrons que la poursuite du découplage du système des deux équations différentielles non linéaires couplées $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {2}}'\right),\,\left({\mathfrak {3}}'\right)\right\rbrace \;$ est impossible,
     en absence de découplage seule une résolution numérique est possible $\;{\big [}$voir le paragraphe « utilisation d'un logiciel de calcul numérique pour déterminer le mouvement de chute freinée de l'objet par résistance de l'air quadratique ainsi que la trajectoire de son centre d'inertie et l'hodographe de pôle O du mouvement de ce dernier » du chap.$11$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »${\big ]}$.

Exemple de couplage particulier de système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre de deux fonctions indépendantes d'une même variable et découplage correspondant

Présentation de l'exemple

     Soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)+b\;f_{1}(x)\!\!&=&\!\!a\;f_{2}(x)+d\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)+b\;f_{2}(x)\!\!&=&\!\!-a\;f_{1}(x)+e\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;a\in \mathbb {R} ^{*}$, $\;\left(b\,,\,d\,,\,e\right)\in \mathbb {R} ^{3}\;$ constantes connues et $\;\left\lbrace f_{1}\,,\,f_{2}\right\rbrace \;$ deux fonctions réelles de la variable réelle $\;x\;$ à déterminer ;
                                                                                                              on vérifie aisément que les équations différentielles $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace \;$ sont couplées car
                                                                                                              on vérifie aisément $\bullet \;$la 1^ère équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 1^er ordre en $\;f_{1}(x)$, c.-à-d. $\;\left({\mathfrak {1}}\right)$,
                                                                                                              on vérifie aisément $\color {transparent}{\bullet }\;$la 1^ère équation a un 2^nd membre jouant le rôle d'« excitation » dépendant de $\;f_{2}(x)$,
                                                                                                              on vérifie aisément $\color {transparent}{\bullet }\;$la 1^ère équation a un 2^nd membre nécessitant de résoudre la 2^ème équation différentielle $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ pour être connu $\Rightarrow$
                                                                                                              on vérifie aisément $\color {transparent}{\bullet }\;$impossibilité de résoudre la 1^ère équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ avant la 2^ème $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ et
                                                                                                              on vérifie aisément $\bullet \;$la 2^ème équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 1^er ordre en $\;f_{2}(x)$, c.-à-d. $\;\left({\mathfrak {2}}\right)$,
                                                                                                              on vérifie aisément $\color {transparent}{\bullet }\;$la 2^ème équation a un 2^nd membre jouant le rôle d'« excitation » dépendant de $\;f_{1}(x)$,
                                                                                                              on vérifie aisément $\color {transparent}{\bullet }\;$la 2^ème équation a un 2^nd membre nécessitant de résoudre la 1^ère équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ pour être connu $\Rightarrow$
                                                                                                              on vérifie aisément $\color {transparent}{\bullet }\;$impossibilité de résoudre la 2^ème équation différentielle $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ avant la 1^ère $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ d'où
                                                                                                              on vérifie aisément $\bullet \;$le couplage des deux équations différentielles ;
                                                                                                              particularités supplémentaires du couplage : $\blacktriangleright \;$même opérateur linéaire «$\;{\dfrac {d}{dx}}+b\times \;$» s'appliquant sur $\;f_{1}(x)\;$ ou $\;f_{2}(x)\;$
                                                                                                               particularités supplémentaires du couplage : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$même opérateur linéaire «$\;\color {transparent}{{\dfrac {d}{dx}}+b\times }\;$» dans le 1^er membre de $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ ou $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ et
                                                                                                              particularités supplémentaires du couplage : $\blacktriangleright \;$dépendance de l'« excitation » de $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ ou $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ relativement à $\;f_{2}(x)\;$ ou $\;f_{1}(x)\;$ c.-à-d.
                                                                                                              particularités supplémentaires du couplage : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$dépendance de la fonction n'intervenant pas dans le 1^er membre à savoir
                                                                                                         particularités supplémentaires du couplage : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$dépendance de $\succ \;$l'« excitation » de $\;\left({\mathfrak {1}}\right)$, équation en $\;f_{1}(x)$, dépend de $\;f_{2}(x)\;$
                                                                                                         particularités supplémentaires du couplage : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$dépendance de $\color {transparent}{\succ }\;$l'« excitation » de $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}\right)}$, équation en $\;\color {transparent}{f_{1}(x)}$, dépend selon «$\;a\;f_{2}(x)\;$» et
                                                                                                         particularités supplémentaires du couplage : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$dépendance de $\succ \;$l'« excitation » de $\;\left({\mathfrak {2}}\right)$, équation en $\;f_{2}(x)$, dépend de $\;f_{1}(x)\;$
                                                                                                         particularités supplémentaires du couplage : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$dépendance de $\color {transparent}{\succ }\;$l'« excitation » de $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {2}}\right)}$, équation en $\;\color {transparent}{f_{2}(x)}$, dépend selon «$\;-a\;f_{1}(x)\;$» ;
                                                                                                              particularités supplémentaires du couplage : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$remarque : les « excitations » de $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {2}}\right)$ sont souvent les deux 1^ères composantes d'un
                                                                                                              particularités supplémentaires du couplage : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$remarque : produit vectoriel d'un vecteur $\;{\overrightarrow {\mathcal {F}}}(x)=f_{1}(x)\;{\vec {u}}_{x}+f_{2}(x)\;{\vec {u}}_{y}\;$ et
                                                                                                              particularités supplémentaires du couplage : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$remarque : produit vectoriel d'un autre vecteur $\;{\vec {A}}=a\;{\vec {u}}_{z}\;$ soit
                                                                                                              particularités supplémentaires du couplage : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$remarque : produit vectoriel ${\overrightarrow {\mathcal {F}}}(x)\wedge {\vec {A}}=\left[f_{1}(x)\;{\vec {u}}_{x}+f_{2}(x)\;{\vec {u}}_{y}\right]\wedge \left[a\;{\vec {u}}_{z}\right]\;$
                                                                                                              particularités supplémentaires du couplage : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$remarque : produit vectoriel $\color {transparent}{{\overrightarrow {\mathcal {F}}}(x)\wedge {\vec {A}}}$ $=a\;f_{1}(x)\left[{\vec {u}}_{x}\wedge {\vec {u}}_{z}\right]+a\;f_{2}(x)\left[{\vec {u}}_{y}\wedge {\vec {u}}_{z}\right]\;$ soit
                                                                                                              particularités supplémentaires du couplage : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$remarque : produit vectoriel ${\overrightarrow {\mathcal {F}}}(x)\wedge {\vec {A}}=a\;f_{2}(x)\;{\vec {u}}_{x}-a\;f_{1}(x)\;{\vec {u}}_{y}\;$ c.-à-d. effectivement
                                                                                                              particularités supplémentaires du couplage : $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$remarque : les « excitations » de $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {2}}\right)$ précédemment définies.

Vérification de l'inapplicabilité de la méthode de combinaison linéaire réelle pour le découplage du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées

     Formant $\;\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;\alpha \left[{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)+b\;f_{1}(x)\right]+\beta \left[{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)+b\;f_{2}(x)\right]=\alpha \left[a\;f_{2}(x)+d\right]+\beta \left[-a\;f_{1}(x)+e\right]\;$ dans laquelle la somme des dérivées 1^ères du 1^er membre $\Rightarrow$
     Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;{\dfrac {d\left[\alpha \;f_{1}+\beta \;f_{2}\right]}{dx}}(x)+b\;\alpha \;f_{1}(x)+b\;\beta \;f_{2}(x)=a\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;\beta \;f_{2}(x)-a\;{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;\alpha \;f_{1}(x)+\alpha \;d+\beta \;e\;$ si $\;\left(\alpha \,,\,\beta \right)\;$ est $\;\neq \left(0\,,\,0\right)\;$ soit, avec $\;F_{\alpha \,,\,\beta }(x)=\alpha \;f_{1}(x)+\beta \;f_{2}(x)$,
     Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\dfrac {dF_{\alpha \,,\,\beta }}{dx}}(x)=\left[-a\;{\dfrac {\beta }{\alpha }}-b\right]\alpha \;f_{1}(x)+\left[a\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}-b\right]\beta \;f_{2}(x)+\alpha \;d+\beta \;e\;$», le 2^nd membre s'écrivant en fonction de $\;F_{\alpha \,,\,\beta }(x)=\alpha \;f_{1}(x)+\beta \;f_{2}(x)\;$ si
     Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{{\dfrac {dF_{\alpha \,,\,\beta }}{dx}}(x)=\left[-a\;{\dfrac {\beta }{\alpha }}-b\right]\alpha \;f_{1}(x)+\left[a\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}-b\right]\beta \;f_{2}(x)+\alpha \;d+\beta \;e)}\;$»,$\left[-a\;{\dfrac {\beta }{\alpha }}-b\right]=\left[a\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}-b\right]\;$ $\Leftrightarrow$ $\;\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)^{\!\!2}+1=0\;$ sans solution réelle d'où
     Formant $\;\color {transparent}{\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ l'inapplicabilité de la méthode de découplage par C.L. réelle du système d'équations différentielles couplées $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)+b\;f_{1}(x)\!\!&=&\!\!a\;f_{2}(x)+d\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)+b\;f_{2}(x)\!\!&=&\!\!-a\;f_{1}(x)+e\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ .

     Remarque : Le découplage de ce système « par substitution » est possible mais en fait, il existe une méthode de découplage par C.L. complexe plus rapide, présentée ci-après .

Exposé de la méthode de découplage par combinaison linéaire complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées

     Préliminaire : cette méthode ne s'applique, a priori, qu'à un système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants couplées
     Préliminaire : cette méthode ne s'applique, a priori, qu'à un système tel que le 1^er membre corresponde à l'action d'un même opérateur linéaire $\;{\mathcal {OL}}\left[\,\right]\;$ sur l'une des fonctions $\;f_{1}(x)\;$ ou $\;f_{2}(x)\;$ et
     Préliminaire : cette méthode ne s'applique, a priori, qu'à un système tel que le 2^ème membre dépende linéairement de l'autre fonction $\;f_{2}(x)\;$ ou $\;f_{1}(x)\;$ avec des cœfficients de proportionnalité opposés
     Préliminaire : cette méthode ne s'applique, a priori, qu'à un système c.-à-d. $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\mathcal {OL}}\left[f_{1}\right](x)=a\;f_{2}(x)+d\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\mathcal {OL}}\left[f_{2}\right](x)=-a\;f_{1}(x)+e\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;a\in \mathbb {R} ^{*}\;$ et $\;\left(d\,,\,e\right)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ trois constantes connues,
     Préliminaire : cette méthode ne s'applique, a priori, qu'à un système c.-à-d. toute tentative de découplage par C.L. réelle conduisant à l'équation algébrique du 2^ème degré $\;\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)^{\!\!2}+1=0\;$
               Préliminaire : cette méthode ne s'applique, a priori, qu'à un système c.-à-d. toute tentative de découplage par C.L. réelle conduisant à sans solutions réelles mais complexes $\;\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)=\pm \,i\;$.

     Méthode de découplage par C.L. complexe du système d'équations couplées$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)+b\;f_{1}(x)\!\!&=&\!\!a\;f_{2}(x)+d\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)+b\;f_{2}(x)\!\!&=&\!\!-a\;f_{1}(x)+e\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;a\in \mathbb {R} ^{*}$, $\;\left(b\,,\,d\,,\,e\right)\in \mathbb {R} ^{3}\;$ constantes connues :
     Méthode de découplage formant $\;\left({\mathfrak {1}}\right)+i\left({\mathfrak {2}}\right)\;$, $\Rightarrow$ $\;\left[{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)+b\;f_{1}(x)\right]+i\left[{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)+b\;f_{2}(x)\right]=\left[a\;f_{2}(x)+d\right]+i\left[-a\;f_{1}(x)+e\right]\;$ où la somme des dérivées 1^ères du 1^er membre s'écrit
          Méthode de découplage formant $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}\right)+i\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$, $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{\left[{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)+b\;f_{1}(x)\right]+i\left[{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)+b\;f_{2}(x)\right]=\left[a\;f_{2}(x)+d\right]+i\left[-a\;f_{1}(x)+e\right]}\;$ où selon la dérivée 1^ère de la fonction complexe $\;{\underline {F}}(x)\;$
          Méthode de découplage formant $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}\right)+i\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$, $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{\left[{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)+b\;f_{1}(x)\right]+i\left[{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)+b\;f_{2}(x)\right]=\left[a\;f_{2}(x)+d\right]+i\left[-a\;f_{1}(x)+e\right]}\;$ où selon la dérivée 1^ère de $=f_{1}(x)+i\;f_{2}(x)\;$ telle que
          Méthode de découplage formant $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}\right)+i\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$, $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{\left[{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)+b\;f_{1}(x)\right]+i\left[{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)+b\;f_{2}(x)\right]=\left[a\;f_{2}(x)+d\right]+i\left[-a\;f_{1}(x)+e\right]}\;$ où selon la dérivée 1^ère de $\color {transparent}{=}$ $\left\lbrace {\begin{array}{l}f_{1}(x)=\Re e\left[{\underline {F}}(x)\right]\\f_{2}(x)=\Im m\left[{\underline {F}}(x)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ et
          Méthode de découplage formant $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}\right)+i\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$, $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{\left[{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)+b\;f_{1}(x)\right]+i\left[{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)+b\;f_{2}(x)\right]=\left[a\;f_{2}(x)+d\right]+i\left[-a\;f_{1}(x)+e\right]}\;$ où la somme des autres termes du 1^er membre s'écrit
          Méthode de découplage formant $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}\right)+i\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$, $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{\left[{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)+b\;f_{1}(x)\right]+i\left[{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)+b\;f_{2}(x)\right]=\left[a\;f_{2}(x)+d\right]+i\left[-a\;f_{1}(x)+e\right]}\;$ où selon $\;b\left[f_{1}(x)+i\;f_{2}(x)\right]=b\;{\underline {F}}(x)\;$ soit, au final,
          Méthode de découplage formant $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}\right)+i\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$, $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;{\dfrac {d{\underline {F}}}{dx}}(x)+b\;{\underline {F}}(x)=a\,\left[f_{2}(x)-i\;f_{1}(x)\right]+\left[d+i\;e\right]\;$ où les fonctions réelles $\;\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace \;$ du 2^nd membre ne devraient s'exprimer qu'au profit
          Méthode de découplage formant $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}\right)+i\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$, $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{{\dfrac {d{\underline {F}}}{dx}}(x)+b\;{\underline {F}}(x)=a\,\left[f_{2}(x)-i\;f_{1}(x)\right]+\left[d+i\;e\right]}\;$ où de la fonction complexe $\;{\underline {F}}(x)=f_{1}(x)+i\;f_{2}(x)\;$ pour que la méthode aboutisse, soit
          Méthode de découplage formant $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}\right)+i\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$, $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{{\dfrac {d{\underline {F}}}{dx}}(x)+b\;{\underline {F}}(x)=a}\,$ $\;\left[f_{2}(x)-i\;f_{1}(x)\right]=\left[-i^{2}\;f_{2}(x)-i\;f_{1}(x)\right]=-i\left[f_{1}(x)+i\;f_{2}(x)\right]=-i\;{\underline {F}}(x)\;$ C.Q.F.É. d'où
          Méthode de découplage formant $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}\right)+i\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$, $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;{\dfrac {d{\underline {F}}}{dx}}(x)+b\;{\underline {F}}(x)=-i\;a\;{\underline {F}}(x)+\left[d+i\;e\right]\;$ $\Leftrightarrow$ «$\;{\dfrac {d{\underline {F}}}{dx}}(x)+\left[b+i\;a\right]{\underline {F}}(x)={\underline {E}}\;$» avec $\;{\underline {E}}=\left[d+i\;e\right]\in \mathbb {C} \;$ constante telle que
               Méthode de découplage formant $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}\right)+i\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$, $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{{\dfrac {d{\underline {F}}}{dx}}(x)+b\;{\underline {F}}(x)=-i\;a\;{\underline {F}}(x)+\left[d+i\;e\right]}\;$ $\color {transparent}{\Leftrightarrow }$ «$\;\color {transparent}{{\dfrac {d{\underline {F}}}{dx}}(x)+\left[b+i\;a\right]{\underline {F}}(x)={\underline {E}}}\;$» avec $\;\color {transparent}{{\underline {E}}=}$ $\left\lbrace {\begin{array}{l}d=\Re e\left[{\underline {E}}\right]\\e=\Im m\left[{\underline {E}}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ soit finalement
           Méthode de découplage formant $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}\right)+i\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$, $\color {transparent}{\Rightarrow }$ le découplage par C.L. complexe du système d'équations différentielles couplées $\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)+b\;f_{1}(x)\!\!&=&\!\!a\;f_{2}(x)+d\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)+b\;f_{2}(x)\!\!&=&\!\!-a\;f_{1}(x)+e\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$
                 Méthode de découplage formant $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}\right)+i\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$, $\color {transparent}{\Rightarrow }$ le découplage par C.L. complexe du système d'équations différentielles couplées avec $\;a\in \mathbb {R} ^{*}$, $\;\left(b\,,\,d\,,\,e\right)\in \mathbb {R} ^{3}\;$ constantes connues
           Méthode de découplage formant $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}\right)+i\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$, $\color {transparent}{\Rightarrow }$ le découplage en l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre, a priori hétérogène, en $\;{\underline {F}}(x)=f_{1}(x)+i\;f_{2}(x)\;$
           Méthode de découplage formant $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}\right)+i\left({\mathfrak {2}}\right)}\;$, $\color {transparent}{\Rightarrow }$ le découplage en «$\;{\dfrac {d{\underline {F}}}{dx}}(x)+\left[b+i\;a\right]\,{\underline {F}}(x)={\underline {E}}\;$» avec $\;{\underline {E}}=\left[d+i\;e\right]\in \mathbb {C} \;$ constante, a priori non nulle.

Suite de la résolution après découplage par combinaison linéaire complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées

     Il s'agit de résoudre, dans $\;\mathbb {C}$, «$\;{\dfrac {d{\underline {F}}}{dx}}(x)+\left[b+i\;a\right]\,{\underline {F}}(x)={\underline {E}}\;$» avec $\;{\underline {E}}=\left[d+i\;e\right]\in \mathbb {C} \;$ constante, a priori non nulle et $\;{\underline {F}}(x)=f_{1}(x)+i\;f_{2}(x)\;$ fonction complexe de variable $\;x\;$ réelle c.-à-d.
     Il s'agit de résoudre, dans $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }$, « une équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre hétérogène en $\;{\underline {F}}(x)\;$, l'excitation $\;{\underline {E}}=\left[d+i\;e\right]\;$ étant une constante complexe :
     Il s'agit de résoudre, dans $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }$, « $\bullet \;$détermination de la solution forcée : l'excitation étant constante, nous recherchons la solution forcée sous forme d'une constante $\;{\big (}$complexe${\big )}\;$ $\;{\underline {F_{\text{forcée}}}}={\underline {cste}}\;$ soit
     Il s'agit de résoudre, dans $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }$, « $\color {transparent}{\bullet }\;$détermination de la solution forcée : ${\cancel {{\dfrac {d{\underline {F_{\text{forcée}}}}}{dx}}(x)\;+}}\;\left[b+i\;a\right]\,{\underline {F_{\text{forcée}}}}={\underline {E}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\underline {F_{\text{forcée}}}}={\dfrac {\underline {E}}{b+i\;a}}={\dfrac {d+i\;e}{b+i\;a}}$ ;
     Il s'agit de résoudre, dans $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }$, « $\bullet \;$détermination de la solution libre : l'équation caractéristique $\;{\underline {s}}+\left[b+i\;a\right]=0\;$ admettant pour solution $\;{\underline {s}}=-\left[b+i\;a\right]$, nous en déduisons la solution libre
     Il s'agit de résoudre, dans $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }$, « $\color {transparent}{\bullet }\;$détermination de la solution libre : ${\underline {F_{\text{libre}}}}(x)={\underline {A}}\;\exp \!\left[-\left(b+i\;a\right)x\right]\;$ avec $\;{\underline {A}}\;$ constante complexe arbitraire d'intégration ;
     Il s'agit de résoudre, dans $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }$, « $\bullet \;$expression de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre hétérogène : $\;{\underline {F}}(x)={\underline {F_{\text{libre}}}}(x)+{\underline {F_{\text{forcée}}}}\;$ soit
     Il s'agit de résoudre, dans $\;\color {transparent}{\mathbb {C} }$, « $\color {transparent}{\bullet }\;$expression de la solution générale «$\;{\underline {F}}(x)=f_{1}(x)+i\;f_{2}(x)={\underline {A}}\;\exp \!\left[-\left(b+i\;a\right)x\right]+{\dfrac {d+i\;e}{b+i\;a}}\;$» avec $\;{\underline {A}}\;$ constante complexe arbitraire d'intégration.

Explicitation des solutions du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre en f₁(x) et f₂(x)

     Sachant que les solutions $\;\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace \;$ du système d'équations différentielles couplées $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)+b\;f_{1}(x)=a\;f_{2}(x)+d\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)+b\;f_{2}(x)=-a\;f_{1}(x)+e\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ sont telles que $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}f_{1}(x)=\Re e\left[{\underline {F}}(x)\right]\\f_{2}(x)=\Im m\left[{\underline {F}}(x)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ avec
     Sachant que les solutions $\;\color {transparent}{\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace }\;$ du système d'équations différentielles couplées $\;{\underline {F}}(x)={\underline {A}}\;\exp \!\left[-\left(b+i\;a\right)x\right]+{\dfrac {d+i\;e}{b+i\;a}}\;$ $=A\;\exp \!\left(-b\;x\right)\;\exp \!\left[-i\left(a\;x+\varphi \right)\right]+{\dfrac {d+i\;e}{b+i\;a}}\;$ où
                Sachant que les solutions $\;\color {transparent}{\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace }\;$ du système d'équations différentielles couplées $\;\color {transparent}{{\underline {F}}(x)={\underline {A}}\;\exp \!\left[-\left(b+i\;a\right)x\right]+{\dfrac {d+i\;e}{b+i\;a}}}\;$ $\color {transparent}{=}$$\;\left(A\,,\,\varphi \right)\;$ sont des constantes réelles arbitraires $\Rightarrow$
     Sachant que les solutions $\bullet \;$$\;f_{1}(x)=\Re e\left[{\underline {F}}(x)\right]=A\;\exp \!\left(-b\;x\right)\;\cos \!\left(a\;x+\varphi \right)+\Re e\left[{\dfrac {d+i\;e}{b+i\;a}}\right]\;$ $=A\;\exp \!\left(-b\;x\right)\;\cos \!\left(a\;x+\varphi \right)+{\dfrac {b\;d+a\;e}{b^{2}+a^{2}}}\;$ avec
     Sachant que les solutions $\color {transparent}{\bullet }\;$$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=\Re e\left[{\underline {F}}(x)\right]=}$ $\left(A\,,\,\varphi \right)\;$ constantes réelles arbitraires d'intégration et
     Sachant que les solutions $\bullet \;$$\;f_{2}(x)=\Im m\left[{\underline {F}}(x)\right]=-A\;\exp \!\left(-b\;x\right)\;\sin \!\left(a\;x+\varphi \right)+\Im m\left[{\dfrac {d+i\;e}{b+i\;a}}\right]\;$ $=-A\;\exp \!\left(-b\;x\right)\;\sin \!\left(a\;x+\varphi \right)+{\dfrac {b\;e-a\;d}{b^{2}+a^{2}}}\;$ ou encore
          Sachant que les solutions $\color {transparent}{\bullet }\;$$\;\color {transparent}{f_{2}(x)=\Im m\left[{\underline {F}}(x)\right]=-A\;\exp \!\left(-b\;x\right)\;\sin \!\left(a\;x+\varphi \right)+\Im m\left[{\dfrac {d+i\;e}{b+i\;a}}\right]}\;$ $=A\;\exp \!\left(-b\;x\right)\;\sin \!\left(a\;x+\varphi \right)+{\dfrac {a\;d-b\;e}{b^{2}+a^{2}}}\;$ avec
     Sachant que les solutions $\color {transparent}{\bullet }\;$$\;\color {transparent}{f_{2}(x)=\Im m\left[{\underline {F}}(x)\right]=}$ $\left(A\,,\,\varphi \right)\;$ mêmes constantes réelles arbitraires d'intégration.

Bien que mal adapté, exposé du découplage par substitution du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées

     Préliminaire : on rappelle que le meilleur découplage du système d'équations différentielles couplées $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)+b\;f_{1}(x)=a\;f_{2}(x)+d\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)+b\;f_{2}(x)=-a\;f_{1}(x)+e\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ s'obtient par C.L. complexe mais
     Préliminaire : on rappelle qu'il est toujours possible de réaliser un découplage par substitution , c'est néanmoins PLUS LONG.

     Méthode de découplage par substitution du système d'équations couplées$\;\left\lbrace {\begin{array}{l c l}{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)+b\;f_{1}(x)\!\!&=&\!\!a\;f_{2}(x)+d\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)+b\;f_{2}(x)\!\!&=&\!\!-a\;f_{1}(x)+e\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;a\in \mathbb {R} ^{*}$, $\;\left(b\,,\,d\,,\,e\right)\in \mathbb {R} ^{3}\;$ constantes connues :
                  Méthode de découplage par substitution de l'équation différentielle couplée $\;\left({\mathfrak {1}}\right)$, on tire $\;f_{2}(x)={\dfrac {1}{a}}\;{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)+{\dfrac {b}{a}}\;f_{1}(x)-{\dfrac {d}{a}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)={\dfrac {1}{a}}\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+{\dfrac {b}{a}}\;{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)\;$ dont on reporte
                    Méthode de découplage par substitution de l'équation différentielle couplée $\;\color {transparent}{\left({\mathfrak {1}}\right)}$, on tire les deux expressions dans l'équation différentielle couplée $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ soit
                  Méthode de découplage par substitution $\;\left[{\dfrac {1}{a}}\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+{\dfrac {b}{a}}\;{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)\right]+b\,\left[{\dfrac {1}{a}}\;{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)+{\dfrac {b}{a}}\;f_{1}(x)-{\dfrac {d}{a}}\right]=-a\;f_{1}(x)+e\;$ ou, en ordonnant et normalisant,
                  Méthode de découplage par substitution «$\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+2\;b\;{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)+\left[b^{2}+a^{2}\right]\,f_{1}(x)=\left[b\;d+a\;e\right]\;\;\left({\mathfrak {1}}'\right)\;$» équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre
                  Méthode de découplage par substitution «$\;\color {transparent}{{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+2\;b\;{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)+\left[b^{2}+a^{2}\right]\,f_{1}(x)=\left[b\;d+a\;e\right]\;\;\left({\mathfrak {1}}'\right)}\;$» découplée et indépendante en $\;f_{1}(x)$, hétérogène .

     Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante en$\;f_{1}(x)\;$ «$\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+2\;b\;{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)+\left[b^{2}+a^{2}\right]\,f_{1}(x)=\left[b\;d+a\;e\right]\;\;\left({\mathfrak {1}}'\right)\;$»  : sachant que $\;f_{1}(x)=f_{1,\,{\text{libre}}}(x)+f_{1,\,{\text{forcée}}}$,
     Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante $\bullet \;$détermination de la solution forcée$\;f_{1,\,{\text{forcée}}}$ : cherchée sous la même forme que l'excitation c.-à-d. forme constante d'où
     Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante $\color {transparent}{\bullet }\;$détermination de la solution forcée$\;\color {transparent}{f_{1,\,{\text{forcée}}}}$ : ${\cancel {{\dfrac {d^{2}f_{1,\,{\text{forcée}}}}{dx^{2}}}(x)+2\;b\;{\dfrac {df_{1,\,{\text{forcée}}}}{dx}}(x)\;+}}\left[b^{2}+a^{2}\right]\,f_{1,\,{\text{forcée}}}=\left[b\;d+a\;e\right]\;$ $\Rightarrow$
     Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante $\color {transparent}{\bullet }\;$détermination de la solution forcée$\;\color {transparent}{f_{1,\,{\text{forcée}}}}$ : «$\;f_{1,\,{\text{forcée}}}={\dfrac {b\;d+a\;e}{b^{2}+a^{2}}}\;$»,
     Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante $\bullet \;$détermination de la solution libre$\;f_{1,\,{\text{libre}}}(x)\;$ : solution de $\;{\dfrac {d^{2}f_{1,\,{\text{libre}}}}{dx^{2}}}(x)+2\;b\;{\dfrac {df_{1,\,{\text{libre}}}}{dx}}(x)+\left[b^{2}+a^{2}\right]\,f_{1,\,{\text{libre}}}(x)=0\;$ dont
            Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante $\color {transparent}{\bullet }\;$détermination de la solution libre$\;\color {transparent}{f_{1,\,{\text{libre}}}(x)}\;$ : solution de l'équation caractéristique est $\;s^{2}+2\;b\;s+\left[b^{2}+a^{2}\right]=0\;$ de
            Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante $\color {transparent}{\bullet }\;$détermination de la solution libre$\;\color {transparent}{f_{1,\,{\text{libre}}}(x)}\;$ : solution de discriminant réduit $\;\Delta '=b^{2}-\left[b^{2}+a^{2}\right]=-a^{2}<0\;$ d'où
            Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante $\color {transparent}{\bullet }\;$détermination de la solution libre$\;\color {transparent}{f_{1,\,{\text{libre}}}(x)}\;$ : solution de absence de solution lors d'une résolution dans $\;\mathbb {R}$, toutefois dans $\;\mathbb {C}$,
            Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante $\color {transparent}{\bullet }\;$détermination de la solution libre$\;\color {transparent}{f_{1,\,{\text{libre}}}(x)}\;$ : solution de existence de deux solutions complexes conjuguées «$\;{\underline {s}}=-b\pm i\;a\;$»
            Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante $\color {transparent}{\bullet }\;$détermination de la solution libre$\;\color {transparent}{f_{1,\,{\text{libre}}}(x)}\;$ : d'où «$\;f_{1,\,{\text{libre}}}(x)=A\;\exp(-b\;x)\;\cos(a\;x+\varphi )\;$» , avec
            Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante $\color {transparent}{\bullet }\;$détermination de la solution libre$\;\color {transparent}{f_{1,\,{\text{libre}}}(x)}\;$ : d'où «$\;\color {transparent}{f_{1,\,{\text{libre}}}(x)=}$$\;\left(A\,,\,\varphi \right)\;$ constantes réelles arbitraires d'intégration,
     Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante $\bullet \;$détermination de la solution générale$\;f_{1}(x)\;$ : «$\;f_{1}(x)=f_{1,\,{\text{libre}}}(x)+f_{1,\,{\text{forcée}}}=A\;\exp(-b\;x)\;\cos(a\;x+\varphi )+{\dfrac {b\;d+a\;e}{b^{2}+a^{2}}}\;$»,
           Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante $\color {transparent}{\bullet }\;$détermination de la solution générale$\;\color {transparent}{f_{1}(x)}\;$ : «$\;\color {transparent}{f_{1}(x)=f_{1,\,{\text{libre}}}(x)+f_{1,\,{\text{forcée}}}=}$$\;\left(A\,,\,\varphi \right)\;$ étant des constantes réelles arbitraires ;
           Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante $\color {transparent}{\bullet }\;$détermination de la solution générale$\;\color {transparent}{f_{1}(x)}\;$ : en accord avec le résultat obtenu au paragraphe « précédent ».