Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Système d'équations différentielles couplées et leur découplage

Début de la boite de navigation du chapitre

fin de la boite de navigation du chapitre

Une étude des systèmes d'équations différentielles couplées ne peut évidemment pas être exhaustive.

Notion de système d'équations différentielles couplées

Système d'équations différentielles couplées

     Les équations différentielles d'un système de $\;n\;$ équations différentielles à $\;n\;$ fonctions indépendantes d'une même variable $\;{\big [}$avec $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash {\left\lbrace 1\right\rbrace }{\big ]}\;$ sont dites « couplées » lorsqu'aucune des $\;n\;$ équations différentielles ne peut être résolue sans connaître les solutions des $\;n-1\;$ autres équations différentielles.

     La méthode de résolution du système des $\;n\;$ équations différentielles « couplées » aux $\;n\;$ fonctions indépendantes de la même variable $\;{\big [}$avec $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\backslash {\left\lbrace 1\right\rbrace }{\big ]}\;$ consiste à réaliser un « découplage » c.-à-d. trouver un système équivalent de $\;n\;$ autres équations différentielles à $\;n\;$ autres fonctions indépendantes de la même variable telles que chaque équation différentielle ne dépende que d'une nouvelle fonction de la variable  ;

     il est alors possible de résoudre chaque équation différentielle indépendamment des autres $\;{\big [}$c.-à-d. de trouver les $\;n\;$ nouvelles fonctions de la même variable${\big ]}\;$ puis

     il est alors possible d'en déduire les solutions du système d'équations différentielles « couplées » $\;{\big [}$c.-à-d. de trouver les $\;n\;$ fonctions d'origine de la même variable${\big ]}$.

Exemple de couplage de système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variable et découplage correspondant

Présentation d'un système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variable

     Soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+c_{1}\;f_{1}(x)=e_{1}\;f_{2}(x)\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {d^{2}f_{2}}{dx^{2}}}(x)+c_{2}\;f_{2}(x)=e_{2}\;f_{1}(x)\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ avec les quatre constantes $\;\left(c_{1}\,,\,c_{2}\,,\,e_{1}\,,\,e_{2}\right)\in \left[\mathbb {R} ^{*}\right]^{4}\;$ connues et les deux fonctions réelles $\;\left\lbrace f_{1}\,,\,f_{2}\right\rbrace \;$ de la variable réelle $\;x\;$ à déterminer ; on vérifie aisément que les équations différentielles $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace \;$ sont couplées car

• la 1^ère $\;\left({\mathfrak {1}}\right)$, équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en $\;f_{1}(x)\;$ sans terme du 1^er ordre, présente un 2^nd membre jouant le rôle d'« excitation » mais qui, dépendant de $\;f_{2}(x)$, n'est pas connue en absence de résolution de la 2^ème équation différentielle $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ $\Rightarrow$ l'impossibilité de résoudre la 1^ère équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ avant la 2^ème $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ et
• la 2^ème $\;\left({\mathfrak {2}}\right)$, équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en $\;f_{2}(x)\;$ sans terme du 1^er ordre, présente un 2^nd membre jouant le rôle d'« excitation » mais qui, dépendant de $\;f_{1}(x)$, n'est pas connue en absence de résolution de la 1^ère équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ $\Rightarrow$ l'impossibilité de résoudre la 2^ème équation différentielle $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ avant la 1^ère $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ d'où

     le couplage des deux équations différentielles.

Exposé d'une méthode de découplage du système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variable

Généralités

     Du fait que les deux équations différentielles couplées $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace \;$ sont linéaires , il semble possible de les découpler en formant une C.L. de ces deux équations différentielles de la forme $\;\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)\;$ dans le but de définir une nouvelle fonction $\;F_{\alpha \,,\,\beta }(x)=\alpha \;f_{1}(x)+\beta \;f_{2}(x)\;$ telle que la nouvelle équation différentielle $\;\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)\;$ ne dépende que de $\;F_{\alpha \,,\,\beta }(x)$, ceci nécessitant un choix de $\;\left(\alpha ,\,\beta \right)\;$ pour être effectif $\;\ldots$

     Ce découplage sera effectif si on trouve deux C.L. distinctes des équations différentielles $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace \;$ permettant d'avoir un système d'équations différentielles découplées indépendantes en $\;\left\lbrace F_{\alpha _{1}\,,\,\beta _{1}}(x)\,,\,F_{\alpha _{2}\,,\,\beta _{2}}(x)\right\rbrace \;$ équivalent au système d'équations différentielles couplées $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace \;\ldots$

Mise en pratique du découplage par combinaison linéaire

     Formant $\;\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)$, nous obtenons $\;\alpha \left[{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+c_{1}\;f_{1}(x)\right]+\beta \left[{\dfrac {d^{2}f_{2}}{dx^{2}}}(x)+c_{2}\;f_{2}(x)\right]=\alpha \left[e_{1}\;f_{2}(x)\right]+\beta \left[e_{2}\;f_{1}(x)\right]\;$ dans laquelle la dérivée du 1^er membre ne dépend que de la nouvelle fonction $\;F_{\alpha \,,\,\beta }(x)=\alpha \;f_{1}(x)+\beta \;f_{2}(x)\;$ soit $\;{\dfrac {d^{2}F_{\alpha \,,\,\beta }}{dx^{2}}}(x)+\alpha \;c_{1}\;f_{1}(x)+\beta \;c_{2}\;f_{2}(x)=\beta \;e_{2}\;f_{1}(x)+\alpha \;e_{1}\;f_{2}(x)\;$ que l'on peut réécrire selon $\;{\dfrac {d^{2}F_{\alpha \,,\,\beta }}{dx^{2}}}(x)=$ $\left[\beta \;e_{2}-\alpha \;c_{1}\right]\,f_{1}(x)+\left[\alpha \;e_{1}-\beta \;c_{2}\right]\,f_{2}(x)$ ;

     pour que cette nouvelle équation différentielle soit une équation différentielle en $\;F_{\alpha \,,\,\beta }(x)=\alpha \;f_{1}(x)+\beta \;f_{2}(x)$, il suffit que son 2^nd membre soit proportionnel à $\;F_{\alpha \,,\,\beta }(x)=\alpha \;f_{1}(x)+\beta \;f_{2}(x)$ pour tout couple de fonctions $\;\left\lbrace f_{1}(x),\,f_{2}(x)\right\rbrace \;$ c.-à-d. $\;{\dfrac {\beta \;e_{2}-\alpha \;c_{1}}{\alpha }}={\dfrac {\alpha \;e_{1}-\beta \;c_{2}}{\beta }}\;$ ou $\;{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;e_{2}-c_{1}={\dfrac {\alpha }{\beta }}\;e_{1}-c_{2}\;$ soit finalement

que $\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;$ soit solution de l'équation algébrique du 2^ème degré «$\;e_{1}\,\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)^{\!\!2}+\left(c_{1}-c_{2}\right)\,{\dfrac {\alpha }{\beta }}-e_{2}=0\;$» ;

     l'équation algébrique du 2^ème degré ci-dessus admet deux solutions réelles distinctes si son discriminant $\;\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}\;$ est $\;>0\;$, ce que semble nécessaire pour la réussite d'un découplage dans $\;\mathbb {R}$ :

     $\;\succ \;$avec $\;\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0\;$, nous avons deux solutions réelles distinctes $\;\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!1}\;$ et $\;\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!2}$, pour chacune, le 2^nd membre de l'équation différentielle $\;\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)\;$ s'écrit $\;\left[\beta \;e_{2}-\alpha \;c_{1}\right]\,f_{1}(x)+\left[\alpha \;e_{1}-\beta \;c_{2}\right]\,f_{2}(x)=\left[{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;e_{2}-c_{1}\right]\alpha \;f_{1}(x)+\left[{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;e_{1}-c_{2}\right]\beta \;f_{2}(x)=\left[{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;e_{1}-c_{2}\right]\left[\alpha \;f_{1}(x)+\beta \;f_{2}(x)\right]\;$ $\;=\left[{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;e_{1}-c_{2}\right]F_{\alpha \,,\,\beta }(x)\;$ d'où :

• en posant $\;k_{1}=-\left[\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!1}\;e_{1}-c_{2}\right]\;$ et $\;F_{1}(x)=F_{\alpha _{1}\,,\,\beta _{1}}(x)=\alpha _{1}\;f_{1}(x)+\beta _{1}\;f_{2}(x)\;$ comme nouvelle fonction, cette dernière est solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre, homogène, sans terme du 1^er ordre et indépendante $\;{\dfrac {d^{2}F_{1}}{dx^{2}}}(x)+k_{1}\;F_{1}(x)=0$, de même
• en posant $\;k_{2}=-\left[\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!2}\;e_{1}-c_{2}\right]\;$ et $\;F_{2}(x)=F_{\alpha _{2}\,,\,\beta _{2}}(x)=\alpha _{2}\;f_{1}(x)+\beta _{2}\;f_{2}(x)\;$ comme nouvelle fonction, cette dernière est solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre, homogène, sans terme du 1^er ordre et indépendante $\;{\dfrac {d^{2}F_{2}}{dx^{2}}}(x)+k_{2}\;F_{2}(x)=0$,

     $\;\color {transparent}{\succ }\;$soit la réalisation du découplage du système d'équations différentielles couplées $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace \;$ dans $\;\mathbb {R} \;$ si «$\;\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0\;$ » ;

     $\;\succ \;$avec $\;\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0$, nous avons une solution réelle double $\;\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!d}={\dfrac {c_{2}-c_{1}}{2\;e_{1}}}={\dfrac {2\;e_{2}}{c_{1}-c_{2}}}$, le 2^nd membre de l'équation différentielle $\;\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)\;$ s'écrit $\;\left[\beta \;e_{2}-\alpha \;c_{1}\right]\,f_{1}(x)+\left[\alpha \;e_{1}-\beta \;c_{2}\right]\,f_{2}(x)=\left[{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;e_{2}-c_{1}\right]\alpha \;f_{1}(x)+\left[{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;e_{1}-c_{2}\right]\beta \;f_{2}(x)=\left[{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;e_{1}-c_{2}\right]\left[\alpha \;f_{1}(x)+\beta \;f_{2}(x)\right]\;$ $\;=\left[{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;e_{1}-c_{2}\right]F_{\alpha \,,\,\beta }(x)=\left[{\dfrac {c_{2}-c_{1}}{2\;e_{1}}}\;e_{1}-c_{2}\right]F_{\alpha \,,\,\beta }(x)$ $=-{\dfrac {c_{1}+c_{2}}{2}}\;F_{\alpha \,,\,\beta }(x)$ d'où,

     $\;\color {transparent}{\succ }\;$en posant $\;k_{d}={\dfrac {c_{1}+c_{2}}{2}}\;$ et $\;F_{d}(x)=F_{\alpha _{d}\,,\,\beta _{d}}(x)=\alpha _{d}\;f_{1}(x)+\beta _{d}\;f_{2}(x)\;$ comme nouvelle fonction, cette dernière est solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre, homogène, sans terme du 1^er ordre et indépendante $\;{\dfrac {d^{2}F_{d}}{dx^{2}}}(x)+k_{d}\;F_{d}(x)=0\;$ mais $\;\ldots$

     $\;\color {transparent}{\succ }\;$cette nouvelle équation différentielle étant unique, il n'y a pas de système d'équations différentielles découplées par C.L. équivalent au système initial d'équations différentielles couplées $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace \;$ ;

     $\;\succ \;$avec $\;\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}<0$, nous n'avons pas de solutions réelles et par suite un découplage par C.L. dans $\;\mathbb {R} \;$ du système d'équations différentielles couplées $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace \;$ est impossible $\;{\big [}$il faut donc chercher une autre méthode de découplage dans le but de résoudre le système${\big ]}$.

Suite de la résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a été effectif

     Il s'agit du cas $\;\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}>0\;$, le système d'équations différentielles couplées $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace \;$ étant équivalent au système d'équations différentielles découplées $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {d^{2}F_{1}}{dx^{2}}}(x)+k_{1}\;F_{1}(x)=0\\{\dfrac {d^{2}F_{2}}{dx^{2}}}(x)+k_{2}\;F_{2}(x)=0\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}k_{1}=-\left[\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!1}\;e_{1}-c_{2}\right]\\k_{2}=-\left[\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!2}\;e_{1}-c_{2}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ et $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}F_{1}(x)=F_{\alpha _{1}\,,\,\beta _{1}}(x)=\alpha _{1}\;f_{1}(x)+\beta _{1}\;f_{2}(x)\\F_{2}(x)=F_{\alpha _{2}\,,\,\beta _{2}}(x)=\alpha _{2}\;f_{1}(x)+\beta _{2}\;f_{2}(x)\end{array}}\right\rbrace \;$ dans lesquelles $\;\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!1}\;$ et $\;\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!2}\;$ sont les deux solutions réelles distinctes de l'équation algébrique du 2^ème degré «$\;e_{1}\,\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)^{\!\!2}+\left(c_{1}-c_{2}\right)\,{\dfrac {\alpha }{\beta }}-e_{2}=0\;$» ;

     la résolution de chaque équation différentielle découplée et indépendante suivant la méthode exposée au paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre homogène sans terme du 1^er ordre » du chap.$2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » nous permet d'obtenir respectivement $\;F_{1}(x)\;$ et $\;F_{2}(x)\;$ en fonction de $\;x\;$ et, pour chaque fonction, deux constantes réelles arbitraires $\;\left(A_{1}\,,\,B_{1}\right)\;$ et $\;\left(A_{2}\,,\,B_{2}\right)$ ;

     il reste alors à revenir aux fonctions initiales $\;f_{1}(x)\;$ et $\;f_{2}(x)\;$ en résolvant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\alpha _{1}\;f_{1}(x)+\beta _{1}\;f_{2}(x)=F_{1}(x)\;\;\left({\mathfrak {a}}_{1}\right)\\\alpha _{2}\;f_{1}(x)+\beta _{2}\;f_{2}(x)=F_{2}(x)\;\;\left({\mathfrak {a}}_{2}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$

• en formant $\;\beta _{2}\,\left({\mathfrak {a}}_{1}\right)-\beta _{1}\,\left({\mathfrak {a}}_{2}\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;f_{1}(x)={\dfrac {\beta _{2}\;F_{1}(x)-\beta _{1}\;F_{2}(x)}{\alpha _{1}\;\beta _{2}-\alpha _{2}\;\beta _{1}}}={\dfrac {{\dfrac {F_{1}(x)}{\beta _{1}}}-{\dfrac {F_{2}(x)}{\beta _{2}}}}{\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!1}-\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!2}}}\;$ et
• en formant $\;\alpha _{2}\,\left({\mathfrak {a}}_{1}\right)-\alpha _{1}\,\left({\mathfrak {a}}_{2}\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;f_{2}(x)=-{\dfrac {\alpha _{2}\;F_{1}(x)-\alpha _{1}\;F_{2}(x)}{\alpha _{1}\;\beta _{2}-\alpha _{2}\;\beta _{1}}}=-{\dfrac {\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!2}\,{\dfrac {F_{1}(x)}{\beta _{1}}}-\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!1}\,{\dfrac {F_{2}(x)}{\beta _{2}}}}{\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!1}-\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!2}}}\;$ .

     Exemple : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+f_{1}(x)=3\;f_{2}(x)\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {d^{2}f_{2}}{dx^{2}}}(x)+3\;f_{2}(x)=f_{1}(x)\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ c.-à-d. $\;c_{1}=1$, $\;c_{2}=3$, $\;e_{1}=3\;$ et $\;e_{2}=1\;$ $\Rightarrow$ $\;\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=16>0$, $\;\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!1}\;$ et $\;\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!2}\;$ les deux solutions réelles distinctes de l'équation algébrique du 2^ème degré «$\;3\,\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)^{\!\!2}-2\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}-1=0\;$» s'écrivent $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!1}={\dfrac {2}{2\times 3}}+{\dfrac {\sqrt {16}}{2\times 3}}=1\\\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!2}={\dfrac {2}{2\times 3}}-{\dfrac {\sqrt {16}}{2\times 3}}=-{\dfrac {1}{3}}\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}k_{1}=-\left[\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!1}\;e_{1}-c_{2}\right]=-\left[1\times 3-3\right]=0\\k_{2}=-\left[\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!2}\;e_{1}-c_{2}\right]=-\left[-{\dfrac {1}{3}}\times 3-3\right]=4\end{array}}\right\rbrace \;$ conduisant, avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\left(\alpha _{1}\,,\,\beta _{1}\right)=\left(1\,,\,1\right)\\\left(\alpha _{2}\,,\,\beta _{2}\right)=\left(-1\,,\,3\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}F_{1}(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)\\F_{2}(x)=-f_{1}(x)+3\;f_{2}(x)\end{array}}\right\rbrace \;$, au découplage suivant $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {d^{2}F_{1}}{dx^{2}}}(x)\!\!&=0\\{\dfrac {d^{2}F_{2}}{dx^{2}}}(x)+4\;F_{2}(x)\!\!&=0\end{array}}\right\rbrace \;$ d'où $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}F_{1}(x)=A_{1}\;x+B_{1}\\F_{2}(x)=A_{2}\;\cos(2\;x)+B_{2}\;\sin(2\;x)\end{array}}\right\rbrace$, $\;\left(A_{1}\,,\,B_{1}\,,\,A_{2}\,,\,B_{2}\right)\;$ étant des constantes réelles d'intégration arbitraires ;

     Exemple : on en déduit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}f_{1}(x)={\dfrac {3\;F_{1}(x)-F_{2}(x)}{4}}\!\!&={\dfrac {3\;A_{1}\;x+3\;B_{1}-A_{2}\;\cos(2\;x)-B_{2}\;\sin(2\;x)}{4}}\\f_{2}(x)={\dfrac {F_{1}(x)+F_{2}(x)}{4}}\!\!&={\dfrac {A_{1}\;x+B_{1}+A_{2}\;\cos(2\;x)+B_{2}\;\sin(2\;x)}{4}}\end{array}}\right\rbrace$.

Suite de la résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a partiellement échoué

     Il s'agit du cas $\;\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0$, du système d'équations différentielles couplées $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace \;$ on ne tire, par C.L. réelle qu'une seule équation différentielle indépendante $\;{\dfrac {d^{2}F_{d}}{dx^{2}}}(x)+k_{d}\;F_{d}(x)=0\;$ avec $\;k_{d}={\dfrac {c_{1}+c_{2}}{2}}\;$ et $\;F_{d}(x)=F_{\alpha _{d}\,,\,\beta _{d}}(x)=\alpha _{d}\;f_{1}(x)+\beta _{d}\;f_{2}(x)\;$ dans laquelle $\;\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!d}={\dfrac {c_{2}-c_{1}}{2\;e_{1}}}$ $={\dfrac {2\;e_{2}}{c_{1}-c_{2}}}$ ;

     la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante suivant la méthode exposée au paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2^ème ordre homogène sans terme du 1^er ordre » du chap.$2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » nous permet d'obtenir $\;F_{d}(x)\;$ en fonction de $\;x\;$ et de deux constantes réelles arbitraires $\;\left(A_{d}\,,\,B_{d}\right)$ ;

     de cette relation $\;\alpha _{d}\;f_{1}(x)+\beta _{d}\;f_{2}(x)=F_{d}(x)\;$ on peut tirer $\;f_{2}(x)\;$ en fonction de $\;F_{d}(x)\;$ et $\;f_{1}(x)\;$ par $\;f_{2}(x)={\dfrac {F_{d}(x)}{\beta _{d}}}-\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!d}\;f_{1}(x)\;$ que l'on reporte dans l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ soit $\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+c_{1}\;f_{1}(x)=e_{1}\;{\dfrac {F_{d}(x)}{\beta _{d}}}-e_{1}\,\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!d}\;f_{1}(x)\;$ ou $\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+c_{1}\;f_{1}(x)=e_{1}\;{\dfrac {F_{d}(x)}{\beta _{d}}}-{\dfrac {c_{2}-c_{1}}{2}}\;f_{1}(x)\;$ soit finalement $\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+{\dfrac {c_{2}+c_{1}}{2}}\;f_{1}(x)=e_{1}\;{\dfrac {F_{d}(x)}{\beta _{d}}}$ ;

     la résolution de cette dernière équation différentielle suivant la méthode exposée au paragraphe « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er ou du 2^ème ordre hétérogène » du chap.$2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » nous permet d'obtenir $\;f_{1}(x)\;$ en fonction de $\;x\;$, d'une solution particulière associée à l'excitation $\;e_{1}\;{\dfrac {F_{d}(x)}{\beta _{d}}}\;$ $\;{\big [}$voir le paragraphe « recherche de la solution forcée (quand celle-ci existe) » du chap.$2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ${\big ]}\;$ et de deux nouvelles constantes réelles arbitraires $\;\left({A'}_{1}\,,\,{B'}_{1}\right)\;$ puis

     nous en déduisons $\;f_{2}(x)\;$ par report de $\;f_{1}(x)\;$ dans $\;f_{2}(x)={\dfrac {F_{d}(x)}{\beta _{d}}}-\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!d}\;f_{1}(x)\;\ldots$

     Exemple : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+f_{1}(x)\!\!&=f_{2}(x)\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {d^{2}f_{2}}{dx^{2}}}(x)+3\;f_{2}(x)\!\!&=-f_{1}(x)\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ c.-à-d. $\;c_{1}=1$, $\;c_{2}=3$, $\;e_{1}=1\;$ et $\;e_{2}=-1\;$ $\Rightarrow$ $\;\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=0$, $\;\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!d}\;$ la solution réelle double de l'équation algébrique du 2^ème degré «$\;\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)^{\!\!2}-2\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}+1=0\;$» s'écrit $\;\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!d}=1\;$ $\Rightarrow$ $\;k_{d}=-\left[\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)_{\!d}\;e_{1}-c_{2}\right]=2\;$ conduisant, avec $\;\left(\alpha _{d}\,,\,\beta _{d}\right)$ $=\left(1\,,\,1\right)\;$ $\Rightarrow$ $\;F_{d}(x)=f_{1}(x)+f_{2}(x)\;$, à l'équation différentielle indépendante $\;{\dfrac {d^{2}F_{d}}{dx^{2}}}(x)+2\;F_{d}(x)=0\;$ d'où $\;F_{d}(x)=A_{d}\;\cos({\sqrt {2}}\;x)+B_{d}\;\sin({\sqrt {2}}\;x)$, avec $\;\left(A_{d}\,,\,B_{d}\right)\;$ des constantes réelles d'intégration arbitraires ;

     Exemple : de cette relation on exprime $\;f_{2}(x)\;$ en fonction de $\;f_{1}(x)\;$ selon $\;f_{2}(x)=F_{d}(x)-f_{1}(x)=A_{d}\;\cos({\sqrt {2}}\;x)+B_{d}\;\sin({\sqrt {2}}\;x)-f_{1}(x)\;$ que l'on reporte dans l'équation $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ d'où $\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+2\;f_{1}(x)=A_{d}\;\cos({\sqrt {2}}\;x)+B_{d}\;\sin({\sqrt {2}}\;x)\;\;\left({\mathfrak {1}}''\right)\;$ dans laquelle on vérifie que la pulsation de l'excitation $\;{\big [}$c.-à-d. de $\;F_{d}(x){\big ]}\;$ étant égale à la pulsation propre de l'oscillateur, il n'y a pas de solution particulière de même forme que l'excitation, ce qui nécessite de chercher une solution particulière de forme $\;f_{1,\,{\text{part}}}(x)=A\;x\;\cos({\sqrt {2}}\;x)+B\;x\;\sin({\sqrt {2}}\;x)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {df_{1,\,{\text{part}}}}{dx}}(x)=$ $A\;\cos({\sqrt {2}}\;x)-{\sqrt {2}}\;A\;x\;\sin({\sqrt {2}}\;x)+B\;\sin({\sqrt {2}}\;x)+{\sqrt {2}}\;B\;x\;\cos({\sqrt {2}}\;x)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {d^{2}f_{1,\,{\text{part}}}}{dx^{2}}}(x)=-2\;{\sqrt {2}}\;A\;\sin({\sqrt {2}}\;x)-({\sqrt {2}})^{2}\;A\;x\;\cos({\sqrt {2}}\;x)+2\;{\sqrt {2}}\;B\;\cos({\sqrt {2}}\;x)-({\sqrt {2}})^{2}\;B\;x\;\sin({\sqrt {2}}\;x)\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {d^{2}f_{1,\,{\text{part}}}}{dx^{2}}}(x)+2\;f_{1,\,{\text{part}}}(x)=$ $2\;{\sqrt {2}}\;B\;\cos({\sqrt {2}}\;x)-2\;{\sqrt {2}}\;A\;\sin({\sqrt {2}}\;x)=A_{d}\;\cos({\sqrt {2}}\;x)+B_{d}\;\sin({\sqrt {2}}\;x)\;$ $\Rightarrow$ $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}B={\dfrac {A_{d}}{2\;{\sqrt {2}}}}\\A=-{\dfrac {B_{d}}{2\;{\sqrt {2}}}}\end{array}}\right\rbrace \;$ soit finalement la solution particulière $\;f_{1,\,{\text{part}}}(x)=$ $-{\dfrac {B_{d}\;x}{2\;{\sqrt {2}}}}\;\cos({\sqrt {2}}\;x)+{\dfrac {A_{d}\;x}{2\;{\sqrt {2}}}}\;\sin({\sqrt {2}}\;x)\;$ et par suite, la solution libre étant $\;f_{1,\,l}(x)=A_{1}\;\cos({\sqrt {2}}\;x)+B_{1}\;\sin({\sqrt {2}}\;x)$, on en déduit la solution de l'équation $\;\left({\mathfrak {1}}''\right)$, $\;f_{1}(x)=$ $\left(A_{1}-{\dfrac {B_{d}\;x}{2\;{\sqrt {2}}}}\right)\,\cos({\sqrt {2}}\;x)+\left(B_{1}+{\dfrac {A_{d}\;x}{2\;{\sqrt {2}}}}\right)\,\sin({\sqrt {2}}\;x)\;$ avec $\;\left(A_{1}\,,\,B_{1}\right)\;$ nouvelles constantes réelles d'intégration arbitraires ;

     Exemple : on en déduit $\;f_{2}(x)=A_{d}\;\cos({\sqrt {2}}\;x)+B_{d}\;\sin({\sqrt {2}}\;x)-f_{1}(x)=\left(A_{d}-A_{1}+{\dfrac {B_{d}\;x}{2\;{\sqrt {2}}}}\right)\,\cos({\sqrt {2}}\;x)+\left(B_{d}-B_{1}-{\dfrac {A_{d}\;x}{2\;{\sqrt {2}}}}\right)\,\sin({\sqrt {2}}\;x)$.

Recherche d'une autre méthode de résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a totalement échoué

     Il s'agit du cas $\;\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}<0$, du système d'équations différentielles couplées $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace \;$ on ne tire, par C.L. réelle, aucune équation différentielle indépendante,

     il faut donc rechercher une autre méthode de résolution et celle qui vient à l'esprit, compte-tenu du fait que la fonction $\;f_{2}(x)\;$ n'apparaît qu'une fois dans l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}\right)$ $\;{\big [}$resp. la fonction $\;f_{1}(x)\;$ n'apparaît qu'une fois dans l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {2}}\right){\big ]}\;$ est la méthode « par substitution »  :

     de l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}\right)$, on tire $\;f_{2}(x)={\dfrac {1}{e_{1}}}\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+{\dfrac {c_{1}}{e_{1}}}\;f_{1}(x)\;$ que l'on reporte dans l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {2}}\right)$, ce qui donne l'équation différentielle en $\;f_{1}(x)\;$ suivante $\;{\dfrac {1}{e_{1}}}\;{\dfrac {d^{4}f_{1}}{dx^{4}}}(x)+{\dfrac {c_{1}}{e_{1}}}\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+{\dfrac {c_{2}}{e_{1}}}\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+{\dfrac {c_{1}\;c_{2}}{e_{1}}}\;f_{1}(x)=e_{2}\;f_{1}(x)\;$ soit, après simplification et normalisation, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène du 4^ème ordre en $\;f_{1}(x)$ «$\;{\dfrac {d^{4}f_{1}}{dx^{4}}}(x)+\left(c_{1}+c_{2}\right)\,{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+\left(c_{1}\;c_{2}-e_{1}\;e_{2}\right)\,f_{1}(x)=0\;\;\left({\mathfrak {1}}'\right)\;$» ;

     la résolution de cette équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}'\right)\;$ suivant la méthode exposée au paragraphe « méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1^er (ou 2^ème) ordre homogène » du chap.$2$ de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et « prolongée à la recherche de quatre solutions particulières indépendantes d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 4^ème ordre homogène » nous conduit à la résolution de l'équation caractéristique $\;s^{4}+\left(c_{1}+c_{2}\right)\,s^{2}+\left(c_{1}\;c_{2}-e_{1}\;e_{2}\right)=0$, équation algébrique bicarrée du 4^ème degré en $\;s$, de discriminant en tant qu'équation en $\;s^{2}$, $\;\Delta =\left(c_{1}+c_{2}\right)^{2}-4\,\left(c_{1}\;c_{2}-e_{1}\;e_{2}\right)=\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}<0$, d'où

• deux solutions complexes conjuguées de l'équation bicarrée pour $\;{\underline {s}}^{2}\;$ soit $\;{\underline {s}}^{2}=-{\dfrac {c_{1}+c_{2}}{2}}\pm i\;{\dfrac {\sqrt {-\Delta }}{2}}=-{\dfrac {c_{1}+c_{2}}{2}}\pm i\;{\dfrac {\sqrt {-\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}-4\;e_{1}\;e_{2}}}{2}}\;$ conduisant à
• quatre solutions complexes distinctes de l'équation caractéristique pour $\;{\underline {s}}$, toutes de même module $\;\rho \;$ mais d'arguments distincts $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}\theta \!\!&{\text{et}}\!\!&\theta -\pi \\-\theta \!\!&{\text{et}}\!\!&-\theta +\pi \end{array}}\right\rbrace \;$ deux à deux opposés soit $\;{\underline {s}}=$ $\rho \;\cos(\theta )\pm i\;\rho \;\sin(\theta )\;$ ou $\;{\underline {s}}=-\rho \;\cos(\theta )\pm i\;\rho \;\sin(\theta )\;$ et par suite

     la fonction $\;f_{1}(x)\;$ s'écrit «$\;f_{1}(x)=A\;\exp \!\left[\rho \;\cos(\theta )\;x\right]\;\cos \!\left[\rho \;\sin(\theta )\;x+\varphi \right]+B\;\exp \!\left[-\rho \;\cos(\theta )\;x\right]\;\cos \!\left[\rho \;\sin(\theta )\;x+\psi \right]\;$» avec $\;A$, $\;B$, $\;\varphi \;$ et $\;\psi \;$ des constantes arbitraires d'intégration ;

     la détermination de la fonction $\;f_{2}(x)\;$ se fait alors en reportant l'expression de $\;f_{1}(x)\;$ dans $\;f_{2}(x)={\dfrac {1}{e_{1}}}\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+{\dfrac {c_{1}}{e_{1}}}\;f_{1}(x)$ $\;\ldots$

     Exemple : $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+f_{1}(x)\!\!&=2\;f_{2}(x)\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {d^{2}f_{2}}{dx^{2}}}(x)+3\;f_{2}(x)\!\!&=-f_{1}(x)\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ c.-à-d. $\;c_{1}=1$, $\;c_{2}=3$, $\;e_{1}=2\;$ et $\;e_{2}=-1\;$ $\Rightarrow$ $\;\Delta =\left(c_{1}-c_{2}\right)^{2}+4\;e_{1}\;e_{2}=-4<0$, on ne peut donc tirer, par C.L. réelle, aucune équation différentielle indépendante et on adopte la méthode « par substitution » ;

     Exemple : de l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}\right)$, on tire $\;f_{2}(x)={\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+{\dfrac {1}{2}}\;f_{1}(x)\;$ que l'on reporte dans l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {2}}\right)$, ce qui donne l'équation différentielle en $\;f_{1}(x)\;$ suivante «$\;{\dfrac {d^{4}f_{1}}{dx^{4}}}(x)+4\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+5\;f_{1}(x)=0\;\;\left({\mathfrak {1}}'\right)\;$» d'équation caractéristique $\;s^{4}+4\;s^{2}+5=0\;$ dont le discriminant en tant qu'équation algébrique du 2^ème degré en $\;s^{2}\;$ vaut $\;\Delta =-4<0\;$ d'où

• deux solutions complexes conjuguées de l'équation bicarrée pour $\;{\underline {s}}^{2}\;$ soit $\;{\underline {s}}^{2}=-2\pm i={\sqrt {5}}\;\exp \left\lbrace \pm i\left[\pi -\arctan \!\left({\dfrac {1}{2}}\right)\right]\right\rbrace$ conduisant à
• quatre solutions complexes distinctes de l'équation caractéristique pour $\;{\underline {s}}$, toutes de même module $\;\rho ={\sqrt[{4}]{5}}\;$ mais d'arguments distincts, deux à deux opposés, $\;\equiv \pm \left[{\dfrac {\pi }{2}}-{\dfrac {1}{2}}\;\arctan \!\left({\dfrac {1}{2}}\right)\right]\!\!\!\!{\pmod {\pi }}\;$ soit $\;{\underline {s}}={\sqrt[{4}]{5}}\times {\dfrac {{\sqrt {5}}-2}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\pm i\;{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\;$ ou $\;{\underline {s}}=-{\sqrt[{4}]{5}}\times {\dfrac {{\sqrt {5}}-2}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\pm i\;{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\;$ et par suite

     Exemple : la fonction $\;f_{1}(x)\;$ s'écrit «$\;A\;\exp \!\left[{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\;x\right]\;\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\;x+\varphi \right]+B\;\exp \!\left[-{\dfrac {{\sqrt[{4}]{5}}\left({\sqrt {5}}-2\right)}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}\;x\right]\;\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt[{4}]{5}}{\sqrt {10-4\;{\sqrt {5}}}}}+\psi \right]\;$» avec $\;A$, $\;B$, $\;\varphi \;$ et $\;\psi \;$ des constantes arbitraires d'intégration ;

     Exemple : la détermination de la fonction $\;f_{2}(x)\;$ se fait alors en reportant l'expression de $\;f_{1}(x)\;$ dans $\;f_{2}(x)={\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {d^{2}f_{1}}{dx^{2}}}(x)+{\dfrac {1}{2}}\;f_{1}(x)$ $\;\ldots$

Exemple de couplage de système de trois équations différentielles non linéaires de trois fonctions indépendantes d'une même variable et découplage complet impossible dans le cas général

Présentation de l'exemple

     Soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)-b\;{\sqrt {f_{1}^{2}(x)+f_{2}^{2}(x)+f_{3}^{2}(x)}}\;f_{1}(x)=0\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)-b\;{\sqrt {f_{1}^{2}(x)+f_{2}^{2}(x)+f_{3}^{2}(x)}}\;f_{2}(x)=0\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\\{\dfrac {df_{3}}{dx}}(x)-b\;{\sqrt {f_{1}^{2}(x)+f_{2}^{2}(x)+f_{3}^{2}(x)}}\;f_{3}(x)=e\;\;\left({\mathfrak {3}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ avec les deux constantes $\;\left(b\,,\,e\right)\in \left[\mathbb {R} ^{*}\right]^{2}\;$ connues et les trois fonctions réelles $\;\left\lbrace f_{1}\,,\,f_{2}\,,\,f_{3}\right\rbrace \;$ de la variable réelle $\;x\;$ à déterminer ; on vérifie aisément que les équations différentielles $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right),\,\left({\mathfrak {3}}\right)\right\rbrace \;$ sont couplées car

• la 1^ère $\;\left({\mathfrak {1}}\right)$, équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;f_{1}(x)$, fait intervenir les deux autres fonctions $\;f_{2}(x)\;$ et $\;f_{3}(x)$, non connues en absence de résolution des deux autres équations différentielles $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {3}}\right)\;$ $\Rightarrow$ l'impossibilité de résoudre la 1^ère équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ avant les 2^ème et 3^ème $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {2}}\right),\,\left({\mathfrak {3}}\right)\right\rbrace$,
• la 2^ème $\;\left({\mathfrak {2}}\right)$, équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;f_{2}(x)$, fait intervenir les deux autres fonctions $\;f_{1}(x)\;$ et $\;f_{3}(x)$, non connues en absence de résolution des deux autres équations différentielles $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {3}}\right)\;$ $\Rightarrow$ l'impossibilité de résoudre la 2^ème équation différentielle $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ avant les 1^ère et 3^ème $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {3}}\right)\right\rbrace \;$ et
• la 3^ème $\;\left({\mathfrak {3}}\right)$, équation différentielle non linéaire du 1^er ordre en $\;f_{3}(x)$, fait intervenir les deux autres fonctions $\;f_{1}(x)\;$ et $\;f_{2}(x)$, non connues en absence de résolution des deux autres équations différentielles $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ $\Rightarrow$ l'impossibilité de résoudre la 3^ème équation différentielle $\;\left({\mathfrak {3}}\right)\;$ avant les 1^ère et 2^ème $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace \;$ d'où

     le couplage des trois équations différentielles.

Impossibilité (admise) du découplage complet du système d'équations différentielles non linéaires couplées

     Nous admettrons que le découplage complet du système d'équations différentielles non linéaires couplées précédemment introduit est impossible  ;

     toutefois, compte-tenu de la ressemblance des équations différentielles $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {2}}\right)$, il est possible de trouver une relation entre les fonctions $\;\left\lbrace f_{1}(x),\,f_{2}(x)\right\rbrace \;$ indépendante de $\;f_{3}(x)$, c'est ce que nous proposons ci-dessous.

Établissement d'une relation entre f₁(x) et f₂(x) indépendante de f₃(x) et découplage partiel du système des trois équations différentielles non linéaires couplées

     Supposant qu'aucune des fonctions $\;\left\lbrace f_{1}(x),\,f_{2}(x)\right\rbrace \;$ n'est identiquement nulle , il en existe au moins une ne s'identifiant pas à la fonction nulle par exemple $\;f_{2}\neq 0$ ;

     à partir des deux équations différentielles semblables $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {2}}\right)$, on forme $\;f_{2}(x)\,\left({\mathfrak {1}}\right)-f_{1}(x)\,\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ $\Leftrightarrow$ $\;f_{2}(x)\;{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)-f_{1}(x)\;{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)=0\;$ soit, en divisant les deux membres par $\;f_{2}^{2}(x)\;$ non identiquement nulle, $\;{\dfrac {f_{2}(x)\;{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)-f_{1}(x)\;{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)}{f_{2}^{2}(x)}}=0\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {d\!\left({\dfrac {f_{1}}{f_{2}}}\right)}{dx}}(x)=0\;$ qui s'intègre aisément en $\;{\dfrac {f_{1}(x)}{f_{2}(x)}}=k\;$ où $\;k\;$ est une constante réelle d'intégration $\Leftrightarrow$ $\;f_{1}(x)=k\;f_{2}(x)$ ;

     les équations différentielles $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ et $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ se réécrivent alors selon $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}k\;{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)\!\!\!\!&-\,b\;{\sqrt {k^{2}\;f_{2}^{2}(x)+f_{2}^{2}(x)+f_{3}^{2}(x)}}\;k\;f_{2}(x)\!\!\!&=0\\{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)\!\!\!\!&-\,b\;{\sqrt {k^{2}\;f_{2}^{2}(x)+f_{2}^{2}(x)+f_{3}^{2}(x)}}\;f_{2}(x)\!\!\!&=0\end{array}}\right\rbrace \;$ correspondant à une seule et même équation différentielle $\;{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)-b\;{\sqrt {k^{2}\;f_{2}^{2}(x)+f_{2}^{2}(x)+f_{3}^{2}(x)}}\;f_{2}(x)=0\;$ ou, en introduisant la nouvelle fonction $\;F_{2}(x)={\sqrt {k^{2}+1}}\;f_{2}(x)$, l'équation différentielle suivante $\;{\dfrac {dF_{2}}{dx}}(x)-b\;{\sqrt {F_{2}^{2}(x)+f_{3}^{2}(x)}}\;F_{2}(x)=0\;\;\left({\mathfrak {2}}'\right)\;$ ;

     l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {3}}\right)\;$ se réécrivant selon $\;{\dfrac {df_{3}}{dx}}(x)-b\;{\sqrt {k^{2}\;f_{2}^{2}(x)+f_{2}^{2}(x)+f_{3}^{2}(x)}}\;f_{3}(x)=e\;$ $\Leftrightarrow$ $\;{\dfrac {df_{3}}{dx}}(x)-b\;{\sqrt {F_{2}^{2}(x)+f_{3}^{2}(x)}}\;f_{3}(x)=e\;\;\left({\mathfrak {3}}'\right)$, nous en déduisons que le système des trois équations différentielles non linéaires couplées $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right),\,\left({\mathfrak {3}}\right)\right\rbrace \;$ en les trois fonctions $\;\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\,,\,f_{3}(x)\right\rbrace \;$ est équivalent au système des deux équations différentielles non linéaires couplées $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {2}}'\right),\,\left({\mathfrak {3}}'\right)\right\rbrace \;$ en les deux fonctions $\;\left\lbrace F_{2}(x)\,,\,f_{3}(x)\right\rbrace \;$ à savoir

$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {dF_{2}}{dx}}(x)-b\;{\sqrt {F_{2}^{2}(x)+f_{3}^{2}(x)}}\;F_{2}(x)=0\;\;\left({\mathfrak {2}}'\right)\\{\dfrac {df_{3}}{dx}}(x)-b\;{\sqrt {F_{2}^{2}(x)+f_{3}^{2}(x)}}\;f_{3}(x)=e\;\;\left({\mathfrak {3}}'\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ où $\;F_{2}(x)={\sqrt {k^{2}+1}}\;f_{2}(x)\;$ avec $\;k={\dfrac {f_{1}(x)}{f_{2}(x)}}$.

Impossibilité (admise) de la poursuite du découplage du système équivalent des deux équations différentielles non linéaires couplées en F₂(x) et f₃(x)

     Nous admettrons que la poursuite du découplage du système des deux équations différentielles non linéaires couplées $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {2}}'\right),\,\left({\mathfrak {3}}'\right)\right\rbrace \;$ est impossible,
     en absence de découplage seule une résolution numérique est possible $\;{\big [}$voir le paragraphe « utilisation d'un logiciel de calcul numérique pour déterminer le mouvement de chute freinée de l'objet par résistance de l'air quadratique ainsi que la trajectoire de son centre d'inertie et l'hodographe de pôle O du mouvement de ce dernier » du chap.$11$ de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »${\big ]}$.

Exemple de couplage particulier de système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre de deux fonctions indépendantes d'une même variable et découplage correspondant

Présentation de l'exemple

     Soit $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)+b\;f_{1}(x)=a\;f_{2}(x)+d\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)+b\;f_{2}(x)=-a\;f_{1}(x)+e\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ avec les constantes $\;a\in \mathbb {R} ^{*}$, $\;\left(b\,,\,d\,,\,e\right)\in \mathbb {R} ^{3}\;$ connues et les deux fonctions réelles $\;\left\lbrace f_{1}\,,\,f_{2}\right\rbrace \;$ de la variable réelle $\;x\;$ à déterminer ; on vérifie aisément que les équations différentielles $\;\left\lbrace \left({\mathfrak {1}}\right),\,\left({\mathfrak {2}}\right)\right\rbrace \;$ sont couplées car

• la 1^ère $\;\left({\mathfrak {1}}\right)$, équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 1^er ordre en $\;f_{1}(x)$, présente un 2^nd membre jouant le rôle d'« excitation » mais qui, dépendant de $\;f_{2}(x)$, n'est pas connue en absence de résolution de la 2^ème équation différentielle $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ $\Rightarrow$ l'impossibilité de résoudre la 1^ère équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ avant la 2^ème $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ et
• la 2^ème $\;\left({\mathfrak {2}}\right)$, équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 1^er ordre en $\;f_{2}(x)$, présente un 2^nd membre jouant le rôle d'« excitation » mais qui, dépendant de $\;f_{1}(x)$, n'est pas connue en absence de résolution de la 1^ère équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ $\Rightarrow$ l'impossibilité de résoudre la 2^ème équation différentielle $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ avant la 1^ère $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ d'où

     le couplage des deux équations différentielles ;

     la particularité de ce couplage se manifeste par le même opérateur linéaire «$\;{\dfrac {d}{dx}}+b\times \;$» s'appliquant sur l'une ou l'autre des fonctions $\;\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace \;$ dans le 1^er membre de chaque équation différentielle et par la dépendance de l'« excitation » de l'équation différentielle correspondante relativement à la fonction n'intervenant pas dans le 1^er membre à savoir

• l'« excitation » de l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ en $\;f_{1}(x)\;$ dépend de $\;f_{2}(x)\;$ selon «$\;a\;f_{2}(x)\;$» et
•                celle de l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ en $\;f_{2}(x)\;$ dépend de $\;f_{1}(x)\;$ selon «$\;-a\;f_{1}(x)\;$»,

     cette particularité pouvant résulter des deux 1^ères composantes du produit vectoriel d'un vecteur $\;{\overrightarrow {\mathcal {F}}}(x)=f_{1}(x)\;{\vec {u}}_{x}+f_{2}(x)\;{\vec {u}}_{y}\;$ et d'un autre vecteur $\;{\vec {A}}=a\;{\vec {u}}_{z}\;$ soit $\;{\overrightarrow {\mathcal {F}}}(x)\wedge {\vec {A}}=$ $a\;f_{1}(x)\left[{\vec {u}}_{x}\wedge {\vec {u}}_{z}\right]+a\;f_{2}(x)\left[{\vec {u}}_{y}\wedge {\vec {u}}_{z}\right]\;$ par distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle soit encore $\;{\overrightarrow {\mathcal {F}}}(x)\wedge {\vec {A}}=$ $a\;f_{2}(x)\;{\vec {u}}_{x}-a\;f_{1}(x)\;{\vec {u}}_{y}\;$ fournissant

• une composante d'« excitation » $\;\;\;\,a\;f_{2}(x)\;$ pour l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}\right)\;$ résultant de la projection sur $\;{\vec {u}}_{x}\;$ et
• une composante d'« excitation » $\;-a\;f_{1}(x)\;$ pour l'équation différentielle $\;\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ résultant de la projection sur $\;{\vec {u}}_{y}$ $\;\ldots$

Vérification de l'inapplicabilité de la méthode de combinaison linéaire réelle pour le découplage du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées

     Formant $\;\alpha \left({\mathfrak {1}}\right)+\beta \left({\mathfrak {2}}\right)$, nous obtenons $\;\alpha \left[{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)+b\;f_{1}(x)\right]+\beta \left[{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)+b\;f_{2}(x)\right]=\alpha \left[a\;f_{2}(x)+d\right]+\beta \left[-a\;f_{1}(x)+e\right]\;$ dans laquelle la dérivée du 1^er membre ne dépend que d'une nouvelle fonction $\;F_{\alpha \,,\,\beta }(x)=\alpha \;f_{1}(x)+\beta \;f_{2}(x)\;$ soit $\;{\dfrac {dF_{\alpha \,,\,\beta }}{dx}}(x)+\alpha \;b\;f_{1}(x)+\beta \;b\;f_{2}(x)=-\beta \;a\;f_{1}(x)+\alpha \;a\;f_{2}(x)+\alpha \;d+\beta \;e\;$ que l'on peut réécrire selon $\;{\dfrac {dF_{\alpha \,,\,\beta }}{dx}}(x)=$ $\left[-\beta \;a-\alpha \;b\right]\,f_{1}(x)+\left[\alpha \;a-\beta \;b\right]\,f_{2}(x)+\alpha \;d+\beta \;e$ ;

     pour que cette nouvelle équation différentielle soit une équation différentielle en $\;F_{\alpha \,,\,\beta }(x)=\alpha \;f_{1}(x)+\beta \;f_{2}(x)$, il suffit que la partie non constante de son 2^nd membre soit proportionnelle à $\;F_{\alpha \,,\,\beta }(x)=$ $\alpha \;f_{1}(x)+\beta \;f_{2}(x)$ pour tout couple de fonctions $\;\left\lbrace f_{1}(x),\,f_{2}(x)\right\rbrace \;$ c.-à-d. $\;{\dfrac {-\beta \;a-\alpha \;b}{\alpha }}={\dfrac {\alpha \;a-\beta \;b}{\beta }}\;$ ou encore $\;-{\dfrac {\beta }{\alpha }}\;a-b=$ ${\dfrac {\alpha }{\beta }}\;a-b\;$ soit finalement que $\;{\dfrac {\alpha }{\beta }}\;$ soit solution de l'équation algébrique du 2^ème degré «$\;\left({\dfrac {\alpha }{\beta }}\right)^{\!\!2}+1=0\;$», laquelle n'admet aucune solution réelle d'où

l'inapplicabilité de la méthode de découplage par combinaison linéaire réelle de ce type de système particulier $\;\ldots$

     Remarque : Il serait alors possible de résoudre ce système particulier en procédant « par substitution » comme cela a été fait dans le paragraphe « recherche d'une autre méthode de résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a totalement échoué » plus haut dans le chapitre mais en fait, dans ce cas particulier d'équations différentielles couplées, il existe une méthode de découplage par combinaison linéaire complexe que nous présentons ci-dessous .

Exposé de la méthode de découplage par combinaison linéaire complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées

     Préliminaire : cette méthode ne s'applique a priori qu'à ce système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)+b\;f_{1}(x)=a\;f_{2}(x)+d\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)+b\;f_{2}(x)=-a\;f_{1}(x)+e\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;a\in \mathbb {R} ^{*}\;$ et $\;\left(b\,,\,d\,,\,e\right)\in \mathbb {R} ^{3}\;$ quatre constantes connues, la seule C.N. pour que la méthode de découplage par C.L. complexe de ce système particulier soit applicable est $\;a\neq 0$.

     Exposé de la méthode de découplage par C.L. complexe de ce système particulier d'équations différentielles couplées : formant $\;\left({\mathfrak {1}}\right)+i\left({\mathfrak {2}}\right)\;$, nous obtenons $\;\left[{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)+b\;f_{1}(x)\right]+i\left[{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)+b\;f_{2}(x)\right]=\left[a\;f_{2}(x)+d\right]+i\left[-a\;f_{1}(x)+e\right]\;$ dans laquelle la dérivée du 1^er membre ne dépend que de la nouvelle fonction complexe $\;{\underline {F}}(x)=f_{1}(x)+i\;f_{2}(x)\;$ telle que $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}f_{1}(x)=\Re e\left[{\underline {F}}(x)\right]\\f_{2}(x)=\Im m\left[{\underline {F}}(x)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ soit $\;{\dfrac {d{\underline {F}}}{dx}}(x)+b\,\left[f_{1}(x)+i\;f_{2}(x)\right]=a\,\left[f_{2}(x)-i\;f_{1}(x)\right]+\left[d+i\;e\right]\;$ dans laquelle les fonctions réelles $\;\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace \;$ doivent s'effacer au profit de la fonction complexe $\;{\underline {F}}(x)=f_{1}(x)+i\;f_{2}(x)$, ce qui ne semble poser un problème que pour le 1^er terme entre crochets du 2^ème membre, à savoir $\;\left[f_{2}(x)-i\;f_{1}(x)\right]$, mais qui, en fait, n'en est pas si on met le cœfficient de $\;f_{1}(x)\;$ en facteur c.-à-d. «$\;-i\;$» en facteur d'où $\;\left[f_{2}(x)-i\;f_{1}(x)\right]=-i\,\left[f_{1}(x)+i\;f_{2}(x)\right]\;$ et par suite la nouvelle équation différentielle $\;\left({\mathfrak {1}}\right)+i\left({\mathfrak {2}}\right)\;$ se réécrit selon $\;{\dfrac {d{\underline {F}}}{dx}}(x)+b\;{\underline {F}}(x)$ $=-i\;a\;{\underline {F}}(x)+{\underline {E}}\;$ avec $\;{\underline {E}}=\left[d+i\;e\right]\in \mathbb {C} \;$ constante telle que $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}d=\Re e\left[{\underline {E}}\right]\\e=\Im m\left[{\underline {E}}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ soit finalement

     le découplage par C.L. complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées en fonctions réelles $\;\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace \;$ se traduisant par formation d'une

équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre en la fonction complexe $\;{\underline {F}}(x)=f_{1}(x)+i\;f_{2}(x)\;$ a priori hétérogène,
$\;{\dfrac {d{\underline {F}}}{dx}}(x)+\left[b+i\;a\right]\,{\underline {F}}(x)={\underline {E}}\;$ avec $\;{\underline {E}}=\left[d+i\;e\right]\in \mathbb {C} \;$ constante.

Suite de la résolution après découplage par combinaison linéaire complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre couplées

     Il s'agit de résoudre, dans $\;\mathbb {C}$, $\;{\dfrac {d{\underline {F}}}{dx}}(x)+\left[b+i\;a\right]\,{\underline {F}}(x)={\underline {E}}\;$ c.-à-d. une équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre hétérogène en $\;{\underline {F}}(x)\;$, l'excitation $\;{\underline {E}}=\left[d+i\;e\right]\;$ étant une constante complexe :

• détermination de la solution forcée : l'excitation étant constante, nous recherchons la solution forcée sous forme d'une constante $\;{\big (}$complexe${\big )}\;$ $\;{\underline {F_{\text{forcée}}}}={\underline {cste}}\;$ soit $\;{\cancel {{\dfrac {d{\underline {F_{\text{forcée}}}}}{dx}}(x)\;+}}\;\left[b+i\;a\right]\,{\underline {F_{\text{forcée}}}}$ $={\underline {E}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\underline {F_{\text{forcée}}}}={\dfrac {\underline {E}}{b+i\;a}}={\dfrac {d+i\;e}{b+i\;a}}$ ;
• détermination de la solution libre : l'équation caractéristique $\;{\underline {s}}+\left[b+i\;a\right]=0\;$ admettant pour solution $\;{\underline {s}}=-\left[b+i\;a\right]$, nous en déduisons la solution libre $\;{\underline {F_{\text{libre}}}}(x)$ $={\underline {A}}\;\exp \!\left[-\left(b+i\;a\right)x\right]\;$ avec $\;{\underline {A}}\;$ constante complexe arbitraire d'intégration ;
• expression de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1^er ordre hétérogène : $\;{\underline {F}}(x)={\underline {F_{\text{libre}}}}(x)+{\underline {F_{\text{forcée}}}}\;$ soit $\;{\underline {F}}(x)=f_{1}(x)+i\;f_{2}(x)={\underline {A}}\;\exp \!\left[-\left(b+i\;a\right)x\right]+{\dfrac {d+i\;e}{b+i\;a}}\;$ avec $\;{\underline {A}}\;$ constante complexe arbitraire d'intégration.

Explicitation des solutions du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1^er ordre en f₁(x) et f₂(x)

     Sachant que les solutions $\;\left\lbrace f_{1}(x)\,,\,f_{2}(x)\right\rbrace \;$ du système particulier d'équations différentielles couplées $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}{\dfrac {df_{1}}{dx}}(x)+b\;f_{1}(x)=a\;f_{2}(x)+d\;\;\left({\mathfrak {1}}\right)\\{\dfrac {df_{2}}{dx}}(x)+b\;f_{2}(x)=-a\;f_{1}(x)+e\;\;\left({\mathfrak {2}}\right)\end{array}}\right\rbrace \;$ sont telles que $\;\left\lbrace {\begin{array}{l}f_{1}(x)=\Re e\left[{\underline {F}}(x)\right]\\f_{2}(x)=\Im m\left[{\underline {F}}(x)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ dans lesquelles $\;{\underline {F}}(x)={\underline {A}}\;\exp \!\left[-\left(b+i\;a\right)x\right]+{\dfrac {d+i\;e}{b+i\;a}}=A\;\exp \!\left(-b\;x\right)\;\exp \!\left[-i\left(a\;x+\varphi \right)\right]+{\dfrac {d+i\;e}{b+i\;a}}\;$ avec $\;\left(A\,,\,\varphi \right)\;$ constantes réelles arbitraires d'intégration, nous en déduisons :

• $\;f_{1}(x)=\Re e\left[{\underline {F}}(x)\right]=A\;\exp \!\left(-b\;x\right)\;\cos \!\left(a\;x+\varphi \right)+\Re e\left[{\dfrac {d+i\;e}{b+i\;a}}\right]$ avec $\;\left(A\,,\,\varphi \right)\;$ constantes réelles arbitraires d'intégration et
• $\;f_{2}(x)=\Im m\left[{\underline {F}}(x)\right]=-A\;\exp \!\left(-b\;x\right)\;\sin \!\left(a\;x+\varphi \right)+\Im m\left[{\dfrac {d+i\;e}{b+i\;a}}\right]\;$ avec $\;\left(A\,,\,\varphi \right)\;$ mêmes constantes réelles arbitraires d'intégration.