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En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, «
Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Système d'équations différentielles couplées et leur découplage
Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Système d'équations différentielles couplées et leur découplage », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Une étude des systèmes d'équations différentielles couplées ne peut évidemment pas être exhaustive.
Système d'équations différentielles couplées
Les équations d'un système de

équations différentielles à

fonctions indépendantes d'une même variable

avec
Les équations sont dites « couplées » lorsqu'aucune des

équations différentielles ne peut être résolue indépendamment des autres
[1].
La méthode de résolution du système des
équations différentielles « couplées » aux
fonctions indépendantes de la même variable
avec
La méthode de résolution consiste à réaliser un « découplage » c.-à-d. trouver un système équivalent de
autres équations différentielles à
autres fonctions indépendantes de la même variable
La méthode de résolution consiste à réaliser un « découplage » c.-à-d. trouver un système équivalent tel que chaque équation différentielle ne dépende que d'une nouvelle fonction de la variable[2] ;
La méthode de résolution consiste à réaliser un « découplage » il est alors possible de résoudre chaque équation différentielle indépendamment des autres
La méthode de résolution consiste à réaliser un « découplage » il est alors possible
c.-à-d. de trouver les
nouvelles fonctions de la même variable
puis
La méthode de résolution consiste à réaliser un « découplage » il est alors possible d'en déduire les solutions du système d'équations différentielles « couplées »
La méthode de résolution consiste à réaliser un « découplage » il est alors possible
c.-à-d. de trouver les
fonctions d'origine de la même variable
.
Exemple de couplage de système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variable et découplage correspondant
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Présentation d'un système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variable
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Soit
[3],[4] avec les quatre constantes
connues et les deux fonctions réelles
de la variable réelle
à déterminer ;
Soit on vérifie aisément le couplage des équations différentielles
car
Soit on vérifie aisément le couplage
l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre en
sans terme du 1er ordre,
Soit on vérifie aisément le couplage
l'équation différentielle
a un 2nd membre « excitation » dépendant de
, inconnue en absence de
Soit on vérifie aisément le couplage
l'équation différentielle
a un 2nd membre « excitation » résolution de la 2ème équation différentielle
Soit on vérifie aisément le couplage
l'impossibilité de résoudre la 1ère équation différentielle
avant la 2ème
et
Soit on vérifie aisément le couplage
l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre en
sans terme du 1er ordre,
Soit on vérifie aisément le couplage
l'équation différentielle
a un 2nd membre « excitation » dépendant de
, inconnue en absence de
Soit on vérifie aisément le couplage
l'équation différentielle
a un 2nd membre « excitation » résolution de la 1ère équation différentielle
Soit on vérifie aisément le couplage
l'impossibilité de résoudre la 2ème équation différentielle
avant la 1ère
d'où
Soit on vérifie aisément le couplage des deux équations différentielles.
Exposé d'une méthode de découplage du système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants de deux fonctions indépendantes d'une même variable
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Les deux équations différentielles couplées
étant linéaires[4], il semble possible de les découpler par C.L.[5]
et définition associée de
Les deux équations différentielles couplées
étant linéaires, il semble possible de les découpler telle que
ne dépende que de
,
Les deux équations différentielles couplées
étant linéaires, il semble possible de les découpler ceci nécessitant un choix de
pour être réalisé
Les deux équations différentielles couplées
étant linéaires, il semble possible Ce découplage sera effectif si on trouve deux C.L.[5] distinctes des équations différentielles
Les deux équations différentielles couplées
étant linéaires, il semble possible un système d'équations différentielles découplées indépendantes en
Les deux équations différentielles couplées
étant linéaires, il semble possible un système équivalent au système d'équations différentielles couplées
Formant
dans laquelle la somme des dérivées 2ndes du 1er membre
Formant
si
est
soit, avec
,
Formant
, la condition pour que le 2nd membre s'écrive en fonction de
étant
Formant
, la condition
c.-à-d.
Formant
, la condition
solution de l'équation algébrique du 2ème degré
[6] ;
Formant
l'équation algébrique du 2ème degré ci-dessus admet deux solutions réelles distinctes si son discriminant
est
[7],
Formant
l'équation algébrique du 2ème degré ci-dessus admet deux solutions réelles distinctes ce que semble nécessaire pour la réussite d'un découplage dans
:
Formant
avec
[7], nous avons deux solutions réelles distinctes
et
, pour chacune,
Formant
avec
, le 2nd membre de
s'écrit
[8]
d'où :
Formant
avec
,
en posant
et
[9] comme nouvelle fonction,
Formant
avec
,
en posant
et
solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants
Formant
avec
,
en posant
et
solution de du 2ème ordre, homogène, sans terme du 1er ordre et
Formant
avec
,
en posant
et
solution de indépendante
,
Formant
avec
,
en posant
et
[9] comme nouvelle fonction,
Formant
avec
,
en posant
et
solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants
Formant
avec
,
en posant
et
solution de du 2ème ordre, homogène, sans terme du 1er ordre et
Formant
avec
,
en posant
et
solution de indépendante
,
Formant
avec
,
soit la réalisation du découplage du système d'équations différentielles couplées
dans
Formant
avec
,
soit la réalisation du découplage selon «
» ;
Formant
avec
[10], nous avons une solution réelle double
,
Formant
avec
, le 2nd membre de
s'écrit
[11]
Formant
avec
, le 2nd membre de
s'écrit
Formant
avec
, le 2nd membre de
s'écrit
d'où :
Formant
avec
,
en posant
et
[12] comme nouvelle fonction,
Formant
avec
,
en posant
et
solution de l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre,
Formant
avec
,
en posant
et
solution de homogène, sans terme du 1er ordre et indépendante
Formant
avec
,
en posant
et
solution de homogène, sans terme du 1er ordre
,
Formant
avec
,
la résolution de l'équation différentielle ci-dessus ne permettant qu'une relation de liaison entre les deux solutions cherchées
Formant
avec
,
la résolution de l'équation différentielle ci-dessus ne permettant qu'une relation de liaison
[13],
Formant
avec
,
nous constatons que le découplage du système initial d'équations différentielles
par C.L.[5] n'aboutit pas[14] ;
Formant
avec
[10], nous n'avons pas de solutions réelles
Formant
avec
, un découplage par C.L.[5] dans
du système d'équations différentielles couplées
n'est pas possible,
Formant
avec
, il faut donc chercher une autre méthode de découplage dans le but de résoudre le système
Cas
[7] : le système d'équations différentielles couplées
étant équivalent au système d'équations différentielles découplées
Cas
: le système d'équations différentielles couplées
étant équivalent avec
où
et
sont les deux
Cas
: le système d'équations différentielles couplées
étant équivalent solutions réelles distinctes de l'équation algébrique du 2ème degré
Cas
: le système d'équations différentielles couplées
étant équivalent solutions réelles distinctes de «
» et
Cas
: le système d'équations différentielles couplées
étant équivalent avec
[9],[15] ;
Cas
: la résolution de chaque équation différentielle découplée et indépendante[16] nous permet d'obtenir respectivement
et
en fonction de
avec,
Cas
: la résolution de chaque équation différentielle découplée et indépendante pour chaque fonction, deux constantes réelles arbitraires
et
;
Cas
: il reste alors à revenir aux fonctions initiales
et
en résolvant
[9]
Cas
:
en formant
[9],[17] et
Cas
:
en formant
[9],[17].
Cas
: Exemple :
[3] c.-à-d.
,
,
et
,
Cas
: Exemple : les deux solutions réelles distinctes
et
de l'équation algébrique du 2ème degré «
» s'écrivant
Cas
: Exemple : les deux solutions réelles distinctes
soit,
Cas
: Exemple : les deux solutions réelles distinctes avec
[9]
[9], on aboutit au découplage suivant
Cas
: Exemple :
d'où
avec
constantes réelles arbitraires[17] d'où
Cas
: Exemple :
avec
constantes réelles arbitraires[17].
Cas
[10] : le découplage par C.L.[5] réelle du système d'équations différentielles couplées
n'aboutissant pas,
Cas
: le découplage la méthode ne fournissant qu'une seule équation différentielle indépendante
avec
et
Cas
: le découplage la méthode ne fournissant qu'une seule équation différentielle indépendante
[12] dans laquelle
Cas
: le découplage la méthode ne fournissant qu'une seule équation différentielle indépendante
[12],[15] ;
Cas
: la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante[16] nous permet d'obtenir
en fonction de
avec
Cas
: la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir
deux constantes réelles arbitraires
, c.-à-d.
Cas
: la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir la relation de liaison entre les deux fonctions cherchées
Cas
: la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir la relation de liaison
dont
Cas
: la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir on peut tirer
en fonction de
et
selon
Cas
: la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir
;
Cas
: on reporte alors l'expression de
dans l'équation différentielle
[18] ou
Cas
: on reporte alors l'expression de
dans l'équation différentielle
soit finalement
Cas
: on reporte alors l'expression de
dans l'équation différentielle
;
Cas
: la résolution de cette 2ème équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir
en fonction de
avec deux nouvelles
Cas
: la résolution de cette 2ème équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir
constantes réelles arbitraires
et
Cas
: la résolution de cette 2ème équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir
une solution particulière[19] associée à l'excitation
Cas
: la résolution de cette 2ème équation différentielle découplée et indépendante nous permet d'obtenir
une solution particulière associée
[20] ;
Cas
: nous en déduisons alors
par report de
dans
Cas
: Exemple :
[3] c.-à-d.
,
,
et
,
Cas
: Exemple : la solution réelle double
de l'équation algébrique du 2ème degré «
» s'écrivant
Cas
: Exemple : la solution réelle double
[21] soit, avec
[12]
Cas
: Exemple : la solution réelle double
[12], solution de l'équation différentielle découplée indépendante
d'où
Cas
: Exemple : la solution réelle double
,
[16],
constantes réelles arbitraires,
Cas
: Exemple : la solution réelle double soit, la relation de liaison
,
constantes réelles arbitraires ;
Cas
: Exemple : la solution réelle double de cette relation on tire
en fonction de
selon
Cas
: Exemple : la solution réelle double de cette relation on tire que l'on reporte dans l'équation
pour obtenir un découplage par substitution d'où
Cas
: Exemple : la solution réelle double de cette relation on tire la 2ème équation différentielle découplée indépendante
Cas
: Exemple : la solution réelle double de cette relation on tire
ou encore
Cas
: Exemple : la solution réelle double de cette relation on tire
[22],[23] ;
Cas
: Exemple : solution particulière de
:
[23]
Cas
: Exemple : solution particulière de
:
Cas
: Exemple : solution particulière de
:
Cas
: Exemple : solution particulière de
:
après simplification à identifier à
Cas
: Exemple : solution particulière de
:
soit finalement
Cas
: Exemple : solution particulière de
:
et par suite,
Cas
: Exemple : la solution libre étant
[16], on en déduit
Cas
: Exemple : la solution de l'équation
,
[22],
constantes réelles arbitraires ;
Cas
: Exemple : on en déduit
.
Recherche d'une autre méthode de résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a totalement échoué
[modifier | modifier le wikicode]
Cas
[10] : le découplage par C.L.[5] réelle du système d'équations différentielles couplées
étant un échec complet[15],
Cas
: le découplage par C.L. réelle nous n'obtenons aucune équation différentielle découplée indépendante par C.L.[5] réelle de ce système,
Cas
: il nous faut donc rechercher une autre méthode de découplage et celle qui vient à l'esprit est la méthode « par substitution »[24],[25] :
Cas
: de l'équation différentielle couplée
, on tire
que l'on reporte dans l'équation différentielle couplée
Cas
: de l'équation différentielle découplée indépendante en
suivante
soit,
Cas
: après simplification et normalisation, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène[26] du 4ème ordre en
,
Cas
: après simplification et normalisation, «
»[27] ;
Cas
: la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante
en
[28] nous conduit à
Cas
: la résolution de l'équation caractéristique
,
Cas
: la résolution de l’équation algébrique bicarrée du 4ème degré en
, de discriminant en tant qu'équation du 2ème degré en
,
Cas
: la résolution de l’équation algébrique bicarrée du 4ème degré en
, de discriminant
, d'où
Cas
: la résolution de l’
deux solutions complexes conjuguées de l'équation bicarrée
[29]
Cas
: la résolution de l’
quatre solutions complexes distinctes de l'équation caractéristique, de même module
[30] et d'arguments distincts
[31]
Cas
: la résolution de l’
quatre solutions complexes distinctes de l'équation caractéristique, de même module
et d'arguments deux à deux opposés soit
Cas
: la résolution de l’
quatre solutions complexes distinctes
[29] ou
[29] et par suite
Cas
: la fonction
s'écrit «
»[32]
Cas
: la fonction
s'écrit «
avec
,
,
et
des constantes arbitraires d'intégration ;
Cas
: la détermination de la fonction
se fait alors en reportant l'expression de
dans
Cas
: Exemple :
[3] c.-à-d.
,
,
et
,
Cas
: Exemple : le découplage de ce système d'équations différentielles par C.L.[5] réelle échouant totalement, on procède au découplage « par substitution » :
Cas
: Exemple : de l'équation différentielle couplée
, on tire
que l'on reporte dans l'équation différentielle couplée
Cas
: Exemple : de l'équation différentielle découplée indépendante en
suivante
soit,
Cas
: après simplification et normalisation, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène[26] du 4ème ordre en
,
Cas
: après simplification et normalisation, «
»[33] ;
Cas
: Exemple : la résolution de cette équation différentielle découplée et indépendante
en
[28] nous conduit à
Cas
: Exemple : la résolution de l'équation caractéristique
,
Cas
: Exemple : la résolution de l’équation algébrique bicarrée du 4ème degré en
, de discriminant en tant qu'équation du 2ème degré en
,
Cas
: Exemple : la résolution de l’équation algébrique bicarrée du 4ème degré en
, de discriminant
, d'où
Cas
: Exemple : la résolution de l’
deux solutions complexes conjuguées de l'équation bicarrée
[29],[34]
Cas
: Exemple : la résolution de l’
quatre solutions complexes distinctes de l'équation caractéristique, de même module
et
Cas
: Exemple : la résolution de l'
quatre solutions complexes distinctes de l'équation caractéristique, d'arguments distincts, deux à deux opposés,
Cas
: Exemple : la résolution de l'
quatre solutions complexes distinctes de l'équation caractéristique,
soit
Cas
: Exemple : la résolution de l’
quatre solutions complexes distinctes
[29],[35] d'où
Cas
: Exemple : «
»[32]
Cas
: Exemple : «
avec
,
,
et
des constantes arbitraires d'intégration, ou encore,
Cas
: Exemple : «
Cas
: Exemple : «
»[32]
Cas
: Exemple : «
avec
,
,
et
des constantes arbitraires d'intégration ;
Cas
: Exemple : la détermination de la fonction
se fait alors en reportant l'expression de
dans
avec
Cas
: Exemple :
Cas
: Exemple :
Cas
: Exemple :
Cas
: Exemple :
Cas
: Exemple :
[36]
Cas
: Exemple :
[36]
Cas
: Exemple :
[36]
Cas
: Exemple :
[36]
Cas
: Exemple :
[36]
Cas
: Exemple :
[36]
Cas
: Exemple :
[36]
Cas
: Exemple :
[36] ou
Cas
: Exemple :
[37]
Cas
: Exemple :
[37]
Cas
: Exemple :
[37]
Cas
: Exemple :
[37]
Cas
: Exemple :
[38]
Cas
: Exemple :
[38]
Cas
: Exemple :
[38]
Cas
: Exemple :
[38] d'où
Cas
: Exemple :
Cas
: Exemple :
[39].
Exemple de couplage de système de trois équations différentielles non linéaires de trois fonctions indépendantes d'une même variable et découplage complet impossible dans le cas général
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Soit
avec
constantes connues et
trois fonctions réelles de la variable réelle
à déterminer ;
on vérifie aisément que les équations différentielles
sont couplées car
on vérifie aisément
la 1ère équation différentielle non linéaire du 1er ordre en
, c.-à-d.
,
on vérifie aisément
la 1ère équation fait intervenir les deux autres fonctions
et
, nécessitant de résoudre
on vérifie aisément
la 1ère équation fait intervenir les deux autres équations différentielles
et
pour être connues
on vérifie aisément
impossibilité de résoudre la 1ère équation différentielle
avant les 2ème et 3ème
,
on vérifie aisément
la 2ème équation différentielle non linéaire du 1er ordre en
, c.-à-d.
,
on vérifie aisément
la 2ème équation fait intervenir les deux autres fonctions
et
, nécessitant de résoudre
on vérifie aisément
la 2ème équation fait intervenir les deux autres équations différentielles
et
pour être connues
on vérifie aisément
impossibilité de résoudre la 2ème équation différentielle
avant les 3ème et 1ère
et
on vérifie aisément
la 3ème équation différentielle non linéaire du 1er ordre en
, c.-à-d.
,
on vérifie aisément
la 3ème équation fait intervenir les deux autres fonctions
et
, nécessitant de résoudre
on vérifie aisément
la 3ème équation fait intervenir les deux autres équations différentielles
et
pour être connues
on vérifie aisément
impossibilité de résoudre la 3ème équation différentielle
avant les 1ère et 2ème
d'où
on vérifie aisément
le couplage des trois équations différentielles.
Nous admettrons que le découplage complet[40] du système d'équations différentielles non linéaires couplées
est impossible[41] ;
toutefois, compte-tenu de la ressemblance des équations différentielles
et
,
toutefois il est possible de trouver une relation entre les fonctions
indépendante de
, c'est ce que nous proposons de faire dans un 1er temps.
Établissement d'une relation entre f1(x) et f2(x) indépendante de f3(x) et découplage partiel du système des trois équations différentielles non linéaires couplées
[modifier | modifier le wikicode]
Supposant au moins une des fonctions
non identiquement nulle[42], plus précisément supposons
et
formons
ou, après simplification évidente,
formons
soit, en divisant les deux membres par
non identiquement nulle[43],
formons
qui s'intègre en
avec
constante réelle d'intégration[44];
formons
les équations différentielles
et
se réécrivent alors
c.-à-d.
formons
les équations différentielles
et
se réécrivent selon une même équation différentielle
ou,
formons
les équations différentielles
et
se réécrivent en introduisant la nouvelle fonction
,
formons
les équations différentielles
et
se réécrivent selon l'équation différentielle
[45] ;
formons
l'équation différentielle
se réécrivant
formons
le système des trois équations différentielles non linéaires couplées
en les trois fonctions
formons
le système des trois équations différentielles est équivalent au système des deux équations différentielles non linéaires couplées
formons
le système des trois équations différentielles est équivalent au système des deux équations différentielles en les deux fonctions
à savoir
où
avec
.
Impossibilité (admise) de la poursuite du découplage du système équivalent des deux équations différentielles non linéaires couplées en F2(x) et f3(x)
[modifier | modifier le wikicode]
Nous admettrons que la poursuite du découplage du système des deux équations différentielles non linéaires couplées
est impossible,
en absence de découplage seule une résolution numérique est possible
voir le paragraphe « utilisation d'un logiciel de calcul numérique pour déterminer le mouvement de chute freinée de l'objet par résistance de l'air quadratique ainsi que la trajectoire de son centre d'inertie et l'hodographe de pôle O du mouvement de ce dernier » du chap.
de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) »
.
Exemple de couplage particulier de système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre de deux fonctions indépendantes d'une même variable et découplage correspondant
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Soit
[46],[4] avec
,
constantes connues et
deux fonctions réelles de la variable réelle
à déterminer ;
on vérifie aisément que les équations différentielles
sont couplées car
on vérifie aisément
la 1ère équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 1er ordre en
, c.-à-d.
,
on vérifie aisément
la 1ère équation a un 2nd membre jouant le rôle d'« excitation » dépendant de
,
on vérifie aisément
la 1ère équation a un 2nd membre nécessitant de résoudre la 2ème équation différentielle
pour être connu
on vérifie aisément
impossibilité de résoudre la 1ère équation différentielle
avant la 2ème
et
on vérifie aisément
la 2ème équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 1er ordre en
, c.-à-d.
,
on vérifie aisément
la 2ème équation a un 2nd membre jouant le rôle d'« excitation » dépendant de
,
on vérifie aisément
la 2ème équation a un 2nd membre nécessitant de résoudre la 1ère équation différentielle
pour être connu
on vérifie aisément
impossibilité de résoudre la 2ème équation différentielle
avant la 1ère
d'où
on vérifie aisément
le couplage des deux équations différentielles ;
particularités supplémentaires du couplage :
même opérateur linéaire «
» s'appliquant sur
ou
particularités supplémentaires du couplage :
même opérateur linéaire «
» dans le 1er membre de
ou
et
particularités supplémentaires du couplage :
dépendance de l'« excitation » de
ou
relativement à
ou
c.-à-d.
particularités supplémentaires du couplage :
dépendance de la fonction n'intervenant pas dans le 1er membre à savoir
particularités supplémentaires du couplage :
dépendance de
l'« excitation » de
, équation en
, dépend de
particularités supplémentaires du couplage :
dépendance de
l'« excitation » de
, équation en
, dépend selon «
» et
particularités supplémentaires du couplage :
dépendance de
l'« excitation » de
, équation en
, dépend de
particularités supplémentaires du couplage :
dépendance de
l'« excitation » de
, équation en
, dépend selon «
» ;
particularités supplémentaires du couplage :
remarque : les « excitations » de
et
sont souvent les deux 1ères composantes d'un
particularités supplémentaires du couplage :
remarque : produit vectoriel d'un vecteur
et
particularités supplémentaires du couplage :
remarque : produit vectoriel d'un autre vecteur
soit
particularités supplémentaires du couplage :
remarque : produit vectoriel
particularités supplémentaires du couplage :
remarque : produit vectoriel
[47] soit
particularités supplémentaires du couplage :
remarque : produit vectoriel
c.-à-d. effectivement
particularités supplémentaires du couplage :
remarque : les « excitations » de
et
précédemment définies.
Vérification de l'inapplicabilité de la méthode de combinaison linéaire réelle pour le découplage du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre couplées
[modifier | modifier le wikicode]
Formant
dans laquelle la somme des dérivées 1ères du 1er membre
Formant
si
est
soit, avec
,
Formant
«
», le 2nd membre s'écrivant en fonction de
si
Formant
«
»,
[48]
sans solution réelle d'où
Formant
l'inapplicabilité de la méthode de découplage par C.L.[5] réelle du système d'équations différentielles couplées
[46],[4].
Remarque : Le découplage de ce système « par substitution » est possible[49] mais en fait, il existe une méthode de découplage par C.L.[5] complexe plus rapide, présentée ci-après[50].
Exposé de la méthode de découplage par combinaison linéaire complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre couplées
[modifier | modifier le wikicode]
Préliminaire : cette méthode ne s'applique, a priori, qu'à un système de deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants couplées
Préliminaire : cette méthode ne s'applique, a priori, qu'à un système tel que le 1er membre corresponde à l'action d'un même opérateur linéaire
sur l'une des fonctions
ou
et
Préliminaire : cette méthode ne s'applique, a priori, qu'à un système tel que le 2ème membre dépende linéairement de l'autre fonction
ou
avec des cœfficients de proportionnalité opposés
Préliminaire : cette méthode ne s'applique, a priori, qu'à un système c.-à-d.
[46],[4] avec
et
trois constantes connues,
Préliminaire : cette méthode ne s'applique, a priori, qu'à un système c.-à-d. toute tentative de découplage par C.L.[5] réelle[15] conduisant à l'équation algébrique du 2ème degré
Préliminaire : cette méthode ne s'applique, a priori, qu'à un système c.-à-d. toute tentative de découplage par C.L. réelle conduisant à sans solutions réelles mais complexes
[51].
Méthode de découplage par C.L.[5] complexe du système d'équations couplées
[46],[4] avec
,
constantes connues :
Méthode de découplage formant
[52],
où la somme des dérivées 1ères du 1er membre s'écrit
Méthode de découplage formant
,
où selon la dérivée 1ère de la fonction complexe
[29]
Méthode de découplage formant
,
où selon la dérivée 1ère de
telle que
Méthode de découplage formant
,
où selon la dérivée 1ère de
et
Méthode de découplage formant
,
où la somme des autres termes du 1er membre s'écrit
Méthode de découplage formant
,
où selon
[29] soit, au final,
Méthode de découplage formant
,
où les fonctions réelles
du 2nd membre ne devraient s'exprimer qu'au profit
Méthode de découplage formant
,
où de la fonction complexe
pour que la méthode aboutisse, soit
Méthode de découplage formant
,
[53] C.Q.F.É.[54] d'où
Méthode de découplage formant
,
«
»[29] avec
constante telle que
Méthode de découplage formant
,
«
» avec
soit finalement
Méthode de découplage formant
,
le découplage par C.L.[5] complexe du système d'équations différentielles couplées
[46],[4]
Méthode de découplage formant
,
le découplage par C.L. complexe du système d'équations différentielles couplées avec
,
constantes connues
Méthode de découplage formant
,
le découplage en l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1er ordre, a priori hétérogène, en
[29]
Méthode de découplage formant
,
le découplage en «
»[29] avec
constante, a priori non nulle.
Suite de la résolution après découplage par combinaison linéaire complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre couplées
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Il s'agit de résoudre, dans
, «
»[29] avec
constante, a priori non nulle et
fonction complexe de variable
réelle c.-à-d.
Il s'agit de résoudre, dans
, « une équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1er ordre hétérogène en
[55], l'excitation
étant une constante complexe :
Il s'agit de résoudre, dans
, «
détermination de la solution forcée : l'excitation étant constante, nous recherchons la solution forcée sous forme d'une constante
complexe
[56]
[29] soit
Il s'agit de résoudre, dans
, «
détermination de la solution forcée :
;
Il s'agit de résoudre, dans
, «
détermination de la solution libre : l'équation caractéristique
[29],[57] admettant pour solution
, nous en déduisons la solution libre
Il s'agit de résoudre, dans
, «
détermination de la solution libre :
[29],[57] avec
constante complexe arbitraire d'intégration ;
Il s'agit de résoudre, dans
, «
expression de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients complexes constants du 1er ordre hétérogène :
[29] soit
Il s'agit de résoudre, dans
, «
expression de la solution générale «
» avec
constante complexe arbitraire d'intégration.
Explicitation des solutions du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre en f1(x) et f2(x)
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Sachant que les solutions
du système d'équations différentielles couplées
[46],[4] sont telles que
avec
Sachant que les solutions
du système d'équations différentielles couplées
[29],[58]
où
Sachant que les solutions
du système d'équations différentielles couplées

sont des constantes réelles arbitraires
Sachant que les solutions 
[59],[60],[61] avec
Sachant que les solutions 
constantes réelles arbitraires d'intégration et
Sachant que les solutions 
[59],[60],[61] ou encore
Sachant que les solutions 
avec
Sachant que les solutions 
mêmes constantes réelles arbitraires d'intégration.
Bien que mal adapté, exposé du découplage par substitution du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre couplées
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Préliminaire : on rappelle que le meilleur découplage du système d'équations différentielles couplées
[46],[4] s'obtient par C.L.[5] complexe[62] mais
Préliminaire : on rappelle qu'il est toujours possible de réaliser un découplage par substitution[49], c'est néanmoins PLUS LONG.
Méthode de découplage par substitution[63],[49] du système d'équations couplées
[46],[4] avec
,
constantes connues :
Méthode de découplage par substitution de l'équation différentielle couplée
, on tire
dont on reporte
Méthode de découplage par substitution de l'équation différentielle couplée
, on tire les deux expressions dans l'équation différentielle couplée
soit
Méthode de découplage par substitution
ou, en ordonnant et normalisant,
Méthode de découplage par substitution «
» équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre
Méthode de découplage par substitution «
» découplée et indépendante en
, hétérogène[64].
Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante en
«
»[65] : sachant que
,
Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante
détermination de la solution forcée
: cherchée sous la même forme que l'excitation c.-à-d. forme constante[66] d'où
Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante
détermination de la solution forcée
:
Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante
détermination de la solution forcée
: «
»,
Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante
détermination de la solution libre
[67] : solution de
dont
Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante
détermination de la solution libre
: solution de l'équation caractéristique est
[68] de
Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante
détermination de la solution libre
: solution de discriminant réduit
[69] d'où
Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante
détermination de la solution libre
: solution de absence de solution lors d'une résolution dans
, toutefois dans
,
Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante
détermination de la solution libre
: solution de existence de deux solutions complexes conjuguées «
»[70]
Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante
détermination de la solution libre
: d'où «
»[71], avec
Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante
détermination de la solution libre
: d'où «
constantes réelles arbitraires d'intégration,
Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante
détermination de la solution générale
[72] : «
»,
Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante
détermination de la solution générale
: «
étant des constantes réelles arbitraires ;
Résolution de l'équation différentielle découplée et indépendante
détermination de la solution générale
: en accord avec le résultat obtenu au paragraphe « précédent ».
- ↑ C.-à-d. aucune des
équations différentielles ne peut être résolue sans connaître les solutions des
autres équations différentielles.
- ↑ Il n'y a pas de méthode standard de « découplage », ce dernier dépendant du type d'équations différentielles « couplées » présentes dans le système ;
aussi va-t-on simplement exposer des exemples de système d'équations différentielles couplées et présenter un « découplage » adapté aux équations différentielles du système
le découplage, quand il est possible, pouvant d'ailleurs ne pas être unique
.
- ↑ 3,0 3,1 3,2 et 3,3 Chaque équation différentielle faisant intervenir une fonction particulière ainsi que ses dérivées dans un 1er membre, l'autre fonction
seule, sans ses dérivées
apparaissant dans le 2nd membre, nous pouvons considérer chacune des équations différentielles comme une équation différentielle en l'une des fonctions, l'autre fonction intervenant dans le 2nd membre pouvant, par abus, être qualifiée d'« excitation »
- ↑ 4,00 4,01 4,02 4,03 4,04 4,05 4,06 4,07 4,08 et 4,09 Pour que chaque équation différentielle soit qualifiée de « linéaire », il faut qu'elle le soit relativement à chaque fonction, celle apparaissant dans le 1er membre et celle apparaissant dans le 2ème c.-à-d. dans l'« excitation ».
- ↑ 5,00 5,01 5,02 5,03 5,04 5,05 5,06 5,07 5,08 5,09 5,10 5,11 5,12 et 5,13 Combinaison(s) Linéaire(s).
- ↑ La valeur
avait été interdite pour former le quotient
, si sa possibilité réapparaît elle nécessiterait
mais
;
la valeur
interdite pour former le quotient
l'est toujours, pour que sa possibilité réapparaisse il faudrait
pour avoir une forme indéterminée mais
.
- ↑ 7,0 7,1 et 7,2 L'hypothèse où
et
sont de même signe est suffisante pour que le discriminant
soit
.
- ↑ On rappelle que les solutions
suivent l'équation initiale
permettant une factorisation par
.
- ↑ 9,0 9,1 9,2 9,3 9,4 9,5 9,6 et 9,7 À un facteur multiplicatif près car, ce qui est déterminé est
et non le couple
respectivement
et non le couple
, il est possible de choisir
et
ou
et
ou
un choix identique pour
et
pouvant être fait à partir de
- ↑ 10,0 10,1 10,2 et 10,3 L'hypothèse où
et
sont de signe contraire est nécessaire
mais non suffisante
pour que le discriminant
soit
.
- ↑ On rappelle que la solution double
suit l'équation initiale
permettant une factorisation par
.
- ↑ 12,0 12,1 12,2 12,3 et 12,4 À un facteur multiplicatif près car, ce qui est déterminé est
et non le couple
, il est possible de choisir
et
ou
et
ou
- ↑ On rappelle que
est définie à une constante multiplicative près, voir note « 12 »
.
- ↑ Pour que le découplage par C.L. soit possible il aurait fallu une 2ème équation différentielle indépendante mais la méthode par C.L. n'en fournit qu'une.
Toutefois cela ne signifie pas qu'un découplage est impossible mais qu'il ne peut être fait par C.L.
- ↑ 15,0 15,1 15,2 et 15,3 Voir le paragraphe « mise en pratique du découplage par combinaison linéaire » plus haut dans c e chapitre.
- ↑ 16,0 16,1 16,2 et 16,3 Voir le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre homogène sans terme du 1er ordre » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 17,0 17,1 17,2 et 17,3 En fait le facteur multiplicatif initialement introduit dans la définition des fonctions
et
à partir des fonctions initiales
et
peut être englobé dans les constantes d'intégration
et
- ↑ Pour achever le découplage du système d'équations différentielles on procède par substitution à partir de la relation de liaison entre les deux fonctions cherchées
- ↑ Comme l'excitation de la 2ème équation différentielle découplée hétérogène est
à la solution générale de la 1ère équation différentielle découplée homogène et que cette dernière dépend de deux constantes réelles arbitraires
, il semble malvenu de qualifier la solution particulière de la 2ème équation différentielle découplée hétérogène de « solution forcée », cette appellation nécessitant que la solution particulière soit cherchée de même forme que l'excitation, la forme de cette dernière n'étant pas fixée de façon unique car dépendant des deux constantes réelles arbitraires
.
- ↑ Voir les paragraphes « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou du 2ème ordre hétérogène », « recherche de la solution forcée (quand celle-ci existe) » et « cas de l'échec de la méthode de recherche de la solution forcée sinusoïdale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale, le polynôme caractéristique s'annulant pour la pulsation (spatiale) envisagée » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ On pouvait aussi utiliser
.
- ↑ 22,0 et 22,1 Voir le paragraphe « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou du 2ème ordre hétérogène » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 23,0 et 23,1 La pulsation de l'excitation étant égale à la pulsation propre de l'oscillateur, il n'y a pas de solution particulière de même forme que l'excitation, ce qui nécessite de chercher une solution particulière de forme
, voir le paragraphe « cas de l'échec de la méthode de recherche de la solution forcée sinusoïdale d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants hétérogène à excitation sinusoïdale, le polynôme caractéristique s'annulant pour la pulsation (spatiale) envisagée » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Laquelle est aussi applicable dans les deux autres cas ; il est néanmoins préférable, quand c'est possible, de conserver la méthode « par C.L. réelle », plus rapide.
- ↑ La méthode par substitution est rendue applicable car, dans l'équation différentielle couplée
en
l'autre fonction
apparaît proportionnellement une seule fois
de même, dans l'équation différentielle couplée
en
l'autre fonction
apparaît proportionnellement une seule fois
- ↑ 26,0 et 26,1 Donc découplée et indépendante.
- ↑ On aurait pu éliminer
à partir de l'équation différentielle
, on aurait obtenu l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène
donc découplée et indépendante
du 4ème ordre en
suivante «
»
il suffisait de permuter les indices «
» et «
» à partir de l'équation différentielle découplée et indépendante en
.
- ↑ 28,0 et 28,1 Voir le paragraphe « méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er (ou 2ème) ordre homogène » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » et son prolongement à la « recherche de quatre solutions particulières indépendantes d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 4ème ordre homogène ».
- ↑ 29,00 29,01 29,02 29,03 29,04 29,05 29,06 29,07 29,08 29,09 29,10 29,11 29,12 29,13 29,14 et 29,15 En physique un complexe est repéré par un soulignement de la variable le représentant.
- ↑ Le module commun étant
, on rappelle qu'un complexe en physique est repéré par le soulignement de sa variable.
- ↑ Dans la mesure où
est
, les arguments de
sont
voir le paragraphe « détermination de l'argument (à partir de la forme algébrique du complexe) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
;
dans la mesure où
est
, les arguments de
sont
voir le paragraphe « détermination de l'argument (à partir de la forme algébrique du complexe) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) »
.
- ↑ 32,0 32,1 et 32,2 Voir le paragraphe « cas où le cœfficient du terme d'ordre zéro est strictement positif (d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2ème ordre homogène sans terme du 1er ordre) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », méthode prolongée à une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 4ème ordre homogène sans terme du 3ème et 1er ordres.
- ↑ On aurait pu éliminer
à partir de l'équation différentielle
, on aurait obtenu l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène
donc découplée et indépendante
du 4ème ordre en
suivante «
».
- ↑ Pour déterminer l'argument du complexe voir le paragraphe « détermination de l'argument (à partir de la forme algébrique du complexe) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑
en effet posant
et
;
en effet posant
et
.
- ↑ 36,0 36,1 36,2 36,3 36,4 36,5 36,6 et 36,7 En effet
,
En effet
et
En effet
.
- ↑ 37,0 37,1 37,2 et 37,3 En effet
.
- ↑ 38,0 38,1 38,2 et 38,3 En effet
.
- ↑
et
suivant la même équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 4ème ordre homogène
donc découplée et indépendante
sans terme du 3ème et 1er ordres, il est donc logique de constater que
a la même forme que
, ces deux fonctions ne différant que par les constantes arbitraires achevant leur définition.
- ↑ Un découplage de trois équations différentielles couplées dépendant des trois fonctions cherchées
est qualifié de complet si on trouve un système de trois équations différentielles de trois nouvelles fonctions
dépendant des trois fonctions d'origine
, chaque équation différentielle ne faisant intervenir qu'une nouvelle fonction, le nouveau système étant équivalent au système initial
- ↑ C'est assez prévisible compte-tenu du caractère non linéaire des équations différentielles ;
en absence de découplage seule une résolution numérique est possible
- ↑ Si les deux fonctions
étaient identiquement nulles, les équations différentielles du système seraient immédiatement découplées car il ne resterait que l'équation
selon
.
- ↑ Il peut néanmoins exister des valeurs de
pour lesquelles
serait nulle, ces valeurs seraient alors à retirer du domaine de définition de la fonction
.
- ↑
correspondant à la fonction
identiquement nulle.
- ↑ En effet il suffit de multiplier de part et d'autre l'équation différentielle
par
et d'introduire
.
- ↑ 46,0 46,1 46,2 46,3 46,4 46,5 46,6 et 46,7 Chaque équation différentielle faisant intervenir une fonction particulière ainsi que sa dérivée 1ère dans un 1er membre, l'autre fonction
seule, sans ses dérivées
apparaissant dans le 2nd membre, nous pouvons considérer chacune des équations différentielles comme une équation différentielle en l'une des fonctions, l'autre fonction intervenant dans le 2nd membre pouvant, par abus, être qualifiée d'« excitation »
- ↑ Obtenu par distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle, voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle, 2ème propriété) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ La valeur
avait été interdite pour former le quotient
, si sa possibilité réapparaît elle nécessiterait
pour avoir une forme indéterminée mais
;
la valeur
interdite pour former le quotient
l'est toujours, pour que sa possibilité réapparaisse il faudrait
pour avoir une forme indéterminée mais
.
- ↑ 49,0 49,1 et 49,2 Voir le paragraphe « recherche d'une autre méthode de résolution quand le découplage par combinaison linéaire réelle a totalement échoué » plus haut dans le chapitre.
- ↑ C'est donc cette méthode de découplage qu'il faut privilégier et non la méthode de résolution « par substitution » laquelle s'avèrera toujours plus longue à mettre en œuvre que n'importe quelle méthode de découplage
.
- ↑ Condition pour que la méthode de découplage par combinaison linéaire complexe exposée dans ce paragraphe soit effectif.
- ↑ Cette combinaison linéaire complexe trouve sa justification dans l'échec matérialisé dans le paragraphe précédent « vérification de l'inapplicabilité de la méthode de combinaison linéaire réelle pour le découplage du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre couplées » ayant établi que
devait suivre l'équation algébrique
d'où l'absence de solution réelle et par suite l'absence de combinaison linéaire réelle possible mais
la présence de deux solutions opposées complexes
conduit à deux combinaisons linéaires complexes possibles dont nous avons sélectionné celle correspondant à
, plus précisément
et
.
- ↑ On rappelle que
.
- ↑ Ce Qu'il Fallait Établir.
- ↑ Voir le paragraphe « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou du 2ème ordre hétérogène » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », la méthode exposée dans
s'étendant sans aucune modification dans
;
pour la détermination de la solution libre, voir le paragraphe « méthode de recherche d'une (ou de deux indépendantes) solution(s) particulière(s) d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou du 2ème ordre homogène » du même chapitre et
pour celle de la solution forcée, voir le paragraphe « recherche de la solution forcée (quand celle-ci existe) » du même chapitre
- ↑ Voir le paragraphe « exemple d'un 1er ordre à excitation constante » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 57,0 et 57,1 Voir le paragraphe « résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ordre homogène » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ On a posé
.
- ↑ 59,0 et 59,1 En effet
d'où
et
.
- ↑ 60,0 et 60,1 Ce qu'il faut faire dans l'hypothèse où on ne voit pas la simplification de traitement consistant à multiplier haut et bas par le complexe conjugué du dénominateur.
Si
sont
la solution forcée de
se réécrit
et
Si
sont
celle de
se réécrit
;
si
est
avec
tous deux
,
s'écrit aussi
et par suite
si
est
avec
tous deux
, la solution forcée de
se réécrit
ou
si
est
avec
tous deux
, la solution forcée de
se réécrit
et
si
est
avec
tous deux
, celle de
se réécrit
ou
si
est
avec
tous deux
, celle de
se réécrit
;
si
sont
avec
,
s'écrit aussi
et par suite
si
sont
avec
, la solution forcée de
se réécrit
ou
si
sont
avec
, la solution forcée de
se réécrit
et
si
sont
avec
, celle de
se réécrit
ou
si
sont
avec
, celle de
se réécrit
;
si
est
avec
tous deux
,
s'écrit aussi
et par suite
si
est
avec
tous deux
, la solution forcée de
se réécrit
ou
si
est
avec
tous deux
, la solution forcée de
se réécrit
et
si
est
avec
tous deux
, celle de
se réécrit
ou
si
est
avec
tous deux
, celle de
se réécrit
;
si
sont
avec
,
s'écrit aussi
et par suite
si
sont
avec
, la solution forcée de
se réécrit
ou
si
sont
avec
, la solution forcée de
se réécrit
et
si
sont
avec
, celle de
se réécrit
ou
si
sont
avec
, celle de
se réécrit
;
si
sont
avec
,
s'écrit aussi
et par suite
si
sont
avec
, la solution forcée de
se réécrit
et
si
sont
avec
, celle de
se réécrit
.
La discussion sur la détermination de l'argument du complexe
est faite en utilisant les propriétés exposées dans le paragraphe « détermination de l'argument (d'un quotient de formes algébriques de complexes) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ 61,0 et 61,1 Pour terminer il convient de mettre en accord les résultats des notes « 59 » et « 60 » exposées plus haut dans ce paragraphe.
Si
sont
la solution forcée de
se réécrit
avec
voir la note « 60 »
d'où
Si
sont 
car
d'où
Si
sont 
en accord avec la note « 59 »
et
Si
sont
celle de
se réécrit
avec
voir la note « 60 »
d'où
Si
sont 
car
d'où
Si
sont 
en accord avec la note « 59 »
;
si
est
avec
tous deux
, la solution forcée de
se réécrit
où
si
est
avec
tous deux
, la solution forcée de
se réécrit
voir la note « 60 »
d'où
si
est
avec
tous deux
,
si
est
avec
tous deux
,
car
d'où
si
est
avec
tous deux
,
en accord avec la note « 59 »
et
si
est
avec
tous deux
, celle de
se réécrit
où
si
est
avec
tous deux
, celle de
se réécrit
voir la note « 60 »
d'où
si
est
avec
tous deux
,
si
est
avec
tous deux
,
car
d'où
si
est
avec
tous deux
,
en accord avec la note « 59 »
;
si
sont
avec
, la solution forcée de
se réécrit
avec
si
sont
avec
, la solution forcée de
se réécrit
voir la note « 60 »
d'où
si
sont
avec
,
si
sont
avec
,
car
d'où
si
sont
avec
,
si
sont
avec
,
en accord avec la note « 59 »
et
si
sont
avec
, celle de
se réécrit
avec
si
sont
avec
, celle de
se réécrit
voir la note « 60 »
d'où
si
sont
avec
,
si
sont
avec
,
car
d'où
si
sont
avec
,
si
sont
avec
,
en accord avec la note « 59 »
;
si
est
avec
tous deux
, la solution forcée de
se réécrit
où
si
est
avec
tous deux
, la solution forcée de
se réécrit
voir la note « 60 »
d'où
si
est
avec
tous deux
,
si
est
avec
tous deux
,
car
d'où
si
est
avec
tous deux
,
en accord avec la note « 59 »
et
si
est
avec
tous deux
, celle de
se réécrit
où
si
est
avec
tous deux
, celle de
se réécrit
voir la note « 60 »
d'où
si
est
avec
tous deux
,
si
est
avec
tous deux
, ![{\displaystyle \;\color {transparent}{\cos \!\left[\gamma +\delta '\right]=\cos(\gamma )\,\cos(\delta ')-\sin(\gamma )\,\sin(\delta ')=\cos(\gamma )\,\cos(\delta ')\left[1-\tan(\gamma )\,\tan(\delta ')\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c95adfad9817d9e26abd1fc5570ff828e95ae26d)
car
si
est
avec
tous deux
,
en accord avec la note « 59 »
;
si
sont
avec
, la solution forcée de
se réécrit
avec
si
sont
avec
, la solution forcée de
se réécrit
voir la note « 60 »
d'où
si
sont
avec
,
si
sont
avec
,
car
d'où
si
sont
avec
,
si
sont
avec
,
en accord avec la note « 59 »
et
si
sont
avec
, celle de
se réécrit
avec
si
sont
avec
, celle de
se réécrit
voir la note « 60 »
d'où
si
sont
avec
,
si
sont
avec
,
car
d'où
si
sont
avec
,
si
sont
avec
,
en accord avec la note « 59 »
;
si
sont
avec
, la solution forcée de
se réécrit
avec
voir la note « 60 »
d'où
si
sont
avec
,
si
sont
avec
,
car
d'où
si
sont
avec
,
si
sont
avec
,
en accord avec la note « 59 »
et
si
sont
avec
, celle de
se réécrit
avec
voir la note « 60 »
d'où
si
sont
avec
,
si
sont
avec
,
car
d'où
si
sont
avec
,
si
sont
avec
, celle de
se réécrit
en accord avec la note « 59 »
.
- ↑ Voir le paragraphe « exposé de la méthode de découplage par combinaison linéaire complexe du système particulier des deux équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants du 1er ordre couplées » plus haut dans ce chapitre.
- ↑ Mal adaptée.
- ↑ On aurait pu éliminer
à partir de l'équation différentielle
, on aurait obtenu
d'où par report dans l'équation différentielle
,
soit, en ordonnant et normalisant, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2ème ordre découplée et indépendante en
, hétérogène «
»
il suffisait de permuter les indices «
» et «
», changer
en
et permuter
et
à partir de l'équation différentielle découplée et indépendante en
.
- ↑ Voir les paragraphes « but recherché pour résoudre une équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 1er ou du 2ème ordre hétérogène », « recherche de la solution forcée (quand celle-ci existe) » et « recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2nd ordre homogène avec terme du 1er ordre en f(x) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « solution forcée de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2nd ordre hétérogène avec terme du 1er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « recherche de la solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2nd ordre homogène avec terme du 1er ordre en f(x) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « équation caractéristique de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2nd ordre homogène avec terme du 1er ordre en f(x) » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Lors de la résolution de l'équation algébrique du 2ème degré en
,
, le discriminant s'écrivant
est encore égal à
avec
définissant le discriminant réduit ; la discussion de l'existence de solutions réelles distinctes, de solution réelle double et de l'inexistence de solutions réelles portant sur le signe de
se reporte sans modification sur le signe de
.
- ↑ Lors de la résolution, dans
, de l'équation algébrique du 2ème degré en
,
, les solutions s'écrivent en utilisant le discriminant réduit
voir la note « 67 » plus haut dans ce chapitre
:
, cela résulte de
.
- ↑ Voir le paragraphe « cas où le discriminant Δ est négatif, solution libre pseudo-périodique » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
- ↑ Voir le paragraphe « solution générale de l'équation différentielle linéaire à cœfficients constants du 2nd ordre hétérogène avec terme du 1er ordre en f(x), dans le cas d'une excitation constante » du chap.
de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».