En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Transformées bilatérales de Laplace directes et inverses, cas particulier des transformées de Fourier Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Transformées bilatérales de Laplace directes et inverses, cas particulier des transformées de Fourier », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Transformée (bilatérale) de Laplace (sous condition d'existence) d'une fonction réelle « non causale » d'une variable réelle[modifier | modifier le wikicode]
Soit une fonction réelle « non causale »[3] de la variable réelle ayant les propriétés suivantes :
« la fonction est continue par morceaux sur tout intervalle et »[4],[5],[6],
« au voisinage de , tels que » et
« la fonction est “ d'ordres exponentiels ” avec et en étant » « vériifiant tel que , et »[7].
Définition de la transformée (bilatérale) de Laplace de la fonction « non causale » g(t) ci-dessus[modifier | modifier le wikicode]
Définition
La transformée bilatérale de Laplace[1] de la fonction « non causale »[3], continue par morceaux sur toute réunion d'intervalles [4],[5],[6], intégrable au [8] ainsi que « d'ordres exponentiels »[9] est la fonction de la variable complexe [10] définie par
«»[11] définie pour « tel que », étant « l'intervalle de convergence »[12] ; on dit encore que est l'« image de » par transformation bilatérale de Laplace[1].
Remarques : On prolonge la définition de la transformée bilatérale de Laplace[1] d'une fonction à celle d'une distributionla distribution devant être telle que l'intégrale de définition[13] de sa transformée de Laplace[1] converge[14]mais aussi à celle d'une hyperfonction[15] que nous ne ferons que citer car dépassant très largement le cadre de cet exposé ;
Remarques : en physique la transformée bilatérale de Laplace[1] n'est quasiment pas utilisée, on lui préfère la transformation monolatérale de Laplace[1], raison pour laquelle on introduit la même notation pour les deux, toutefois, dans le cas où les deux transformations apparaitraient dans le même exposé, nous noterons la transformation bilatérale et la transformation monolatérale.
Exemple[16] : Soit la fonction réelle « non causale »[3] de la variable réelle définie sur telle que « où est la fonction de Heaviside[17]ou échelon unité», la transformée bilatérale de Laplace[1] de la fonction vaut « pour »[18] Exemple : en effet le calcul conduit à «»[11].
Rappel de la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction « causale » f(t) (sous condition d'existence)[modifier | modifier le wikicode]
« la fonction est “ d'ordre exponentiel ” avec », « tels que et »[22].
Définition de la transformée (monolatérale) d'une fonction « causale » f(t) (sous condition d'existence)
La transformée monolatérale de Laplace[1] de la fonction « causale »[20],[23], continue par morceaux sur tout intervalle [4], intégrable au [24] et « d'ordre exponentiel »[25] est la fonction de la variable complexe [10] définie par
«»[11] définie pour « tel que », étant appelée l'« abscisse de convergence » ; on dit encore que est l'« image de » par transformation de Laplace[1].
Remarques : On prolonge la définition de la transformée monolatérale de Laplace[1] d'une fonction à support positif[26] à celles
Remarques : On prolonge la définition de la transformée monolatérale de Laplace d'une fonction à support positif étendu à gauche de c'est-à-dire de support où est un voisinage ouvert à gauche de , borné inférieurement, et tel que la restriction de la fonction au complémentaire de dans ce voisinage est une fonction indéfiniment dérivable[27] et
Remarques : On prolonge la définition de la transformée monolatérale de Laplace d'une distributionla distribution devant être telle que l'intégrale de définition[13] de sa transformée de Laplace[1] converge[28].
Écriture de la transformée monolatérale de Laplace de la fonction « causale » f(t) (sous condition d'existence) en transformée bilatérale de Laplace[modifier | modifier le wikicode]
Soit une fonction « causale » admettant comme « transformée monolatérale de Laplace[1]»[11] pour «, étant l'abscisse de convergence de la transformée monolatérale de Laplace[1] », remarquant que cette dernière s'écrit encore selon «»[11] dans laquelle est la fonction d'Heaviside[17], nous en déduisons «[11] avec »[29] c'est-à-dire la « transformée bilatérale de Laplace[1] de »[30] soit
«».
Quelques éléments sur la transformation (bilatérale) inverse de Laplace (sous condition d'existence) d'une fonction complexe holomorphe d'une variable complexe[modifier | modifier le wikicode]
Comme nous n'utilisons pas, par la suite, la transformation bilatérale de Laplace[1], nous nous contentons de quelques éléments sur sa transformation inverse.
Définition
La transformée bilatérale inverse de Laplace[1] de la fonction complexe de la variable complexe holomorphe sur son domaine de définition est la fonction réelle de la variable réelle , continue par morceaux sur toute réunion d'intervalles [31] telle que
«[11] pour tel que »[32], étant « l'intervalle de convergence » de la transformée bilatérale de Laplace[1] ; on dit encore que est l'«< originale de » par transformation bilatérale de Laplace[1] et on notera si .
Remarques : La transformation bilatérale inverse de Laplace[1] est une application linéaire et Remarques : pour un intervalle fixé de définition de , la transformée bilatérale inverse est uniqueadmis ;
Remarques : pour un intervalle fixé il est donc essentiel de préciser le domaine sur lequel on cherche l'originale de la fonction car, suivant l'intervalle de convergence, la fonction originale diffère :
Remarques : pour un intervalle fixé « pour , la fonction admet pour originale »[33], on note dans ce cas que la transformée bilatérale inverse de Laplace[1] s'identifie à la transformée monolatérale inverse de Laplace ref name="Laplace" /> soit «»,
Remarques : pour un intervalle fixé « pour , la fonction admet pour originale »[34], on note dans ce cas que la transformée bilatérale inverse de Laplace[1] définie en est l'opposée de la transformée monolatérale inverse de Laplace[1] définie en soit «».
Remarques : Il y a d'autres propriétés de la transformée bilatérale inverse de Laplace[1] comme par exemple sa méthode analytique de détermination, mais nous n'en dirons rien car dépassant très largement le cadre de cet exposé
Quelques notions sur la transformation de Fourier, cas particulier de la transformation bilatérale de Laplace, lien avec le développement en série de Fourier de fonctions réelles périodiques[modifier | modifier le wikicode]
Définition de la transformée de Fourier d'une fonction réelle d'une variable réelle intégrable[modifier | modifier le wikicode]
Transformée de Fourier d'une fonction réelle d'une variable réelle intégrable
Soit une fonction réelle de la variable réelle intégrable sur [35], nous appelons « transformée de Fourier[36] de la fonction » la fonction complexe de la variable réelle définie par
Remarque 1 : Pour les électroniciens « la variable représente le temps » et « la variable la pulsation qu'ils préfèrent usuellement remplacer par la variable représentant la fréquence »[37] d'où la réécriture de l'expression de la « transformée de Fourier[36] en fonction de »[38]
Remarque 1 : pour obtenir une symétrisation entre la transformée de Fourier[36] et sa transformée de Fourier[36] inverse, « certains électroniciens normalisent quand elle est exprimée en fonction de la pulsation » de la façon suivante
Remarque 2 : La définition de la transformée de Fourier[36] des fonctions intégrables au sens de Riemann[40] a été d'abord été étendue Remarque 2 : La définition de la transformée de Fourier aux fonctions intégrables au sens de Lebesgue[41]pour qu'une fonction réelle soit Lebesgue-intégrable sur l'intervalle il n'est pas nécessaire qu'elle soit continue par morceaux comme l'exige une fonction Riemann-intégrable, il suffit qu'elle soit bornée sur cet intervalle et en particulier Remarque 2 : La définition de la transformée de Fourier aux fonctions de carré sommable dont l'intérêt s'est manifesté en physique quantique, extension due à Plancherel[42] puis Remarque 2 : La définition de la transformée de Fourier aux distributions tempérées[43], théorie de la distribution due à Schwartz[44].
Remarque 3 : Si la fonction ou distribution de la variable réelle est « causale »[20] et intégrable sur [45],[46], la transformée de Fourier[36] se simplifie en
La transformation de Fourier, un cas particulier de la transformation bilatérale de Laplace[modifier | modifier le wikicode]
« Une fonction réelle de la variable réelle qui admet une transformation de Fourier »[36] « Une fonction réelle de la variable réelle « étant intégrable sur [35] l'est aussi au »[24] en étant « d'ordres exponentiels »[47] et par conséquent « cette fonction admet une transformée bilatérale de Laplace[1] avec un intervalle de convergence se réduisant au singleton » soit
cette dernière condition entraînant que « la variable peut être réécrite sous la forme » ; en conclusion
« avec »[11] s'identifie à « avec »[11] ou « en posant » on a «» avec «» et «».
Remarque 1 : Si on définit la transformée de Fourier[36] «» sous forme normalisée selon «»[11], son lien avec la transformée bilatérale de Laplace[1] «» s'écrit «».
Remarque 2 : Il est aussi possible de trouver un lien entre la transformée de Fourier[36] «» de la fonction et les transformées monolatérales de Laplace[1] de fonctions construites à partir de en décomposant la transformée de Fourier[36] en deux intégrales selon «»[11], Remarque 2 : la 2ème intégrale «»[11] étant la transformée monolatérale de Laplace[1] de la « fonction à support positif » soit «[11] pour » et Remarque 2 : la 1èreintégrale «»[11] se réécrivant, avec , selon «»[11] étant la conjuguée de la transformée monolatérale de Laplace[1] de la « fonction à support positif » la transformée monolatérale de Laplace[1] de étant «[11] pour » soit «»[11] s'identifiant à «[11] pour »[48] Remarque 2 : d'où la réécriture de la transformée de Fourier[36] «» de la fonction
Remarque 3 : « Si la fonction réelle de la variable réelle admet une transformée de Fourier[36]», « cette dernière est un cas particulier de transformée bilatérale de Laplace[1] de cette même fonction » mais la réciproque est, a priori, fausse en effet Remarque 3 : « une fonction réelle de la variable réelle admettant une transformée bilatérale de Laplace[1] avec un intervalle de convergence » n'admet pas de transformée de Fourier puisque [11] divergeant pour [11] diverge également.
Préliminaire : Une fonction réelle de la variable réelle intégrable sur admet pour « transformée de Fourier[36] une fonction complexe de la variable réelle , à symétrie hermitienneau sens des électroniciens»[49] en effet Préliminaire : «»[11], en posant , se réécrit «»[11] dont le conjugué est «»[11] lequel, en revenant à , se réécrit «» c'est-à-dire que la transformée de Fourier[36] d'une fonction réelle est effectivement à symétrie hermitienneau sens des électroniciens[49].
Définition de la transformée de Fourier inverse (sous condition d'existence) d'une fonction complexe à symétrie hermitienne (au sens des électroniciens) d'une variable réelle[modifier | modifier le wikicode]
Transformée de Fourier inverse d'une fonction complexe holomorphe à symétrie hermitienne (au sens des électroniciens) d'une variable réelle
La « transformée de Fourier[36] inverse de la fonction complexe à symétrie hermitienne au sens des électroniciens[49] de la variable réelle holomorphe sur son domaine de définition » est, sous condition d'existence, la « fonction réelle de la variable réelle intégrable sur » telle que
Remarque : La définition de la transformée de Fourier[36] inverse d'une fonction complexe d'une variable réelle à symétrie hermitienne au sens des électroniciens[49]holomorphe sur le domaine de définition de la fonction complexe, correspondant initialement à Remarque : La définition de la transformée de Fourier inverse une fonction réelle intégrable sur [51] est prolongée en tant que Remarque : La définition de la transformée de Fourier inverse une distribution tempérée[43]sous réserve d'existence bien sûr.
Expression de la transformée de Fourier inverse d'une fonction complexe à symétrie hermitienne (au sens des électroniciens) d'une variable réelle sous conditions d'existence et d'intégrabilité[modifier | modifier le wikicode]
« Si la fonction complexe à symétrie hermitienne au sens des électroniciens[49] de la variable réelle et holomorphe sur son domaine de définition » est « la transformée de Fourier[36] d'une fonction réelle de la variable intégrable sur » et « si est elle-même une fonction intégrable », on admet la formule de « transformation de Fourier[36] inverse » appliquée à et permettant sous conditions appropriées de retrouver l'originale à partir de :
Remarque 1 : Pour les électroniciens « la variable représente le temps » et « la variable la pulsation qu'ils préfèrent usuellement remplacer par la variable représentant la fréquence »[37] d'où la réécriture de l'expression de la « transformée de Fourier[36] inverse en fonction de »[52]
«»[53],[11] «»[11], l'utilisation de la variable ayant pour conséquence une symétrisation entre transformées de Fourier[36] directe et inverse ;
Remarque 1 : pour obtenir une symétrisation entre transformées de Fourier[36] directe et inverse en utilisant la variable , certains électroniciens normalisent la 1ère en introduisant un facteur , on retrouve alors ce même facteur dans l'expression de la transformée de Fourier[36] inverse selon
Remarque 2 : La notion de fréquence n'ayant pas de signification physique alors que la transformée de Fourier[36] d'une fonction ou distribution réelle de la variable réelle est définie pour toute valeur de selon «»[38],[11], nous allons Remarque 2 : utiliser la propriété de symétrie hermitienne au sens des électroniciens[49] de à savoir «» pour réécrire l'expression de la transformée de Fourier[36] inverse de en utilisant uniquement les fréquences : Remarque 2 : l'expression de la transformée de Fourier[36] inverse de s'écrivant «»[11]voir remarque 1 ci-dessus se décompose tout d'abord en une somme de deux intégrales généralisées, l'une sur les fréquences et l'autre sur les fréquences selon «»[11] puis Remarque 2 : transformer la 1ère intégrale généralisée «»[11] en posant «»[11] et Remarque 2 : transformer la 1ère intégrale généralisée «» en utilisant la propriété de symétrie hermitienne au sens des électroniciens[49] de «» «»[11] d'où Remarque 2 : la réécriture de selon «»[11] ou Remarque 2 : l'intégrande[54] de la dernière intégrale généralisée étant la somme d'un complexe et de son conjugué «», l'expression de la transformée de Fourier[36] inverse de se réécrit, en utilisant uniquement les fréquences , selon
Lien entre transformée de Fourier d'une fonction réelle et développement en série de Fourier quand cette fonction réelle est périodique[modifier | modifier le wikicode]
Tableau comparatif entre transformée de Fourier[36] d'une fonction réelle et 3ème développement en série de Fourier[36] d'une fonction réelle périodique[55] :
Expression d'une fonction réelle à l'aide de sa transformée de Fourier[36] et évaluation de la transformée de Fourier[36] relativement à la fonction réelle
3ème développement en série de Fourier[36] d'une fonction réelle périodique et évaluation des cœfficients du développement à l'aide de la fonction réelle
étant une fonction réelle intégrable ainsi que ; on ajoute les composantes élémentaires en intégrant sur la fréquence généralisée de à ;
étant une fonction réelle -périodique ; on ajoute tous les harmoniques généralisés de fréquence généralisée pour entier relatif de à ;
; on ajoute toutes les grandeurs élémentaires en intégrant sur de à ;
; on ajoute toutes les grandeurs élémentaires en intégrant sur de à et en divisant par ;
représentée en fonction de définit un spectre d'amplitude du signal et ce spectre est continu ;
représentée en fonction de définit un spectre d'amplitude du signal et ce spectre est discret.
↑ 1,001,011,021,031,041,051,061,071,081,091,101,111,121,131,141,151,161,171,181,191,201,211,221,231,241,251,261,271,281,291,301,31 et 1,32Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) mathématicien, astronome et physicien français, à qui on doit des contributions fondamentales dans différents champs des mathématiques, de l'astronomie et de la théorie des probabilités ; dans le domaine de la physique pratique on lui doit la théorie de l'attraction capillaireexpliquant ce qui se passe dans les tubes capillaires ou dans les bulles d'air d'un liquide ainsi que la raison expliquant pourquoi le calcul de Newton sur la vitesse du son sous-estime cette dernière. Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimalpartagée de façon plus ou moins indépendante avec Gottfried Leibniz ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton. Gottfried Leibniz (1646 - 1716) entre autres philosophe, scientifique, mathématicien allemand dont la contribution principale, dans le domaine mathématique, est l'invention du calcul infinitésimalcalcul différentiel et calcul intégral dont la paternité doit être partagée avec Isaac Newton.
↑Leonhard Euler (1707 - 1783) mathématicien et physicien suisse qui passa la plus grande partie de sa vie dans l'Empire russe et en Allemagne ; en mathématiques il fit d'importantes découvertes dans des domaines aussi variés que le calcul infinitésimal et la théorie des graphes, il introduisit également une grande partie de la terminologie et de la notation des mathématiques modernes, en particulier pour l'analyse mathématique, comme la notion de fonction mathématique ; il est aussi connu pour ses travaux en mécanique, en dynamique des fluides, en optique et en astronomie.
↑ 3,03,1 et 3,2 Ou encore « à support non positif », le support d'une fonction numérique étant la partie du domaine de définition où elle n'est pas nulle, on suppose qu'elle est non nulle pour des valeurs de la variable négatives.
↑ 6,06,1 et 6,2 Elle n'est donc pas nécessairement définie pour .
↑ C.-à-d. que la fonction est majorée par et ceci ; pour concrétiser supposns et , le fait que soit “ d'ordres exponentiels ” signifie que
est majorée par la contrainte la plus difficile à satisfaire étant pour en particulier, quand , il faut que plus rapidement au sens large que et
est majorée par la contrainte la plus difficile à satisfaire étant pour en particulier, quand , il faut que plus rapidement au sens large que .
↑ C.-à-d. au voisinage de , la « condition d'existence de et de » étant « tels que » ; on en conclut qu'il n'existe pas de transformée bilatérale de Laplace de la fonction puisqu'elle ne respecte pas cette condition.
↑ Un exemple de fonction ne respectant pas cette condition est , on en conclut qu'il n'existe pas de transformée bilatérale de Laplace de la fonction .
↑ 10,0 et 10,1 Bien que soit complexe, l'usage veut qu'on ne l'écrive pas pour simplifier l'écriture.
↑ À ma connaissance il n'y a pas de nom donné à cet intervalle contrairement à dans la transformation monolatérale de Laplace qui est appelée « abscisse de convergence » ; par contre la bande engendrée dans le plan complexe par la condition porte le nom de « bande de convergence ».
↑ Ceci nécessitant que où est la distribution et un réel quelconque soit une distribution tempéréeniveau BAC + 3 comme par exemple une distribution à support compactle support d'une distribution étant le plus petit fermé en dehors duquel la distribution est nulle, ce support est compact si tout recouvrement par des ouverts se fait avec un nombre fini d'ouverts, par exemple le pic de Dirac d'impulsion unité voir le paragraphe « pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » a pour support le singleton , évidemment compact puisque recouvert par un ouvert quelconque contenant le singleton, et par exemple la distribution a également pour support le singleton évidemment compact et ceci pour tout ; on peut donc définir la transformée bilatérale de Laplace du pic de Dirac d'impulsion unité, son « intervalle de convergence » étant . Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz (1915 - 2002) dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger. Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantiqueconnu sous le nom de mécanique ondulatoire ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en et connue sous le nom chat de Schrödinger. Werner Karl Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, ayant obtenu le prix Nobel de physique en pour la création de la mécanique quantique, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène. Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique. Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, voir la note « 17 » plus loin dans ce chapitre pour plus de détails.
↑ Le domaine des hyperfonctions essentiellement créé par Mikio Satō généralise celui des distributions dont Laurent Schwartz est le principal artisan ; alors que le domaine de définition d'une distribution est l'axe des réels ou un ouvert de cet axe des réels, son domaine de valeurs étant dans , alors que le domaine de déf celui d'une hyperfonction est aussi l'axe des réels ou un ouvert de cet axe des réels, mais son domaine de valeurs est dans ou le voisinage complexe de l'ouvert de définition privé de ce dernier Mikio Satō (né en 1928) est un mathématicien japonais dont les travaux sont essentiellement du domaine de l'analyse algébrique. Laurent Schwartz (1915 - 2002) est un mathématicien français à qui on doit la théorie des distributions qui permit une description rigoureuse de la notion de pic de Dirac d'impulsion unité
↑ Un seul exemple car d'une part la transformation bilatérale de Laplace n'est quasiment pas utilisée dans le domaine de la physique et Un seul exemple car d'autre part cette transformation bilatérale de Laplace acquiert un intérêt dans le domaine des hyperfonctions qui dépasse largement le cadre de cet exposé voir la note 15 plus haut dans ce chapitre pour quelques menus détails supplémentaires
↑ 17,0 et 17,1Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, ayant commencé sa carrière en tant qu'opérateur de télégraphie, développé de façon intuitive le calcul opérationnel pour résoudre des équations différentielles en les transformant en équations algébriques, travaillé sur la propagation des courants électriques dans des conducteurs et développé la fonction portant son nom encore appelée échelon ou marche utilisée dans l'étude de systèmes en automatique.
↑ L'intervalle de convergence de la transformée bilatérale de Laplace de étant «» et .
↑ Le support d'une fonction numérique étant la partie du domaine de définition où elle n'est pas nulle, la fonction est ici dite « à support positif » a priori il s'agit de positif au sens large.
↑ 20,020,120,2 et 20,3 En supposant que la fonction traduise les effets d'une cause qui ce serait produite à l'instant , les effets ne pouvant se produire qu'à un instant postérieur à l'instant de la création de la cause, les valeurs de la fonction pour tout sont alors effectivement nulles ; par généralisation on maintient le qualificatif « causal » même si la fonction ne traduit pas les effets d'une cause.
↑ Ainsi peut être fini, ou Ainsi n'avoir aucune limite quand en restant de valeur absolue bornée comme ou même Ainsi avoir une limite infinie à condition que son équivalent soit de la forme avec tous deux .
↑ C.-à-d. à support positif voir précision dans la note « 19 » plus haut dans ce chapitre.
↑ 24,0 et 24,1 C.-à-d. au voisinage de , la « condition d'existence de » est « tels que » ; on en conclut, par exemple, qu'il n'existe pas de transformée monolatérale de Laplace de la fonction puisqu'elle ne respecte pas cette condition.
↑ Un exemple de fonction ne respectant pas cette condition est , on en conclut qu'il n'existe pas de transformée monolatérale de Laplace de la fonction .
↑ Sous condition d'existence de transformée de Laplace.
↑ Alors que pour une fonction à support positif, pour une fonction à support , .
↑ Ceci nécessitant que où est la distribution et un réel quelconque soit une distribution tempéréeniveau BAC + 3 comme par exemple une distribution à support compactle support d'une distribution étant le plus petit fermé en dehors duquel la distribution est nulle, ce support est compact si tout recouvrement par des ouverts se fait avec un nombre fini d'ouverts, par exemple le pic de Dirac d'impulsion unité voir le paragraphe « pic de Dirac d'impulsion unité et son lien avec l'échelon unité (ou fonction d'Heaviside) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » a pour support le singleton , évidemment compact puisque recouvert par un ouvert quelconque contenant le singleton, et par exemple la distribution a également pour support le singleton évidemment compact et ceci pour tout ; par exemple on peut donc définir la transformée monolatérale de Laplace du pic de Dirac d'impulsion unité, son abscisse de convergence étant . Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en , on lui doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, il démontra l'équivalence physique entre la mécanique ondulatoire de Schrödinger et la mécanique matricielle de Heisenberg, deux présentations de la même mécanique quantique et enfin, pour les besoins du formalisme quantique, il inventa la notion, sans fondement mathématique précis, connue de nos jours sous le nom de distribution de Dirac et dont la description rigoureuse fut établie par le mathématicien français Laurent Schwartz (1915 - 2002) dans sa théorie des distributions ; Paul Dirac fut colauréat du prix Nobel de Physique en pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique, l'autre moitié du prix Nobel étant décernée à Erwin Schrödinger pour la formulation de l'équation d'onde dite de Schrödinger. Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887 - 1961) physicien, philosophe et théoricien scientifique autrichien est à l'origine du développement d'un des formalismes théoriques de la mécanique quantiqueconnu sous le nom de mécanique ondulatoire ; la formulation de l'équation d'onde connue sous le nom d'équation de Schrödinger lui a valu de partager le prix Nobel de physique en avec Paul Dirac lequel a été honoré pour la découverte de formes nouvelles et utiles de la théorie atomique ; on doit encore à Erwin Schrödinger l'expérience de pensée proposée à Albert Einstein en et connue sous le nom chat de Schrödinger. Werner Karl Heisenberg (1901 - 1976) physicien allemand, l'un des fondateurs de la mécanique quantique, ayant obtenu le prix Nobel de physique en pour la création de la mécanique quantique, dont l’application a mené, entre autres, à la découverte des variétés allotropiques de l'hydrogène. Albert Einstein (1879 - 1955), physicien théoricien d'origine allemande, devenu apatride en puis suisse en ; on lui doit la théorie de la relativité restreinte publiée en , la relativité générale en ainsi que bien d'autres avancées dans le domaine de la mécanique quantique et la cosmologie ; il a reçu le prix Nobel de physique en pour son explication de l'effet photoélectrique. Oliver Heaviside (1850 - 1925) physicien britannique autodidacte, voir la note « 17 » plus haut dans ce chapitre pour plus de détails.
↑ La fonction étant causale, le fait de la multiplier par ne modifie aucunement la condition de convergence de la transformée de Laplace pour les valeurs de et n'en introduit aucune pour celles de .
↑ L'« intervalle de convergence » de la transformée bilatérale de Laplace de est .
↑ Elle doit aussi être intégrable au c'est-à-dire au voisinage de , la condition d'existence de et de étant tels que et « d'ordres exponentiels » c'est-à-dire et en étant , tels que , .
↑ Si le domaine de définition de contient des valeurs de telles que alors, pour ces valeurs, ne peut pas être la transformée bilatérale inverse de Laplace de .
↑ En effet pour , doit quand ce qui nécessite que y soit nulle support de positif.
↑ En effet d'une part pour , doit quand réalisé si y est nulle support de négatif et En effet d'autre part «» si on change en il faut changer en pour conserver le comportement de à l'infini, étant lui-même changé en , soit «».
↑ 37,0 et 37,1 Physiquement une fréquence ou une pulsation étant toujours positive, il conviendrait de donner une signification à une fréquence ou une pulsation négative ; quand on transforme en , on constate que changer en revient à conserver la composante harmonique paire et à changer la composante harmonique impaire en son opposée d'où une signification possible que nous ne développerons pas plus.
↑ 38,0 et 38,1 La valeur de la transformée de Fourier est la même que ce soit la variable ou la variable mais la fonction est évidemment différente ; par abus et comme d'usage en physique nous adoptons la même lettre pour la fonction et la valeur d'où le maintien de quand la variable est .
↑ 39,0 et 39,1 Sans conséquence tant qu'on n'introduit pas le « produit de convolution de deux fonctions », ce qu'on ne fera pas.
↑Henri-Léon Lebesgue (1875 - 1941), mathématicien français, reconnu comme l'un des plus grands de la première moitié du XXème siècle, à qui on doit principalement sa théorie d'intégration publiée en et associée à la notion de « mesure de Lebesgue » prolongeant le concept intuitif de volume.
↑ 43,0 et 43,1 Un exemple de distribution tempérée est une distribution à support compact le support d'une distribution étant le plus petit fermé en dehors duquel la distribution est nulle, ce support est compact si tout recouvrement par des ouverts se fait avec un nombre fini d'ouverts, le pic de Dirac d'impulsion unité ayant pour support le singleton , évidemment compact puisque recouvert par un ouvert quelconque contenant le singleton, est une distribution tempérée, on peut donc définir la transformée de Fourier du pic de Dirac d'impulsion unité.
↑Laurent Schwartz (1915 - 2002) mathématicien français du XXème siècle qui reçut la médaille Fields en , pour la finalisation de la théorie des distributionsinitiée par Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984) physicien et mathématicien britannique, colauréat du prix Nobel de physique en , à qui on doit des avancées cruciales dans le domaine de la mécanique statistique et de la physique quantique des atomes, et qui, pour les besoins du formalisme quantique, inventa la notion, sans fondement mathématique précis, de distribution de Dirac ; outre un très grand mathématicien, Laurent Schwartz fut un ardent défenseur des droits de l'homme, dénonçant la torture pratiquée pendant la guerre d'Algérie, ayant été l'un des fondateurs du comité “ Maurice Audin ” Maurice Audin (1932 - 1957) mathématicien français, militant de l'indépendance algérienne, arrêté par les militaires français le 11 juin 1957 pendant la bataille d'Alger et maintenu en détention pour être interrogé par des parachutistes, ayant organisé la soutenance de thèse de Maurice Audin en l'absence de ce dernier dans le grand amphithéâtre de la Sorbonne en décembre 1957, alors que le chercheur et militant anti-colonialiste avait disparu depuis juin 1957 et, apprit-on plus tard, était mort sous la torture lors de sa détention ; ses positions hostiles à la guerre d'Algérie et plus généralement à la colonisation lui valurent quelques déboires dans sa vie professionnelle.
↑ L'ensemble des réels positifs ou nuls est encore noté mais les mathématiciens utilisent .
↑ C.-à-d. que tels que assurant que la fonction est d'ordre exponentiel du côté de d'une part et C.-à-d. que tels que assurant que la fonction est d'ordre exponentiel du côté de d'autre part.
↑ 49,049,149,249,349,449,5 et 49,6 Une fonction complexe d'une variable réelle est « à symétrie hermitienne au sens des électroniciens» « si avec conjugué de » ; il s'agit d'un prolongement des électroniciens de la notion « symétrie hermitienne » d'une forme sesquilinéaireappliquant où est un espace vectoriel dans selon si sesquilinéaire à gauche cette dernière étant à symétrie hermitienne si , il s'agit d'un le prolongement de la « symétrie hermitienne » à la fonction complexe de la variable réelle traduisant que est de « module pair » et d'« argument impair », ce qui n'a qu'un rapport lointain avec la « symétrie hermitienne » d'une forme sesquilinéaire d'où l'ajout « au sens des électroniciens ». Charles Hermite (1822 - 1901) mathématicien français connu pour ses travaux sur la théorie des nombres, les formes quadratiques, les polynômes othogonaux, les fonctions elliptiques et les équations différentielles, il fut aussi l'un des 1ers à utiliser les matrices ; le qualificatif « hermitien » donné à certaines entités mathématiques l'a été pour lui rendre hommage.
↑ On peut dire encore que est l'« originale de » par transformation de Fourier, même si cet emploi est peu utilisé.
↑ La valeur de la transformée de Fourier inverse est la même que ce soit la variable ou la variable mais la fonction est évidemment différente ; par abus et comme d'usage en physique nous adoptons la même lettre pour la fonction et la valeur d'où le maintien de quand la variable est .
↑ Voir le paragraphe « 3ème développement en série de Fourier d'une fonction réelle périodique » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
![{\displaystyle \;\left]0\,;\,t_{0}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b2d44f989e9f1160dd0718b3c67f66047cb7a7)
![{\displaystyle \;\exists \;\gamma \in \left]0\,;1\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e0d11ddac42795119352f596e2b554337606479)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,0}\left[t^{\gamma }\;\vert g(t)\vert \right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a88aa14b044a8a61874e70cb05275825cba7121e)
![{\displaystyle \;\left[t_{1}\,;\,0\right[\cup \left]0\,;\,t_{2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a376f52da6d9748fcd96a9680ef95fd5669a094f)
![{\displaystyle \;\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b56711152feb365e2fbfdfb696d891b41c8d3033)
![{\displaystyle \;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace g(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{-\infty }^{0^{-}}\exp(-p\,t)\;g(t)\;dt=\displaystyle \int _{-\infty }^{0^{-}}\exp(-p\,t)\;dt=\left[{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\right]_{-\infty }^{0^{-}}=-{\dfrac {1}{p}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42e4d9b165e35cf735b3e855fe20e440f615ec02)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,0}\left[t^{\gamma }\;\vert f(t)\vert \right]=0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a27dc0eb564a89e617b8c7b0f0f7aec36cded4c)
![{\displaystyle \;\Re (p)\in \left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b9f90f8e7d1cbd933728a83bd7535b761a0e933)
![{\displaystyle \;\color {transparent}{\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01ae8afe42bc6f8a6d47f2a2883158f9bfefb26c)
![{\displaystyle \;\left[a\,,\,b\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e662cbb3524d4dac1a701e16aa992c45756fa1b)
![{\displaystyle \;F(p)=\left[\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp \!\left(-p\;t\right)\;f(t)\,dt\right]_{\Re (p)\,=\,0}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11ca9f01754ccd9d566b810bdfd09b2458f8b548)
![{\displaystyle \;{\mathcal {L}}_{+}\!\left\lbrace f^{+}(t)\right\rbrace \left[p\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/161a71e84f3c64b0a009cd15342ab76119b79480)
![{\displaystyle \;{\mathcal {L}}_{+}\!\left\lbrace f^{-}(t')\right\rbrace \left[p\right]=\displaystyle \int _{0}^{+\infty }f^{-}(t')\;\exp \!\left(-p\;t'\right)\,dt'\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9605825f95d0eae876e1ff785a11214fccb874c1)
![{\displaystyle \;\left\lbrace {\mathcal {L}}_{+}\!\left[f^{-}(t')\right]\left(p\right)\right\rbrace ^{*}=\displaystyle \int _{0}^{+\infty }f^{-}(t')\;\exp \!\left(-p^{*}\;t'\right)\,dt'\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f67456c98f2a7dd4467f45b977b456e63a80c6c)
![{\displaystyle \;{\mathcal {F}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace \left[\omega \right]={\mathcal {L}}_{+}\!\left[f^{+}(t)\right]\left(p\right)+\left\lbrace {\mathcal {L}}_{+}\!\left[f^{-}(t)\right]\left(p\right)\right\rbrace ^{*}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db9937074d0da98ddb3830b6c766f7fa4c127202)
![{\displaystyle \;{\mathcal {F}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace \left[\omega \right]={\mathcal {L}}_{+}\!\left\lbrace f^{+}(t)\right\rbrace \left[i\,\omega \right]+{\mathcal {L}}_{+}\!\left\lbrace f^{-}(t)\right\rbrace \left[-i\,\omega \right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd8e1554d3f716d7d5c6caa5559eaca5a31699d7)
![{\displaystyle \;\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[\;{\cancel {\ni }}\;0\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ced55603778c282c759fb699fb8f7ab8e8492766)
![{\displaystyle \;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace g(t)\right\rbrace \!\left[p\right]=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp(-p\,t)\;g(t)\;dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c89e2f837da1bba55ef382cbfe2641f80546dc0)
![{\displaystyle \;\Re (p)=0\;{\cancel {\in }}\;\left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68a746a82f594933a58dcf461c104b627e49e1cf)
![{\displaystyle \;{\mathcal {F}}\!\left\lbrace g(t)\right\rbrace \!\left[\omega \right]=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\exp(-i\;\omega \,t)\;g(t)\;dt\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0af4c58694798599ffc3711eb4bde0f788a651ac)
![{\displaystyle \;\left[{\widehat {f}}(-\omega )\right]^{*}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3d134ff2d19fa71a55b182d5d0134587c3d3ab8)
![{\displaystyle \;\left[{\widehat {f}}(-\omega )\right]^{*}=\displaystyle \int _{+\infty }^{-\infty }f(t)\;\exp(-i\,\omega \,t)\;(-dt)=\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(t)\;\exp(-i\,\omega \,t)\;dt={\widehat {f}}(\omega )\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a9c5f84aeefbf6189913bd4108a7b5d26f9fe34)
![{\displaystyle \;{\widehat {f}}(-\nu )=\left[{\widehat {f}}(\nu )\right]^{*}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a6846963ff2db5388add319c2b292aa576a7161)
![{\displaystyle \left[{\widehat {f}}(\nu )\right]^{*}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac5244f688c41b756a6a0bada8be05c8b94a41e4)
![{\displaystyle \;\displaystyle \int _{-\infty }^{0}{\widehat {f}}(\nu ')\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu '\;t\right)\,d\nu '=\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\left[{\widehat {f}}(\nu )\right]^{*}\,\exp \!\left(-i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\,d\nu =\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\left[{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\right]^{*}\,d\nu \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db1c72f64bc31cc0ffa36e8420cd2e43fa5999f5)
![{\displaystyle \;f(t)=\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\left[{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\right]^{*}\,d\nu +\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\,d\nu =\displaystyle \int _{0}^{+\infty }\left\lbrace \left[{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\right]^{*}+{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\right\rbrace \,d\nu \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ae894516034e84eb708b1a33a7b749185dc134a)
![{\displaystyle \;f(t)=\displaystyle \int _{0}^{+\infty }2\;\Re \!\left[{\widehat {f}}(\nu )\;\exp \!\left(i\;2\,\pi \;\nu \;t\right)\right]\,d\nu \;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06f50a813b908515175700a76a4574c3250f2ff9)
![{\displaystyle \;f(t)=\sum \limits _{n\;\in \;\mathbb {Z} }^{-\infty \,{\text{à}}\,+\infty }\left[{\underline {C'}}_{n}\,\exp(i\,2\,\pi \,n\,\nu \,t)\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a25b3f129e0ec59b58a02ab0606c058c0a11c3a)
![{\displaystyle \;\exp \!\left(-2\;\vert t\vert \right){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94a3d74679e39689c7fc719e571d7f788d6f7454)
![{\displaystyle \;\exp \!\left(-t\right){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/625b066c419b71f21a0471f8d73733638b06aa13)
![{\displaystyle \;{\big [}\varepsilon \;\in \;{\mathcal {V}}(0^{+}){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e804abb71ba5489a9e627ef5cff3449c6385698)
![{\displaystyle \;{\big [}\varepsilon '\;\in \;{\mathcal {V}}(0^{-}){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91d77f0d5a6971ee6c8b869fe47a1474d7472e6d)
![{\displaystyle \;\in \left[\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f3134831a3f6f30f5383fc13e22deb17466a41d)
![{\displaystyle {\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6409e9848c1422eef16462fbeae301d8fa0f831)
![{\displaystyle \;\left]-\infty \,,\,+\infty \right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/589fa0609c5200de5ed598a25b62399a40be23ca)
![{\displaystyle \;\left[-\infty \,,\,+\infty \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51a8e0e0f96f9457837ffa0552065be18aad4eb1)
![{\displaystyle {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d63350d68291e3f56604a089e0e0b5a86c2472)
![{\displaystyle \;\left]-\infty \,,\,0\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49f7719c4e8173af7d8a1eddd361c8ea2c600b25)
![{\displaystyle \;\alpha _{2}=0{\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db5550e160e82c50c84cc7cff3254ee40f03f34e)
![{\displaystyle \;\sin \!\left({\dfrac {A}{t}}\right){\Big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b448e95743fafa1634eb5a67220b8af2c235c8a4)
![{\displaystyle \;\in \left]0\,,\,1\right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1af75b3c41364659913ee959d994d50e58f896d)
![{\displaystyle \;{\big [}\varepsilon \;\in \;{\mathcal {V}}(0){\big ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d27857fb8a2d137678d0592b2030bb66ff10cdda)
![{\displaystyle \;\exists \;\gamma \,\in \,\left]0\,;1\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f72b8d1a5fa36079a4fb33674b1a6b91792bb9c)
![{\displaystyle \;\left]\alpha \,,\,+\infty \right[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/564f666bfdf4e201825f5ecd0dffbc111fb388e7)
![{\displaystyle \;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,0}\left[t^{\gamma }\;\vert g(t)\vert \right]=0{\Big \}}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c114f31974c363f63021cbae2637c22fc4d8ded)
![{\displaystyle \;\vert \exp \!\left(-\beta \;t\right)\;g(t)\vert <M,\;\forall \tau >0\;{\text{et}}\;\left[{\begin{array}{c}\forall \;t>\tau \\{\text{et}}\\\forall \;t<-\tau \end{array}}\right]{\Bigg \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7ebc5746ef7c14394bf5a1a632341c4085abcd3)
![{\displaystyle \;\Re (p)\notin \left]\alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right[\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567fb6d03e11a63caba7afbb70e18948b1d94db0)
![{\displaystyle \;\beta '=-\beta {\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddc7b79f031c1d445a76cee1700cee874e1fa570)
![{\displaystyle \;{\underline {F}}(-\xi )=\left[{\underline {F}}(\xi )\right]^{*}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f3f30b316b1f13a79a337d94944a81c49b68f8)
![{\displaystyle \;\left[{\underline {F}}(\xi )\right]^{*}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/747848aa454fcff2d061e031e3ee18d81df9d85b)
![{\displaystyle {\Bigg ]}\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fec8b8fd9f86cffa472e3222e479a5bb62de37f)
![{\displaystyle \;{\underline {f}}(y\,,\,x)=\left[{\underline {f}}(x\,,\,y)\right]^{*}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d143dd4f823ec1993449448dc7a83419271662c9)
![{\displaystyle \;\mathrm {arg} \!\left[{\underline {F}}(-\xi )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3588e394274ac926daafe59b4f0fd4bef348d4a9)
![{\displaystyle =-\mathrm {arg} \!\left[{\underline {F}}(\xi )\right]\;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f38096f54f73059f20987718109a57843b7694ba)
