Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Transformées monolatérales de Laplace directes et inverses et leur utilisation

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     La transformation de Laplace a été nommée ainsi en l'honneur de Pierre-Simon Laplace pour son utilisation dans la théorie des probabilités qu'il a initiée, mais elle fut découverte par Leonhard Euler .

Transformée (monolatérale) de Laplace (sous condition d'existence) d'une fonction réelle d'une variable réelle

     Soit une fonction réelle $\;f\;$ de la variable réelle $\;t\;$ ayant les propriétés suivantes :

• « les valeurs de la fonction sont nulles pour $\;t<0\;$» ${\big (}$la fonction est alors qualifiée de « causale » ${\big )}$,
• « la fonction est continue par morceaux sur tout intervalle $\;\left]0\,;\,t_{0}\right]\;$» ,
• « au voisinage de $\;t=0$, $\;\exists \;\gamma \in \left]0\,;1\right[\;$ tels que $\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,0}\left[t^{\gamma }\;\vert f(t)\vert \right]=0\;$» et
• « la fonction est “ d'ordre exponentiel $\;\alpha \;$” avec $\;\alpha \,\in \,\mathbb {R} \cup \left\lbrace -\infty \right\rbrace \;$»
  « la fonction est “ d'ordre expo $\Updownarrow$
   «$\;\exists \;M>0\;$ tels que $\;\forall \,\beta \,\geqslant \,\alpha ,\;\;\vert \exp \!\left(-\beta \;t\right)\;f(t)\vert <M,\;\;\forall \,t>\tau \;$ et $\;\forall \,\tau >0\;$» .

Définition de la transformée (monolatérale) de Laplace de la fonction f(t) ci-dessus

Définition

     La transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de la fonction $\;f(t)$ « causale » ,
         La transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de la fonction $\;\color {transparent}{f(t)}$ « continue par morceaux sur tout intervalle $\;\left]0\,;\,t_{0}\right]\;$» ,
         La transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de la fonction $\;\color {transparent}{f(t)}$ « intégrable au $\;{\mathcal {V}}(0)\;$» et
         La transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de la fonction $\;\color {transparent}{f(t)}$ « d'ordre exponentiel $\;\alpha \;$»
         La transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de la fonction $\;\color {transparent}{f(t)}$ est la fonction $\;F\;$ de la variable complexe $\;p\;$ définie par «$\;F(p)={\mathcal {L}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$»
définie pour «$\;p\in \mathbb {C} \;$ tel que $\;\Re (p)>\alpha \;$», $\;\alpha \;$ étant appelée l'« abscisse de convergence » ;
on dit encore que $\;F(p)\;$ est l'« image de $\;f(t)\;$» par transformation de Laplace .

     Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace d'une fonction à support positif à celle
         Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace d'une fonction à support positif étendu à gauche de $\;0\;$ c.-à-d. de support $\;\left[0\,,\,+\infty \right[\;\cup \;{\mathcal {V}}(0^{-})\;$ $\;{\big \{}$avec $\;{\mathcal {V}}(0^{-})\;$
         Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace d'une fonction à support positif étendu à gauche de $\;\color {transparent}{0}\;$ un voisinage ouvert à gauche de $\;0$, borné inférieurement,
         Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace d'une fonction à support positif étendu à gauche de $\;\color {transparent}{0}\;$ telle que la restriction de la fonction à $\;\left[0\,,\,+\infty \right[^{\,C}\;$ dans
         Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace d'une fonction à support positif étendu à gauche de $\;\color {transparent}{0}\;$ $\;{\mathcal {V}}(0^{-})\;$ est une fonction indéfiniment dérivable ${\big \}}\;$ et
         Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace d'une distribution $\;{\big (}$telle que l'intégrale de définition de sa transformée de Laplace converge ${\big )}$.

Premiers exemples de transformée (monolatérale) de Laplace de quelques fonctions ou distributions usuelles

• « Fonction de Heaviside $\;{\big (}$ou échelon unité${\big )}$ $\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si}}\;t>0\\0\;{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{p}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» en effet le calcul conduit à
       « Fonction de Heaviside $\;\color {transparent}{\big (}$ou échelon unité$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si}}\;t>0\\0\;{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace }\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace Y(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;Y(t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;dt=\left[{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\right]_{0^{+}}^{+\infty }={\dfrac {1}{p}}\;$» .
• « Pic de Dirac d'impulsion unité $\;\delta (t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad {\text{si}}\;t>0\\+\infty \;\;\,{\text{si}}\;t=0\\0\qquad {\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace ={\dot {Y}}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \delta (t)\right\rbrace =1\;\;\forall \;\Re (p)\in \mathbb {R} \;$» en effet,
                   « Pic de Dirac d'impulsion unité $\;\color {transparent}{\delta (t)={\dot {Y}}(t)}\;$» si $\;\Re (p)\;$ est $\;>0$, on a «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \delta (t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;\delta (t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;{\dot {Y}}(t)\;dt\;$» donnant
                   « Pic de Dirac d'impulsion unité $\;\color {transparent}{\delta (t)={\dot {Y}}(t)}\;$» si $\;\color {transparent}{\Re (p)}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, on a «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \delta (t)\right\rbrace ={\cancel {\left[\exp(-p\,t)\;Y(t)\right]_{0^{-}}^{+\infty }}}-\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }-p\,\exp(-p\,t)\;Y(t)\;dt\;$ en intégrant par parties soit
                   « Pic de Dirac d'impulsion unité $\;\color {transparent}{\delta (t)={\dot {Y}}(t)}\;$» si $\;\color {transparent}{\Re (p)}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, on a «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \delta (t)\right\rbrace =p\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;dt\;$ $\;=p\left[{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\right]_{0^{+}}^{+\infty }=p\;{\dfrac {1}{p}}=1\;$» mais le résultat reste le même
                   « Pic de Dirac d'impulsion unité $\;\color {transparent}{\delta (t)={\dot {Y}}(t)}\;$» si $\;\Re (p)\;$ est $\;\leqslant 0$, ce qui s'établit en utilisant une autre démonstration que l'intégration par parties .
• « Fonction rampe $\;f_{\text{rampe}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\;t\;{\text{si}}\;t\geqslant 0\\0\quad {\text{si}}\;t\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{rampe}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {a}{p^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» en effet le calcul conduit à
  « Fonction rampe $\;\color {transparent}{f_{\text{rampe}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\;t\;{\text{si}}\;t\geqslant 0\\0\quad {\text{si}}\;t\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace }\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{rampe}}(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f_{\text{rampe}}(t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;a\;t\;dt\;$ donnant, en intégrant par parties
  « Fonction rampe $\;\color {transparent}{f_{\text{rampe}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\;t\;{\text{si}}\;t\geqslant 0\\0\quad {\text{si}}\;t\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace }\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{rampe}}(t)\right\rbrace ={\cancel {\left[{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\;a\;t\right]_{0^{-}}^{+\infty }}}-\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\;a\;dt\;$ $\;={\dfrac {a}{p}}\;\left[{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\right]_{0^{-}}^{+\infty }={\dfrac {a}{p^{2}}}\;$ dès lors que $\;\Re (p)\;$ est $\;>0\;$».

Principales propriétés des transformées (monolatérales) de Laplace

Théorème d'unicité des transformées (monolatérales) de Laplace

Début d’un théorème

Théorème d'unicité (admis)

     « Dans la mesure où elle existe, la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace d'une fonction $\;{\big (}$ou d'une distribution${\big )}\;$ est unique ».

Fin du théorème

Linéarité de la transformation (monolatérale) de Laplace

     Soient «$\;f_{1}(t)\;$ et $\;f_{2}(t)\;$ deux fonctions $\;{\big (}$ou distributions${\big )}\;$» admettant pour « transformées $\;{\big (}$monolatérales${\big )}\;$ de Laplace respectives $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f_{1}(t)\right\rbrace \;$ et $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f_{2}(t)\right\rbrace \;$», avec
     Soient «$\;\color {transparent}{f_{1}(t)}\;$ et $\;\color {transparent}{f_{2}(t)}\;$«$\;\alpha =\max \left\lbrace \alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right\rbrace \;$ la plus grande des abscisses de convergence » des deux transformées $\;{\big (}$monolatérales${\big )}\;$ de Laplace et
     Soient «$\;a\;$ un réel non nul quelconque »,
     on démontre les propriétés suivantes $\;{\big \{}$ces démonstrations utilisent la linéarité de l'intégration permettant de passer de la fonction $\;{\big (}$ou la distribution${\big )}\;$ à sa transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace ${\big \}}$ :
     on démontre les propriétés suivantes «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f_{1}(t)+f_{2}(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f_{1}(t)\right\rbrace +{\mathcal {L}}\left\lbrace f_{2}(t)\right\rbrace \;$» pour «$\;\Re (p)>\alpha \;$» et
     on démontre les propriétés suivantes «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace a\;f_{1}(t)\right\rbrace =a\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f_{1}(t)\right\rbrace \;$» pour «$\;\Re (p)>\alpha _{1}\;$» ou
     on démontre les propriétés suivantes «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace a\;f_{2}(t)\right\rbrace =a\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f_{2}(t)\right\rbrace \;$» pour «$\;\Re (p)>\alpha _{2}\;$».

Conséquence de la dérivation sur les transformées (monolatérales) de Laplace

     Soit $\;f(t)\;$ une fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$» avec
                         Soit $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ une fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt}\;$ «$\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$»,
     Soit $\;{\dot {f}}(t)\;$ la dérivée de la fonction $\;{\big (}$ou dérivée de la distribution ${\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;{\dot {f}}(t)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha '\;$»
               Soit $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ la dérivée de la fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou dérivée de la distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace avec «$\;\alpha '\;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace \;$»  ;

     nous établissons ci-après la propriété suivante

Influence de la dérivation sur la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction ou distribution

     Avec «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de la fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}$ $\;f(t)\;$»
         Avec «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }\;$ la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace d'« abscisse de convergence $\;\alpha \;$» et
     Avec «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace \;$ celle de la dérivée de la fonction $\;{\big (}$ou de la dérivée de la distribution ${\big )}$ $\;{\dot {f}}(t)\;$»
            Avec «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace }\;$ celle de la dérivée de la fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou de la dérivée de la distribution$\color {transparent}{\big )}$ d'« abscisse de convergence $\;\alpha '\;$ »,
     ces deux transformées de Laplace sont liées par la relation suivante : «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =p\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace -f(0^{-})\;$ pour $\;\Re (p)>\alpha \;$» si «$\;{\dot {f}}(t)\;$ diverge en $\;t=0\;$ »
ou
«$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =p\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace -f(0^{+})\;$ pour $\;\mathbb {R} (p)>\alpha \;$» si «$\;{\dot {f}}(t)\;$ converge en $\;t=0\;$ ».

     Démonstration : « pour calculer $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;{\dot {f}}(t)\;dt\;$ dans le domaine de validité de la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$» c.-à-d.
                 Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;{\dot {f}}(t)\;dt}\;$ dans le cas de «$\;\Re (p)>\alpha \;$ avec $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$»,
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace }\;$ dans l'hypothèse où «$\;{\dot {f}}(t)\;$ diverge en $\;t=0\;$», on intègre par parties $\Rightarrow$
          Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace }\;$ dans l'hypothèse où «$\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ diverge en $\;\color {transparent}{t=0}\;$» «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =\left[\exp(-p\,t)\;f(t)\right]_{0^{-}}^{\infty }-\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }-p\;\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$
          Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace }\;$ dans l'hypothèse où «$\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ diverge en $\;\color {transparent}{t=0}\;$» «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace }$ $=-f(0^{-})+p\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$» alors que
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace }\;$ dans l'hypothèse où «$\;{\dot {f}}(t)\;$ converge en $\;t=0\;$» $\Rightarrow$ «$\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}\exp(-p\,t)\;{\dot {f}}(t)\;dt=0\;$» car «$\;{\dot {f}}(t)\;$ est discontinue de 1^ère espèce ou
                    Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace }\;$ dans l'hypothèse où «$\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ converge en $\;\color {transparent}{t=0}\;$» $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{\exp(-p\,t)\;{\dot {f}}(t)\;dt=0}\;$» car «$\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ est continue en $\;t=0\;$» d'où
          Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace }\;$ dans l'hypothèse où «$\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ converge en $\;\color {transparent}{t=0}\;$» «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace ={\cancel {\displaystyle \int _{0^{-}}^{0^{+}}\exp(-p\,t)\;{\dot {f}}(t)\;dt\;+}}\,\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;{\dot {f}}(t)\;dt\;$» $\Rightarrow$
          Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace }\;$ dans l'hypothèse où «$\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ converge en $\;\color {transparent}{t=0}\;$» «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;{\dot {f}}(t)\;dt\;$» que l'on intègre par parties selon
          Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace }\;$ dans l'hypothèse où «$\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ converge en $\;\color {transparent}{t=0}\;$» «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =\left[\exp(-p\,t)\;f(t)\right]_{0^{+}}^{\infty }-\displaystyle \int _{0^{+}}^{+\infty }-p\;\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$
          Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace }\;$ dans l'hypothèse où «$\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ converge en $\;\color {transparent}{t=0}\;$» «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace }$ $=-f(0^{+})+p\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$» .

Conséquence de l'intégration sur les transformées (monolatérales) de Laplace

     Soit $\;f(t)\;$ une fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$» avec
                         Soit $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ une fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt}\;$ «$\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$»,
     Soit $\;\displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\;$ la primitive de la fonction $\;{\big (}$ou primitive de la distribution ${\big )}\;$ s'annulant en $\;t=0\;$ et
           Soit $\;\color {transparent}{\displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'}\;$ la primitive de la fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou primitive de la distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace
          Soit $\;\color {transparent}{\displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'}\;$ la primitive de la fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou primitive de la distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha ''\;$» avec                                                                                 Soit $\;\color {transparent}{\displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'}\;$ la primitive de la fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou primitive de la distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant «$\;\alpha ''\;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace \;$»  ;

     nous établissons ci-après la propriété suivante

Influence de l'intégration sur la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction ou distribution

     Avec «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de la fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}$ $\;f(t)\;$»
         Avec «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }\;$ la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace d'« abscisse de convergence $\;\alpha \;$» et
     Avec «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace \;$ celle de la primitive de la fonction $\;{\big (}$ou de la primitive de la distribution ${\big )}$ $\;\displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\;$
                      Avec «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t')\;dt'\right\rbrace }\;$ celle de la primitive de la fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou de la primitive de la distribution$\color {transparent}{\big )}$ s'annulant en $\;t=0\;$»
               Avec «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t')\;dt'\right\rbrace }\;$ celle de la primitive de la fonction d'« abscisse de convergence $\;\alpha ''\;$ »,
     ces deux transformées de Laplace sont liées par la relation suivante : «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace ={\dfrac {{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{p}}\;$ pour $\;\Re (p)>\alpha ''\;$».

     Démonstration : « pour calculer $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace dt\;$ dans le domaine de validité de la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace
                 Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace dt}\;$ dans le domaine de validité de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace \;$» c.-à-d.
                 Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace dt}\;$ dans le cas de «$\;\Re (p)>\alpha ''\;$ avec $\;\alpha ''\;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace \;$»,
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace }\;$ on procède en intégrant par parties $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace =\left[{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\;\displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right]_{0^{-}}^{\infty }-\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }{\dfrac {\exp(-p\,t)}{-p}}\;f(t)\;dt\;$
                   Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace }\;$ on procède en intégrant par parties $\color {transparent}{\Rightarrow }$ «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{t}f(t')\;dt'\right\rbrace }$ $={\dfrac {{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{p}}\;$» .

Conséquence d'une translation en t sur les transformées (monolatérales) de Laplace

     Soit $\;f(t)\;$ une fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$» avec
                         Soit $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ une fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt}\;$ «$\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$»,
     Soit $\;f'(t)=f(t')\;$ une nouvelle fonction $\;{\big (}$ou distribution ${\big )}\;$ résultant de la translation $\;t'=t-t_{0}\;$ sur la variable $\;t\;$ avec $\;t_{0}>0\;$ et
           Soit $\;\color {transparent}{f'(t)=f(t')}\;$ une nouvelle fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f'(t)\;dt\;$
               Soit $\;\color {transparent}{f'(t)=f(t')}\;$ une nouvelle fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace }$ $=\displaystyle \int _{t_{0}^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-p\,(t'+t_{0})\right]\,f(t')\;dt'\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$»                Soit $\;\color {transparent}{f'(t)=f(t')}\;$ une nouvelle fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace }$ ${\big [}$même condition de convergence que $\;f(t)\;$${\big ]}$ ;

     nous établissons ci-après la propriété suivante connue sous le nom du « théorème du retard »

Théorème du retard
[ou influence d'une translation en t sur la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction ou distribution]

     Avec «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de la fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}$ $\;f(t)\;$»
         Avec «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }\;$ la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace d'« abscisse de convergence $\;\alpha \;$» et
     Avec «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \;$ celle de la translatée de la fonction $\;{\big (}$ou de la translatée de la distribution ${\big )}$ $\;f'(t)=f(t-t_{0})\;$ avec
          Avec «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace }\;$ celle de la translatée de la fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou de la translatée de la distribution$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{f'(t)=}$ $\;t_{0}>0\;$»
     Avec «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace }\;$ celle de la translatée de la fonction $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace \;$ de « même abscisse de convergence $\;\alpha \;$ »,
     ces deux transformées de Laplace sont liées par la relation suivante : «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace \;$ avec $\;t_{0}>0\;$
                                          $=\exp(-p\;t_{0})\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ pour $\;\Re (p)>\alpha \;$»,
                    le facteur $\;\exp(-p\;t_{0})$ étant appelé « facteur retard ».

     Démonstration : « pour calculer $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t-t_{0})\;dt=\displaystyle \int _{-t_{0}^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-p\,(u+t_{0})\right]\,f(u)\;du\;$ dans le domaine de validité de la transformée
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }$ $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \;$» c.-à-d. «$\;\Re (p)>\alpha \;$ avec $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$»  :
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }\;$ « si $\;t_{0}\;$ est $\;>0\;$» on décompose l'intervalle d'intégration $\;\left[-t_{0}^{-}\,,\,+\infty \right[\;$ selon $\;\left[-t_{0}^{-}\,,\,0^{-}\right[\cup \left[0^{-}\,,\,+\infty \right[\;$ et on obtient
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }\;$ « si $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$» «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{-t_{0}^{-}}^{0^{-}}\exp \!\left[-p\,(u+t_{0})\right]\,f(u)\;du+\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-p\,(u+t_{0})\right]\,f(u)\;du\;$
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }\;$ « si $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$» «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace }$ $=\exp(-p\,t_{0})\left[\displaystyle \int _{t_{0}^{-}}^{0^{-}}\exp \!\left(-p\;u\right)\,f(u)\;du+\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left(-p\;u\right)\,f(u)\;du\right]\;$» dans laquelle
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }\;$ « si $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$» «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\exp(-p\,t_{0})}$ la 1^ère intégrale est nulle $\;{\big [}$la fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}$ $\;f(t)\;$ étant à support positif${\big ]}\;$ et
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }\;$ « si $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$» «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\exp(-p\,t_{0})}$ la 2^nde est égale à $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$ d'où
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }\;$ « si $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$» «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\exp(-p\;t_{0})\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ pour $\;\Re (p)>\alpha \;$» ou
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }\;$ « si $\;t_{0}\;$ est $\;<0\;$» on étend l'intervalle d'intégration $\;\left[-t_{0}^{-}\,,\,+\infty \right[\;$ selon $\;\left[0^{-}\,,\,+\infty \right[\;$ en soustrayant $\;\left[0^{-}\,,\,-t_{0}^{-}\right[\;$ et on obtient
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }\;$ « si $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-p\,(u+t_{0})\right]\,f(u)\;du-\displaystyle \int _{0^{-}}^{-t_{0}^{-}}\exp \!\left[-p\,(u+t_{0})\right]\,f(u)\;du\;$
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }\;$ « si $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$» «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace }$ $=\exp(-p\,t_{0})\left[\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left(-p\;u\right)\,f(u)\;du-\displaystyle \int _{0^{-}}^{t_{0}^{-}}\exp \!\left(-p\;u\right)\,f(u)\;du\right]\;$» dans laquelle
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }\;$ « si $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$» «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\exp(-p\,t_{0})}$ la 1^ère intégrale entre crochets est égale à $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$ mais
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }\;$ « si $\;\color {transparent}{t_{0}}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$» «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\exp(-p\,t_{0})}$ la 2^nde est non nulle $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \neq \exp(-p\;t_{0})\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ même pour $\;\Re (p)>\alpha \;$»
     Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t-t_{0})\right\rbrace }$ d'où, pour vérifier «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\exp(-p\;t_{0})\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$», la nécessité d'exiger $\;t_{0}>0$.

Conséquence d'un changement d'échelle de t sur les transformées (monolatérales) de Laplace

     Soit $\;f(t)\;$ une fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$» avec
                         Soit $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ une fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt}\;$ «$\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$»,
     Soit $\;f'(t)=f(t')\;$ une nouvelle fonction $\;{\big (}$ou distribution ${\big )}\;$ résultant du changement d'échelle $\;t'=k\;t\;$ sur la variable $\;t\;$ avec $\;k>0\;$ $\;\neq 1\;$ et
           Soit $\;\color {transparent}{f'(t)=f(t')}\;$ une nouvelle fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f'(t)\;dt\;$
               Soit $\;\color {transparent}{f'(t)=f(t')}\;$ une nouvelle fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace }$ $=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(k\;t)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>k\;\alpha \;$»  ;

     nous établissons ci-après la propriété suivante connue sous le nom du « règle de similitude »

Règle de similitude [ou influence d'un changement d'échelle de t sur la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction ou distribution]

     Avec «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de la fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}$ $\;f(t)\;$»
         Avec «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }\;$ la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace d'« abscisse de convergence $\;\alpha \;$» et
     Avec «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \;$ celle de la changée d'échelle de la fonction $\;{\big (}$ou de la changée d'échelle de la distribution ${\big )}$ $\;f'(t)=f(k\;t)\;$ avec
          Avec «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace }\;$ celle de la changée d'échelle de la fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou de la changée d'échelle de la distribution$\color {transparent}{\big )}$ $\;k>0\;$ $\;\neq 1\;$»
     Avec «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace }\;$ celle de la changée d'échelle de la fonction $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace f(k\;t)\right\rbrace \;$ d'« abscisse de convergence $\;k\;\alpha \;$ »,
     ces deux transformées de Laplace sont liées par la relation suivante : «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace f(k\;t)\right\rbrace \!\left[p\right]\;$ avec $\;k>0\;$ $\;\neq 1\;$
                                  $={\dfrac {1}{k}}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \!\left[{\dfrac {p}{k}}\right]\;$ pour $\;\Re (p)>k\;\alpha \;$ ».

     Démonstration : « pour calculer $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace f(k\;t)\right\rbrace \!\left[p\right]\;$ $=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(k\;t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-{\dfrac {p}{k}}\;k\;t\right]\,f(k\;t)\;{\dfrac {d(k\;t)}{k}}\;$ dans le domaine de validité de la transformée
          Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace f(k\;t)\right\rbrace \!\left[p\right]}\;$ $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]\;$» c.-à-d. «$\;\Re (p)>k\;\alpha \;$ avec $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$» ,
              Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace f(k\;t)\right\rbrace \!\left[p\right]}\;$ $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]}\;$» ou encore, en remplaçant $\;k\;t\;$ par $\;t'$,
     Démonstration : « pour calculer $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t')\right\rbrace \!\left[p\right]\;$ $=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-{\dfrac {p}{k}}\;t'\right]\,f(t')\;{\dfrac {dt'}{k}}={\dfrac {1}{k}}\,\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-{\dfrac {p}{k}}\;t'\right]\,f(t')\;dt'\;$ soit, en posant $\;p'={\dfrac {p}{k}}$,
          Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t')\right\rbrace \!\left[p\right]}\;$ $\color {transparent}{=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-{\dfrac {p}{k}}\;t'\right]\,f(t')\;{\dfrac {dt'}{k}}}$ $={\dfrac {1}{k}}\,\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p'\;t)\;f(t)\;dt\;$ $={\dfrac {1}{k}}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \!\left[p'\right]\;$ dans la mesure où $\;\Re (p')>\alpha \;$ $\Leftrightarrow$
                      Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t')\right\rbrace \!\left[p\right]}\;$ $\color {transparent}{=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-{\dfrac {p}{k}}\;t'\right]\,f(t')\;{\dfrac {dt'}{k}}}$ $\color {transparent}{={\dfrac {1}{k}}\,\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p'\;t)\;f(t)\;dt}\;$ $\color {transparent}{={\dfrac {1}{k}}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \!\left[p'\right]}\;$ $\;\Re \left({\dfrac {p}{k}}\right)>\alpha \;$ ou $\;\Re (p)>k\;\alpha$.

Conséquence d'une multiplication par une fonction exponentielle réelle sur les transformées (monolatérales) de Laplace

     Soit $\;f(t)\;$ une fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$» avec
                         Soit $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ une fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt}\;$ «$\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$»,
     Soit $\;f'(t)=\exp(-a\;t)\;f(t)\;$ une nouvelle fonction $\;{\big (}$ou distribution ${\big )}\;$ résultant de la multiplication de $\;f(t)\;$ par la fonction exponentielle $\;\exp(-a\;t)\;$ de $\;t\;$ avec $\;a\in \mathbb {R} ^{*}\;$ et
           Soit $\;\color {transparent}{f'(t)=\exp(-a\;t)\;f(t)}\;$ une nouvelle fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f'(t)\;dt\;$
               Soit $\;\color {transparent}{f'(t)=\exp(-a\;t)\;f(t)}\;$ une nouvelle fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace }$ $=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-(p+a)\,t\right]\,f(t)\;dt\;$
               Soit $\;\color {transparent}{f'(t)=\exp(-a\;t)\;f(t)}\;$ une nouvelle fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace }$ dans la mesure où $\;\Re (p)>\alpha -a\;$»  ;

     nous établissons ci-après la propriété suivante connue sous le nom de « règle de translation en $\;p\;$»

Règle de translation en p [ou conséquence de la multiplication par une fonction exponentielle sur la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction ou distribution]

     Avec «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de la fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}$ $\;f(t)\;$»
         Avec «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }\;$ la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace d'« abscisse de convergence $\;\alpha \;$» et
     Avec «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \;$ celle de la fonction $\;{\big (}$ou de la distribution ${\big )}$ $\;f'(t)=\exp(-a\;t)\;f(t)\;$ avec $\;a\in \mathbb {R} ^{*}\;$»
     Avec «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace }\;$ celle de la fonction $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t)\right\rbrace \;$ d'« abscisse de convergence $\;\alpha '=\alpha -a\;$ »,
     ces deux transformées de Laplace sont liées par la relation suivante : «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t)\right\rbrace \!\left[p\right]\;$ avec $\;a\in \mathbb {R} ^{*}\;$
                                  $={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \!\left[p+a\right]\;$ pour $\;\Re (p)>\alpha -a\;$ ».

     Démonstration : « pour calculer $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t)\right\rbrace \!\left[p\right]\;$ $=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left[-(p+a)\,t\right]\,f(t)\;dt\;$ dans le domaine de validité de la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace
                              Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t)\right\rbrace \!\left[p\right]}\;$ $\color {transparent}{=\exp \!\left[-(p+a)\,t\right]\,f(t)\;dt}\;$ dans le domaine de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]\;$» c.-à-d. «$\;\Re (p)>\alpha -a\;$ avec
                              Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t)\right\rbrace \!\left[p\right]}\;$ $\color {transparent}{=\exp \!\left[-(p+a)\,t\right]\,f(t)\;dt}\;$ dans le domaine de $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$» , ou encore,
                                Démonstration : « pour calculer $\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t)\right\rbrace \!\left[p\right]}\;$ $\color {transparent}{=\exp \!\left[-(p+a)\,t\right]\,f(t)\;dt}\;$ en remplaçant $\;p+a\;$ par $\;p'$, on obtient
     Démonstration : « pour calculer $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\;t)\;f(t)\right\rbrace \!\left[p\right]\;$ $=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p'\;t)\;f(t)\;dt\;$ s'identifiant à «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \!\left[p'\right]\;$ si $\;\Re (p')>\alpha \;$ $\Leftrightarrow$ $\;\Re (p)>\alpha -a\;$» .

     Remarque 1 : « si $\;a\;$ est $\;>0\;$» la fonction exponentielle $\;\exp(-a\;t)\;$ est une fonction $\;\searrow \;$ de $\;t\;$ traduisant un « amortissement exponentiel de la fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}$ $\;f'(t)=\exp(-a\;t)\;f(t)\;$» et simultanément « le domaine de validité de la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace s'élargit » car la « nouvelle abscisse de convergence $\;\alpha '=\alpha -a<\alpha \;$» alors que
     Remarque 1 : « si $\;a\;$ est $\;<0\;$» la fonction exponentielle $\;\exp(-a\;t)\;$ est une fonction $\;\nearrow \;$ de $\;t\;$ traduisant une « amplification exponentielle de la fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}$ $\;f'(t)=\exp(-a\;t)\;f(t)\;$» et simultanément « le domaine de validité de la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace s'amenuise » car la « nouvelle abscisse de convergence $\;\alpha '=\alpha -a>\alpha \;$».

     Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}\;$ avec $\;{\underline {a}}=\Re ({\underline {a}})+i\,\Im ({\underline {a}})\;$ $\Rightarrow$ $\;\exp \!\left(-{\underline {a}}\;t\right)=\exp \!\left[-\Re ({\underline {a}})\;t\right]\,\exp \!\left[-i\,\Im ({\underline {a}})\;t\right]\;$ définissant une fonction complexe dont les parties réelle et imaginaire
     Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ avec $\;\color {transparent}{{\underline {a}}=\Re ({\underline {a}})+i\,\Im ({\underline {a}})}\;$ $\color {transparent}{\Rightarrow }$ $\;\color {transparent}{\exp \!\left(-{\underline {a}}\;t\right)=\exp \!\left[-\Re ({\underline {a}})\;t\right]\,\exp \!\left[-i\,\Im ({\underline {a}})\;t\right]}\;$ sont $\;\left\lbrace {\begin{array}{r}\Re \left[\exp \!\left(-{\underline {a}}\;t\right)\right]\!\!&=&\!\!\exp \!\left[-\Re ({\underline {a}})\;t\right]\;\cos \!\left[\Im ({\underline {a}})\;t\right]\\\Im \left[\exp \!\left(-{\underline {a}}\;t\right)\right]\!\!&=&\!\!-\exp \!\left[-\Re ({\underline {a}})\;t\right]\;\sin \!\left[\Im ({\underline {a}})\;t\right]\end{array}}\right\rbrace$ ;
     Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ la « nouvelle fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}$ complexe $\;{\underline {f'}}(t)=\exp \!\left(-{\underline {a}}\;t\right)\;f(t)\;$» ${\big \{}$produit de la fonction ou $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ réelle $\;f(t)\;$
     Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ la « nouvelle fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou distribution$\color {transparent}{\big )}$ complexe $\;\color {transparent}{{\underline {f'}}(t)=\exp \!\left(-{\underline {a}}\;t\right)\;f(t)}\;$» $\color {transparent}{\big \{}$produit de la fonction par l'exponentielle complexe${\big \}}\;$
       Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ la « nouvelle fonction a pour « parties réelle et imaginaire $\;\left\lbrace {\begin{array}{r}\Re \left[{\underline {f'}}(t)\right]=\Re \left[\exp \!\left(-{\underline {a}}\;t\right)\;f(t)\right]\!\!&=&\!\!\exp \!\left[-\Re ({\underline {a}})\;t\right]\;\cos \!\left[\Im ({\underline {a}})\;t\right]\;f(t)\\\Im \left[{\underline {f'}}(t)\right]=\Im \left[\exp \!\left(-{\underline {a}}\;t\right)\;f(t)\right]\!\!&=&\!\!-\exp \!\left[-\Re ({\underline {a}})\;t\right]\;\sin \!\left[\Im ({\underline {a}})\;t\right]\;f(t)\end{array}}\right\rbrace$»
        Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ la « nouvelle fonction a pour « parties réelle et imaginaire lesquelles admettent toutes deux une transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace
        Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ la « nouvelle fonction a pour « parties réelle et imaginaire sous la même « condition de convergence $\;\Re (p)>\alpha '\;$ avec $\;\alpha '=\alpha -\Re ({\underline {a}})\;$»  ;
     Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ on en déduit la « définition de la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;{\underline {\mathcal {L}}}\left\lbrace \right\rbrace \;$ d'une fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ complexe $\;{\underline {f'}}(t)\;$»
     Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ on en déduit à partir de celle des parties réelle et imaginaire de cette dernière selon $\;{\Bigg \langle }{\begin{array}{c}{\mathcal {L}}\left\lbrace \Re \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;\Re \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\,dt\\{\mathcal {L}}\left\lbrace \Im \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;\Im \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\,dt\end{array}}{\Bigg \rangle }\;$ $\Rightarrow$
     Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ on en déduit «$\;{\underline {\mathcal {L}}}\left\lbrace {\underline {f'}}(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace \Re \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\right\rbrace +i\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \Im \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\right\rbrace \;$» ou encore
     Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ on en déduit «$\;{\underline {\mathcal {L}}}\left\lbrace {\underline {f'}}(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;\Re \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\,dt+i\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;\Im \!\left[{\underline {f'}}(t)\right]\,dt=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;{\underline {f'}}(t)\;dt\;$» c.-à-d.
     Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ on en déduit la même définition que celle d'une fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ réelle ;
     Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ il est alors aisé d'établir «$\;{\underline {\mathcal {L}}}\left\lbrace {\underline {f'}}(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\underline {\mathcal {L}}}\left\lbrace \exp(-{\underline {a}}\;t)\;f(t)\right\rbrace \!\left[p\right]={\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \!\left[p+{\underline {a}}\right]\;$ pour $\;{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}\;$»

et 
     Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ il est alors aisé d'en déduire la « convergence de la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace  complexe de la fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ complexe 
          Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ il est alors aisé d'en déduire la « convergence de la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace complexe de $\;{\underline {f'}}(t)=\exp(-{\underline {a}}\;t)\;f(t)\;$ soit 
     Remarque 2 : Envisageons maintenant $\;\color {transparent}{{\underline {a}}\in \mathbb {C} ^{*}}\;$ il est alors aisé d'en déduire la « convergence $\;\Re (p)>\alpha '=\alpha -\Re ({\underline {a}})\;$ avec $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$».

Holomorphie de la transformée (monolatérale) de Laplace

Fonction holomorphe en une valeur du domaine de définition

     Une « fonction complexe $\;{\underline {F}}\;$ d'une variable complexe $\;{\underline {z}}\;$ définie sur un ouvert $\;\Omega \subset \mathbb {C} \;$» est dite « holomorphe en $\;{\underline {z_{0}}}\in \Omega \;$»

• si, « pour $\;{\underline {z}}\in \Omega$, $\;\lim \limits _{{\underline {z}}\,\rightarrow \,{\underline {z_{0}}}}{\dfrac {{\underline {F}}({\underline {z}})-{\underline {F}}({\underline {z_{0}}})}{{\underline {z}}-{\underline {z_{0}}}}}\;$ existe en étant indépendante de la direction d'approche de $\;{\underline {z_{0}}}\;$ à partir de $\;{\underline {z}}\;$», « cette limite définissant la dérivée de $\;{\underline {F}}({\underline {z}})\;$ en $\;{\underline {z_{0}}}\;$» et étant notée «$\;{\underline {F}}'({\underline {z_{0}}})\;$ ou $\;D{\underline {F}}({\underline {z_{0}}})\;$» ou
• en explicitant la direction d'approche, $\;{\big [}{\underline {h}}\;$ étant un complexe quelconque de module unité définissant une direction d'approche de $\;{\underline {z_{0}}}\;$ à partir de $\;{\underline {z}}{\big ]}$, si «$\;\lim \limits _{u\,\rightarrow \,0}{\dfrac {{\underline {F}}({\underline {z_{0}}}+u\,{\underline {h}})-{\underline {F}}({\underline {z_{0}}})}{u}}\;$ existe $\;\forall \,{\underline {h}}\;$ et est indépendante de $\;{\underline {h}}\;$», « cette limite indepndante de la direction d'approche de $\;{\underline {z_{0}}}\;$ à partir de $\;{\underline {z}}\;$ définissant la dérivée de $\;{\underline {F}}({\underline {z}})\;$ en $\;{\underline {z_{0}}}\;$» et étant simplement notée $\;D{\underline {F}}({\underline {z_{0}}})\;$» .

Fonction holomorphe sur un ouvert du domaine de définition

     Une « fonction complexe $\;{\underline {F}}\;$ d'une variable complexe $\;{\underline {z}}\;$ définie sur un ouvert $\;\Omega \subset \mathbb {C} \;$» est dite « holomorphe sur $\;\Omega \;$» si « elle est holomorphe en tout point de $\;\Omega \;$» ;
     on peut alors « définir la dérivée de $\;{\underline {F}}\;$ en tout $\;{\underline {z_{0}}}\in \Omega \;$» .

     Remarques : Dans la mesure où la fonction complexe $\;{\underline {F}}({\underline {z}})\;$ est holomorphe sur l'ouvert $\;\Omega \;$ sur laquelle elle est définie, on peut
     Remarques : $\succ \;$définir la « fonction complexe dérivée $\;{\underline {F}}'({\underline {z}})=D{\underline {F}}({\underline {z}})={\dfrac {d{\underline {F}}}{d{\underline {z}}}}({\underline {z}})\;$» et étudier son éventuelle holomorphie et si celle-ci est établie,
     Remarques : $\succ \;$définir la « fonction complexe dérivée seconde $\;{\underline {F}}''({\underline {z}})=D^{2}{\underline {F}}({\underline {z}})={\dfrac {d^{2}{\underline {F}}}{d{\underline {z}}^{2}}}({\underline {z}})\;$» et étudier son éventuelle holomorphie
     Remarques : $\succ \;$ $\ldots$

Holomorphie de la transformée (monolatérale) de Laplace d'une fonction (ou d'une distribution)

     On admet que « la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace d'une fonction $\;{\big (}$ou d'une distribution${\big )}$ $\;f(t)\;$ c-à-d.
    On admet que «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \left[p\right]\;$» est « holomorphe sur tout son domaine de définition » $\;{\big (}$à l'exception de ses points singuliers ${\big )}\;$
     On admet que « tel que «$\;\Re (p)>\alpha \;$» $\;{\big \{}\alpha \;$ abscisse de convergence de la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de $\;f(t){\big \}}\;$ et
On admet que «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \left[p\right]}\;$» est « holomorphe sur tout son domaine de définition ceci à n'importe quel ordre .

     On démontre ci-dessous le résultat suivant «$\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;f(t)\right\rbrace \;$ pour tout $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$».

     Démonstration : Pour démontrer que la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace d'une fonction $\;{\big (}$ou d'une distribution${\big )}$ $\;f(t)\;$ s'écrivant
     Démonstration : Pour démontrer que «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \left[p\right]=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;f(t)\;dt\;$» est « holomorphe à n'importe quel ordre sur tout ouvert satisfaisant $\;\Re (p)>\alpha \;$
                             Démonstration : Pour démontrer que «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \left[p\right]=\exp(-p\;t)\;f(t)\;dt}\;$» est « holomorphe à n'importe quel ordre avec $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \left[p\right]\;$»,
                             Démonstration : Pour démontrer que «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \left[p\right]=\exp(-p\;t)\;f(t)\;dt}\;$» est « holomorphe on vérifie d'abord la propriété pour $\;n=1\;$ puis on l'établit par récurrence soit
     Démonstration : Pour démontrer $\succ \;$« pour $\;n=1\;$», $\;{\dfrac {d{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp}}={\dfrac {d\left[\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;f(t)\;dt\right]}{dp}}\;$ soit, en permutant l'intégration sur $\;t\;$ et la dérivation par rapport à $\;p$,
     Démonstration : Pour démontrer $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{n=1}\;$», $\;\color {transparent}{\dfrac {d{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp}}$ $=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }{\dfrac {d\exp(-p\;t)}{dp}}\;f(t)\;dt=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }-t\;\exp(-p\;t)\;f(t)\;dt\;$ et finalement «$\;{\dfrac {d{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp}}=-{\mathcal {L}}\left\lbrace t\;f(t)\right\rbrace \;$» C.Q.F.D. ,
     Démonstration : Pour démontrer $\succ \;$hypothèse de récurrence «$\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;f(t)\right\rbrace \;$ pour $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ quelconque »,
     Démonstration : Pour démontrer $\color {transparent}{\succ }\;$on forme $\;{\dfrac {d^{(n+1)}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{(n+1)}}}={\dfrac {d\left[(-1)^{n}\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\;t)\;t^{n}\;f(t)\;dt\right]}{dp}}\;$ soit, en permutant l'intégration sur $\;t\;$ et la dérivation par rapport à $\;p$,
     Démonstration : Pour démontrer $\color {transparent}{\succ }\;$on forme $\;\color {transparent}{\dfrac {d^{(n+1)}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{(n+1)}}}$ $=(-1)^{n}\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }{\dfrac {d\exp(-p\;t)}{dp}}\;t^{n}\;f(t)\;dt=(-1)^{n}\;\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }-t\;\exp(-p\;t)\;t^{n}\;f(t)\;dt\;$ et, en regroupant les facteurs,
   Démonstration : Pour démontrer $\color {transparent}{\succ }\;$on forme «$\;{\dfrac {d^{(n+1)}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{(n+1)}}}=(-1)^{(n+1)}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{(n+1)}\;f(t)\right\rbrace \;$» C.Q.F.D. ,
     Démonstration : Pour démontrer $\succ \;$la propriété $\;{\mathcal {P}}_{n}\;$ «$\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;f(t)\right\rbrace \;$» étant « vraie pour $\;n=1\;$» avec «$\;{\mathcal {P}}_{n}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\mathcal {P}}_{(n+1)}\;$» est établie par récurrence pour tout $\;n\in \mathbb {N} ^{*}$.

Conséquence d'une multiplication par une fonction puissance de t sur les transformées (monolatérales) de Laplace

     Soit $\;f(t)\;$ une fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$» avec
                         Soit $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ une fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt}\;$ «$\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$»,
     Soit $\;f'(t)=t^{n}\;f(t)\;$ une nouvelle fonction $\;{\big (}$ou distribution ${\big )}\;$ résultant de la multiplication de $\;f(t)\;$ par la fonction $\;t^{n}\;$ puissance n^ème de $\;t\;$ avec $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ et
           Soit $\;\color {transparent}{f'(t)=t^{n}\;f(t)}\;$ une nouvelle fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f'(t)\;dt\;$
               Soit $\;\color {transparent}{f'(t)=t^{n}\;f(t)}\;$ une nouvelle fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace }$ $=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp \!\left(-p\;t\right)\;t^{n}\;f(t)\;dt\;$
               Soit $\;\color {transparent}{f'(t)=t^{n}\;f(t)}\;$ une nouvelle fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace }$ dans la mesure où $\;\Re (p)>\alpha \;$»  ;

     de la relation «$\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;f(t)\right\rbrace \;$ pour tout $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» établie au paragraphe « holomorphie de la transformée (monolatérale) de Laplace » plus haut dans ce chapitre,
     de la relation on en déduit «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;f(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}\;$ pour $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$» soit $\blacktriangleright \;$« pour $\;n=1$, $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t\;f(t)\right\rbrace =-{\dfrac {d{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp}}\;$»,
     de la relation on en déduit «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;f(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}}\;$ pour $\;\color {transparent}{n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$» soit $\blacktriangleright \;$« pour $\;n=2$, $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{2}\;f(t)\right\rbrace ={\dfrac {d^{2}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{2}}}\;$»
     de la relation on en déduit «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;f(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}}\;$ pour $\;\color {transparent}{n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$» soit $\blacktriangleright \;$« pour $\;n=3$, $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{3}\;f(t)\right\rbrace =-{\dfrac {d^{3}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{3}}}\;$»
     de la relation on en déduit «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;f(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}}\;$ pour $\;\color {transparent}{n\in \mathbb {N} ^{*}}\;$» soit $\blacktriangleright \;$$\ldots$

     Application : soit à « évaluer $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace \;$ avec $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ et $\;Y(t)\;$ la fonction de Heaviside connaissant $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{p}}\;$ si $\;\Re e(p)>0\;$» , l'application du résultat ci-dessus nous conduit à
     Application : soit à évaluer «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}{dp^{n}}}\;$ si $\;\Re e(p)>0\;$» soit successivement $\bullet \;$«$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t\;Y(t)\right\rbrace =-{\dfrac {d\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}{dp}}={\dfrac {1}{p^{2}}}\;$»,
     Application : soit à évaluer «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}{dp^{n}}}}\;$ si $\;\color {transparent}{\Re e(p)>0}\;$» soit successivement $\bullet \;$«$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{2}\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {d^{2}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}{dp^{2}}}={\dfrac {2}{p^{3}}}\;$» ,
     Application : soit à évaluer «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}{dp^{n}}}}\;$ si $\;\color {transparent}{\Re e(p)>0}\;$» soit successivement $\bullet \;$«$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{3}\;Y(t)\right\rbrace =-{\dfrac {d^{3}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}{dp^{3}}}={\dfrac {6}{p^{4}}}\;$» ,
       Application : soit à évaluer «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;d^{n}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}\;$ si $\;\color {transparent}{\Re e(p)>0}\;$» soit successivement $\bullet \;$hypothèse de récurrence «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {n!}{p^{n+1}}}\;$»
       Application : soit à évaluer «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;d^{n}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}\;$ si $\;\color {transparent}{\Re e(p)>0}\;$» soit successivement $\color {transparent}{\bullet }\;$hypothèse de récurrence ${\big (}$vérifiée pour $\;n=1{\big )}$, on en déduit
       Application : soit à évaluer «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;d^{n}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}\;$ si $\;\color {transparent}{\Re e(p)>0}\;$» soit successivement $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{(n+1)}\;Y(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace t\,\left[t^{n}\;Y(t)\right]\right\rbrace =-{\dfrac {d{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace }{dp}}$
       Application : soit à évaluer «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;d^{n}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}\;$ si $\;\color {transparent}{\Re e(p)>0}\;$» soit successivement $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{(n+1)}\;Y(t)\right\rbrace }$ $=-{\dfrac {d\!\left[{\dfrac {n!}{p^{(n+1)}}}\right]}{dp}}$, soit encore
       Application : soit à évaluer «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;d^{n}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}\;$ si $\;\color {transparent}{\Re e(p)>0}\;$» soit successivement $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{(n+1)}\;Y(t)\right\rbrace }$ $=(n+1)\;{\dfrac {n!}{p^{(n+2)}}}={\dfrac {(n+1)!}{p^{(n+2)}}}\;$»
       Application : soit à évaluer «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;d^{n}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}\;$ si $\;\color {transparent}{\Re e(p)>0}\;$» soit successivement $\color {transparent}{\bullet }\;$ce qui valide l'hypothèse de récurrence d'où
       Application : soit à évaluer «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace =(-1)^{n}\;{\dfrac {d^{n}{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace }{dp^{n}}}=(-1)^{n}\;d^{n}\!\left({\dfrac {1}{p}}\right)}\;$ si $\;\color {transparent}{\Re e(p)>0}\;$» soit successivement $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace t^{n}\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {n!}{p^{(n+1)}}}\;$ pour $\;n\in \mathbb {N} ^{*}\;$ et $\;\Re e(p)>0\;$».

Conséquence de la dérivation (ou intégration) par rapport à un paramètre sur les transformées (monolatérales) de Laplace

Conséquence de la dérivation par rapport à un paramètre sur les transformées (monolatérales) de Laplace

     Soit $\;f(t,\,m)\;$ une fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ dépendant du paramètre $\;m\;$ relativement auquel elle est dérivable et
     Soit $\;\color {transparent}{f(t,\,m)}\;$ une fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t,\,m)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$» avec «$\;\alpha \;$ abscisse
                         Soit $\;\color {transparent}{f(t,\,m)}\;$ une fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m)\right\rbrace =\exp(-p\,t)\;f(t,\,m)\;dt}\;$ de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m)\right\rbrace \;$»,
     Soit $\;f'(t,\,m)=\left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\;$ la dérivée de la fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ relativement au paramètre $\;m\;$
     Soit $\;\color {transparent}{f'(t,\,m)=\left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)}\;$ la dérivée de la fonction admettant pour transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t,\,m)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f'(t,\,m)\;dt\;$
          Soit $\;\color {transparent}{f'(t,\,m)=\left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)}\;$ la dérivée de la fonction admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t,\,m)\right\rbrace }$ $=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\;dt\;$ avec, dans le
          Soit $\;\color {transparent}{f'(t,\,m)=\left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)}\;$ la dérivée de la fonction admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace cas général, la même condition de convergence que celle de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m)\right\rbrace \;$ soit
               Soit $\;\color {transparent}{f'(t,\,m)=\left(\partial f\right)_{\!t}(t,\,m)}\;$ la dérivée de la fonction admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace cas général, la même condition de convergence $\;\Re (p)>\alpha \;$»  ;

     nous établissons ci-dessous la propriété de « permutation de la transformation $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace et de la dérivation par rapport à un paramètre »

«$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f'(t,\,m)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\right\rbrace =\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m)\right\rbrace }{\partial m}}\right)_{\!p}\;$».

     Démonstration : partant de «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$» , on permute la dérivation par rapport à $\;m\;$ et l'intégration par rapport à $\;t\;$ et
                Démonstration : partant de «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\;dt}\;$ si $\;\color {transparent}{\Re (p)>\alpha }\;$», on obtient «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\right\rbrace =\left({\dfrac {\partial \left[\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t,\,m)\;dt\right]}{\partial m}}\right)_{\!p}$
                Démonstration : partant de «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\;dt}\;$ si $\;\color {transparent}{\Re (p)>\alpha }\;$», on obtient «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\right\rbrace }$ $=\left({\dfrac {\partial {\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m)\right\rbrace }{\partial m}}\right)_{\!p}\;$» sous la même
                Démonstration : partant de «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;\left({\dfrac {\partial f}{\partial m}}\right)_{\!t}(t,\,m)\;dt}\;$ si $\;\color {transparent}{\Re (p)>\alpha }\;$», on obtient condition de convergence $\;\Re (p)>\alpha \;$ dans le cas général .

Conséquence de l'intégration par rapport à un paramètre sur les transformées (monolatérales) de Laplace

     Soit $\;f(t,\,m)\;$ une fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ dépendant du paramètre $\;m\;$ relativement auquel elle est intégrable et
     Soit $\;\color {transparent}{f(t,\,m)}\;$ une fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t,\,m)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$» avec «$\;\alpha \;$ abscisse
                         Soit $\;\color {transparent}{f(t,\,m)}\;$ une fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m)\right\rbrace =\exp(-p\,t)\;f(t,\,m)\;dt}\;$ de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m)\right\rbrace \;$»,
     Soit $\;f''(t,\,m)=\displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\;$ la primitive de la fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ relativement au paramètre $\;m\;$ s'annulant $\;m=0$,
     Soit $\;\color {transparent}{f''(t,\,m)=\displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'}\;$ la primitive de la fonction admettant pour transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f''(t,\,m)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f''(t,\,m)\;dt\;$
          Soit $\;\color {transparent}{f''(t,\,m)=\displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'}\;$ la primitive de la fonction admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f''(t,\,m)\right\rbrace }$ $=\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;\left[\displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right]\;dt\;$
          Soit $\;\color {transparent}{f''(t,\,m)=\displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'}\;$ la promitive de la fonction admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace avec, dans le cas général, la même condition de convergence que
                    Soit $\;\color {transparent}{f''(t,\,m)=f(t,\,m')\;dm'}\;$ la primitive de la fonction admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace avec, dans le cas général, celle de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m)\right\rbrace \;$ soit $\;\Re (p)>\alpha \;$»  ;

     nous établissons ci-dessous la propriété de « permutation de la transformation $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace et de l'intégration par rapport à un paramètre »

«$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f''(t,\,m)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right\rbrace =\displaystyle \int _{0}^{m}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m')\right\rbrace \,dm'\;$».

     Démonstration : partant de «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;\left[\displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right]\,dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$» , on permute l'intégration par rapport à $\;m\;$ et celle par rapport à $\;t\;$ $\Rightarrow$
          Démonstration : partant de «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;\left[\displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right]\,dt}\;$ «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right\rbrace =\displaystyle \int _{0}^{m}\left[\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t,\,m')\;dt\right]\,dm'$
          Démonstration : partant de «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;\left[\displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right]\,dt}\;$ «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right\rbrace }$ $=\displaystyle \int _{0}^{m}{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m')\right\rbrace \,dm'\;$» sous la même condition de
          Démonstration : partant de «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;\left[\displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right]\,dt}\;$ «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace \displaystyle \int _{0}^{m}f(t,\,m')\;dm'\right\rbrace }$ convergence $\;\Re (p)>\alpha \;$ dans le cas général .

Conséquence du caractère périodique d'une fonction (ou distribution) sur sa transformée (monolatérale) de Laplace

     Soit $\;f(t)\;$ une fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ de période $\;T\;$ c.-à-d. telle que «$\;f(t+T)=f(t)\;$» et
     Soit $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ une fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t,\,m)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$» avec «$\;\alpha \geqslant 0\;$ abscisse
                                Soit $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ une fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou distribution$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant pour transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt}\;$ de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$» ;

     nous établissons ci-dessous la propriété « traduisant la périodicité de la fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ sur la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de cette dernière »

«$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace ={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt}{1-\exp(-p\;T)}}\;$» .

     Démonstration : partant de «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ si $\;\Re (p)>\alpha \;$» , on décompose l'intégrale sur chaque période selon
     Démonstration : partant de «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt+\displaystyle \int _{T}^{2\,T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt+\displaystyle \int _{2\,T}^{3\,T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt+\cdots +\displaystyle \int _{n\,T}^{(n+1)\,T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt+\cdots \;$» ou,
     Démonstration : en faisant le « changement de variable $\;t=t_{n}+n\;T\;$ sur l'intégrale $\;\displaystyle \int _{n\,T}^{(n+1)\,T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ pour se ramener à une intégrale sur $\;\left[0\,,\,T\right]\;$» sachant que $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}f(t)=f(t_{n})\\dt=dt_{n}\end{array}}\right\rbrace \;$ soit
     Démonstration : en faisant le « changement de variable $\;\color {transparent}{t=t_{n}+n\;T}\;$ sur l'intégrale $\;\displaystyle \int _{n\,T}^{(n+1)\,T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt=\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t_{n})\;\exp(-p\,n\,T)\;f(t_{n})\;dt_{n}\;$ ou, $\;t_{n}\;$ étant une variable muette et
     Démonstration : en faisant le « changement de variable $\;\color {transparent}{t=t_{n}+n\;T}\;$ sur l'intégrale $\;\color {transparent}{\displaystyle \int _{n\,T}^{(n+1)\,T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt=\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t_{n})\;\exp(-p\,n\,T)\;f(t_{n})\;dt_{n}}\;$ ou, $\;\exp(-p\,n\,T)\;$ une constante,
     Démonstration : en faisant le « changement de variable $\;\color {transparent}{t=t_{n}+n\;T}\;$ sur l'intégrale $\;\displaystyle \int _{n\,T}^{(n+1)\,T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt=\exp(-p\,n\,T)\;\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ soit,
     Démonstration : après factorisation par $\;\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ dans la somme,
     Démonstration : partant de «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\left[1+\sum \limits _{n\,\in \,\mathbb {N} ^{*}}^{1\,..\,+\infty }\exp(-p\,n\;T)\right]\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$» puis,
     Démonstration : en reconnaissant dans les termes entre crochets la « somme infinie d'une progression géométrique de 1^er terme $\;1\;$ et de raison $\;\exp(-p\,T)\;$ de module $\;<1\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$»
     Démonstration : ${\big [}$d'où la nécessité que l'abscisse de convergence $\;\alpha \;$ de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$ soit $\;\geqslant 0\;$ pour que la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de $\;f(t)$, $\;T$-périodique, existe${\big ]}\;$ et finalement,
     Démonstration : partant de «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace ={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt}{1-\exp(-p\;T)}}\;$» C.Q.F.D. .

Transformées (monolatérales) de fonctions (ou distributions) usuelles

Liste évidemment non exhaustive.

Fonction de Heaviside (ou échelon unité)

     « Fonction de Heaviside $\;{\big (}$ou échelon unité${\big )}$ $\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si}}\;t>0\\0\;{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{p}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» .

     « Fonction de Heaviside $\;{\big (}$ou échelon unité${\big )}\;$ retardé $\;Y(t-\tau )=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si}}\;t>\tau \\0\;{\text{si}}\;t<\tau \end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace Y(t-\tau )\right\rbrace ={\dfrac {\exp(-p\,\tau )}{p}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» .

     « Fonction créneau unité sur $\;\left[0\,,\,\tau \right]$ : $\;C_{\left[0\,,\,\tau \right]}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\;\;{\text{si}}\;t>\tau \\1\;\;{\text{si}}\;0<t<\tau \\0\;\;{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace =Y(t)-Y(t-\tau )\;$» d'où $\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace C_{\left[0\,,\,\tau \right]}(t)\right\rbrace ={\mathcal {L}}\!\left\lbrace Y(t)\right\rbrace -{\mathcal {L}}\!\left\lbrace Y(t-\tau )\right\rbrace \;$ soit
        « Fonction créneau unité sur $\;\color {transparent}{\left[0\,,\,\tau \right]}$ : $\;\color {transparent}{C_{\left[0\,,\,\tau \right]}(t)=\left\lbrace 1\;\;{\text{si}}\;0<t<\tau \right\rbrace =Y(t)-Y(t-\tau )}\;$» d'où «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace C_{\left[0\,,\,\tau \right]}(t)\right\rbrace ={\dfrac {1-\exp(-p\,\tau )}{p}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$».

Pic de Dirac d'impulsion unité

     « Pic de Dirac d'impulsion unité $\;\delta (t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad {\text{si}}\;t>0\\+\infty \;\;\,{\text{si}}\;t=0\\0\qquad {\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace ={\dot {Y}}(t)\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \delta (t)\right\rbrace =1,\;\;\forall \;\Re (p)\in \mathbb {R} \;$» .

     « Pic de Dirac d'impulsion unité retardé $\;\delta (t-\tau )=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad {\text{si}}\;t>\tau \\+\infty \;\;\,{\text{si}}\;t=\tau \\0\qquad {\text{si}}\;t<\tau \end{array}}\right\rbrace ={\dot {Y}}(t-\tau )\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \delta (t-\tau )\right\rbrace =\exp(-p\,\tau ),\;\;\forall \;\Re (p)\in \mathbb {R} \;$» .

Fonction rampe de pente a

     « Fonction rampe $\;f_{\text{rampe}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\;t\;{\text{si}}\;t\geqslant 0\\0\quad {\text{si}}\;t\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{rampe}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {a}{p^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» .

     « Fonction rampe retardée $\;f_{\text{rampe}}(t-\tau )=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\;t\;{\text{si}}\;t\geqslant \tau \\0\quad {\text{si}}\;t\leqslant \tau \end{array}}\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{rampe}}(t-\tau )\right\rbrace ={\dfrac {a\;\exp(-p\,\tau )}{p^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» .

     « Fonction triangle symétrique sur $\;\left[0\,,\,2\,\tau \right]$ : $\;f_{\text{triang sym}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}0\qquad \qquad \quad {\text{si}}\;t\geqslant 2\,\tau \\-a\;(t-2\,\tau )\;{\text{si}}\;t\in \left[\tau \,,\,2\,\tau \right]\\a\;t\qquad \qquad \;{\text{si}}\;t\in \left[0\,,\,\tau \right]\\0\qquad \qquad \quad {\text{si}}\;t\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace =f_{\text{rampe}}(t)-2\,f_{\text{rampe}}(t-\tau )+f_{\text{rampe}}(t-2\,\tau )\;$» soit,
        « Fonction triangle symétrique sur $\;\color {transparent}{\left[0\,,\,2\,\tau \right]}$ : $\;\color {transparent}{f_{\text{triang sym}}(t)=\left\lbrace -a\;(t-2\,\tau )\;{\text{si}}\;t\in \left[\tau \,,\,2\,\tau \right]\right\rbrace =}$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{triang sym}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {a\,\left[1-2\,\exp(-p\,\tau )+\exp(-2\,p\,\tau )\right]}{p^{2}}}\;$
        « Fonction triangle symétrique sur $\;\color {transparent}{\left[0\,,\,2\,\tau \right]}$ : $\;\color {transparent}{f_{\text{triang sym}}(t)=\left\lbrace -a\;(t-2\,\tau )\;{\text{si}}\;t\in \left[\tau \,,\,2\,\tau \right]\right\rbrace =}$ «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{triang sym}}(t)\right\rbrace }$ $={\dfrac {a\,\left[1-\exp(-p\,\tau )\right]^{2}}{p^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$».

Fonction exponentielle réelle

     « Fonction exponentielle réelle $\;f_{\text{exp}}(t)=\exp(-a\,t)\;Y(t)\;$ avec $\;a\in \mathbb {R} ^{*}\;$» $\Rightarrow$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{exp}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{p+a}}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$» .

     « Approche exponentielle réelle de l'échelon unité $\;f_{\text{app exp}}(t)=\left[1-\exp(-a\,t)\right]\,Y(t)=Y(t)-\exp(-a\,t)\;Y(t)\;$ avec $\;a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$» soit, «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{app exp}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{p}}-{\dfrac {1}{p+a}}\;$
           « Approche exponentielle réelle de l'échelon unité $\;\color {transparent}{f_{\text{app exp}}(t)=\left[1-\exp(-a\,t)\right]\,Y(t)=Y(t)-\exp(-a\,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{a\in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» soit, «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{app exp}}(t)\right\rbrace }$ $={\dfrac {a}{p\;(p+a)}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» .

Fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale

     $\blacktriangleright \;$« Fonction cosinusoïdale$\;f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$» s'obtenant en utilisant «$\;f_{\text{cos}}(t)=\Re \left[\exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right]\;$», «$\;{\underline {\mathcal {L}}}\!\left\lbrace \exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{p-i\,\omega }}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» ou
           $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» « si on se limite aux valeurs réelles de $\;p$, $\;\Re \left\lbrace {\underline {\mathcal {L}}}\left[\exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right]\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace \Re \left[\exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right]\right\rbrace \;$» c.-à-d.
         $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» « si on se limite aux valeurs réelles de $\;\color {transparent}{p}$, «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{cos}}(t)\right\rbrace =\Re \,\left[{\dfrac {1}{p-i\,\omega }}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,0}=\Re \,\left[{\dfrac {p+i\,\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,0}\;$»
   $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» « si on se limite aux valeurs réelles de $\;\color {transparent}{p}$, ou, «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{cos}}(t)\right\rbrace =\left[{\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,0}\;$» et enfin,
           $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» en étendant ce résultat aux valeurs complexes de $\;p\;$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \cos(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re e(p)>0\;$».

           $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration$\;{\big (}$utilisant le caractère périodique de la fonction cosinusoïdale ${\big )}$ :
           $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration la fonction cosinusoïdale $\;f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)\;$ étant «$\;T$-périodique avec $\;T={\dfrac {2\;\pi }{\omega }}\;$» on en déduit
           $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{cos}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;f_{\text{cos}}(t)\;dt}{1-\exp(-p\,T)}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» ou encore « pour $\;\Re (p)>0$,
           $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{cos}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;\cos(\omega \,t)\;dt}{1-\exp(-p\,T)}}={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;{\dfrac {\exp(i\,\omega \,t)+\exp(-i\,\omega \,t)}{2}}\;dt}{1-\exp(-p\,T)}}\;$ »
      $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration ou «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{cos}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{T}\left\lbrace \exp \!\left[-(p-i\;\omega )\;t\right]+\exp \!\left[-(p+i\;\omega )\;t\right]\right\rbrace \,dt}{2\,\left[1-\exp(-p\,T)\right]}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$»,
           $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration le numérateur du 2^nd membre se réécrivant en somme de deux intégrales :
           $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration $\succ \;$$\displaystyle \int _{0}^{T}\exp \!\left[-(p-i\;\omega )\;t\right]\;dt=\left[-{\dfrac {\exp \!\left[-(p-i\;\omega )\;t\right]}{p-i\;\omega }}\right]_{0}^{T}={\dfrac {1-\exp(-p\;T)\;\exp(i\;\omega \;T)}{p-i\;\omega }}$
           $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration $\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{\displaystyle \int _{0}^{T}\exp \!\left[-(p-i\;\omega )\;t\right]\;dt}$ $={\dfrac {1-\exp(-p\;T)}{p-i\;\omega }}\;$» car $\;\exp(i\;\omega \;T)=\exp(i\;2\;\pi )=1\;$ et
           $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration $\succ \;$$\displaystyle \int _{0}^{T}\exp \!\left[-(p+i\;\omega )\;t\right]\;dt=\left[-{\dfrac {\exp \!\left[-(p+i\;\omega )\;t\right]}{p+i\;\omega }}\right]_{0}^{T}={\dfrac {1-\exp(-p\;T)\;\exp(-i\;\omega \;T)}{p+i\;\omega }}$
           $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration $\color {transparent}{\succ }\;$$\color {transparent}{\displaystyle \int _{0}^{T}\exp \!\left[-(p+i\;\omega )\;t\right]\;dt}$ $={\dfrac {1-\exp(-p\;T)}{p+i\;\omega }}\;$» car $\;\exp(-i\;\omega \;T)=\exp(-i\;2\;\pi )=1\;$ d'où
           $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{cos}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{2}}\,\left[{\dfrac {1}{p-i\;\omega }}+{\dfrac {1}{p+i\;\omega }}\right]\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» après simplification évidente ou,
           $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \cos(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re e(p)>0\;$» après réduction au même dénominateur et
            $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{cos}}(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \cos(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace =p^{2}+\omega ^{2}}\;$ pour $\;\color {transparent}{\Re e(p)>0}\;$» après simplification .

     $\blacktriangleright \;$« Fonction sinusoïdale$\;f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$» s'obtenant en utilisant «$\;f_{\text{sin}}(t)=\Im \left[\exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right]\;$», «$\;{\underline {\mathcal {L}}}\!\left\lbrace \exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{p-i\,\omega }}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» ou
           $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» « si on se limite aux valeurs réelles de $\;p$, $\;\Im \left\lbrace {\underline {\mathcal {L}}}\left[\exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right]\right\rbrace ={\mathcal {L}}\left\lbrace \Im \left[\exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right]\right\rbrace \;$» c.-à-d.
         $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» « si on se limite aux valeurs réelles de $\;\color {transparent}{p}$, «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{sin}}(t)\right\rbrace =\Im \,\left[{\dfrac {1}{p-i\,\omega }}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,0}=\Im \,\left[{\dfrac {p+i\,\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,0}\;$»
   $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» « si on se limite aux valeurs réelles de $\;\color {transparent}{p}$, ou, «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{sin}}(t)\right\rbrace =\left[{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,0}\;$» et enfin,
           $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» en étendant ce résultat aux valeurs complexes de $\;p\;$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \sin(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$».

           $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration$\;{\big (}$utilisant le caractère périodique de la fonction sinusoïdale ${\big )}$ :
           $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration la fonction sinusoïdale $\;f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ étant «$\;T$-périodique avec $\;T={\dfrac {2\;\pi }{\omega }}\;$» on en déduit
           $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{sin}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;f_{\text{sin}}(t)\;dt}{1-\exp(-p\,T)}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» ou encore « pour $\;\Re (p)>0$,
           $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{sin}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;\sin(\omega \,t)\;dt}{1-\exp(-p\,T)}}={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{T}\exp(-p\,t)\;{\dfrac {\exp(i\,\omega \,t)-\exp(-i\,\omega \,t)}{2\;i}}\;dt}{1-\exp(-p\,T)}}\;$ »
      $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration ou «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{sin}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {\displaystyle \int _{0}^{T}\left\lbrace \exp \!\left[-(p-i\;\omega )\;t\right]-\exp \!\left[-(p+i\;\omega )\;t\right]\right\rbrace \,dt}{2\;i\,\left[1-\exp(-p\,T)\right]}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$»,
           $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration le numérateur du 2^nd membre se réécrivant en différence de deux intégrales :
           $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration $\succ \;$$\displaystyle \int _{0}^{T}\exp \!\left[-(p-i\;\omega )\;t\right]\;dt{\overset {\ldots }{\;=\;}}\;{\dfrac {1-\exp(-p\;T)}{p-i\;\omega }}\;$ et
           $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration $\succ \;$$\displaystyle \int _{0}^{T}\exp \!\left[-(p+i\;\omega )\;t\right]\;dt\;{\overset {\ldots }{\;=\;}}\;{\dfrac {1-\exp(-p\;T)}{p+i\;\omega }}\;$ d'où
           $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{sin}}(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{2\;i}}\,\left[{\dfrac {1}{p-i\;\omega }}-{\dfrac {1}{p+i\;\omega }}\right]\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» après simplification évidente ou,
           $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \sin(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re e(p)>0\;$» après réduction au même dénominateur et
            $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale$\;\color {transparent}{f_{\text{sin}}(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» Autre démonstration «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \sin(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace =p^{2}+\omega ^{2}}\;$ pour $\;\color {transparent}{\Re e(p)>0}\;$» après simplification .

     $\blacktriangleright \;$Application : soit à déterminer la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de «$\;f(t)=\cos(\omega \,t+\varphi )\;Y(t)\;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$ et $\;\varphi \in \left]-\pi \,,\,+\pi \right]\;$»,
     $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Application : pour cela on décompose la fonction modulant l'échelon unité selon «$\;\cos(\omega \,t+\varphi )=\cos(\omega \,t)\;\cos(\varphi )-\sin(\omega \,t)\;\sin(\varphi )\;$» ce qui revient à déterminer
     $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Application : soit à déterminer la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de «$\;f(t)=\cos(\varphi )\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)-\sin(\varphi )\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$» soit
           Application : soit à déterminer la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \cos(\omega \,t+\varphi )\;Y(t)\right\rbrace =\cos(\varphi )\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \cos(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace -\sin(\varphi )\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \sin(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$
           Application : soit à déterminer la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \cos(\omega \,t+\varphi )\;Y(t)\right\rbrace =\cos(\varphi )\;{\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}-\sin(\varphi )\;{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$».

Fonctions sinusoïdale et cosinusoïdale amorties exponentiellement

     $\blacktriangleright \;$« Fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement$\;f_{\text{cos amort}}(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\left\lbrace \!{\begin{array}{c}\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\\a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\end{array}}\!\right\rbrace \;$» s'obtenant en utilisant «$\;f_{\text{cos amort}}(t)=\Re \left[\exp(-a\;t)\;\exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right]\;$»,
     $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement$\;\color {transparent}{f_{\text{cos amort}}(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ «$\;{\underline {\mathcal {L}}}\!\left\lbrace \exp \!\left[(-a+i\,\omega )\,t\right]\,Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{p+a-i\,\omega }}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$» ou
     $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement$\;\color {transparent}{f_{\text{cos amort}}(t)}$ « si on se limite aux valeurs réelles de $\;p$, $\;\Re {\Big \langle }{\underline {\mathcal {L}}}\!\left\lbrace \exp \!\left[(-a+i\,\omega )\,t\right]\,Y(t)\right\rbrace \!{\Big \rangle }={\mathcal {L}}{\Big \langle }\Re \left\lbrace \exp \!\left[(-a+i\,\omega )\,t\right]\,Y(t)\right\rbrace \!{\Big \rangle }\;$» c.-à-d.
     $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement$\;\color {transparent}{f_{\text{cos amort}}(t)}$ « si on se limite aux valeurs réelles de $\;\color {transparent}{p}$, «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{cos amort}}(t)\right\rbrace =\Re \,\left[{\dfrac {1}{p+a-i\,\omega }}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,-a}$
     $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement$\;\color {transparent}{f_{\text{cos amort}}(t)}$ « si on se limite aux valeurs réelles de $\;\color {transparent}{p}$, «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{cos amort}}(t)\right\rbrace }$ $=\Re \,\left[{\dfrac {p+a+i\,\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,-a}\;$» ou,
     $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement$\;\color {transparent}{f_{\text{cos amort}}(t)}$ « si on se limite aux valeurs réelles de $\;\color {transparent}{p}$, «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{cos amort}}(t)\right\rbrace =\left[{\dfrac {p+a}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,-a}\;$» et enfin,
     $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement$\;\color {transparent}{f_{\text{cos amort}}(t)}$ en étendant ce résultat aux valeurs complexes de $\;p\;$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {p+a}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$».

     $\blacktriangleright \;$« Fonction sinusoïdale amortie exponentiellement$\;f_{\text{sin amort}}(t)=\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\left\lbrace \!{\begin{array}{c}\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\\a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\end{array}}\!\right\rbrace \;$» s'obtenant en utilisant «$\;f_{\text{sin amort}}(t)=\Im \left[\exp(-a\;t)\;\exp(i\,\omega \,t)\;Y(t)\right]\;$»,
     $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale amortie exponentiellement$\;\color {transparent}{f_{\text{sin amort}}(t)=\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ «$\;{\underline {\mathcal {L}}}\!\left\lbrace \exp \!\left[(-a+i\,\omega )\,t\right]\,Y(t)\right\rbrace =={\dfrac {1}{p+a-i\,\omega }}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$» ou
     $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale amortie exponentiellement$\;\color {transparent}{f_{\text{sin amort}}(t)}$ « si on se limite aux valeurs réelles de $\;p$, $\;\Im {\Big \langle }{\underline {\mathcal {L}}}\!\left\lbrace \exp \!\left[(-a+i\,\omega )\,t\right]\,Y(t)\right\rbrace \!{\Big \rangle }={\mathcal {L}}{\Big \langle }\Im \left\lbrace \exp \!\left[(-a+i\,\omega )\,t\right]\,Y(t)\right\rbrace \!{\Big \rangle }\;$» c.-à-d.
     $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale amortie exponentiellement$\;\color {transparent}{f_{\text{sin amort}}(t)}$ « si on se limite aux valeurs réelles de $\;\color {transparent}{p}$, «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{sin amort}}(t)\right\rbrace ==\Im \,\left[{\dfrac {1}{p+a-i\,\omega }}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,-a}$
     $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale amortie exponentiellement$\;\color {transparent}{f_{\text{sin amort}}(t)}$ « si on se limite aux valeurs réelles de $\;\color {transparent}{p}$, «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{sin amort}}(t)\right\rbrace }$ $=\Im \,\left[{\dfrac {p+a+i\,\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,-a}\;$» ou,
     $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale amortie exponentiellement$\;\color {transparent}{f_{\text{sin amort}}(t)}$ « si on se limite aux valeurs réelles de $\;\color {transparent}{p}$, «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f_{\text{sin amort}}(t)\right\rbrace =\left[{\dfrac {\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{{\text{pour }}p\,=\,\Re (p)\,>\,-a}\;$» et enfin,
     $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$« Fonction sinusoïdale amortie exponentiellement$\;\color {transparent}{f_{\text{sin amort}}(t)}$ en étendant ce résultat aux valeurs complexes de $\;p\;$ «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$».

     $\blacktriangleright \;$Application : soit à déterminer la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de «$\;f(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t+\varphi )\;Y(t)\;$ avec $\;\left\lbrace \!{\begin{array}{c}\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\\a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\end{array}}\!\right\rbrace \;$ et $\;\varphi \in \left]-\pi \,,\,+\pi \right]\;$»,
     $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Application : pour cela on décompose la fonction modulant l'échelon unité selon «$\;\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t+\varphi )=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;\cos(\varphi )-\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;\sin(\varphi )\;$» ce qui revient
     $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$Application : soit à déterminer la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de «$\;f(t)=\cos(\varphi )\;\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)-\sin(\varphi )\;\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$» soit
           Application : soit à déterminer la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t+\varphi )\;Y(t)\right\rbrace =\cos(\varphi )\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f_{\text{cos amort}}(t)\right\rbrace -\sin(\varphi )\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f_{\text{sin amort}}(t)\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$
           Application : soit à déterminer la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t+\varphi )\;Y(t)\right\rbrace =\cos(\varphi )\;{\dfrac {p+a}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}-\sin(\varphi )\;{\dfrac {\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$».

Transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction (ou distribution) complexe d'une variable complexe

     Soit une fonction complexe $\;F\;$ de la variable complexe $\;p\;$ holomorphe sur son domaine de définition.

Définition de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace de la fonction (ou distribution) complexe F(p) de la variable complexe p

Définition

     La transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ inverse de Laplace de la fonction complexe $\;F(p)$ de la variable complexe $\;p\;$
         La transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ inverse de Laplace de la fonction complexe $\;\color {transparent}{F(p)}$ holomorphe sur son domaine de définition
         La transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ inverse de Laplace est la fonction réelle $\;f(t)\;$ de la variable réelle $\;t$, de support positif,
         La transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ inverse de Laplace est la fonction réelle $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ continue par morceaux sur tout intervalle $\;\left]0\,;\,t_{0}\right]\;$
         La transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ inverse de Laplace telle que «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace =F(p)\;$ pour $\;p\;$ tel que $\;\Re (p)>\alpha \;$» avec
         La transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ inverse de Laplace telle que «$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace =\displaystyle \int _{0^{-}}^{+\infty }\exp(-p\,t)\;f(t)\;dt\;$ » et
         La transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ inverse de Laplace $\alpha \;$ abscisse de convergence de la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace  ; on dit encore que $\;f(t)\;$ est l'« originale de $\;F(p)\;$» par transformation $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace .

     Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ inverse de Laplace d'une fonction complexe holomorphe dont l'originale est à support positif à celle
         Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ inverse de Laplace d'une fonction complexe holomorphe dont l'originale est à support positif étendu à gauche de $\;0\;$ c.-à-d. de
         Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ inverse de Laplace d'une fonction complexe holomorphe dont l'originale support $\;\left[0\,,\,+\infty \right[\;\cup \;{\mathcal {V}}(0^{-})\;$ ${\big \{}$avec $\;{\mathcal {V}}(0^{-})\;$ un
         Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ inverse de Laplace d'une fonction complexe holomorphe dont l'originale voisinage ouvert à gauche de $\;0$, borné inférieurement,
         Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ inverse de Laplace d'une fonction complexe holomorphe dont l'originale telle que la restriction de la fonction à $\;\left[0\,,\,+\infty \right[^{\,C}\;$
         Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ inverse de Laplace d'une fonction complexe holomorphe dont l'originale dans $\;{\mathcal {V}}(0^{-})\;$ est indéfiniment dérivable et
         Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ inverse de Laplace d'une fonction complexe holomorphe dont l'originale est une distribution $\;{\big (}$l'intégrale de définition
         Remarques : On prolonge la définition de la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ inverse de Laplace d'une fonction complexe holomorphe dont l'originale de sa transformée de Laplace convergeant ${\big )}$.

     Remarques : Dans le domaine d'holomorphie de $\;F(p)\;$ il peut y avoir des valeurs de $\;p\;$ isolées pour lesquelles $\;F(p)\;$ est discontinue de 1^ère ou 2^ème espèce, dans ce dernier cas
     Remarques : Dans le domaine d'holomorphie de $\;\color {transparent}{F(p)}\;$ il peut y avoir des valeurs de $\;\color {transparent}{p}\;$ isolées pour lesquelles $\;\color {transparent}{F(p)}\;$ est discontinue de 1^ère ou $F(p)\;$ est alors une distribution holomorphe .

Théorème d'unicité des transformées (monolatérales) inverses de Laplace

Début d’un théorème

Théorème (admis) d'unicité de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction complexe holomorphe

     La transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ inverse de Laplace d'une fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ complexe holomorphe
         La transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ inverse de Laplace est unique en dehors des éventuels points de discontinuité.

Fin du théorème

Linéarité de la transformation (monolatérale) inverse de Laplace

     Soient «$\;F_{1}(p)\;$ et $\;F_{2}(p)\;$ deux fonctions $\;{\big (}$ou distributions${\big )}\;$ complexes holomorphes  » admettant pour « transformées $\;{\big (}$monolatérales${\big )}\;$ inverses de Laplace respectives
               Soient «$\;\color {transparent}{F_{1}(p)}\;$ et $\;\color {transparent}{F_{2}(p)}\;$ deux fonctions $\;\color {transparent}{\big (}$ou distributions$\color {transparent}{\big )}\;$ complexes holomorphes » admettant pour « transformées $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérales$\color {transparent}{\big )}\;$ inverses de Laplace $\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F_{1}(p)\right\rbrace \;$ et $\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F_{2}(p)\right\rbrace \;$»,
Soit avec «$\;\alpha =\max \left\lbrace \alpha _{1}\,,\,\alpha _{2}\right\rbrace \;$ la plus grande des abscisses de convergence » des deux transformées $\;{\big (}$monolatérales${\big )}\;$ de Laplace et
    Soient «$\;a\;$ un réel non nul quelconque »,

     on démontre les propriétés suivantes $\;{\big \{}$ces démonstrations utilisent la linéarité de l'intégration permettant de passer de la fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}\;$ à sa transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace ${\big \}}$ :
     on démontre les propriétés suivantes «$\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F_{1}(p)+F_{2}(p)\right\rbrace ={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F_{1}(p)\right\rbrace +{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F_{2}(p)\right\rbrace \;$» pour «$\;\Re (p)>\alpha \;$» et
     on démontre les propriétés suivantes «$\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace a\;F_{1}(p)\right\rbrace =a\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F_{1}(p)\right\rbrace \;$ pour $\;\Re (p)>\alpha _{1}\;$» ou
     on démontre les propriétés suivantes «$\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace a\;F_{2}(p)\right\rbrace =a\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F_{2}(p)\right\rbrace \;$ pour $\;\Re (p)>\alpha _{2}\;$».

Méthode analytique de calcul de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace de la fonction (ou distribution) F(p) holomorphe sur son domaine de définition

     Il n'existe pas de formule analytique générale permettant de calculer $\;f(t)\;$ connaissant $\;F(p)\;$ car, pour une fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}$ $\;F(p)$,
      Il n'existe pas de formule analytique générale permettant de calculer la fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}$ $\;f(t)\;$ correspondante ne fait vraisemblablement pas partie des fonctions usuelles et même
       Il n'existe pas de formule analytique générale permettant de calculer la fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou distribution$\color {transparent}{\big )}$ sa définition peut nécessiter une forme intégrale $\;{\big (}$ou un développement en série${\big )}$ $\;\ldots$

     Une façon de définir l'originale de la fonction $\;{\big (}$ou distribution${\big )}$ $\;F(p)\;$ holomorphe sur son domaine de définition est «$\;f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\lbrace F(p)\right\rbrace ={\dfrac {1}{2\;\pi \;i}}\;\displaystyle \int _{\gamma \,-\,i\,\infty }^{\gamma \,+\,i\,\infty }\exp(p\,t)\;F(p)\;dp\;$» où
     Une façon de définir l'originale de la fonction $\;\color {transparent}{\big (}$ou distribution$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{F(p)}\;$ holomorphe sur son domaine de définition est «$\;\color {transparent}{f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\lbrace F(p)\right\rbrace }$ $\;\gamma \in \mathbb {R} \;$ est choisi tel que l'intégrale soit convergente .

Méthode pratique de recherche de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction rationnelle F(p) dont le numérateur est de degré inférieur à celui du dénominateur

     Préliminaire : une fonction $\;F(p)\;$ complexe de la variable $\;p\;$ complexe est dite rationnelle si elle est un rapport de fonctions polynômes à valeurs dans $\;\mathbb {C}$ ;
     Préliminaire : si $\;P\;$ et $\;Q\;$ sont deux fonctions polynômes non identiquement nulles , « la fonction $\;F={\dfrac {P}{Q}}\;$ est définie pour tout $\;p\;$ tel que $\;Q(p)\neq 0\;$ par $\;F(p)={\dfrac {P(p)}{Q(p)}}\;$».

     Soit « la fonction complexe rationnelle $\;F(p)={\dfrac {P(p)}{Q(p)}}\;$ telle que les polynômes $\;P\;$ et $\;Q\;$ sont à cœfficients réels avec le degré de $\;P(p)\;$ $<\;$ au degré de $\;Q(p)\;$»,
          cette fonction effectivement « holomorphe sur $\;\mathbb {C} \;$ privé des valeurs de $\;p\;$ qui annulent $\;Q(p)\;$», « admet une transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ inverse de Laplace $\;f(t)=$ ${\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F(p\right\rbrace \;$» .

Exposé de la méthode de recherche de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction rationnelle F(p) dont le numérateur est de degré inférieur à celui du dénominateur

     Soit «$\;F(p)={\dfrac {P(p)}{Q(p)}}\;$ écrite sous forme normalisée » avec «$\;P\;$ et $\;Q\;$ à cœfficients réels et $\;\mathrm {deg} \left[P\right]<\mathrm {deg} \left[Q\right]\;$»,
       Soit «$\;\color {transparent}{F(p)=P(p)}\;$ la méthode pour déterminer $\;f(t)$, transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ inverse de Laplace de $\;F(p)={\dfrac {P(p)}{Q(p)}}\;$ est la suivante :
       Soit «$\;\color {transparent}{F(p)=P(p)}\;$ la méthode pour déterminer $\;\color {transparent}{f(t)}$, $\bullet \;$rechercher les « zéros $\;z_{k}\;$» $\;{\big [}$racines complexes de $\;P(p){\big ]}\;$ et les « pôles $\;q_{l}\;$» $\;{\big [}$racines complexes de $\;Q(p){\big ]}\;$ pour écrire
       Soit «$\;\color {transparent}{F(p)=P(p)}\;$ la méthode pour déterminer $\;\color {transparent}{f(t)}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;P(p)=A\;\prod \limits _{k}\left(p-z_{k}\right)\;$» ainsi que «$\;Q(p)=\prod \limits _{l}\left(p-q_{l}\right)\;$» d'où «$\;F(p)=A\;{\dfrac {\prod \limits _{k}\left(p-z_{k}\right)}{\prod \limits _{l}\left(p-q_{l}\right)}}\;$»
       Soit «$\;\color {transparent}{F(p)=P(p)}\;$ la méthode pour déterminer $\;\color {transparent}{f(t)}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$après avoir fait les simplifications éventuelles de façon à ce que la fonction rationnelle soit irréductible, puis
       Soit «$\;\color {transparent}{F(p)=P(p)}\;$ la méthode pour déterminer $\;\color {transparent}{f(t)}$, $\bullet \;$décomposer la fonction rationnelle irréductible en éléments simples soit, dans le cas où tous les pôles sont réels et simples,
       Soit «$\;\color {transparent}{F(p)=P(p)}\;$ la méthode pour déterminer $\;\color {transparent}{f(t)}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;F(p)=A\;\sum \limits _{l}{\dfrac {\rho _{l}}{p-q_{l}}}\;$ avec $\;\rho _{l}\in \mathbb {R} ^{*}\;$ constantes à déterminer » et enfin,
       Soit «$\;\color {transparent}{F(p)=P(p)}\;$ la méthode pour déterminer $\;\color {transparent}{f(t)}$, $\bullet \;$utiliser les connaissances ou un formulaire pour déterminer les originales des éléments simples de réduction comme par exemple
       Soit «$\;\color {transparent}{F(p)=P(p)}\;$ la méthode pour déterminer $\;\color {transparent}{f(t)}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {\rho _{l}}{p-q_{l}}}\right\rbrace =\rho _{l}\;\exp(q_{l}\,t)\;Y(t)\;$ si $\;\Re (p)>q_{l}\;$» et donc, dans le cas où tous les pôles sont réels et simples,
       Soit «$\;\color {transparent}{F(p)=P(p)}\;$ la méthode pour déterminer $\;\color {transparent}{f(t)}$, $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F(p)\right\rbrace =A\left[\sum \limits _{l}\rho _{l}\;\exp(q_{l}\,t)\right]Y(t)\;$ si $\;\Re (p)>\max \limits _{l}q_{l}\;$» .

Exemple de détermination de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction complexe rationnelle holomorphe possédant uniquement des pôles réels simples

     Soit à « déterminer l'originale $\;f(t)\;$ de $\;F(p)={\dfrac {p+1}{p^{2}+5\,p+6}}\;$ par transformation $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ inverse de Laplace  », pour cela
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\bullet \;$déterminer les zéros de la fonction rationnelle soit « un zéro $\;z_{1}=-1\;$» ainsi que
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$déterminer les pôles de cette dernière c.-à-d. les solutions de $\;p^{2}+5\,p+6=0\;$ de discriminant $\;\Delta =5^{2}-4\times 6=1>0\;$ $\Rightarrow$
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$déterminer les pôles de cette dernière c.-à-d. « deux pôles réels et simples $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}q_{1}={\dfrac {-5+{\sqrt {1}}}{2}}=-2\\q_{2}={\dfrac {-5-{\sqrt {1}}}{2}}=-3\end{array}}\right\rbrace \;$» puis
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\bullet \;$déduire la « forme normalisée irréductible de la fonction complexe rationnelle holomorphe $\;F(p)={\dfrac {p+1}{(p+2)\;(p+3)}}\;$» pour
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\bullet \;$la décomposer en éléments simples irréductibles «$\;F(p)={\dfrac {p+1}{(p+2)\;(p+3)}}={\dfrac {\rho _{1}}{p+2}}+{\dfrac {\rho _{2}}{p+3}}\;$»
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer en éléments simples irréductibles $\;{\big [}$les constantes $\;\rho _{1}\;$ et $\;\rho _{2}\;$ restant à évaluer ${\big ]}$,
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\succ \;$la constante $\;\rho _{1}\;$ se déterminant en multipliant de part et d'autre par $\;p+2\;$ et en y faisant $\;p=-2\;$ soit
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\color {transparent}{\succ }\;$$\left[{\dfrac {p+1}{p+3}}\right]_{\!p=-2}=\rho _{1}\;{\cancel {+\left[{\dfrac {\rho _{2}\;(p+2)}{p+3}}\right]_{\!p=-2}}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\rho _{1}=-1\;$» et
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\succ \;$la constante $\;\rho _{2}\;$ se déterminant en multipliant de part et d'autre par $\;p+3\;$ et en y faisant $\;p=-3\;$ soit
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\color {transparent}{\succ }\;$$\left[{\dfrac {p+1}{p+2}}\right]_{\!p=-3}={\cancel {\left[{\dfrac {\rho _{1}\;(p+3)}{p+2}}\right]_{\!p=-3}+}}\;\rho _{2}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\rho _{2}=2\;$» soit finalement
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer en éléments simples irréductibles «$\;F(p)=-{\dfrac {1}{p+2}}+{\dfrac {2}{p+3}}\;$» et
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\bullet \;$en déduire l'« originale $\;f(t)\;$ de $\;F(p)={\dfrac {p+1}{p^{2}+5\,p+6}}\;$ par transformation $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ inverse de Laplace  »
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale «$\;f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F(p)\right\rbrace =-{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p+2}}\right\rbrace +2\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p+3}}\right\rbrace \;$ soit
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale «$\;\color {transparent}{f(t)}$ $={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {p+1}{p^{2}+5\,p+6}}\right\rbrace =\left[-\exp(-2\,t)+2\;\exp(-3\,t)\right]\,Y(t)\;$ si $\;\Re (p)>\max \left(-2\,;\,-3\right)=-2\;$».

Exemple de détermination de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction complexe rationnelle holomorphe possédant uniquement des pôles réels dont un est multiple

     Soit à « déterminer l'originale $\;f(t)\;$ de $\;F(p)={\dfrac {p+1}{p\,(p^{2}+4\,p+4)}}\;$ par transformation $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ inverse de Laplace  », pour cela
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\bullet \;$déterminer les zéros de la fonction rationnelle soit « un zéro $\;z_{1}=-1\;$» ainsi que
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$déterminer les pôles de cette dernière c.-à-d. les solutions de $\;p\,(p^{2}+4\,p+4)=0\;$ donnant
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$déterminer les pôles de cette dernière c.-à-d. « un 1^er pôle réel simple $\;q_{1}=0\;$» et
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$déterminer les pôles de cette dernière c.-à-d. « d'autres pôles racines de $\;p^{2}+4\,p+4=0\;$ équation du 2^ème degré
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$déterminer les pôles de cette dernière c.-à-d. « d'autres pôles racines de $\;\color {transparent}{p^{2}+4\,p+4=0}\;$ de discriminant réduit $\;\Delta '=2^{2}-4=0\;$ $\Rightarrow$
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$déterminer les pôles de cette dernière c.-à-d. « un pôle réel double $\;q_{2}=-2\;$» puis
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\bullet \;$déduire la « forme normalisée irréductible de la fonction complexe rationnelle holomorphe $\;F(p)={\dfrac {p+1}{p\;(p+2)^{2}}}\;$» pour
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\bullet \;$la décomposer en éléments simples irréductibles «$\;F(p)={\dfrac {p+1}{p\;(p+2)^{2}}}={\dfrac {\rho _{1}}{p}}+{\dfrac {\rho _{2}}{(p+2)^{2}}}+{\dfrac {{\rho '}_{\!2}}{p+2}}\;$»
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer en éléments simples irréductibles $\;{\big [}$les constantes $\;\rho _{1}$, $\;\rho _{2}\;$ et $\;{\rho '}_{\!2}\;$ restant à évaluer ${\big ]}$,
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\succ \;$la constante $\;\rho _{1}\;$ se déterminant en multipliant de part et d'autre par $\;p\;$ et en y faisant $\;p=0\;$ soit
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\color {transparent}{\succ }\;$$\left[{\dfrac {p+1}{(p+2)^{2}}}\right]_{\!p=0}=\rho _{1}\;{\cancel {+\left[{\dfrac {\rho _{2}\;p}{(p+2)^{2}}}\right]_{\!p=0}+\left[{\dfrac {{\rho '}_{2}\;p}{p+2}}\right]_{\!p=0}}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\rho _{1}={\dfrac {1}{4}}\;$»,
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\succ \;$la constante $\;\rho _{2}\;$ se déterminant en multipliant de part et d'autre par $\;(p+2)^{2}\;$ et en y faisant $\;p=-2\;$ soit
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\color {transparent}{\succ }\;$$\left[{\dfrac {p+1}{p}}\right]_{\!p=-2}={\cancel {\left[{\dfrac {\rho _{1}\;(p+2)^{2}}{p}}\right]_{\!p=-2}+}}\;\rho _{2}\;{\cancel {+\left[{\rho '}_{2}\;(p+2)\right]_{p=-2}}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\rho _{2}={\dfrac {1}{2}}\;$» et
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\succ \;$la constante $\;{\rho '}_{2}\;$ se déterminant en multipliant de part et d'autre par $\;p+2\;$ et en y faisant $\;p\rightarrow \infty \;$ soit
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\color {transparent}{\succ }\;$${\cancel {\left[{\dfrac {p+1}{p\,(p+2)}}\right]_{\!p\rightarrow \infty }}}\;=\left[{\dfrac {\rho _{1}\;(p+2)}{p}}\right]_{\!p\rightarrow \infty }\;{\cancel {+\left[{\dfrac {\rho _{2}}{p+2}}\right]_{\!p\rightarrow \infty }+}}\;{\rho '}_{2}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\rho '}_{2}=-\rho _{1}\;$ c.-à-d., avec $\;\rho _{1}={\dfrac {1}{4}}$, «$\;{\rho '}_{2}=-{\dfrac {1}{4}}\;$»
  Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer en éléments simples soit finalement «$\;F(p)={\dfrac {1}{4\;p}}+{\dfrac {1}{2\,(p+2)^{2}}}-{\dfrac {1}{4\,(p+2)}}\;$» et
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\bullet \;$en déduire l'« originale $\;f(t)\;$ de $\;F(p)={\dfrac {p+1}{p\,(p^{2}+4\,p+4)}}\;$ par transformation $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ inverse de Laplace  »
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale «$\;f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F(p)\right\rbrace ={\dfrac {1}{4}}\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p}}\right\rbrace +{\dfrac {1}{2}}\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{(p+2)^{2}}}\right\rbrace -{\dfrac {1}{4}}\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p+2}}\right\rbrace \;$ soit
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale «$\;\color {transparent}{f(t)}$ $={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {p+1}{p\,(p^{2}+4\,p+4)}}\right\rbrace ={\dfrac {1}{4}}\left[1+2\;t\;\exp(-2\,t)-\exp(-2\,t)\right]\,Y(t)\;$ si $\;\Re (p)>\max \left(0\,;\,-2\right)\;$
                       Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale «$\;\color {transparent}{f(t)}$ $\color {transparent}{={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace p\,(p^{2}+4\,p+4)\right\rbrace =1\left[1+2\;t\;\exp(-2\,t)-\exp(-2\,t)\right]\,Y(t)}\;$ ou $\;\Re (p)>0\;$».

Exemple de détermination de la transformée (monolatérale) inverse de Laplace d'une fonction complexe rationnelle holomorphe possédant des pôles complexes conjugués

     Soit à « déterminer l'originale $\;f(t)\;$ de $\;F(p)={\dfrac {p+1}{p\,(p^{2}+p+2)}}\;$ par transformation $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ inverse de Laplace  », pour cela
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\bullet \;$déterminer les zéros de la fonction rationnelle soit « un zéro $\;z_{1}=-1\;$» ainsi que
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$déterminer les pôles de cette dernière c.-à-d. les solutions de $\;p\,(p^{2}+4\,p+4)=0\;$ donnant
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$déterminer les pôles de cette dernière c.-à-d. « un 1^er pôle réel simple $\;q_{1}=0\;$» et
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$déterminer les pôles de cette dernière c.-à-d. « d'autres pôles racines de $\;p^{2}+p+2=0\;$ équation du 2^ème degré
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$déterminer les pôles de cette dernière c.-à-d. « d'autres pôles racines de $\;\color {transparent}{p^{2}+p+2=0}\;$ de discriminant $\;\Delta =1^{2}-4\times 2=-7<0\;$ $\Rightarrow$
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$déterminer les pôles de cette dernière c.-à-d. « deux pôles complexes conjugués qu'il n'est pas utiles de déterminer » puis
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\bullet \;$déduire la « forme normalisée irréductible de la fonction complexe rationnelle holomorphe $\;F(p)={\dfrac {p+1}{p\;(p^{2}+p+2)}}\;$» pour
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\bullet \;$la décomposer en éléments simples irréductibles «$\;F(p)={\dfrac {p+1}{p\;(p^{2}+p+2)}}={\dfrac {\rho _{1}}{p}}+{\dfrac {\rho _{2}\;p+{\rho '}_{2}}{p^{2}+p+2}}\;$»
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer en éléments simples irréductibles $\;{\big [}$les constantes $\;\rho _{1}$, $\;\rho _{2}\;$ et $\;{\rho '}_{\!2}\;$ restant à évaluer ${\big ]}$,
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\succ \;$la constante $\;\rho _{1}\;$ se déterminant en multipliant de part et d'autre par $\;p\;$ et en y faisant $\;p=0\;$ soit
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\color {transparent}{\succ }\;$$\left[{\dfrac {p+1}{p^{2}+p+2}}\right]_{\!p=0}=\rho _{1}\;{\cancel {+\left[{\dfrac {\left(\rho _{2}\;p+{\rho '}_{2}\right)\,p}{p^{2}+p+2}}\right]_{\!p=0}}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\rho _{1}={\dfrac {1}{2}}\;$»,
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\succ \;$la constante $\;\rho _{2}\;$ se déterminant en multipliant de part et d'autre par $\;p\;$ et en y faisant $\;p\rightarrow \infty \;$ soit
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\color {transparent}{\succ }\;$${\cancel {\left[{\dfrac {p+1}{p^{2}+p+2}}\right]_{\!p\rightarrow \infty }}}=\rho _{1}\;+\left[{\dfrac {\left(\rho _{2}\;p+{\rho '}_{2}\right)\,p}{p^{2}+p+2}}\right]_{\!p\rightarrow \infty }\;$ $\Rightarrow$ $\;\rho _{2}=-\rho _{1}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\rho _{2}=-{\dfrac {1}{2}}\;$» et
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\succ \;$la constante $\;{\rho '}_{2}\;$ se déterminant en donnant une valeur particulière à $\;p\;$ par exemple $\;p=-1\;$ soit
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer $\color {transparent}{\succ }\;$${\cancel {\left[{\dfrac {p+1}{p\;(p^{2}+p+2)}}\right]_{\!p=-1}}}=\left[{\dfrac {\rho _{1}}{p}}+{\dfrac {\rho _{2}\;p+{\rho '}_{2}}{p^{2}+p+2}}\right]_{\!p=-1}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\dfrac {{\rho '}_{2}}{2}}=\rho _{1}+{\dfrac {\rho _{2}}{2}}={\dfrac {\rho _{1}}{2}}\;$ $\Rightarrow$ $\;{\rho '}_{2}=\rho _{1}\;$ $\Rightarrow$ «$\;{\rho '}_{2}={\dfrac {1}{2}}\;$»
  Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$la décomposer en éléments simples soit finalement «$\;F(p)={\dfrac {1}{2\;p}}-{\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {p-1}{p^{2}+p+2}}\;$» et
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\bullet \;$en déduire l'« originale $\;f(t)\;$ de $\;F(p)={\dfrac {p+1}{p\,(p^{2}+p+2)}}\;$ par transformation $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ inverse de Laplace  »
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale «$\;f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F(p)\right\rbrace ={\dfrac {1}{2}}\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p}}\right\rbrace -{\dfrac {1}{2}}\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {p-1}{p^{2}+p+2}}\right\rbrace \;$ » $\;{\Bigg \{}\!$à ce stade il devient utile de réécrire le
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale « 2^ème élément simple correspondant aux pôles complexes conjugués de façon à utiliser les transformées $\;{\big (}$monolatérales${\big )}\;$
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale « inverses de Laplace «$\;\left[{\begin{array}{c}{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {p+a}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right\rbrace =\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\\{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right\rbrace =\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\end{array}}\right]\;$»

soit, le dénominateur de ce 2ème 
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale « élément simple se réécrivant selon «$\;p^{2}+p+2=\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)^{\!2}-{\dfrac {1}{4}}+2=\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)^{\!2}+\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\right)^{\!2}\;$» induisant 
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale « $\left[{\begin{array}{c}a={\dfrac {1}{2}}\\\omega ={\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\end{array}}\right]$, suggérant la réécriture du numérateur de ce 2ème élément simple selon «$\;p-1=\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)-{\dfrac {3}{2}}\;$» 
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale « soit «$\;p-1=\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)-{\dfrac {3}{\sqrt {7}}}\;{\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;$» d'où la réécriture de ce 2ème élément simple selon 
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale « «$\;{\dfrac {p-1}{p^{2}+p+2}}={\dfrac {p+{\dfrac {1}{2}}}{\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)^{\!2}+\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\right)^{\!2}}}-{\dfrac {3}{\sqrt {7}}}\;{\dfrac {\dfrac {\sqrt {7}}{2}}{\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)^{\!2}+\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\right)^{\!2}}}\;$»${\Bigg \}}\;$ soit, avec «$\;f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F(p)\right\rbrace \;$» $\Rightarrow$ 
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale «$\;f(t)={\dfrac {1}{2}}\left[{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {1}{p}}\right\rbrace -{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {p+{\dfrac {1}{2}}}{\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)^{\!2}+\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\right)^{\!2}}}\right\rbrace +{\dfrac {3}{\sqrt {7}}}\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {\dfrac {\sqrt {7}}{2}}{\left(p+{\dfrac {1}{2}}\right)^{\!2}+\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\right)^{\!2}}}\right\rbrace \right]\;$»  ou 
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale «$\;f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F(p)\right\rbrace ={\dfrac {1}{2}}\left[1-\exp \!\left(-{\dfrac {1}{2}}\;t\right)\,\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;t\right)+{\dfrac {3}{\sqrt {7}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {1}{2}}\;t\right)\,\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;t\right)\right]\,Y(t)\;$»   
     Soit à « déterminer l'originale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ on commence par $\color {transparent}{\bullet }\;$en déduire l'originale «$\;\color {transparent}{f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace F(p)\right\rbrace =}$ sous la condition $\;\Re (p)>\max \left(0\,;\,-{\dfrac {1}{2}}\right)=0\;$».

     Remarque : il est possible de mettre l'expression «$\;g(t)=\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;t\right)-{\dfrac {3}{\sqrt {7}}}\;\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;t\right)\;$» sous la forme «$\;g(t)=C\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;t+\varphi \right)\;$» en posant
     Remarque : «$\;C={\sqrt {(1)^{2}+{\dfrac {(-3)^{2}}{7}}}}={\dfrac {4}{\sqrt {7}}}\;$» $\Rightarrow$ «$\;g(t)={\dfrac {4}{\sqrt {7}}}\left[{\dfrac {\sqrt {7}}{4}}\;\cos \!\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;t\right)-{\dfrac {3}{4}}\;\sin \!\left({\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;t\right)\right]\;$» puis
     Remarque : «$\left\lbrace {\begin{array}{c}\cos(\varphi )={\dfrac {\sqrt {7}}{4}}\\\sin(\varphi )={\dfrac {3}{4}}\end{array}}\right\rbrace \;$» correspondant à «$\;\varphi =\arctan \!\left({\dfrac {3}{\sqrt {7}}}\right)\;$» $\Rightarrow$ «$\;g(t)={\dfrac {4}{\sqrt {7}}}\;\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;t+\arctan \!\left({\dfrac {3}{\sqrt {7}}}\right)\right]\;$»
     Remarque : permettant de réécrire l'« originale de $\;F(p)={\dfrac {p+1}{p\;(p^{2}+p+2)}}\;$» par transformation $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace sous la forme
     Remarque : permettant de réécrire l'« originale «$\;f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {p+1}{p\,(p^{2}+p+2)}}\right\rbrace ={\dfrac {1}{2}}\left\lbrace 1-{\dfrac {4}{\sqrt {7}}}\;\exp \!\left(-{\dfrac {1}{2}}\;t\right)\,\cos \!\left[{\dfrac {\sqrt {7}}{2}}\;t+\arctan \!\left({\dfrac {3}{\sqrt {7}}}\right)\right]\right\rbrace \,Y(t)\;$» si $\;\Re (p)>0\;$ ou numériquement
     Remarque : permettant de réécrire l'« originale «$\;f(t)\simeq {\dfrac {1}{2}}\left[1-1,512\;\exp \!\left(-0,5\;t\right)\,\cos \!\left(1,323\;t+0,848\right)\right]\,Y(t)\;$» sous la condition $\;\Re (p)>0$.

Théorèmes aux limites applicables dans la transformation (monolatérale) de Laplace

Théorème de la valeur initiale dans la transformation (monolatérale) de Laplace

Énoncé du théorème de la valeur initiale dans la transformation (monolatérale) de Laplace

Début d’un théorème

Théorème (admis) de la valeur initiale dans la transformation (monolatérale) de Laplace

     Soit une « fonction réelle causale $\;f(t)\;$ de la variable réelle $\;t\;$» ,
              Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ convergeant en $\;t=0\;$ et
              Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ telle qu'une transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;F(p)={\mathcal {L}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$»
              Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ telle qu'une d'abscisse de convergence $\;\alpha \in \mathbb {R} \,\cup \,-\infty \;$ lui est associée ,
     nous admettons la propriété suivante «$\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[f(t)\right]=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }\;$».

Fin du théorème

Vérification du théorème de la valeur initiale dans la transformation (monolatérale) de Laplace sur des exemples

     À défaut de démonstration , on peut vérifier le « théorème de la valeur initiale » sur des exemples :

• « fonction de Heaviside $\;{\big (}$ou échelon unité${\big )}$ $\;f(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si}}\;t>0\\0\;{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$» de « transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {1}{p}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» ,
        « fonction de Heaviside $\;\color {transparent}{\big (}$ou échelon unité$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{f(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si}}\;t>0\\0\;{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace }\;$» on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=1=f(0^{+})\;$»,
• « fonction rampe $\;f(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\;t\;{\text{si}}\;t\geqslant 0\\0\quad {\text{si}}\;t\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace \;$» de « transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {a}{p^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» ,
  « fonction rampe $\;\color {transparent}{f(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\;t\;{\text{si}}\;t\geqslant 0\\0\quad {\text{si}}\;t\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace }\;$» on vérifie que $\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=0=f(0^{+})\;$»,
• « fonction exponentielle réelle $\;f(t)=\exp(-a\,t)\;Y(t)\;$ avec $\;a\in \mathbb {R} ^{*}\;$» de « transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {1}{p+a}}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$» ,
  « fonction exponentielle réelle $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{a\in \mathbb {R} ^{*}}\;$» on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=1=f(0^{+})\;$»,
• « fonction cosinusoïdale $\;f(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$» de « transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» ,
       « fonction cosinusoïdale $\;\color {transparent}{f(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$» avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=1=f(0^{+})\;$»,
• « fonction sinusoïdale $\;f(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$» de « transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» ,
       « fonction sinusoïdale $\;\color {transparent}{f(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$» avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=0=f(0^{+})\;$»,
• « fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement $\;f(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\\a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\end{array}}\right\rbrace \;$» de « transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {p+a}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;$
               « fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$» avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace \omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\right\rbrace }\;$» de « transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace pour $\;\Re (p)>-a\;$» ,
          « fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$» avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace \omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\right\rbrace }\;$» on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=1=f(0^{+})\;$» et
• « fonction sinusoïdale amortie exponentiellement $\;f(t)=\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\\a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\end{array}}\right\rbrace \;$» de « transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;$
               « fonction sinusoïdale amortie exponentiellement $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$» avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace \omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\right\rbrace }\;$» de « transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace pour $\;\Re (p)>-a\;$» ,
          « fonction sinusoïdale amortie exponentiellement $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$» avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace \omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\right\rbrace }\;$» on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=0=f(0^{+})\;$»
• $\;\ldots$

Généralisation à la détermination de la valeur initiale de la dérivée temporelle dans la transformation (monolatérale) de Laplace

Valeur initiale de la dérivée temporelle dans la transformation (monolatérale) de Laplace

     Soit une « fonction réelle causale $\;f(t)\;$ et sa dérivée temporelle $\;{\dot {f}}(t)\;$ de la variable réelle $\;t\;$» ,
                      Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ et sa dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ convergeant toutes deux en $\;t=0\;$ et
                      Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ et sa dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ telle qu'une transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de
                      Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ et sa dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ Laplace leur est respectivement associée soit
                      Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ et sa dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ $\bullet \;$«$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace =F(p)\;$» d'abscisse de convergence
                      Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ et sa dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\alpha \in \mathbb {R} \,\cup \,-\infty \;$ et
                      Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ et sa dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ $\bullet \;$«$\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =p\;F(p)-f(0^{+})$» d'abscisse
                      Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ et sa dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)}\;$ $\color {transparent}{\bullet }\;$«de convergence $\;\alpha \in \mathbb {R} \,\cup \,-\infty \;$,
     nous admettons la validité de la propriété suivante «$\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[{\dot {f}}(t)\right]=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)-p\;f(0^{+})\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }$».

Application à la détermination de la valeur initiale de la dérivée temporelle dans la transformation (monolatérale) de Laplace sur des exemples

     Reprenant les exemples des fonctions usuelles ayant servi à vérifier le théorème de la valeur initiale
     Reprenant les exemples des fonctions usuelles à l'exception de la fonction de Heaviside $\;{\big (}$car sa dérivée diverge en $\;t=0{\big )}\;$
     Reprenant les exemples des fonctions usuelles pour justifier la validité de la détermination de la valeur initiale de la dérivée temporelle utilisant la transformation $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace  :

• « fonction rampe $\;f(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\;t\;{\text{si}}\;t\geqslant 0\\0\quad {\text{si}}\;t\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace \;$» $\;{\big [}$«$\;f(0^{+})=0\;$»${\big ]}\;$ de « transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {a}{p^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» , de
  « dérivée temporelle $\;{\dot {f}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\quad {\text{si}}\;t>0\\0\quad {\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$ ${\big (}$discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0\;$${\big )}\;$» de « transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;G(p)=p\;F(p)\;$ $={\dfrac {a}{p}}\;$
                              « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace a\quad {\text{si}}\;t>0\right\rbrace }\;$ $\color {transparent}{\big (}$discontinue de 1^ère espèce en $\;\color {transparent}{t=0}\;$$\color {transparent}{\big )}\;$» de « transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\;\color {transparent}{G(p)=p\;F(p)}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ »
               « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\quad {\text{si}}\;t>0\\0\quad {\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace }\;$ $\color {transparent}{\big (}$discontinue de 1^ère espèce en $\;\color {transparent}{t=0}\;$$\color {transparent}{\big )}\;$» on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)\;{\cancel {-p\;f(0^{+})}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=a={\dot {f}}(0^{+})\;$»,
• « fonction exponentielle réelle $\;f(t)=\exp(-a\,t)\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c l}\exp(-a\,t)\!\!&{\text{si}}\;t>0\\0\!\!&{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;a\in \mathbb {R} ^{*}\;$» $\;{\big [}$«$\;f(0^{+})=1\;$»${\big ]}\;$ de « transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {1}{p+a}}\;$ pour
               « fonction exponentielle réelle $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;Y(t)=\left\lbrace \exp(-a\,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace }\;$ avec $\;\color {transparent}{a\in \mathbb {R} ^{*}}\;$» $\;\color {transparent}{\big [}$«$\;\color {transparent}{f(0^{+})=1}\;$»$\color {transparent}{\big ]}\;$ de « transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\;\Re (p)>-a\;$» , de
  « dérivée temporelle $\;{\dot {f}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c l}-a\;\exp(-a\,t)\!\!&{\text{si}}\;t>0\\0\!\!&{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace =-a\;\exp(-a\,t)\;Y(t)\;$ ${\big (}$discontinue de 1^ère espèce en $\;t=0\;$${\big )}\;$», de « transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;G(p)=$
                      « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace -a\;\exp(-a\,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace =-a\;\exp(-a\,t)\;Y(t)}\;$ $\color {transparent}{\big (}$discontinue de 1^ère espèce en $\;\color {transparent}{t=0}\;$$\color {transparent}{\big )}\;$», de « $p\;F(p)-1\;$ $={\dfrac {-a}{p+a}}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$ »
                   « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace -a\;\exp(-a\,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace =-a\;\exp(-a\,t)\;Y(t)}\;$ on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)-p\;f(0^{+})\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[{\dfrac {p^{2}}{p+a}}-p\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[{\dfrac {-p\;a)}{p+a}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }$
                   « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace -a\;\exp(-a\,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace =-a\;\exp(-a\,t)\;Y(t)}\;$ on vérifie que «$\;\color {transparent}{\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)-p\;f(0^{+})\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }}$ $=-a={\dot {f}}(0^{+})\;$»,
• « fonction cosinusoïdale $\;f(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c l}\cos(\omega \,t)\!\!&{\text{si}}\;t>0\\0\!\!&{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$» $\;{\big [}$«$\;f(0^{+})=1\;$»${\big ]}\;$ de « transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$
                     « fonction cosinusoïdale $\;\color {transparent}{f(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)=\left\lbrace \cos(\omega \,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace }\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» $\;\color {transparent}{\big [}$«$\;\color {transparent}{f(0^{+})=1}\;$»$\color {transparent}{\big ]}\;$ de « transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace pour $\;\Re (p)>0\;$» , de
  « dérivée temporelle $\;{\dot {f}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c l}-\omega \;\sin(\omega \,t)\!\!&{\text{si}}\;t>0\\0\!\!&{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace =-\omega \;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ », de « transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;G(p)=p\;F(p)-1\;$ $={\dfrac {-\omega ^{2}}{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$
                                   « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace -\omega \;\sin(\omega \,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace =-\omega \;\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ », de « transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\;\color {transparent}{G(p)=p\;F(p)-1}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ »
                   « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace -\omega \;\sin(\omega \,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace =-\omega \;\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)-p\;f(0^{+})\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[{\dfrac {p^{3}}{p^{2}+\omega ^{2}}}-p\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[{\dfrac {-p\;\omega ^{2}}{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }$
                   « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace -\omega \;\sin(\omega \,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace =-\omega \;\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ on vérifie que «$\;\color {transparent}{\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)-p\;f(0^{+})\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }}$ $=0={\dot {f}}(0^{+})\;$»,
• « fonction sinusoïdale $\;f(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c l}\sin(\omega \,t)\!\!&{\text{si}}\;t>0\\0\!\!&{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$» $\;{\big [}$«$\;f(0^{+})=0\;$»${\big ]}\;$ de « transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$
                     « fonction sinusoïdale $\;\color {transparent}{f(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)=\left\lbrace \sin(\omega \,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace }\;$ avec $\;\color {transparent}{\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}}\;$» $\;\color {transparent}{\big [}$«$\;\color {transparent}{f(0^{+})=0}\;$»$\color {transparent}{\big ]}\;$ de « transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace pour $\;\Re (p)>0\;$» , de
  « dérivée temporelle $\;{\dot {f}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c l}\omega \;\cos(\omega \,t)\!\!&{\text{si}}\;t>0\\0\!\!&{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace =\omega \;\cos(\omega \,t)\;Y(t)\;$ ${\big \{}$discontinue de 1^ère espèce ${\big \}}\;$», de « transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;G(p)=p\;F(p)\;$
                       « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace \omega \;\cos(\omega \,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace =\omega \;\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ », $\color {transparent}{\big \{}$discontinue de 1^ère espèce$\color {transparent}{\big \}}\;$», de « transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\;\color {transparent}{G(p)}\;$ $={\dfrac {p\;\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$
                       « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace \omega \;\cos(\omega \,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace =\omega \;\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ », $\color {transparent}{\big \{}$discontinue de 1^ère espèce$\color {transparent}{\big \}}\;$», de « transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\;\color {transparent}{G(p)}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$ »
                   « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace \omega \;\cos(\omega \,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace =\omega \;\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)\;{\cancel {-p\;f(0^{+})}}\;\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[{\dfrac {p^{2}\;\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\omega =$ ${\dot {f}}(0^{+})\;$»,
• « fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement $\;f(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\left\lbrace \!{\begin{array}{c}\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\\a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\end{array}}\!\right\rbrace \;$» $\;{\big [}$«$\;f(0^{+})=1\;$»${\big ]}\;$ de « transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace
          « fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace \!\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\!\right\rbrace }\;$» $\;\color {transparent}{\big [}$«$\;\color {transparent}{f(0^{+})=1}\;$»$\color {transparent}{\big ]}\;$ de « $\;F(p)={\dfrac {p+a}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$» , de
  « dérivée temporelle $\;{\dot {f}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c l}\left[-a\;\cos(\omega \,t)-\omega \;\sin(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\!\!&{\text{si}}\;t>0\\0\!\!&{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace =\left[-a\;\cos(\omega \,t)-\omega \;\sin(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\;Y(t)\;$ ${\big \{}$discontinue de 1^ère espèce ${\big \}}\;$»,
                 « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace \left[-a\;\cos(\omega \,t)-\omega \;\sin(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace }$ de « transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;G(p)=p\;F(p)-f(0^{+})\;$ $=-{\dfrac {a\;(p+a)+\omega ^{2}}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;$
                      « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace \left[-a\;\cos(\omega \,t)-\omega \;\sin(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace }$ de « transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\;\color {transparent}{G(p)=}$ pour $\;\Re (p)>-a\;$ »
                 « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace \left[-a\;\cos(\omega \,t)-\omega \;\sin(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace }$ on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)-p\;f(0^{+})\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[{\dfrac {p^{2}\,(p+a)}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}-p\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }$
                 « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace \left[-a\;\cos(\omega \,t)-\omega \;\sin(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace }$ on vérifie que «$\;\color {transparent}{\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)-p\;f(0^{+})\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }}$ $=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[{\dfrac {p^{2}\,(p+a)-p\,(p+a)^{2}-p\;\omega ^{2}}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }$
                 « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace \left[-a\;\cos(\omega \,t)-\omega \;\sin(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace }$ on vérifie que «$\;\color {transparent}{\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)-p\;f(0^{+})\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }}$ $=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[{\dfrac {-p^{2}\;a-p\,(a^{2}+\omega ^{2})}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }$
                 « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace \left[-a\;\cos(\omega \,t)-\omega \;\sin(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace }$ on vérifie que «$\;\color {transparent}{\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)-p\;f(0^{+})\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }}$ $=-a={\dot {f}}(0^{+})\;$» et
• « fonction sinusoïdale amortie exponentiellement $\;f(t)=\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\left\lbrace \!{\begin{array}{c}\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\\a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\end{array}}\!\right\rbrace \;$» $\;{\big [}$«$\;f(0^{+})=0\;$»${\big ]}\;$ de « transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace
          « fonction sinusoïdale amortie exponentiellement $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace \!\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\!\right\rbrace }\;$» $\;\color {transparent}{\big [}$«$\;\color {transparent}{f(0^{+})=0}\;$»$\color {transparent}{\big ]}\;$ de « $\;F(p)={\dfrac {\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$» , de
  « dérivée temporelle $\;{\dot {f}}(t)=\left\lbrace {\begin{array}{c l}\left[-a\;\sin(\omega \,t)+\omega \;\cos(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\!\!&{\text{si}}\;t>0\\0\!\!&{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace =\left[-a\;\sin(\omega \,t)+\omega \;\cos(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\;Y(t)\;$ ${\big \{}$discontinue de 1^ère espèce ${\big \}}\;$»,
                 « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace \left[-a\;\sin(\omega \,t)+\omega \;\cos(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace }$ de « transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;G(p)=p\;F(p)\;$ $={\dfrac {p\;\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;$
                      « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace \left[-a\;\sin(\omega \,t)+\omega \;\cos(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace }$ de « transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\;\color {transparent}{G(p)=}$ pour $\;\Re (p)>-a\;$ »
                 « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace \left[-a\;\sin(\omega \,t)+\omega \;\cos(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace }$ on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)-p\;f(0^{+})\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[{\dfrac {p^{2}\,\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }$
                 « dérivée temporelle $\;\color {transparent}{{\dot {f}}(t)=\left\lbrace \left[-a\;\sin(\omega \,t)+\omega \;\cos(\omega \,t)\right]\,\exp(-a\,t)\!\!{\text{si}}\;t>0\right\rbrace }$ on vérifie que «$\;\color {transparent}{\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p^{2}\;F(p)-p\;f(0^{+})\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }}$ $=\omega ={\dot {f}}(0^{+})\;$».

Théorème de la valeur finale dans la transformation (monolatérale) de Laplace

Énoncé du théorème de la valeur finale dans la transformation (monolatérale) de Laplace

Début d’un théorème

Théorème (admis) de la valeur finale dans la transformation (monolatérale) de Laplace

     Soit une « fonction réelle causale $\;f(t)\;$ de la variable réelle $\;t\;$» ,
              Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ convergeant pour $\;t\rightarrow +\infty \;$,
              Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ localement intégrable au voisinage de $\;t=0\;$ et
              Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ telle qu'une transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;F(p)={\mathcal {L}}\!\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$»
              Soit une « fonction réelle causale $\;\color {transparent}{f(t)}\;$ d'abscisse de convergence $\;\alpha \in \mathbb {R} ^{-}\,\cup \,-\infty \;$ lui est associée ,
     nous admettons la propriété suivante «$\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[f(t)\right]=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }\;$».

Fin du théorème

Vérification du théorème de la valeur finale dans la transformation (monolatérale) de Laplace sur des exemples

     À défaut de démonstration , on peut vérifier le « théorème de la valeur finale » sur des exemples :

• « fonction de Heaviside $\;{\big (}$ou échelon unité${\big )}$ $\;f(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si}}\;t>0\\0\;{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace \;$» de « transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {1}{p}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» ,
        « fonction de Heaviside $\;\color {transparent}{\big (}$ou échelon unité$\color {transparent}{\big )}$ $\;\color {transparent}{f(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}1\;{\text{si}}\;t>0\\0\;{\text{si}}\;t<0\end{array}}\right\rbrace }\;$» on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=1=\lim \limits _{t\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[f(t)\right]\;$»,
• « fonction rampe $\;f(t)=\left\lbrace {\begin{array}{l}a\;t\;{\text{si}}\;t\geqslant 0\\0\quad {\text{si}}\;t\leqslant 0\end{array}}\right\rbrace \;$» de « transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {a}{p^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» ,
  on ne peut lui appliquer le théorème de la valeur finale, cette fonction divergeant à l'infini, néanmoins on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;{\dfrac {a}{p^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\infty \;$»,
• « fonction exponentielle réelle $\;f(t)=\exp(-a\,t)\;Y(t)\;$ avec $\;a\in \mathbb {R} ^{*}\;$» de « transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {1}{p+a}}\;$ pour $\;\Re (p)>-a\;$» ,
  « fonction exponentielle réelle $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{a\in \mathbb {R} ^{*}}\;$» on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[{\dfrac {p}{p+a}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=0=\lim \limits _{t\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[f(t)\right]\;$» ,
• « fonction cosinusoïdale $\;f(t)=\cos(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$» de « transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» ,
  on ne peut lui appliquer le théorème de la valeur finale, cette fonction n'ayant aucune limite à l'infini, ce qu'on vérifie car «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;{\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=0\;$ alors que
  on ne peut lui appliquer le théorème de la valeur finale, cette fonction n'ayant aucune limite à l'infini, ce qu'on vérifie car «$\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[f(t)\right]\;$ n'existe pas »,
• « fonction sinusoïdale $\;f(t)=\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$» de « transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» ,
  on ne peut lui appliquer le théorème de la valeur finale, cette fonction n'ayant aucune limite à l'infini, ce qu'on vérifie car «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,0^{+}}\!\left[p\;{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=0\;$ alors que
  on ne peut lui appliquer le théorème de la valeur finale, cette fonction n'ayant aucune limite à l'infini, ce qu'on vérifie car «$\;\lim \limits _{t\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[f(t)\right]\;$ n'existe pas »,
• « fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement $\;f(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\left\lbrace \!{\begin{array}{c}\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\\a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\end{array}}\!\right\rbrace \;$» de « transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {p+a}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;$
                 « fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace \!\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\!\right\rbrace }\;$» de « transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace pour $\;\Re (p)>-a\;$» ,
            « fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace \!\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\!\right\rbrace }\;$» on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;{\dfrac {p+a}{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=0$
            « fonction cosinusoïdale amortie exponentiellement $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace \!\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\!\right\rbrace }\;$» on vérifie que «$\;\color {transparent}{\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }}$ $=\lim \limits _{t\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[f(t)\right]\;$» et
• « fonction sinusoïdale amortie exponentiellement $\;f(t)=\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;\left\lbrace \!{\begin{array}{c}\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\\a\in \mathbb {R} _{+}^{*}\end{array}}\!\right\rbrace \;$» de « transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;F(p)={\dfrac {\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\;$
                 « fonction sinusoïdale amortie exponentiellement $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace \!\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\!\right\rbrace }\;$» de « transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace pour $\;\Re (p)>-a\;$» ,
            « fonction sinusoïdale amortie exponentiellement $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace \!\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\!\right\rbrace }\;$» on vérifie que «$\;\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;{\dfrac {\omega }{(p+a)^{2}+\omega ^{2}}}\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }=0$
             « fonction sinusoïdale amortie exponentiellement $\;\color {transparent}{f(t)=\exp(-a\,t)\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$ avec $\;\color {transparent}{\left\lbrace \!\omega \in \mathbb {R} _{+}^{*}\!\right\rbrace }\;$» on vérifie que «$\;\color {transparent}{\lim \limits _{p\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[p\;F(p)\right]_{p\,\in \,\mathbb {R} }}$ $=\lim \limits _{t\,\rightarrow \,+\infty }\!\left[f(t)\right]\;$» $\;\ldots$

Utilisation de la transformation (monolatérale) de Laplace pour la résolution des équations différentielles linéaires à cœfficients constants

     Nous cherchons des « solutions réelles causales » d'« équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants homogènes ou hétérogènes »
              Nous cherchons des « solutions réelles causales » d'« par utilisation de la transformation $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;{\big [}$tous les termes du 1^er et 2^nd membre de l'équation devant être pourvus
                  Nous cherchons des « solutions réelles causales » d'« par utilisation de la transformation $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\;\color {transparent}{\big [}$d'une transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace , $\Rightarrow$ l'excitation du 2^nd
                  Nous cherchons des « solutions réelles causales » d'« par utilisation de la transformation $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\;\color {transparent}{\big [}$membre de l'équation doit être continue, discontinue de 1^ère ou 2^ème
                  Nous cherchons des « solutions réelles causales » d'« par utilisation de la transformation $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\;\color {transparent}{\big [}$espèce en $\;t=0\;$ mais
                  Nous cherchons des « solutions réelles causales » d'« par utilisation de la transformation $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\;\color {transparent}{\big [}$en aucun cas “ discontinue de 3^ème espèce ” ${\big ]}$,
     Nous cherchons des « solutions pouvant être continues ou discontinues de 1^ère espèce en $\;t=0\;$ pour une équation différentielle du 1^er ordre ou
     Nous cherchons des « solutions nécessairement continues en $\;t=0\;$ pour une équation différentielle du 2^ème ordre ou plus .

     Remarque : Si cette méthode par transformation $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace est pratique, elle n'est toutefois pas applicable dans toutes les configurations et surtout
         Remarque : Si cette méthode par transformation $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace est pratique, elle ne doit pas être employée en physique par un étudiant de P.C.S.I. car
         Remarque : Si cette méthode par transformation $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace est pratique, elle ne doit pas être employée en physique il est exigé que ce soit par recherche de solutions libre et forcée
         Remarque : Si cette méthode par transformation $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace est pratique, elle ne doit pas être employée en physique suivie d'utilisation des C.I. que la résolution soit faite .

Rappel des propriétés utilisées

     « Linéarité de la transformation $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace » soit «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \lambda \;f(t)+\mu \;g(t)\right\rbrace =\lambda \;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace +\mu \;{\mathcal {L}}\left\lbrace g(t)\right\rbrace ,\;$
         « Linéarité de la transformation $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace » soit « $\forall \left(\lambda \,,\,\mu \right)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ et $\;\forall \left\lbrace f(t)\,,\,g(t)\right\rbrace \;$ fonctions $\;{\big (}$ou distributions${\big )}\;$ admettant des transformées $\;{\big (}$monolatérales${\big )}\;$ de Laplace
        « Linéarité de la transformation $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace » soit «$\;\color {Transparent}{\forall \left(\lambda \,,\,\mu \right)\in \mathbb {R} ^{2}}\;$ et $\;\color {transparent}{\forall \left\lbrace f(t)\,,\,g(t)\right\rbrace }\;$ fonctions $\;\color {transparent}{\big (}$ou distributions$\color {transparent}{\big )}\;$ admettant d'abscisses de convergence finies ou égales à $\;-\infty \;$».

     « Transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de la fonction de Heauvide  » «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace ={\dfrac {1}{p}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» .

     « Transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace du pic de Dirac d'impulsion unité » «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \delta (t)\right\rbrace =1\;$ pour $\;\forall \;\Re (p)\,\in \,\mathbb {R} \;$» .

     « Transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de la dérivée temporelle 1^ère d'une fonction $\;f(t)\;$ à support positif telle que $\;f(t)\;$ soit convergente en $\;t=0\;$», soit
         « Transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de la dérivée temporelle 1^ère «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace =$ $p\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace -f(0^{+})\;$ pour $\;\Re (p)>\alpha \;$ avec $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$».

     « Transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de la dérivée temporelle 2^nde d'une fonction $\;f(t)\;$ à support positif telle que $\;{\dot {f}}(t)\;$ soit convergente en $\;t=0\;$», soit
         « Transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de la dérivée temporelle 2^nde «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\ddot {f}}(t)\right\rbrace =p\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}(t)\right\rbrace -{\dot {f}}(0^{+})\;$ pour $\;\Re (p)>\alpha '\;$ avec $\;\alpha '\;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\dot {f}}\right\rbrace \;$ ou encore
         « Transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de la dérivée temporelle 2^nde «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace {\ddot {f}}(t)\right\rbrace =p^{2}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace -p\;f(0^{+})-{\dot {f}}(0^{+})\;$ pour $\;\Re (p)>\alpha \;$ avec $\;\alpha \;$ abscisse de convergence de $\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace \;$
           « Transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de la dérivée temporelle 2^nde «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace {\ddot {f}}(t)\right\rbrace =p^{2}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace f(t)\right\rbrace -p\;f(0^{+})-{\dot {f}}(0^{+})}\;$ pour avec $\;\alpha \geqslant \alpha '\;$» .

Méthode de résolution exposée sur un 1^er exemple : équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en y(t) hétérogène, sans terme du 1^erordre, à excitation sinusoïdale

     Soit à résoudre, dans le domaine des fonctions à support positif convergeant en $\;t=0$,
     Soit à résoudre, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en $\;y(t)\;$ hétérogène, sans terme du 1^erordre,
     Soit à résoudre, l'équation différentielle linéaire à « excitation sinusoïdale $\;e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)$, $\;\left(E\,,\,\omega \right)\in \left(\mathbb {R} _{+}^{*}\right)^{2}\;$»
     Soit à résoudre, l'équation différentielle linéaire avec les « C.I. $\;y(0^{+})$ $=y_{0}\;$ et $\;{\dot {y}}(0^{+})={\dot {y}}_{0}\;$»,
     Soit à résoudre, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en $\;y(t)\;$ hétérogène, sans terme du 1^erordre, s'écrivant sous forme normalisée

«$\;{\ddot {y}}(t)+c\;y(t)=e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;c\in \mathbb {R} ^{*}\;$» .

Réécriture de l'équation différentielle dans le « domaine de Laplace »

     « La transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de l'excitation sinusoïdale $\;e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$» s'écrivant «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace e(t)\right\rbrace =E\;{\sqrt {2}}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \sin(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace =E\;{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$
          « La transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de l'excitation sinusoïdale $\;\color {transparent}{e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)}\;$» s'écrivant «$\;\color {transparent}{{\mathcal {L}}\left\lbrace e(t)\right\rbrace =E\;{\sqrt {2}}\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \sin(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace =}$ pour $\;\Re (p)>0\;$» ,
     nous obtenons, en utilisant le rappel des propriétés utilisées énoncé plus haut dans ce chapitre et en notant «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace y(t)\right\rbrace ={\underline {Y}}(p)\;$» pour simplifier l'écriture,

«$\;\left[p^{2}\;{\underline {Y}}(p)-p\;y_{0}-{\dot {y}}_{0}\right]+c\;{\underline {Y}}(p)=E\;{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$».

Détermination de la transformée (monolatérale) de Laplace de la solution de l'équation différentielle avec C.I.

     De l'équation précédente on tire aisément «$\;{\underline {Y}}(p)=E\;{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\omega }{(p^{2}+\omega ^{2})\;(p^{2}+c)}}+{\dfrac {p}{p^{2}+c}}\;y_{0}+{\dfrac {1}{p^{2}+c}}\;{\dot {y}}_{0}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» à condition que «$\;p^{2}+c\;$ soit $\;\neq 0\;$».

Détermination de la solution de l'équation différentielle avec C.I.

     Il reste donc à déterminer l'« originale de $\;{\underline {Y}}(p)\;$ dans l'hypothèse $\;p^{2}+c\neq 0\;$» ${\big [}$nécessairement réalisée si $\;c\;$ est $\;>0\;$
           Il reste donc à déterminer l'« originale de $\;\color {transparent}{{\underline {Y}}(p)}\;$ dans l'hypothèse où $\;\color {transparent}{p^{2}+c\neq 0}\;$» $\color {transparent}{\big [}$mais qui nécessite une restriction de domaine de $\;p\;$ si $\;c\;$ est $\;<0\;$${\big ]}$.

Décomposition de la 1^ère fonction rationnelle en éléments irréductibles simples dans le cas où c est > 0

     Si $\;c\;$ est $\;>0$, les « pôles de la fonction rationnelle $\;A(p)={\dfrac {1}{(p^{2}+\omega ^{2})\;(p^{2}+c)}}\;$ étant deux à deux complexes conjugués » sa décomposition en éléments irréductibles simples s'écrit :
     Si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, $\succ \;$dans la mesure où «$\;c\neq \omega ^{2}\;$», $\;A(p)={\dfrac {\rho _{1}\,p+{\rho '}_{1}}{p^{2}+\omega ^{2}}}+{\dfrac {\rho _{2}\,p+{\rho '}_{2}}{p^{2}+c}}\;$ dans lequel on détermine
     Si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, $\color {transparent}{\succ }\;$dans la mesure où «$\;\color {transparent}{c\neq \omega ^{2}}\;$», «$\;\left(\rho _{1}\,,\,{\rho '}_{1}\right)\;$» en multipliant les deux membres par $\;p^{2}+\omega ^{2}\;$ et en y faisant $\;p=\pm i\;\omega \;$ soit $\;{\dfrac {1}{c-\omega ^{2}}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}\rho _{1}\,i\,\omega +{\rho '}_{1}\;{\text{pour}}\;p=i\,\omega \\-\rho _{1}\,i\,\omega +{\rho '}_{1}\;{\text{pour}}\;p=-i\,\omega \end{array}}\right\rbrace \;$
           Si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, $\color {transparent}{\succ }\;$dans la mesure où «$\;\color {transparent}{c\neq \omega ^{2}}\;$», «$\;\color {transparent}{\left(\rho _{1}\,,\,{\rho '}_{1}\right)}\;$» en multipliant les deux membres par $\;\color {transparent}{p^{2}+\omega ^{2}}\;$ et en y faisant $\;\color {transparent}{p=\pm i\;\omega }\;$ d'où «$\;\rho _{1}=0\;$ et $\;{\rho '}_{1}={\dfrac {1}{c-\omega ^{2}}}\;$» puis
     Si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, $\color {transparent}{\succ }\;$dans la mesure où «$\;\color {transparent}{c\neq \omega ^{2}}\;$», «$\;\left(\rho _{2}\,,\,{\rho '}_{2}\right)\;$» en multipliant les membres par $\;p^{2}+c\;$ et en y faisant $\;p=\pm i\;{\sqrt {c}}\;$ soit $\;{\dfrac {1}{-c+\omega ^{2}}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}\rho _{2}\,i\,{\sqrt {c}}+{\rho '}_{2}\;{\text{pour}}\;p=i\,{\sqrt {c}}\\-\rho _{2}\,i\,{\sqrt {c}}+{\rho '}_{2}\;{\text{pour}}\;p=-i\,{\sqrt {c}}\end{array}}\right\rbrace \;$
           Si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, $\color {transparent}{\succ }\;$dans la mesure où «$\;\color {transparent}{c\neq \omega ^{2}}\;$», «$\;\color {transparent}{\left(\rho _{2}\,,\,{\rho '}_{2}\right)}\;$» en multipliant les membres par $\;\color {transparent}{p^{2}+c}\;$ et en y faisant $\;\color {transparent}{p=\pm i\;{\sqrt {c}}}\;$ d'où «$\;\rho _{2}=0\;$ et $\;{\rho '}_{2}={\dfrac {-1}{c-\omega ^{2}}}\;$»
     Si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, $\color {transparent}{\succ }\;$dans la mesure où «$\;\color {transparent}{c\neq \omega ^{2}}\;$», soit finalement «$\;A(p)={\dfrac {1}{(p^{2}+\omega ^{2})\;(p^{2}+c)}}={\dfrac {1}{c-\omega ^{2}}}\,\left[{\dfrac {1}{p^{2}+\omega ^{2}}}-{\dfrac {1}{p^{2}+c}}\right]\;$» ;
     Si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, $\succ \;$dans la mesure où «$\;c=\omega ^{2}\;$», $\;A(p)={\dfrac {1}{(p^{2}+\omega ^{2})\;(p^{2}+c)}}\;$ se réécrivant «$\;A(p)={\dfrac {1}{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}={\dfrac {1}{\left(p^{2}+c\right)^{2}}}\;$» est déjà décomposée en éléments irréductibles simples.

Détermination de l'originale de la transformée (monolatérale) de Laplace de la solution de l'équation différentielle dans le cas où c est > 0

     Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;{\underline {Y}}(p)=E\;{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\omega }{(p^{2}+\omega ^{2})\;(p^{2}+c)}}+{\dfrac {p}{p^{2}+c}}\;y_{0}+{\dfrac {1}{p^{2}+c}}\;{\dot {y}}_{0}\;$
         Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\;\color {transparent}{{\underline {Y}}(p)}$ pour $\;\Re (p)>0\;$» avec «$\;p^{2}+c\neq 0\;$»  :
     Il reste alors à chercher l'« originale $\succ \;$« pour $\;c>0\;$ en étant $\;\neq \omega ^{2}\;$», «$\;{\underline {Y}}(p)={\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{c-\omega ^{2}}}\,\left[{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}-{\dfrac {\omega }{\sqrt {c}}}\;{\dfrac {\sqrt {c}}{p^{2}+c}}\right]+{\dfrac {p}{p^{2}+c}}\;y_{0}+{\dfrac {\sqrt {c}}{p^{2}+c}}\;{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\sqrt {c}}}\;$» dont on tire, en reconnaissant
     Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{\neq \omega ^{2}}\;$», des originales de transformées $\;{\big (}$monolatérales${\big )}\;$ de Laplace classiques,
     Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{\neq \omega ^{2}}\;$», «$\;y(t)=\left\lbrace {\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{c-\omega ^{2}}}\,\left[\sin(\omega \;t)-{\dfrac {\omega }{\sqrt {c}}}\;\sin({\sqrt {c}}\;t)\right]+y_{0}\;\cos({\sqrt {c}}\;t)+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\sqrt {c}}}\;\sin({\sqrt {c}}\;t)\right\rbrace Y(t)\;$» ou
     Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{\neq \omega ^{2}}\;$», «$\;y(t)=\left\lbrace y_{0}\,\cos({\sqrt {c}}\;t)+\left[{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\sqrt {c}}}-{\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{c-\omega ^{2}}}\;{\dfrac {\omega }{\sqrt {c}}}\right]\sin({\sqrt {c}}\;t)+{\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{c-\omega ^{2}}}\;\sin(\omega \,t)\right\rbrace Y(t)\;$» et
     Il reste alors à chercher l'« originale $\succ \;$« pour $\;c>0\;$ en étant $\;=\omega ^{2}\;$», «$\;{\underline {Y}}(p)=E\;{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\omega }{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}+{\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\;y_{0}+{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\omega }}\;$» dont on tire, en reconnaissant des originales de
     Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$», transformées $\;{\big (}$monolatérales${\big )}\;$ de Laplace classiques à l'« exception du 1^er terme du 2^nd membre $\;\propto \;$ à $\;{\dfrac {\omega }{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}\;$»,
     Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$», «$\;y(t)=E\;{\sqrt {2}}\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\!\left\lbrace {\dfrac {\omega }{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}\right\rbrace +\left\lbrace y_{0}\;\cos(\omega \;t)+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\omega }}\;\sin(\omega \;t)\right\rbrace Y(t)\;$»  ;
     Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$», pour déterminer l'originale de $\;B(p)={\dfrac {\omega }{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}\;$ c.-à-d. «$\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\!\left\lbrace B(p)\right\rbrace ={\mathcal {L}}^{-1}\!\!\left\lbrace {\dfrac {\omega }{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}\right\rbrace \;$» remarquons que
     Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$», pour déterminer l'originale $\;{\dfrac {d\left[{\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]}{dp}}={\dfrac {\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)-p\;2\;p}{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}={\dfrac {\omega ^{2}-p^{2}}{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}=-{\dfrac {\omega ^{2}+p^{2}}{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}+{\dfrac {2\;\omega ^{2}}{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}$
         Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$», pour déterminer l'originale $\;\color {transparent}{d\left[p^{2}+\omega ^{2}\right]}$ $=-{\dfrac {1}{p^{2}+\omega ^{2}}}+{\dfrac {2\;\omega ^{2}}{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}\;$ dont nous tirons
     Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$», pour déterminer l'originale de«$\;B(p)={\dfrac {\omega }{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}={\dfrac {1}{2\;\omega }}\;{\dfrac {d\left[{\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\right]}{dp}}+{\dfrac {1}{2\;\omega ^{2}}}\;{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}\;$» puis utilisons
     Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$», pour déterminer l'originale de$\;\left\lbrace {\begin{array}{c c c}{\mathcal {L}}\!\left[\cos(\omega \,t)\;Y(t)\right]\!\!&=&\!\!{\dfrac {p}{p^{2}+\omega ^{2}}}\\{\dfrac {d{\mathcal {L}}\!\left[f(t)\right]}{dp}}\!\!&=&\!\!-{\mathcal {L}}\!\left[t\;f(t)\right]\end{array}}\right\rbrace \;$ pour en déduire
     Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$», pour déterminer l'originale de«$\;B(p)={\dfrac {\omega }{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}=-{\dfrac {1}{2\;\omega }}\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace t\;\cos(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace +{\dfrac {1}{2\;\omega ^{2}}}\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \sin(\omega \,t)\;Y(t)\right\rbrace \;$
     Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$», pour déterminer l'originale de«$\;\color {transparent}{B(p)}$ $={\dfrac {1}{2\;\omega ^{2}}}\;{\mathcal {L}}\!\left\lbrace \left[\sin(\omega \;t)-\omega \;t\;\cos(\omega \;t)\right]\,Y(t)\right\rbrace \;$» d'où l'originale de $\;B(p)={\dfrac {\omega }{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}\;$ :
     Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$», pour déterminer l'originale de«$\;{\mathcal {L}}^{-1}\!\left\lbrace {\dfrac {\omega }{\left(p^{2}+\omega ^{2}\right)^{2}}}\right\rbrace ={\dfrac {1}{2\;\omega ^{2}}}\,\left[\sin(\omega \;t)-\omega \;t\;\cos(\omega \;t)\right]\,Y(t)\;$» ; finalement la solution est
     Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$», «$\;y(t)=\left\lbrace {\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{2\;\omega ^{2}}}\,\left[\sin(\omega \,t)-\omega \;t\;\cos(\omega \,t)\right]+y_{0}\;\cos(\omega \;t)+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\omega }}\;\sin(\omega \;t)\right\rbrace Y(t)\;$» ou
     Il reste alors à chercher l'« originale $\color {transparent}{\succ }\;$« pour $\;\color {transparent}{c>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$», «$\;y(t)=\left\lbrace y_{0}\,\cos(\omega \;t)+\left[{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\omega }}+{\dfrac {E}{{\sqrt {2}}\;\omega ^{2}}}\right]\sin(\omega \;t)-{\dfrac {E}{{\sqrt {2}}\;\omega }}\;t\;\cos(\omega \,t)\right\rbrace Y(t)\;$».

Décomposition des fonctions rationnelles en éléments irréductibles simples dans le cas où c est < 0

     Rappel : D'après la note « ¹⁵⁹ » plus haut dans ce chapitre, pour que $\;p^{2}+c\;$ reste $\;\neq 0\;$ avec $\;c<0$, il faut restreindre le domaine de $\;p\;$ à $\;\Re (p)>{\sqrt {-c}}\;$ et dans ce cas
     Rappel : D'après la note « ¹⁵⁹ » plus haut dans ce chapitre, pour que $\;\color {transparent}{p^{2}+c}\;$ reste $\;\color {transparent}{\neq 0}\;$ avec $\;\color {transparent}{c<0}$, «$\;{\underline {Y}}(p)=E\;{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\omega }{(p^{2}+\omega ^{2})\;(p^{2}+c)}}+{\dfrac {p}{p^{2}+c}}\;y_{0}+{\dfrac {1}{p^{2}+c}}\;{\dot {y}}_{0}\;$ pour $\;\Re (p)>{\sqrt {-c}}\;$».

     «$\;c\;$ étant $\;<0\;$», $\blacktriangleright \;$les « pôles de la fonction rationnelle $\;A'(p)={\dfrac {1}{(p^{2}+\omega ^{2})\;(p^{2}+c)}}={\dfrac {1}{(p^{2}+\omega ^{2})\;(p+{\sqrt {-c}})\;(p-{\sqrt {-c}})}}\;$ sont complexes conjugués d'une part et
        «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$les « pôles de la fonction rationnelle $\;\color {transparent}{A'(p)=(p^{2}+\omega ^{2})\;(p^{2}+c)=(p^{2}+\omega ^{2})\;(p+{\sqrt {-c}})\;(p-{\sqrt {-c}})}\;$ sont réels simples opposés d'autre part »
     «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa décomposition en éléments irréductibles simples est «$\;A'(p)={\dfrac {1}{(p^{2}+\omega ^{2})\;(p+{\sqrt {-c}})\;(p-{\sqrt {-c}})}}={\dfrac {\rho _{1}\,p+{\rho '}_{1}}{p^{2}+\omega ^{2}}}+{\dfrac {\rho _{2}}{p+{\sqrt {-c}}}}+{\dfrac {\rho _{3}}{p-{\sqrt {-c}}}}\;$» dans lequel on détermine
     «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa décomposition $\bullet \;$«$\;\left(\rho _{1}\,,\,{\rho '}_{1}\right)\;$» en multipliant chaque membre par $\;p^{2}+\omega ^{2}$, puis en y faisant $\;p=\pm i\;\omega \;$ soit $\;{\dfrac {1}{c-\omega ^{2}}}=\left\lbrace {\begin{array}{c}\rho _{1}\,i\,\omega +{\rho '}_{1}\;{\text{pour}}\;p=i\,\omega \\-\rho _{1}\,i\,\omega +{\rho '}_{1}\;{\text{pour}}\;p=-i\,\omega \end{array}}\right\rbrace \;$
            «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa décomposition $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\color {transparent}{\left(\rho _{1}\,,\,{\rho '}_{1}\right)}\;$» en multipliant chaque membre par $\;\color {transparent}{p^{2}+\omega ^{2}}\;$ puis en y faisant $\;\color {transparent}{p=\pm i\;\omega }\;$ d'où «$\;\rho _{1}=0\;$ et $\;{\rho '}_{1}=-{\dfrac {1}{\omega ^{2}-c}}\;$»,
     «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa décomposition $\bullet \;$«$\;\rho _{2}\;$» en multipliant les membres par $\;p+{\sqrt {-c}}$, puis en y faisant $\;p=-\;{\sqrt {-c}}\;$ soit $\;{\dfrac {1}{(-c+\omega ^{2})\,(-2\;{\sqrt {-c}})}}=\rho _{2}\;$ d'où «$\;\rho _{2}=-{\dfrac {1}{2\;(\omega ^{2}-c)\;{\sqrt {-c}})}}\;$» et
     «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa décomposition $\bullet \;$«$\;\rho _{3}\;$» en multipliant les membres par $\;p-{\sqrt {-c}}$, puis en y faisant $\;p=\;{\sqrt {-c}}\;$ soit $\;{\dfrac {1}{(-c+\omega ^{2})\,(2\;{\sqrt {-c}})}}=\rho _{3}\;$ d'où «$\;\rho _{3}={\dfrac {1}{2\;(\omega ^{2}-c)\;{\sqrt {-c}})}}\;$»
     «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa décomposition $\bullet \;$soit finalement «$\;A'(p)={\dfrac {1}{(p^{2}+\omega ^{2})\;(p^{2}+c)}}={\dfrac {1}{\omega ^{2}-c}}\,\left\lbrace -{\dfrac {1}{p^{2}+\omega ^{2}}}+{\dfrac {1}{2\;{\sqrt {-c}}}}\,\left[{\dfrac {1}{p-{\sqrt {-c}}}}-{\dfrac {1}{p+{\sqrt {-c}}}}\right]\right\rbrace \;$» ;

     «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\blacktriangleright \;$les « pôles de la fonction rationnelle $\;B'(p)={\dfrac {p}{p^{2}+c}}={\dfrac {p}{(p+{\sqrt {-c}})\;(p-{\sqrt {-c}})}}\;$ sont réels simples opposés »
     «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa décomposition en éléments irréductibles simples s'écrit est «$\;B'(p)={\dfrac {p}{(p+{\sqrt {-c}})\;(p-{\sqrt {-c}})}}={\dfrac {\zeta _{1}}{p+{\sqrt {-c}}}}+{\dfrac {\zeta _{2}}{p-{\sqrt {-c}}}}\;$» dans lequel on détermine
     «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa décomposition $\bullet \;$«$\;\zeta _{1}\;$» en multipliant les membres par $\;p+{\sqrt {-c}}$, puis en y faisant $\;p=-\;{\sqrt {-c}}\;$ soit $\;{\dfrac {-\;{\sqrt {-c}}}{-2\;{\sqrt {-c}}}}=\zeta _{1}\;$ d'où «$\;\zeta _{1}={\dfrac {1}{2}}\;$» et
     «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa décomposition $\bullet \;$«$\;\zeta _{2}\;$» en multipliant les membres par $\;p-{\sqrt {-c}}$, puis en y faisant $\;p=\;{\sqrt {-c}}\;$ soit $\;{\dfrac {\sqrt {-c}}{2\;{\sqrt {-c}})}}=\zeta _{2}\;$ d'où «$\;\zeta _{2}={\dfrac {1}{2}}\;$»
     «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa décomposition $\bullet \;$soit finalement «$\;B'(p)={\dfrac {p}{p^{2}+c}}={\dfrac {1}{2}}\,\left[{\dfrac {1}{p+{\sqrt {-c}}}}+{\dfrac {1}{p-{\sqrt {-c}}}}\right]\;$» ;

     «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\blacktriangleright \;$les « pôles de la fonction rationnelle $\;C'(p)={\dfrac {1}{p^{2}+c}}={\dfrac {1}{(p+{\sqrt {-c}})\;(p-{\sqrt {-c}})}}\;$ sont réels simples opposés »
     «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa décomposition en éléments irréductibles simples est «$\;C'(p)={\dfrac {1}{(p+{\sqrt {-c}})\;(p-{\sqrt {-c}})}}={\dfrac {\zeta _{3}}{p+{\sqrt {-c}}}}+{\dfrac {\zeta _{4}}{p-{\sqrt {-c}}}}\;$» dans lequel on détermine
     «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa décomposition $\bullet \;$«$\;\zeta _{3}\;$» en multipliant les membres par $\;p+{\sqrt {-c}}$, puis en y faisant $\;p=-\;{\sqrt {-c}}\;$ soit $\;{\dfrac {1}{-2\;{\sqrt {-c}}}}=\zeta _{3}\;$ d'où «$\;\zeta _{3}=-{\dfrac {1}{2\;{\sqrt {-c}}}}\;$» et
     «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa décomposition $\bullet \;$«$\;\zeta _{4}\;$» en multipliant les membres par $\;p-{\sqrt {-c}}$, puis en y faisant $\;p=\;{\sqrt {-c}}\;$ soit $\;{\dfrac {1}{2\;{\sqrt {-c}}}}=\zeta _{4}\;$ d'où «$\;\zeta _{4}={\dfrac {1}{2\;{\sqrt {-c}}}}\;$»
     «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\color {transparent}{\blacktriangleright }\;$sa décomposition $\bullet \;$soit finalement «$\;C'(p)={\dfrac {1}{p^{2}+c}}={\dfrac {1}{2\;{\sqrt {-c}}}}\,\left[{\dfrac {1}{p-{\sqrt {-c}}}}-{\dfrac {1}{p+{\sqrt {-c}}}}\right]\;$» ;

     «$\;\color {transparent}{c}\;$ étant $\;\color {transparent}{<0}\;$», $\blacktriangleright \;$nous en déduisons la décomposition de la transformée $\;{\big (}$monolatérlae${\big )}\;$ de Laplace de la solution dans le cas où $\;c\;$ est $\;<0\;$ selon

«$\;{\underline {Y}}(p)={\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{\omega ^{2}-c}}\,\left\lbrace -{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}+{\dfrac {\omega }{2\;{\sqrt {-c}}}}\,\left[{\dfrac {1}{p-{\sqrt {-c}}}}-{\dfrac {1}{p+{\sqrt {-c}}}}\right]\right\rbrace +{\dfrac {y_{0}}{2}}\,\left[{\dfrac {1}{p+{\sqrt {-c}}}}+{\dfrac {1}{p-{\sqrt {-c}}}}\right]+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{2\;{\sqrt {-c}}}}\,\left[{\dfrac {1}{p-{\sqrt {-c}}}}-{\dfrac {1}{p+{\sqrt {-c}}}}\right]\;$ pour $\;\Re (p)>{\sqrt {-c}}\;$»
ou, après regroupement de termes semblables,
«$\;{\underline {Y}}(p)=-{\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{\omega ^{2}-c}}\;{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}+\left[{\dfrac {E\;\omega }{(\omega ^{2}-c)\,{\sqrt {-2\;c}}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}+y_{0}\;{\sqrt {-c}}}{2\;{\sqrt {-c}}}}\right]\,{\dfrac {1}{p-{\sqrt {-c}}}}-\left[{\dfrac {E\;\omega }{(\omega ^{2}-c)\,{\sqrt {-2\;c}}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}-y_{0}\;{\sqrt {-c}}}{2\;{\sqrt {-c}}}}\right]\,{\dfrac {1}{p+{\sqrt {-c}}}}\;$ pour $\;\Re (p)>{\sqrt {-c}}\;$».

Détermination de l'originale de la transformée (monolatérale) de Laplace de la solution de l'équation différentielle dans le cas où c est < 0

     Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace $\;{\underline {Y}}(p)\;$ avec $\;c<0$, pour $\;\Re (p)>{\sqrt {-c}}$, cette dernière étant somme de trois termes indépendants
     Il reste alors à chercher l'« originale de ${\underline {Y}}(p)=-{\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{\omega ^{2}-c}}\;{\dfrac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2}}}+\left[{\dfrac {E\;\omega }{(\omega ^{2}-c)\,{\sqrt {-2\;c}}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}+y_{0}\;{\sqrt {-c}}}{2\;{\sqrt {-c}}}}\right]\,{\dfrac {1}{p-{\sqrt {-c}}}}-\left[{\dfrac {E\;\omega }{(\omega ^{2}-c)\,{\sqrt {-2\;c}}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}-y_{0}\;{\sqrt {-c}}}{2\;{\sqrt {-c}}}}\right]\,{\dfrac {1}{p+{\sqrt {-c}}}}\;$ »
               Il reste alors à chercher l'« originale de la transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace $\;\color {transparent}{{\underline {Y}}(p)}\;$ avec $\;\color {transparent}{c<0}$, en reconnaissant des originales de transformées $\;{\big (}$monolatérales${\big )}\;$ de Laplace classiques

d'où «$\;y(t)=\left\lbrace -{\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{\omega ^{2}-c}}\;\sin(\omega \;t)+\left[{\dfrac {E\;\omega }{(\omega ^{2}-c)\,{\sqrt {-2\;c}}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}+y_{0}\;{\sqrt {-c}}}{2\;{\sqrt {-c}}}}\right]\,\exp \!\left({\sqrt {-c}}\,t\right)-\left[{\dfrac {E\;\omega }{(\omega ^{2}-c)\,{\sqrt {-2\;c}}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}-y_{0}\;{\sqrt {-c}}}{2\;{\sqrt {-c}}}}\right]\,\exp \!\left(-{\sqrt {-c}}\,t\right)\right\rbrace \;Y(t)\;$» .

Comparaison de la méthode classique de résolution d'équations différentielles linéaires à cœfficients réels constants hétérogènes et de la méthode par transformées (monolatérales) de Laplace

     Nous rappelons que la méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants homogène ou hétérogène
     Nous rappelons que la méthode de résolution par transformation $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace est un complément de P.C.S.I. pour le domaine de la physique et
     Nous rappelons que seule la méthode de résolution par solutions libre et forcée suivie de l'utilisation des C.I. peut être utilisée dans le domaine de la physique ;

     nous allons donc vérifier, dans l'exemple de «$\;{\ddot {y}}(t)+c\;y(t)=e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;Y(t)\;$ avec $\;c\in \mathbb {R} ^{*}\;$ ainsi que $\;\left(E\,,\,\omega \right)\in {\mathbb {R} ^{+\;*}}^{2}\;$» ,
     nous allons donc vérifier, que nous trouvons le même résultat dans l'ensemble des fonctions réelles « causales » avec les « C.I. $\;y(0^{+})=y_{0}\;$ et $\;{\dot {y}}(0^{+})={\dot {y}}_{0}\;$»
     nous allons donc vérifier, en reprenant la résolution par méthode classique de recherche des solutions libre et forcée suivie de l'utilisation des C.I. .

Recherche de la solution libre y_l(t)

     Soit à résoudre «$\;{\ddot {y_{l}}}(t)+c\;y_{l}(t)=0\;$» d'équation caractéristique «$\;s^{2}+c=0\;$» de racines différentes suivant le signe de $\;c$ :

• « si $\;c\;$ est $\;>0\;$», l'équation caractéristique a « deux racines imaginaires distinctes $\;{\underline {s_{\pm }}}=\pm i\,{\sqrt {c}}\;$» $\Rightarrow$ la solution libre «$\;y_{l}(t)=A\,\cos({\sqrt {c}}\;t+\varphi )\;$ avec $\;\left(A\,,\,\varphi \right)\in \mathbb {R} ^{2}\;$» et
• « si $\;c\;$ est $\;<0\;$»,                                          elle a « deux racines réelles distinctes $\;s_{\pm }=\pm {\sqrt {-c}}\;$» $\Rightarrow$ la solution libre «$\;y_{l}(t)=A_{+}\,\exp({\sqrt {-c}}\;t)+A_{-}\,\exp(-{\sqrt {-c}}\;t)\;$ avec $\;\left(A_{+}\,,\,A_{-}\right)\in \mathbb {R} ^{2}\;$».

Recherche de la solution forcée y_f(t)

     Soit à déterminer la « solution forcée $\;y_{f}(t)\;$ solution particulière de $\;{\ddot {y_{f}}}(t)+c\;y_{f}(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$ de même forme que l'excitation $\;e(t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$»
      Soit à déterminer la « solution forcée c.-à-d. sous forme générale «$\;y_{f}(t)=Y\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t+\varphi _{y})\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$» , avec $\;\left(Y\,,\,\varphi _{y}\right)\in \mathbb {R} \;$ à déterminer, ou mieux,
    Soit à déterminer la « solution forcée $\;\color {transparent}{y_{f}(t)}\;$ sous forme particulière «$\;y_{f}(t)=Y\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$» ${\big [}$en raison de l'absence de terme du 1^er ordre dans l'équation différentielle${\big ]}$,
     Soit à déterminer la « solution forcée $\;\color {transparent}{y_{f}(t)}\;$ sous forme particulière «$\;\color {transparent}{y_{f}(t)=Y\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0}\;$» le choix de $\;\varphi _{y}=0\;$ étant validée par le résultat trouvé :

• « si $\;c\;$ est $\;>0\;$», le report de $\;y_{f}(t)=Y\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;$ dans l'équation nous conduit à «$\;\left(-\omega ^{2}+c\right)\,Y\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;\;\forall \;t>0\;$» d'où la discussion suivante
  « si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», $\succ \;$« si $\;c\neq \omega ^{2}\;$» on en déduit «$\;Y={\dfrac {E}{c-\omega ^{2}}}\;$» et par suite la solution forcée «$\;y_{f}(t)={\dfrac {E}{c-\omega ^{2}}}\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$» et
  « si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», $\succ \;$« si $\;c=\omega ^{2}\;$» on en déduit l'absence de solution forcée de même forme que l'excitation puisque cela conduirait à $\;Y\;$ infinie ;
  « si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$« si $\;\color {transparent}{c=\omega ^{2}}\;$» on cherche alors une « solution particulière de la forme $\;y_{f}(t)=Y'\;{\sqrt {2}}\;t\;\sin(\omega \,t+\varphi _{y'})\;$» $\Rightarrow$
  « si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$« si $\;\color {transparent}{c=\omega ^{2}}\;$» «$\;{\dot {y_{f}}}(t)=Y'\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t+\varphi _{y'})+\omega \;Y'\;{\sqrt {2}}\;t\;\cos(\omega \,t+\varphi _{y'})\;$ $\Rightarrow$ $\;{\ddot {y_{f}}}(t)=2\;\omega \;Y'\;{\sqrt {2}}\;\cos(\omega \,t+\varphi _{y'})-\omega ^{2}\;Y'\;{\sqrt {2}}\;t\;\sin(\omega \,t+\varphi _{y'})\;$» soit,
  « si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$« si $\;\color {transparent}{c=\omega ^{2}}\;$» en reportant dans l'équation différentielle et en tenant compte de «$\;c=\omega ^{2}\;$», l'équation en $\;\left(Y'\,,\,\varphi _{y'}\right)\;$ simplifiée suivante
  « si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$« si $\;\color {transparent}{c=\omega ^{2}}\;$» «$\;2\;\omega \;Y'\;{\sqrt {2}}\;\cos(\omega \,t+\varphi _{y'})\;{\cancel {-\;\omega ^{2}\;Y'\;{\sqrt {2}}\;t\;\sin(\omega \,t+\varphi _{y'})+c\;Y'\;{\sqrt {2}}\;t\;\sin(\omega \,t+\varphi _{y'})}}\;=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;\;\forall \;t>0\;$» d'où
  « si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$», $\color {transparent}{\succ }\;$« si $\;\color {transparent}{c=\omega ^{2}}\;$» «$\;\varphi _{y'}=-{\dfrac {\pi }{2}}\;$» et «$\;Y'={\dfrac {E}{2\,\omega }}={\dfrac {E}{2\,{\sqrt {c}}}}\;$» et par suite «$\;y_{f}(t)=$ ${\dfrac {E}{2\,\omega }}\;{\sqrt {2}}\;t\;\sin \!\left(\omega \,t-{\dfrac {\pi }{2}}\right)=-{\dfrac {E}{2\,\omega }}\;{\sqrt {2}}\;t\;\cos(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$»  ;
• « si $\;c\;$ est $\;<0\;$», le report de $\;y_{f}(t)=Y\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;$ dans l'équation nous conduit à «$\;\left(-\omega ^{2}+c\right)\,Y\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)=E\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;\;\forall \;t>0\;$» $\Rightarrow$ «$\;Y=-{\dfrac {E}{\omega ^{2}-c}}\;$» d'où
  « si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$», «$\;y_{f}(t)=$ $-{\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{\omega ^{2}-c}}\;\sin(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$».

Forme de la solution complète y(t) avant utilisation des C.I.

     La solution complète avant utilisation des C.I. s'obtient par «$\;y(t)=y_{l}(t)+y_{f}(t)\;$ avec $\;y_{l}(t)\;$ solution libre et $\;y_{f}(t)\;$ solution forcée .

• « Si $\;c\;$ est $\;>0\;$ en étant $\;\neq \omega ^{2}\;$», «$\;y(t)=y_{l}(t)+y_{f}(t)=A\,\cos({\sqrt {c}}\;t+\varphi )+{\dfrac {E}{c-\omega ^{2}}}\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$», avec $\;\left(A\,,\,\varphi \right)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ à déterminer par C.I.  ;
• « si $\;c\;$ est $\;>0\;$ en étant $\;=\omega ^{2}\;$», «$\;y(t)=y_{l}(t)+y_{f}(t)=A\,\cos(\omega \;t+\varphi )-{\dfrac {E}{2\,\omega }}\;{\sqrt {2}}\;t\;\cos(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$» , avec $\;\left(A\,,\,\varphi \right)\in \mathbb {R} ^{2}\;$ à déterminer par C.I.  ;
• « si $\;c\;$ est $\;<0\;$», «$\;y(t)=y_{l}(t)+y_{f}(t)=A_{+}\,\exp({\sqrt {-c}}\;t)+A_{-}\,\exp(-{\sqrt {-c}}\;t)-{\dfrac {E}{\omega ^{2}-c}}\;{\sqrt {2}}\;\sin(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$», avec $\;\left(A_{+}\,,\,A_{-}\right)$ $\in \mathbb {R} ^{2}\;$ à déterminer par C.I. .

Utilisation des C.I. pour déterminer la solution complète y(t)

     Il faut donc écrire dans les expressions précédentes «$\;\left\lbrace {\begin{array}{c}y(0^{+})=y_{0}\\{\dot {y}}(0^{+})={\dot {y}}_{0}\end{array}}\right\rbrace \;$» soit :

• « si $\;c\;$ est $\;>0\;$ en étant $\;\neq \omega ^{2}\;$», «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}y(0^{+})=A\,\cos(\varphi )\qquad \qquad \qquad \qquad \quad =y_{0}\\{\dot {y}}(0^{+})=-A\,{\sqrt {c}}\,\sin(\varphi )+{\dfrac {E}{c-\omega ^{2}}}\;{\sqrt {2}}\;\omega ={\dot {y}}_{0}\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A\,\cos(\varphi )=y_{0}\\A\,\sin(\varphi )={\dfrac {E}{c-\omega ^{2}}}\;{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\omega }{\sqrt {c}}}-{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\sqrt {c}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» soit,
  « si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{\neq \omega ^{2}}\;$», en utilisant $\;A\,\cos({\sqrt {c}}\;t+\varphi )=A\,\cos(\varphi )\,\cos({\sqrt {c}}\;t)-A\,\sin(\varphi )\,\sin({\sqrt {c}}\;t)$, la solution trouvée par transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;y(t)=y_{0}\,\cos({\sqrt {c}}\;t)+\left[{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\sqrt {c}}}-{\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{c-\omega ^{2}}}\;{\dfrac {\omega }{\sqrt {c}}}\right]\sin({\sqrt {c}}\;t)+{\dfrac {E\;{\sqrt {2}}}{c-\omega ^{2}}}\;\sin(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$» ;
• « si $\;c\;$ est $\;>0\;$ en étant $\;=\omega ^{2}\;$», «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}y(0^{+})=A\,\cos(\varphi )\qquad \qquad \quad \quad =y_{0}\\{\dot {y}}(0^{+})=-A\,\omega \,\sin(\varphi )-{\dfrac {E}{2\,\omega }}\;{\sqrt {2}}={\dot {y}}_{0}\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A\,\cos(\varphi )=y_{0}\\A\,\sin(\varphi )=-{\dfrac {E}{2\,\omega ^{2}}}\;{\sqrt {2}}-{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\omega }}\end{array}}\right\rbrace \;$» soit,
  « si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}\;$ en étant $\;\color {transparent}{=\omega ^{2}}\;$», en utilisant $\;A\,\cos(\omega \;t+\varphi )=A\,\cos(\varphi )\,\cos(\omega \;t)-A\,\sin(\varphi )\,\sin(\omega \;t)$, la solution trouvée par transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;y(t)=y_{0}\,\cos(\omega \;t)+\left[{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\omega }}+{\dfrac {E}{{\sqrt {2}}\;\omega ^{2}}}\right]\sin(\omega \;t)-{\dfrac {E}{{\sqrt {2}}\;\omega }}\;t\;\cos(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$» ;
• « si $\;c\;$ est $\;<0\;$», «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}y(0^{+})=A_{+}+A_{-}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\;\,=y_{0}\\{\dot {y}}(0^{+})=A_{+}\,{\sqrt {-c}}-A_{-}\,{\sqrt {-c}}-{\dfrac {E}{\omega ^{2}-c}}\;{\sqrt {2}}\;\omega ={\dot {y}}_{0}\end{array}}\right\rbrace \;$» d'où «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{+}+A_{-}=y_{0}\\A_{+}-A_{-}={\dfrac {E}{\omega ^{2}-c}}\;{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\omega }{\sqrt {-c}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\sqrt {-c}}}\end{array}}\right\rbrace \;$» dont on tire aisément les constantes cherchées
  « si $\;\color {transparent}{c}\;$ est $\;\color {transparent}{<0}\;$», «$\;\left\lbrace {\begin{array}{l}A_{+}={\dfrac {1}{2}}\left[y_{0}+{\dfrac {E}{\omega ^{2}-c}}\;{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\omega }{\sqrt {-c}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\sqrt {-c}}}\right]\\A_{-}={\dfrac {1}{2}}\left[y_{0}-{\dfrac {E}{\omega ^{2}-c}}\;{\sqrt {2}}\;{\dfrac {\omega }{\sqrt {-c}}}-{\dfrac {{\dot {y}}_{0}}{\sqrt {-c}}}\right]\end{array}}\right\rbrace \;$» donnant effectivement la solution trouvée par transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace «$\;y(t)=\left[{\dfrac {E\;\omega }{(\omega ^{2}-c)\;{\sqrt {-2\;c}}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}+y_{0}\,{\sqrt {-c}}}{2\,{\sqrt {-c}}}}\right]\exp \!\left({\sqrt {-c}}\,t\right)-\left[{\dfrac {E\;\omega }{(\omega ^{2}-c)\;{\sqrt {-2\;c}}}}+{\dfrac {{\dot {y}}_{0}-y_{0}\,{\sqrt {-c}}}{2\,{\sqrt {-c}}}}\right]\exp \!\left(-{\sqrt {-c}}\,t\right)-{\dfrac {E\,{\sqrt {2}}}{\omega ^{2}-c}}\,\sin(\omega \,t)\;\;{\text{pour}}\;t>0\;$».

Résolution exposée sur un 2^ème exemple : équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en y(t) hétérogène à excitation constante discontinue de 2^ème espèce

     Soit à résoudre, dans le domaine des fonctions à support positif ,
     Soit à résoudre, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en $\;y(t)\;$ hétérogène
     Soit à résoudre, l'équation différentielle linéaire à « excitation $\;e(t)=E\;Y(t)+E'\;\delta (t)$, $\;\left(E\,,\,E'\right)\in {\mathbb {R} ^{*}}^{2}\;$» discontinue de 2^ème espèce en $\;t=0\;$
     Soit à résoudre, l'équation différentielle linéaire avec les « C.I. $\;y(0^{-})=0\;$ et $\;{\dot {y}}(0^{-})=0\;$» ,
     Soit à résoudre, l'équation différentielle linéaire à cœfficients réels constants du 2^ème ordre en $\;y(t)\;$ hétérogène à excitation constante discontinue de 2^ème espèce en $\;t=0\;$ s'écrivant

«$\;{\ddot {y}}(t)+b\;{\dot {y}}(t)+c\;y(t)=e(t)=E\;Y(t)+E'\;\delta (t)\;$» avec «$\;\left(b\,,\,c\right)\in \left(\mathbb {R} _{+}^{*}\right)^{2}\;$» ou,
en notation de physique, posant «$\;c=\omega _{0}^{2}\;$ avec $\;\omega _{0}\in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$» et «$\;b=2\;\sigma \;\omega _{0}\;$ avec $\;\sigma \in \mathbb {R} _{+}^{*}\;$» ,
«$\;{\ddot {y}}(t)+2\;\sigma \;\omega _{0}\;{\dot {y}}(t)+\omega _{0}^{2}\;y(t)=e(t)=E\;Y(t)+E'\;\delta (t)\;$».

Réécriture de l'équation différentielle dans le « domaine de Laplace »

     La « transformée $\;{\big (}$monolatérale${\big )}\;$ de Laplace de l'excitation $\;e(t)=E\;Y(t)+E'\;\delta (t)\;$» s'écrivant «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace e(t)\right\rbrace =E\;{\mathcal {L}}\left\lbrace Y(t)\right\rbrace +E'\;{\mathcal {L}}\left\lbrace \delta (t)\right\rbrace \;$ $={\dfrac {E}{p}}+E'\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» ,
          La « transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de l'excitation nous obtenons, en utilisant le « rappel des propriétés utilisées » énoncé plus haut dans ce chapitre ainsi que
          La « transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de l'excitation nous obtenons, en utilisant le caractère divergent en $\;t=0\;$ de $\;{\ddot {y}}(t)\;$ et
          La « transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de l'excitation nous obtenons, en notant «$\;{\mathcal {L}}\left\lbrace y(t)\right\rbrace ={\underline {Y}}(p)\;$  » pour simplifier l'écriture,
          La « transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de l'excitation nous obtenons, «$\;\left[p^{2}\;{\underline {Y}}(p){\cancel {-p\;y(0^{-})-{\dot {y}}(0^{-})}}\right]+b\,\left[p\;{\underline {Y}}(p){\cancel {-y(0^{-})}}\right]+c\;{\underline {Y}}(p)={\dfrac {E}{p}}+E'\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» soit
          La « transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de l'excitation nous obtenons, «$\;p^{2}\;{\underline {Y}}(p)+b\;p\;{\underline {Y}}(p)+c\;{\underline {Y}}(p)={\dfrac {E}{p}}+E'\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» ou, en notation de physique,
          La « transformée $\;\color {transparent}{\big (}$monolatérale$\color {transparent}{\big )}\;$ de Laplace de l'excitation nous obtenons, «$\;p^{2}\;{\underline {Y}}(p)+2\;\sigma \;\omega _{0}\;p\;{\underline {Y}}(p)+\omega _{0}^{2}\;{\underline {Y}}(p)={\dfrac {E}{p}}+E'\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$».

Détermination de la transformée de Laplace de la solution de l'équation différentielle avec C.I.

     De l'équation précédente on tire aisément «$\;{\underline {Y}}(p)={\dfrac {E}{p\;(p^{2}+b\,p+c)}}+{\dfrac {E'}{p^{2}+b\,p+c}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» à condition que «$\;p^{2}+b\,p+c\;$ soit $\;\neq 0\;$» ou, en notation de physique,
     De l'équation précédente on tire aisément «$\;{\underline {Y}}(p)={\dfrac {E}{p\;(p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2})}}+{\dfrac {E'}{p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2}}}\;$ pour $\;\Re (p)>0\;$» à condition que «$\;p^{2}+2\,\sigma \,\omega _{0}\,p+\omega _{0}^{2}\;$ soit $\;\neq 0\;$».

Détermination de la solution de l'équation différentielle avec C.I.

     Il reste donc à déterminer l'« originale de $\;{\underline {Y}}(p)\;$ sous $\;\Re (p)>0\;$ dans l'hypothèse $\;p^{2}+b\,p+c\neq 0\;$» $\;{\big [}$nécessairement réalisée pour $\;\Re (p)>0\;$${\big ]}$.

Décomposition en éléments irréductibles simples dans le cas où b² - 4 c est > 0

Décomposition de la 1^ère fonction rationnelle en éléments irréductibles simples dans le cas où la grandeur b² - 4 c est > 0

     Si $\;b^{2}-4\;c\;$ est $\;>0$, « le trinôme $\;p^{2}+b\;p+c\;$ ayant deux racines réelles distinctes $\;q_{(\pm )}={\dfrac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4\;c}}}{2}}\;$»,
     Si $\;\color {transparent}{b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, la décomposition de $\;A(p)={\dfrac {1}{p\,(p^{2}+b\,p+c)}}={\dfrac {1}{p\;(p-q_{(+)})\;(p-q_{(-)})}}\;$ en éléments irréductibles simples s'écrit $\;A(p)={\dfrac {\rho _{1}}{p}}+{\dfrac {\rho _{(+)}}{p-q_{(+)}}}+{\dfrac {\rho _{(-)}}{p-q_{(-)}}}\;$ dans lequel
     Si $\;\color {transparent}{b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, on détermine $\bullet \;$«$\;\rho _{1}\;$» en multipliant chaque membre par $\;p\;$ puis en y faisant $\;p=0\;$ soit $\;{\dfrac {1}{c}}=\rho _{1}\;$ d'où «$\;\rho _{1}={\dfrac {1}{c}}\;$»,
     Si $\;\color {transparent}{b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, on détermine $\bullet \;$«$\;\rho _{(+)}\;$» en multipliant chaque membre par $\;p-q_{(+)}\;$ puis en y faisant $\;p=q_{(+)}\;$ soit $\;{\dfrac {1}{q_{(+)}\,[q_{(+)}-q_{(-)}]}}=\rho _{(+)}\;$ ou $\;{\dfrac {1}{q_{(+)}\;{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}}=\rho _{(+)}\;$ soit
     Si $\;\color {transparent}{b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, on détermine $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\rho _{(+)}={\dfrac {1}{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}\;{\dfrac {1}{q_{(+)}}}\;$» ou encore, avec $\;q_{(+)}={\dfrac {-b+{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}{2}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\rho _{(+)}={\dfrac {2}{{\sqrt {b^{2}-4\;c}}\left(-b+{\sqrt {b^{2}-4\;c}}\right)}}\;$» et
     Si $\;\color {transparent}{b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, on détermine $\bullet \;$«$\;\rho _{(-)}\;$» en multipliant chaque membre par $\;p-q_{(-)}\;$ puis en y faisant $\;p=q_{(-)}\;$ soit $\;{\dfrac {1}{q_{(-)}\,[q_{(-)}-q_{(+)}]}}=\rho _{(-)}\;$ ou $\;{\dfrac {-1}{q_{(-)}\;{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}}=\rho _{(-)}\;$ soit
     Si $\;\color {transparent}{b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, on détermine $\color {transparent}{\bullet }\;$«$\;\rho _{(-)}={\dfrac {1}{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}\;{\dfrac {-1}{q_{(-)}}}\;$» ou encore, avec $\;q_{(-)}={\dfrac {-b-{\sqrt {b^{2}-4\;c}}}{2}}\;$ $\Rightarrow$ «$\;\rho _{(-)}={\dfrac {2}{{\sqrt {b^{2}-4\;c}}\left(b+{\sqrt {b^{2}-4\;c}}\right)}}$»
     Si $\;\color {transparent}{b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, soit finalement la décomposition de $\;A(p)\;$ en éléments irréductibles simples dans le cas où $\;b^{2}-4\;c\;$ est $\;>0\;$ selon
  Si $\;\color {transparent}{b^{2}-4\;c}\;$ est $\;\color {transparent}{>0}$, soit finalement la décomp