Leçons de niveau 14

Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Flux d'un champ vectoriel de l'espace, notion de champ vectoriel à flux conservatif

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Flux d'un champ vectoriel de l'espace, notion de champ vectoriel à flux conservatif
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Chapitre no 29
Leçon : Outils mathématiques pour la physique (PCSI)
Chap. préc. :Formes différentielles et différentielles de fonctions
Chap. suiv. :Système d'équations différentielles couplées et leur découplage
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Sommaire

Flux de champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface ouverte[modifier | modifier le wikicode]

Définition du flux élémentaire du champ vectoriel de l'espace tridimensionnel[modifier | modifier le wikicode]


Schéma de définition du flux d'un champ vectoriel à travers une surface ouverte dont l'orientation est en accord avec celle de la courbe fermée la limitant

Définition du flux du champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface ouverte[modifier | modifier le wikicode]


1ère définition d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel[modifier | modifier le wikicode]


Flux de champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface fermée[modifier | modifier le wikicode]

Définition du flux sortant du champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface fermée[modifier | modifier le wikicode]


......Remarque : Si on choisit d'orienter la surface fermée de l'extérieur vers l'intérieur, on définit le flux entrant du champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers la surface fermée par [5], ce flux étant l'opposé du flux sortant précédemment défini.

2ème définition (équivalente) d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel[modifier | modifier le wikicode]


Schéma de définition du flux d'un champ vectoriel à travers deux surfaces ouvertes et s'appuyant sur le même contour et dont les orientations sont en accord avec celle de la courbe fermée les limitant

......Établissement de l'équivalence des deux définitions : la 1ère définition la 2ème définition car, le champ vectoriel étant à flux conservatif, son flux à travers les deux surfaces ouvertes et s'appuyant sur le même contour et dont les orientations sont en accord avec celle de la courbe fermée les limitant est le même c'est-à-dire [5] ; formant la surface fermée et l'orientant de l'intérieur vers l'extérieur, on conserve donc l'orientation de et on inverse celle de , la 1ère définition du champ vectoriel à flux conservatif se réécrit alors [5] soit finalement

......Établissement de l'équivalence des deux définitions : la 2ème définition la 1ère définition car, le champ vectoriel étant à flux conservatif, son flux sortant à travers une surface fermée quelconque est nul c'est-à-dire [5] ou, traçant sur une courbe fermée quelconque qui sépare la surface fermée en deux surfaces ouvertes et s'appuyant toutes deux sur puis orientant dans un sens arbitraire, ce qui entraîne que l'orientation d'une des surfaces ouvertes est en accord avec celle de [nous supposerons qu'il s'agit de , l'orientation de l'autre surface étant l'opposée de celle en accord avec le sens de [nous supposerons qu'il s'agit donc de , la condition de champ vectoriel à flux conservatif se réécrit [5] soit finalement [5].

Théorème de Green - Ostrogradsky (ou théorème de flux - divergence)[modifier | modifier le wikicode]

......Le théorème de Green - Ostrogradsky[8],[9] (admis) transforme le flux sortant d'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel à travers une surface fermée quelconque [10] en intégrale volumique de la divergence du champ vectoriel [11] sur l'expansion tridimensionnelle intérieure à la surface fermée soit

[12],[13].

Propriété locale d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel[modifier | modifier le wikicode]

......Soit un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel « à flux conservatif » et une surface fermée quelconque orientée de l'intérieur vers l'extérieur,

  • de la 2ème définition d'un champ vectoriel à flux conservatif de l'espace tridimensionnel nous en déduisons [5]
  • et, par utilisation du théorème de Green - Ostrogradsky[8],[9], [12]

......d'où [12] et, comme l'expansion tridimensionnelle sur laquelle l'intégration est faite est quelconque, la fonction scalaire de l'espace tridimensionnel à intégrer est nulle en tout point de l'espace soit [11] ;

......réciproque : « si [11], le champ vectoriel est à flux conservatif », se démontre sans difficulté en intégrant sur n'importe quelle expansion tridimensionnelle[14] puis en transformant en intégrale surfacique par théorème de Green - Ostrogradsky[8],[9] d'où la conclusion par 2ème définition d'un champ vectoriel à flux conservatif …

Début d’un théorème


Fin du théorème

Condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif[modifier | modifier le wikicode]

......Nous avons vu précédemment que la condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » s'identifie à la propriété locale d'un tel champ vectoriel « à flux conservatif » à savoir [11],[14].

......Ci-après nous allons réécrire la condition dans les trois principaux types de repérage du point de l'espace :

Traduction de la condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif dans le repérage cartésien[modifier | modifier le wikicode]

......En repérage cartésien le champ vectoriel se décomposant en et la C.N.[15] (mais non suffisante) pour que soit « à flux conservatif » s'écrivant [11], nous explicitons cette dernière selon

[16].

Traduction de la condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif dans le repérage cylindro-polaire[modifier | modifier le wikicode]

......En repérage cylindro-polaire[17], le champ vectoriel se décomposant en et la C.N.[15] (mais non suffisante) pour que soit « à flux conservatif » s'écrivant [11], nous explicitons cette dernière selon

[18].

......Cas particulier fréquent : champ vectoriel à symétrie de révolution[19] : la C.N.[15] (mais non suffisante) pour que soit « à flux conservatif » se simplifie en .

Traduction de la condition nécessaire (mais non suffisante) pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif dans le repérage sphérique[modifier | modifier le wikicode]

......En repérage sphérique[20], le champ vectoriel se décomposant en et la C.N.[15] (mais non suffisante) pour que soit « à flux conservatif » s'écrivant [11], nous explicitons cette dernière selon

[21].

......Cas particulier fréquent : champ vectoriel à symétrie sphérique[22] : la C.N.[15] (mais non suffisante) pour que soit « à flux conservatif » se simplifie en .

Condition suffisante pour qu'un champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit à flux conservatif[modifier | modifier le wikicode]

......Pour que le champ vectoriel de l'espace tridimensionnel soit « à flux conservatif » il suffit qu'il n'y ait aucun point de l'espace de définition du champ en lequel soit non défini ou [14], aussi peut-on affirmer la proposition suivante :

......La condition de nullité de la divergence[11] du champ vectoriel sur un ouvert étoilé du domaine de définition du champ vectoriel[23] est suffisante pour que le champ vectoriel soit « à flux conservatif » ainsi

est « à flux conservatif » sur un ouvert étoilé de [23] ssi en tout point de cet ouvert.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 et 1,4 Voir le paragraphe « Définition intrinsèque d'un champ (ou d'une fonction) vectoriel(le) de l'espace » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  2. Voir le paragraphe « Notion de vecteur élément de surface en un point générique d'une surface » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  3. Dont un des vecteurs de définition de la forme bilinéaire symétrique est un élément de surface c'est-à-dire, au sens de la physique, un infiniment petit d'ordre deux.
  4. Dans la mesure où l'espace tridimensionnel est orienté par une base orthonormée directe, on peut appliquer la règle du tire-bouchon de Maxwell pour déterminer l'orientation de la surface ouverte à partir de celle de la courbe fermée la limitant : « plaçant le tire-bouchon de Maxwell en un point de limitrophe de et le tournant dans le sens choisi sur , le sens défini sur en correspond au sens de déplacement du tire-bouchon, le sens défini sur en tout autre point étant obtenu par continuité » [on peut aussi appliquer la règle de trois doigts de la main droite de l'apprenti cow-boy droitier, le pouce pointant le sens choisi sur en un point de cette dernière, l'index pointant un point de à partir de et le majeur pointant le sens défini sur en  ;
    ...dans l'hypothèse (excessivement rare) où l'espace tridimensionnel serait orienté par une base orthonormée indirecte, on utilisera la règle de trois doigts de la main gauche de l'apprenti cow-boy gaucher, le pouce pointant le sens choisi sur en un point de cette dernière, l'index pointant un point de à partir de et le majeur pointant le sens défini sur en , ce qui donne un sens opposé à celui qu'on obtiendrait avec un espace tridimensionnel orienté par une base orthonormée directe …
    ...James Clerk Maxwell (1831 - 1879) physicien et mathématicien écossais, principalement connu pour ses équations unifiant l'électricité, le magnétisme et l'induction ainsi que pour l'établissement du caractère électromagnétique des ondes lumineuses, mais aussi pour sa distribution des vitesses utilisée dans une description statistique de la théorie cinétique des gaz ; le tire-bouchon fictif permettant de déterminer le caractère direct d'un triplet de vecteurs a été baptisé « tire-bouchon de Maxwell » en son honneur.
  5. 5,00 5,01 5,02 5,03 5,04 5,05 5,06 5,07 5,08 5,09 et 5,10 Voir le paragraphe « [../Vecteur_surface_élémentaire,_intégrale_surfacique,_volume_élémentaire_et_intégrale_volumique#Les_deux_types_d'intégrale_surfacique_et_les_grandes_lignes_de_la_méthode_d'évaluation|les deux types d'intégrale surfacique et les grandes lignes de la méthode d'évaluation]] » du chapitre 17 de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  6. C'est l'orientation systématiquement choisie sauf avis contraire.
  7. Quand c'est sous-entendu, il s'agit toujours du flux sortant …
  8. 8,0 8,1 et 8,2 George Green (1793 - 1841) physicien britannique à qui on doit, entre autres, un Essai sur l'application de l'analyse mathématique aux théories de l'électricité et du magnétisme paru en 1828, dans lequel on trouve le théorème de Green-Riemann, cas particulier du théorème de Stokes, ainsi que l'idée des fonctions de Green ;
    ... Bernhard Riemann (1826 - 1866) mathématicien allemand ayant apporté de nombreuses contributions à l'analyse (partie des mathématiques traitant explicitement de la notion de limite, continuité, dérivation et intégration) et à la géométrie différentielle (partie des mathématiques utilisant les outils du calcul différentiel à l'étude de la géométrie, sa principale application physique s'étant retrouvée dans la théorie de la relativité générale pour modéliser une courbure de l'espace-temps) ;
    ... George Gabriel Stokes (1819 - 1903) est un mathématicien et physicien britannique à qui on doit, dans le domaine de la physique, d'importants travaux en mécanique des fluides, l'étude des variations de la gravitation à la surface de la terre (il est considéré comme l'un des initiateurs de la géodésie) et aussi l'explication du phénomène de fluorescence ; dans le domaine des mathématiques on lui attribue à tort la démonstration du théorème portant son nom mais en fait une 1ère démonstration de ce théorème fut donnée en 1820 par Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradsky (1801 - 1862) physicien et mathématicien russe (province de l'Ukraine) à qui on doit aussi, entre autres, le théorème de flux-divergence portant partiellement son nom.
  9. 9,0 9,1 et 9,2 Mikhaïl Vassilievitch Ostrogradsky (1801 - 1862) physicien et mathématicien russe (province de l'Ukraine) à qui on doit, entre autres, ce théorème portant son nom [ainsi que celui de George Green (1793 - 1841) physicien britannique qui l'établit indépendamment de lui
  10. C.-à-d. une intégrale surfacique sur une surface fermée orientée de l'intérieur vers l'extérieur.
  11. 11,0 11,1 11,2 11,3 11,4 11,5 11,6 11,7 et 11,8 Voir le paragraphe « Champ scalaire divergence d'une fonction vectorielle de l'espace » du chapitre 19 de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  12. 12,0 12,1 et 12,2 Voir le paragraphe « Les deux types d'intégrale volumique » du chapitre 17 de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  13. Pour appliquer ce théorème, il est indispensable que la surface fermée soit orientée de l'intérieur vers l'extérieur.
  14. 14,0 14,1 14,2 et 14,3 Il faut qu'il n'existe aucun point serait ou non défini.
  15. 15,0 15,1 15,2 15,3 et 15,4 Condition nécessaire.
  16. Voir le paragraphe « Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cartésien » du chapitre 19 de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  17. Voir le paragraphe « Coordonnées cylindro-polaires et base locale associée d'un point » du chapitre 16 de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  18. Voir le paragraphe « Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en cylindro-polaire » du chapitre 19 de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  19. Correspondant à radial c'est-à-dire tel que et et la composante radiale ne dépendant que de soit et .
  20. Voir le paragraphe « Coordonnées sphériques et base locale associée d'un point » du chapitre de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  21. Voir le paragraphe « Expression de la divergence d'une fonction vectorielle de l'espace en sphérique » du chapitre 19 de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) ».
  22. Correspondant à radial c'est-à-dire tel que et et la composante radiale ne dépendant que de soit et .
  23. 23,0 et 23,1 Une partie ouverte ou non de est dite « étoilée » lorsque contient au moins un point tel que pour tout point de le segment soit inclus dans , on dit alors que est « étoilée par rapport à » est « convexe » ssi est étoilée par rapport à chacun de ses points.