Leçons de niveau 14

Mécanique des systèmes de points/Problème à deux corps, réduction canonique

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Sommaire

Exposé du problème[modifier | modifier le wikicode]

......Le but est de déterminer les mouvements des deux points matériels dans le référentiel galiléen le plus simplement possible et pour cela on recherche successivement :

  1. le mouvement du C.D.I[1]. dans le référentiel galiléen (par théorème du C.D.I[1].), ce qui permet de connaître le mouvement d'entraînement du référentiel barycentrique [2] puis
  2. le mouvement barycentrique de chaque point [3] ;

......de la connaissance du mouvement barycentrique de chaque point et de celle du mouvement d’entraînement de dans , on en déduit, par composition newtonienne des mouvements, le mouvement de chaque point dans le référentiel d’étude .

......Remarque : Faire une réduction canonique du système des deux points[4] n’est vraiment utile que dans le cas où le système est isolé ;

......Remarque : dans ce cas est galiléen et il n’y a pas d’introduction de pseudo-force d’inertie d’entraînement.

Grandeurs cinétiques dans le référentiel barycentrique[modifier | modifier le wikicode]

Le but est d’exprimer ces grandeurs cinétiques par utilisation du mouvement relatif de par rapport à [5].

Comparaison des quantités de mouvement barycentriques de chaque point[modifier | modifier le wikicode]

......La résultante cinétique barycentrique étant nulle par propriété la liant à la vitesse barycentrique du C.D.I[1].,[6] on déduit, de la définition de la résultante cinétique barycentrique , que

, c.-a-d. les quantités de mouvement barycentrique de chaque point sont opposées.

Expression de la quantité de mouvement barycentrique de M2 en fonction de la vitesse relative de M2 par rapport à M1[modifier | modifier le wikicode]

......De et de l’utilisation de la loi de composition newtonienne des vitesses dans laquelle [7] représente le référentiel d’entraînement, le référentiel absolu étant nous conduisant à d’où que l'on peut réécrire en utilisant d'où puis uniquement soit ou soit finalement

.

Expression du moment cinétique barycentrique du système en fonction du mouvement relatif de M2 par rapport à M1[modifier | modifier le wikicode]

......Le moment cinétique barycentrique du système étant indépendant du point origine de calcul, on peut le calculer en d'où soit, en utilisant le résultat obtenu au paragraphe précédent

[8].

Expression de l'énergie cinétique barycentrique du système en fonction du mouvement relatif de M2 par rapport à M1[modifier | modifier le wikicode]

......Par définition, l'énergie cinétique barycentrique du système s'écrit ou, avec de valeur commune notée , soit encore, avec et par simplification évidente

.

Notion de mobile réduit[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

......Le mobile réduit du système de deux points matériels est le point fictif

  • de masse égale à la masse réduite du système de deux points définition équivalente à et
  • de mouvement barycentrique tel que son vecteur position repéré par rapport à est identique, à tout instant, au vecteur position relatif de par rapport à soit [on peut donc affirmer que le mouvement barycentrique du mobile réduit est identique au mouvement relatif de par rapport à .

......Propriétés : et étant en translation l’un par rapport à l’autre, les dérivées temporelles sont indépendantes du référentiel dans lequel on dérive et par suite on peut affirmer

  • que soit ainsi
  • que soit .

Grandeurs cinétiques barycentriques du mobile réduit[modifier | modifier le wikicode]

Quantité de mouvement barycentrique du mobile réduit[modifier | modifier le wikicode]

......Comme on en déduit, en multipliant de part et d'autre par la masse réduite , la quantité de mouvement barycentrique du mobile réduit , cette dernière expression étant aussi soit

ou encore
les quantités de mouvement barycentriques du mobile réduit et du point sont identiques à tout instant.
Moment cinétique barycentrique du mobile réduit[modifier | modifier le wikicode]

......D'après on en déduit, en multipliant vectoriellement à gauche de part et d'autre par la masse réduite , le moment cinétique barycentrique du mobile réduit calculé par rapport à soit , cette dernière expression étant aussi c'est-à-dire le moment cinétique barycentrique du système soit

ou encore
les moments cinétiques barycentriques du mobile réduit calculé en et du système des deux points [9] sont identiques à tout instant.
Énergie cinétique barycentrique du mobile réduit[modifier | modifier le wikicode]

......Comme on en déduit, en multipliant de part et d'autre par la moitié de la masse réduite , l'énergie cinétique barycentrique du mobile réduit , cette dernière expression étant aussi l'énergie cinétique barycentrique du système des deux points soit

ou encore
les énergies cinétiques barycentriques du mobile réduit et du du système des deux points sont identiques à tout instant.
Conclusion[modifier | modifier le wikicode]

......En conclusion les propriétés cinétiques barycentriques du mobile réduit sont celles du système des deux points à l’exception de son vecteur quantité de mouvement qui s’identifie à celui de [10].

Étude du mouvement barycentrique du mobile réduit dans le cas d'un système de deux points isolé[modifier | modifier le wikicode]

Conséquence du caractère isolé du système[modifier | modifier le wikicode]

......Si le système des deux points est isolé, l'application du théorème du C.D.I[1]. dans le référentiel d'étude galiléen à ce système conduit à la propriété de mouvement rectiligne uniforme de son C.D.I[1]. et par suite au caractère galiléen du référentiel barycentrique car ce dernier est en translation rectiligne uniforme par rapport à galiléen.

Recherche de la force à imposer au mobile réduit pour que son mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de M2 par rapport à M1 et conséquence[modifier | modifier le wikicode]

......Si on applique la r.f.d.n[11]. à dans galiléen on obtient ou, la quantité de mouvement barycentrique du mobile réduit s'identifiant à la quantité de mouvement barycentrique du point soit , on peut réécrire la relation précédente sous la forme et en déduire

la force à imposer au mobile réduit pour que son mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de par rapport à  : .

......Conséquence : La force que le point exerce sur le point [12] [13] devient, avec [14],

le mobile réduit M a un mouvement à force centrale d'où
mouvement plan (ou rectiligne), application de la loi des aires, utilisation possible des formules de Binet …

Cas où les forces intérieures au système de points sont conservatives[modifier | modifier le wikicode]

......Les forces intérieures sont conservatives ssi [15] est telle que ne dépende pas des variables angulaires mais uniquement de  ;

......sous cette condition l'énergie potentielle d'interaction dont dérive la force intérieure se détermine par soit est une primitive de et plus précisément, par choix de la référence de l'énergie potentielle d'interaction[16] quand les deux points sont éloignés à l'infini,

......Nous avons vu précédemment que le mouvement barycentrique du mobile réduit s'identifiant, par définition, au mouvement relatif de par rapport à , peut être déterminé par application de la r.f.d.n[11]. à la condition d'appliquer à la force que exerce sur , force qui se réécrit à l’aide du repérage sphérique de pôle lié à , [17] ; du caractère conservatif de la force on en déduit que la force appliquée à est aussi conservative et l’énergie potentielle dont elle dérive étant telle que [18], on en déduit qu'elle s'identifie à l'énergie potentielle d'interaction du système c'est-à-dire à ou plus précisément, en remplaçant par , elle s'identifie à [19] ;

......on en déduit que le mobile réduit , dans ce champ de force conservative, possède l’énergie mécanique barycentrique

avec l'énergie cinétique barycentrique du mobile réduit qui s'identifie à celle du système des deux points soit et l'énergie potentielle dont dérive la force appliquée à qui s'identifie à l'énergie potentielle d'interaction entre les deux points soit  ;

......par conséquent l'énergie mécanique barycentrique du mobile réduit est identifiable à l'énergie mécanique barycentrique du système de points soit

, cette dernière étant .

......Remarque : Comme il n’y a pas d’autre force, l'énergie mécanique barycentrique du mobile réduit (ainsi que celle du système des deux points) est conservée soit

[ou , d'où
le mouvement étant à force centrale, possibilité de faire un traitement par diagrammes d’énergie potentielle effective [20] et d’énergie mécanique.

Bilan des théorèmes applicables pour déterminer le mouvement barycentrique du mobile réduit[modifier | modifier le wikicode]

......Tous les théorèmes fondamentaux de la mécanique du point matériel sont applicables au mobile réduit d'un système de deux points matériels isolé dans son référentiel barycentrique si on lui impose [21] c'est-à-dire :

  • la r.f.d.n[11]. (la force à imposer au mobile réduit ayant été déterminée pour pouvoir déterminer son mouvement par cette relation),
  • le théorème du moment cinétique vectoriel [22], ici la seule force à imposer au mobile réduit étant centrale, il y a conservation du moment cinétique vectoriel du mobile réduit calculé en prenant comme origine [23],
  • le théorème de l'énergie cinétique [24],
  • le théorème de la variation de l'énergie mécanique barycentrique dans le cas où les forces d'interaction entre points du système sont conservatives et en définissant l'énergie potentielle d'interaction dont ces forces dérivent, l'énergie mécanique barycentrique du mobile réduit s'identifiant à l'énergie mécanique barycentrique du système , ici la seule force à imposer au mobile réduit étant conservative, il y a conservation de l'énergie mécanique barycentrique du mobile réduit [25] ; de plus la seule force à imposer au mobile réduit étant centrale en plus d'être conservative, on peut introduire une énergie potentielle effective[20] du mobile réduit pour faire un traitement par diagramme énergétique …

Conclusion : mouvement relatif de M2 par rapport à M1[modifier | modifier le wikicode]

......On rappelle que le mouvement barycentrique du mobile réduit s'identifiant à celui du mouvement relatif de dans , la connaissance du 1er implique celle du 2e.

Obtention des mouvements barycentriques de chaque point à partir du mouvement barycentrique du mobile réduit[modifier | modifier le wikicode]

Établissement du lien entre mouvements barycentriques du mobile réduit et de chaque point du système[modifier | modifier le wikicode]

......Il convient donc d'expliciter le vecteur position barycentrique de chaque point et [26] en fonction du vecteur position (barycentrique) du mobile réduit [27] en utilisant la définition cinématique du mobile réduit et celle du C.D.I[1]. ou encore le système hétérogène des deux équations linéaires aux deux inconnues , que l'on résout par la C.L. donnant et par la C.L. donnant  ;

......finalement, avec , on réécrit d'une part, d'autre part et par suite les vecteurs positions barycentriques de chaque point du système s'expriment selon :

  • établissant que le mouvement barycentrique du point se déduit du mouvement barycentrique du mobile réduit par homothétie de centre et de rapport soit [28] et
  • établissant que le mouvement barycentrique du point se déduit du mouvement barycentrique du mobile réduit par homothétie de centre et de rapport soit [29].

Exemple de tracé[modifier | modifier le wikicode]

Mouvement relatif de M2 relativement à M1 avec m1 = 2 m2.

......Soient deux points matériels dont le 1er est deux fois plus lourd que le 2e c'est-à-dire la masse du système est  » et sa masse réduite  ;

......connaissant la trajectoire relative de dans voir ci-contre, on en déduit,

Mouvement barycentrique du mobile réduit M, des points M2 et M1 avec m1 = 2 m2.
  • par identification, la trajectoire barycentrique du mobile réduit (en noir) puis,
  • par homothétie de centre , de rapport celle de (en rouge) et
  • par homothétie de centre , de rapport celle de (en bleu).

Système isolé de deux points en interaction newtonienne[modifier | modifier le wikicode]

Généralités[modifier | modifier le wikicode]

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Rappel des principaux résultats[modifier | modifier le wikicode]

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Cas particulier du système composé du Soleil et d'une planète ou d'un astéroïde (par exemple une comète)[modifier | modifier le wikicode]

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Système de deux points dans le champ d'un astre éloigné[modifier | modifier le wikicode]

But recherché[modifier | modifier le wikicode]

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Recherche des forces à appliquer au mobile réduit pour que son mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de M2 par rapport à M1[modifier | modifier le wikicode]

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Détermination graphique dans le référentiel lié à M1 en translation par rapport au référentiel barycentrique du champ des marées pour quelques positions particulières de M2[modifier | modifier le wikicode]

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Détermination algébrique dans le référentiel lié à M1 en translation par rapport au référentiel barycentrique du champ des marées pour quelques positions particulières de M2[modifier | modifier le wikicode]

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Conséquences de la force des marées sur le mouvement barycentrique du mobile réduit[modifier | modifier le wikicode]

......en attente

Conséquences de la force des marées sur le mouvement relatif de M2 par rapport à M1[modifier | modifier le wikicode]

......en attente

Conséquences de la force des marées sur le mouvement barycentrique de chaque point[modifier | modifier le wikicode]

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Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 et 1,5 Centre d'inertie.
  2. On rappelle que le référentiel barycentrique d'un système de deux points matériels est le référentiel lié à son C.D.I. en translation relativement au référentiel d'étude galiléen .
  3. A priori n'étant pas galiléen, est soumis aux forces , et à la pseudo-force d'inertie d'entraînement d’où l’application de la r.f.d. à dans le mouvement barycentrique de , et comme , la connaissance du mouvement barycentrique de celle de .
  4. Ce qui est l’objet de ce chapitre.
  5. Repérer par rapport à est arbitraire, on pourrait tout aussi bien choisir de repérer par rapport à mais il faudrait, dans ce qui suit, permuter les indices et .
  6. Laquelle est nulle par définition.
  7. C'est le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel d'étude et donc aussi en translation par rapport au référentiel barycentrique .
  8. Le calcul en un autre point, par exemple , conduisait à soit, en remplaçant par et en factorisant, par utilisation du résultat obtenu au paragraphe précédent.
  9. Le calcul du moment cinétique barycentrique du système des deux points pouvant être fait en n'importe quel point origine.
  10. Il est aisé de se souvenir que la quantité de mouvement barycentrique du mobile réduit ne peut être celle du système des deux points car celle de ce dernier est nulle.
  11. 11,0 11,1 et 11,2 Relation fondamentale de la dynamique newtonienne.
  12. C'est-à-dire que le point origine du repérage relatif (point lié au référentiel exerce sur le point dont on cherche le repérage relatif).
  13. Les variables étant , et les deux angles permettant de repérer la direction de dans l'espace selon le repérage sphérique.
  14. Si [1ère coordonnée sphérique (radiale) de dans son repérage sphérique de pôle et [1er vecteur de base sphérique (radial) lié à dans son repérage sphérique de pôle , étant les deux autres coordonnées sphériques (respectivement orthoradiale et azimutale) de dans son repérage sphérique de pôle .
  15. L'autre force s'exerçant sur s'écrit avec la même composante sur que celle de sur .
  16. On rappelle que c'est la situation géométrique où l'énergie potentielle est choisie nulle.
  17. On rappelle que d'où et .
  18. La dernière égalité définissant l'énergie potentielle d'interaction entre les deux points.
  19. En choisissant une référence pour le mobile réduit formellement identique à celle précédemment choisie pour les deux points du système, à savoir quand est à l'infini du C.D.I. .
  20. 20,0 et 20,1 Somme de l'énergie potentielle et de la partie orthoradiale de l'énergie cinétique (barycentrique), l'énergie potentielle effective (barycentrique) ne dépend que de et l'énergie mécanique (barycentrique) se réécrit permettant de se ramener au traitement d'un problème à une dimension de paramètre .
  21. Si le mobile réduit est défini pour que son mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de par rapport à (et non l'inverse, ce qui l'est dans certaines présentations du mobile réduit, à savoir le mouvement barycentrique de ce dernier devant être identique au mouvement relatif de par rapport à , dans cette présentation la force imposée au mobile réduit doit aussi être l'inverse c'est-à-dire , ajoutons qu'avec cette définition la quantité de mouvement barycentrique du mobile réduit s'identifie à la quantité de mouvement barycentrique du point .
  22. Applicable avec une origine de calcul des moments fixe dans par exemple .
  23. Le moment cinétique barycentrique du mobile réduit calculé en prenant comme origine s'identifie au moment cinétique barycentrique du système des deux points (lequel est indépendant du point origine choisi car la relation entre les moments cinétiques barycentriques du système calculés en deux origines distinctes et est , la résultante cinétique barycentrique du système étant, par définition du référentiel barycentrique, nulle) et la raison de la conservation du moment cinétique barycentrique du système est que ce dernier est isolé (absence de forces extérieures au système).
  24. Théorème obtenu en intégrant de part et d'autre le théorème de la puissance cinétique entre deux positions correspondant à des instants quelconques, le théorème de la puissance cinétique s'obtenant à partir de la r.f.d.n. (laquelle s'applique à condition d'imposer la force adéquate au mobile réduit) en multipliant scalairement de part et d'autre par soit , le 1er membre définissant la puissance de la force appliquée au mobile réduit dans le référentiel barycentrique qui s'identifie à la puissance développée par les forces intérieures au système [car , s'identifiant à la vitesse relative de dans soit , le 2e membre définissant la puissance cinétique barycentrique du mobile réduit (c'est-à-dire la dérivée par rapport au temps de l'énergie cinétique barycentrique du mobile réduit) qui s'identifie à la puissance cinétique barycentrique du système (la raison étant l'identification de l'énergie cinétique barycentrique du mobile réduit avec l'énergie cinétique barycentrique du système d'où l'identification de leurs dérivées temporelles) ;
    ...le théorème de la puissance cinétique barycentrique appliqué au mobile réduit peut être aussi trouvé en appliquant le théorème de la puissance cinétique barycentrique appliqué au système isolé, chaque membre s'identifiant au membre correspondant du théorème de la puissance cinétique barycentrique appliqué au mobile réduit.
  25. La raison de la conservation de l'énergie mécanique barycentrique du système est que ce dernier isolé n'est soumis qu'à des forces intérieures conservatives.
  26. Le qualificatif « barycentrique » traduisant que le point origine est un point fixe du référentiel barycentrique , par exemple .
  27. A priori le qualificatif « barycentrique » n'est pas indispensable car le mobile réduit est défini, dans ce chapitre, uniquement dans le référentiel barycentrique (il existe d'autres présentations où il n'est pas fait référence au référentiel barycentrique pour définir le mobile réduit mais ça n'a pas été ma démarche).
  28. Le rapport ne faisant intervenir que les masses des points en présence, le mobile réduit et le point .
  29. Le rapport ne faisant intervenir que les masses des points en présence, le mobile réduit et le point , le signe résultant du fait que le point est le point par rapport auquel le mouvement relatif est défini (et non le point dont on décrit le mouvement relatif) dans la définition cinématique du mobile réduit.