Leçons de niveau 14

Mécanique des systèmes de points/Problème à deux corps, réduction canonique

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Sommaire

Exposé du problème[modifier | modifier le wikicode]

     Le but est de déterminer les mouvements des deux points matériels dans le référentiel galiléen le plus simplement possible et pour cela on recherche successivement :

  1. le mouvement du C.D.I. [1]. dans le référentiel galiléen par théorème du C.D.I. [1], ce qui permet de connaître le mouvement d'entraînement du référentiel barycentrique [2] puis
  2. le mouvement barycentrique de chaque point [3] ;

     de la connaissance du mouvement barycentrique de chaque point et de celle du mouvement d’entraînement de dans , on en déduit, par composition newtonienne des mouvements, le mouvement de chaque point dans le référentiel d’étude .

     Remarque : Faire une réduction canonique du système des deux points [4] n’est vraiment utile que dans le cas où le système est isolé ;

     Remarque : dans ce cas est galiléen et il n’y a pas d’introduction de pseudo-force d’inertie d’entraînement.

Grandeurs cinétiques dans le référentiel barycentrique[modifier | modifier le wikicode]

Le but est d’exprimer ces grandeurs cinétiques par utilisation du mouvement relatif de par rapport à [5].

Comparaison des quantités de mouvement barycentriques de chaque point[modifier | modifier le wikicode]

     La résultante cinétique barycentrique étant nulle par propriété la liant à la vitesse barycentrique du C.D.I. [1], [6] on déduit, de la définition de la résultante cinétique barycentrique , que

, c.-a-d. les quantités de mouvement barycentrique de chaque point sont opposées.

Expression de la quantité de mouvement barycentrique de M2 en fonction de la vitesse relative de M2 par rapport à M1[modifier | modifier le wikicode]

     De et de l’utilisation de la loi de composition newtonienne des vitesses dans laquelle [7] représente le référentiel d’entraînement, le référentiel absolu étant nous conduisant à d’où que l'on peut réécrire en utilisant d'où puis uniquement soit ou soit finalement

.

Expression du moment cinétique barycentrique du système en fonction du mouvement relatif de M2 par rapport à M1[modifier | modifier le wikicode]

     Le moment cinétique barycentrique du système étant indépendant du point origine de calcul, on peut le calculer en d'où soit, en utilisant le résultat obtenu au paragraphe précédent

[8].

Expression de l'énergie cinétique barycentrique du système en fonction du mouvement relatif de M2 par rapport à M1[modifier | modifier le wikicode]

     Par définition, l'énergie cinétique barycentrique du système s'écrit ou, avec de valeur commune notée , soit encore, avec et par simplification évidente

.

Notion de mobile réduit[modifier | modifier le wikicode]

Définition[modifier | modifier le wikicode]

     Le mobile réduit du système de deux points matériels est le point fictif

  • de masse égale à la masse réduite du système de deux points définition équivalente à et
  • de mouvement barycentrique tel que son vecteur position repéré par rapport à est identique, à tout instant, au vecteur position relatif de par rapport à soit on peut donc affirmer que le mouvement barycentrique du mobile réduit est identique au mouvement relatif de par rapport à .

     Propriétés : et étant en translation l’un par rapport à l’autre, les dérivées temporelles sont indépendantes du référentiel dans lequel on dérive et par suite on peut affirmer

  • Propriétés : que soit ainsi
  • Propriétés : que soit .

Grandeurs cinétiques barycentriques du mobile réduit[modifier | modifier le wikicode]

Quantité de mouvement barycentrique du mobile réduit[modifier | modifier le wikicode]

     Comme on en déduit, en multipliant de part et d'autre par la masse réduite , la quantité de mouvement barycentrique du mobile réduit , cette dernière expression étant aussi soit

ou encore
les quantités de mouvement barycentriques du mobile réduit et du point sont identiques à tout instant.
Moment cinétique barycentrique du mobile réduit[modifier | modifier le wikicode]

     D'après on en déduit, en multipliant vectoriellement à gauche de part et d'autre par la masse réduite , le moment cinétique barycentrique du mobile réduit calculé par rapport à soit , cette dernière expression étant aussi c.-à-d. le moment cinétique barycentrique du système soit

ou encore
les moments cinétiques barycentriques du mobile réduit calculé en et du système des deux points [9] sont identiques à tout instant.
Énergie cinétique barycentrique du mobile réduit[modifier | modifier le wikicode]

     Comme on en déduit, en multipliant de part et d'autre par la moitié de la masse réduite , l'énergie cinétique barycentrique du mobile réduit , cette dernière expression étant aussi l'énergie cinétique barycentrique du système des deux points soit

ou encore
les énergies cinétiques barycentriques du mobile réduit et du du système des deux points sont identiques à tout instant.
Conclusion[modifier | modifier le wikicode]

     En conclusion les propriétés cinétiques barycentriques du mobile réduit sont celles du système des deux points à l’exception de son vecteur quantité de mouvement qui s’identifie à celui de [10].

Étude du mouvement barycentrique du mobile réduit dans le cas d'un système de deux points isolé[modifier | modifier le wikicode]

Conséquence du caractère isolé du système[modifier | modifier le wikicode]

     Si le système des deux points est isolé, l'application du théorème du C.D.I. [1] dans le référentiel d'étude galiléen à ce système conduit à la propriété de mouvement rectiligne uniforme de son C.D.I. [1] et par suite au caractère galiléen du référentiel barycentrique car ce dernier est en translation rectiligne uniforme par rapport à galiléen.

Recherche de la force à imposer au mobile réduit pour que son mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de M2 par rapport à M1 et conséquence[modifier | modifier le wikicode]

     Si on applique la r.f.d.n. [11] à dans galiléen on obtient ou, la quantité de mouvement barycentrique du mobile réduit s'identifiant à la quantité de mouvement barycentrique du point soit , on peut réécrire la relation précédente sous la forme et en déduire

la force à imposer au mobile réduit pour que son mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de par rapport à  : .

     Conséquence : La force que le point exerce sur le point [12] [13] devient, avec [14],

le mobile réduit M a un mouvement à force centrale d'où
mouvement plan (ou rectiligne), application de la loi des aires, utilisation possible des formules de Binet

Cas où les forces intérieures au système de points sont conservatives[modifier | modifier le wikicode]

     Les forces intérieures sont conservatives ssi [15] est telle que ne dépende pas des variables angulaires mais uniquement de  ;

     sous cette condition l'énergie potentielle d'interaction dont dérive la force intérieure se détermine par soit est une primitive de et plus précisément, par choix de la référence de l'énergie potentielle d'interaction [16] quand les deux points sont éloignés à l'infini,

     Nous avons vu précédemment que le mouvement barycentrique du mobile réduit s'identifiant, par définition, au mouvement relatif de par rapport à , peut être déterminé par application de la r.f.d.n. [11] à condition d'appliquer à la force que exerce sur , force qui se réécrit à l’aide du repérage sphérique de pôle lié à selon [17] ; du caractère conservatif de la force on en déduit que la force appliquée à est aussi conservative et l’énergie potentielle dont elle dérive étant telle que [18], on en déduit qu'elle s'identifie à l'énergie potentielle d'interaction du système c.-à-d. à ou plus précisément, en remplaçant par , elle s'identifie à [19] ;

     on en déduit que le mobile réduit , dans ce champ de force conservative, possède l’énergie mécanique barycentrique

     avec l'énergie cinétique barycentrique du mobile réduit qui s'identifie à celle du système des deux points soit et l'énergie potentielle dont dérive la force appliquée à qui s'identifie à l'énergie potentielle d'interaction entre les deux points soit  ;

     par conséquent l'énergie mécanique barycentrique du mobile réduit est identifiable à l'énergie mécanique barycentrique du système de points soit

, cette dernière étant .

     Remarque : Comme il n’y a pas d’autre force, l'énergie mécanique barycentrique du mobile réduit ainsi que celle du système des deux points est conservée soit

ou , d'où
le mouvement étant à force centrale, possibilité de faire un traitement par diagrammes d’énergie potentielle effective [20] et d’énergie mécanique.

Bilan des théorèmes applicables pour déterminer le mouvement barycentrique du mobile réduit[modifier | modifier le wikicode]

     Tous les théorèmes fondamentaux de la mécanique du point matériel sont applicables au mobile réduit d'un système de deux points matériels isolé dans son référentiel barycentrique si on lui impose [21] c.-à-d. :

  • la r.f.d.n. [11] la force à imposer au mobile réduit ayant été déterminée pour pouvoir déterminer son mouvement par cette relation,
  • le théorème du moment cinétique vectoriel [22], ici la seule force à imposer au mobile réduit étant centrale, il y a conservation du moment cinétique vectoriel du mobile réduit calculé en prenant comme origine [23],
  • le théorème de l'énergie cinétique [24],
  • le théorème de la variation de l'énergie mécanique barycentrique dans le cas où les forces d'interaction entre points du système sont conservatives et en définissant l'énergie potentielle d'interaction dont ces forces dérivent, l'énergie mécanique barycentrique du mobile réduit s'identifiant à l'énergie mécanique barycentrique du système , ici la seule force à imposer au mobile réduit étant conservative, il y a conservation de l'énergie mécanique barycentrique du mobile réduit [25] ; de plus la seule force à imposer au mobile réduit étant centrale en plus d'être conservative, on peut introduire une énergie potentielle effective [20] du mobile réduit pour faire un traitement par diagramme énergétique

Conclusion : mouvement relatif de M2 par rapport à M1[modifier | modifier le wikicode]

     On rappelle que le mouvement barycentrique du mobile réduit s'identifiant à celui du mouvement relatif de dans , la connaissance du 1er implique celle du 2ème.

Obtention des mouvements barycentriques de chaque point à partir du mouvement barycentrique du mobile réduit[modifier | modifier le wikicode]

Établissement du lien entre mouvements barycentriques du mobile réduit et de chaque point du système[modifier | modifier le wikicode]

     Il convient donc d'expliciter le vecteur position barycentrique de chaque point et [26] en fonction du vecteur position barycentrique du mobile réduit [27] en utilisant la définition cinématique du mobile réduit et celle du C.D.I. [1] ou encore le système hétérogène des deux équations linéaires aux deux inconnues , que l'on résout par la C.L. donnant et par la C.L. donnant  ;

     finalement, avec , on réécrit d'une part, d'autre part et par suite les vecteurs positions barycentriques de chaque point du système s'expriment selon :

  • établissant que le mouvement barycentrique du point se déduit du mouvement barycentrique du mobile réduit par homothétie de centre et de rapport soit [28] et
  • établissant que le mouvement barycentrique du point se déduit du mouvement barycentrique du mobile réduit par homothétie de centre et de rapport soit [29].

Exemple de tracé[modifier | modifier le wikicode]

Mouvement relatif de relativement à avec

     Soient deux points matériels dont le 1er est deux fois plus lourd que le 2ème c.-à-d. la masse du système est et sa masse réduite  ;

     connaissant la trajectoire relative de dans voir ci-contre, on en déduit,

Mouvement barycentrique du mobile réduit , des points et avec
  • par identification, la trajectoire barycentrique du mobile réduit en noir puis,
  • par homothétie de centre , de rapport celle de en rouge et
  • par homothétie de centre , de rapport celle de en bleu.

Système isolé de deux points en interaction newtonienne[modifier | modifier le wikicode]

Généralités[modifier | modifier le wikicode]

     Le référentiel barycentrique est galiléen en effet le système des deux points étant isolé, son C.D.I. [1] a un mouvement rectiligne uniforme dans galiléen le référentiel lié à en translation rectiligne uniforme relativement à galiléen est galiléen et

     le mouvement relatif de l'un des points par rapport à l'autre s’identifie au mouvement barycentrique du mobile réduit , ce dernier pouvant se déterminer par r.f.d.n. [11] si on lui applique la force ou, en utilisant les coordonnées de dans la base locale sphérique  ;

      a donc un mouvement barycentrique à force centrale newtonienne [30], sa trajectoire est donc plane ou rectiligne et, dans l’hypothèse de planéité, une conique ou portion de conique dont est le ou l'un des foyer(s) le foyer dans le cas d'une parabole, l'un des foyers dans le cas d'une ellipse et dans le cas d'une branche d'hyperbole le foyer contourné par cette dernière.

     Si l’interaction newtonienne est de gravitation, la constante est et elle vaut «» dans laquelle est la constante de gravitation universelle valant , la constante pouvant être exprimée en fonction de la « masse du système » et de la « masse réduite de ce dernier » ou «» d'où «» et ainsi
     Si l’interaction newtonienne est de gravitation, la force qui doit être imposée au point réduit de masse pour que celui-ci ait un mouvement barycentrique identique au mouvement relatif de dans le référentiel lié à est formellement identique à une force de gravitation qui serait créée par le C.D.I. [1] du système , auquel on affecterait la masse .

     Si l’interaction newtonienne est électrostatique, la constante est dans le cas d'une attraction entre les deux charges ou dans le cas d'une répulsion et elle vaut «» dans laquelle est la permittivité diélectrique du vide [31] telle que «», étant les charges respectives du système des deux points .

     Nous nous intéresserons pour la suite aux interactions de gravitation entre deux astres quand il s’agit d’étoiles, le système est appelé « étoile double ».

Rappel des principaux résultats[modifier | modifier le wikicode]

     Préliminaire : Les résultats concernant le mouvement d'un point matériel uniquement soumis à une force d'attraction gravitationnelle newtonienne «» dans laquelle vaut «» avec constante de gravitation universelle, la masse de la source de l'espace champ de gravitation newtonien, et étant respectivement la coordonnée radiale et le vecteur unitaire radial du repérage sphérique du point de pôle , le centre d'action de la force newtonienne [32] lequel est fixe dans le référentiel d'étude galiléen, peuvent être vus plus en détails
     Préliminaire : Les résultats dans le chap. intitulé « mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : champ newtonien, lois de Kepler » de la leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du cours « Physique en classe préparatoire PCSI », ainsi que
     Préliminaire : Les résultats dans le chap. intitulé « mouvement d'un point matériel dans un champ de force central conservatif : énergie mécanique du point matériel soumis à une force newtonienne » de la même leçon « Mécanique 2 (PCSI) » du même cours « Physique en classe préparatoire PCSI »

     Préliminaire : Les principaux résultats sont rappelés ci-dessous en les adaptant au mouvement barycentrique du mobile réduit «» dans le champ de gravitation newtonien créé par «», « le mouvement barycentrique de étant identique au mouvement relatif de par rapport à » c.-à-d. au mouvement de dans le référentiel lié à en translation relativement au référentiel barycentrique .

     Rappel des principaux résultats : Appelant le vecteur vitesse relative initiale de par rapport à c'est aussi le vecteur vitesse barycentrique initial du mobile réduit ,

     Rappel des principaux résultats : Appelant la distance initiale séparant les deux points c'est aussi la distance initiale séparant le mobile réduit du C.D.I. [1] ou la coordonnée radiale initiale de dans et

     Rappel des principaux résultats : Appelant l'angle orienté que fait le vecteur vitesse relative initiale de par rapport à avec l'axe polaire choisi à et de même sens, l'axe étant à dans le plan initial du mouvement relatif de par rapport à , les angles du plan étant orientés par le 3ème axe au plan et de sens tel que le trièdre soit direct ou encore l'angle orienté que fait le vecteur vitesse barycentrique initial du mobile réduit avec l'axe polaire choisi de support confondu avec le vecteur position barycentrique initial du mobile réduit et dans le même sens que ce dernier, l'axe étant à dans le plan initial du mouvement barycentrique de , les angles du plan étant orientés par le 3ème axe au plan et de sens tel que le trièdre soit direct,

     Rappel des principaux résultats : l'équation polaire de la trajectoire de dans le plan fixe de référentiel lié à en translation par rapport au référentiel barycentrique galiléen contenant étant «» est une conique dont le ou l'un des foyer(s) est dans laquelle est l'angle orienté que fait l'axe focal orienté «» [33] avec l'axe polaire , et étant respectivement le paramètre et l'excentricité de la conique ou encore l'équation polaire de la trajectoire barycentrique du mobile réduit dans le plan fixe de contenant étant «» est une conique dont le ou l'un des foyer(s) est dans laquelle est l'angle orienté que fait l'axe focal orienté «» [34] avec l'axe polaire , et étant respectivement le paramètre et l'excentricité de la conique.

     Rappel des principaux résultats : La suite des rappels sera exposée uniquement en terme de mouvement barycentrique du mobile réduit sachant que ce dernier s'identifie au mouvement relatif de dans le référentiel lié à en translation par rapport au référentiel barycentrique galiléen .

     Rappel des principaux résultats : Pour déterminer les grandeurs barycentriques du mouvement du mobile réduit «» on évalue successivement :

     Rappel des principaux résultats : la constante des aires «» [35]

     Rappel des principaux résultats : le paramètre de la conique «» [36] soit, avec «» [37], «» ou encore «»,

     Rappel des principaux résultats : l'énergie mécanique barycentrique initiale «» [38] en prenant la référence de l'énergie potentielle newtonienne [39] à l'infini soit, avec « » [37], ou «» ;

     Rappel des principaux résultats : compte-tenu de la conservation de l'énergie mécanique barycentrique [40] du mobile réduit et de l'expression de cette dernière en fonction de l'excentricité de la conique «» [41] ou encore, avec «» [37], «» on en déduit « la nature de la conique suivant la valeur de » :

     Rappel des principaux résultats : si «» «», l'excentricité de la conique décrite par le mobile réduit valant ,
     Rappel des principaux résultats :                                                                                                                           la trajectoire décrite par est une parabole de foyer , la vitesse étant appelée « vitesse de libération [42] en la position »,

     Rappel des principaux résultats : si « est » «», l'excentricité de la conique décrite par le mobile réduit ayant une valeur ,
     Rappel des principaux résultats :                                                                                                                                   la trajectoire décrite par est une ellipse dont un des foyers est ,
     Rappel des principaux résultats :                                                                                                                                   le demi-grand axe de celle-ci se détermine à l'aide de la valeur de l'énergie mécanique «» laquelle se réécrit «» [43] d'où «» ou, en introduisant la vitesse de libération en la position «», soit «» ou encore, en éliminant en fonction de et à l'aide de «», l'expression finale du demi-grand axe de l'ellipse décrite par le mobile réduit s'écrit «», ou encore «»,
     Rappel des principaux résultats :                                                                                                                                   l'excentricité de l'ellipse décrite par le mobile réduit se détermine à partir de la connaissance de son paramètre et de son demi-grand axe à l'aide de [44] d'où «» soit, avec «» et «» d'où que l'on peut réécrire, en développant le numérateur et en reconnaissant le début d'un carré, soit finalement, sachant que et , «» et
     Rappel des principaux résultats :                                                                                                                                   la période du mouvement barycentrique du mobile réduit sur sa trajectoire elliptique se détermine à l'aide de la « 3ème loi de Kepler [45] généralisée aux centres gravitationnels autres que celui du Soleil » [46] «» d'où «» ou encore, en éliminant en fonction de et à l'aide de «», l'expression finale de la période du mobile réduit s'écrit «» ou enfin, en reportant l'expression de «», «»,

     Rappel des principaux résultats : si « est » «», l'excentricité de la conique décrite par le mobile réduit ayant une valeur ,
     Rappel des principaux résultats :                                                                                                                                   la trajectoire décrite par est une branche d'hyperbole dont est un des foyers, celui contourné par la branche,
     Rappel des principaux résultats :                                                                                                                                   le demi-axe focal de celle-ci se détermine à l'aide de la valeur de l'énergie mécanique «» laquelle se réécrit «» [47] d'où «» ou, en introduisant la vitesse de libération en la position «», soit «» ou encore, en éliminant en fonction de et à l'aide de «», l'expression finale du demi- axe focal de branche d'hyperbole décrite par le mobile réduit s'écrit «», ou encore «» et
     Rappel des principaux résultats :                                                                                                                                   l'excentricité de la branche d'hyperbole décrite par le mobile réduit se détermine à partir de la connaissance de son paramètre et de son demi-axe focal à l'aide de [48] d'où «» soit, avec «» ainsi que « » d'où c.-à-d. la même expression que celle obtenue dans le cas d'une trajectoire elliptique, d'où finalement, «».

     Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : une 1ère C.N. [49] est «» ce qui implique, en reportant cette valeur dans l'expression de l'excentricité de la trajectoire quand celle-ci est elliptique «» laquelle, devant être nulle pour une trajectoire circulaire, implique comme
     Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : une 2ème C.N. [49] «», valeur notée «» et usuellement appelée « vitesse circulaire en la position »,
     Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : le report de ces deux C.N. [49] dans les expressions de la constante des aires [35], du paramètre et de l'énergie mécanique barycentrique initiale du mobile réduit ainsi que celles du demi-grand axe et de la période dans le cas particulier d'un mouvement barycentrique elliptique de , donnant
     Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : «» ou encore «»,
     Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : «» soit, après simplification, «»,
     Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : «» soit «» [50] ou encore, «»,
     Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : «» soit, après simplification «» et
     Mouvement circulaire comme cas particulier du mouvement elliptique : «» ou encore «».

Cas particulier du système composé du Soleil et d'une planète (ou d'un astéroïde ou encore d'une comète)[modifier | modifier le wikicode]

     Le système composé du « Soleil ☉ » et d'une planète ou d'un astéroïde ou encore d'une comète, le Soleil considéré comme ponctuel de masse étant noté et la planète également considérée comme ponctuelle de masse étant notée la planète pouvant être remplacée par un astéroïde de masse noté ou par une comète de masse noté , peut être considéré, en 1ère approximation, isolé, l'influence des autres planètes ou astéroïdes ou comètes pouvant être négligée ;

     de ou même nous déduisons selon une très bonne approximation dans le cas d'un astéroïde ou d'une comète l'approximation dans le cas d'une planète est d'autant moins bonne que la masse de la planète est grande [51] mais cela reste néanmoins très acceptable [52].

     Le référentiel barycentrique du système composé du « Soleil ☉ » et d'une planète ou d'un astéroïde ou encore d'une comète pouvant être assimilé au référentiel de Copernic [53] et
     le référentiel lié au « Soleil ☉ » en translation relativement au référentiel barycentrique étant le référentiel de Kepler [45]
     nous en déduisons, dans la mesure où le système étudié est considéré comme isolé, que le mouvement de la planète ou de l'astéroïde ou encore de la comète dans le référentiel de Kepler [45] est identique au mouvement du mobile réduit du système dans le référentiel de Copernic [53] ;

     comme le mobile réduit du système étudié est assimilable à la planète ou à l'astéroïde ou encore à la comète, nous pouvons conclure, qu'à cette approximation, le référentiel de Kepler [45] s'identifie au référentiel de Copernic [53].

     Le mouvement relatif de la planète ou de l'astéroïde ou encore de la comète par rapport au Soleil quand le système constitué avec le Soleil est dans un état lié [54] a été décrit historiquement par les trois lois de Kepler [45], le mouvement correspondant étant qualifié de « képlérien » :

     1ère loi de Kepler [45] : nature elliptique de la trajectoire de la planète