Mécanique des systèmes de points/Problème à deux corps, réduction canonique

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Exposé du problème

......Le but est de déterminer les mouvements des deux points matériels dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ le plus simplement possible et pour cela on recherche successivement :

1. le mouvement du C.D.I. $\;G\;$ dans le référentiel galiléen $\;{\mathcal {R}}\;$ (par théorème du C.D.I.), ce qui permet de connaître le mouvement d'entraînement du référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ puis
2. le mouvement barycentrique de chaque point  ;

......de la connaissance du mouvement barycentrique de chaque point et de celle du mouvement d’entraînement de $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}$, on en déduit, par composition newtonienne des mouvements, le mouvement de chaque point dans le référentiel d’étude $\;{\mathcal {R}}$.

......Remarque : Faire une réduction canonique du système des deux points n’est vraiment utile que dans le cas où le système est isolé ;

......Remarque : dans ce cas $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ est galiléen et il n’y a pas d’introduction de pseudo-force d’inertie d’entraînement.

Grandeurs cinétiques dans le référentiel barycentrique

Le but est d’exprimer ces grandeurs cinétiques par utilisation du mouvement relatif de $\;M_{2}\;$ par rapport à $\;M_{1}\;$ .

Comparaison des quantités de mouvement barycentriques de chaque point

......La résultante cinétique barycentrique ${\vec {P}}^{*}\;$ étant nulle par propriété la liant à la vitesse barycentrique du C.D.I. $\;{\vec {P}}^{*}=(m_{1}+m_{2})\;{\vec {V}}^{*}\!(G)={\vec {0}}\;$ on déduit, de la définition de la résultante cinétique barycentrique $\;{\vec {P}}^{*}={\vec {p}}_{1}^{*}+{\vec {p}}_{2}^{*}$, que

$\;{\vec {p}}_{1}^{*}=-{\vec {p}}_{2}^{*}$, c.-a-d. les quantités de mouvement barycentrique de chaque point sont opposées.

Expression de la quantité de mouvement barycentrique de M₂ en fonction de la vitesse relative de M₂ par rapport à M₁

......De $\;{\vec {p}}_{2}^{*}=m_{2}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}^{*}}(M_{2})\;$ et de l’utilisation de la loi de composition newtonienne des vitesses dans laquelle $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ représente le référentiel d’entraînement, le référentiel absolu étant $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ nous conduisant à $\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}^{*}}(M_{2})={\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})+{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}^{*}}(M_{1})\;$ d’où $\;{\vec {p}}_{2}^{*}=m_{2}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})+m_{2}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}^{*}}(M_{1})\;$ que l'on peut réécrire en utilisant $\;{\vec {p}}_{1}^{*}=m_{1}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}^{*}}(M_{1})\;$ d'où $\;{\vec {p}}_{2}^{*}=m_{2}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})+{\dfrac {m_{2}}{m_{1}}}\;{\vec {p}}_{1}^{*}\;$ puis uniquement $\;{\vec {p}}_{2}^{*}=-{\vec {p}}_{1}^{*}\;$ soit $\;{\vec {p}}_{2}^{*}=m_{2}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})-{\dfrac {m_{2}}{m_{1}}}\;{\vec {p}}_{2}^{*}\;$ ou $\left(1+{\dfrac {m_{2}}{m_{1}}}\right){\vec {p}}_{2}^{*}=m_{2}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})\;$ soit finalement

$\;{\vec {p}}_{2}^{*}={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})$.

Expression du moment cinétique barycentrique du système en fonction du mouvement relatif de M₂ par rapport à M₁

......Le moment cinétique barycentrique du système $\;{\vec {\sigma }}^{*}\;$ étant indépendant du point origine de calcul, on peut le calculer en $\;M_{1}\;$ d'où $\;{\vec {\sigma }}^{*}=$ ${\cancel {{\overrightarrow {M_{1}M_{1}}}\wedge m_{1}\;{\vec {v}}^{*}(M_{1})}}+{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\wedge m_{2}\;{\vec {v}}^{*}(M_{2})={\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\wedge {\vec {p}}_{2}^{*}\;$ soit, en utilisant le résultat obtenu au paragraphe précédent

$\;{\vec {\sigma }}^{*}={\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\wedge {\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})\;$ .

Expression de l'énergie cinétique barycentrique du système en fonction du mouvement relatif de M₂ par rapport à M₁

......Par définition, l'énergie cinétique barycentrique du système s'écrit $\;K^{*}={\dfrac {\left[{\vec {p}}_{1}^{*}\right]^{2}}{2\;m_{1}}}+{\dfrac {\left[{\vec {p}}_{2}^{*}\right]^{2}}{2\;m_{2}}}\;$ ou, avec $\;{\vec {p}}_{1}^{*}=-{\vec {p}}_{2}^{*}\;$ $\Rightarrow$ $\;\Vert {\vec {p}}_{1}^{*}\Vert =\Vert {\vec {p}}_{2}^{*}\Vert \;$ de valeur commune notée $\;p_{2}^{*}$, $\;K^{*}={\dfrac {\left[p_{2}^{*}\right]^{2}}{2}}\left({\dfrac {1}{m_{1}}}+{\dfrac {1}{m_{2}}}\right)={\dfrac {\left[p_{2}^{*}\right]^{2}}{2}}{\dfrac {m_{2}+m_{1}}{m_{1}\;m_{2}}}\;$ soit encore, avec $\;p_{2}^{*}={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;\Vert {\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})\Vert ={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;v_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})\;$ où $\;v_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})=\Vert {\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})\Vert \;$ et par simplification évidente

$\;K^{*}={\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\left[v_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})\right]^{2}$.

Notion de mobile réduit

Définition

......Le mobile réduit $\;M\;$ du système de deux points matériels $\;\left\lbrace M_{1}\left(m_{1}\right)\,,\,M_{2}\left(m_{2}\right)\right\rbrace \;$ est le point fictif

• de masse égale à la masse réduite du système de deux points $\;\mu ={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;$ ${\bigg [}$définition équivalente à $\;{\dfrac {1}{\mu }}={\dfrac {1}{m_{1}}}+{\dfrac {1}{m_{2}}}{\bigg ]}\;$ et
• de mouvement barycentrique tel que son vecteur position repéré par rapport à $\;G\;$ est identique, à tout instant, au vecteur position relatif de $\;M_{2}\;$ par rapport à $\;M_{1}\;$ soit $\;{\overrightarrow {GM}}(t)={\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}(t)\;\;\forall \;t\;$ [on peut donc affirmer que le mouvement barycentrique du mobile réduit $\;M\;$ est identique au mouvement relatif de $\;M_{2}\;$ par rapport à $\;M_{1}{\big ]}$.

......Propriétés : $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ et $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ étant en translation l’un par rapport à l’autre, les dérivées temporelles sont indépendantes du référentiel dans lequel on dérive et par suite on peut affirmer

• que $\;{\overrightarrow {GM}}(t)={\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}(t)\;\;\forall \;t\;$ $\Rightarrow$ $\;\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {GM}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}^{*}}(t)=\left[{\dfrac {d{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{1}}(t)\;$ soit $\;{\vec {v}}^{*}(M,\,t)={\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2},\,t)\;\;\forall \;t\;$ ainsi
• que $\;{\vec {v}}^{*}(M,\,t)={\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2},\,t)\;\;\forall \;t\;$ $\Rightarrow$ $\;\left[{\dfrac {d{\vec {v}}^{*}(M)}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}^{*}}(t)=\left[{\dfrac {d{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2})}{dt}}\right]_{{\mathcal {R}}_{1}}(t)\;$ soit $\;{\vec {a}}^{*}(M,\,t)={\vec {a}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2},\,t)\;\;\forall \;t$.

Grandeurs cinétiques barycentriques du mobile réduit

Quantité de mouvement barycentrique du mobile réduit

......Comme $\;{\vec {v}}^{*}(M,\,t)={\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2},\,t)\;\;\forall \;t\;$ on en déduit, en multipliant de part et d'autre par la masse réduite $\;\mu ={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$, la quantité de mouvement barycentrique du mobile réduit $\;{\vec {p}}^{*}(M,\,t)=\mu \;{\vec {v}}^{*}(M,\,t)=$ ${\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2},\,t)$, cette dernière expression étant aussi $\;{\vec {p}}_{2}^{*}\;$ soit

$\;{\vec {p}}^{*}(M,\,t)={\vec {p}}_{2}^{*}(t)\;$ ou encore
les quantités de mouvement barycentriques du mobile réduit $\;M\;$ et du point $\;M_{2}\;$ sont identiques à tout instant.

Moment cinétique barycentrique du mobile réduit

......D'après $\;{\vec {p}}^{*}(M,\,t)={\vec {p}}_{2}^{*}(t)\;\;\forall \;t\;$ on en déduit, en multipliant vectoriellement à gauche de part et d'autre par la masse réduite $\;{\overrightarrow {GM}}={\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}$, le moment cinétique barycentrique du mobile réduit calculé par rapport à $\;G\;$ soit $\;{\vec {\sigma }}_{G}^{*}(M,\,t)={\overrightarrow {GM}}\wedge {\vec {p}}^{*}(M,\,t)=$ ${\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\wedge {\vec {p}}_{2}^{*}(t)$, cette dernière expression étant aussi $\;{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}\wedge {\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2},\,t)={\vec {\sigma }}^{*}(t)\;$ c'est-à-dire le moment cinétique barycentrique du système soit

$\;{\vec {\sigma }}_{G}^{*}(M,\,t)={\vec {\sigma }}^{*}(t)\;$ ou encore
les moments cinétiques barycentriques du mobile réduit $\;M\;$ calculé en $\;G\;$ et du système des deux points $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace \;$ sont identiques à tout instant.

Énergie cinétique barycentrique du mobile réduit

......Comme $\;{\vec {v}}^{*}(M,\,t)={\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2},\,t)\;\;\forall \;t\;$ $\Rightarrow$ $\;\left[{\vec {v}}^{*}(M,\,t)\right]^{2}=\left[{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2},\,t)\right]^{2}\;\;\forall \;t\;$ on en déduit, en multipliant de part et d'autre par la moitié de la masse réduite $\;{\dfrac {1}{2}}\;\mu ={\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$, l'énergie cinétique barycentrique du mobile réduit $\;K^{*}(M,\,t)={\dfrac {1}{2}}\;\mu \left[{\vec {v}}^{*}(M,\,t)\right]^{2}=$ ${\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;\left[{\vec {v}}_{{\mathcal {R}}_{1}}(M_{2},\,t)\right]^{2}$, cette dernière expression étant aussi l'énergie cinétique barycentrique du système des deux points $\;K^{*}\;$ soit

$\;K^{*}(M,\,t)=K^{*}(t)\;$ ou encore
les énergies cinétiques barycentriques du mobile réduit $\;M\;$ et du du système des deux points $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace \;$ sont identiques à tout instant.

Conclusion

......En conclusion les propriétés cinétiques barycentriques du mobile réduit $\;M\;$ sont celles du système des deux points $\;\left\lbrace M_{1}\,,\,M_{2}\right\rbrace \;$ à l’exception de son vecteur quantité de mouvement qui s’identifie à celui de $\;M_{2}\;$ .

Étude du mouvement barycentrique du mobile réduit dans le cas d'un système de deux points isolé

Conséquence du caractère isolé du système

......Si le système des deux points $\;\left\lbrace M_{1}\;(m_{1})\,,\,M_{2}\;(m_{2})\right\rbrace \;$ est isolé, l'application du théorème du C.D.I. dans le référentiel d'étude $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen à ce système conduit à la propriété de mouvement rectiligne uniforme de son C.D.I. $\;G\;$ et par suite au caractère galiléen du référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ car ce dernier est en translation rectiligne uniforme par rapport à $\;{\mathcal {R}}\;$ galiléen.

Recherche de la force à imposer au mobile réduit pour que son mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de M₂ par rapport à M₁ et conséquence

......Si on applique la r.f.d.n. à $\;M_{2}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ galiléen on obtient $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}={\dfrac {d{\vec {p}}_{2}^{*}}{dt}}(t)\;$ ou, la quantité de mouvement barycentrique du mobile réduit $\;M\;$ s'identifiant à la quantité de mouvement barycentrique du point $\;M_{2}\;$ soit $\;{\vec {p}}_{M}^{*}(t)={\vec {p}}_{2}^{*}(t)\;\;\forall \;t$, on peut réécrire la relation précédente sous la forme $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}=$ ${\dfrac {d{\vec {p}}_{M}^{*}}{dt}}(t)\;$ et en déduire

la force à imposer au mobile réduit pour que son mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de $\;M_{2}\;$ par rapport à $\;M_{1}$ : $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}$.

......Conséquence : La force que le point $\;M_{1}\;$ exerce sur le point $\;M_{2}\;$ $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}=F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2},\,\theta _{1,\,2},\,\varphi _{1,\,2})\;{\vec {u}}_{1,\,2}\;$ devient, avec $\;{\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}={\overrightarrow {GM}}\;$ $\Leftrightarrow$ $\;r_{1,\,2}\;{\vec {u}}_{1,\,2}=r_{M}\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ ,

$\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}=F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{M},\,\theta _{M},\,\varphi _{M})\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ $\Rightarrow$ le mobile réduit M a un mouvement à force centrale d'où
mouvement plan (ou rectiligne), application de la loi des aires, utilisation possible des formules de Binet …

Cas où les forces intérieures au système de points sont conservatives

......Les forces intérieures sont conservatives ssi $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}=F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2},\,\theta _{1,\,2},\,\varphi _{1,\,2})\;{\vec {u}}_{1,\,2}\;$ est telle que $\;F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2},\,\theta _{1,\,2},\,\varphi _{1,\,2})\;$ ne dépende pas des variables angulaires mais uniquement de $\;r_{1,\,2}$ ;

......sous cette condition l'énergie potentielle d'interaction $\;U_{2\,\leftrightarrow \,1}\;$ dont dérive la force intérieure $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}=F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})\;{\vec {u}}_{1,\,2}\;$ se détermine par $\;dU_{2\,\leftrightarrow \,1}=$ $-\delta W({\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1})=-{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\cdot {\overrightarrow {dM_{1}M_{2}}}\;$ soit $\;dU_{2\,\leftrightarrow \,1}=-F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})\;dr_{1,\,2}\;$ $\Rightarrow$ $\;U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})\;$ est une primitive de $\;-F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})\;$ et plus précisément, par choix de la référence de l'énergie potentielle d'interaction quand les deux points sont éloignés à l'infini,

$\;U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})=\displaystyle \int _{\infty }^{r_{1,\,2}}-F_{2\,\leftrightarrow \,1}({r'}_{1,\,2})\;d{r'}_{1,\,2}=\displaystyle \int _{r_{1,\,2}}^{\infty }F_{2\,\leftrightarrow \,1}({r'}_{1,\,2})\;d{r'}_{1,\,2}$

......Nous avons vu précédemment que le mouvement barycentrique du mobile réduit $\;M\;$ s'identifiant, par définition, au mouvement relatif de $\;M_{2}\;$ par rapport à $\;M_{1}$, peut être déterminé par application de la r.f.d.n. à la condition d'appliquer à $\;M\;$ la force $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}=F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})\;{\vec {u}}_{1,\,2}\;$ que $\;M_{1}\;$ exerce sur $\;M_{2}$, force qui se réécrit à l’aide du repérage sphérique de pôle $\;G\;$ lié à $\;M$, $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}=F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{M})\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$  ; du caractère conservatif de la force $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;$ on en déduit que la force appliquée à $\;M\;$ est aussi conservative et l’énergie potentielle dont elle dérive étant telle que $\;F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{M})\;dr_{M}=F_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})\;dr_{1,\,2}=$ $-dU_{2\,\leftrightarrow \,1}\;$, on en déduit qu'elle s'identifie à l'énergie potentielle d'interaction du système c'est-à-dire à $\;U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})\;$ ou plus précisément, en remplaçant $\;r_{1,\,2}\;$ par $\;r_{M}$, elle s'identifie à $\;U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{M})$  ;

......on en déduit que le mobile réduit $\;M$, dans ce champ de force $\;{\vec {F}}_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{M})\;{\vec {u}}_{r}(M)\;$ conservative, possède l’énergie mécanique barycentrique

$\;E_{m}^{*}(M)=K^{*}(M)+U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{M})\;$

avec l'énergie cinétique barycentrique du mobile réduit qui s'identifie à celle du système des deux points soit $\;K^{*}(M)=K^{*}\;$ et l'énergie potentielle dont dérive la force appliquée à $\;M\;$ qui s'identifie à l'énergie potentielle d'interaction entre les deux points soit $\;U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{M})=U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})$ ;

......par conséquent l'énergie mécanique barycentrique du mobile réduit $\;M\;$ est identifiable à l'énergie mécanique barycentrique du système de points soit

$\;E_{m}^{*}(M)=E_{m}^{*}$, cette dernière étant $\;E_{m}^{*}=K^{*}+U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})$.

......Remarque : Comme il n’y a pas d’autre force, l'énergie mécanique barycentrique du mobile réduit (ainsi que celle du système des deux points) est conservée soit

$\;E_{m}^{*}(M)=cste\;$ [ou $\;E_{m}^{*}=cste{\big ]}$, d'où
le mouvement étant à force centrale, possibilité de faire un traitement par diagrammes d’énergie potentielle effective et d’énergie mécanique.

Bilan des théorèmes applicables pour déterminer le mouvement barycentrique du mobile réduit

......Tous les théorèmes fondamentaux de la mécanique du point matériel sont applicables au mobile réduit $\;M\;$ d'un système de deux points matériels $\;\left\lbrace M_{1}\;(m_{1})\,,\,M_{2}\;(m_{2})\right\rbrace \;$ isolé dans son référentiel barycentrique $\;{\mathcal {R}}^{*}\;$ si on lui impose $\;{\vec {F}}_{2\,\leftarrow \,1}\;$ c'est-à-dire :

• la r.f.d.n. (la force à imposer au mobile réduit ayant été déterminée pour pouvoir déterminer son mouvement par cette relation),

• le théorème du moment cinétique vectoriel , ici la seule force à imposer au mobile réduit étant centrale, il y a conservation du moment cinétique vectoriel du mobile réduit calculé en prenant $\;G\;$ comme origine $\;{\vec {\sigma }}_{G}^{*}(M)={\overrightarrow {\text{cste}}}\;$ ,

• le théorème de l'énergie cinétique ,

• le théorème de la variation de l'énergie mécanique barycentrique dans le cas où les forces d'interaction entre points du système sont conservatives et en définissant l'énergie potentielle d'interaction $\;U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})\;$ dont ces forces dérivent, l'énergie mécanique barycentrique du mobile réduit $\;E_{m}^{*}(M)=$ $K^{*}(M)+U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{M})\;$ s'identifiant à l'énergie mécanique barycentrique du système $\;E_{m}^{*}=K^{*}+U_{2\,\leftrightarrow \,1}(r_{1,\,2})$, ici la seule force à imposer au mobile réduit étant conservative, il y a conservation de l'énergie mécanique barycentrique du mobile réduit $\;E_{m}^{*}(M)={\text{cste}}\;$ ; de plus la seule force à imposer au mobile réduit étant centrale en plus d'être conservative, on peut introduire une énergie potentielle effective du mobile réduit pour faire un traitement par diagramme énergétique …

Conclusion : mouvement relatif de M₂ par rapport à M₁

......On rappelle que le mouvement barycentrique du mobile réduit $\;M\;$ s'identifiant à celui du mouvement relatif de $\;M_{2}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{1}$, la connaissance du 1^er implique celle du 2^e.

Obtention des mouvements barycentriques de chaque point à partir du mouvement barycentrique du mobile réduit

Établissement du lien entre mouvements barycentriques du mobile réduit et de chaque point du système

......Il convient donc d'expliciter le vecteur position barycentrique de chaque point $\;{\overrightarrow {GM_{2}}}\;$ et $\;{\overrightarrow {GM_{1}}}\;$ en fonction du vecteur position (barycentrique) du mobile réduit $\;{\overrightarrow {GM}}\;$ en utilisant la définition cinématique du mobile réduit et celle du C.D.I. $\;\left\lbrace {\begin{array}{c}{\overrightarrow {GM}}={\overrightarrow {M_{1}M_{2}}}={\overrightarrow {GM_{2}}}-{\overrightarrow {GM_{1}}}\\m_{1}\;{\overrightarrow {GM_{1}}}+m_{2}\;{\overrightarrow {GM_{2}}}={\vec {0}}\end{array}}\right\rbrace \;$ ou encore le système hétérogène des deux équations linéaires aux deux inconnues $\;\left\lbrace {\overrightarrow {GM_{2}}}\,,\,{\overrightarrow {GM_{1}}}\right\rbrace$, $\;\left\lbrace {\begin{array}{r}{\overrightarrow {GM_{2}}}&-&{\overrightarrow {GM_{1}}}&=&{\overrightarrow {GM}}\;\;\;({\mathfrak {a}})\\m_{2}\;{\overrightarrow {GM_{2}}}&+&m_{1}\;{\overrightarrow {GM_{1}}}&=&{\vec {0}}\;\;\;({\mathfrak {b}})\end{array}}\right\rbrace \;$ que l'on résout par la C.L. $\;m_{1}\;({\mathfrak {a}})+({\mathfrak {b}})\;$ donnant $\;{\overrightarrow {GM_{2}}}={\dfrac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\;{\overrightarrow {GM}}\;$ et par la C.L. $\;-m_{2}\;({\mathfrak {a}})+({\mathfrak {b}})\;$ donnant $\;{\overrightarrow {GM_{1}}}=-{\dfrac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\;{\overrightarrow {GM}}$ ;

......finalement, avec $\;\mu ={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$, on réécrit $\;{\dfrac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}={\dfrac {\mu }{m_{2}}}\;$ d'une part, $\;-{\dfrac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}=-{\dfrac {\mu }{m_{1}}}\;$ d'autre part et par suite les vecteurs positions barycentriques de chaque point du système s'expriment selon :

• $\;{\overrightarrow {GM_{2}}}={\dfrac {\mu }{m_{2}}}\;{\overrightarrow {GM}}\;$ établissant que le mouvement barycentrique du point $\;M_{2}\;$ se déduit du mouvement barycentrique du mobile réduit $\;M\;$ par homothétie de centre $\;G\;$ et de rapport $\;{\dfrac {\mu }{m_{2}}}\;$ soit $\;M\;\;{\stackrel {{\mathcal {H}}\left(G,\,{\frac {\mu }{m_{2}}}\right)}{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow }}\;\;M_{2}\;$ et
• $\;{\overrightarrow {GM_{1}}}=-{\dfrac {\mu }{m_{1}}}\;{\overrightarrow {GM}}\;$ établissant que le mouvement barycentrique du point $\;M_{1}\;$ se déduit du mouvement barycentrique du mobile réduit $\;M\;$ par homothétie de centre $\;G\;$ et de rapport $\;-{\dfrac {\mu }{m_{1}}}\;$ soit $\;M\;\;{\stackrel {{\mathcal {H}}\left(G,\,-{\frac {\mu }{m_{1}}}\right)}{-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!-\!\!\!\longrightarrow }}\;\;M_{1}\;$ .

Exemple de tracé

Mouvement relatif de M₂ relativement à M₁ avec m₁ = 2 m₂.

......Soient deux points matériels dont le 1^er $\;M_{1}\;$ est deux fois plus lourd que le 2^e $\;M_{2}\;$ c'est-à-dire $\;m_{1}=2\;m_{2}\;$ $\Rightarrow$ la masse du système est $\;m_{\text{syst}}=$ $m_{1}+m_{2}=3\;m_{2}\;$ » et sa masse réduite $\;\mu ={\dfrac {m_{1}\;m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\dfrac {2\;m_{2}^{2}}{3\;m_{2}}}={\dfrac {2}{3}}\;m_{2}$ ;

......connaissant la trajectoire relative de $\;M_{2}\;$ dans $\;{\mathcal {R}}_{1}\;$ voir ci-contre, on en déduit,

Mouvement barycentrique du mobile réduit M, des points M₂ et M₁ avec m₁ = 2 m₂.

• par identification, la trajectoire barycentrique du mobile réduit $\;M\;$ (en noir) puis,
• par homothétie de centre $\;G$, de rapport $\;{\dfrac {\mu }{m_{2}}}={\dfrac {2}{3}}\;$ celle de $\;M_{2}\;$ (en rouge) et
• par homothétie de centre $\;G$, de rapport $\;-{\dfrac {\mu }{m_{1}}}=-{\dfrac {1}{3}}\;$ celle de $\;M_{1}\;$ (en bleu).

Système isolé de deux points en interaction newtonienne

Généralités

......en attente

Rappel des principaux résultats

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Cas particulier du système composé du Soleil et d'une planète ou d'un astéroïde (par exemple une comète)

......en attente

Système de deux points dans le champ d'un astre éloigné

But recherché

......en attente

Recherche des forces à appliquer au mobile réduit pour que son mouvement barycentrique s'identifie au mouvement relatif de M₂ par rapport à M₁

......en attente

Détermination graphique dans le référentiel lié à M₁ en translation par rapport au référentiel barycentrique du champ des marées pour quelques positions particulières de M₂

......en attente

Détermination algébrique dans le référentiel lié à M₁ en translation par rapport au référentiel barycentrique du champ des marées pour quelques positions particulières de M₂

......en attente

Conséquences de la force des marées sur le mouvement barycentrique du mobile réduit

......en attente

Conséquences de la force des marées sur le mouvement relatif de M₂ par rapport à M₁

......en attente

Conséquences de la force des marées sur le mouvement barycentrique de chaque point

......en attente