Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Forces, principe des actions réciproques

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Loi de la quantité de mouvement : Forces, principe des actions réciproques
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Chapitre no 6
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chap. préc. :Description du mouvement d'un solide dans deux cas particuliers
Chap. suiv. :Loi de la quantité de mouvement : Quantité de mouvement
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Systèmes des forces extérieures et des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels, exemples[modifier | modifier le wikicode]

Bien que nous devrions parler de « vecteur force », l'usage suggère de dire simplement « force ».

Distinction entre extérieur et intérieur à un système de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

     Un système de points matériels fermé étant limité par sa surface latérale et un ouvert par la surface de contrôle le définissant, nous observons que dans les deux cas, la surface latérale ou de contrôle sépare l'espace en deux demi-espaces définissant l'intérieur et l'extérieur au système de points matériels ;

     toutefois il y a une « différence fondamentale entre systèmes fermé et ouvert en ce qui concernent les définitions d'intérieur et d'extérieur »,

  • pour un système de points matériels fermé, « l'extérieur et l'intérieur ne changent pas avec le temps » alors que
  • pour un système de points matériels ouvert, « ce qui est à l'extérieur peut passer à l'intérieur et vice-versa »

Système des forces extérieures et système des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé[modifier | modifier le wikicode]

Système des forces extérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé[modifier | modifier le wikicode]

     Une force extérieure est une force que l'extérieur du système exerce sur un point du système,
     le système des forces extérieures est défini par l'ensemble des forces que chaque système extérieur au système de points matériels exerce sur chaque point de .

Système des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé[modifier | modifier le wikicode]

     Une force intérieure est une force qu'un point du système exerce sur un autre point du système,
     le système de forces intérieures est défini par l'ensemble des forces [1] que chaque point de exerce sur chaque point de .

Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Exemples de forces extérieures[modifier | modifier le wikicode]

     Ce sont des forces de champ « poids, forces électriques » dans la mesure où la source de « champ de pesanteur ou de champ électrique » est extérieure au système de points matériels [2] ou
     Ce sont des forces de contact [3] comme « la tension d'un ressort, la réaction d'un fluide, la réaction d'un support solide ou la tension d'un fil » [4].

Exemples de forces intérieures[modifier | modifier le wikicode]

     Ce sont des forces d'interaction entre les différentes parties du système de points matériels, elles sont principalement d'origine électrostatique « forces d'attraction maintenant la cohésion du système » ou « forces de répulsion si le système est très fortement comprimé » mais elles peuvent être également
     Ce sont des forces de contact entre deux parties du système comme celles précédemment citées parmi les forces extérieures exemple de la « tension d'un ressort sur un solide » et de l’« action que le solide exerce sur le ressort » si ressort et solide sont tous deux dans le système de points matériels .

Définition de la résultante dynamique s'exerçant sur un système de points matériels fermé[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé du principe des actions réciproques et commentaires[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé du principe des actions réciproques[modifier | modifier le wikicode]

Cet énoncé est connu par les anglo-saxons sous le nom de 3ème loi de Newton [5].
Début d’un théorème
Fin du théorème

Commentaires sur le principe des actions réciproques[modifier | modifier le wikicode]

     En « dynamique newtonienne » [8] les forces étant invariantes par changement de référentiel et le déplacement relatif en étant indépendant également,
         En « dynamique newtonienne » le principe est applicable dans n'importe quel référentiel [9] ;

     la 2ème relation «» peut s'écrire encore, en utilisant la 1ère relation, «»,
     la 2ème relation «» ces deux formes équivalentes traduisent le fait que les supports de et sont identiques, de support commun ,
     la 2ème relation «» la 1ère relation «» ajoutant que les forces sont de sens opposées et de même norme ;

     une des forces étant appelée arbitrairement « action », l'autre est appelée « réaction ».

Résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé[modifier | modifier le wikicode]

Définition de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé[modifier | modifier le wikicode]

     La résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé est définie selon

«».

1ère conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne, la nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé[modifier | modifier le wikicode]

     Une 1ère conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne est « la nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé en dynamique newtonienne » soit

«»,
ce résultat étant indépendant du mouvement individuel de chaque point matériel du système fermé [10].

     Démonstration : on peut coupler les forces intérieures selon et , se réécrit alors «» et
     Démonstration : d’après la 1ère relation du principe de l'action et de la réaction en dynamique newtonienne, on a
     Démonstration : d’où la propriété énoncée «».

     Remarques : pour un instant fixé, le principe des actions réciproques est applicable en dynamique newtonienne à un système de points matériels ouvert puisqu'il n'est alors pas envisagé d'entrée et de sortie de points à travers la surface de contrôle définissant le système ouvert, on peut donc affirmer qu'à cet instant fixé,  ;

     Remarques : toujours en dynamique newtonienne, dès lors qu'on fait varier l'instant initialement fixé, il peut y avoir entrée et sortie de points à travers la surface de contrôle définissant le système ouvert, ceci entraînant une modification de la définition de la résultante des forces intérieures à un système de points matériels ouvert [11] dès lors que l'on considère l'instant d'étude non figé, par exemple,

     Remarques : toujours en dynamique newtonienne, s'il y a sortie du point pendant , cela élimine initialement présent dans mais cette somme étant nulle à l'instant , cela ne change pas le reste de la somme non éliminée dans qui demeure nulle à l'instant  ;

     Remarques : toujours en dynamique newtonienne, s'il y a entrée du point pendant , cela ajoute initialement absent dans mais cette somme étant nulle à l'instant et s'ajoutant à qui est initialement nulle, on en déduit  ;

     Remarques : en conclusion, si la définition de la résultante des forces intérieures à un système de points matériels ouvert change avec l'instant considéré, la propriété de « nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels ouvert en dynamique newtonienne » reste applicable pourvu que l'on définisse correctement la résultante des forces intérieures à l'instant d'étude .

     Remarques : Qu'en est-il en dynamique relativiste ? Dans la mesure où le choix du référentiel d'étude de la dynamique relativiste n'influe pas sur l'applicabilité du principe des actions réciproques alors la propriété de « nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur le système de points matériels fermé » reste applicable en dynamique relativiste [12].

Bilan de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé[modifier | modifier le wikicode]

     Il y a deux types de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé :

1er type de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé, les forces de champ[modifier | modifier le wikicode]

     Le 1er type de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé est l'« ensemble des forces de champ » comme :

  • le poids du système appliqué au « centre de gravité » [13], étant le champ de pesanteur terrestre au lieu envisagé,
  • la force électrique appliqué au « centre de charge » [14], dans l'hypothèse où les points matériels seraient chargés et soumis à un champ électrique localement uniforme sur la répartition des points matériels chargés,

2ème type de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé, les forces de contact[modifier | modifier le wikicode]

     Le 2ème type de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé est l'« ensemble des forces de contact », pour déterminer ces dernières il suffit de réfléchir à ce qui est au contact du système de points matériels fermé, voir les exemples exposés ci-après.

1er exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un ressort, cas du ressort idéal[modifier | modifier le wikicode]

     Revoir le paragraphe traitant de « l'action d'un ressort idéal sur l'objet avec lequel il est en contact, cause de déséquilibre, loi de Hooke » du chap. de la leçon « Signaux physiques (PCSI) » ; on rappelle les grandes lignes ci-dessous :

     on considère systématiquement [15] un ressort « idéal » c.-à-d. de « masse négligeable » et « parfaitement élastique », sa longueur à vide étant et sa raideur [16], il suit la loi de Hooke [17] à savoir

la « force que le ressort exerce sur le système de points matériels fermé indéformable au point de liaison » s’écrit
«» avec
le vecteur unitaire orientant l’axe du ressort de vers [18] et
« l'allongement du ressort », étant la longueur à charge du ressort.

2ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un fluide, résistance à l'avancement (ou force de frottement fluide) linéaire ou quadratique[modifier | modifier le wikicode]

Généralités[modifier | modifier le wikicode]

     Il convient tout d'abord de faire la distinction entre :

  • forces statiques qui existent par simple contact du fluide et du système de points matériels fermé, que ce dernier soit immobile ou en mouvement relativement au fluide ; ce sont des forces de pression dont un exemple est la « poussée d'Archimède » [19], [20] quand le système est entièrement immergé dans le fluide la poussée d'Archimède est une force verticale ascendante s’exerçant sur le système de points matériels fermé, indéformable [20] et entièrement immergé dans le fluide, égale au poids de « fluide déplacé » [21] et appliquée au « centre de poussée » c.-à-d. le C.D.I. [22] du « fluide déplacé » [21], [23], voir le paragraphe « énoncé du théorème d'Archimède appliqué à un corps indéformable » du chap. de la leçon « Statique des fluides (PCSI) » et
  • forces dynamiques qui nécessitent un « mouvement du système de points matériels fermé relativement au fluide » [24] ; ci-dessous nous nous intéresserons à ces « forces de frottement fluide » que nous noterons , étant le point de contact du fluide avec le système de points matériels.

En complément, forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système n'ayant pas d'axe de symétrie ou, s'il en a un, son vecteur vitesse n'étant pas porté par l'axe[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation de vecteur vitesse relativement au fluide immobile
     Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable n'admet pas d'axe de symétrie de la répartition des masses ou
     Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable en admet un mais avec un vecteur vitesse de translation non porté par cet axe,

     Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable la résultante des forces de frottement fluide exercées sur notée
     Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable la résultante des forces de frottement fluide exercées sur n'est pas colinéaire à  ; on décompose alors

     Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable sur la direction de [25], la composante obtenue étant appelée « traînée » toujours de sens opposé à et
     Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable sur la direction verticale [26], la composante obtenue étant appelée « portance », celle-ci étant orientée
          Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable sur la direction verticale, la composante vers le haut exemple : aile d'avion [27] ou
          Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable sur la direction verticale, la composante vers le bas exemple : aileron de camion ou de voiture de course de [28].

Forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système ayant un axe de symétrie et son vecteur vitesse étant porté par l'axe[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable admet un axe de symétrie de la répartition des masses et
     Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable est en mouvement de translation relativement au fluide immobile avec un vecteur vitesse porté par cet axe,
     Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable la résultante des forces de frottement fluide exercées sur notée
     Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable la résultante des forces de frottement fluide est colinéaire et dans le sens contraire au vecteur vitesse ,
     Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable la résultante des forces de frottement fluide la forme de sa variation dépendant toutefois de la norme du vecteur vitesse
     Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable la résultante des forces de frottement fluide la forme de sa variation avec les propriétés communes suivantes :

     la norme de la résultante des forces de frottement fluide exercées sur à savoir varie dans le même sens que la norme du vecteur vitesse de translation ,
     la norme de la résultante des forces de frottement fluide exercées sur à savoir varie dans le même sens que « la dimension transversale de » [29],
     la norme de la résultante des forces de frottement fluide exercées sur à savoir varie dans le même sens que « la viscosité dynamique du fluide » [30] et
     la norme de la résultante des forces de frottement fluide exercées sur à savoir varie dans le même sens que « la densité du fluide » [31].

Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le domaine des faibles vitesses [32] de translation du système de points matériels fermé indéformable relativement au fluide immobile [33], la résultante des forces de frottement fluide s'exerçant sur encore appelée « résistance du fluide » est de forme linéaire à savoir

«» où
est une constante positive exprimée en caractéristique de la viscosité dynamique et de la densité du fluide
ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels » [34].

Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses moyennes[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le domaine des vitesses moyennes [32], la résultante des forces de frottement fluide s'exerçant sur encore appelée « résistance du fluide » est de forme quadratique à savoir

«» où
est un vecteur unitaire colinéaire et de même sens que avec et
est une constante positive exprimée en caractéristique de la viscosité dynamique et de la densité du fluide
ainsi que « de la forme et des dimensions du système de points matériels » [35] ;
la résistance du fluide s'écrit encore «» avec «» [36].

Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses élevées[modifier | modifier le wikicode]

     Dans le domaine des vitesses élevées [32], [37], la résultante des forces de frottement fluide s'exerçant sur encore appelée « résistance du fluide » est de forme variant plus rapidement que quadratiquement à savoir

«» où
est un vecteur unitaire colinéaire et de même sens que avec et
« est une fonction de plus rapidement que » [38]
dépendant de la viscosité dynamique et de la densité du fluide ainsi que
« de la forme et des dimensions du système de points matériels ».

En complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable en translation dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide[modifier | modifier le wikicode]

     Pour choisir entre une forme linéaire ou quadratique voire une forme à variation encore plus rapide de frottement fluide
     Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension appelé « nombre de Reynolds » [39] et défini selon «» avec
          Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension appelé « nombre de Reynolds » « la norme du vecteur vitesse de translation du système »,
          Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension appelé « nombre de Reynolds » « une longueur caractéristique de la dimension transversale du système » et
          Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension appelé « nombre de Reynolds » « la viscosité cinématique du fluide », ou
          Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension appelé « nombre de Reynolds » et défini selon «» avec
          Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension appelé « nombre de Reynolds » « la norme du vecteur vitesse de translation du système »,
          Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension appelé « nombre de Reynolds » « une longueur caractéristique de la dimension transversale du système »,
          Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension appelé « nombre de Reynolds » « la masse volumique du fluide » et
          Pour choisir on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension appelé « nombre de Reynolds » « la viscosité dynamique du fluide ».

     Suivant la valeur du nombre de Reynolds [39] il est licite de considérer la forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable comme
          Suivant la valeur du nombre de Reynolds il est licite de considérer la forme de la résistance du fluide linéaire si , l'écoulement du fluide autour de étant laminaire ou
          Suivant la valeur du nombre de Reynolds il est licite de considérer la forme de la résistance du fluide quadratique si , l'écoulement du fluide autour de étant turbulent.

     Remarques : Que choisir si  ? En fait on pourrait considérer variant comme avec compris entre et ,
     Remarques : Que choisir si  ? En fait on pourrait considérer variant comme avec d'autant plus proche de que le nombre de Reynolds [39] est grand mais
     Remarques : Que choisir si  ? pour éviter une trop grande complication on choisira pour et pour le restant de l'intervalle en étant conscient de commettre une erreur [40].

     Remarques : Que choisir si  ? On pourrait considérer variant comme avec supérieur à et ceci d'autant plus que le nombre de Reynolds [39] est grand mais
     Remarques : Que choisir si  ? pour éviter une trop grande complication on choisira pour restant de l'ordre de quelques unités en étant conscient de commettre une erreur [40] et
     Remarques : Que choisir si  ? si la comparaison au résultat expérimental n'est pas satisfaisante ou pourra essayer .

Exemple d'un mouvement de translation d'une boule dans l'air[modifier | modifier le wikicode]

     On considère une boule , de rayon , en translation rectiligne uniforme de vecteur vitesse
     On considère une boule , se déplaçant dans l'air pris dans les conditions de température et de pression  ;
     On considère une boule , nous nous proposons de chercher le domaine de valeurs de dans les conditions précédentes de température et de pression
     On considère une boule , nous nous proposons de chercher le domaine de valeurs de pour que la forme de la résistance de l'air soit linéaire ou quadratique
     On considère une boule , nous nous proposons de chercher connaissant la valeur de la viscosité dynamique de l'air «» [41] ainsi que
     On considère une boule , nous nous proposons de chercher connaissant sa masse volumique « dans ces conditions de température et de pression » donnant
  On considère une boule , nous nous proposons de chercher connaissant la valeur de une viscosité cinématique de l'air «» [42],
     On considère une boule , nous nous proposons de chercher connaissant la « longueur transversale caractéristique d'une boule étant son diamètre » ;

     On considère une boule , le nombre de Reynolds [39] de la boule en translation rectiligne uniforme dans l'air s'écrivant «»,
     On considère une boule , la forme de la résistance de l'air sera linéaire si «» correspondant à une vitesse « en » soit
     On considère une boule , la forme de la résistance de l'air sera linéaire pour une boule de rayon [43], «» soit
          On considère une boule , la forme de la résistance de l'air sera linéaire pour une boule de rayon , «» ce qui est lent mais réalisable
     On considère une boule , la forme de la résistance de l'air sera linéaire pour une boule de rayon [44], «» soit
          On considère une boule , la forme de la résistance de l'air sera linéaire pour une boule de rayon , «» ce qui est beaucoup trop lent pour être réalisable ;
     On considère une boule , la forme de la résistance de l'air sera quadratique si «» correspondant à « en » [45] soit
     On considère une boule , la forme de la résistance de l'air sera quadratique pour une boule de rayon [43], « en » [45] ou
          On considère une boule , la forme de la résistance de l'air sera quadratique pour une boule de rayon , «» [45] tout à fait réalisable
     On considère une boule , la forme de la résistance de l'air sera quadratique pour une boule de rayon [44], « en » [45] ou
          On considère une boule , la forme de la résistance de l'air sera quadratique pour une boule de rayon , «» [45] ce qui est réalisable [46].

     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à en translation rectiligne uniforme dans l'air,
     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à la forme de la résistance de l'air choisie ne peut pas être linéaire, elle doit être au mieux quadratique,

     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à en translation rectiligne uniforme dans l'air,
     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à la forme de la résistance de l'air choisie peut être linéaire si l'objet est très lent,
     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à la forme de la résistance de l'air sinon elle doit raisonnablement être quadratique.

Exemple d'un mouvement de translation d'une boule dans l'eau[modifier | modifier le wikicode]

     On considère une boule , de rayon , en translation rectiligne uniforme de vecteur vitesse se déplaçant dans l'eau ;
     On considère une boule , nous nous proposons de chercher le domaine de valeurs de pour que la forme de la résistance de l'eau soit linéaire ou quadratique
     On considère une boule , nous nous proposons de chercher connaissant la valeur de la viscosité dynamique de l'eau «» [47] ainsi que
     On considère une boule , nous nous proposons de chercher connaissant sa masse volumique «» donnant
  On considère une boule , nous nous proposons de chercher connaissant la valeur de une viscosité cinématique de l'eau «» [42],
     On considère une boule , nous nous proposons de chercher connaissant la « longueur transversale caractéristique d'une boule étant son diamètre » ;

     On considère une boule , le nombre de Reynolds [39] de la boule en translation rectiligne uniforme dans l'eau s'écrivant «»,
     On considère une boule , la forme de la résistance de l'eau sera linéaire si «» correspondant à une vitesse « en » soit
     On considère une boule , la forme de la résistance de l'eau sera linéaire pour une boule de rayon [43], «» soit
          On considère une boule , la forme de la résistance de l'eau sera linéaire pour une boule de rayon , «» ce qui est très lent mais réalisable
     On considère une boule , la forme de la résistance de l'eau sera linéaire pour une boule de rayon [44], «» soit
          On considère une boule , la forme de la résistance de l'eau sera linéaire pour une boule de rayon , «» beaucoup trop lent pour être réalisable ;
     On considère une boule , la forme de la résistance de l'eau sera quadratique si «» correspondant à « en » [45] soit
     On considère une boule , la forme de la résistance de l'eau sera quadratique pour une boule de rayon [43], « en » [45]
      On considère une boule , la forme de la résistance de l'eau sera quadratique pour une boule de rayon , ou «» [45] tout à fait réalisable
     On considère une boule , la forme de la résistance de l'eau sera quadratique pour une boule de rayon [44], « en » [45] ou
          On considère une boule , la forme de la résistance de l'eau sera quadratique pour une boule de rayon , «» [45] ce qui est réalisable en étant toutefois un peu faible voire très faible [48].

     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à en translation rectiligne uniforme dans l'eau,
     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à la forme de la résistance de l'eau choisie ne peut pas être linéaire, elle doit être au mieux quadratique,

     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à en translation rectiligne uniforme dans l'eau,
     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à la forme de la résistance de l'eau choisie peut être linéaire si l'objet est très lent,
     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à la forme de la résistance de l'eau sinon elle doit raisonnablement être quadratique.

Exemple d'un mouvement de translation d'une boule dans la glycérine[modifier | modifier le wikicode]

     On considère une boule , de rayon , en translation rectiligne uniforme de vecteur vitesse se déplaçant dans la glycérine ;
     On considère une boule , nous nous proposons de chercher le domaine de valeurs de pour que la forme de la résistance de la glycérine soit linéaire ou quadratique
     On considère une boule , nous nous proposons de chercher connaissant la valeur de la viscosité dynamique de la glycérine «[49] ainsi que
     On considère une boule , nous nous proposons de chercher connaissant sa masse volumique «» donnant
  On considère une boule , nous nous proposons de chercher connaissant la valeur de une viscosité cinématique de glycérine «[50],
     On considère une boule , nous nous proposons de chercher connaissant la « longueur transversale caractéristique d'une boule étant son diamètre » ;

     On considère une boule , le nombre de Reynolds [39] de la boule en translation rectiligne uniforme dans la glycérine s'écrivant «»,
     On considère une boule , la forme de la résistance de la glycérine sera linéaire si «» correspondant à une vitesse « en » soit
     On considère une boule , la forme de la résistance de la glycérine sera linéaire pour une boule de rayon [43], «» soit
          On considère une boule , la forme de la résistance de la glycérine sera linéaire pour une boule de rayon , «» réalisable même si les objets de taille millimétrique se déplacent usuellement beaucoup plus rapidement
     On considère une boule , la forme de la résistance de la glycérine sera linéaire pour une boule de rayon [44], «» soit
          On considère une boule , la forme de la résistance de la glycérine sera linéaire pour une boule de rayon , «» ce qui est très lent mais néanmoins réalisable même si la vitesse reste « escargotesque » [51] ;
     On considère une boule , la forme de la résistance de la glycérine sera quadratique si «» correspondant à « en » [45] soit
     On considère une boule , la forme de la résistance de la glycérine sera quadratique pour une boule de rayon [43], «
          On considère une boule , la forme de la résistance de la glycérine sera quadratique pour une boule de rayon , « en » [45]
      On considère une boule , la forme de la résistance de la glycérine sera quadratique pour une boule de rayon , ou «» [45]
             On considère une boule , la forme de la résistance de la glycérine sera quadratique pour une boule de rayon , « ce qui est réalisable [52]
     On considère une boule , la forme de la résistance de la glycérine sera quadratique pour une boule de rayon [44], « en » [45] ou
          On considère une boule , la forme de la résistance de la glycérine sera quadratique pour une boule de rayon , «» [45]
             On considère une boule , la forme de la résistance de la glycérine sera quadratique pour une boule de rayon , « ce qui est réalisable.

     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à en translation rectiligne uniforme dans la glycérine,
     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à la forme de la résistance de la glycérine choisie peut certes être linéaire pour un objet de vitesse « escargotesque » [51],
     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à la forme de la résistance de la glycérine mais, plus vraisemblablement, elle doit être quadratique,

     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à en translation rectiligne uniforme dans la glycérine,
     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à la forme de la résistance de la glycérine choisie peut encore linéaire aux faibles vitesses,
     En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à la forme de la résistance de la glycérine mais elle doit raisonnablement être quadratique.

Conclusion[modifier | modifier le wikicode]

     L'étude précédente nous montre qu'une forme linéaire de résistance de fluide est rare car nécessitant, le plus souvent, des vitesses trop faibles, à l'exception de fluide très visqueux comme la glycérine, il est donc vraisemblable que la résistance du fluide soit quadratique [53].

3ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un solide, liaisons unilatérale ou bilatérale, idéales (c.-à-d. sans frottement) ou non idéales (c.-à-d. avec frottement)[modifier | modifier le wikicode]

Notions de liaisons unilatérale ou bilatérale[modifier | modifier le wikicode]

     Nous supposons que le système de points matériels fermé indéformable est en contact avec un ou deux supports solides,
     Nous supposons suivant le nombre de supports en contact « un » ou « deux » est dit en liaisons « unilatérale » ou « bilatérale » soit, plus précisément :

Liaison unilatérale[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de positionnement d'un système de points matériels fermé en liaison unilatérale avec un support solide , position en contact et position hors contact

     Lorsqu'un système de points matériels fermé indéformable est au contact de la surface d'un support solide et
     Lorsqu'il peut occuper toute position située d'un côté de cette surface en général l'extérieur du support [54], on dit qu'il est en « liaison unilatérale »
     Lorsqu'il peut occuper toute position située d'un côté de cette surface voir figure ci-contre à droite ;

     le support solide exerce en tout point de contact avec le système de points matériels fermé indéformable
     le support solide exerce une force empêchant ce dernier de traverser la surface de contact,
     la résultante des forces exercées par sur est appelée « réaction de sur » et notée ou plus simplement
     la résultante des forces exercées par sur est appelée « réaction de sur » et notée quand il n'y a pas d'ambiguïté ;

     quand il y a contact effectif entre et , « est dirigée vers l'extérieur de si le domaine non interdit de est l'extérieur de » [55] et
     quand il n'y a plus contact entre et , «»

voir figure ci-contre à droite.

Liaison bilatérale[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de positionnement d'un système de points matériels fermé en liaison bilatérale avec deux supports solides de surface en regard et ,
position en contact sur et
{position en contact sur

     Lorsqu'un système de points matériels fermé indéformable est au contact des surfaces voisines et de deux supports solides et
     Lorsqu'il ne peut occuper que les positions situées entre ces deux surfaces, on dit qu'il est en « liaison bilatérale » voir figure ci-contre à gauche ;

     pratiquement le contact est assuré avec l'une ou l'autre des surfaces des supports solides et , mais pas les deux simultanément [56],
     pratiquement quand l'un d'entre eux ou est en contact effectif avec le système de points matériels fermé indéformable
     pratiquement quand l'un d'entre eux ou exerce, en tout point de ce contact, une force empêchant de traverser la surface de contact,
     pratiquement quand l'un d'entre eux la résultante des forces exercées par l'une ou l'autre des surfaces des supports solides ou
     pratiquement quand l'un d'entre eux la résultante des forces est appelée « réaction de sur » [57] et notée ou plus simplement
          pratiquement quand l'un d'entre eux la résultante des forces est appelée « réaction de sur » et notée quand il n'y a pas d'ambiguïté ;

     « est donc dans un sens ou un autre suivant que le contact effectif est avec l'une ou l'autre des surfaces des supports solides ou » [58] :

     si le contact effectif de est avec [58], « est dirigé vers » voir figure ci-contre à gauche et

     si le contact effectif de est avec [58], « est dirigé vers » voir figure ci-contre à gauche.

Composante normale de réaction et force de frottement solide[modifier | modifier le wikicode]

     Soit un vecteur unitaire normal à la surface commune du ou des supports solides[59] défini au « point d’application de la réaction de sur » [60],
     Soit son sens est choisi usuellement, « en cas de liaison unilatérale, vers l'extérieur du support solide de surface si le domaine non interdit de est l'extérieur de [55] » et
     Soit son sens est choisi arbitrairement « en cas de liaison bilatérale » ;

     nous notons « la projection de sur la normale » soit «» où est appelée « composante normale de la réaction »
     nous notons « la projection de sur la normale » soit «» où laquelle est [61] pour une liaison unilatérale et de valeur réelle quelconque pour une liaison bilatérale [62] et
     nous notons « la projection de sur le plan tangent à au point de contact » soit «» [63] est appelée « force de frottement solide » [64] ;

     finalement «» avec « en liaison unilatérale et quelconque en liaison bilatérale ».

Notions de liaisons « idéale » (ou sans frottement) et « non idéale » (ou avec frottement)[modifier | modifier le wikicode]

On peut encore remplacer « liaison idéale » par « liaison parfaite » et          
On peut encore remplacer « liaison non idéale » par « liaison non parfaite ».
Ci-dessous on utilise la définition de la « puissance d'une force » à voir au chap. de la leçon « Mécanique 1 (PCSI) ».

     La puissance développée par la réaction du support sur le système de points matériels fermé indéformable dans un référentiel lié à s'écrivant «»,
     La puissance développée par la réaction du support sur le système de points matériels fermé indéformable étant en translation de vecteur vitesse relativement à ,
     La puissance développée par la réaction se réécrit, en utilisant la décomposition de précédemment introduite [65], «»,
          La puissance développée par la réaction se réécrit, en utilisant la décomposition de précédemment introduite le vecteur vitesse étant nécessairement dans le plan tangent à ,
     La puissance développée par la réaction se réécrit, «» [66] ; on distingue alors deux types de liaisons :

Liaison idéale (ou sans frottement)[modifier | modifier le wikicode]

     Le système de points matériels fermé indéformable est dit « en liaison idéaleou sans frottement» avec la surface du ou des supports solides si «» [67] ;

la réaction de la surface sur le système est donc « toujoursà la surface» du ou des supports solides