Leçons de niveau 14

Mécanique 1 (PCSI)/Loi de la quantité de mouvement : Forces, principe des actions réciproques

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Loi de la quantité de mouvement : Forces, principe des actions réciproques
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Chapitre no 6
Leçon : Mécanique 1 (PCSI)
Chap. préc. :Description du mouvement d'un solide dans deux cas particuliers
Chap. suiv. :Loi de la quantité de mouvement : Quantité de mouvement
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Sommaire

Systèmes des forces extérieures et des forces intérieures s'exerçant sur un système de points matériels, exemples[modifier | modifier le wikicode]

Bien que nous devrions parler de «~vecteur force~», l'usage suggère de dire simplement «~force~».

Distinction entre extérieur et intérieur à un système de points matériels[modifier | modifier le wikicode]

......Un système de points matériels fermé étant limité par sa surface latérale et un ouvert par la surface de contrôle le définissant, nous observons que dans les deux cas, la surface latérale ou de contrôle sépare l'espace en deux demi-espaces définissant l'intérieur et l'extérieur au système de points matériels ;

......toutefois il y a une «~différence fondamentale entre systèmes fermé et ouvert en ce qui concernent les définitions d'intérieur et d'extérieur~»,

  • pour un système de points matériels fermé, «~l'extérieur et l'intérieur ne changent pas avec le temps~» alors que
  • pour un système de points matériels ouvert, «~ce qui est à l'extérieur peut passer à l'intérieur et vice-versa~»

Système des forces extérieures et système des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé[modifier | modifier le wikicode]

Système des forces extérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé[modifier | modifier le wikicode]

......Une force extérieure est une force que l'extérieur du système exerce sur un point du système,
......le système des forces extérieures est défini par l'ensemble des forces que chaque système extérieur au système de points matériels exerce sur chaque point de .

Système des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé[modifier | modifier le wikicode]

......Une force intérieure est une force qu'un point du système exerce sur un autre point du système,
......le système de forces intérieures est défini par l'ensemble des forces que chaque point de exerce sur chaque point de .

Exemples[modifier | modifier le wikicode]

Exemples de forces extérieures[modifier | modifier le wikicode]

......Ce sont des forces de champ «~poids, forces électriques ~» dans la mesure où la source de «~champ de pesanteur ou de champ électrique ~» est extérieure au système de points matériels [1] ou
......Ce sont des forces de contact [2] comme «~la tension d'un ressort, la réaction d'un fluide, la réaction d'un support solide ou la tension d'un fil~» [3].

Exemples de forces intérieures[modifier | modifier le wikicode]

......Ce sont des forces d'interaction entre les différentes parties du système de points matériels, elles sont principalement d'origine électrostatique «~forces d'attraction maintenant la cohésion du système~» ou «~forces de répulsion si le système est très fortement comprimé~» mais elles peuvent être également
......Ce sont des forces de contact entre deux parties du système comme celles précédemment citées parmi les forces extérieures exemple de la «~tension d'un ressort sur un solide~» et de l’«~action que le solide exerce sur le ressort~» si ressort et solide sont tous deux dans le système de points matériels .

Définition de la résultante dynamique s'exerçant sur un système de points matériels fermé[modifier | modifier le wikicode]


Énoncé du principe des actions réciproques et commentaires[modifier | modifier le wikicode]

Énoncé du principe des actions réciproques[modifier | modifier le wikicode]

Cet énoncé est connu par les anglo-saxons sous le nom de 3ème loi de Newton [4].


Début d’un théorème
Fin du théorème

Commentaires sur le principe des actions réciproques[modifier | modifier le wikicode]

......En «~dynamique newtonienne~» [7] les forces étant invariantes par changement de référentiel et le déplacement relatif en étant indépendant également, le principe est applicable dans n'importe quel référentiel [8] ;

......la 2ème relation peut s'écrire encore, en utilisant la 1ère relation, , ces deux formes équivalentes traduisent le fait que les supports de et sont identiques, de support commun , la 1ère relation ajoutant que les forces sont de sens opposées et de même norme ;

......une des forces étant appelée arbitrairement «~action~», l'autre est appelée «~réaction~».

Résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé[modifier | modifier le wikicode]

Définition de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé[modifier | modifier le wikicode]

......La résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé est définie selon

.

1ère conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne, la nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé[modifier | modifier le wikicode]

......Une 1ère conséquence du principe des actions réciproques en dynamique newtonienne est «~la nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels fermé en dynamique newtonienne~» soit

,
ce résultat étant indépendant du mouvement individuel de chaque point matériel du système fermé [9].

......Démonstration : on peut coupler les forces intérieures selon et , se réécrit alors et d’après la 1ère relation du principe de l'action et de la réaction en dynamique newtonienne, on a d’où la propriété énoncée .

......Remarques : pour un instant fixé, le principe des actions réciproques est applicable en dynamique newtonienne à un système de points matériels ouvert puisqu'il n'est alors pas envisagé d'entrée et de sortie de points à travers la surface de contrôle définissant le système ouvert, on peut donc affirmer qu'à cet instant fixé,  ;

......Remarques : toujours en dynamique newtonienne, dès lors qu'on fait varier l'instant initialement fixé, il peut y avoir entrée et sortie de points à travers la surface de contrôle définissant le système ouvert, ceci entraînant une modification de la définition de la résultante des forces intérieures à un système de points matériels ouvert [10] dès lors que l'on considère l'instant d'étude non figé, par exemple,

......Remarques : s'il y a sortie du point pendant , cela élimine initialement présent dans mais cette somme étant nulle à l'instant , cela ne change pas le reste de la somme non éliminée dans qui demeure nulle à l'instant  ;

......Remarques : s'il y a entrée du point pendant , cela ajoute initialement absent dans mais cette somme étant nulle à l'instant et s'ajoutant à qui est initialement nulle, on en déduit  ;

......Remarques : en conclusion, si la définition de la résultante des forces intérieures à un système de points matériels ouvert change avec l'instant considéré, la propriété de «~nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur un système de points matériels ouvert en dynamique newtonienne~» reste applicable pourvu que l'on définisse correctement la résultante des forces intérieures à l'instant d'étude .

......Remarques : Qu'en est-il en dynamique relativiste ? Dans la mesure où le choix du référentiel d'étude de la dynamique relativiste n'influe pas sur l'applicabilité du principe des actions réciproques alors la propriété de «~nullité de la résultante des forces intérieures s’exerçant sur le système de points matériels fermé~» reste applicable en dynamique relativiste [11].

Bilan de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé[modifier | modifier le wikicode]

......Il y a deux types de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé :

1er type de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé, les forces de champ[modifier | modifier le wikicode]

......Le 1er type de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé est l'«~ensemble des forces de champ~» comme :

  • le poids du système appliqué au «~centre de gravité~» [12], étant le champ de pesanteur terrestre au lieu envisagé,
  • la force électrique appliqué au «~centre de charge~» [13], dans l'hypothèse où les points matériels seraient chargés et soumis à un champ électrique localement uniforme sur la répartition des points matériels chargés,

2ème type de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé, les forces de contact[modifier | modifier le wikicode]

......Le 2ème type de forces extérieures appliquées à un système de points matériels fermé est l'«~ensemble des forces de contact~», pour déterminer ces dernières il suffit de réfléchir à ce qui est au contact du système de points matériels fermé, voir les exemples exposés ci-après.

1er exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un ressort, cas du ressort idéal[modifier | modifier le wikicode]

......Revoir le paragraphe traitant de «~l'action d'un ressort idéal sur l'objet avec lequel il est en contact, cause de déséquilibre, loi de Hooke~» du chap. de la leçon «~Signaux physiques (PCSI)~» ; on rappelle les grandes lignes ci-dessous :

......on considère systématiquement [14] un ressort «~idéal~» c'est-à-dire de «~masse négligeable~» et «~parfaitement élastique~», sa longueur à vide étant et sa raideur [15], il suit la loi de Hooke [16] à savoir

la «~force que le ressort exerce sur le système de points matériels fermé indéformable au point de liaison ~» s’écrit
avec
le vecteur unitaire orientant l’axe du ressort de vers [17] et
l'allongement du ressort, étant la longueur à charge du ressort.

2ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un fluide, résistance à l'avancement (ou force de frottement fluide) linéaire ou quadratique[modifier | modifier le wikicode]

Généralités[modifier | modifier le wikicode]

......Il convient tout d'abord de faire la distinction entre :

  • forces statiques qui existent par simple contact du fluide et du système de points matériels fermé, que ce dernier soit immobile ou en mouvement relativement au fluide ; ce sont des forces de pression dont un exemple est la «~poussée d'Archimède~» [18], [19] quand le système est entièrement immergé dans le fluide la poussée d’Archimède étant une force verticale ascendante s’exerçant sur le système de points matériels fermé, indéformable [19] et entièrement immergé dans le fluide, égale au poids de «~fluide déplacé~» [20] et appliquée au «~centre de poussée~» c'est-à-dire le centre d’inertie du «~fluide déplacé~» [20], [21] et
  • forces dynamiques qui nécessitent un «~mouvement du système de points matériels fermé relativement au fluide~» [22] ; ci-dessous nous nous intéresserons à ces «~forces de frottement fluide~» que nous noterons , étant le point de contact du fluide avec le système de points matériels.

En complément, forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système n'ayant pas d'axe de symétrie ou, s'il en a un, son vecteur vitesse n'étant pas porté par l'axe[modifier | modifier le wikicode]

......Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation de vecteur vitesse relativement au fluide immobile

  • n'admet pas d'axe de symétrie de la répartition des masses ou
  • en admet un mais avec un vecteur vitesse de translation non porté par cet axe,

......la résultante des forces de frottement fluide exercées sur notée n'est pas colinéaire à  ;

......on décompose alors

  • sur la direction de [23], la composante obtenue étant appelée «~traînée~», celle-ci étant toujours de sens opposé à
  • et sur la direction verticale [24], la composante obtenue étant appelée «~portance~», celle-ci pouvant être orientée
    ......vers le haut comme sur l'exemple d'une aile d'avion (de façon à permettre la compensation du poids de l'avion) ou
    ......vers le bas comme sur l'exemple d'un aileron de camion ou de voiture de course de (de façon à assurer une bonne tenue de route, la portance «~plaquant~» le camion ou la voiture de course sur celle-ci).

Forces de frottement fluide exercées sur un système de points matériels fermé indéformable en mouvement de translation relativement au fluide immobile, le système ayant un axe de symétrie et son vecteur vitesse étant porté par l'axe[modifier | modifier le wikicode]

......Dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable admet un axe de symétrie de la répartition des masses et est en mouvement de translation relativement au fluide immobile avec un vecteur vitesse porté par cet axe, la résultante des forces de frottement fluide exercées sur notée est colinéaire et dans le sens contraire au vecteur vitesse , la forme de sa variation dépendant toutefois de la norme du vecteur vitesse avec les propriétés communes suivantes :

......la norme de la résultante des forces de frottement fluide exercées sur à savoir varie dans le même sens que

  • la norme du vecteur vitesse de translation ,
  • «~la dimension transversale de ~» [25],
  • «~la viscosité dynamique du fluide~» [26] et
  • «~la densité du fluide~» [27].

Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des faibles vitesses[modifier | modifier le wikicode]

......Dans le domaine des faibles vitesses [28] de translation du système de points matériels fermé indéformable relativement au fluide immobile [29], la résultante des forces de frottement fluide s'exerçant sur (encore appelée «~résistance du fluide~») est de forme linéaire à savoir


est une constante positive exprimée en caractéristique de la viscosité dynamique et de la densité du fluide
ainsi que «~de la forme et des dimensions du système de points matériels~» [30].

Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses moyennes[modifier | modifier le wikicode]

......Dans le domaine des vitesses moyennes [28], la résultante des forces de frottement fluide s'exerçant sur (encore appelée «~résistance du fluide~») est de forme quadratique à savoir


est un vecteur unitaire colinéaire et de même sens que avec et
est une constante positive exprimée en caractéristique de la viscosité dynamique et de la densité du fluide
ainsi que «~de la forme et des dimensions du système de points matériels~» [31] ;
la résistance du fluide s'écrit encore avec [32].

Forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable dans le domaine des vitesses élevées[modifier | modifier le wikicode]

......Dans le domaine des vitesses élevées [28], [33], la résultante des forces de frottement fluide s'exerçant sur (encore appelée «~résistance du fluide~») est de forme variant plus rapidement que quadratiquement à savoir


est un vecteur unitaire colinéaire et de même sens que avec et
est une fonction positive de croissant plus rapidement que [34]
dépendant de la viscosité dynamique et de la densité du fluide ainsi que
«~de la forme et des dimensions du système de points matériels~».

En complément, condition de vitesse relativement aux dimensions du système de points matériels fermé indéformable en translation dans un fluide immobile et relativement à la nature de ce dernier pour une forme linéaire ou quadratique de frottement fluide[modifier | modifier le wikicode]

......Pour choisir entre une forme linéaire ou quadratique voire une forme à variation encore plus rapide de frottement fluide on évalue l'ordre de grandeur d'un nombre sans dimension appelé «~nombre de Reynolds~» [35] et défini selon

avec la norme du vecteur vitesse de translation du système,
une longueur caractéristique de la dimension transversale du système et la viscosité cinématique du fluide,
ou encore avec et respectivement la masse volumique et la viscosité dynamique du fluide.

......Suivant la valeur du nombre de Reynolds il est licite de considérer la forme de la résistance du fluide s'exerçant sur le système de points matériels fermé indéformable comme

  • linéaire si , l'écoulement du fluide autour de étant laminaire ou
  • quadratique si , l'écoulement du fluide autour de étant alors turbulent.

......Remarques : Que choisir si  ? En fait on pourrait considérer variant comme avec compris entre et , d'autant plus proche de que le nombre de Reynolds est grand mais pour éviter une trop grande complication on choisira pour et pour le restant de l'intervalle en étant conscient de commettre une erreur [36].

......Remarques : Que choisir si  ? On pourrait considérer variant comme avec supérieur à et ceci d'autant plus que le nombre de Reynolds est grand mais pour éviter une trop grande complication on choisira pour restant de l'ordre de quelques unités en étant conscient de commettre une erreur [36] et si la comparaison au résultat expérimental n'est pas satisfaisante ou pourra essayer .

Exemple d'un mouvement de translation d'une boule dans l'air[modifier | modifier le wikicode]

......On considère une boule de rayon en translation rectiligne uniforme de vecteur vitesse dans l'air au niveau du sol dans les conditions de température et de pression  ; nous nous proposons de chercher le domaine de valeurs de dans les conditions précédentes de température et de pression pour que la forme de la résistance de l'air soit linéaire ou quadratique connaissant la valeur de la viscosité dynamique de l'air soit [37] ainsi que sa masse volumique dans ces conditions de température et de pression donnant une viscosité cinématique de l'air [38], la longueur transversale caractéristique d'une boule étant son diamètre  ;

......le nombre de Reynolds de la boule en translation rectiligne uniforme dans l'air s'écrivant , la forme de la résistance de l'air sera

  • linéaire si correspondant à une vitesse en soit
    ......pour une boule de rayon correspondant à la dimension d'un grain de sable, soit inférieure à ce qui est lent mais réalisable
    ......pour une boule de rayon correspondant à la dimension d'un homme replié sur lui-même, soit inférieure à ce qui est beaucoup trop lent pour être réalisable ;
  • quadratique si correspondant à une vitesse telle que en soit
    ......pour une boule de rayon correspondant à la dimension d'un grain de sable, en soit dans l'intervalle ce qui est tout à fait réalisable
    ......pour une boule de rayon correspondant à la dimension d'un homme replié sur lui-même, en soit dans l'intervalle ce qui est réalisable [39].

......En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à en translation rectiligne uniforme dans l'air, la forme de la résistance de l'air choisie ne peut pas être linéaire, mais elle doit être au mieux quadratique,

......En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à en translation rectiligne uniforme dans l'air, la forme de la résistance de l'air choisie peut être linéaire si l'objet est très lent, mais elle doit raisonnablement être quadratique.

Exemple d'un mouvement de translation d'une boule dans l'eau[modifier | modifier le wikicode]

......On considère une boule de rayon en translation rectiligne uniforme de vecteur vitesse dans l'eau ; nous nous proposons de chercher le domaine de valeurs de pour que la forme de la résistance de l'eau soit linéaire ou quadratique connaissant la valeur de la viscosité dynamique de l'eau soit [40] ainsi que sa masse volumique donnant une viscosité cinématique de l'eau [38], la longueur transversale caractéristique d'une boule étant son diamètre  ;

......le nombre de Reynolds de la boule en translation rectiligne uniforme dans l'eau s'écrivant , la forme de la résistance de l'eau sera

  • linéaire si correspondant à une vitesse en soit
    ......pour une boule de rayon correspondant à la dimension d'un grain de sable, soit inférieure à ce qui est très lent mais réalisable
    ......pour une boule de rayon correspondant à la dimension d'un homme replié sur lui-même, soit inférieure à ce qui est beaucoup trop lent pour être réalisable ;
  • quadratique si correspondant à une vitesse telle que en soit
    ......pour une boule de rayon correspondant à la dimension d'un grain de sable, en soit dans l'intervalle ce qui est tout à fait réalisable
    ......pour une boule de rayon correspondant à la dimension d'un homme replié sur lui-même, en soit dans l'intervalle ce qui est réalisable bien qu'un peu faible [41].

......En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à en translation rectiligne uniforme dans l'eau, la forme de la résistance de l'eau choisie ne peut pas être linéaire, mais elle doit être au mieux quadratique,

......En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à en translation rectiligne uniforme dans l'eau, la forme de la résistance de l'eau choisie peut être linéaire à condition que l'objet soit très lent, mais elle doit raisonnablement être quadratique.

Exemple d'un mouvement de translation d'une boule dans la glycérine[modifier | modifier le wikicode]

......On considère une boule de rayon en translation rectiligne uniforme de vecteur vitesse dans la glycérine ; nous nous proposons de chercher le domaine de valeurs de pour que la forme de la résistance de l'eau soit linéaire ou quadratique connaissant la valeur de la viscosité dynamique de la glycérine soit [42] ainsi que sa masse volumique donnant une viscosité cinématique de la glycérine [43], la longueur transversale caractéristique d'une boule étant son diamètre  ;

......le nombre de Reynolds de la boule en translation rectiligne uniforme dans la glycérine s'écrivant , la forme de la résistance de la glycérine sera

  • linéaire si correspondant à une vitesse en soit
    ......pour une boule de rayon correspondant à la dimension d'un grain de sable, ce qui reste lent pour la taille de l'objet mais tout à fait réalisable
    ......pour une boule de rayon correspondant à la dimension d'un homme replié sur lui-même, soit inférieure à ce qui est très lent mais néanmoins réalisable même si la vitesse reste «~escargotesque~» [44] ;
  • quadratique si correspondant à une vitesse telle que en soit
    ......pour une boule de rayon correspondant à la dimension d'un grain de sable, en soit dans l'intervalle ce qui est réalisable [45]
    ......pour une boule de rayon correspondant à la dimension d'un homme replié sur lui-même, en soit dans l'intervalle ce qui est réalisable.

......En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à en translation rectiligne uniforme dans la glycérine, la forme de la résistance de la glycérine choisie peut certes être linéaire si l'objet se déplace à la vitesse d'un escargot, mais, plus vraisemblablement, elle doit être quadratique,

......En conclusion, pour un objet de longueur transversale caractéristique égale à en translation rectiligne uniforme dans la glycérine, la forme de la résistance de la glycérine choisie peut encore être linéaire à faibles vitesses, mais elle doit raisonnablement être quadratique.

Conclusion[modifier | modifier le wikicode]

......L'étude précédente nous montre qu'une forme linéaire de résistance de fluide est rare car nécessitant, le plus souvent, des vitesses trop faibles, à l'exception de fluide très visqueux comme la glycérine, il est donc vraisemblable que la résistance du fluide soit quadratique [46].

3ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un solide, liaisons unilatérale ou bilatérale, idéales (c.-à-d. sans frottement) ou non idéales (c.-à-d. avec frottement)[modifier | modifier le wikicode]

Notions de liaisons unilatérale ou bilatérale[modifier | modifier le wikicode]

......Nous supposons que le système de points matériels fermé indéformable est en contact avec un ou deux support(s) solide(s) et suivant le nombre de supports en contact «~un~» ou «~deux~» il sera dit respectivement en liaisons «~unilatérale~» ou «~bilatérale~» soit, plus précisément :

Schéma de positionnement d'un système de points matériels fermé en liaison unilatérale avec un support solide (Σ), position en contact et position hors contact

Liaison unilatérale[modifier | modifier le wikicode]

......Lorsqu'un système de points matériels fermé indéformable est au contact de la surface d'un support solide et qu'il peut occuper toute position située d'un côté de cette surface (en général l'extérieur du support [47]), on dit qu'il est en «~liaison unilatérale~» (voir figure ci-contre) ;

......le support solide exerce en tout point de contact avec le système de points matériels fermé indéformable une force empêchant ce dernier de traverser la surface de contact, la résultante des forces exercées par sur est appelée «~réaction de sur ~» et notée ou plus simplement quand il n'y a pas d'ambiguïté ;

......quand il y a contact effectif entre et , est dirigée vers l'extérieur de si le domaine non interdit de est l'extérieur de [48] et quand il n'y a plus contact entre et (voir figure ci-contre).

Schéma de positionnement d'un système de points matériels fermé en liaison bilatérale avec deux supports solides de surface en regard Σint et Σext, position en contact sur Σint et en contact sur Σext

Liaison bilatérale[modifier | modifier le wikicode]

......Lorsqu'un système de points matériels fermé indéformable est au contact des surfaces voisines et de deux supports solides et qu'il ne peut occuper que les positions situées entre ces deux surfaces, on dit qu'il est en «~liaison bilatérale~» (voir figure ci-contre) ;

......pratiquement le contact est assuré avec l'une ou l'autre des surfaces des supports solides et , mais pas les deux simultanément [49], quand l'un d'entre eux est en contact effectif avec le système de points matériels fermé indéformable il exerce, en tout point de ce contact, une force empêchant de traverser la surface de contact, la résultante des forces exercées par l'une ou l'autre des surfaces des supports solides étant appelée «~réaction de sur ~» [50] et notée ou plus simplement quand il n'y a pas d'ambiguïté ;

...... est donc dans un sens ou un autre suivant que le contact est avec l'une ou l'autre des surfaces ou des supports solides [51] (voir figure ci-contre).

Composante normale de réaction et force de frottement solide[modifier | modifier le wikicode]

......Soit un vecteur unitaire normal à la surface (commune) du ou des support(s) solide(s) [52] défini au «~point d’application de la réaction de sur ~» [53] son sens est choisi usuellement, «~en cas de liaison unilatérale, vers l'extérieur du support solide de surface si le domaine non interdit de est l'extérieur de [48]~» et dans un «~sens arbitraire en cas de liaison bilatérale~», nous notons :

  • la projection de sur la normale soit est appelée «~composante normale de la réaction~» laquelle est [54] pour une liaison unilatérale et de valeur réelle quelconque pour une liaison bilatérale [55] et
  • la projection de sur le plan tangent à au point de contact soit [56] est appelée «~force de frottement solide~» [57] ;
finalement avec en liaison unilatérale et quelconque en liaison bilatérale.

Notions de liaisons « idéale » (ou sans frottement) et « non idéale » (ou avec frottement)[modifier | modifier le wikicode]

On peut encore remplacer «~liaison idéale~» par «~liaison parfaite~» et «~liaison non idéale~» par «~liaison non parfaite~».
Ci-dessous on utilise la définition de la «~puissance développée par une force~» à voir au chap. de la leçon «~Mécanique 1 (PCSI)~».

......La puissance développée par dans un référentiel lié à s'écrivant dans le cas où le système de points matériels fermé indéformable est en translation de vecteur vitesse relativement à se réécrit, en utilisant la décomposition de précédemment introduite, , le vecteur vitesse étant nécessairement dans le plan tangent à , d'où

\;[58] ;

......on distingue alors deux types de liaisons :

Liaison idéale (ou sans frottement)[modifier | modifier le wikicode]

......Le système de points matériels fermé indéformable est dit «~en liaison idéale (ou sans frottement)~» avec la surface du ou des support(s) solide(s)

si que soit au repos ou en translation relativement au référentiel lié à  ;

......la réaction de la surface sur le système est donc «~toujours perpendiculaire à la surface (Σ)~» du ou des support(s) solide(s).

......Il est équivalent de définir une «~liaison idéale (ou sans frottement)~» comme une liaison telle que «~ en cas de mouvement de translation~».

Liaison non idéale (ou avec frottement)[modifier | modifier le wikicode]

......Le système de points matériels fermé indéformable est dit «~en liaison non idéale (ou avec frottement)~» avec la surface du ou des support(s) solide(s) si

  • en envisageant diverses situations de repos de relativement à , on en trouve au moins une où et
  • dans tous les états de translation de relativement à , la force de frottement solide est toujours  ;

......la réaction de la surface sur le système est donc telle que

  • il existe au moins un cas de repos de relativement à à [59] et
  • dans l'hypothèse de translation de par rapport à , la réaction de sur est toujours à .

......Il est équivalent de définir une «~liaison non idéale (ou avec frottement)~» comme une liaison telle que «~ en cas de mouvement de translation~».

Expressions empiriques des lois de frottement « solide » de Coulomb[modifier | modifier le wikicode]

lois expérimentales s’appliquant à une liaison «~non idéale~» quelle soit unilatérale ou bilatérale et dites «~de Coulomb~» [60] en hommage à ce dernier.

......En toute rigueur il y a toujours des frottements naturels dus à la rugosité entre et  ;

......ces frottements sont indispensables dans certaines situations (sans frottements, nous ne pourrions pas marcher sur Terre) mais dans d’autres, ils peuvent être indésirables ;

......pour les éliminer si tel est le cas, il est nécessaire d’avoir des surfaces très polies (comme des surfaces verglacées) ou (et) de mettre une «~couche de fluide (coussin d’air ou film d’huile) entre et ~» [61], ceci entraînant une «~diminution importante des forces de frottement solide~» [62], il devient légitime de négliger les frottements initialement solides c'est-à-dire de considérer la liaison comme idéale.

......Dans le cas d'une liaison réellement non idéale, on doit distinguer la situation de «~repos~» de celle du «~mouvement de translation~» de sur le ou les support(s) solide(s) de surface dans le référentiel lié à cette dernière pour énoncer les lois empiriques de frottement solide de Coulomb [60] :

Loi de frottement « solide » sans glissement de Coulomb[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de profil d'une liaison unilatérale non idéale entre un système de points matériels fermé indéformable et un support solide de surface (Σ), situation de repos malgré une force tendant à faire glisser le système, propriété de la réaction par rapport à la normale ainsi que de la force de frottement solide

...... est donc au repos sur le ou les support(s) solide(s) de surface a priori «~présence de force de frottement solide ~» [63] avec absence de glissement ;

......si une force tend à faire glisser sur suivant le vecteur unitaire tangentiel choisi dans le plan tangent à au point de contact et suivant la direction de la projection de sur le plan tangent, jusqu'à présent de sens arbitraire, peut maintenant être précisé : «~on choisit son sens dans le sens de la force qui pourrait créer le déplacement~», ce qui est encore «~le sens de ~» c'est-à-dire «~le sens du mouvement de glissement susceptible de se produire~», le support solide réagit en exerçant sur une force de frottement s'opposant à sa mise en mouvement c.-à-d. de même direction et de sens contraire à  ;

......sur l'exemple ci-contre, la force tendant à déplacer est exercée vers la gauche, ceci ayant pour conséquence la création, de la part de , d'une force de frottement solide orientée vers la droite ;

......s'il n'y a pas glissement, , si on fait , la norme de la force de frottement solide pour maintenir le repos mais ne pouvant indéfiniment, on observe qu'il existe une valeur de à partir de laquelle le glissement s'amorcera ;

......parallèlement la composante normale de la réaction s’oppose à la pénétration de dans , la force pressante de sur s'exerçant suivant la normale, on peut affirmer, en absence de pénétration, que et dans la mesure où on exerce une force tangentiellement sans modifier la force pressante de direction normale, la norme de la composante normale de la réaction reste une constante indépendante de  ;

......en résumé, tant que ne glisse pas sur , la de sans modifier s'accompagne d'une de à constant c'est-à-dire d'une de l'inclinaison de relativement à la normale ;

Schéma de perspective d'une liaison unilatérale non idéale entre un système de points matériels fermé indéformable et un support solide de surface (Σ), situation de repos malgré une force tendant à faire glisser le système, propriété de la réaction relativement au cône limite de frottement défini au point de contact

......la «~valeur maximale de pour laquelle le non glissement est maintenu~», définit un «~angle maximal d’inclinaison de par rapport à la normale pour qu'il n'y ait pas glissement~» ; cet angle maximal d'inclinaison est noté et appelé «~angle limite de frottement (solide)~» [64] ;

......on définit aussi le «~cône limite de frottement (solide)~» au point de contact [65], comme le «~cône de révolution, de sommet , d’axe normal à en et de demi angle au sommet ~» (voir schéma ci-contre) ;

......la condition de non glissement s'énonce alors selon : «~tant qu'il n'y a pas glissement de sur , la réaction reste strictement à l'intérieur du cône limite de frottement~» ;

......on déduit, à partir du schéma précédent, que reste strictement à l'intérieur du cône limite de frottement «~ssi avec l'angle non orienté entre et ~» ce qui est une 2nde écriture de la condition de non glissement [66] ;

......on en déduit encore, avec et en introduisant le «~cœfficient de frottement solide ~» [67], que la condition de non glissement se réécrit et au final

la loi de frottement «~solide~» sans glissement de Coulomb [60] s'énonce selon
avec le cœfficient de frottement solide entre et .

Loi de frottement « solide » avec glissement de Coulomb[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de perspective d'une liaison unilatérale non idéale entre un système de points matériels fermé indéformable et un support solide de surface (Σ), situation de glissement du système sur la surface (Σ) du support solide due à une force , propriété de la réaction relativement au cône limite de frottement défini au point de contact
Schéma de profil d'une liaison unilatérale non idéale entre un système de points matériels fermé indéformable et un support solide de surface (Σ), situation de glissement du système sur la surface (Σ) du support solide due à une force , propriété de la réaction par rapport à la normale ainsi que de la force de frottement solide

......Si une force tend à faire glisser sur suivant , le support solide réagit en exerçant sur une force de frottement (solide) s'opposant à sa mise en mouvement c.-à-d. de même direction et de sens contraire à et

......si dépasse la valeur maximale de non glissement , le système se met à glisser sur dans la direction et le sens de qui est aussi la direction et le sens de rendant réel le mouvement hypothétique avec un vecteur vitesse dépendant de l'instant repéré à partir du début du glissement ;

......pendant le temps du glissement de sur , la force de frottement (solide) garde la direction de et le sens opposé à celui de cette dernière a pour direction celle de et pour sens le sens opposé à , elle s'oppose donc au mouvement de sur dans le référentiel lié à cette dernière mais avec quelle norme ? La réponse est, pour l'instant, laissée en suspens ;

......pendant le temps du glissement de ~(S)~ sur ~(Σ)~, la force pressante de sur exercée suivant la normale restant de norme constante et la composante normale de la réaction s’opposant à la pénétration de dans c'est-à-dire telle que , on peut affirmer que la norme de la composante normale de la réaction reste une constante indépendante de  ;

......la condition de glissement sur peut se traduire d'une 1ère façon selon : «~tant qu'il y a glissement de sur , la réaction reste sur le cône limite de frottement~» (voir schéma ci-contre) ;

......on déduit, à partir du schéma précédent et du schéma ci-contre, que reste sur le cône limite de frottement «~ssi avec l'angle non orienté entre et ~» ;

......on en déduit encore, compte tenu de et en introduisant le «~cœfficient de frottement solide ~» [67], que la condition de glissement se réécrit et au final

la loi de frottement «~solide~» avec glissement de Coulomb [60] s'énonce selon
avec le cœfficient de frottement solide entre et ,
ayant pour direction celle de et pour sens le sens opposé à .

......Remarques : on observe, sur cette 2ème forme de loi empirique de frottement solide avec glissement de Coulomb [60], que reste constante quelle que soit la norme de la force à condition que la norme de la composante normale de la réaction soit constante, cette dernière exigence nécessitant que la norme de la force pressante de sur , à savoir le soit [68].

......Remarques : En fait le cœfficient de frottement défini comme le rapport de la norme de la force de frottement solide sur celle de la composante normale de la réaction quand il y a glissement est légèrement différent de la valeur maximale du rapport de la norme de la force de frottement solide sur celle de la composante normale de la réaction pour qu'il n'y ait pas glissement, le 1er étant légèrement inférieur au 2nd mais dans la pratique on ne fait pas la différence ;

......Remarques : toutefois le programme de physique de P.C.S.I. introduit cette distinction en appelant «~cœfficient de frottement dynamique ~» le 1er et «~cœfficient de frottement statique ~» le 2nd avec  ;

......Remarques : la condition de non glissement s'écrit alors et

......Remarques : la condition de glissement qui est alors  ;

......Remarques : il faut aussi faire la distinction entre angles limites de frottement dynamique et statique ainsi qu'entre cônes limites de frottement dynamique et statique

......Puissance développée par la réaction du support solide sur la système lors du glissement de ce dernier sur la surface du premier : sachant que et que est de même direction que mais de sens opposé, on en déduit que  ;

......Puissance développée par la réaction du support solide sur la système lors du glissement de ce dernier sur la surface du premier : sachant que on en déduit que avec la vitesse instantanée de glissement de sur .

4ème exemple de forces de contact, force résultant du contact avec un fil, cas du fil idéal[modifier | modifier le wikicode]

Notion de fil idéal[modifier | modifier le wikicode]

......Un fil est dit «~idéal~» si sa masse peut être négligée relativement aux autres masses et si sa longueur est considérée comme constante ;

un fil «~idéal~» est donc «~sans masse et inextensible~».

Liaison d'un système de points matériels fermé à un fil idéal[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de liaison d'un système de points matériels fermé, indéformable, avec un fil idéal , libre entre ses deux extrémités, tendu par action sur son extrémité non liée au système par une force

......Supposons un système de points matériels fermé, indéformable et attaché en à une extrémité d'un fil idéal , ce fil étant libre entre ses deux extrémités et tendu par action sur l'autre extrémité non attachée au système d'une force (voir schéma ci-contre) ;

......on constate que le fil est rectiligne de direction identique à celle de la force et

......on constate qu'il exerce une force sur notée ayant les caractéristiques suivantes :

  • son support est la direction du fil en [69],
  • son sens est de vers [70] et
  • sa norme est non nulle dans la mesure où le fil est tendu [71], [72] ;

......en appelant [73] le vecteur unitaire orientant le fil en lié à vers , on peut écrire

avec [74] appelé «~tension du fil en ~» [75].

Fil idéal tendu, libre entre ses extrémités, notion de tension en un point du fil[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de définition de la tension d'un fil idéal , libre entre ses deux extrémités

......La cohésion d'un fil idéal , libre entre ses deux extrémités, suppose qu'un élément de longueur situé en n'importe quel point du fil, subit de la part du reste du fil deux forces notées respectivement sur le schéma ci-contre et , telles que la r.f.d.n. du point [76] appliquée à l'«~élément de longueur ~» [77] détermine son mouvement ;

......compte-tenu du fait que le fil est supposé sans masse (dans un champ de pesanteur il est donc également sans poids) et qu'il est libre entre ses deux extrémités, l'élément de longueur n'est soumis qu'à ces deux forces d'où, en appelant son vecteur accélération, la r.f.d.n. donne [78] d'où

 ;

......les deux forces ont donc une direction commune qui est celle du fil au point , centre de l'élément de longueur , et appelant le vecteur unitaire tangentiel au point orienté de la gauche vers la droite, nous pouvons écrire [79] traduisant le sens des forces sur cette direction commune ;

......de la relation on peut alors en déduire c'est-à-dire la même tension du fil aux deux extrémités de l'élément de longueur .

......En conclusion, un «~fil idéal, tendu, libre entre ses deux extrémités, est rectiligne et la tension en ses différents points est la même~» [80], [81].

Fil idéal tendu, au contact « parfait » d'un support solide entre ses deux extrémités, notion de tension en un point du fil reposant sur le support solide[modifier | modifier le wikicode]

Schéma de définition de la tension d'un fil idéal au contact parfait d'un support solide entre ses deux extrémités

......Nous supposons un contact «~parfait~», c'est-à-dire sans frottement solide, entre le fil idéal et le support solide sur l'exemple ci-contre le support solide est un cylindre de révolution d'axe passant par et au plan de la figure contenant le fil ;

......nous admettons, pour l'instant, que le fil idéal au contact parfait du support solide, tendu entre les deux points de contact extrêmes avec le «~support~» [82],

  • suit la courbure du support entre ces deux points [83] et
  • que «~la tension du fil y est constante~» [84], [85] ;

......le fait que les deux forces et s'exerçant sur l'élément de longueur n’aient pas la même direction découle de l’application de la r.f.d.n. du point [76] appliquée à l'«~élément de longueur ~» [77] soit, compte-tenu du fait que le fil est supposé sans masse [86] et qu'il est suit, sans frottement, le support solide lequel exerce donc sur lui une réaction à la surface de ce dernier [78] d'où

donc et de direction différente.

......Remarques : Dans le cas du schéma c'est-à-dire d'un support solide cylindrique de révolution et en absence de frottement solide, le support de la réaction passe par , ce support étant localement un axe de symétrie de la figure entraîne la symétrie entre et et par suite l'égalité de leur norme, cette valeur commune définissant alors la tension du fil au point centre de l'élément de longueur .

......Remarques : Si le contact du fil sur le support solide est «~avec frottement (solide)~» [87], le fil «~suit toujours la courbure du support entre les deux points de contact extrême~» mais «~la tension n’y est plus rigoureusement constante~» car la réaction du support sur le fil au point est au support : en effet si le fil tend à glisser vers la droite parce qu'une force plus importante y est exercée la réaction est inclinée vers la gauche c'est-à-dire qu'il existe une force de frottement solide projetée tangentielle de la réaction orientée vers la gauche [88], ceci ayant pour effet que la tension du fil sur la gauche de est légèrement plus faible que celle du fil vers sa droite [89].

Protocole expérimental pour étudier une loi de force[modifier | modifier le wikicode]

......On peut étudier une «~loi de force~» [90] en statique ou en dynamique, dans les deux cas il convient de préciser sans ambiguïté le système de points matériels fermé subissant la force que l'on cherche à étudier ainsi que le référentiel d’étude lequel, pour l'instant, doit être «~galiléen~» [91] ;

  • dans un 1er temps, faire le bilan des forces appliquées, en conservant uniquement les forces prédominantes parmi lesquelles doit figurer la force dont on recherche la loi de force puis
  • en statique, déterminer les expressions de toutes les forces prédominantes autres que celle que l'on étudie et en déduire cette dernière en écrivant la condition d’équilibre c'est-à-dire «~la nullité de la somme des forces appliquées~» ; éventuellement changer quelques conditions paramétrables comme la pression ou la température imposées et en déduire la conséquence correspondante sur la loi de force trouvée ;
  • en dynamique, déterminer les expressions de toutes les forces prédominantes autres que celle que l'on étudie ainsi que le vecteur accélération de translation du système de points matériels fermé et la masse de ce dernier puis en déduire la loi de force cherchée en écrivant la «~r.f.d.n.~» [92] c'est-à-dire «~l'égalité entre la somme des forces appliquées et le produit de la masse du système par le vecteur accélération de ce dernier~» ; éventuellement changer quelques conditions paramétrables comme la pression ou la température imposées et en déduire la conséquence correspondante sur la loi de force trouvée.

Notes et références[modifier | modifier le wikicode]

  1. Le poids sera donc une force extérieure si la Terre est extérieure au système de points matériels,
    ...la force électrique sera une force extérieure si la source du champ électrique c'est-à-dire le système de charges l'engendrant est extérieure au système de points matériels
  2. Résultant du contact du système de points matériel avec son extérieur.
  3. Cela nécessite donc que le ressort, le fluide, le support solide ou le fil soient extérieurs au système de points matériel.
  4. Isaac Newton (1643 - 1727) philosophe, mathématicien, physicien, astronome, alchimiste et théologien anglais, connu essentiellement de nos jours pour avoir fondé la mécanique classique, pour sa théorie de la gravitation et aussi pour la création du calcul infinitésimal ; en optique il a développé une théorie de la couleur et a aussi inventé un télescope composé d'un miroir primaire concave et d'un miroir secondaire plan, télescope connu de nos jours sous le nom de télescope de Newton.
  5. 5,0 et 5,1 La force décrivant l'action de sur est encore notée et celle décrivant l'action de sur encore notée avec l'objet subissant l'action en 1er indice et l'objet source de l'action en 2nd.
  6. Et, ce qui est équivalent à .
  7. C.-à-d. utilisant un référentiel d'espace temps dans lequel les vitesses des points matériels restent petites devant la vitesse de la lumière dans le vide soit approximativement