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Exercice : Suites d'intégrales 1
Intégration en mathématiques/Exercices/Suites d'intégrales 1 », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
On pose :
.
1° Démontrer que :
.
2° Démontrer que :
.
3° En déduire que :
.
Pour tout entier naturel
et tout réel
, on pose :
.
1° Prouver qu'il existe des réels
et
tels que, pour tout
de
:
.
- En déduire le calcul de
.
2° Démontrer que :
.
3° En déduire
,
et
.
Solution
1°
, donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{0}(t)&=\int _{0}^{t}{\frac {1}{\cos }}={\frac {1}{2}}\left[\ln {\frac {1+s}{1-s}}\right]_{0}^{\sin t}\\&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+\sin t}{1-\sin t}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {(1+\sin t)^{2}}{\cos ^{2}t}}=\ln {\frac {1+\sin t}{\cos t}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9d34873486a2e8c01a32b6b417de4c71edf57a4)
Voir aussi Changement de variable en calcul intégral/Exercices/Changement de variable facile#Exercice 2-10.
2°
![{\displaystyle {\begin{aligned}I_{n}(t)&=\int _{0}^{t}{\frac {\tan '}{\cos ^{2n-1}}}=\left[{\frac {\tan }{\cos ^{2n-1}}}\right]_{0}^{t}-(2n-1)\int _{0}^{t}{\frac {\tan \times \sin }{\cos ^{2n}}}\\&={\frac {\sin t}{\cos ^{2n}t}}-(2n-1)\int _{0}^{t}{\frac {\sin ^{2}}{\cos ^{2n+1}}}\\&={\frac {\sin t}{\cos ^{2n}t}}-(2n-1)\left(I_{n}(t)-I_{n-1}(t)\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb5c2311de2d4e98bd3efdf3e947d87c19b37a7)
- d'où la formule de récurrence annoncée.
3°
.
.
.
Soit
la fonction numérique de la variable réelle
définie par :
.
1° Trouver deux entiers relatifs
et
tels que :
.
- En déduire, pour
appartenant à
, la valeur de :
.
2° On considère la suite
définie, pour
entier naturel non nul, par :
.
- Cette suite admet-elle une limite quand
tend vers
?
Pour
, soit :
;
.
1° Démontrer que, pour tout entier
supérieur à
, on a :
;
.
2° Calculer
,
,
et
.
3° Peut-on, lorsque
est impair, calculer
et
à l'aide d'un changement de variable simple ?
On considère la fonction
définie, pour
réel positif, par :
,
où
désigne la fonction partie entière.
1° Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, construire le graphique de
pour
élément de
.
2° Soit
un entier naturel. Donner l'expression de
pour
élément de
, puis calculer
.
- En déduire que
est une suite arithmétique, dont on donnera la raison et le premier terme.
3° Pour
, calculer
.
Soit :
.
1° Justifier l'existence de
. Calculer
et
.
2° Établir une relation de récurrence entre
et
. En déduire l'expression de
en fonction de
.
3° On pose :
.
- Démontrer que
est une valeur approchée par défaut de
, avec :
.
Pour
on pose :
.
- Calculer
.
- Montrer que la suite
est positive et décroissante (donc convergente).
-
- Montrer que pour tous
et
on a :
.
- En déduire que pour tout
on a
.
- Calculer la limite de la suite
.
-
- En effectuant une intégration par parties, montrer que pour tout
on a
.
- Étudier la convergence de la suite
.
Soit
pour
.
- Calculer
et
.
- Trouver une relation de récurrence entre
et
pour
.
- En déduire
et
pour
.
Solution
,
avec
, vérifiant à la fois
,
et (donc)
. On a donc le choix de prendre comme nouvelle variable
,
ou
(ou
). Le plus simple semble
: ainsi,
donc
.
.
,
.