Intégration en mathématiques/Exercices/Calculs indirects

Exercice 16-1

Soient $I$ et $J$ les intégrales suivantes :

$I=\int _{0}^{x}\cos ^{2}t\,\mathrm {d} t,\qquad \qquad J=\int _{0}^{x}\sin ^{2}t\,\mathrm {d} t$.

Calculer simultanément $I$ et $J$.

Solution

$I+J=\int _{0}^{x}\mathrm {d} t=x\quad {\text{et}}\quad I-J=\int _{0}^{x}\cos 2t\,\mathrm {d} t={\frac {\sin 2x}{2}}$

donc

$I={\frac {2x+\sin 2x}{4}}\quad {\text{et}}\quad J={\frac {2x-\sin 2x}{4}}$.

 

Exercice 16-2

Calculer simultanément les intégrales suivantes :

$I=\int _{0}^{x}\left(at^{2}+bt+c\right)\cos ^{2}t\,\mathrm {d} t$

$J=\int _{0}^{x}\left(at^{2}+bt+c\right)\sin ^{2}t\,\mathrm {d} t$.

Solution

$I+J=\int _{0}^{x}\left(at^{2}+bt+c\right)\mathrm {d} t=a{\frac {x^{3}}{3}}+b{\frac {x^{2}}{2}}+cx={\frac {2ax^{3}+3bx^{2}+6cx}{6}}$

et

$I-J=\int _{0}^{x}\left(at^{2}+bt+c\right)\cos 2t\,\mathrm {d} t=$

$\left[\left(at^{2}+bt+c\right){\frac {\sin 2t}{2}}\right]_{0}^{x}-\int _{0}^{x}\left(2at+b\right){\frac {\sin 2t}{2}}\,\mathrm {d} t=$

$\left[\left(at^{2}+bt+c\right){\frac {\sin 2t}{2}}+\left(2at+b\right){\frac {\cos 2t}{4}}\right]_{0}^{x}-a\int _{0}^{x}{\frac {\cos 2t}{2}}\,\mathrm {d} t=$

$\left[\left(at^{2}+bt+c\right){\frac {\sin 2t}{2}}+\left(2at+b\right){\frac {\cos 2t}{4}}-a{\frac {\sin 2t}{4}}\right]_{0}^{x}=$

${\frac {(2ax^{2}+2bx+2c-a)\sin 2x+(2ax+b)\cos 2x-b}{4}}$

donc

$I={\frac {4ax^{3}+6bx^{2}+12cx-3b+(6ax^{2}+6bx+6c-3a)\sin 2x+(6ax+3b)\cos 2x}{24}}$

et

$J={\frac {4ax^{3}+6bx^{2}+12cx+3b-(6ax^{2}+6bx+6c-3a)\sin 2x-(6ax+3b)\cos 2x}{24}}$.

 

Exercice 16-3

On considère les intégrales :

$A=\int _{-\pi }^{\pi }\cos px\cos qx\,\mathrm {d} x$

$B=\int _{-\pi }^{\pi }\sin px\sin qx\,\mathrm {d} x$

où $p$ et $q$ sont des entiers naturels non nuls.

Calculer $A-B$ et $A+B$. En déduire $A$ et $B$.

Solution

$A-B=\int _{-\pi }^{\pi }\cos(p+q)x\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {\sin(p+q)x}{p+q}}\right]_{-\pi }^{\pi }=0$.

• Si $q\neq p$, $A+B=\int _{-\pi }^{\pi }\cos(p-q)x\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {\sin(p-q)x}{p-q}}\right]_{-\pi }^{\pi }=0$ donc $A=B=0$.
• Si $q=p$, $A+B=2\pi$ donc $A=B=\pi$.

 

Exercice 16-4

Soit $f$ une fonction dérivable.

1°  On pose $g(x)=xf(x)$. Calculer $g'(x)$.

2°  Calculer :

$\int _{\mathrm {e} }^{\mathrm {e} ^{2}}\left({\sqrt {\ln x}}+{\frac {1}{2{\sqrt {\ln x}}}}\right)\,\mathrm {d} x$.

Solution

1. $g'(x)=f(x)+xf'(x)$.
2. Pour $x\geq \mathrm {e}$, soit $f(x)={\sqrt {\ln x}}$. Alors, pour $x>\mathrm {e}$, $f'(x)={\frac {1}{2x{\sqrt {\ln x}}}}$ donc d'après la question précédente,
   $\int _{\mathrm {e} }^{\mathrm {e} ^{2}}\left({\sqrt {\ln x}}+{\frac {1}{2{\sqrt {\ln x}}}}\right)\,\mathrm {d} x=\left[xf(x)\right]_{\mathrm {e} }^{\mathrm {e} ^{2}}=\mathrm {e} ^{2}{\sqrt {2}}-\mathrm {e}$.

 

Exercice 16-5

On considère les deux intégrales suivantes :

$A=\int _{0}^{x}\operatorname {e} ^{t}\cos 2t\,\mathrm {d} t,\qquad \qquad B=\int _{0}^{x}\operatorname {e} ^{t}\sin 2t\,\mathrm {d} t$.

1°  À l'aide de la formule d'intégration par parties appliquée à $A$ et à $B$, établir deux relations entre $A$ et $B$. En déduire les valeurs de $A$ et de $B$.

2°  On pose :

$I=\int _{0}^{x}\operatorname {e} ^{t}\cos ^{2}t\,\mathrm {d} t,\qquad \qquad J=\int _{0}^{x}\operatorname {e} ^{t}\sin ^{2}t\,\mathrm {d} t$.

Calculer $I+J$ et $I-J$. En déduire les valeurs de de $I$ et de $J$.

Solution

1. • $A=\left[\operatorname {e} ^{t}{\frac {\sin 2t}{2}}\right]_{0}^{x}-{\frac {B}{2}}={\frac {\operatorname {e} ^{x}\sin 2x}{2}}-{\frac {B}{2}}$ ;
   • $B=\left[\operatorname {e} ^{t}{\frac {-\cos 2t}{2}}\right]_{0}^{x}+{\frac {A}{2}}={\frac {1-\operatorname {e} ^{x}\cos 2x}{2}}+{\frac {A}{2}}$.
   • $A={\frac {\operatorname {e} ^{x}(2\sin 2x+\cos 2x)-1}{4}}-{\frac {A}{4}}$ donc $A={\frac {\operatorname {e} ^{x}(2\sin 2x+\cos 2x)-1}{5}}$ ;
   • $B={\frac {2+\operatorname {e} ^{x}(\sin 2x-2\cos 2x)}{4}}-{\frac {B}{4}}$ donc $B={\frac {2+\operatorname {e} ^{x}(\sin 2x-2\cos 2x)}{5}}$.
2. • $I+J=\int _{0}^{x}\operatorname {e} ^{t}\,\mathrm {d} t=\operatorname {e} ^{x}-1$ ;
   • $I-J=A$.
   • $I={\frac {5\operatorname {e} ^{x}-5+\operatorname {e} ^{x}(2\sin 2x+\cos 2x)-1}{10}}={\frac {\operatorname {e} ^{x}(2\sin 2x+\cos 2x+5)-6}{10}}$ ;
   • $J={\frac {5\operatorname {e} ^{x}-5-\operatorname {e} ^{x}(2\sin 2x+\cos 2x)+1}{10}}={\frac {\operatorname {e} ^{x}(5-2\sin 2x-\cos 2x)-4}{10}}$.

 

Exercice 16-6

Calculer :

$\int _{1}^{x}2t\operatorname {e} ^{t^{2}+1}\,\mathrm {d} t$.

En déduire, par une intégration par parties :

$\int _{1}^{x}2t^{3}\operatorname {e} ^{t^{2}+1}\,\mathrm {d} t$.

Solution

$\int _{1}^{x}2t\operatorname {e} ^{t^{2}+1}\,\mathrm {d} t=\left[\operatorname {e} ^{t^{2}+1}\right]_{1}^{x}=\operatorname {e} ^{x^{2}+1}-\operatorname {e} ^{2}$.

$\int _{1}^{x}2t^{3}\operatorname {e} ^{t^{2}+1}\,\mathrm {d} t=\left[t^{2}\operatorname {e} ^{t^{2}+1}\right]_{1}^{x}-\int _{1}^{x}2t\operatorname {e} ^{t^{2}+1}\,\mathrm {d} t=\left(x^{2}-1\right)\operatorname {e} ^{x^{2}+1}$.

 

Exercice 16-7

1°  Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Donner, en fonction de $f$ et de $f'$, l'expression de la dérivée de la fonction $F$ définie sur $I$ par $F(x)={\frac {f(x)}{\mathrm {e} ^{x}}}$.

2°  Démontrer qu'il existe un couple $(A,B)$ de réels tel que, quel que soit $x\neq -1$, on ait :

${\frac {x+2}{(x+1)^{2}}}={\frac {A}{(x+1)^{2}}}+{\frac {B}{x+1}}$.

En déduire qu'il existe une fonction $v$ telle que :

$v(x)-v'(x)={\frac {x+2}{(x+1)^{2}}}$.

3°  Quel est l'ensemble des primitives de la fonction $F$ lorsque $f(x)={\frac {x+2}{(x+1)^{2}}}$ ?

Solution

1. $F(x)=f(x)\operatorname {e} ^{-x}$ donc $F'(x)=\left(f'(x)-f(x)\right)\operatorname {e} ^{-x}$.
2. $A=B=1$, $v(x)={\frac {1}{x+1}}$.
3. $F(x)=\left(v(x)-v'(x)\right)\operatorname {e} ^{-x}$ est la dérivée de $x\mapsto -v(x)\operatorname {e} ^{-x}$ donc les primitives de $F$ sont les fonctions de la forme $x\mapsto k-{\frac {1}{(x+1)\operatorname {e} ^{x}}}$, avec $k\in \mathbb {R}$.