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Exercice : Calculs indirectsIntégration en mathématiques/Exercices/Calculs indirects », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Soit
I
{\displaystyle I}
et
J
{\displaystyle J}
les intégrales suivantes :
I
=
∫
0
x
cos
2
t
d
t
,
J
=
∫
0
x
sin
2
t
d
t
{\displaystyle I=\int _{0}^{x}\cos ^{2}t\,\mathrm {d} t,\qquad \qquad J=\int _{0}^{x}\sin ^{2}t\,\mathrm {d} t}
.
Calculer simultanément
I
{\displaystyle I}
et
J
{\displaystyle J}
.
Solution
I
+
J
=
∫
0
x
d
t
=
x
et
I
−
J
=
∫
0
x
cos
2
t
d
t
=
sin
2
x
2
{\displaystyle I+J=\int _{0}^{x}\mathrm {d} t=x\quad {\text{et}}\quad I-J=\int _{0}^{x}\cos 2t\,\mathrm {d} t={\frac {\sin 2x}{2}}}
donc
I
=
2
x
+
sin
2
x
4
et
J
=
2
x
−
sin
2
x
4
{\displaystyle I={\frac {2x+\sin 2x}{4}}\quad {\text{et}}\quad J={\frac {2x-\sin 2x}{4}}}
.
Calculer simultanément les intégrales suivantes :
I
=
∫
0
x
(
a
t
2
+
b
t
+
c
)
cos
2
t
d
t
{\displaystyle I=\int _{0}^{x}\left(at^{2}+bt+c\right)\cos ^{2}t\,\mathrm {d} t}
J
=
∫
0
x
(
a
t
2
+
b
t
+
c
)
sin
2
t
d
t
{\displaystyle J=\int _{0}^{x}\left(at^{2}+bt+c\right)\sin ^{2}t\,\mathrm {d} t}
.
On considère les intégrales :
A
=
∫
−
π
π
cos
p
x
cos
q
x
d
x
{\displaystyle A=\int _{-\pi }^{\pi }\cos px\cos qx\,\mathrm {d} x}
B
=
∫
−
π
π
sin
p
x
sin
q
x
d
x
{\displaystyle B=\int _{-\pi }^{\pi }\sin px\sin qx\,\mathrm {d} x}
où
p
{\displaystyle p}
et
q
{\displaystyle q}
sont des entiers naturels non nuls.
Calculer
A
−
B
{\displaystyle A-B}
et
A
+
B
{\displaystyle A+B}
. En déduire
A
{\displaystyle A}
et
B
{\displaystyle B}
.
Soit
f
{\displaystyle f}
une fonction dérivable.
1° On pose
g
(
x
)
=
x
f
(
x
)
{\displaystyle g(x)=xf(x)}
. Calculer
g
′
(
x
)
{\displaystyle g'(x)}
.
2° Calculer :
∫
e
e
2
(
ln
x
+
1
2
ln
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{\mathrm {e} }^{\mathrm {e} ^{2}}\left({\sqrt {\ln x}}+{\frac {1}{2{\sqrt {\ln x}}}}\right)\,\mathrm {d} x}
.
On considère les deux intégrales suivantes :
A
=
∫
0
x
e
t
cos
2
t
d
t
,
B
=
∫
0
x
e
t
sin
2
t
d
t
{\displaystyle A=\int _{0}^{x}\operatorname {e} ^{t}\cos 2t\,\mathrm {d} t,\qquad \qquad B=\int _{0}^{x}\operatorname {e} ^{t}\sin 2t\,\mathrm {d} t}
.
1° À l'aide de la formule d'intégration par parties appliquée à
A
{\displaystyle A}
et à
B
{\displaystyle B}
, établir deux relations entre
A
{\displaystyle A}
et
B
{\displaystyle B}
. En déduire les valeurs de
A
{\displaystyle A}
et de
B
{\displaystyle B}
.
2° On pose :
I
=
∫
0
x
e
t
cos
2
t
d
t
,
J
=
∫
0
x
e
t
sin
2
t
d
t
{\displaystyle I=\int _{0}^{x}\operatorname {e} ^{t}\cos ^{2}t\,\mathrm {d} t,\qquad \qquad J=\int _{0}^{x}\operatorname {e} ^{t}\sin ^{2}t\,\mathrm {d} t}
.
Calculer
I
+
J
{\displaystyle I+J}
et
I
−
J
{\displaystyle I-J}
. En déduire les valeurs de de
I
{\displaystyle I}
et de
J
{\displaystyle J}
.
Calculer :
∫
1
x
2
t
e
t
2
+
1
d
t
{\displaystyle \int _{1}^{x}2t\operatorname {e} ^{t^{2}+1}\,\mathrm {d} t}
.
En déduire, par une intégration par parties :
∫
1
x
2
t
3
e
t
2
+
1
d
t
{\displaystyle \int _{1}^{x}2t^{3}\operatorname {e} ^{t^{2}+1}\,\mathrm {d} t}
.
Solution
∫
1
x
2
t
e
t
2
+
1
d
t
=
[
e
t
2
+
1
]
1
x
=
e
x
2
+
1
−
e
2
{\displaystyle \int _{1}^{x}2t\operatorname {e} ^{t^{2}+1}\,\mathrm {d} t=\left[\operatorname {e} ^{t^{2}+1}\right]_{1}^{x}=\operatorname {e} ^{x^{2}+1}-\operatorname {e} ^{2}}
.
∫
1
x
2
t
3
e
t
2
+
1
d
t
=
[
t
2
e
t
2
+
1
]
1
x
−
∫
1
x
2
t
e
t
2
+
1
d
t
=
(
x
2
−
1
)
e
x
2
+
1
{\displaystyle \int _{1}^{x}2t^{3}\operatorname {e} ^{t^{2}+1}\,\mathrm {d} t=\left[t^{2}\operatorname {e} ^{t^{2}+1}\right]_{1}^{x}-\int _{1}^{x}2t\operatorname {e} ^{t^{2}+1}\,\mathrm {d} t=\left(x^{2}-1\right)\operatorname {e} ^{x^{2}+1}}
.
1° Soit
f
{\displaystyle f}
une fonction dérivable sur un intervalle
I
{\displaystyle I}
. Donner, en fonction de
f
{\displaystyle f}
et de
f
′
{\displaystyle f'}
, l'expression de la dérivée de la fonction
F
{\displaystyle F}
définie sur
I
{\displaystyle I}
par
F
(
x
)
=
f
(
x
)
e
x
{\displaystyle F(x)={\frac {f(x)}{\mathrm {e} ^{x}}}}
.
2° Démontrer qu'il existe un couple
(
A
,
B
)
{\displaystyle (A,B)}
de réels tel que, quel que soit
x
≠
−
1
{\displaystyle x\neq -1}
, on ait :
x
+
2
(
x
+
1
)
2
=
A
(
x
+
1
)
2
+
B
x
+
1
{\displaystyle {\frac {x+2}{(x+1)^{2}}}={\frac {A}{(x+1)^{2}}}+{\frac {B}{x+1}}}
.
En déduire qu'il existe une fonction
v
{\displaystyle v}
telle que :
v
(
x
)
−
v
′
(
x
)
=
x
+
2
(
x
+
1
)
2
{\displaystyle v(x)-v'(x)={\frac {x+2}{(x+1)^{2}}}}
.
3° Quel est l'ensemble des primitives de la fonction
F
{\displaystyle F}
lorsque
f
(
x
)
=
x
+
2
(
x
+
1
)
2
{\displaystyle f(x)={\frac {x+2}{(x+1)^{2}}}}
?