Introduction aux suites numériques/Suites arithmétiques

**Suites arithmétiques**
Leçon : Introduction aux suites numériques

Chapitre n^o 2
Chap. préc. :	Définitions
Chap. suiv. :	Suites géométriques
Exercices :	Suites arithmétiques

En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Introduction aux suites numériques : Suites arithmétiques
Introduction aux suites numériques/Suites arithmétiques », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.

Wikipedia-logo-v2.svg

Wikipédia possède un article à propos de « Suite arithmétique ».

Définition par récurrence[modifier | modifier le wikicode]

Définition d'une suite arithmétique

Une suite est arithmétique quand on ajoute toujours le même nombre pour passer d'un terme au suivant.

Une suite arithmétique est donc définie par :

la valeur de son premier terme $u_{0}$
une relation de récurrence de la forme : $u_{n+1}=u_{n}+r$

Le nombre $r$ qui permet de passer d'un terme au suivant s’appelle la raison de la suite $(u_{n})$ .

Exercices d'application[modifier | modifier le wikicode]

Parmi les suites ci-dessous, lesquelles sont arithmétiques ? Quelles sont alors leurs raisons respectives ?

$u_{0}=1,~u_{1}=3,~u_{2}=5,~u_{3}=7,~u_{4}=9,~u_{5}=11,~u_{6}=13,\ldots$
$u_{0}=2,~u_{1}=5,~u_{2}=7,~u_{3}=12,~u_{4}=19,~u_{5}=31,~u_{6}=50,~u_{7}=81\ldots$
$u_{0}=0,~u_{1}=5,~u_{2}=10,~u_{3}=15,~u_{4}=20,~u_{5}=25,~u_{6}=30,~u_{7}=35\ldots$
$u_{0}=7,~u_{1}=14,~u_{2}=28,~u_{3}=56,~u_{4}=112,~u_{5}=224,~u_{6}=448\ldots$
$u_{0}=5~u_{1}=3,~u_{2}=1,~u_{3}=-1,~u_{4}=-3,~u_{5}=-5,~u_{6}=-7\ldots$

Solution

La première suite est arithmétique de raison 2.
La seconde suite n’est pas arithmétique.
La troisième suite est arithmétique de raison 5.
La quatrième suite n’est pas arithmétique car chaque terme est égal au double du terme qui le précède (on dit alors qu'elle est géométrique de raison 2).
Enfin la dernière suite est arithmétique de raison -2 (en effet la raison peut être un nombre quelconque dans $\mathbb {R}$ ).

Terme général d'une suite arithmétique[modifier | modifier le wikicode]

Pour arriver à $u_{n}$ , il faut ajouter $n$ fois la raison $r$ au premier terme $u_{0}$

Théorème

Le terme général d'une suite arithmétique $u_{n}$ est donné par la formule :

u_{n}=u_{0}+n\times r

Utilisation du terme général[modifier | modifier le wikicode]

Soit $(u_{n})$ une suite arithmétique telle que $u_{0}=-3$ et $r=3,5$ . Calculer $u_{11}$ .
Soit $(v_{n})$ une suite arithmétique telle que $v_{0}=24$ et $r=-6$ . Calculer $v_{25}$ .
Soit $(w_{n})$ une suite arithmétique telle que $w_{1}=2$ et $r=6,25$ . Calculer $w_{10}$ .
Soit $(s_{n})$ une suite arithmétique telle que $s_{15}=2$ et $r=6$ . Calculer $s_{0}$ .
Soit $(t_{n})$ une suite arithmétique telle que $t_{11}=25$ et $t_{4}=6$ . Calculer $t_{0}$ et $r$ .

Solution

$u_{11}=-3+11\times 3,5=35,5$
$v_{25}=24+-6\times 25=-126$
$w_{10}=2-6,25+6,25\times 10=58,25$
$s_{0}=2-15\times 6=-88$
$t_{11}=t_{4}+7r$ donc $r={\frac {t_{11}-t_{4}}{7}}={\frac {19}{7}}$ . De plus, $t_{0}=t_{4}-4r=6-4{\frac {19}{7}}=-{\frac {34}{7}}$ .

Somme des termes d'une suite arithmétique[modifier | modifier le wikicode]

Somme des entiers consécutifs[modifier | modifier le wikicode]

Comment calculer simplement ? $S=0+1+2+3+\ldots +98+99+100$

Il suffit d’utiliser la formule : $S=0+1+2+3+\ldots +n={\frac {n\times (n+1)}{2}}$

On trouve donc : $S=0+1+2+3+\ldots +98+99+100=5050$

Généralisation[modifier | modifier le wikicode]

Théorème

La somme des (n+1) termes consécutifs d'une suite arithmétique est donnée par la formule suivante : $u_{0}+u_{1}+\cdots +u_{n}={(n+1).(u_{n}+u_{0}) \over 2}$

La somme des termes consécutifs d'une progression arithmétique est égale à la demi-somme des termes extrêmes multipliée par le nombre de termes de la suite.

Calculs de sommes[modifier | modifier le wikicode]

En utilisant la formule, calculer :

$S=1+3+5+7+9+\ldots +131=\ldots$
$S=7+9+11+13+\ldots +99=\ldots$

Solution

On remarque que (1,3,5...) est une suite arithmétique de raison $r=2$ et de premier terme $u_{0}=1$
- $131=u_{65}$
- L'application de la formule donne alors : $S=1+3+5+7+9+\ldots +131={\frac {65+1}{2}}(1+131)=4356$
On remarque que (7,9,11...) est une suite arithmétique de raison $r=2$ et de premier terme $u_{0}=7$
- $99=u_{46}$
- L'application de la formule donne alors : $S=7+9+\ldots +99={\frac {46+1}{2}}(7+99)=2491$

Sens de variation d'une suite arithmétique[modifier | modifier le wikicode]

Théorème

Une suite arithmétique de raison r est :

croissante si $r>0$
décroissante si $r<0$
constante si $r=0$

Représentation graphique d'une suite arithmétique et lien avec les fonctions affines[modifier | modifier le wikicode]

Pour une suite arithmétique de premier terme $u_{0}$ et de raison $r$ , l’expression du terme général montre que :

si on définit la fonction affine $f(x)=r\times x+u_{0}$ , alors $u_{n}=f(n)$ .

Théorème

Pour une suite arithmétique de premier terme $u_{0}$ et de raison $r$ : si on place $n$ en abscisse et $u_{n}$ en ordonnée, les points correspondants sont alignés sur la droite représentative de la fonction affine :

$f(x)=r\times x+u_{0}$

Si $u_{n}=a+bn$ , alors $(u_{n})$ est une suite arithmétique de raison b et de premier terme a.

En faisant l'analogie avec les fonctions affines, on peut dire que :

$a$ : Ordonnée à l'origine
$b$ : Coefficient directeur

Graphiques[modifier | modifier le wikicode]

Placer, dans un repère orthogonal, les 10 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme $u_{0}=-3$ et de raison $r=3,5$ . Quelle est l'équation de la droite sur laquelle les points correspondant aux termes sont alignés ?

Solution

L'expression algébrique des termes de cette suite est pour tout $n\in \mathbb {N} ,~u_{n}=-3+3.5n$
Les points sont alors positionnés sur la droite d'équation $y=3.5x-3$

Le graphique représentant les points de la droite d'équation $y=3.5x-3$ est le suivant :

Introduction aux suites numériques

Définitions

Suites géométriques