Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie par une intégrale

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Nous commencerons par un exemple simple à titre d’introduction.

Exemple 1

Soit à trouver un équivalent de la suite (u_n)_n∈ℕ définie par :

$\forall n\qquad u_{n}=\int _{1}^{\mathrm {e} }\ln ^{n}x\,\mathrm {d} x$.

Recherchons une relation de récurrence entre u_n+1 et u_n à l’aide d’une intégration par parties.

${\begin{aligned}u_{n+1}&=\int _{1}^{\mathrm {e} }\ln ^{n+1}x\,\mathrm {d} x\\&=\int _{1}^{\mathrm {e} }1\times \ln ^{n+1}x\,\mathrm {d} x\\&=\left[x\times \ln ^{n+1}x\right]_{1}^{\mathrm {e} }-\int _{1}^{\mathrm {e} }x\times {\frac {n+1}{x}}\ln ^{n}x\,\mathrm {d} x\\&=\mathrm {e} -(n+1)\int _{1}^{\mathrm {e} }\ln ^{n}x\,\mathrm {d} x\\&=\mathrm {e} -(n+1)u_{n}.\end{aligned}}$

Nous avons obtenu la relation de récurrence :

$u_{n+1}=\mathrm {e} -(n+1)u_{n}$.

On en déduit que la suite $(u_{n})$ tend vers 0, car

$0\leq u_{n}={\frac {\mathrm {e} -u_{n+1}}{n+1}}\leq {\frac {\mathrm {e} }{n+1}}$,

puis, qu'elle est équivalente à ${\frac {\mathrm {e} }{n}}$, car

$u_{n}={\frac {\mathrm {e} -u_{n+1}}{n+1}}={\frac {\mathrm {e} +o(1)}{n+1}}\sim {\frac {\mathrm {e} }{n}}$.

On peut donc conclure :

$\int _{1}^{\mathrm {e} }\ln ^{n}x\,\mathrm {d} x\sim {\frac {\mathrm {e} }{n}}$.

Nous allons maintenant étudier une méthode permettant de trouver un équivalent de certaines suites définies par une intégrale. Cette méthode, qui n’est pas générale, se rencontre dans certains problèmes portant sur le calcul intégral comme les problèmes sur l’intégrale de Wallis.

Nous exposerons cette méthode dans l'exemple suivant en la décomposant par étape, chaque étape faisant généralement l’objet d’une question séparée dans les problèmes où cette méthode est utilisée.

Exemple 2

Essayons de trouver un équivalent de la suite d’intégrales dont le terme général est donné par :

$I_{n}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,\mathrm {d} x$

(égal, par changement de variable $y={\frac {\pi }{2}}-x$, à $\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}y\,\mathrm {d} y$).

Étape 1

Nous établirons une relation de récurrence entre $I_{n+2}$ et $I_{n}$. Ceci s’obtient grâce à une intégration par parties.

${\begin{aligned}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n+2}x\,\mathrm {d} x&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos x\cos ^{n+1}x\,\mathrm {d} x\\&=\left[\sin x\cos ^{n+1}x\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}+(n+1)\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{2}x\cos ^{n}x\,\mathrm {d} x.\end{aligned}}$

Compte tenu de l'égalité $\sin ^{2}x=1-\cos ^{2}x$ et après simplification, nous obtenons :

$I_{n+2}=(n+1)(I_{n}-I_{n+2})$,

ce qui donne finalement :

$\forall n\qquad I_{n+2}={\frac {n+1}{n+2}}I_{n}$.

Étape 2

Il nous faut trouver une suite constante (C_n)_n∈ℕ dont le terme C_n s’exprime en fonction de I_n, de I_n+1 et de n.

Cette suite est :

$C_{n}=(n+1)I_{n}I_{n+1}$.

En effet :

$C_{n+1}=(n+2)I_{n+1}I_{n+2}=(n+2)I_{n+1}{\frac {n+1}{n+2}}I_{n}=C_{n}$.

La valeur de la constante est :

$C_{0}=(0+1)I_{0}I_{0+1}=I_{0}I_{1}$.

Or :

$I_{0}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}1\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2}}$

$I_{1}=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos x\,\mathrm {d} x=1$.

On obtient donc :

$C_{0}=I_{0}I_{1}={\frac {\pi }{2}}$.

On en déduit alors la relation :

$\forall n\qquad (n+1)I_{n}I_{n+1}={\frac {\pi }{2}}$.

Étape 3

Cherchons à encadrer le rapport :

${\frac {I_{n+1}}{I_{n}}}$

par deux suites convergeant vers 1.

On peut déjà remarquer que la suite $(I_{n})$ est strictement positive et décroissante. En effet, pour tout $n\in \mathbb {N}$ :

$0<x<{\frac {\pi }{2}}\Rightarrow 0<\cos x<1\Rightarrow 0<\cos ^{n+1}x<\cos ^{n}x$ donc (d'après les propriétés de l'intégrale d'une fonction continue) :

$0<\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n+1}x\,\mathrm {d} x<\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,\mathrm {d} x$.

On a donc :

$0<I_{n+2}<I_{n+1}<I_{n}$,

d'où

${\frac {n+1}{n+2}}={\frac {I_{n+2}}{I_{n}}}<{\frac {I_{n+1}}{I_{n}}}<1$.

Nous pouvons donc conclure :

$I_{n+1}\sim I_{n}$.

Étape 4

Compte tenu de l’étape 2, on en déduit :

$I_{n}^{2}\sim {\frac {\pi }{2n}}$.

On peut extraire la racine des deux membres. On peut donc conclure :

$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,\mathrm {d} x\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2n}}}$.

Remarque 1 Le lecteur pourrait poser la question suivante : À l’étape 2, comment trouve-t-on la suite (Cn)n∈ℕ ? Remarquons d’abord que la méthode n’est applicable que si la suite (un)n∈ℕ est décroissante à termes positifs. Donc d’une façon générale, si l'on obtient une relation de récurrence du type $\forall n\qquad u_{n+2}={\frac {n+p}{n+q}}u_{n}~$ avec p < q. On choisira donc pour Cn la relation : $C_{n}=(n+p)(n+p+1)(n+p+2)\cdots (n+q-1)u_{n}u_{n+1}$. Le lecteur vérifiera que cette suite est bien constante.

Remarque 2 Bien qu'intitulé « Équivalent d'une suite définie par une intégrale », ce chapitre expose, comme le suivant, des techniques s'appliquant aux suites définies par récurrence. Elles permettent par exemple de traiter des exercices du style : Étudier la convergence de la série de terme général un vérifiant : ${\begin{cases}u_{0}=4\\u_{n+1}={\frac {n+3}{n+4}}u_{n}.\end{cases}}$ On a alors : $(n+3)u_{n}=(0+3)u_{0}=12$ donc : $u_{n}\sim {\frac {12}{n}}$ et la série de terme général un est divergente, comme la série harmonique.