Leçons de niveau 15

Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie par une intégrale

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Équivalent d'une suite définie par une intégrale
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Chapitre no 4
Leçon : Équivalents et développements de suites
Chap. préc. : Équivalent d'une suite définie par une somme
Chap. suiv. : Équivalent d'une suite définie par récurrence

Exercices :

Équivalent d'une suite définie par une intégrale
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Équivalents et développements de suites/Équivalent d'une suite définie par une intégrale
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Nous commencerons par un exemple simple à titre d’introduction.

Exemple 1[modifier | modifier le wikicode]

Soit à trouver un équivalent de la suite (un)n∈ℕ définie par :

.

Recherchons une relation de récurrence entre un+1 et un à l’aide d’une intégration par parties.

Nous avons obtenu la relation de récurrence :

.

De plus, puisque  :

.

Cet encadrement montre déjà que la suite est bornée. On en déduit qu'elle tend vers 0, car

,

puis, qu'elle est équivalente à , car

.

On peut donc conclure :


.



Nous allons maintenant étudier une méthode permettant de trouver un équivalent de certaines suites définies par une intégrale. Cette méthode, qui n’est pas générale, se rencontre dans certains problèmes portant sur le calcul intégral comme les problèmes sur l’intégrale de Wallis.

Nous exposerons cette méthode dans l'exemple suivant en la décomposant par étape, chaque étape faisant généralement l’objet d’une question séparée dans les problèmes où cette méthode est utilisée.

Exemple 2[modifier | modifier le wikicode]

descriptif indisponible
Wikipédia possède un article à propos de « Intégrales de Wallis ».

Essayons de trouver un équivalent de la suite d’intégrales dont le terme général est donné par :

(égal, par changement de variable , à ).

Étape 1[modifier | modifier le wikicode]

Nous établirons une relation de récurrence entre et . Ceci s’obtient grâce à une intégration par parties.

Compte tenu de l'égalité et après simplification, nous obtenons :

,

ce qui donne finalement :

.

Étape 2[modifier | modifier le wikicode]

Il nous faut trouver une suite constante (Cn)n∈ℕ dont le terme Cn s’exprime en fonction de In, de In+1 et de n.

Cette suite est :

.

En effet :

.

La valeur de la constante est bien sûr alors donnée par :

.

Un calcul élémentaire donne alors :

.

On obtient donc :

.

On en déduit alors la relation :

.

Étape 3[modifier | modifier le wikicode]

Il nous faut encadrer le rapport :

par deux expressions en n tendant vers 1 en +∞.

On peut déjà remarquer que la suite est strictement positive et décroissante. En effet, pour tout  :

donc (d'après les propriétés de l'intégrale d'une fonction continue) :
.

On a donc :

,

d'où

.

Nous pouvons donc conclure :

.

Étape 4[modifier | modifier le wikicode]

Compte tenu de l’étape 2, on en déduit :

.

On peut extraire la racine des deux membres. On peut donc conclure :


.


30x-Checkmark.png

Remarque 1

Le lecteur pourrait poser la question suivante :

À l’étape 2, comment trouve-t-on la suite (Cn)n∈ℕ ?

Remarquons d’abord que la méthode n’est applicable que si la suite (un)n∈ℕ est décroissante à termes positifs. Donc d’une façon générale, si l'on obtient une relation de récurrence du type

avec p < q. On choisira donc pour Cn la relation :

.

Le lecteur vérifiera que cette suite est bien constante.

30x-Checkmark.png

Remarque 2

Bien qu'intitulé « Équivalent d'une suite définie par une intégrale », ce chapitre expose, comme le suivant, des techniques s'appliquant aux suites définies par récurrence. Elles permettent par exemple de traiter des exercices du style :


Étudier la convergence de la série de terme général un vérifiant :

On a alors : et

.

On peut montrer ensuite par récurrence la relation :

.

On vérifie que :

.

Les deux relations précédentes entraînent :

et donc :

.

D’après le critère de Riemann, la série de terme général un n’est donc pas convergente.