Fonction génératrice/Fonctions génératrices des principales lois

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Loi de Bernoulli

Si X suit une loi de Bernoulli $X\sim {\mathcal {B}}(1,p)$, c'est-à-dire si

$p(X=1)=p\qquad p(X=0)=1-p$,

alors :

$G_{X}(t)=\sum _{k=0}^{1}p(X=k)t^{k}=(1-p)t^{0}+pt$

donc

$G_{X}(t)=pt+1-p$.

Nous obtenons alors :

$G_{X}'(t)=p\qquad \qquad G_{X}''(t)=0$.

Nous en déduisons :

$\mathbb {E} (X)=G_{X}'(1)=p$

et

$V(X)=G_{X}''(1)+G_{X}'(1)-\left(G_{X}'(1)\right)^{2}=0+p-p^{2}=p(1-p)$.

Loi binomiale

Si X suit une loi binomiale X ▬▶ B(n,p), c'est-à-dire si

$\forall k\in [\![0,n]\!]\qquad p(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}$

ou encore, si

X est la somme de n variables de Bernoulli indépendantes $X_{1},\dots ,X_{n}$ de même paramètre p,

alors :

$G_{X}(t)=G_{X_{1}}(t)\dots G_{X_{n}}(t)$

donc

$G_{X}(t)=(pt+1-p)^{n}$.

Nous obtenons alors :

$G_{X}'(t)=np(pt+1-p)^{n-1}\qquad \qquad G_{X}''(t)=np^{2}(n-1)(pt+1-p)^{n-2}$.

On retrouve ainsi :

$\mathbb {E} (X)=G_{X}'(1)=np(p+1-p)^{n-1}=np$

et

${\begin{aligned}V(X)&=G_{X}''(1)+G_{X}'(1)-\left(G_{X}'(1)\right)^{2}=np^{2}(n-1)(p+1-p)^{n-2}+np-(np)^{2}\\&=np^{2}(n-1)+np-(np)^{2}=np-np^{2}=np(1-p).\end{aligned}}$

Loi de Poisson

Si X suit une loi de Poisson X $\sim P(\lambda )$, c'est-à-dire si

$\forall k\in \mathbb {N} \qquad p(X=k)=e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}$,

alors :

$G_{X}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p(X=k)t^{k}=e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(\lambda t)^{k}}{k!}}=e^{-\lambda }e^{\lambda t}$

donc

$G_{X}(t)=e^{\lambda (t-1)}$.

Nous obtenons alors :

$G_{X}'(t)=\lambda e^{\lambda (t-1)}\qquad \qquad G_{X}''(t)=\lambda ^{2}e^{\lambda (t-1)}$.

On retrouve ainsi :

$\mathbb {E} (X)=G_{X}'(1)=\lambda e^{\lambda (1-1)}=\lambda$

et

$V(X)=G_{X}''(1)+G_{X}'(1)-\left(G_{X}'(1)\right)^{2}=\lambda ^{2}+\lambda -\lambda ^{2}=\lambda$.

Loi géométrique

Si X suit une loi géométrique $X\sim G(p)$, c'est-à-dire si

$\forall k\in \mathbb {N} ^{*}\qquad p(X=k)=(1-p)^{k-1}p$,

alors :

$G_{X}(t)=\sum _{k=1}^{\infty }p(X=k)t^{k}={\frac {p}{1-p}}\sum _{k=1}^{\infty }(t-pt)^{k}={\frac {p}{1-p}}{\frac {t-pt}{1-t+pt}}$

donc

$G_{X}(t)={\frac {pt}{pt-t+1}}$.

Nous obtenons alors :

$G_{X}'(t)={\frac {p}{(pt-t+1)^{2}}}\qquad \qquad G_{X}''(t)={\frac {2p(1-p)}{(pt-t+1)^{3}}}$.

On retrouve ainsi :

$\mathbb {E} (X)=G_{X}'(1)={\frac {1}{p}}$

et

$V(X)=G_{X}''(1)+G_{X}'(1)-\left(G_{X}'(1)\right)^{2}={\frac {2(1-p)}{p^{2}}}+{\frac {1}{p}}-\left({\frac {1}{p}}\right)^{2}={\frac {1-p}{p^{2}}}$.

Loi uniforme

Si X suit une loi uniforme X ▬▶ U〚1, n〛(on pourrait faire la même démonstration avec une loi uniforme sur 〚a, b〛avec a et b des entiers naturels tels que a<b), c'est-à-dire si

$\forall k\in [\![1,n]\!]\qquad p(X=k)={\frac {1}{n}}$,

alors :

$G_{X}(t)=\sum _{k=1}^{n}p(X=k)t^{k}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}t^{k}$

donc

$G_{X}(t)={\begin{cases}{\frac {t}{n}}{\frac {1-t^{n}}{1-t}}{\text{ si }}t\neq 1\\1{\text{ si }}t=1.\end{cases}}$

Nous obtenons alors :

$\forall t\neq 1\quad G_{X}'(t)={\frac {1-(n+1)t^{n}+nt^{n+1}}{n(1-t)^{2}}}$ donc (par continuité de $G'_{X}$ et à l'aide d'un développement limité du numérateur) $G_{X}'(1)={\frac {n+1}{2}}$ ;

$\forall t\neq 1\quad G_{X}''(t)={\frac {-n(n-1)t^{n+1}+2(n^{2}-1)t^{n}-n(n+1)t^{n-1}+2}{n(1-t)^{3}}}$ donc de même, $G_{X}''(1)={\frac {n^{2}-1}{3}}$.

On retrouve ainsi :

$\mathbb {E} (X)=G_{X}'(1)={\frac {n+1}{2}}$

et

$V(X)=G_{X}''(1)+G_{X}'(1)-\left(G_{X}'(1)\right)^{2}={\frac {n^{2}-1}{3}}+{\frac {n+1}{2}}-\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{2}-1}{12}}$.

Loi hypergéométrique

Si X suit une loi hypergéométrique X ▬▶ H(N, n, p), c'est-à-dire si

$\forall k\in [\![0,n]\!]\qquad p(X=k)={\frac {{\binom {Np}{k}}{N(1-p) \choose n-k}}{\binom {N}{n}}}$,

alors :

$G_{X}(t)=\sum _{k=0}^{n}p(X=k)t^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {{\binom {Np}{k}}{N(1-p) \choose n-k}}{\binom {N}{n}}}t^{k}$.

Loi binomiale négative

Si X suit une loi binomiale négative X ▬▶ J(r, p), c'est-à-dire si

$\forall k\in \mathbb {N} \qquad p(X=k)={k+r-1 \choose r-1}p^{r}(1-p)^{k}$

(cette variable aléatoire donne, dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes, le nombre d’échecs avant le r-ième succès),

alors :

$G_{X}(t)=\sum _{k=0}^{\infty }p(X=k)t^{k}=p^{r}\sum _{k=0}^{\infty }{k+r-1 \choose r-1}(t-pt)^{k}$

donc

$G_{X}(t)=\left({\frac {p}{pt-t+1}}\right)^{r}$.

Nous obtenons alors :

$G_{X}'(t)={\frac {rp^{r}(1-p)}{\left(pt-t+1\right)^{r+1}}}\qquad \qquad G_{X}''(t)={\frac {r(r+1)p^{r}(1-p)^{2}}{\left(pt-t+1\right)^{r+2}}}$.

On retrouve ainsi :

$\mathbb {E} (X)=G_{X}'(1)={\frac {r(1-p)}{p}}$

et

$V(X)=G_{X}''(1)+G_{X}'(1)-\left(G_{X}'(1)\right)^{2}={\frac {r(r+1)(1-p)^{2}}{p^{2}}}+{\frac {r(1-p)}{p}}-\left({\frac {r(1-p)}{p}}\right)^{2}={\frac {r(1-p)}{p^{2}}}$.

Loi de Pascal

Si Y suit une loi de Pascal X ▬▶ P(r, p), c'est-à-dire si

$\forall k\in [\![r,+\infty [\![\qquad p(Y=k)={k-1 \choose r-1}p^{r}(1-p)^{k-r}$

(cette variable aléatoire donne, dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes, le rang d’apparition du r-ième succès),

alors Y = X + r où X suit la loi binomiale négative ci-dessus. Par conséquent :

• $G_{Y}(t)=t^{r}G_{X}(t)=\left({\frac {pt}{pt-t+1}}\right)^{r}$ ;
• $\mathbb {E} (Y)=\mathbb {E} (X)+r={\frac {r}{p}}$ ;
• $V(Y)=V(X)={\frac {r(1-p)}{p^{2}}}$.