Leçons de niveau 15

Fonction génératrice/Fonctions génératrices des principales lois

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Fonctions génératrices des principales lois
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Chapitre no 3
Leçon : Fonction génératrice
Chap. préc. :Quelques propriétés
Chap. suiv. :Somme de deux variables aléatoires
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Fonction génératrice/Fonctions génératrices des principales lois
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Loi de Bernoulli[modifier | modifier le wikicode]

Si X suit une loi de Bernoulli , c'est-à-dire si

,

alors :

donc

.


Nous obtenons alors :

.

Nous en déduisons :

et

.

Loi binomiale[modifier | modifier le wikicode]

Si X suit une loi binomiale X ▬▶ B(n,p), c'est-à-dire si

ou encore, si

X est la somme de n variables de Bernoulli indépendantes de même paramètre p,

alors :

donc

.


Nous obtenons alors :

.

On retrouve ainsi :

et

Loi de Poisson[modifier | modifier le wikicode]

Si X suit une loi de Poisson X , c'est-à-dire si

,

alors :

donc

.


Nous obtenons alors :

.

On retrouve ainsi :

et

.

Loi géométrique[modifier | modifier le wikicode]

Si X suit une loi géométrique , c'est-à-dire si

,

alors :

donc

.


Nous obtenons alors :

.

On retrouve ainsi :

et

.

Loi uniforme[modifier | modifier le wikicode]

Si X suit une loi uniforme X ▬▶ U〚1, n〛, c'est-à-dire si

,

alors :

donc


Nous obtenons alors :

donc (par continuité de et à l'aide d'un développement limité du numérateur)  ;
donc de même, .

On retrouve ainsi :

et

.

Loi hypergéométrique[modifier | modifier le wikicode]

Si X suit une loi hypergéométrique X ▬▶ H(N, n, p), c'est-à-dire si

,

alors :

.

Compte tenu de l’aspect peu sympathique de cette fonction, nous arrêterons là les calculs.

Loi binomiale négative[modifier | modifier le wikicode]

Si X suit une loi binomiale négative X ▬▶ J(r, p), c'est-à-dire si

(cette variable aléatoire donne, dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes, le nombre d’échecs avant le r-ième succès),

alors :

donc

.


Nous obtenons alors :

.

On retrouve ainsi :

et

.

Loi de Pascal[modifier | modifier le wikicode]

Si Y suit une loi de Pascal X ▬▶ P(r, p), c'est-à-dire si

(cette variable aléatoire donne, dans une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes, le rang d’apparition du r-ième succès),

alors Y = X + rX suit la loi binomiale négative ci-dessus. Par conséquent :

  •  ;
  •  ;
  • .