Variables aléatoires discrètes/Loi de Bernoulli

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Définition

Définition

Une variable aléatoire discrète suit une loi de Bernoulli si :

$\mathbb {P} (X=0)=1-p\ {\text{et}}\ \mathbb {P} (X=1)=p$

où $p$ est un nombre réel compris entre 0 et 1 appelé paramètre de la loi.

On note cette loi ${\mathcal {B}}(p)$.

Moments

Espérance

Début d’un théorème

Théorème

L'espérance d'une loi de Bernoulli est $p$.

Fin du théorème

Démonstration

Si $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$, soit $X\sim {\mathcal {B}}(p)$. Alors $\mathbb {E} (X)=0\times (1-p)+1\times p=p$.

 

Variance

Début d’un théorème

Théorème

• La variance d'une loi de Bernoulli est $p(1-p)$.
• Son écart type est donc ${\sqrt {p(1-p)}}$.

Fin du théorème

Démonstration

${\begin{aligned}V(X)&=\mathbb {E} (X^{2})-(\mathbb {E} (X))^{2}\\&=0\times (1-p)+1^{2}\times p-p^{2}\\&=p-p^{2}\\&=p(1-p),\end{aligned}}$

d'où $\sigma ={\sqrt {V(x)}}={\sqrt {p(1-p)}}$.

 

Épreuve de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli est un schéma où l’on ne considère que deux possibilités :

• le succès (valeur 1)
• l'échec (valeur 0)

L'exemple le plus simple est le tirage à pile ou face : si la pièce est équilibrée, le fait d’avoir pile suit une loi de Bernoulli de paramètre 1/2.