Variables aléatoires discrètes/Loi de Poisson

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Définition

Définition

Une variable aléatoire discrète suit une loi de Poisson si :

$p(k)=\mathbb {P} (X=k)=\mathrm {e} ^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}$

où $\lambda$ est un nombre réel strictement positif appelé paramètre de la loi

Espérance

Début d’un théorème

Théorème

L'espérance d'une loi de Poisson est $\lambda$.

Fin du théorème

Démonstration

Si $X$ suit une loi de poisson de paramètre $\lambda$, alors

${\begin{aligned}\mathbb {E} (X)&=\sum _{k=1}^{+{\infty }}k\,\mathbb {P} (X=k)\\&=\sum _{k=1}^{+{\infty }}k\,e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\\&=\lambda \,e^{-\lambda }\,\sum _{k=1}^{+{\infty }}{\frac {\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}\\&=\lambda \,e^{-\lambda }\,e^{\lambda }\,=\lambda .\end{aligned}}$

(On a utilisé le développement en série entière de $e^{x}$.)

 

Variance

Début d’un théorème

Théorème

• La variance d'une loi de Poisson est $\lambda$.
• Son écart type est donc ${\sqrt {\lambda }}$

Fin du théorème

Démonstration

${\begin{aligned}\mathbb {E} (X^{2})&=\sum _{k=1}^{+{\infty }}k^{2}\,\mathbb {P} (X=k)\\&=\sum _{k=1}^{+{\infty }}k^{2}\,e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\\&=e^{-\lambda }\sum _{k=1}^{+{\infty }}\,{\frac {(k-1+1)\lambda ^{k}}{(k-1)!}}\\&=e^{-\lambda }\left(\lambda ^{2}\sum _{k=2}^{+{\infty }}\,{\frac {\lambda ^{k-2}}{(k-2)!}}+\lambda \sum _{k=1}^{+{\infty }}\,{\frac {\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}\right)\\&=\lambda ^{2}+\lambda .\end{aligned}}$

$V(X)=\mathbb {E} (X^{2})-(\mathbb {E} (X))^{2}=\lambda ^{2}+\lambda -\lambda ^{2}=\lambda$.

$\sigma (X)={\sqrt {V(X)}}={\sqrt {\lambda }}$.

 

La loi de Poisson ... concrètement

Modèle

• Si, sur une période T, un évènement ponctuel aléatoire arrive en moyenne $\lambda$ fois.
• On appelle X la variable aléatoire déterminant le nombre de fois où l'évènement se produit dans la période T. X prend des valeurs entières : 0, 1, 2, ...
• On peut démontrer alors que X suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$

Domaine d'application

• Le domaine d'application de la loi de Poisson a été longtemps limité à celui des évènements rares comme les suicides d'enfants, les arrivées de bateaux dans un port ou les accidents dus aux coups de pied de cheval dans les armées .
• Actuellement, on l'utilise beaucoup dans les télécommunications (pour compter le nombre de communications dans un intervalle de temps donné), le contrôle de qualité statistique, …