Variables aléatoires sur les ensembles finis/Loi uniforme

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Définition

Une variable aléatoire qui peut prendre n valeurs k₁, k₂, … , k_n suit une loi uniforme lorsque la probabilité de chaque valeur k_i est égale à 1/n. Un cas particulier important est celui où les n valeurs k_i sont des entiers consécutifs.

Définition

Une variable aléatoire discrète X suit une loi uniforme ${\mathcal {U}}_{[\![a,b]\!]}$ de paramètres $a,b\in \mathbb {Z}$ si

$\forall k\in [\![a,b]\!]\quad \mathbb {P} (X=k)={\frac {1}{n}}$, avec $n=b-a+1$.

Espérance

Début d’un théorème

Théorème

Si $X$ suit une loi de probabilité ${\mathcal {U}}_{[\![a,b]\!]}$, alors son espérance vaut :

$\mathbb {E} (X)={\frac {a+b}{2}}$.

Fin du théorème

Démonstration

$n\mathbb {E} (X)=\sum _{k=0}^{n-1}\left(a+k\right)=n{\frac {a+b}{2}}$ (cf. Somme des termes d'une suite arithmétique).

 

Variance

Début d’un théorème

Théorème

Si $X$ suit une loi de probabilité ${\mathcal {U}}_{[\![a,b]\!]}$, alors sa variance vaut :

$\mathrm {V} (X)={\frac {n^{2}-1}{12}}$, avec $n=b-a+1$.

Fin du théorème

Démonstration

${\begin{aligned}n\mathrm {V} (X)&=\sum _{k=0}^{n-1}\left(a+k-{\frac {a+b}{2}}\right)^{2}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}\left(k-{\frac {n-1}{2}}\right)^{2}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}k^{2}-(n-1)\sum _{k=0}^{n-1}k+n{\frac {(n-1)^{2}}{4}}\\&={\frac {(n-1)n(2n-1)}{6}}-(n-1){\frac {(n-1)n}{2}}+n{\frac {(n-1)^{2}}{4}}\\&={\frac {n}{12}}\left(2(n-1)(2n-1)-3(n-1)^{2}\right)\\&=n{\frac {n^{2}-1}{12}}.\end{aligned}}$